高斯—勒让德积分公式
摘要：
高斯—勒让德积分公式可以用较少节点数得到高精度的计算结果,是现在现实生活中经常运用到的数值积分法。然而，当积分区间较大时，积分精度并不理想。
T he adva ntage of Gauss-Legendre integral formula is tend to get high-precision calculational result by using fewer Gauss-points, real life is now often applied numerical integration method. But the precision is not good when the length of integral interval is longer.
关键字：
…
积分计算，积分公式，高斯—勒让德积分公式，MATLAB
Keyword:
Integral Calculation , Integral formula ,Gauss-Legendre integral formula, Matlab 引言：
众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。微分实际上是求一函数的导数，而积分是已知一函数的导数，求这一函数。所以，微分与积分互为逆运算。
】
实际上，积分还可以分为两部分。第一种，是单纯的积分，也就是已知导数求原函数，称为不定积分。
相对而言，另一种就是定积分了，之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。
计算定积分的方法很多，而高斯—勒让德公式就是其中之一。
高斯积分法是精度最高的插值型数值积分，具有2n+1阶精度，并且高斯积分总是稳定。而高斯求积系数，可以由Lagrange多项式插值系数进行积分得到。
高斯—勒让德求积公式是构造高精度差值积分的最好方法之一。他是通过让节点和积分系数待定让函数f(x)以此取i=0,1,2....n次多项式使其尽可能多的能够精确成立来求出积分节点和积分系数。高斯积分的代数精度是2n-1，而且是最
高的。通常运用的是（-1，1）的积分节点和积分系数，其他积分域是通过变换x=(b-a)t/2 +(a+b)/2 变换到-1到1之间积分。
1.现有的方法和理论
高斯勒让德求积公式
在高斯求积公式(4.5.1)中，若取权函数，区间为，则得公式{
我们知道勒让
德多项式是区间上的正交
多项式，因此，勒让德多项式的零点就是求积公式(上式)的高斯点．形如(上式)的高斯公式特别地称为高斯－勒让德求积公式．
若取的零点做节点构造求积公式
令它对准确成立，即可定出．这样构造出的一点高斯－勒让
德求积公式是中矩形公式．再取的两个零点构造求积公式
令它对都准确成立，有
—
．
由此解出，从而得到两点高斯－勒让德求积公式
．
三点高斯－勒让德求积公式的形式是
．如表列出高斯－勒让德求积公式的节点和系数．
…
1
2
~
3
4
(
公式(4.5.9)的余项由得
，
这里是最高项系数为１的勒让德多项式，由(3.2.6)及得
．
当时，有
．
它比辛普森公式余项还小，且比辛普森公式少算一个函数值．当积分区间不是[－１，１]，而是一般的区间时，只要做变换
:
可将化为［－１，１］，这时
．
对等式右端的积分即可使用高斯－勒让德求积公式．
复化Gauss-Legendre求积公式
将被积区间m等分, 记, 作变换
在每个小区间上应用Gauss-Legendre公式, 累加即得复化Gauss-Legendre求积公式
>
不妨设
则有:
Gauss点个数时,
Gauss点个数时,
总结复化Gauss-Legendre求积过程如下:
1. 分割区间, 记录区间端点值；
2. 通过查表或求解非线性方程组, 在所有小区间上, 将Gauss系数和Gauss点
的值代入变量替换后的公式；
3. 将所有区间的结果累加, 即得到整个区间上的积分近似值.
）
针对Gauss点个数和的复化Gauss-Legendre求积公式编写的一个简单的MATLAB函数compgauss() 如下:
function [ ] = compgauss(a, b, n)
% Composite Gauss Integration
% Equation Type: n=2, n=3
% Coded by 2010-05-25
% Divide Interval
% Calculate
% Sum Results
format long
f = @(x) exp(x).*sin(x);
—
h=(b-a)/n;
xk=zeros(n+1,1);
xk(1,1)=a;
xk(n+1,1)=b;
fk1=zeros(n,1);
fk2=zeros(n,1);
for i=1:n-1
xk(i+1,1)=a+h*i;
end
for j=1:n
{
fk1(j)=f((xk(j)+xk(j+1))/2+(h/2)*(-1/sqrt(3)))+...
f((xk(j)+xk(j+1))/2+(h/2)*(1/sqrt(3)));
end
for r=1:n
fk2(r)=(5/9)*f((xk(r)+xk(r+1))/2+(h/2)*(-sqrt(15)/5))+...
(8/9)*f((xk(r)+xk(r+1))/2+(h/2)*(0))+...
(5/9)*f((xk(r)+xk(r+1))/2+(h/2)*(sqrt(15)/5)); end
mysum1=h*sum(fk1)/2;
mysum2=h*sum(fk2)/2;
、
disp('Result of 2 Nodes:')
disp(mysum1);
disp('Result of 3 Nodes:')
disp(mysum2);
end
龙贝格，三点，五点以及变步长高斯勒让德求积法以下是关于龙贝格，三点，五点以及变步长高斯勒让德之间精度的相互比较#include <>
#include <>
》
#include <>
#define Precision1
# define e 2.
#define MAXRepeat 10
double function (double x)
{
double s;
s=1/x;
return s;
}
'
double Romberg(double a,double b,double f(double x))
{
int m,n,k;
double y[MAXRepeat],h,ep,p,xk,s,q;
h=b-a;
y[0]=h*(f(a)+f(b))/;fx);
3.数值实验
用4点（n=3）的高斯——勒让德求积公式计算
$
xdx x cos 20
2?
=
I π
.
解：
先将区间]
2,0[π
化为]1,1[-，由（1）
dt
b
a t a
b f a b dx x f b
a
)22(2)(11++--=??
-.（1）
有 dt
t t )1(4cos )1()4(231
1++=I ?-π
π.
根据表4-7中n=3的节点及系数值可求得
467402
.0)(3
0≈≈I ∑=k k k x f A .
（ 准确值 467401.0=I ）
|
用2,3n =的高斯-勒让德公式计算积分
3
1
sin .x e xdx ?
解：
3
1sin .
x I e xdx =?
[1,3],x ∈令2t x =-，则[1,1]t ∈-
用2n =的高斯—勒让德公式计算积分
0.5555556[(0.7745967)(0.7745967)]0.8888889(0)10.9484I f f f ≈?-++?≈
用3n =的高斯—勒让德公式计算积分
0.3478548[(0.8611363)(0.8611363)]0.6521452[(0.3399810)(0.3399810)]10.95014
I f f f f ≈?-++?-+≈
{
用四个节点的高斯―勒让德求积公式计算定积分x
x d 11
?+，计
算过程保留4位小数．
解 ：
高斯－勒让德求积公式只求积分区间为[－1,1]上的积分问题．需作变换，
令
21
2+
=
u x ，当x=1时，u=1;当x=0时，u=－1．于是，
x x d 11
?
+＝u
u
d 2232111?-+
＝)21
861.02321861.023(9347.0[21++-? )]20
340.0232
340.023(
1652.0++-?+
9218.1]5445.21652.06423.29347.0[21
=?+?=
（
2. 总结
高斯―勒让德求积公式对定积分的计算拥有高精度的特点，但是这只存在
于积分区间在[-1,1]上，区间的变大会导致精度的降低。因此，寻找精度更高，加速更快的算法是必要的。
《参考文献》
[1]《数值计算》张军、林瑛、钟竞辉清华大学出版社2008 6 17
[2]《数值分析》陈晓江、黄樟灿·科学出版社2010 7 10
[3]《数值分析原理》吴勃英科学出版社2009 7 23
[4] 复化两点Gauss-Legendre求积公式的外推算法《桂林航天工业高等专科学校学报》2007年03期