§2-3拉普拉斯变换及其应用
时域的函数可以通过线性变换的方法在变换域中表示，变换域的表示有时更为简捷、方便。例如控制理论中常用的拉普拉斯变换，简称拉氏变换，就是其中的一种.
一、拉氏变换的定义
已知时域函数，如果满足相应的收敛条件，可以定义其拉氏变换
为
(2-45)式中，称为原函数，称为象函数，变量为复变量，表示
为
(2-46)因为是复自变量的函数，所以是复变函数。
有时，拉氏变换还经常写为
(2-47)
拉氏变换有其逆运算，称为拉氏反变换，表示为
(2-48)上式为复变函数积
分，积分围线为由到的闭曲线。
二、常用信号的拉氏变换
系统分析中常用的时域信号有脉冲信号、阶跃信号、正弦信号等。现复习一些基本时域信号拉氏变换的求取。
(1)单位脉冲信号
理想单位脉冲信号的数学表达式为
(2-49) 且
(2-50)
所以
(2-51) 说明：单位脉冲函数可以通过极限方法得到。设单个方波脉冲如图2-13所示，脉冲的宽度为，
脉冲的高度为，面积为1。当保持面积不变，方波脉冲的宽度趋于无穷小时，高度趋于无穷大，单个方波脉冲演变成理想的单位脉冲函数。在坐标图上经常将单位脉冲函数表示成单位高度的带有箭头的线段。
由单位脉冲函数的定义可知，其面积积分的上下限是从到的。因
此在求它的拉氏变换时，拉氏变换的积分下限也必须是。由此，特别指明拉氏变换定义式中的积分下限是,是有实际意义的。所以，关于拉氏变换的积分
下限根据应用的实际情况有，，三种情况。为不丢掉信号中位于处可能存在的脉冲函数，积分下限应该为。
(2)单位阶跃信号
单位阶跃信号的数学表示为
(2-52)
又经常写为 (2-53)
由拉氏变换的定义式，求得拉氏变换为
(2-54)
因为
阶跃信号的导数在处有脉冲函数存在，所以单位阶跃信号的拉氏变换，其
积分下限规定为。
(3)单位斜坡信号
单位斜坡信号的数学表示为
(2-55)
图2-15单位斜坡信号
另外，为了表示信号的起始时刻，有时也经常写
为 ( 2-56) 为了得到单位斜坡信号的拉氏变换，利用分部积分公式
得
(2-57)
(4)指数信号
指数信号的数学表示为
(2-58) 拉氏变换
为 (2-59)
(5)正弦、余弦信号
正弦、余弦信号的拉氏变换可以利用指数信号的拉氏变换求得。由指数函数的拉氏变换，可以直接写出复指数函数的拉氏变换
为
(2-60)
因为
(2-61) 由欧拉公式
(2-62) 有
(2-63)
分别取复指数函数的实部变换与虚部变换，则有：正弦信号的拉氏变换为
(2-64) 同时，余弦信号的拉氏变换为
(2-65)
常见时间信号的拉氏变换可以参见表2-1。
表2-1常见函数的拉普拉斯变换表
三、拉氏变换的一些基本定理
(1)线性定理
若函数的拉氏变换分别为，则
(2-66)
(2)延迟定理
若函数的拉氏变换为，则
(2-67)
信号与它在时间轴上的平移信号的关系见图2-18所示。该
定理说明了时间域的平移变换在复数域有相对应的衰减变换。应用延迟定理，可以简化一些信号的拉氏变换的求取。
例2-9周期锯齿波信号如图2-18所示，试求该信号的拉氏变换。
解：该信号为周期信号。因此，已知信号第一周期的拉氏变换为时，应用拉氏变换的延迟定理，得到周期信号的拉氏变换为
锯齿波信号第一周期的拉氏变换为
所以，锯齿波信号的拉氏变换为
(3)衰减定理
若函数的拉氏变换为，则
(2-68) 该定理说明了时
间信号在时间域的指数衰减，其拉氏变换在变换域就成为坐标平移。当时间
函数带有指数项因子时，利用拉氏变换的衰减定理，可以简化其拉氏变换的求取计算。
例2-10试求时间函数的拉氏变换。
解：因为正弦函数的拉氏变换为
所以，应用拉氏变换的衰减定理可以直接写出
另外，衰减定理与延迟定理也表明了时间域与变换域的对偶关系。
(4)微分定理
若函数的拉氏变换为，且的各阶导数存在，则各阶导数的拉氏变换为
(2-69)
(2-70)
…………
(2-71)
当所有的初值(各阶导数的初值)均为零时，即
则
(2-72)
(2-73)
…………
(2-74)
证明：(在此只证明一阶导数的拉氏变换，其余请读者自证)
由拉氏变换的定义式
利用分部积分公式
令
则
所以
证毕。
(5)积分定理
若函数的拉氏变换为，则
(2-75)
定理的证明同样采用分部积分公式可以证得，请读者自证。式中
为函数的在时刻的积分值。积分定理与微分定理互为逆定理。
(6)初值定理
若函数的拉氏变换为，且在处有初值，则
(2-76)
即时域函数的初值，可以由变换域求得。
证明由微分定理令即可证得。
注意，拉氏变换的初值定理是满足拉氏变换的定义的，因此由初值定理所求得的时间信号的初值为，而不是或者。例如阶跃信号，可以利用拉氏变换的初值定理求得其初值为
(7)终值定理
若函数的拉氏变换为，且存在，则
(2-77)
即时域函数的终值，也可以由变换域求得。
证明：由微分定理
两边对取极限
因为，所以方程左边
方程右边
所以
证毕。
(8)卷积定理
若时域函数分别有拉氏变换，时域函数的卷积分为
(2-7 8)
又常表示为
(2-79) 则其拉氏变换为
(2-80)
这表明时域函数卷积分在变换域成为变换域函数的乘积。证明可参考其他教材。
时域函数在变换域中表示有两个优点。一个优点是简化了函数，例如指数函数和正、余弦函数都是时域中的超越函数，在变换域中成为有理函数表示；另一个优点是简化了运算，如时域函数的卷积分在变换域中成为变换域函数的乘积。
常用的拉氏变换基本定理可以参见表2-2。
表2-2 拉普拉斯变换的基本性质表
四、拉普拉斯反变换
拉普拉斯变换将时域函数变换为复变函数，相应地它的逆运算
可以将复变函数变换回原时域函数。拉氏变换的逆运算称为拉普拉斯反变换，简称拉氏反变换。由复变函数积分理论，拉氏反变换的计算公式为
(2-81)
上式的拉氏反变换，由于是复变函数的积分，计算复杂，一般很少采用。所以已知反求时，通常采用的方法是部分分式法。
由于工程中常见的时间信号，它的拉氏变换都是s的有理分式。因
此，可以将分解为一系列的有理分式之和，再利用拉氏变换表确定出
所有的有理分式项所对应的时域函数，合成时域函数。上述过程遵循的是拉氏变换的线性定理。
拉氏变换通常为s的有理分式，可以表为
(2-82)
式中，是分子多项式，是分母多项式，系数和
均为实数，，为正整数，而且。
在复变函数理论中，分母多项式所对应的方程，其所有的解
称为的极点。这样可以表示为
(2-83)
由复变函数的留数定理，可以确定的各分式，求得拉氏反变换为
(2-84)
下面分别讨论各种计算情况。
