小学解方程（经典50题）
35
3141=+
x x 2、45
9
4=-
x ）（ 3、
18
5
1=+
x x
4、8
516
5=+
x 5、15
84
3
=
÷x 6、185
1=+x x
7、2753=x 8、
14
17
2=
-
x x 9、
9
88
9=
÷
x
10、33
211
3=-x 11、 0.4x=0.72 12、
3212
5=-x
13、283
11(=+x ） 14、
40
)7
21(=-
x 15、
365
2=-
x x
16、5574=+
x x 17、
16
5
4=÷
x 18、
6
53
2=
x
19、10
495
13
2=
-
x x 20
5)4
18
3(
=-
x 21、
4
92
14
3=
+
x x
22、8
35
4=
-x x 23、
9
55
68=
÷
x 24、
16
510
9=-
x x
25、3
216
34
12
1?
=
-
x x 26、
10
95
14
1=
+
x x 27、
6
53
510
15
3=
?
+
x
28、40
7)4
13
1(=
+
?x 29、
10
1489
1÷
=-
x x 30、
18
59
5=
x
31、5
412=x 32、
156
5=x 33、
3
28
3=
÷
x
34、9
84
3=
+x 35、
5
215
4=
-
x 36、
20
74
3=
+
x x
37、3
27
6=
÷x 38、
2
74
72
3=
-
x 39、
8
9
44
3÷=
÷
x
40、56
1=-x x 41、
214
3=+
x x 42、
12
)3
11(=+
x
43、15
5
25
1=+
x x 44、10
)4
18
3(
=+
x 45、
24)7
11(=-
x
46、4
36
1=
÷x 47、
5
215
7=
?
x 49、
3
17
6=
÷
x
50、25
1852=
x 51、6x+4(50-x)=260 52、 8x+6(10-x)=68
53、5x+2(20-x)=82 54、 4x+2(35-x)=94
④小学数学50道经典必会应用题及分析 1. 已知一张桌子的价钱是一把椅子的10倍，又知一张桌子比一把椅子多288元, 一张桌子和一把椅子各多少元？ 解题思路： 由已知条件可知，一张桌子比一把椅子多的288元，正好是一把椅子价钱的 （10-1 ）倍，由此可求得一把椅子的价钱。再根据椅子的价钱，就可求得一张桌子的价钱。 答题： 解：一把椅子的价钱： 288- （10-1 ）=32 （元） 一张桌子的价钱： 32X10=320 （元） 答：一张桌子320元，一把椅子32元。 2. 3箱苹果重45千克。一箱梨比一箱苹果多5千克，3箱梨重多少千克？ 解题思路： 可先求出3箱梨比3箱苹果多的重量，再加上3箱苹果的重量，就是3箱梨的重量。 答题： 解：45+5X3=45+15=60 （千克） 答：3箱梨重60千克。 3. 甲乙二人从两地同时相对而行，经过4小时，在距离中点4千米处相遇。甲比乙速度快，甲每小时比乙快多少千米？解题思路： 根据在距离中点4千米处相遇和甲比乙速度快，可知甲比乙多走4X2千米，又知经过4小时相遇。即可求甲比乙每小时快多少千米。 答题： 解：4X2詔=8十4=2 （千米） 答：甲每小时比乙快2千米 4. 李军和张强付同样多的钱买了同一种铅笔，李军要了13支，张强要了7支, 李军又给张强0.6元钱。每支铅笔多少钱？
解题思路： 根据两人付同样多的钱买同一种铅笔和李军要了13支，张强要了7支，可知每 人应该得（13+7）吃支，而李军要了13支比应得的多了3支，因此又给张强0.6元钱，即可求每支铅笔的价钱。 答题： 解：0.6 屮3- （13+7）吃]=0.6 十13 —20吃]=0.6 -3=0.2 （元） 答：每支铅笔0.2元。 小学奥数微信号：lopolovelogo 5. 甲乙两辆客车上午8时同时从两个车站出发，相向而行，经过一段时间，两车同时到达一条河的两岸。由于河上的桥正在维修，车辆禁止通行，两车需交换乘客，然后按原路返回各自出发的车站，到站时已是下午2点。甲车每小时行40千米，乙车每小时行45千米，两地相距多少千米？（交换乘客的时间略去不计） 解题思路： 根据已知两车上午8时从两站出发，下午2点返回原车站，可求出两车所行驶的时间。根据两车的速度和行驶的时间可求两车行驶的总路程。 答题： 解：下午2点是14时。 往返用的时间：14-8=6 （时） 两地间路程：（40+45）0^2=85X6^2=255 （千米）答：两地相距255千米。 6. 学校组织两个课外兴趣小组去郊外活动。第一小组每小时走4.5千米，第二小组每小时行3.5千米。两组同时出发1小时后，第一小组停下来参观一个果园，用了1小时，再去追第二小组。多长时间能追上第二小组？ 解题思路： 第一小组停下来参观果园时间，第二小组多行了[3.5- （4.5-3.5 ）]?千米，也就是第一组要追赶的路程。又知第一组每小时比第二组快（？4.5-3.5 ）千米，由此便可求出追赶的时间。 答题： 解：第一组追赶第二组的路程： 3.5- （ 4.5-?3.5 ）=3.5-仁2.5 （千米） 第一组追赶第二组所用时间： 2.5 -(4.5- 3.5 ) =2.5 弓=2.5 (小时) 答：第一组2.5小时能追上第二小组
坐标系与参数方程 *选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求： 1．坐标系： ① 理解坐标系的作用. ② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. ③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化. ④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. 2．参数方程：① 了解参数方程，了解参数的意义. ② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 第一讲 一、平面直角坐标系 伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换???>?='>?='). 0(,y y 0), (x,x :μμλλ?的作用 下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
方法1：求伸缩变换后的图形。 由伸缩变换公式解出x、y,代入已知曲线方程就可求得伸缩变换后的曲线方程。 例:：在一个平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。 方法2：待定系数法求伸缩变换。 求伸缩变换时，先设出变换，再代入原方程或变换后的方程，求出其中系数即可。 例：在同一平面直角坐标系中,求下列图形变换的伸缩变换:
二、极坐标 1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。 2.点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM . 极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. 3.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。 4.极坐标与直角坐标的互化： 如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M 的直角坐标与极坐标分别为(x ，y )，(ρ，θ)． (1)极坐标化直角坐标 (2)直角坐标化极坐标 ? ????ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x （x ≠0）.
