等腰三角形
一、选择题
1．（2018?山东枣庄?3分）如图是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB 的端点都在小矩形的顶点上，如果点P 是某个小矩形的顶点，连接PA、PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点 P 的个数是（）
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
【分析】根据等腰直角三角形的判定即可得到结论．
【解答】解：如图所示，使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是3，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定，正确的找出符合条件的点 P 是解题的关
键． 2 （2018?山东枣庄?3分）如图，在R t△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF 平
分
∠CAB，交C D 于点E，交C B 于点F．若A C=3，AB=5，则C E 的长为（）
A．B．C．D．
【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．
【解答】解：过点F作F G⊥AB于点G，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠FAD，
∴∠CFA=∠AED=∠CEF，
∴CE=CF，
∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，
∴FC=FG，
∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，
∴△BFG∽△BAC，
∴=，
∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，
∴BC=4，
∴=，
∵FC=FG，
∴=，
解得：FC= ，
即 CE ．故
选：A．
【点评】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出∠CEF=∠CFE．
3. （2018?山东淄博?4分）如图，P 为等边三角形A BC 内的一点，且P到三个顶点A，B，C 的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（）
A．B．D．
【考点】R2：旋转的性质；KK：等边三角形的性质；KS：勾股定理的逆定理．
【分析】将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，根据旋转的性质得B E=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，则△BPE为等边三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，延长BP，作AF⊥BP于点FAP=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB的度数，在直角△APF中利用三角函数求得A F 和P F 的长，则在直角△ABF中利用勾股定理求得A B 的长，进而求得三角形A BC 的面积．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，
可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连E P，且延长B P，作A F⊥BP于点F．如图，
∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，
∴△BPE为等边三角形，
∴PE=PB=4，∠BPE=60°，
在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，
∴AE2=PE2+PA2，
∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°，
∴∠APB=90°+60°=150°．
∴∠APF=30°，
∴在直角△APF AP=，PF=AP=．
∴在直角△ABF）2+（）2=25+12 ．则
△ABC?AB2=?（25+12 ．故选：
A．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及旋转的性质：旋转前 后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距 离相等．
4. （2018?江苏扬州?3 分）如图，点 A 在线段 B D 上，在 B D 的同侧做等腰 R t△ABC 和等 腰 Rt△ADE，CD 与 B E 、AE 分别交于点 P ，M ．对于下列结论：
①△BAE∽△CAD；②MP?MD=MA?ME；③2CB 2
=CP?CM．其中正确的是（ ）
A ．①②③ B．① C．①② D ．②③
【
分析（1）由等腰 R t △ABC 和等腰 R t △ADE 三边份数关系可证；
（2）通过等积式倒推可知，证明△PAM∽△EMD 即可；
（3）2CB 2 转化为 A C2，证明△ACP∽△MCA，问题可证． 【解答】解：由已知：AC=AB ，AD=AE
∴
∵∠BAC=∠EAD
∴∠BAE=∠CAD
∴△BAE∽△CAD
所以①正确
∵△BAE∽△CAD
∴∠BEA=∠CDA
∵∠PME=∠AMD
∴△PME∽△AMD
∴
∴MP?MD=MA?ME
所以②正确
∵∠BEA=∠CDA
∠PME=∠AMD
∴P、E 、D 、A 四点共圆
∴∠APD=∠EAD=90°
∵∠CAE=180°﹣∠BAC﹣∠EAD=90°
∴△CAP∽△CMA
∴AC2=CP?CM
∵AC=AB
∴2CB2=CP?CM
所以③正确
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判断．在等积式和比例式的证明中应注意应用倒推的方法寻找相似三角形进行证明，进而得到答案．
5
（2018·湖南省常德·3 分）如图，已知B D 是△A BC 的角平分线，ED 是B C 的垂直平分线，