1．全部为单根
可以分解为
(2-85)
其中
(2-86)
为复变函数对于极点的留数。则拉氏反变换为
(2 -87)
例2-11 已知：，求拉氏反变换。
解：将分解为部分分式
极点为：，则对应极点的留数为
则分解式为
查拉氏变换表可得
2．有重根
只考虑一个单根情况，设为单根，为重根，，则可以展开为
(2-88)
式中，与单根相对应的系数的求法与前述相同。与重根相对应的各系数
，，由留数定理可得计算公式如下：
(2-89)
…………
(2-90)
因为
所以，拉氏反变换为
(2-91)
例2-12求的拉氏反变换。
解：可以分解为
系数C1，C2，分别对应单根，，由前述单根情况计算为
系数分别对应二重根s3=-1
于是，的分解式为
查表求得拉氏反变换为
3．A(s)=0有共轭复数根
时域函数有共轭复数根时，可以将其作为单根(互不相同)来看待。但是在分解时，涉及到复数运算，计算繁琐。拉氏变换中有如下的变换对：
上述变换对的分母都是共轭复数形式的二次三项式，相对应的反变换均为正余弦型。所以，除了可以按照单根情况计算外，还可以按照下述例题的计算步骤进行计算。
例2-13已知，试求其拉氏反变换。
解：因为分子多项式的次数与分母多项式的次数相等，必然存在常数项，而常数项的拉氏反变换为脉冲函数，所以有：
第一步，将分子多项式除以分母多项式，分离常数项为
第二步，将余式的二次三项式按照上述拉氏变换表整理为
第三步，写出拉氏反变换。
因为
所以
五、拉氏变换法求解微分方程
列出控制系统的微分方程之后，就可以求解该微分方程，利用微分方程的解来分析系统的运动规律。微分方程的求解方法，可以采用数学分析的方法来求解，也可以采用拉氏变换法来求解。采用拉氏变换法求解微分方程是带初值进行运算的，许多情况下应用更为方便。拉氏变换法求解微分方程步骤如下：
(1)方程两边作拉氏变换。
(2)将给定的初始条件与输入信号代入方程。
(3)写出输出量的拉氏变换。
(4)作拉氏反变换求出系统输出的时间解。
例2-14 滤波电路如图2-19所示，输入电压信号，电容的初始电压分别为0V和1V时，分别求时域解。
解：RC电路的微分方程为
方程两边作拉氏变换
由拉氏变换的线性定理得
由拉氏变换的微分定理得
将系统参数值
带入整理得
输出的拉氏变换为
（1）时，
（2）时，
题目: 变换法在求解常微分方程中的应用姓名: 学院: 数学与统计学院 专业: 数学与应用数学 年级班级: 2011级1班 指导教师: 刘伟 2015年 5 月 31 日
毕业论文（设计）作者声明 本人郑重声明:所呈交的毕业论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外,本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。 本人完全了解有关保障、使用毕业论文的规定,同意学校保留并向有关毕业论文管理机构送交论文的复印件和电子版。同意省级优秀毕业论文评选机构将本毕业论文通过影印、缩印、扫描等方式进行保存、摘编或汇编；同意本论文被编入有关数据库进行检索和查阅。 本毕业论文内容不涉及国家机密。 论文题目:变换法在求解常微分方程中的应用 作者单位:数学与统计学院 作者签名: 2015 年5 月31 日
目录 摘要 (1) 引言 (2) 1．在一阶方程中的应用 (3) 1.1变量分离方程 (3) 1.2齐次与可以经过变量代换化为齐次的常微分方程： (3) 1.3一阶线性方程 (7) 1.4几种特殊类型的一阶常微分方程 (8) 1.5伯努利方程 (9) 1.6黎卡提方程 (10) 2．在n阶微分方程中的应用 (10) 2.1 在n阶非齐次线性微分方程 (10) 2.2 非齐次线性微分方程 (12) 3．变系数齐次方程 (13) 3.1尤拉方程 (13) 3.2二阶变系数线性方程 (13) 3.3三阶变系数微分方程 (14) 结束语 (14) 参考文献 (16) 致谢 (17)
变换法在求解常微分方程中的应用 摘要:变换法是常微分方程中的一种计算方法. 它可以起到简化问题的作用，变量变换思想也是一种常微分方程中的重要思想. 应用原始变量的变换与新的变量代换, 使原始方程的类型相对简单的解决方案，从而达到解决的目的. 在常微分方程中, 变换法在许多类型的常微分方程的求解中起到及其重要的作用. 本文就应用变换法在求解几类微分方程进行探究, 通过陈述理论与联系实例结合阐述变量变换法以及变量变换思想在求解常微分方程的应用. 关键词：常微分方程；变量分离；变换法； Application of transform method in solving the differential equation Abstract: Transform method is a calculation method of ordinary differential equation. It can play a role to simplify the problem, the idea of variable transformation is an important thought in ordinary differential equation. The application of the original variable transform and the new type of variable substitution, the original equation solution is relatively simple, so as to achieve the purpose of solving. In the differential equation, variable substitution plays its important role in the ordinary solution differential equations in many types of. This paper explores the solutions for several classes of differential equations on the application of variable substitution, through the statement of theory and examples combined with variable transformation method and the application of variable transformation thought in the solution of ordinary differential equations. Key Words: Ordinary differential equation;Separable variable;Transform method