小学解方程（经典50题） 35 3141=+ x x 2、45 9 4=- x ）（ 3、 18 5 1=+ x x 4、8 516 5=+ x 5、15 84 3 = ÷x 6、185 1=+x x 7、2753=x 8、 14 17 2= - x x 9、 9 88 9= ÷ x 10、33 211 3=-x 11、 0.4x=0.72 12、 3212 5=-x 13、283 11(=+x ） 14、 40 )7 21(=- x 15、 365 2=- x x 16、5574=+ x x 17、 16 5 4=÷ x 18、 6 53 2= x
19、10 495 13 2= - x x 20 5)4 18 3( =- x 21、 4 92 14 3= + x x 22、8 35 4= -x x 23、 9 55 68= ÷ x 24、 16 510 9=- x x 25、3 216 34 12 1? = - x x 26、 10 95 14 1= + x x 27、 6 53 510 15 3= ? + x 28、40 7)4 13 1(= + ?x 29、 10 1489 1÷ =- x x 30、 18 59 5= x 31、5 412=x 32、 156 5=x 33、 3 28 3= ÷ x
34、9 84 3= +x 35、 5 215 4= - x 36、 20 74 3= + x x 37、3 27 6= ÷x 38、 2 74 72 3= - x 39、 8 9 44 3÷= ÷ x 40、56 1=-x x 41、 214 3=+ x x 42、 12 )3 11(=+ x 43、15 5 25 1=+ x x 44、10 )4 18 3( =+ x 45、 24)7 11(=- x 46、4 36 1= ÷x 47、 5 215 7= ? x 49、 3 17 6= ÷ x 50、25 1852= x 51、6x+4(50-x)=260 52、 8x+6(10-x)=68 53、5x+2(20-x)=82 54、 4x+2(35-x)=94
第七章 微分方程 例7 有高为1米的半球形容器，水从它的底部小孔流出，小孔横截面积为1平方厘米. 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h (水面与孔口中心间的距离)随时间t 的变化规律. 解 由力学知识得，水从孔口流出的流量为 62.0dt dV Q ?=＝ 孔口截面面积 重力加速度 ,12cm S = .262.0dt gh dV =∴ ① 设在微小的时间间隔],,[t t t ?+水面的高度由h 降至,h h ?+则,2dh r dV π-= ,200)100(100222h h h r -=--= .)200(2dh h h dV --=∴π ② 比较①和②得: ,262.0)200(2dt gh dh h h =--π 即为未知函数得微分方程. ,)200(262.03dh h h g dt --- =π ,1000==t h ,1015 14 262.05?? = ∴g C π 所求规律为 ).310107(265.45335h h g t +-?= π 例10 求解微分方程 .2222xy y dy y xy x dx -=+- 解 原方程变形为=+--=222 2y xy x xy y dx dy ,1222 ? ?? ??+--??? ??x y x y x y x y 令,x y u =则,dx du x u dx dy +=方程化为,1222u u u u dx du x u +--=+ 分离变量得? ? ????-+--??? ??--112212121u u u u ,x dx du = 两边积分得 ,ln ln ln 2 1 )2ln(23)1ln(C x u u u +=----
24道经典名题 1.不说话的学术报告 1903年10月，在美国纽约的一次数学学术会议上，请科尔教授作学术报告。他走到黑板前，没说话，用粉笔写出2^67-1，这个数是合数而不是质数。接着他又写出两组数字，用竖式连乘，两种计算结果相同。回到座位上，全体会员以暴风雨般的掌声表示祝贺。证明了2自乘67次再减去1，这个数是合数，而不是两百年一直被人怀疑的质数。 有人问他论证这个问题，用了多长时间，他说：“三年内的全部星期天”。请你很快回答出他至少用了多少天？ 2.国王的重赏 传说，印度的舍罕国王打算重赏国际象棋的发明人——大臣西萨·班·达依尔。这位聪明的大臣跪在国王面敢说：“陛下，请你在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子，在第二个小格内给两粒，在第三个小格内给四粒，照这样下去，每一小格内都比前一小格加一倍。陛下啊，把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒，都赏给您的仆人吧？”国王说：“你的要求不高，会如愿以偿的”。说着，他下令把一袋麦子拿到宝座前，计算麦粒的工作开始了。……还没到第二十小格，袋子已经空了，一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来。但是，麦粒数一格接一格地增长得那样迅速，很快看出，即使拿出来全印度的粮食，国王也兑现不了他对象棋发明人许下的语言。