∠BAC=90°，AD=3，则C E 的长为（）
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到 DB=DC，根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出∠C=∠DBC=∠ABD=30°，根据直角三角形的性质解答．
【解答】解：∵ED是B C 的垂直平分线，
∴DB=DC，
∴∠C=∠DBC，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°，
∴BD=2AD=6，
∴CE=CD×co
s∠C=3，
故选：D．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
6. （2018·台湾·分）如图，锐角三角形ABC 中，BC＞AB＞AC，甲、乙两人想找一点P，使得∠BPC与∠A互补，其作法分别如下：
（甲）以A为圆心，AC 长为半径画弧交A B 于P点，则P即为所求；
（乙）作过B点且与A B 垂直的直线l，作过C点且与A C 垂直的直线，交l于P点，则P即
为所求对于甲、乙两人的作法，下列叙述何者正确？
（）
A．两人皆正确B．两人皆错误 C．甲正
确，乙错误D．甲错误，乙正确
【分析】甲：根据作图可得AC=AP，利用等边对等角得：∠APC=∠ACP，由平角的定义可知：∠BPC+∠APC=180°，根据等量代换可作判断；乙：根据四边形的内角和可得：
∠BPC+∠A=180°．
【解答】解：甲：如图1，∵AC=AP，
∴∠APC=∠ACP，
∵∠BPC+∠APC=180°
∴∠BPC+∠ACP=180°，
∴甲错误；
乙：如图2，∵AB⊥PB，AC⊥PC，
∴∠ABP=∠ACP=90°，
∴∠BPC+∠A=180°，
∴乙正确，
故选：D．
【点评】本题考查了垂线的定义、四边形的内角和定理、等腰三角形的性质，正确的理解题
意是解题的关键．
7．（2018?湖北荆门?3分）如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB 的长为2，O 为AB 的中点，P 为A C 边上的动点，OQ⊥OP交B C 于点Q，M 为P Q 的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（）
A．B．C．1 D．2
【分析】连接O C，作P E⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如图，利用等腰直角三角形的性质得，∠A=∠B=45°，OC⊥AB，OC=OA=OB=1，∠OCB=45°，再证明Rt△AOP
≌△COQ 得到 AP=CQ，接着利用△APE 和△BFQ 都为等腰直角三角形得到AP=CQ，QF= BQ，所以BC=1，然后证明M H 为梯形P EFQ 的中位线得到，即可判定点 M 到 AB ，从而得到点 M 的运动路线为△ABC 的中位线，最后利用三角形中位线性质得到点M所经过的路线长．
【解答】解：连接O C，作P E⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如图，
∵△ACB为到等腰直角三角形，
∴AC=BC=AB= ，∠A=∠B=45°，
∵O为A B 的中点，
∴OC⊥AB，OC 平分∠ACB，OC=OA=OB=1，
∴∠OCB=45°，
∵∠POQ=90°，∠COA=90°，
∴∠AOP=∠COQ，
在R t△AOP和△COQ中
，
∴Rt△AOP≌△COQ，
∴AP=CQ，
易得△APE和△BFQ都为等腰直角三角形，
∴PE=AP=CQ，QF=BQ，
∴PE+QF=（CQ+BQ）=BC=×=1，
∵M点为P Q 的中点，
∴MH为梯形P EFQ 的中位线，
∴MH=（PE+QF）=，
即点M到A B ，而
CO=1，
∴点M的运动路线为△ABC的中位线，
∴当点 P 从点 A 运动到点 C 时，点 M
AB=1．故选：C．
【点评】本题考查了轨迹：通过计算确定动点在运动过程中不变的量，从而得到运动的轨迹．也考查了等腰直角三角形的性质．
8. （2018?河北?3分）已知：如图 4，点P在线段A B 外，且P A =PB .求证：点P在线段A B 的垂直平分线上.在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不．正确的是（）
A．作∠APB 的平分线PC 交AB 于点
C B．过点P作P C ⊥AB 于点C且A C =
BC C.取A B 中点C，连接P C
D．过点P作P C ⊥AB ，垂足为C
9. (2018 四川省绵阳市)如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB 的顶点 A 在△ECD的斜边 DE 上，若 AE= ，AD= ，则两个三角形重叠部分的面积为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【考点】三角形的面积，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形
【解析】
【解答】解：连接B D，作C H⊥DE，
∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠ECD=90°,∠ADC=∠CAB=45°,即
∠ACD+∠DCB=∠ACD+∠ACE=90°，
∴∠DCB=∠ACE，在
△DCB和△ECA中，
,
∴△DCB≌△ECA，
∴DB=EA=,∠CDB=∠E=45°,
∴∠CDB+∠ADC=∠ADB=90°，
在R t△ABD中，
∴AB==2 ，
在R t△ABC中，
∴2AC2=AB2=8，
∴AC=BC=2，
在R t△ECD中，
∴2CD2=DE2= ，∴CD=CE=+1，
∵∠ACO=∠DCA，∠CAO=∠CDA，
∴△CAO∽△CDA，
∴：= = =4-2 ，
又∵= CE = DE·CH，
∴CH== ，
∴= AD·CH=×× = ，
∴=（4-2 ）×=3- .
即两个三角形重叠部分的面积为 3- .
故答案为：D.
【分析】解：连接BD，作CH⊥DE，根据等腰直角三角形的性质可得∠ACB=∠ECD=90°,∠ADC=