时域的函数可以通过线性变换的方法在变换域中表示，变换域的表示有时更为简捷、方便。例如控制理论中常用的拉普拉斯变换，简称拉氏变换，就是其中的一种。 一、拉氏变换的定义 已知时域函数，如果满足相应的收敛条件，可以定义其拉氏变换为 (2-45) 式中，称为原函数，称为象函数，变量为复变量，表示为 (2-46) 因为是复自变量的函数，所以是复变函数。 有时，拉氏变换还经常写为 (2-47) 拉氏变换有其逆运算，称为拉氏反变换，表示为 (2-48)
上式为复变函数积分，积分围线为由到的闭曲线。 二、常用信号的拉氏变换 系统分析中常用的时域信号有脉冲信号、阶跃信号、正弦信号等。现复习一些基本时域信号拉氏变换的求取。 (1)单位脉冲信号 理想单位脉冲信号的数学表达式为 (2-49) 且 (2-50) 所以 (2-51) 说明： 单位脉冲函数可以通过极限方法得到。设单个方波脉冲如图2-13所示，脉冲的宽度为，脉冲的高度为，面积为1。当保持面积不变，方波脉冲的宽度趋
于无穷小时，高度趋于无穷大，单个方波脉冲演变成理想的单位脉冲函数。在坐标图上经常将单位脉冲函数 表示成单位高度的带有箭头的线段。 由单位脉冲函数的定义可知，其面积积分的上下限是从到的。因此在求它的拉氏变换时，拉氏变换的积分下限也必须是。由此，特别指明拉氏变换定义式中的积分下限是,是有实际意义的。所以，关于拉氏变换的积分下限根据应用的实际情况有，，三种情况。为不丢掉信号中位于处可能存在的脉冲函数，积分下限应该为。 (2)单位阶跃信号 单位阶跃信号的数学表示为 (2-52) 又经常写为 (2-53)
由拉氏变换的定义式，求得拉氏变换为 (2-54) 因为 阶跃信号的导数在处有脉冲函数存在，所以单位阶跃信号的拉氏变换，其积分下限规定为。 (3)单位斜坡信号 单位斜坡信号的数学表示为 (2-55) 图2-15单位斜坡信号
§2-3拉普拉斯变换及其应用 时域的函数可以通过线性变换的方法在变换域中表示，变换域的表示有时更为简捷、方便。例如控制理论中常用的拉普拉斯变换，简称拉氏变换，就是其中的一种. 一、拉氏变换的定义 已知时域函数，如果满足相应的收敛条件，可以定义其拉氏变换 为 (2-45)式中，称为原函数，称为象函数，变量为复变量，表示 为 (2-46)因为是复自变量的函数，所以是复变函数。 有时，拉氏变换还经常写为 (2-47) 拉氏变换有其逆运算，称为拉氏反变换，表示为 (2-48)上式为复变函数积 分，积分围线为由到的闭曲线。 二、常用信号的拉氏变换 系统分析中常用的时域信号有脉冲信号、阶跃信号、正弦信号等。现复习一些基本时域信号拉氏变换的求取。 (1)单位脉冲信号 理想单位脉冲信号的数学表达式为
(2-49) 且 (2-50) 所以 (2-51) 说明：单位脉冲函数可以通过极限方法得到。设单个方波脉冲如图2-13所示，脉冲的宽度为， 脉冲的高度为，面积为1。当保持面积不变，方波脉冲的宽度趋于无穷小时，高度趋于无穷大，单个方波脉冲演变成理想的单位脉冲函数。在坐标图上经常将单位脉冲函数表示成单位高度的带有箭头的线段。 由单位脉冲函数的定义可知，其面积积分的上下限是从到的。因 此在求它的拉氏变换时，拉氏变换的积分下限也必须是。由此，特别指明拉氏变换定义式中的积分下限是,是有实际意义的。所以，关于拉氏变换的积分 下限根据应用的实际情况有，，三种情况。为不丢掉信号中位于处可能存在的脉冲函数，积分下限应该为。
(2)单位阶跃信号 单位阶跃信号的数学表示为 (2-52) 又经常写为 (2-53) 由拉氏变换的定义式，求得拉氏变换为 (2-54) 因为 阶跃信号的导数在处有脉冲函数存在，所以单位阶跃信号的拉氏变换，其 积分下限规定为。 (3)单位斜坡信号 单位斜坡信号的数学表示为 (2-55) 图2-15单位斜坡信号
2–5 用拉普拉斯变换方法解微分方程 拉普拉斯变换方法是解线性微分方程的一种简便方法，利用拉普拉斯变换法可以把微分方程变换成为代数方程，在利用现成的拉普拉斯变换表（参见附录一的附表1），即可方便地查得相应的微分方程解。这样就使方程求解问题大为简化。 拉普拉斯变换法的另一个优点是在求解微分方程时，可同时获得的瞬态分量和稳态分量两部分。 有关拉普拉斯变换（简称拉氏变换）的公式见附录一。 应用拉氏变换法得到的解是线性微分方程的全解。用古典方法求解微分方程全解时需要利用初始条件来确定积分常数的值，这一过程比较麻烦。而应用拉氏变换就可省去这一步。因为初始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式之中了。而且，如果所有初始条件都为零，那么求取微分方程的拉氏变换式就更为方便，只要简单地用复变量s 来代替微分方程中的 dt d ，2 s 代替 2 2dt d ，…就可得到。 应用拉氏变换法解微分方程的步骤如下： （1）对线性微分方程中每一项进行拉氏变换，使微分方程变为复变量s 的代数方程（称为变换方程） （2）求解变换方程，得出系统输出变量的象函数表达式。 （3）将输出的象函数表达式展开成部分分式（部分分式展开法参见附录二）。 （4）对部分分式进行拉氏反变换（可查拉氏变换表），即得微分方程的全解。 举例说明 【例2-7】 设RC 网络如图2-24所示，在开关K 闭合之前，电容C 上有初始电压 )0(c u 。试求将开关瞬时闭合后，电容的端电压c u （网络输出）。 解 开关K 瞬时闭合，相当于网络有阶跃电压0)(u t u c =·)(1t 输入。故网络微分方程为 ?? ? ??=+=?idt C u u Ri u c c r 1 消去中间变量i ，得网络微分方程为 )(t u u dt du RC r c c =+ （2-44） 对上式进行拉氏变换，得变换方程 )()()0()(s U s U RCu s RCsU r c c c =+- 将输入阶跃电压的拉氏变换式s u s U r 0)(= 代入上式，并整理得电容端电压的拉氏变换式
附录A 拉普拉斯变换及反变换 419
420
