） 案，其中既是轴自主学习（前面研究了平移的有关知识，那么旋转呢段，完成课本提出的问题（在书上）研读旋转的概念，并用红笔勾画出关键词。、认真思考“议一议”提出的问题，完成在课本上，并完成下列所列的题目，(3) 分，分针旋转（疑
图形的旋转 1. 如图23-36所示的图案可以看做是由一个小正方形连续旋转三次形成的，那么 它的旋转角为（） A.60 ° B.30 ° C.90 ° D.120 ° 2. 如图23-37所示的四个图形中，△ ABC 经过旋转之后，不能得到 △ A' B' C 的是（ ） 3. 将图23-38中的图案绕中心顺时针旋转 270°后能得到的图案是图23-39中的 （） 酣菇■甜 23 - 39 4. 如图23-40所示的是分别以正方形四条边为直径在正方形内作半圆形成的阴影 图案，它可以看做是以 _____________为基本图案，经过____________ 次旋转得到 的，它的旋转中心是 _____________ ，每次顺（或逆）时针旋转 ____________ . 5. __________________________________ 钟表的分针24分钟转过了 .
6. 在方格纸上建立如图23-41所示的平面直角坐标系，将 △ ABO 绕点 0按顺时 针方向旋转90°得厶 A / B / 0,则点A 的对应点A /的坐标为 ______________ . 7. 如图23-42所示，在正方形ABCD 中，E 为AD 的中点，F 为BA 延长线上 1 点，若AF 二-AB ，则可通过 2 段BE 与DF 的关系是 ______ 8. 如图23-43所示，△ ABC 和厶DBE 都是等腰直角三角形，/ ACB 和/ E 都是 直角，如果△ ABC 旋转后能与△ DBE 重合，那么旋转中心是点 时针旋转了 ________ . 9. 如图23-44所示，将△ ABC 绕点A 旋转后得到△ ADE. (1) 写出图中所有相等的角； (2) 若/ B+ / E=110°，/ CAD=25，求旋转角度? 10. 如图23-45所示，△ ABC 中，/ BAC=15，将△ ABC 绕点A 按逆时针方向旋 转90°，到△ ADE 的位置，然后将△ ADE 以AD 为轴翻折到△ ADF 的位置，连 接CF ，判断△ ACF 的形状，并说明理由 11. 如图23-46所示，P 是正方形ABCD 内一点，将△ ABP 绕点B 顺时针旋转,厂卜 rLILr r lr^ 变换，使△ ABE 变到△ ADF 的位置，且线 7 41-1^114 L 卜」 iL 卜」 E A D 23 ■ 46
P ′C D B A 《图形的旋转》导学案设计 23.1图形的旋转（一） 一、简介： 《图形的旋转》是人教版九年级上册第二十三章的内容。在教学设计的过程中，是以省级课题《构建初中数学高效课堂模式》的《五步教学》为蓝本来设计的。“五步教学法”以“导学——自学——助学——强化——评价”五步组成，就是将“先讲后练”的传统教学模式转换成"先学后讲"的教学模式。 二、教学过程 《一》导学 1、引入新课：运用课件欣赏日常生活中一些物体的旋转现象，如旋转的风车、旋转的钟面、飞驰的车轮等，然后让学生根据上述现象用一个动词进行概括引入新课。 （设计说明：借助课件，用生活中常见的事例引入新课，既可以激发学生的学习兴趣，把学生迅速的的引入课堂中，又能引导学生用数学的眼光看待生活中的事物，认识到生活中处处都有数学） 2、学习目标： （1）、了解生活中广泛存在的旋转现象； （2）、掌握旋转的有关概念，理解旋转变换也是图形的一种基本变换； （3）、知道旋转的性质，会运用旋转的性质解决实际问题。 （设计说明：学习目标的展示，是为了让学生对这节课所学的知识有个整体认识，知道这节课即将学习哪些内容，要掌握哪些知识，让学生做到心中有数，不至于无的放矢。学习目标是属于课前预设性目标，是学生对这堂课的一个浅性认识阶段。） 3、重点：旋转的有关概念 难点：理解并运用旋转的性质 （设计说明：这节内容是在学生学了平移、轴对称这两种图形的基本变换之后学习的，学生已经有一定的认知基础，所以确定旋转的概念是本节课的重点，难点是性质的运用。在“五步教学”中，明确学习的重难点，是为了让学生进一步明确学习目标，知道这些是我们学习的最终目标。在教学中，重难点的突破是随着教学活动的展开而逐步实现的，就这要求教师必须具备高度的应变能力。） 《二》分层学习 第一层次学习 1、自学指导： （1）、自学内容：预习p56——57页归纳之前的内容（2）、自学时间：约4分钟 （3）、自学方法：观察生活中物体的旋转现象，体会旋转过程，形成旋转概念的感性认识。 （4）、自学参考提纲： ①、旋转的概念____________________________。②、从课文中的思考实例可以看出：图形的旋转三要素是 ________,_________,______。③、如图，点P 是正方形ABCD 内一点，将△ABP 旋转到 △CBP ′的位置时，其旋转中心是______，旋转角为________，旋转方向为_______。
《函数》 《函数》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第四章《一次函数》第一节的内容。教材中的函数是从具体实际问题的数量关系和变化规律中抽象出来的，主要是通过学生探索实际问题中存在的大量的变量之间关系， 进而抽象出函数的概念。与原传统教材相比，新教材更注重感性材料，让学生分析了大量的问题，感受到在实际问题中存在两个变量，而且这两个变量之间存在一定的关系，它们的表示方式是多样地，如可以通过列表的方法表示，可以通过画图像的方法表示，还可以通过列解析式的方法表示，但都有着共性：其中一个变量依赖于另一个变量。 本节内容是在七年级知识的基础上，继续通过对变量间的关系的考察，让学生初步体会函数的概念，为后续学习打下基础。同时，函数的学习可以使学生体会到数形结合的思想方法，感受事物是相互联系和规律的变化。 1．初步掌握函数概念，能判断两个变量间的关系是否可以看成函数； 2．根据两个变量之间的关系式，给定其中一个量，相应的会求出另一个量的值； 3．了解函数的三种表示方法。 4.通过函数概念的学习，初步形成学生利用函数观点认识现实世界的意识和能力；