算算看，国王应给象棋发明人多少粒麦子？ 3.王子的数学题 传说从前有一位王子，有一天，他把几位妹妹召集起来，出了一道数学题考她们。题目是：我有金、银两个手饰箱，箱内分别装自若干件手饰，如果把金箱中25％的手饰送给第一个算对这个题目的人，把银箱中20％的手饰送给第二个算对这个题目的人。然后我再从金箱中拿出5件送给第三个算对这个题目的人，再从银箱中拿出4件送给第四个算对这个题目的人，最后我金箱中剩下的比分掉的多10件手饰，银箱中剩下的与分掉的比是2∶1，请问谁能算出我的金箱、银箱中原来各有多少件手饰？ 4.公主出题 古时候，传说捷克的公主柳布莎出过这样一道有趣的题：“一只篮子中有若干李子，取它的一半又一个给第一个人，再取其余一半又一个给第二人，又取最后所余的一半又三个给第三个人，那么篮内的李子就没有剩余，篮中原有李子多少个？” 5.哥德巴赫猜想 哥德巴赫是二百多年前德国的数学家。他发现：每一个大于或等于6的偶数，都可以写成两个素数的和（简称“1＋1”）。如：10＝3＋7，16=5＋11等等。他检验了很多偶数，都表明这个结论是正确的。但他无法从理论上证明这个结论是对的。1748年他写信给当时很有名望的大数学家欧拉，请他指导，欧拉回信说，他相信这个结论是正确的，但也无法证
参数方程典型例题分析 例1在方程（为参数）所表示的曲线上一点的坐标是（）．（A）（2，－7）（B）（，）（C）（，）（D）（1，0） 分析由已知得可否定（A）又，分别将，，1代入上式得，，－1，∴（，）是曲线上的点，故选（C）．例2直线（为参数）上的点A，B所对应的参数分别为， ，点P分所成的比为，那么点P对应的参数是（）． （A）（B）（C）（D） 分析将，分别代入参数方程， 得A点的横坐标致为，B点的横坐标为， 由定比分点坐标公式得P的横坐标为 ， 可知点P所对应的参数是故应选（C）． 例3化下列参数方程为普通方程，并画出方程的曲线． （1）（为参数，）
（2）（为参数）； （3）（为参数）， 解：（1）∵ ∴， ∴或 故普通方程为（或），方程的曲线如图． （2）将代入得 ∵普通方程为（），方程的曲线如图．
（3）两式相除得代入得 整理得 ∵ ∴普通方程为（），方程的曲线如图． 点评（l）消去参数的常用方法有代入法，加减消元法，乘除消元法，三角消元法等；（2）参数方程化普通方程在转化过程中，要注意由参数给出的，的范围，以保证普通方程与参数方程等价． 例4已知参数方程 ①若为常数，为参数，方程所表示的曲线是什么？ ②若为常数，为参数，方程所表示的曲线是什么？ 解：①当时，由（1）得，由（2）得，
∴，它表示中心在原点， 长轴长为，短轴长为焦点在轴上的椭圆． 当时，，， 它表示在轴上的一段线段． ②当（）时，由（1）得， 由（2）得．平方相减得， 即 它表示中心在原点，实轴长为，虚轴长为， 焦点在轴上的双曲线． 当（）时，，它表示轴； 当（）时，， ∵（时）或（时） ∴，∴方程为（）， 它表示轴上以（－2，0）和（2，0）为端点的向左和向右的两条射线． 点评本题的启示是形式相同的方程，由于选择参数的不同，可表示不同的曲线，因此要注意区分问题中的字母是常数还是参数． 例5直线（为参数）与圆（为参数）相切，则直线的倾斜角为（）．
解方程测试题 请使用任意方法解下列方程，带*的必须检验。 x-104=33.5 x+118=11.9 26.4×x=40 62.2-x=70.7 x÷31=21.0 69.4+x=87.4 94.8+x=48.2 37.3x=84.1 91.1x=38.7 x÷13.3=14.5 31.4x=59.8 41.7x=69.9 105x=82.6 x×7.1=10.7 x+75.4=16 x÷63=42.2 x-8=32.8 64.2x=78 14÷x=21 59.9-x=40 9.8+x=99.3 44.2-x=86.1 x÷35.0=9.0 52.6-x=52.0 x×63.4=62.7 2.8-x=52 x÷41.0=139 9.6x=97.2 51x=42.9 x-48.8=95 x×6.8=25.4 118+x=35 56.6x=54.0 23x=145 x+50.3=28.1 54.6+x=96.2 x+89.2=59.1 45x=48 28.7x=83.5 17.3x=60.8 x+101=20.8 55.9x=75.2 59.7-x=23 x÷61.6=55.0 45.3÷x=79.5 x-48.2=85 x×43.6=62.6 5.9x=6.1 80.3x=11.7 104x=47.7 x×100.7=70 92.1x=27.3
56x=56 x÷16.8=88.3 95x=90.8 49.6x=125 2.1+x=73.4 16.7÷x=76.8 x+99=37.9 33÷x=56.6 48.5÷x=61.8 x÷3.6=96.5 68.0÷x=73 x×16.8=5.0 26.9x=88.0 45.5x=87 x×82=48.1 88.5+x=20.8 53.3x=21.3 95x=42.1 68÷x=139 x+34.7=135 x-63.1=43 19.5÷x=116 1.6x=5.7 2.3x=68.1 55.6+x=99.4 94.8÷x=28.9 100.3÷x=101 x+21.0=128 17-x=6.6 x-51=95.5 33.7×x=126 1.8x=111 48.4x=56 x×43.3=93.6 65.6x=100.9 6.8÷x=78.7 38.7-x=90.8 100x=143 64+x=31.9 x×122=28.7 x-55.1=95 17-x=92.8 x+20.8=53.1 90.9x=80.1 30.6x=58 43.9-x=37.2 6x=25.6 66.6x=113 x×21.0=65.6 x×30.6=51.1 58x=88.5 86.1x=89.5 x÷19.2=22.3 8.9×x=55 94.5+x=36.4 129x=86.3
【文库独家】 小学五年级数学考试经典型题 1、在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体(右图)，求这个立体图形的表面积。 2、甲、乙两船在相距90千米的河中航行，若相向而行则3小时相遇，若同向而行则15小时甲船追上乙船。则在静水中甲船的速度是多少？ 3、甲乙两车同时从AB两地相对开出。甲行驶了全程的,如果甲每小时行驶4.5千米，乙行了5小时。求AB两地相距多少千米? 4、用边长相同的正六边形白色皮块、正五边形黑色皮块总计32块，缝制成一个足球，每个黑色皮块邻接的都是白色皮块；每个白色皮块相间地与3个黑色皮块及3个白色皮块相邻接。问：这个足球上共有多少块白色皮块？ 5、用一根既细又直的竹竿测量游泳池的水深，把竹竿的一端插入水中(碰到池底)后，没浸湿的部分长120厘米，把竹竿掉过头来，再插入水中(也碰到池底)，此时没浸湿的部分长30厘米，问游泳池有多深?
6、有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽。如果养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢？并且牧场上的草是不断生长的。 7、甜甜的爸爸今年28岁，妈妈今年26岁。再过多少年，她的爸爸和妈妈的年龄和为80岁？ 8、甲、乙、丙、丁四人今年分别是16、12、11、9岁。问：多少年前，甲、乙的年龄和是丙、丁年龄和的2倍？ 9、某一项工程需要100天完成，开始由10个人用30天完成了全部工程的1/5，随后再增加10个人来完成这项工程，那么能提前多少天完成任务？ 10、41.23+34.12+23.41+12.34 参考答案： 1、这个立体图形的表面积为214平方分米。 分析：我们把上面的小正方体想象成是可以向下“压缩”的，“压缩”后我们发现：小正方体的上面与大正方体上面中的阴影部分合在一起，正好是大正方体的上面.这样这个立体图形的表面积就可以分成这样两部分： 上下方向： 大正方体的两个底面： 5×5×2=50(平方分米)
微分方程例题选解 1. 求解微分方程3ln (ln )0,|2 x e x xdy y x dx y =+-==。 解：原方程化为 x y x x dx dy 1ln 1=+， 通解为 ?+? ?=-]1[ln 1ln 1C dx e x e y dx x x dx x x ?+=]ln [ln 1C dx x x x ]ln 21[ln 12C x x += 由e x =，23=y ，得1=C ，所求特解为 11 ln ln 2 y x x = +。 2. 求解微分方程22'0x y xy y -+=。 解：令ux y =，u x u y '+='，原方程化为 2 u u u x u -='+， 分离变量得 dx x u du 1 2 =-， 积分得 C x u +=ln 1 ， 原方程的通解为 ln x y x C = +。 3. 求解微分方程dy y y x dx xy x )()(3223+=-。 解：此题为全微分方程。下面利用“凑微分”的方法求解。 原方程化为 03 2 2 3 =---dy y ydy x dx xy dx x ， 由 dy y ydy x dx xy dx x 3 2 2 3 --- 42222441 )(2141dy dy x dx y dx -+-= )2(41 4224y y x x d --=， 得 0)2(4 224=--y y x x d ， 原方程的通解为 C y y x x =--4 2 2 4 2。 注：此题也为齐次方程。 4. 求解微分方程2''1(')y y =+。 解：设y p '=，则dx dp y =''，原方程化为 21p dx dp +=， 分离变量得 dx p dp =+2 1，积分得 1arctan C x p +=， 于是 )tan(1C x p y +=='， 积分得通解为 12ln cos()y x C C =-++。 5. 求解微分方程''2'20y y y -+=。 解：特征方程为 0222 =--r r ，特征根为 i r ±=1， 通解为12(cos sin )x y e C x C x =+。
小学数学50道经典题解析 收藏起来给孩子做学霸！ 2017-01-04 家长必读 1.已知一张桌子的价钱是一把椅子的10倍，又知一张桌子比一把椅子多288元，一张桌子和一把椅子各多少元？ 2. 3箱苹果重45千克。一箱梨比一箱苹果多5千克，3箱梨重多少千克？ 3. 甲乙二人从两地同时相对而行，经过4小时，在距离中点4千米处相遇。甲比乙速度快，甲每小时比乙快多少千米？解题思路：
4. 李军和张强付同样多的钱买了同一种铅笔，李军要了13支，张强要了7支，李军又给张强0.6元钱。每支铅笔多少钱？ 5.甲乙两辆客车上午8时同时从两个车站出发，相向而行，经过一段时间，两车同时到达一条河的两岸。由于河上的桥正在维修，车辆禁止通行，两车需交换乘客，然后按原路返回各自出发的车站，到站时已是下午2点。甲车每小时行40千米，乙车每小时行 45千米，两地相距多少千米？（交换乘客的时间略去不计） 6. 学校组织两个课外兴趣小组去郊外活动。第一小组每小时走4.5千米，第二小组每小时行3.5千米。两组同时出发1小时后，第一小组停下来参观一个果园，用了1小时，再
去追第二小组。多长时间能追上第二小组？ 7. 有甲乙两个仓库，每个仓库平均储存粮食32.5吨。甲仓的存粮吨数比乙仓的4倍少5吨，甲、乙两仓各储存粮食多少吨？ 8. 甲、乙两队共同修一条长400米的公路，甲队从东往西修4天，乙队从西往东修5天，正好修完，甲队比乙队每天多修10米。甲、乙两队每天共修多少米？
9. 学校买来6张桌子和5把椅子共付455元，已知每张桌子比每把椅子贵30元，桌子和椅子的单价各是多少元？ 解题思路： 10. 一列火车和一列慢车，同时分别从甲乙两地相对开出。快车每小时行75千米，慢车每小时行65千米，相遇时快车比慢车多行了40千米，甲乙两地相距多少千米？ 11. 某玻璃厂托运玻璃250箱，合同规定每箱运费20元，如果损坏一箱，不但不付运费还要赔偿100元。运后结算时，共付运费4400元。托运中损坏了多少箱玻璃？
简易方程 【知识分析】 大家在课堂上已经学了简单的解方程，现在我们学习比较复杂的解方程。首先，我们要对方程进行观察，将能够先计算的部分先计算或合并，使其化简，然后求出X的值。 【例题解读】 例1解方程：6X+9X-13=17 【分析】方程左边的6X与9X可以合并为15X，因此，可以将原方程转化成15X-13=17，从而顺利地求出方程的解。 解：6X+9X-13=17， 15X-13=17 15X=30 X=2。 例2解方程：10X-7=4.5X+20.5 【分析】方程的两边都有X,运用等式的性质,我们先将方程的两边同时减去4.5X,然后再在两边同时加上7,最后求出X. 解:10X-7-4.5X=4.5X+20.5-4.5X, 5.5X-7=20.5 5.5X-7+7=20.5+7 5.5X=27.5, X=5. 【经典题型练习】解方程:7.5X-4.1X+1.8=12 解方程:13X+4X-19.5=40
解方程:5X+0.7X-3X=10-1.9 解方程练习课【巩固练习】 1、解方程：7（2X-6）=84 2、解方程5（X-8）=3X 3、解方程4X+8=6X-4 4、解方程7．4X-3.9=4.8X+11.7
列方程解应用题 【知识分析】 大家在三四年级的时候一定学过“年龄问题”吧！记得那时候思考这样的问题挺麻烦的，现在可好啦！我们学习了列方程解应用题，就可以轻松地解决类似于这样的应用题。 【例题解读】 例题1 今年王老师的年龄是陈强的3倍，王老师6年前的年龄和陈强10年后的年龄相等，陈强和王老师今年各是多少岁？ 【分析】要求陈强和王老师两个人的年龄，我们不妨设今年陈强的年龄是X岁，王老师的年龄是3X岁，然后根据“王老师在6年前的年龄和陈强10年后的年龄相等”这个数量关系式，列出方程。解：设今年陈强的年龄是X岁，王老师的年龄是3X岁，可列方程：3X-6=X+10，2X=16，X=8 3X=3×8=24 答：陈强今年8岁，王老师今年24岁。 例题2 今年哥哥的年龄比弟弟年龄的3倍多1岁，弟弟5年后的年龄比3年前哥哥的年龄大1岁，兄弟俩现在各多少岁？ 【分析】先表示出哥哥和弟弟今年的年龄，然后运用弟弟5年后，哥哥3年前的年龄作为等量关系。 解：设弟弟今年X，那么哥哥今年（3X+1）岁，可列方程 X+5=3X+1-3+1，X+5=3X-1，6=2X，X=3。 3X+1=3X3+1=10 答：哥哥今年10岁，弟弟今年3岁。
一阶微分方程典型例题 例1 在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的.设该人群的总人数为N ，在0=t 时刻已掌握新技术的人数为0x ，在任意时刻t 已掌握新技术的人数为)(t x (将)(t x 视为连续可微变量)，其变化率与已掌握新技术的人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数0>k ，求)(t x . 解 由题设知未掌握新技术人数为)(t x N ?，且有 )(x N kx dt dx ?=，00x x t == 变量分离后，有 kdt x N x dx =?)(，积分之，kNt kNt ce cNe x +=1，由00x x t ==，求得 0 0x N x c ?= 例2 求2 sin 2sin y x y x y ?=++′的通解. 解：利用三角公式将方程改写为2sin 2cos 2y x y ?=′.当02 sin ≠y 时，用它除方程的两端，得变量分离方程dx x y dy 2cos 22 sin ?=, 积分之，得通积分 2 sin 44tan ln x c y ?=. 对应于02 sin =x ，再加特解 ),2,1,0(2"±±==n n y π. 在变量分离时，这里假设02sin ≠y ，故所求通解中可能会失去使 02 sin =y 的解.因此，如果它们不能含于通解之中的话，还要外加上这种形式的特解. 例3 求微分方程 x xe y y x =+′ 满足条件11==x y 的特解.
解法1 把原方程改写为x e y x y =+′1，它是一阶线性方程，其通解为 ()11()()1()1dx dx p x dx p x dx x x x x y e q x e c e e e dx c x e c x ????∫∫??∫∫??=+=?+=?+?????????? ∫∫ 用1,1==y x 代入，得 1=c ，所以特解为x e x x y x 11+?=. 解法2 原方程等价于x xe xy dx d =)(，积分后，得c e x xy x +?=)1(. 当 1,1==y x 时， 1=c 故所求特解为x e x x y x 11+?=. 例4 求方程 0)cos 2()1(2=?+?dx x xy dy x 满足初始条件 10 ==x y 之特解. 解 将原方程改写为1 cos 1222?=?+x x y x x dx dy . 于是，通解为 ????????+∫?∫=∫??? c dx e x x e y dx x x dx x x 12212221cos 即 1sin 2?+=x c x y ， 由01x y ==，得1c =?，故特解为2sin 11 x y x ?=?. 例5 求方程 4y x y dx dy +=的通解. 解 将原方程改写成以 为未知函数的方程 31y x y dx dy =?. 于是，由一阶线性方程的通解公式，得 ?? ????+=????????+∫∫=∫?c y y c dy e y e x dy y dy y 313131 在判断方程的类型时，不能只考虑以y 为因变量的情况.因有些方程在以 x 为因变量时方能为线性方程或伯努利方程，解题时必须全面分析.
参数方程 一、定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个参数 t 的函数，即 ?? ?==)()(t f y t f x ，其中，t 为参数，并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数． 1 y x Eg1（1 Eg2（1总结：参数方程化为普通方程步骤：（1）消参（2）求定义域 2、椭圆的参数方程： 中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆： θ θsin cos b y a x == （θ为参数，θ的几何意义是离心角，如图角AON 是离心角）
注意：离心率和离心角没关系，如图，分别以椭圆的长轴和短轴为半径画两个同心圆，M 点的轨迹是椭圆，中心在（x 0，y 0 θ θ sin cos 00b y y a x x +=+= Eg 3， 4 pt y pt x 222 == （t 为参数，p ＞0，t 的几何意义为过圆点的直线的斜率的倒数） 直线方程与抛物线方程联立即可得到。 三、一次曲线（直线）的参数方程 过定点P 0（x 0，y 0），倾角为α的直线， P 是直线上任意一点，设P 0P=t ，P 0P 叫点P 到定点P 0的有向距离，在P 0两侧t 的符号相反，直线的参数方程
αα sin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数，t 的几何意义为有向距离） 说明：①t 的符号相对于点P 0，正负在P 0点两侧 ②｜P 0P ｜=｜t ｜ 直线参数方程的变式： bt y y at x x +=+=00，但此时t 的几何意义不是有向距离，只有当 t 得 y x Eg
列方程解应用题及解析 例1甲乙两个数，甲数除以乙数商2余17．乙数的10倍除以甲数商3余45．求甲、乙二数． 分析：被除数、除数、商和余数的关系：被除数=除数×商+余数．如 果设乙数为x，则根据甲数除以乙数商2余17，得甲数=2x＋17．又 根据乙数的10倍除以甲数商3余45得10x=3（2x＋17）＋45，列出 方程． 解：设乙数为x，则甲数为2x+17． 10x=3（2x＋17）+45 10x=6x＋51+45 4x=96 x＝24 2x+17=2×24+17=65． 答：甲数是65，乙数是24． 例2电扇厂计划20天生产电扇1600台．生产5天后，由于改进技术，效率提高25％，完成计划还要多少天 思路1： 分析依题意，看到工效（每天生产的台数）和时间（完成任务 需要的天数）是变量，而生产5天后剩下的台数是不变量（剩余工作 量）．原有的工效：1600÷20=80（台），提高后的工效：80×（1＋25 ％）=100（台）．时间有原计划的天数，又有提高效率后的天数，因 此列出方程的等量关系是：提高后的工效x 所需的天数=剩下台数． 解：设完成计划还需x天． 1600÷20×（1+25％）×x=1600-1600÷20×5 80×=1600-400 100x=1200 x=12． 答：完成计划还需12天．例4 中关村中学数学邀请赛中，中关村一、二、三小六年级大约有380～450人参赛．比赛结果全体学生的平均分为76分，男、女生平均分数分别为79分、71分．求男、女生至少各有多少人参赛 分析若把男、女生人数分别设为x人和y 人．依题意全体学生 的平均分为76分，男、女生平均分数分别为79分、71分，可以确 定等量关系：男生平均分数×男生人数+女生平均分数×女生人数= （男生人数+女生人数）×总平均分数．解方程后可以确定男、女生 人数的比，再根据总人数的取值范围确定参加比赛的最少人数，从而 使问题得解． 解：设参加数学邀请赛的男生有x人，女生有y人． 79x+71y＝（x+y）×76 79x+71y＝76x+76y 3x＝5y ∴x：y=5：3 总份数：5＋3=8． 在380～450之间能被8整除的最小三位数是384，所以参加邀 请赛学生至少有384人． 男生：384×=240（人） 5 8 女生：384×=144（人） 3 8 答：男生至少有240人参加，女生至少有144人参加． 例 5 瓶子里装有浓度为15％的酒精1000克．现在又分别倒入 100克和400克的A、B两种酒精，瓶子里的酒精浓度变为14％．已 知A种酒精的浓度是B种酒精的2倍，求A
第三章 一阶微分方程的解的存在定理 例3-1 求方程 22y x dx dy += 满足初始条件0)0(=y 的解的逐次逼近)(),(),(321x y x y x y ，并求出h 的最大值，其中h 的意义同解的存在唯一性定理中的h 。 解 函数2 2 ),(y x y x f +=在整个平面上有意义，则在以原点为中心的任一闭矩形区域 b y a x D ≤≤,:上均满足解的存在唯一性定理的条件，初值问题?????=+=0 )0(22y y x dx dy 的解在],[h h -上存在唯一，其中)(max ),, min(22),(y x M M b a h D y x +==∈。 因为逐次逼近函数序列为 ?-+=x x n n dx x y x f y x y 0 ))(,()(10， 此时，2 200),(,0,0y x y x f y x +===，所以 0)(0=x y ， ?=+=x x dx x y x x y 03 2 02 13 )]([)(， | 63 3)]([)(7 032 12 2x x dx x y x x y x +=+=?， ?? +++=+=x x dx x x x x dx x y x x y 0 14 1062 2 223)3969 18929()]([)( 59535 20792633151173x x x x +++=。 现在求h 的最大值。 因为 ),, min(2 2b a b a h += 对任给的正数b a ,，ab b a 22 2 ≥+，上式中，当 b a = 时， 2 2b a b +取得最大值
a ab b 21 2= 。 此时，)21,min()2, min(a a ab b a h ==，当且仅当a a 21 = ，即22==b a 时，h 取得最大值为 2 2 。 评注：本题主要考查对初值问题的解的存在唯一定理及其证明过程的基本思想（逐次逼近方法）的理解。特别地，对其中的b y a x D y x f M M b a h D y x ≤≤==∈,:),,(max ),, min(),(等常数意义的理解和对逐次逼近函数列? -+=x x n n dx x y x f y x y 0 ))(,()(10的构造过程的理 解。 例3-2 证明下列初值问题的解在指定区间上存在且唯一。 1） 2 1 0,0)0(cos 2 2≤ ≤=+='x y x y y ，。 2） 32 2 )2 1 (0,0)0(≤≤=+='x y y x y ， 。 | 证 1） 以原点为中心作闭矩形区域1,2 1 :≤≤ y x D 。 易验证2 2 cos ),(x y y x f +=在区域D 上满足解的存在唯一性定理的条件，求得 2cos m ax 22),(=+=∈x y M D y x ，则2 1 )21,21min(==h 。 因此初值问题 ?? ?=+='0 )0(cos 2 2y x y y 的解在]21,21[- 上存在唯一，从而在区间]2 1 ,0[上方程 cos 22， x y y +='满足条件0)0( =y 的解存在唯一。 2） 以原点为中心作闭矩形区域b y a x D ≤≤,:。 易验证x y y x f +=2 ),(在D 上满足解的存在唯一性定理的条件，并求得 22),(m ax b a x y M D y x +=+=∈，
小学一年级数学经典奥数题100道 1.哥哥4个苹果,姐姐有3个苹果,弟弟有8个苹果,哥哥给弟弟1个后，弟弟吃了3个，这时谁的苹果多？ 2．小明今年6岁，小强今年4岁，2年后，小明比小强大几岁？ 3．同学们排队做操，小明前面有4个人，后面有4个人，这一队一共有多少人？ 4．有一本书，小华第一天看了2页，以后每一天都比前一天多看2页，第4天看了多少页？ 5．同学们排队做操，从前面数，小明排第4，从后面数，小明排第5，这一队一共有多少人？ 6．有8个皮球，如果男生每人发一个，就多2个，如果女生每人发一个，就少2个，男生有多少人，女生有多少人？ 7．老师给9个三好生每人发一朵花，还多出1朵红花，老师共有多少朵红花？ 8．有5个同学投沙包，老师如果发给每人2个沙包就差1个，老师共有多少个沙包？ 9．刚刚有9本书，爸爸又给他买了5本，小明借去2本，刚刚还有几本书？ 10．一队小学生，李平前面有8个学生比他高竺嬗?个学生比他矮，这队小学生共有多少人？ 11．小林吃了8块饼干后，小林现在有4块饼干，小林原来有多少块饼干？ 12．哥哥送给弟弟5支铅笔后，还剩6支，哥哥原来有几支铅笔？ 13．第二中队有8名男同学，女同学的人数跟男同学同样多，第二中队共有多少名同学？ 14．大华和小刚每人有10张画片，大华给小刚2张后，小刚比大华多几张？ 15．猫妈妈给小白5条鱼，给小花4条鱼，小白和小花共吃了6条，它们还有几条？ 16．同学们到体育馆借球，一班借了9只，二班借了6只。体育馆的球共减少了几只？ 17．明明从布袋里拿出5个白皮球和5个花皮球后，白皮球剩下10个，花皮球剩下5个。布袋里原来有多少个白皮球，多少个花皮球？ 18．芳芳做了14朵花，晶晶做了8朵花，芳芳给晶晶几朵花，两人的花就一样多？
高考真题专题训练——参数方程专题（6.11-6.12） 1、（2012课标全国Ⅰ，理23，10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为 2cos 22sin x y α α =?? =+?（α为参数）M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =u u u v u u u u v ,P 点的轨迹为曲线C 2 (Ⅰ)求C 2的方程 (Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3 πθ=与C 1的异于极点的交点 为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB . 2、（2012课标全国Ⅱ，理23，10分）已知曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数??? ???==，以坐 标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π （1）求点,,,A B C D 的直角坐标； （2）设P 为1C 上任意一点，求2 2 2 2 PA PB PC PD +++的取值范围。 3、(2013课标全国Ⅰ，理23，10分)选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线C 1的参数方程为45cos , 55sin x t y t =+??=+?(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．
4，(2013课标全国Ⅱ，理23，10分)已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos , 2sin x t y t =??=?(t 为参数)上， 对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点． (1)求M 的轨迹的参数方程； (2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 5、（2014课标全国Ⅰ，理23，12分）已知曲线C ：22 149x y +=，直线l ：222x t y t =+??=-?（t 为参 数）（Ⅰ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程； （Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o 30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值. 6、(2014课标全国Ⅱ，理23，10分)在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ??∈????. （Ⅰ）求C 的参数方程； （Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.
【同步教育信息】 一、本周教学主要内容： 列方程解决实际问题（1） 二、本周学习目标： 1、在解决实际问题的过程中，理解并掌握形如ax±b=c的方程的解法，会列上述方程解决两步计算的实际问题。 2、在观察、分析、抽象、概括和交流的过程中，经历将现实问题抽象为方程的过程，进一步体会方程的思想方法及价值。 3、在积极参与数学活动的过程中，养成独立思考，主动与他人合作交流，自觉检验等习惯。 三、考点分析： 经历寻找实际问题中数量之间的相等关系并列方程解决问题的过程，在过程中自主理解并掌握有关方程的解法，加深对列方程解决实际问题的体验。 四、典型例题 例1、小强的爸爸今年37岁，比他年龄的3倍还大4岁，小强今年是多少岁？ 分析与解： 这个题目包含的信息有：（1）小强爸爸的年龄（已知）37岁；（2）小强的年龄（未知）乘3再加上4岁和他爸爸年龄一样。 根据（1）（2）之间的关系，很快就可以找出下面的数量关系，小强今年多少岁不知道，可以设为x岁。 小强的年龄×3 + 4 岁 = 小强爸爸的年龄 根据上面的数量关系可以列出方程，再解答。 解：设小强今年是x岁。 3x + 4 = 37 3x + 4 - 4 = 37 – 4 ┄┄（） 3x = 33
x = 33 ÷ 3 ┄┄（） x = 11 这道题你会检验吗？ 答：小强今年11岁。 这道题你还会列其它方程解答吗？（依据不同的数量关系可以列出不同的方程） 点评：实际解答这一题时，还可以想出几种不同的数量关系式。但是，对于符合题意的数量关系式，我们在解题时一般用最容易想到的数量关系式，即顺着题目的意思所想到的数量关系式。 例2、一种墨水有两种包装规格，大瓶容量是1.5升，比小瓶容量的4倍少0.9升，小瓶容量是多少？ 分析与解： 这个题目包含的信息有：（1）大瓶容量（已知）1.5升；（2）小瓶容量（未知）乘4减去0.9升和大瓶容量一样。 根据（1）（2）之间的关系，很快就可以找出下面的数量关系，小瓶容量不知道，可以设为x升。 小瓶的容量×4 - 0.9升 = 大瓶的容量 根据上面的数量关系可以列出方程，再解答。 解：设小瓶的容量是x升。 4x – 0.9 = 1.5 4x - 0.9 + 0.9 = 1.5 + 0.9 4x = 2.4 x = 2.4 ÷ 4 x = 0.6 这道题你会检验吗？ 答：小瓶的容量是0.6升。 点评：在解形如ax±b=c的方程时，要先把ax看作一个整体，根据等式的性质在方程的两边同时加上或减去或乘一个相同的数，变形为“ax= b”的形式，最后再求出x的值。 例3、一个三角形的面积是100平方厘米，它的底是25厘米，高是多少厘米？ 分析与解： 根据题目可以得出这一题的等量关系式是：三角形的面积=底×高÷2