421 3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1110 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++= =---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= )() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111 111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；
拉普拉斯变换是解常系数线性微分方程中经常采用的一种较简便的方法.其基本思想是,先通过拉普拉斯变换将已知方程化成代数方程,求出代数方程的解,再通过逆拉普拉斯变换,得到所求数值问题的解. 一拉普拉斯变换的概念 定义设函数f(t)的定义域为[0,+∞),若广义积分∫0+∞f(t)e-pt dt对于p在某一范围内的值收敛,则此积分就确定了一个参数为p的函数,记作F(p),即F(p)=∫0+∞f(t)e-pt dt函数F(p)称为f(t)的拉普拉斯变换(或称为f(t)的象函数),表示为F(p)=L[f(t)]. 若F(p)是f(t)的拉氏变换,则称f(t)为F(p)的拉氏逆变换(或F(p)的象原函数),记作L-1[F(p)]. 例1 求指数函数f(t)=e at(t≥0,a是常数)的拉氏变换. 解根据定义,有L[e at]=∫0+∞e at e-pt dt=∫0+∞e-(p-a)t dt 这个积分在p＞a时收敛,所以有 L[e at]=∫0+∞e-(p-a)t dt=1/(p-a) (p＞a) (1) 例2 求一次函数f(t)=at(t≥0,a是常数)的拉氏变换. 解L[at]=∫0+∞ate-pt dt=-a/p∫0+∞td(e-pt) =-[at/p e-pt]0+∞+a/p∫0+∞e-pt dt 根据罗必达法则,有 lim t0+∞(-at/p e-pt)=-lim t0+∞at/pe pt=-lim t0+∞a/p2 e pt 上述极限当p＞0时收敛于0,所以有lim t0+∞(-at/pe-pt)=0 因此L[at]=a/p∫0+∞e-pt dt
=-[a/p2e-pt]0+∞=a/p2(p＞0) (2) 例3 求正弦函数f(t)=sinωt(t≥0)的拉氏变换. 解L[sinωt]=∫0+∞sinωte-pt dt =[-1/(p2+ω2) e-pt(psinωt+ωcosωt]0+∞ =ω/(p2+ω2) (p＞0) (3) 用同样的方法可求得 L[cosωt]=p/(p2+ω2) (p＞0) (4) 二拉普拉斯变换的基本性质 三拉普拉斯变换的逆变换 四拉普拉斯变换的应用 2–5 用拉普拉斯变换方法解微分方程 拉普拉斯变换方法是解线性微分方程的一种简便方法，利用拉普拉斯变换法可以把微分方程变换成为代数方程，在利用现成的拉普拉斯变换表（参见附录一的附表1），即可方便地查得相应的微分方程解。这样就使方程求解问题大为简化。 拉普拉斯变换法的另一个优点是在求解微分方程时，可同时获得的瞬态分量和稳态分量两部分。 有关拉普拉斯变换（简称拉氏变换）的公式见附录一。 应用拉氏变换法得到的解是线性微分方程的全解。用古典方法求解微分方程全解时需要利用初始条件来确定积分常数的值，这一过程比较麻烦。而应用拉氏变换就可省去这一步。因为初始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式之中了。而且，如果所有初始条件都为零，那么求
拉普拉斯变换及其反变换表
用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1 1 n 1 n n n 1 1 m 1 m m m a s a s a s a b s b s b s b )s (A )s (B )s (F ++++++++= =----ΛΛ （m n >） 式中系数n 1 n 1 a ,a ,...,a ,a -，m 1 m 1 b ,b ,b ,b -Λ都是实常数；n m ,是正整数。按 代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑ =-=-++-++-+-=n 1 i i i n n i i 2 2 1 1 s s c s s c s s c s s c s s c )s (F ΛΛ 式中，Sn 2S 1S ，，，Λ是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )s (F )s s (lim c i s s i i -=→ 或 i s s i ) s (A ) s (B c ='= 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []t s n 1 i i n 1i i i 11i e c s s c L )s (F L )t (f -==--∑∑=??????-== 0)(=s A 有重根
设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) s s ()s s ()s s () s (B s F n 1 r r 1 ---= +Λ = n n i i 1 r 1 r 1 1 1 r 1 1 r r 1 r s s c s s c s s c )s s (c )s s (c )s s (c -+ +-++-+-++-+-++--ΛΛΛ 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根； 其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算： )s (F )s s (lim c r 1 s s r 1 -=→ )]s (F )s s ([ds d lim c r 1 s s 1 r 1 -=→- M )s (F )s s (ds d lim !j 1c r 1 ) j () j (s s j r 1 -=→- )s (F )s s (ds d lim )!1r (1c r 1 ) 1r () 1r (s s 1 1 --=--→ 原函数)(t f 为 [])()(1s F L t f -= ?? ? ???-+ +-++-+-++-+-=++---n n i i 1 r 1 r 1 1 1 r 1 1 r r 1 r 1 s s c s s c s s c )s s (c ) s s (c )s s (c L ΛΛΛ t s n 1 r i i t s 1 2 2 r 1 r 1 r r 1e c e c t c t )!2r (c t )!1r (c ∑+=---+?? ? ???+++-+-=Λ （F-6）