5.在函数概念形成的过程中，培养学生联系实际、善于观察、乐于探索和勤于思考的精神。 对学生来讲本节课的难点在于对函数概念的理解。 教具：教材，课件，电脑。 学具：教材，笔，练习本。 第一环节：创设情境、导入新课 内容： 展示一些与学生实际生活有关的图片，如心电图片，天气随时间的变化图片，抛掷铅球球形成的轨迹，k 线图等，提请学生思考问题。 意图： 承接上一学期变量关系的学习，让学生感受到变量之间关系的是通过多种形式表现出来的，感受研究函数的必要性。 效果： 生活实例，激发了学生的研究热情，起到很好的导入效果。 第二环节：展现背景，提供概念抽象的素材 内容： 问题1.你去过游乐园吗？你坐过摩天轮吗？你能描述一下坐摩天轮的感觉吗？ 当人坐在摩天轮上时，人的高度随时间在变化，那么变化有规律吗？ 摩天轮上一点的高度h 与旋转时间t 之间有一定的关系，下图就反映了时间t(分）与摩天轮上一点的高度h （米)之间的关系.你能从上图观察出，有几个变化的量吗？当t 分别取3，6，10时，相应的h 是多少？给定一个t 值，你都能找到相应的h 值吗？ 问题2.瓶子或罐头盒等圆柱形的物体，常常如下图这样堆放。随着层数的增加，物体的总
第一章三角形的证明 【单元分析】 本章是八年级上册第七章《平行线的证明》的继续，在“平等线的证明”一章中，我们给出了8 条基本事实，并从其中的几条基本事实出发证明了有关平行线的一些结论。运用这些基本事实和已经学习过的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论。 在这之前，学生已经对图形的性质及其相互关系进行了大量的探索，探索的同时也经历过一些简单的推理过程，已经具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，从而为本章进一步严格证明三角形有关定理打下了基础。 【单元目标】 1.知识与技能 （1）等腰三角形的性质和判定定理； （2）直角三角形的性质定理和判定定理； 2.过程与方法 （1）会运用等腰三角形的性质和判定定理解决相关问题； （2）直角三角形的性质定理和判定定理解决简单的实际问题； 3.情感态度与价值观 （1）经历由情景引出问题，探索掌握有关数学知识，再运用于实践的过程，培养学数学、用数学的意识与能力； （2）感受数学文化的价值和中国传统数学的成就，激发学生热爱祖国与热爱祖国悠久文化的思想感情。 【单元重点】 在证明过程中，进一步感受证明过程，掌握推理证明的基本要求，明确条件和结论，能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理和判定定理。 【单元难点】 明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。 【教学思路】 1.对于已有命题的证明，教学过程中要注意引导学生回忆过去的探索、说理过程，从中获取严格证明的思路；对于新增命题，教学过程中要重视学生的探索、证明过程，关注该命题与其他已有命题之间的关系；对于整章的命题，注意关注将这些命题纳入一个命题系统，关注命题之间的关系，从而形成对相关图形整体的认识。 2.对于证明的方法，除了注重启发和回忆，还应注意关注证明方法的多样性，力图通过学生的自主探索，获得多样的证明方法，并在比较中选择适当的方法。 3.证明过程中注意揭示蕴含其中的数学思想方法，如转化、归纳、类比等。 4.作为初中阶段几何证明的最后阶段，教学中应要求学生掌握综合法和分析法证明命题的基本要求，掌握规范的证明表述过程，达成课程标准对证明表述的要求。
9.1 图形的旋转 教学目标：了解旋转及相关概念，知道图形旋转的性质，能利用性质作图；经历对生活中旋转现象的观察、分析过程，通过具体实例认识旋转．经历对具有旋转特征图形的观察、操作、画图等过程，体会旋转的性质；引导学生用数学的眼光看待生活中的问题，形成用数学的意识以及热爱生活的情感． 教学重点：通过实例认识旋转，知道旋转的性质，并能利用性质解决问题． 教学难点：经历抽象的过程，探索旋转的性质，并能利用性质解决问题． 教学过程： 一、课前专训 1.在平面内，我们将一个图形沿着移动的距离，这样的图形运动叫做图形的平移. 图形平移的实质就是图形上所有的点都按照同一方向移动同样的距离. 平移不改变图形的、 . 一个图形平移后的面积改变吗？。（特征： 平移前后只是 ．．位置发生变化）一个三角形平移后，它的各内角的度数改变吗？ 2．如图所示的图案分别是三菱、大众、奥迪、奔驰汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（） 要求：（1）能找出图形的基本图形；（2）借助于图形能更直观的理解图形平移的概念及其性质；（3）同时让学生思考除了平移变换应该还有其它的变换，这样也有利于接下来的学习。 二、复习 回顾一下第八章主要学习了哪些内容？ 要求：对学习新的内容之前必须对刚学过的内容做到心中有数，这样也是帮助学生对学习新内容提高信心的一种方式。 三、新知 （一）创设情境 展示一组生活中旋转现象的图片，提出问题： 1．观察这组图片，你能说出它们有什么共同的特征？ 2．生活中还有类似的例子吗？（特征：学生很有兴趣，并仔细观察、思考） 答案1．（1）它们都在转动（2）它们都绕着一个点在转动……
