2017全国Ⅰ卷高考文科数学真题及答案
本试卷共5页，满分150分。 考生注意：
1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则（ ）。 A ．A B =3|2x x ??
B ．A B =?
C ．A
B 3|2x x ??=
?
D ．A
B=R
【答案】A 【难度】简单
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第一章《集合》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
2．为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田.这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为x 1，x 2，…，
x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（ ）。
A ．x 1，x 2，…，x n 的平均数
B ．x 1，x 2，…，x n 的标准差
C ．x 1，x 2，…，x n 的最大值
D ．x 1，x 2，…，x n 的中位数
【答案】B 【难度】简单
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十六章《计数技巧》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
3．下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）。 A ．i(1+i)2
B ．i 2(1-i)
C ．(1+i)2
D ．i(1+i)
【答案】C 【难度】一般
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。4．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，学科&网则此点取自黑色部分的概率是（）。
A．1
4
B．
π
8
C．
1
2
D．
π
4
【答案】B
【难度】一般
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座第十四章《概率》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
5．已知F是双曲线C：x2-
2
3
y
=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3).则△APF
的面积为（）。
A．1
3
B．
1
2
C．
2
3
D．
3
2
【答案】D
【难度】中等
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座第十二章《圆锥曲线的方程与性质》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
6．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB与平面MNQ不平行的是（）。
【答案】A
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十一章《立体几何》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
7．设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤??
-≥??≥?
则z =x +y 的最大值为（ ）。
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】D
【难度】中等
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第四章《函数的值域、最值求法及应用》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。 8．.函数
sin21cos x
y x
=-的部分图像大致为（ ）。
【答案】C 【难度】中等
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第八章《三角函数》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
9．已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则（ ）。 A ．()f x 在（0,2）单调递增
B ．()f x 在（0,2）单调递减
C ．y =()f x 的图像关于直线x =1对称
D ．y =()f x 的图像关于点（1,0）对称
【答案】C
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第二章《函数》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
10．如图是为了求出满足321000n n ->的最小偶数n ，学|科网那么在和
两个空白框中，可以分
别填入（ ）。
A ．A >1000和n =n +1
B ．A >1000和n =n +2
C ．A ≤1000和n =n +1
D ．A ≤1000和n =n +2
【答案】D 【难度】较难
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十三章《算法与统计》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
11．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c 2，则C =（ ）。
A ．
π12
B ．
π6
C ．
π4
D ．
π3
【答案】B 【难度】中等
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第八章《三角函数》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
12．设A 、B 是椭圆C ：22
13x y m
+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围
是（ ）。
A ．(0,1][9,)+∞
B ．[9,)+∞
C ．(0,1][4,)+∞
D ．[4,)+∞
【答案】A 【难度】较难
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十二章《圆锥曲线的方程与性质》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量a =（–1，2），b =（m ，1）.若向量a +b 与a 垂直，则m =______________. 【答案】7 【难度】简单
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十五章《常用逻辑语》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。 14．曲线2
1
y x x
=+在点（1，2）处的切线方程为_________________________. 【答案】x-y+1=0 【难度】简单
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第三章《函数的性质及其应用》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
15．已知π(0)2
a ∈，,tan α=2，则π
cos ()4α-=__________。
【难度】中等
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第八章《三角函数》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
16．已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径。若平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，
SB =BC ，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________。
【答案】36π 【难度】中等
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十一章《立体几何》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲
刺班中均有涉及。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：60分。 17．（12分）
记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=-6. （1）求{}n a 的通项公式；
（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列。
【答案】
=1(2)23
n +-+
232312
(2)2(2)2(2)(2)4333
n n n n n n S S ++++++-+-+-+-++=--=
=
12n n n n S S ++-=-即S S
∴12,,n n n S S ++S 成等差数列 【难度】中等
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十五章《常用逻辑语》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。 18．（12分）
如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=
（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；
（2）若PA =PD =AB =DC ,90APD ∠=,且四棱锥P-ABCD 的体积为8
3
，求该四棱锥的侧面积. 【答案】
由AB ⊥平面PAD 知：AB ⊥AD 又∵AB ∥DC ，AB=DC ∴四边形ABCD 为矩形
2AD BC a ∴==
∴△PBC 为等边三角形 由（1）知AB ⊥平面PAD
∴平面ABCD⊥平面PAD 取AB的中点M连接PM
由PA=PD,得PM⊥AD，
2
2 PM a
=
由平面ABCD⊥平面PAD且交线为AD知：PM⊥平面ABCD
∴PM为四棱柱P-ABCD的高
1128
.2
3323
P ABCD ABCD
a
V S PM a a
-
∴==???=
矩形
【难度】中等
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座第十一章《立体几何》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
19．（12分）
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：
抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8
零件尺寸9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
抽取次序9 10 11 12 13 14 15 16
零件尺寸10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得
16
1
1
9.97
16i
i
x x
=
==
∑，1616
222
11
11
()(16)0.212
1616
i i
i i
s x x x x
==
=-=-≈
∑∑，
16
2
1
(8.5)18.439
i
i
=
-≈
∑，16
1
()(8.5) 2.78
i
i
x x i
=
--=-
∑，其中i x为抽取的第i个零件的尺寸，1,2,,16
i=???．
（1）求(,)
i
x i(1,2,,16)
i=???的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若||0.25
r<，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)
x s x s
-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）从这一天抽检的结果看，学.科网是否需对当天的生产过程进行检查？
（ⅱ）在
(3,3) x
s x s
-+之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）
附：样本(,)
i i
x y(1,2,,)
i n
=???的相关系数1
22
11
()()
()()
n
i i
i
n n
i i
i i
x x y y
r
x x y y
=
==
--
=
--
∑
∑∑
，0.0080.09
≈．
【答案】
根据表格中数据可知第13次抽取的尺寸不在范围内，因此需要检查。
（ii）剔除离群值之后，组成一组新的数据，设平均数为'x，标准差为's
0.0080.09≈≈
【难度】较难
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第三章《函数的性质及其应用》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。 20．（12分）
设A ，B 为曲线C ：y =2
4
x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4.
（1）求直线AB 的斜率；
（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程. 【答案】
由题意知切线与直线AB 平行
∴M 点处的切线斜率为001
''|12
x x k y x k ===
==
02x ∴=
∴M 点坐标为M （2,1）则1
122(2,1),(2,1)AM x y BM x y =--=-- 由（1）联立知2
2
440,01x kx b k b k --=+=△=＞又
2440,10x
kx b b ∴--=+△=＞
由韦达定理得：
12121212122
121212124,42()()()x x x x b
y y x b x b x x b y y x b x b x x b x x b +==-+=+++=++=++=+++
根据题意：AM ⊥BM
【难度】较难
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十二章《圆锥曲线的方程与性质》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。 21．（12分）
已知函数()f x =e x (e x ﹣a )﹣a 2x ． （1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()0f x ≥，求a 的取值范围． 【答案】
得：20,ln()2
x
a
e a x +==-即
即20'()0,()x
e a
f x f x +＜，故＜从而单调递减
,20'()0,()2
x x a
e e a
f x f x +＞-即＞，故＞从而单调递增
()0()ln )ln ,)0()ln )ln ,)22
f x R a f x a a a a
a f x -∞+∞-∞+∞综上，a=0时，在上单调递增
＞时，在（，上单调递减，在[上单调递增
＜时，在（，（-）上单调递减，在[（-）上单调递增
2(2))0()00x i a f x e x R a ==∈∴=当时，＞，满足题意
【难度】较难
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第三章《函数的性质及其应用》中有详细讲解，在寒假特训班、
百日冲刺班中均有涉及。
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,
sin ,
x y θθ=??=?（θ为参数），直线l 的参数方程为
4,
1,x a t t y t =+??
=-?
（为参数）. （1）若a =?1，求C 与l 的交点坐标；
（2）若C 上的点到l 的距离的最大值为17，求a . 【答案】
【难度】中等
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第八章《三角函数》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数f （x ）=–x 2
+ax +4，g （x ）=│x +1│+│x –1│. （1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集；
（2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围. 【答案】
222224|1||1|4220()21+1=0(1)1010220(1)1+00121
x ax x x x x ax x x ax x p x x ax a p a a a
p a a a ++≥++-∈++≥∈≤∈=--=---≥-=--≤≤（）-对[-1，1]恒成立即-对[-1，1]恒成立
即---对[-1，1]恒成立，令-当＜时，由≤，得≤＜当，由≤，得≤＜综上：1
【难度】较难
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第四章《函数的值域、最值求法及应用》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。