變換解微分方程 題過程: 分方程 題 02///=--y y y …..(*) 0)0(,1)0(/==y y 式等號兩邊做拉普拉斯變換 L {=--}2///y y y L }0{ 性性質，得 L {}//y - L {}/y -2 L {0}=y 2L {)}(t y -s y sy --)0()0(/L 2)0()}({-+f t y L 0)}({=t y 始條件，得L )}({t y 之代數方程 2s L )}({t y s -L 2)}({-t y L 1)}({-=s t y --------- (a) 數方程(a)，得 簡 單 L 1-L ODE L {})()(s t y 之代數方程或低階ODE )(t y L {})()(s t y
L )}({t y 21 2---=s s s 上式兩邊做反拉普拉斯變換，得 =) L -1 {L {)(t y }}= L -1 ??????---212s s s ??? ??++??? ??-11322131s s 及L {} at e = a s -1 ， 解為 =)t 31 L -1 ??????-21s + 32 L -1 ??????+11s 31= +t e 2 32 t e - 題t y y 2sin //=+ , …..(**) 1)0(,2)0(/==y y *)式等號兩邊做拉普拉斯變換 L {} =+y y // L {}t 2sin 換的微分性質以及L 22}{sin a s a at += ，得 L {}y +--)0()0(/y sy L 42 }{2+=s y 入初始條件，得L )}({t y 之代數方程 )1+L {}y 42122+=--s s --------- (b) 代數方程(b)，得 {}y ??? ??+-??? ??+++=+++++=4132113512)4)(1(6822222223s s s s s s s s s 在上式兩邊做反拉普拉斯變換，得初始值問題的解為 t t t 2sin 31sin 35cos 2-+ (由 L 22}{sin a s a at += ，L 22}{cos a s s at += )
第7章 常微分方程与拉普拉斯变换 7.1.1(单项选择) 微分方程x y y y sin 2='+''是 （ ） A ．一阶线性方程 B ．一阶非线性方程 C ．二阶线性方程 D ．二阶非线性方程； (难度:A;水平:a ) 7.1.2(单项选择) 微分方程0=''y 的通解是 （ ） A ．C y = B ．Cx y = C ．x C x C y 21+= D ．21C x C y +=； (难度:B;水平:a ) 7.1.3(单项选择) 微分方程x y sin -=''的通解为 （ ） A ．x y sin = B ．21sin C x C y += C ．21cos C x C x y ++= D ．21sin C x C x y ++= (难度:C;水平:c ) 7.2.1(填空) 用拉氏变换法解常系数线性齐次微分方程得出的解为 。（填“通解” 或“特解”） (难度:A;水平:a ) 7.2.2(填空) 若L[f （t ）]=F （P ），则L[f ’（t ）]= ， L[f ’’（t ）]= 。 (难度:A;水平:a) 7.2.3(填空) L -1[4/（P 2+4P+20）]= 。 (难度:C;水平:c) 7.2.4(填空) 线性方程组有解的充要条件是 。解的个数的结论是： 如果 ，则方程组有惟一解。如果 ，则方程 组有无穷多个解。如果 ，则方程组无解。 (难度:B;水平:b ) 7.2.5(填空) 微分方程n my y =+'（其中n m ,为常数，且0≠m ），则满足条件()00=y 的 特解为 。 (难度:B;水平:b ) 7.2.6(填空) 微分方程 满足条件的通解 为 . (难度:C;水平:c ) 7.3.1(判断) 方程的阶数即未知函数导数的最高阶数.( ) (难度:A;水平:a) 7.3.2(判断) x y =，则1='y ，0=''y ，于是1='+''y y ，所以x y =是方程的解.（ ） (难度:B;水平:b ) 7.4.1(计算) 求的通解. (难度:A;水平:a )
例1求指数函数f(t)=e at(t > 0,a是常数)的拉氏变换. 解根据定义，有L[e at]= j o+ e at e-pt dt= e-(p-a)t dt 这个积分在p> a时收敛,所以有 L[e at]= / T e(p-a)t dt=1/(p-a) (p > a) (1) 例2求一次函数f(t)=at(t > 0,a是常数)的拉氏变换. 解L[at]= / o+ra ate-pt dt=- a/p / o+"td(e -pt) =-[at/p e -pt ] o+ra+a/p / T e-pt dt 根据罗必达法则, 有 lim to+ °°(-at/p e )=-lim to+ °° at/pe =-lim to+ a/p e 上述极限当p> 0时收敛于0,所以有lim to+ - (-at/pe -pt )=0 因此L[at]=a/p / o+ra e-pt dt 2 -pt +m 2 =-[a/p e p ]o =a/p (p > (2) 0) 例3求正弦函数f(t)=sin 3 t(t > 0)的拉氏变换解L[sin 31]= / 0+ra sin 3 te -pt dt 2 2 -pt +m =[-1/(p +3 ) e (psin 3 t+ 3 cos3 t] 0