图形的旋转 1.如图,如果把钟表的指针瞧做三角形OAB,它绕O 点按顺时针方向旋转得到△OEF,在这个旋转过程中: (1)旋转中心就是什么？旋转角就是什么？ (2)经过旋转,点A、B分别移动到什么位置？ 2.(学生活动)如图,四边形ABCD、四边形EFGH都就是边长为1的正方形. (1)这个图案可以瞧做就是哪个“基本图案”通过旋转得到的？ (2)请画出旋转中心与旋转角 (3)指出,经过旋转,点A、B、C、D分别移到什么位置？ 3.如图,△ABC绕C点旋转后,顶点A的对应点为点D,试确定顶点B?对应点的位置,以及旋转后的三角形. ,△ABF就是△ 4.如图,四边形ABCD就是边长为1的正方形,且DE=1 4 ADE的旋转图形. (1)旋转中心就是哪一点？ (2)旋转了多少度？ (3)AF的长度就是多少 (4)如果连结EF,那么△AEF就是怎样的三角形？
5.如图,K就是正方形ABCD内一点,以AK为一边作正方形AKLM,使L、M?在AK的同旁,连接BK与DM,试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系. 参考答案 1、解:(1)旋转中心就是O,∠AOE、∠BOF等都就是旋转角. (2)经过旋转,点A与点B分别移动到点E与点F的位置. 2、 (1)可以瞧做就是由正方形ABCD的基本图案通过旋转而得到 的.(2)?画图略.(3)点A、点B、点C、点D移到的位置就是点E、 点F、点G、点H. (3)旋转前、后的图形全等. 3、分析:绕C点旋转,A点的对应点就是D点,那么旋转角就就是∠ACD,根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角,即∠BCB′=ACD,?又由对应点到旋转中心的距离相等,即CB=CB′,就可确定B′的位置,如图所示. 解:(1)连结CD (2)以CB为一边作∠BCE,使得∠BCE=∠ACD (3)在射线CE上截取CB′=CB 则B′即为所求的B的对应点. (4)连结DB′ 则△DB′C就就是△ABC绕C点旋转后的图形.
第一节不等关系 本节知识点： 1.理解不等式的意义. 2.能根据条件列出不等式. 知识点1通过实例体会生活中存在的大量的不等关系 [例题1] 如图1－1，用两根长度均为l cm的绳子，分别围成一个正方形和圆. 图1－1 （1）如果要使正方形的面积不大于25 cm2，那么绳长l应满足怎样的关系式？ （2）如果要使圆的面积不小于100 cm2,那么绳长l应满足怎样的关系式？ （3）当l=8时，正方形和圆的面积哪个大？l=12呢？ （4）你能得到什么猜想？改变l的取值，再试一试. 分析: 一个是正方形和圆的面积计算公式_______________ 另一个是了解“不大于”“大于”等词的含意_____________ （1）因为绳长l为正方形的周长，所以正方形的边长为______，得面积为__________， 要使正方形的面积不大于25 cm2，就是___________________ （2）因为圆的周长为l，所以圆的半径为_________________要使圆的面积不小于100 cm2，就是_______________________ （3）当l=8时，正方形的面积为_________________ 圆的面积为_____________________ ∴______的面积大 当l=12时，正方形的面积为_________ 圆的面积为__________≈______（cm2） 此时_____的面积大. (4) （4）我们可以猜想，用长度均为l cm的两根绳子分别围成一个正方形和圆，无论l取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即________________ 因为分子都是____相等、分母_____＜______，根据分数的大小比较，分子相同的分数，分母大的反而小，因此不论l取何值，都有______＞_______.. 一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式.. [针对性训练1] 通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算出它的树龄.通常规定以树干
北师大版八年级上册教学案 同庆初中教学设计 （导学模式） 学科：； 任课班级：； 任课教师：； 年月日 第一章勾股定理 §1.1 探索勾股定理（一） 教学目标： 1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推力意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。 2、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力。 重点难点： 重点：了解勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题。 难点：勾股定理的发现 教学过程 一、创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题 出示投影1 （章前的图文 p1）教师道白：介绍我国古代在勾股定理研究方面的贡献，并结合课本p5谈一谈，讲述我国是最早了解勾股定理的国家之一，介绍商高(三千多年前周期的数学家)在勾股定理方面的贡献。 出示投影2 （书中的P2 图1—2）并回答： 1、观察图1-2，正方形A中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。正方形B中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。 正方形C中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。 2、你是怎样得出上面的结果的？在学生交流回答的基础上教师直接发问： 3、图1—2中，A,B,C 之间的面积之间有什么关系？ 学生交流后形成共识，教师板书，A+B=C，接着提出图1—1中的A.B,C 的关系呢？ 二、做一做 出示投影3（书中P3图1—4）提问： 1、图1—3中，A,B,C 之间有什么关系？ 2、图1—4中，A,B,C 之间有什么关系?