2 2 2 =3 /(P +3 ) (p > 0） ⑶ 用同样的方法可求得 2 2 L[cos 3t]=p/(p +3 ) (p > 0) 二拉普拉斯变换的基本性质 三拉普拉斯变换的逆变换 四 拉普拉斯变换的应用 2-5 用拉普拉斯变换方法解微分方程 拉普拉斯变换方法是解线性微分方程的一种简便方法，利用拉普拉斯变换法可以把微分方 程变换成为代数方程，在利用现成的拉普拉斯变换表（参见附录一的附表1）,即可方便地查 得相应的微分方程解。这样就使方程求解问题大为简化。 拉普拉斯变换法的另一个优点是在求解微分方程时，可同时获得的瞬态分量和稳态分量两 部分。 有关拉普拉斯变换（简称拉氏变换）的公式见附录一。 应用拉氏变换法得到的解是线性微分方程的全解。用古典方法求解微分方程全解时需要利 用初始条件来确定积分常数的值，这一过程比较麻烦。而应用拉氏变换就可省去这一步。因为初 始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式之中了。 而且，如果所有初始条件都为零，那么求 取微分方程的拉氏变换式就更为方便， 只要简单地用复变量s 来代替微分方程中的 —,s 2 代替 dt dt 应用拉氏变换法解微分方程的步骤如下: d 2 …就可得到。
拉普拉斯拉斯变换可用于求解常系数线性微分方程，是研究线性系统的一种有效而重要的工具。 拉普拉斯拉斯变换是一种积分变换，它把时域中的常系数线性微分方程变换为复频域中的常系数线性代数方程。因此，进行计算比较简单，这正是拉普拉斯拉斯变换（简称：拉氏变换）法的优点所在。 拉普拉斯拉斯变换的定义 一个定义在区间的函数,其拉氏变换定义为 L[f(t)]=F(s)= 式中：s=б+jω为复数，有时称变量S为复频域。 应用拉普拉斯拉斯变换进行电路分析有称为电路的复频域分析，有时称为运算法 F(s)又称为f(t)的象函数，而f(t)称为F(s)的原函数。通常用“L[ ]”表示对方括号内的函数作拉氏变换。 拉普拉斯变换的基本性质 本节将介绍拉氏变换的一些基本性质，利用这些基本性质，可以很容易的求得一些较复杂的原函数的象函数，同时，这些基本性质对于分析线性非时变网络也是非常必要的。 一、唯一性 定义在区间的时间函数与其拉氏变换存在一 一对应关系。根据可以唯一的确定其拉氏变换；反之， 根据，可以唯一的确定时间函数。 唯一性是拉氏变换非常重要的性质，正是这个性质，才是我们有可能将时域中的问题变换为复频域中的问题进行求解，并使在复频域中求得的结果有可能再返回到时域中去。唯一性的证明从略。 二、线性性质 若和是两个任意的时间函数，其拉氏变换分别为 和，和是两个任意常数，则有
证根据拉氏变换的定义可 根据拉氏变换的定义可得 例求的拉氏变换。 解 三、时域导数性质（微分性质） 例应用时域导数性质求的象函数。
四、时域积分性质（积分规则） 例：求单位斜坡函数及的象函数。
五、时域平移性质（延迟性质） 作业：书后习题1、2、3、4。 课后记事： 注意板书层次，因为内容很多，不要太乱。 常用时间函数的象函数一览表，见教材221页。 8-2、8-3拉普拉斯反变换和运算电路图（4学时）（教材第221页） 教学目的：具有单根、复根、重根三种情况下用部分分式及分解定理求待定系数法，运算电路图的画法。 教学重点：具有单根、复根时求待定系数法，熟练掌握反变换的求法，熟练掌握运算电路图的画法。 教学难点：部分公式及分解定理求待定系数法，各种运算电路图的画法，注意电压、电流的方向。 教学方法：1、板书讲述具有单根情况下如何求反变换。2、具有复根情况下如何求反变换。3、具有重根情况下如何求反变换。4、
目录 拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用 物理系0801班学生岳艳林 指导老师韩新华 摘要：拉普拉斯变换在求解微分方程中有非常重要的作用，本文首先介绍拉普拉斯变换的定义及性质； 其次给出拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤；然后重点举例拉普拉斯变换在求解常微分方程（初值问题与边 函数的常微分方程、常微分方程组、拉普拉斯变换在求解微分方程值问题、常系数与变系数常微分方程、含 特解中的应用、拉普拉斯变换在求解高阶微分方程的推广）与典型偏微分方程（齐次与非齐次偏微分方程、有界 与无界问题）中的应用举例；最后综合比较、归纳总结拉普拉斯变换在求解微分方程中的优势以及局限性。 关键词：拉普拉斯变换；拉普拉斯逆变换；常微分方程；偏微分方程；特解
引言 傅里叶变换和拉普拉斯变换是常用的积分变换，但对函数进行傅里叶变换时必须满足狄里希利和在+∞<<∞-t 内绝对可积，但是在物理、无线电技术等实际应用中，许多以时间t 为自变量的函数通常在0t <时不需要考虑或者没有意义，像这样的函数不能取傅里叶变换。为避免上述两个缺点，将函数进行适当改造，便产生了拉普拉斯变换[1]。 1 拉普拉斯变换以及性质 拉普拉斯变换的定义 设函数()f t 当0t ≥时有定义，而且积分 ()st f t e dt +∞ -? (s 是一个复参量)在s 的某一区域内收 敛，则此积分所确定的函数可写为0 ()()st F s f t e dt +∞ -= ? .我们称上式为函数()f t 的Laplace 变换 式.记为()[()]F s L f t =,()F s 称为()f t 的Laplace 变换（或称为象函数）. 若()F s 是()f t 的Laplace 变换，则称()f t 为()F s 的Laplace 逆变换（或称为象原函数），记为1()[()]f t L F s -=[2]. Laplace 变换的存在定理 若函数()f t 满足下列条件: 1?在0t ≥的任一有限区间上分段连续； 2?当t →+∞时，()f t 的增长速度不超过某一指数函数，亦即存在常数0M >及0c ≥，使得c ()0f t Me t ≤≤<+∞ｔ，成立（满足此条件的函数，称它的增大是不超过指数级的，c 为它的增长指数）. 则()f t 的Laplace 变换0 ()st F f t e dt +∞ -?（s ）=在半平面Re()s c >上一定存在，右端的积分在1Re()s c c ≥>的半平面内,()F s 为解析函数[2]. 拉普拉斯变换的性质 ⑴线性性质 若αβ，是常数，11[()]()L f t F s =, 22[()]()L f t F s =, 则有1212[()()][(t)]+[()]L f t f t L f L f t αβαβ+=, 1111212[()()][(s)]+[()]L F s F s L F L F s αβαβ---+=. ⑵微分性质 若[()]()L f t F s =,则有'[()]()(0)L f t sF s f =-. 高阶推广 若[()]()L f t F s =,则有2'[()]()(0)(0)L f t s F s sf f ''=--.
拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析 基本要求 通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。 知识要点 1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 （1） 定义 单边拉普拉斯变换： 正变换0[()]()()st f t F s f t dt e ζ∞ -- ==? 逆变换 1 [()]()()2j st j F s f t F s ds j e σσζπ+∞ -∞ ==? 双边拉普拉斯变换： 正变换 ()()st B s f t dt e F ∞ --∞ =? 逆变换1 ()()2j st B j f t s ds j e F σσπ+∞ -∞ = ? （2） 定义域 若0σσ>时，lim () 0t t f t e σ-→∞ =则()t f t e σ-在0σσ>的全部范围内收敛，积分 0()st f t dt e +∞ -- ? 存在，即()f t 的拉普拉斯变换存在。0σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换 的收敛域。0σ与函数()f t 的性质有关。 2. 拉普拉斯变换的性质 （1） 线性性 若 11[()]() f t F S ζ=, 22[()]() f t F S ζ=, 1 κ, 2 κ为常数时，则 11221122[()()]()()f t f t F s F s ζκκκκ+=+ （2） 原函数微分 若[()]()f t F s ζ=则() [ ]()(0)df t sF s f dt ζ-=- 1 1()0 ()[]()(0)n n n n r r n r d f t s F s s f dt ζ----==-∑ 式中() (0)r f -是r 阶导数() r r d f t dt 在0-时刻的取值。
创3.5 常微分方程、拉氏变换与级数实验 [学习目标] 1. 会用Mathematica 求解微分方程(组)； 2. 能用Mathematica 求微分方程(组)的数值解； 3. 会利用Mathematica 进行拉氏变换与逆变换； 4. 能进行幕级数和傅里叶级数的展开。 一、常微分方程(组) Mathematica 能求常微分方程(组)的准确解，能求解的类型大致覆盖了人工求解的范围， 功能很强。但不如人灵活(例如在隐函数和隐方程的处理方面)，输出的结果与教材上的答 案可能在形式上不同。另外，Mathematica 求数值解也很方便，且有利于作出解的图形。在本 节中，使用Laplace 变换解常微分方程(组)的例子也是十分成功的，过去敬而远之的方法 如今可以轻而易举的实现了。 求准确解的函数调用格式如下： DSolve[eqn ,y[x] ,x] 求方程 eqn 的通解 y(x )， 其中自变量是X 。 DSolve[{eqn ，y[x o ]= =y 0}，y[x]，x] 的特解y (x )。 DSolve[｛eqn1，eqn2，—｝，｛y 1 [x]，y 2[x]，…｝，x] 求方程组的通解。 DSolve[｛equ1，…，y 1[x 0]= =y 10，…｝，｛y 1[x]，y 2[x]，…｝，x] 求方程组的特解。 说明：应当特别注意，方程及各项参数的表述方式很严格，容易出现输入错误。微分方 程的表示法只有通过例题才能说清楚。 例1 解下列常微分方程(组)： 5 2 (1) y 斗(x 1)2，(2) y - y 3 ， (3) x 1 (x x ) y 解：In[1]: =DSolve[y ' [x]= =2y[x]/ (x+1) + (x+1) A (5/2)， y[x]，x] Out[1] = y[x] i (1 x)7/2 (1 x)2c[1] In[2]: =DSolve[y ' [x]= = (1+y[xF2 ) /((x+xA3 ) y[x])，y[x]，x] 求满足初始条件y ( x o ) = y o (4) 的通解及满足初始条件y (0) =0, z (0) =1的特解。 Out[2]={{ y[x] ｝， {y[x]
419 附录A 拉普拉斯变换及反变换 1.表A-1 拉氏变换的基本性质 1 线性定理 齐次性 [()]()L af t aF s = 叠加性 1212[()()]()()L f t f t F s F s ±=± 2 微分定理 一般形式 = -=][ '- -=-=----=-∑1 1 )1() 1(1 22 2) ()() 0()()(0)0()(])([)0()(]) ([ k k k k n k k n n n n dt t f d t f f s s F s dt t f d L f sf s F s dt t f d L f s sF dt t df L ）（ 初始条件为0时 )(])([s F s dt t f d L n n n = 3 积分定理 一般形式 ∑???????????==+-===+=+ +=+= n k t n n k n n n n t t t dt t f s s s F dt t f L s dt t f s dt t f s s F dt t f L s dt t f s s F dt t f L 10 102 2022 ]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个 共个 共 初始条件为0时 n n n s s F dt t f L ) (]))(([=??个 共 4 延迟定理（或称t 域平移定理） )()](1)([s F e T t T t f L Ts -=-- 5 衰减定理（或称s 域平移定理） )(])([a s F e t f L at +=- 6 终值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t →∞ →= 7 初值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t ∞ →→=