以三角形两直角边为边的正方形的面积和，等于以斜边的正方形面积。 三、议一议 1、图1—1、1— 2、1— 3、1—4中，你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？ 2、你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？ 在同学的交流基础上，老师板书： 直角三角形边的两直角边的平方和等于斜边的平方。这就是著名的“勾股定理” 也就是说：如果直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c 那么2 2c 2 a= + b 我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来。 3、分别以5厘米和12厘米为直角边做出一个直角三角形，并测量斜边的长度（学生测量后回答斜边长为13）请大家想一想（2）中的规律，对这个三角形仍然成立吗？（回答是肯定的：成立） 四、想一想 这里的29英寸（74厘米）的电视机，指的是屏幕的长吗？只的是屏幕的款吗？那他指什么呢？ 五、巩固练习 1、错例辨析： △ABC的两边为3和4，求第三边 解：由于三角形的两边为3、4 所以它的第三边的c应满足2 24 2 c=25 = 3+ 即：c=5 辨析：（1）要用勾股定理解题，首先应具备直角三角形这个必不可少的条件，可本题 △ABC并未说明它是否是直角三角形，所以用勾股定理就没有依据。 （2）若告诉△ABC是直角三角形，第三边C也不一定是满足2 2 2c a= +，题目中并为 b 交待C 是斜边 综上所述这个题目条件不足，第三边无法求得。 2、练习P7 §1.1 1 六、作业 课本P7 §1.1 2、3、4 §1.1 探索勾股定理（二） 教学目标： 1．经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯。 2．掌握勾股定理和他的简单应用 重点难点： 重点：能熟练运用拼图的方法证明勾股定理 难点：用面积证勾股定理 教学过程
《9.1图形的旋转》微课教学设计 教学过程： 一、创设情境 1.观察课本56页的两幅实物图的旋转现象，再举生活中类似的例子. 2.上述情境中的旋转现象有什么共同的特征？ 【设计意图：引导学生用数学的眼光看待生活中的有关问题，发展学生的数学观.对生活中的旋转现象进行抽象并数学化，引导学生认识图形的旋转.】 二、建立概念 1.由旋转情境，引出“图形旋转”的定义：在平面内，将一个图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转．这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角． 2. 感受旋转过程，得到旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角. 3.加深认识 如图，将△ABC绕点C逆时针方向旋转，请说出： ?旋转中心是点____； ?点B的对应点是点____； ?CA的对应边是______； ?∠A的对应角是_______; ?旋转角是∠_______， ∠ 一对对应点与旋转中心连线所成的角——旋转角 【设计意图：通过学生在生活中的体验，培养学生善于思考的良好习惯．】 三、性质探求 图形的旋转属于几何变换，基本问题是在该几何变换下原图形的哪些性质不
变. 为此，从观察图形的整体变换入手，考虑图形旋转前后的不变性质. 探求1. △ABC绕点C按逆时针方向旋转到△C' ' 'B A的位置 思考：旋转前、后三角形的哪些性质发生了改变? 哪些性质没有发生改变?旋转前后有哪些相等的线段？哪 些相等的角？ 【设计意图：引导学生发现旋转前后图形的大小和形 状没有变化，改变的只是位置．由于图形是由点组成的， 所以引入对应点的概念并在AB上任取一点K，找到它的对 应点K′.使学生理解“图形旋转时，意味着图形上每个点同时 都按相同的方式旋转相同的角度”.】 探求2．将任意△ABC绕平面内任一点O转动任意的角 度. 思考：刚才的发现还成立吗？ 【设计意图：通过旋转中心的不同，继续探究性质，激发学生不断探索新知的欲望.】 探求3．归纳概括图形旋转的性质 （1）旋转前、后的图形全等，即旋转不改变图形的大小、形状. （2）对应点到旋转中心的距离相等. （3）每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等. 4．巩固练习 △A′OB′是△AOB绕点O按逆时针方向旋转得到的，已知△AOB=20°, △A′OB=24°，AB=3，OA=5，则旋转角= °，A′B′= ，O A′= . 四、旋转作图 1.（1）画出将线段AB绕点O按逆时针方向旋转100°所得到的线段' 'B A. A B O B B' O A' C' A C
图形的旋转（第1课时）教学设计 （九年级上册第二十三章23.1） 一、内容和内容解析 1．内容 旋转的概念和性质. 2．内容解析 旋转是一种图形变换，也是初中学段继平移和轴对称之后学习的第三种全等变换，它是研究中心对称的知识基础，也是探究旋转对称类图形（如圆）的必要准备. 本课是本章的起始课，重点探究旋转的概念和性质，是本章知识的核心，也是后续研究中心对称和坐标应用的关键. 旋转的概念突出了三要素，即旋转中心、旋转方向和旋转角，这三个要素是确保旋转的唯一性的必要条件，也是表述一个旋转过程的必要因素. 通过观察大量旋转的实例逐步抽象得出旋转的概念，这一过程是将对旋转的认识逐步理性化的过程，也是感受如何定义一种图形变换的过程. 旋转的性质是研究在图形变化前提下图形要素间的不变性，是研究图形变换的价值之所在. 正是因为图形在位置变化的过程中保持了形状和大小的不变，并因各自不同的变化而产生出要素间新的确定的关系，我们才能以此为基础去作图、证明或解决其他问题. 同为图形变换，旋转的性质与平移和轴对称的性质有相似之处，但这种相似更体现在性质的探究过程. 图形整体的变换过程是复杂的，可以先从研究图形上的特殊点（直线型的特殊点一般是其顶点）的变换过程出发，由点到形、由特殊到一般的去研究整体，并了解类似问题的基本研究套路. 基于以上分析，确定本节课的教学重点是：旋转的性质.
二、目标和目标解析 1．目标 （1）通过观察具体实例认识旋转； （2）探索并掌握旋转的性质. 2．目标解析 达成目标（1）的标志是：能通过观察具体的旋转实例抽象出旋转三要素，会判断图形的变化是否为旋转，能指出图形旋转中的三要素，会利用三要素描述旋转. 达成目标（2）的标志是：经历作图、猜想、验证的探究过程，得到并理解旋转的性质，会利用旋转的性质发现旋转中的不变关系，会利用旋转的性质作一个图形经过旋转后的图形. 三、教学问题诊断分析 学生在小学初步认识了旋转，但仅限于图形的识别，没涉及几何要素间的定量分析. 学生也学习了平移、轴对称两种图形变换，具备研究图形变换的基本经验，知道只改变位置的图形变换是全等变换. 在平移和轴对称变换中，变换的途径更直观，对应量的关系更清楚，与之相比，旋转具有更强的抽象性. 学生在探究性质的过程中，或是应用性质的过程中，都会遇到不能发现旋转的途径，找不到对应量，不会确定旋转中心等问题. 针对学生可能遇到的问题，在本课的教学中应注意两点：一是通过大量的旋转实例展示，让学生通过不断地观察熟悉旋转，认识图形在不同的旋转中的相对位置，积累认知和判别经验；二是在实例的观察中，引导学生发现图形上的点的变换与图形的变换具有一致性，从而通过对点的研究发现形的性质.
1.1 不等关系 教学目的和要求： 理解不等式的概念，感受生活中存在的不等关系 教学重点和难点： 重点： 对不等式概念的理解 难点： 怎样建立量与量之间的不等关系。 从问题中来，到问题中去。 1. 如图1-1，用用根长度均为l ㎝的绳子，分别围成一个正方形和圆。 （1）如果要使正方形的面积不大于25㎝2，那么绳长l 应满足怎样的关系式？ （2）如果要使圆的面积大于100㎝2，那么绳长l 应满足怎样的关系式？ （3）当l =8时，正方形和圆的面积哪个大？l =12呢？ （4）改变l 的取值再试一试，在这个过程中你能得到什么启发？ 分析解答：在上面的问题中，所围成的正方形的面积可以表示为2 )4 (l ，圆的面积可以表示 为2 2?? ? ??ππl 。 （1） 要使正方形的面积不大于25㎝2，就是 25)4 (2 ≤l ，即25162≤l 。 （2） 要使圆的面积大于100㎝2，就是 2 2?? ? ??ππl ＞100， 即 π 42 l ＞100 （3） 当l =8时，正方形的面积为)(41682 2cm =，圆的面积为)(1.54822cm ≈π ，
4＜5.1，此时圆的面积大。 当l =12时，正方形的面积为)(916122 2cm =，圆的面积为)(5.1141222cm ≈π ， 9＜11.5，此时还是圆的面积大。 （4） 不论怎样改变l 的取值，通过计算发现：总是圆的面积大，因此，我们可以猜想， 用长度增色为l ㎝的两根绳子分别围成一个正方形和圆，无论l 取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即 π42l ＞16 2 l 2. （1）通过测量一棵树的树围（树干的周长）可能计算出它的树龄，通常规定以树干 离地面1.5m 的地方作为测量部位。某树栽种时的树围为5㎝，以后树围每年增加约3㎝，这棵树至少要生长多少年其树围才能超过2.4m ？（只列关系式） （2）燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10m 以外的安全区域。已知导火线的燃烧速度为0.2m/s ，人离开的速度为4m/s ，导火线的长度x （m ）应满足怎样的关系式？ 答案：（1）设这棵树生长x 年其树围才能超过2.4m ，则5+3x ＞240。 （2）人离开10m 以外的地方需要的时间，应小于导火线燃烧的时间，只有这样才能保证人的安全： 410＜2 .0x 分析巩固练习： 用不等式表示： （1） a 的相反数是正数； （2） m 与2的差小于3 2； （3） x 的 3 1 与4的和不是正数； （4） y 的一半与x 的2倍的和不小于3。 解答：（1）a 的相反数是-a ，正数是比零大的数，所以“a 的相反数是正数”就是-a ＞0； （2）“m 与2的差”就是m-2，“ 差小于 32”即是m-2＜3 2 ； （3）“x 的31”就是31x ，“x 的31与4的和不是正数”就是3 1 x+4≤0； （4）“y 的一半”不是2 1 y,“x 的2倍”就是2x ，“不小于3”即指大于或等于3，故 “y 的一半与x 的2倍的和不小于”就是2 1 y+2x ≥3。
图形的平移与旋转 【考纲传真】 图形的平移与旋转是近几年中考命题的重点和热点．考察考点主要通过具体实例认识平移、旋转，并探索平移、旋转的基本性质． 【复习考纲】 1．探索图形平移、旋转的性质，发展空间观念；结合具体实例，理解平移、旋转的基本内涵． 2．掌握平移、旋转的画图步骤和方法，掌握图形在坐标轴上的平移和旋转． 【考点梳理】 一、平移定义和规律 1．平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移． 注意： （1）平移不改变图形的形状和大小（也不会改变图形的方向，但改变图形的位置）； （2）图形平移三要素：原位置、平移方向、平移距离． 2．平移的规律（性质）：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等、对应角相等． 注意：平移后，原图形与平移后的图形全等． 3．简单的平移作图 平移作图，就是把整个图案的每一个特征点按一定方向和一定的距离平行移动． 平移作图要注意：①方向；②距离． 二、旋转的定义和规律 1．旋转的定义：在平面内，将一个图形饶一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角．关键：（1）旋转不改变图形的形状和大小（但会改变图形的方向，也改变图
形的位置）； （2）图形旋转四要素：原位置、旋转中心、旋转方向、旋转角． 2．旋转的规律（性质）： 经过旋转，图形上的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．（旋转前后两个图形的对应线段相等、对应角相等．) 注意：旋转后，原图形与旋转后的图形全等． 3．简单的旋转作图： 旋转作图，就是把整个图案的每一个特征点绕旋转中心按一定的旋转方向和一定的旋转角度旋转移动． 旋转作图要注意：①旋转方向；②旋转角度． 【典题探究】 【例1】、在下列实例中，不属于平移过程的有（ ） ①时针运行的过程；②火箭升空的过程；③地球自转的过程；④飞机从起跑到离开地面的过程。 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 【例2】、如图所示的每个图形中的两个三角形是经过平移得到的是（ ） 【例3】、下列图形经过平移后恰好可以与原图形组合成一个长方形的是（ ） A 、三角形 B 、正方形 C 、梯形 D 、都有可能 【例4】、在图形平移的过程中，下列说法中错误的是（ ） A 、图形上任意点移动的方向相同 B 、图形上任意点移动的距离相同 C 、图形上可能存在不动的点 D 、图形上任意两点连线的长度不变 【例5】、有关图形旋转的说法中错误的是（ ） A 、图形上每一点到旋转中心的距离相等 B 、图形上每一点移动的角度相同 A B C D
图形的旋转 1．如图，如果把钟表的指针看做三角形OAB，它绕O 点按顺时针方向旋转得到△OEF，在这个旋转过程中：（1）旋转中心是什么旋转角是什么 （2）经过旋转，点A、B分别移动到什么位置 2．（学生活动）如图，四边形ABCD、四边形EFGH都是边长为1的正方形． （1）这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的 （2）请画出旋转中心和旋转角 （3）指出，经过旋转，点A、B、C、D分别移到什么位置 3．如图，△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B?对应点的位置，以及旋转后的三角形． ，△ABF是△ADE 4．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，且DE=1 4 的旋转图形． （1）旋转中心是哪一点 （2）旋转了多少度 （3）AF的长度是多少 （4）如果连结EF，那么△AEF是怎样的三角形
5．如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，使L、M?在AK的同旁，连接BK和DM，试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系． 参考答案 1. 解：（1）旋转中心是O，∠AOE、∠BOF等都是旋转角． （2）经过旋转，点A和点B分别移动到点E和点F的位置． 2. （1）可以看做是由正方形ABCD的基本图案通过旋转而得到的．（2） ?画图略．（3）点A、点B、点C、点D移到的位置是点E、点F、 点G、点H． （3）旋转前、后的图形全等． 3. 分析：绕C点旋转，A点的对应点是D点，那么旋转角就是∠ACD，根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即∠BCB′=ACD，?又由对应点到旋转中心的距离相等，即CB=CB′，就可确定B′的位置，如图所示． 解：（1）连结CD （2）以CB为一边作∠BCE，使得∠BCE=∠ACD （3）在射线CE上截取CB′=CB 则B′即为所求的B的对应点． （4）连结DB′ 则△DB′C就是△ABC绕C点旋转后的图形．
课题因式分解 【学习目标】 1．理解因式分解的意义以及因式分解与整式乘法的关系． 2．对因式分解作出正确判断，培养观察能力． 【学习重点】 因式分解的意义及因式分解与整式乘法的关系． 【学习难点】 对因式分解及整式乘法关系的理解． 行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么． 行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案，教会学生落实重点． 方法指导：因式分解必须把一个多项式分成几个单项式与多项式相乘的形式，并且不能与整式乘法混淆．学习笔记：因式分解是整式乘法的逆变形，所以分解因式后的两个因式的乘积一定等于原来的多项式，用这种方法可检测因式分解的结果是否正确． 情景导入生成问题 旧知回顾： 1．计算下面各式： m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc；(x＋2)(x－2)＝x2－4；(a－b)2＝a2－2ab＋b2． 2．根据左边的结果填空： ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)；x2－4＝(x＋2)(x－2)；a2－2ab＋b2＝(a－b)2． 很显然第1题中各式属于整式乘法，第2题中各式的变形属于什么呢？ 自学互研生成能力 【自主探究】 阅读教材P92－93的内容，回答下列问题： 1．你能尝试把a3－a化成几个整式的乘积的形式吗？ 答：a3－a＝a(a2－a)＝a(a＋1)(a－1)． 2．什么叫因式分解？ 答：把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做因式分解，因式分解也可以称为分解因式． 范例1：下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是( C) A．a(x＋y)＝ax＋ay B．x2－4x＋4＝x(x－4)＋4 C．10x2－5x＝5x(2x－1) D．x2－16＋16x＝(x＋4)(x－4)＋6x 仿例1：下列从左到右的变形中是因式分解的有( B) ①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)． A．1个B．2个C．3个D．4个 仿例2：通过计算说明992＋99不能被( D) A．9整除B．99整除C．100整除D．101整除 归纳：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式，因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式． 【自主探究】 范例2：如果多项式3x2－mx＋n因式分解的结果为(3x＋2)(x－1)，求m，n的值． 解：∵(3x＋2)(x－1)＝3x2－x－2，∴－m＝－1，n＝－2，∴m＝1. 仿例1：若m2－n2＝8，且m－n＝2，则m＋n＝4． 仿例2：(2x＋a)(2x－a)是哪个多项式因式分解的结果( B) A．4x2＋a2B．4x2－a2C．－4x2＋a2D．－4x2－a2 范例3：利用因式分解计算：2 016×45＋2 016×56－2 016×100. 解：原式＝2 016×(45＋56－100) ＝2 016. 仿例：利用因式分解计算：2 0163－2 0162－2 014×2 0162. 解：原式＝2 0162×2 016－2 0162×1－2 0162×2 014 ＝2 0162(2 016－1－2 014) ＝2 0162×1
北师大版八年级上册数学教案 北师大版八年级上册数学教案分享，一起来看看吧。 八年级学生已经具备一定的观察、归纳、探索和推理的能力．在小学，他们已学习了一些几何图形面积的计算方法，但运用面积法和割补思想解决问题的意识和能力还远远不够．部分学生听说过“勾三股四弦五”，但并没有真正认识什么是“勾股定理”．此外，学生普遍学习积极性较高，探究意识较强，课堂活动参与较主动，但合作交流能力和探究能力有待加强． 本节课是义务教育课程标准实验教科书北师大版八年级(上)第一章《勾股定理》第一节第1课时. 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，将形与数密切联系起来，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用．本节是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生认识无理数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性．此外，历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值． 为此本节课的教学目标是： 1．用数格子的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用． 2．让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思
想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法． 3．进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系． 4．在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化历史，激励学生发奋学习． 本节课设计了五个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：探索发现勾股定理；第三环节：勾股定理的简单应用；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业．第一环节：创设情境，引入新课 内容：2002年世界数学家大会在我国北京召开，投影显示本届世界数学家大会的会标： 会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号．今天我们就来一同探索勾股定理． 意图：紧扣课题，自然引入，同时渗透爱国主义教育. 效果：激发起学生的求知欲和爱国热情. 内容：投影显示如下地板砖示意图，引导学生从面积角度观察图形： 问：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗！ 学生通过观察，归纳发现：
4月2日《图形的旋转》习题训练 一、选择题 1．下列图形中，绕某个点旋转90°能与自身重合的有( ) ①正方形；②长方形；③等边三角形；④线段；⑤角；⑥平行四边形． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2．五角星可以看成由一个四边形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数可以是( ) A.36° B.60° C.72° D.90° 3．下面的图形(1)-(4)，绕着一个点旋转120°后，能与原来的位置重合的是( ) A.（1），（4） B.（1），（3） C.（1），（2） D.（3），（4） 4．在平面上有一个角是60°的菱形绕它的中心旋转，使它与原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是( ) A.90° B.180° C.270° D.360° 5．数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着圆心O旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：45°；乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°．以上四位同学的回答中，错误的是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 6．下面四个图案中，是旋转对称图形的是( )
A. B. C. D. 7．如图所示的图形中，是旋转对称图形的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 8．请写出一个既是轴对称图形又是旋转对称图形的图形_____． 9．将等边三角形绕其对称中心O旋转后，恰好能与原来的等边三角形重合，那么旋转的角度至少是_____． 10．如图所示的五角星_____旋转对称图形．(填“是”或“不是”)． 11．给出下列图形：①线段、②平行四边形、③圆、④矩形、⑤等腰梯形，其中，旋转对称图形有_____(只填序号)． 三、解答题 12．如下图是由三个叶片组成的，绕点O旋转120°后可以和自身重合，若每个叶片的面积为5cm2，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积之和为多少cm2．
最新八年级下册北师大版数学全册教案 教学目的和要求： 理解不等式的概念，感受生活中存在的不等关系 教学重点和难点： 重点： 对不等式概念的理解 难点： 怎样建立量与量之间的不等关系. 从问题中来，到问题中去. 1. 如图1-1，用用根长度均为l ㎝的绳子，分别围成一个正方形和圆. （1）如果要使正方形的面积不大于25㎝2，那么绳长l 应满足怎样的关系式？ （2）如果要使圆的面积大于100㎝2，那么绳长l 应满足怎样的关系式？ （3）当l =8时，正方形和圆的面积哪个大？l =12呢？ （4）改变l 的取值再试一试，在这个过程中你能得到什么启发？ 分析解答：在上面的问题中，所围成的正方形的面积可以表示为2)4(l ，圆的面积可以表示为2 2?? ? ??ππl . （1） 要使正方形的面积不大于25㎝2，就是 25)4 (2 ≤l ，即25162≤l . （2） 要使圆的面积大于100㎝2，就是 2 2?? ? ??ππl ＞100， 即 π42 l ＞100 （3） 当l =8时，正方形的面积为)(41682 2cm =，圆的面积为)(1.54822cm ≈π ， 4＜5.1，此时圆的面积大. 当l =12时，正方形的面积为)(916122 2cm =，圆的面积为)(5.1141222cm ≈π ， 9＜11.5，此时还是圆的面积大. （4） 不论怎样改变l 的取值，通过计算发现：总是圆的面积大，因此，我们可以猜想，用长度增色为l ㎝ 的两根绳子分别围成一个正方形和圆，无论l 取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即 π42l ＞16 2 l 2. （1）通过测量一棵树的树围（树干的周长）可能计算出它的树龄，通常规定以树干离地面1.5m 的地方 作为测量部位.某树栽种时的树围为5㎝，以后树围每年增加约3㎝，这棵树至少要生长多少年其树围才能超过2.4m ？（只列关系式） （2）燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10m 以外的安全区域.已知导火线的燃烧速度为0.2m/s ，人离开的速度为4m/s ，导火线的长度x （m ）应满足怎样的关系式？ 答案：（1）设这棵树生长x 年其树围才能超过2.4m ，则5+3x ＞240. （2）人离开10m 以外的地方需要的时间，应小于导火线燃烧的时间，只有这样才能保证人的安全： 4 10
图形的旋转 1、如图，将△ABC绕点A旋转50°后成为△AB′C′，那么点B的对应点是_____，点C的对应点是_________，线段AB的对应线段是线段________，线段BC的对应线段是线段_________；∠B的对应角是_________，∠C的对应角是__________，旋转中心是点_______，旋转的角度是_____________； 2、如图，△ABC是等腰三角形，∠BAC=36°，D是BC上一点， △ABD经过旋转后到达△ACE的位置， ⑴旋转中心是哪一点？ ⑵旋转了多少度？ ⑶如果M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了 什么位置？ 4、如图，四边形ABCD是正方形，△DAE旋转后能与△DCF重合。 ⑴旋转中心是哪一点？ ⑵旋转了多少度？ ⑶如果连接EF，那么△DEF是怎样的三角形？ 5：钟表的分针匀速旋转一周需要60分． （１）指出它的旋转中心； （２）经过20分，分针旋转了多少度？ 6：本图案可以看做是一个菱形通过几次旋转得到的？每次旋转了多少度？ A E M A B C D E F
旋转的特征 A C′ B′ B C 3：（1）将一个平面图形F上的每一点，绕这个平面一_____ 点旋转，得到图形F’，图形的这种变换就叫做旋转。（2）对应点到对应中心的距离____________.（3）对应点与旋转中心所成的角彼此_______，且等于_________角（4）旋转不改变图形的________和_______. 4、如图，△ABC按逆时针方向转动一个角后到△AB′C′，则线段AB=_______，AC=_______，BC=________；∠BAC=_________，∠B=_________，∠C=___________；