拉普拉斯变换就是解常系数线性微分方程中经常采用的一种较简便的方法、其基本思想就是,先通过拉普拉斯变换将已知方程化成代数方程,求出代数方程的解,再通过逆拉普拉斯变换,得到所求数值问题的解、 一拉普拉斯变换的概念 定义设函数f(t)的定义域为[0,+∞),若广义积分∫0+∞f(t)e-pt dt对于p在某一范围内的值收敛,则此积分就确定了一个参数为p的函数,记作F(p),即F(p)=∫0+∞f(t)e-pt dt函数F(p)称为f(t)的拉普拉斯变换(或称为f(t)的象函数),表示为F(p)=L[f(t)]、 若F(p)就是f(t)的拉氏变换,则称f(t)为F(p)的拉氏逆变换(或F(p)的象原函数),记作L-1[F(p)]、 例1 求指数函数f(t)=e at(t≥0,a就是常数)的拉氏变换、 解根据定义,有L[e at]=∫0+∞e at e-pt dt=∫0+∞e-(p-a)t dt 这个积分在p＞a时收敛,所以有 L[e at]=∫0+∞e-(p-a)t dt=1/(p-a) (p＞a) (1) 例2 求一次函数f(t)=at(t≥0,a就是常数)的拉氏变换、 解L[at]=∫0+∞ate-pt dt=-a/p∫0+∞td(e-pt) =-[at/p e-pt]0+∞+a/p∫0+∞e-pt dt 根据罗必达法则,有 lim t0+∞(-at/p e-pt)=-lim t0+∞at/pe pt=-lim t0+∞a/p2 e pt 上述极限当p＞0时收敛于0,所以有lim t0+∞(-at/pe-pt)=0 因此L[at]=a/p∫0+∞e-pt dt
=-[a/p 2e -pt ]0+∞=a/p 2(p ＞0) (2) 例3 求正弦函数f(t)=sinωt(t≥0)的拉氏变换、 解 L[sinωt]=∫0+∞sinωte -pt dt =[-1/(p 2+ω2) e -pt (psinωt+ωcosωt]0+∞ =ω/(p 2+ω2) (p ＞0) (3) 用同样的方法可求得 L[cosωt]=p/(p 2+ω2) (p ＞0) (4) 二 拉普拉斯变换的基本性质 三 拉普拉斯变换的逆变换 四 拉普拉斯变换的应用 2–5 用拉普拉斯变换方法解微分方程 拉普拉斯变换方法就是解线性微分方程的一种简便方法,利用拉普拉斯变换法可以把微分方程变换成为代数方程,在利用现成的拉普拉斯变换表(参见附录一的附表1),即可方便地查得相应的微分方程解。这样就使方程求解问题大为简化。 拉普拉斯变换法的另一个优点就是在求解微分方程时,可同时获得的瞬态分量与稳态分量两部分。 有关拉普拉斯变换(简称拉氏变换)的公式见附录一。 应用拉氏变换法得到的解就是线性微分方程的全解。用古典方法求解微分方程全解时需要利用初始条件来确定积分常数的值,这一过程比较麻烦。而应用拉氏变换就可省去这一步。因为初始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式之中了。而且,如果所有初始条件都为零,那么求取微分方程的拉氏变换式就更为方便,只要简单地用复变量s 来代替微分方程中的dt d ,2s 代替
目录 引言 (1) 1 拉普拉斯变换以及性质 (1) 1.1拉普拉斯变换的定义 (1) 1.2拉普拉斯变换的性质 (2) 2 用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤 (3) 3 拉普拉斯变换在求解常微分方程中的应用 (4) 3.1初值问题与边值问题 (4) 3.2常系数与变系数常微分方程 (5) 3.3含 函数的常微分方程 (6) 3.4常微分方程组 (7) 3.5拉普拉斯变换在求解非齐次微分方程特解中的应用 (7) 3.6拉普拉斯变换在求解高阶微分方程中的推广 (11) 4 拉普拉斯变换在求解偏微分方程中的应用 (12) 4.1齐次与非齐次偏微分方程 (12) 4.2有界与无界问题 (15) 5 综合比较，归纳总结 (19) 结束语 (20) 参考文献 (20) 英文摘要 (21) 致谢 (21)
拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用 物理系0801班 学 生 岳艳林 指导老师 韩新华 摘 要：拉普拉斯变换在求解微分方程中有非常重要的作用，本文首先介绍拉普拉斯 变换的定义及性质；其次给出拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤；然后重点举例拉普拉斯变换在求解常微分方程（初值问题与边值问题、常系数与变系数常微分方程、含δ函数的常微分方程、常微分方程组、拉普拉斯变换在求解微分方程特解中的应用、拉普拉斯变换在求解高阶微分方程的推广）与典型偏微分方程（齐次与非齐次偏微分方程、有界与无界问题）中的应用举例；最后综合比较、归纳总结拉普拉斯变换在求解微分方程中的优势以及局限性。 关键词：拉普拉斯变换；拉普拉斯逆变换；常微分方程；偏微分方程；特解 引言 傅里叶变换和拉普拉斯变换是常用的积分变换，但对函数进行傅里叶变换时必须满足狄里希利和在+∞<<∞-t 内绝对可积，但是在物理、无线电技术等实际应用中，许多以时间t 为自变量的函数通常在0t <时不需要考虑或者没有意义，像这样的函数不能取傅里叶变换。为避免上述两个缺点，将函数进行适当改造，便产生了拉普拉斯变换[1]。 1 拉普拉斯变换以及性质 1.1 拉普拉斯变换的定义 设函数()f t 当0t ≥时有定义，而且积分 ()st f t e dt +∞ -? (s 是一个复参量)在s 的 某一区域内收敛，则此积分所确定的函数可写为0 ()()st F s f t e dt +∞ -= ? .我们称上式 为函数()f t 的Laplace 变换式.记为()[()]F s L f t =,()F s 称为()f t 的Laplace 变换（或称为象函数）. 若()F s 是()f t 的Laplace 变换，则称()f t 为()F s 的Laplace 逆变换（或称为象原函数），记为1()[()]f t L F s -=[2]. Laplace 变换的存在定理 若函数()f t 满足下列条件: