高中数学例题：分类加法原理与分步乘法原理
设集合A＝{1,2,3,4}，m，n∈A，则关于x，y的方程x2
m＋
y2
n＝1
表示焦点位于x轴上的椭圆有()
A．6个B．8个
C．12个D．16个
答案：A解析：因为椭圆的焦点在x轴上，所以当m＝4时，n＝1,2,3；
当m＝3时，n＝1,2；
当m＝2时，n＝1.
故满足条件的椭圆共有3＋2＋1＝6(个)．
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加法原理和乘法原理的应用 【教学目标】 1．进一步理解两个基本原理． 2．会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题 【教学重点】两个基本原理的进一步理解和体会． 【教学难点】正确判断是分类还是分步，分类计数原理的分类标准及其多样性． 【教学过程】 一、复习引入： 1．分类计数原理： 2．分步计数原理： 3．原理浅释 分类计数原理(加法原理)中，“完成一件事，有n类办法”，是说每种办法“互斥”，即每种方法都可以独立地完成这件事，同时他们之间没有重复也没有遗漏．进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论那一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事．只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以． 分步计数原理(乘法原理)中，“完成一件事，需要分成n个步骤”，是说每个步骤都不足以完成这件事，这些步骤，彼此间也不能有重复和遗漏． 如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有m种不同的方法，那么完成这件事的方法数就可以直接用乘法原理． 可以看出“分”是它们共同的特征，但是，分法却大不相同． 这种变形还提醒人们，分类和分步，常是在一定的限制之下人为的，因此，在这里我们大有用武之地：可以根据解题需要合理、灵活而巧妙地分类或分步． 强调知识的综合是近年的一种可取的现象．两个原理，可以与物理中电路的串联、并联类比． 两个基本原理的作用：计算做一件事完成它的所有不同的方法种数 两个基本原理的区别：一个与分类有关，一个与分步有关；加法原理是“分类完成”，乘法原理是“分步完成” 二、范例分析： 例1．在1～20共20个整数中取两个数相加，使其和为偶数的不同取法共有多少种? 解：取b b+是同一种取法．分类标准为两加数的奇偶性，第一类，偶偶相加，a+与取a 由分步计数原理得(10×9)/2=45种取法，第二类，奇奇相加，也有(10×9)/2=45种取法．根据分类计数原理共有45+45=90种不同取法． 例2．在1～20共20个整数中取两个数相加，使其和大于20的不同取法共有多少种? 解：分类标准一：固定小加数．小加数为1时，大加数只有20这1种取法;小加数为2时，大加数有19或20两种取法;小加数为3时，大加数为18，19或20共3种取法…小加数为10时，大加数为11，12，…，20共10种取法;小加数为11时，大加数有9种取法…小加数取19时，大加数有1种取法．由分类计数原理，得不同取法共有1+2+…+9+10+9+…+2+1=100种． 分类标准二：固定和的值．有和为21，22，…，39这几类，依次有取法10，9，9，8，
两个计数原理 【知识网络】 【典型例题】 题型一、分类加法计数原理 例1、从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法种数为（） 例2、在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个 【变式练习】 1.若a，b∈N*，且a＋b≤5，则在直角坐标平面内的点(a，b)共有________个． 2．在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的两位数共有多少个
例3、有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有（） A．21种B．315种C．143种D．153种 例4、某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友一本，则不同的赠送方法共有()． A．4种B．10种C．18种D．20种 方法总结 分类时，首先要确定一个恰当的分类标准，然后进行分类；其次分类时要注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理 【变式练习】 1．某校开设10门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门学校规定，每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是（） A．120 B．98 C．63 D．56 2．某电脑用户计划使用不超过500元购买单价分别为60元、70元的电脑软件和电脑元件，根据需要，软件至少买3个，元件至少买2个，则不同的选购方法有（） 3．如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个．
A．238个B．232个C．174个D．168个 例5、在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字也许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为( ) A．10 .11 C 【变式练习】 1．为了应对欧债危机，沃尔沃汽车公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人，要求甲、乙二人不能全部裁去，则不同的裁员方案的种数为________． 2．在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A、B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有多少种。 3.有4人各写一张贺卡，放在一起，然后每个人取一张不是自己写的贺卡，共有多少种不 同取法 题型二：分步乘法计数原理 例6、（1）四名运动员争夺三项冠军，不同的结果最多有多少种 （2）四名运动员参加三项比赛，每人限报一项，不同的报名方法有多少种
第十一讲 乘法原理与加法原理 知识提要 理解和初步掌握：加法原理、乘法原理、排列和组合的概念及计算方法。 加法原理： m 1＋m 2＋……＋。 乘法原理： m 1×m 2×……×。 经典例题 例1 小刚从家到学校要经过一座桥，从家到桥时有3条路可以走，过了桥再到学校时有4 条路可以走（如下图）。小刚从家到学校一共可以有多少种不同的走法？ 分析与解： 把从小刚家到学校的路分为两步。 第一步从家到桥，第二步从桥到学校。 这两步中每一步都不能单独走完从家到学校的路，只有两步合在一起，才能完成。 从图中看出从家到学校共有 12种不同的走法： 根据此题，得出如下结论： 乘法原理 要完成一项任务，由几个步骤实现，第一步有m 1种不同的方法；第二步有m 2种不同的方法；……第n 步有种不同的方法；那么要完成任务共有： m 1×m 2×……×。 例2 有四张数字卡片， 用这四张数字卡片组成三位数，可以组成多少个？ 分析与解： 用卡片组成三位数要分成三步，第一步选取百位上的数字，可以有4种选择；第二步选取十位上的数字，可以有3种选择；第三步选取个位上的数字，可以有2种选择。所以可以组成不同的三位数共有： 4×3×2=24（个） 例3：由数字1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的四位奇数？ 分析与解：要求奇数，所以个位数字只能取1、3、5中的一个，有3种取法；十位数字可以从余下的五个数字中任取一个，有5种不同取法；百位数字还有4种取法；千位数字只有3种取法。由乘法原理，共可组成： 3×5×4×3＝180（个）没有重复数字的四位奇数。 例4：下图为4×4的棋盘，要把A 、B 、C 、D 四个不同的棋子放在棋盘的方格中，并使每行
加法原理与乘法原理 教学内容: 思维训练内容《加法原理与乘法原理》。 教学目标： （1）知识教学目标：理解和掌握加法原理和乘法原理。 （2）能力训练目标：通过分析、探究将现实情景问题转化为加法原理与乘法原理的数学问题来解决。 （3）情感、态度、价值观目标：通过对问题的解决激发学生的学习兴趣，感受数学与生活的密切联系 教学过程： （一）加法原理 如果完成某件事共有几类不同的方法，而每类方法中，又有几种不同的方法，任选一种方法都可以完成此事，那么完成这件事的方法总数就等于各种方法的总和，这一原理称为加法原理。 例：从甲地到乙地，一天中火车有4班，汽车有2班，轮船有3班，那么，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？ 解析：把乘坐不同班次的车、船称为不同的走法。要完成从甲地到乙地这件事，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船，一天中，乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法。而乘坐火车、汽车、轮船中的任何一班次，都可以从甲地到乙地，符合加法原理。所以从甲地到乙地的总的走法=乘火车的4种走法+乘汽车的2种走法+乘轮船的3种走法=9种不同的走法 （二）乘法原理 如果做某件事，需要分几个步骤才能完成，而每个步骤又有几种不同的方法，任选一种方法都不能完成这件事，那么完成这件事的方法总数，就等于完成各步骤方法的乘积。 例：用1、2、3、4这四个数字可以组成多少个不同的三位数？ 解析：要完成组成一个三位数这件事，要分三个步骤做，首先选百位上的数，再选十位上的数，最后选个位上的数。 选百位上的数这一步骤中，可选1、2、3、4任何一个，共4种方法 选十位上的数这一步骤中，可选除百位上已选好那个数字之外的三个数字，共3种方法 选个位上的数这一步骤中，可选除百、十位上已选好的两个数字之外的另两个数字，共2种方法 单独挑上面的任何一步中的任何一种方法，都不能组成一个三位数，符合乘法原理所以，可以组成：4×3×2=24（个）不同的三位数 二、加法原理和乘法原理的区别 什么时候使用加法原理，什么时候使用乘法原理，最关键是要把握住加法原理与乘法原理的区别。从上面两个例子我们容易发现，加法原理与乘法原理最大的区别就是：如果完成一件事有几类方法，不论哪一类方法，都能完成这件事时，运用加法原理，简称为“分类-----加法”；如果完成一件事要分几个步骤，而无论哪一个步骤，都只是完成这件事的一部分，只有每一步都完成了，这件事才得以完成，这里运用乘法原理，简称为“分步----乘法”。 三、加乘法原理的综合应用 有时候，做某件事有几类方法，而每一类方法又要分几个步骤完成。在计算做这件事的方法时，既要用到加法原理，也要用到乘法原理，这就是加乘法原理的综合应用。 例：从甲地到乙地有4条路可走，从乙地到丙地有2条路可走，从甲地到丙地有3
教师姓名 学科 数学 上课时间 年 月 日 --- 学生姓名 年级 课题名称 加法原理和乘法原理 教学目标 1、理解加法原理和乘法原理；2、解决具体的加乘原理的题目 教学重点 加法原理和乘法原理 教学过程 加法原理和乘法原理 知识要点一：加法原理——分类计数原理 【知识导入1】 我们先来看这样一些问题： 问题1：从西安到北京，每天有3个航班的飞机，有4个班次的火车，有两个班次的汽车.那么，乘坐以上工具从西安到北京，在一天中一共有多少种选择呢？ 问题2：用一个大写英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？ 问题3：一个学生从3本不同的物理资料、4本不同的英语资料、6本不同的课外书中任取一本来学习，不同的选法有多少种？ 【提炼特点】 （1）完成一件事有若干种方法，这些方法可以分成n 类； （2）每一类中的每一种方法都可以完成这件事； （3）把各类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数。 【抽象概况】 分类加法计数原理：完成一件事情，可以有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有 2m 种不同的方法……在第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有 n m m m N +???++=21 种不同的方法. 注意：○ 1 这个原理也称为“加法原理”； ○ 2 分类加法计数原理针对的是“分类”问题，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.
【例1】用1角、2角和5角的三种人民币（每种的张数没有限制）组成1元钱，有多少种方法？ 【解析】运用加法原理，把组成方法分成三大类： ①只取一种人民币组成1元，有3种方法：10张1角；5张2角；2张5角。 ②取两种人民币组成1元，有5种方法：1张5角和5张1角；一张2角和8张1角；2张2角和6张1角；3张2角和4张1角；4张2角和2张1角。 ③取三种人民币组成1元，有2种方法：1张5角、1张2角和3张1角的；1张5角、2张2角和1张1角的。 所以共有组成方法：3+5+2=10（种）。 举一反三 1、书架上有10本故事书，3本历史书，12本科普读物。志远任意从书架上取一本书，有多少种不同的取法？ 2、一列火车从上海到南京，中途要经过6个站，这列火车要准备多少中不同的车票？ 3、已知往返于甲、乙两地的火车中途要停靠四个站，问：要有多少种不同车票票价（来回票价一样）？需准备多少种车票？ 4、各数位的数字之和是24的三位数共有多少个？
分类加法计数原理与分步乘法计数原理 教学目的 1了解学习本章的意义,激发学生的兴趣. 2.理解分类计数原理与分步计数原理,培养学生的归纳概括能力. 3.会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题. 教学重点 分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理) 教学难点： 分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)的准确理解 教 具 多媒体、实物投影仪 教学过程 一、引入课题 今天我们来学习两个计数原理：分类加法计数原理和分类乘法计数原理。这两个原理不仅是我们解决计数问题的依据，也是我们学习排列组合和概率论的基础。 二、引出两个原理 问题1: 重庆的王先生欲回老家广州过年，从重庆到广州可以乘坐火车或者汽 车，一天中，火车有３班，汽车有２班，问从重庆到广州共有多少种不同的走法？ 分析：因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，每一种走法都可以从 重庆到广州，所以，共有3+2=5种不同的走法。 由问题1引出分类加法计数原理： 完成一件事情，有两类办法，在第1类办法中有m 种不同的方法，在第2类办法中有n 种不同的方法，那么完成这件事共N=m+n 种不同的方法.（也称加法原理）（板书） 追问：如果完成一件事情有 n 类不同方案，在第1类办法中有1m 种不同的方法， 在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的 方法.那么完成这件事共多少种不同的方法？.（口述） 回答：有n m m m N +???++=21种方法。 问题2：王先生在广州过完年后要去北京拜访朋友．第一天他必须乘火车去天津 办一件事，然后次日再乘汽车到北京。一天中，广州到天津的火车有３
乘法原理与加法原理 在日常生活中常常会遇到这样一些问题，就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法，要知道完成这件事一共有多少种方法，就用我们将讨论的乘法原理来解决． 例如某人要从北京到大连拿一份资料，之后再到天津开会．其中，他从北京到大连可以乘长途汽车、火车或飞机，而他从大连到天津却只想乘船．那么，他从北京经大连到天津共有多少种不同的走法？ 分析这个问题发现，某人从北京到天津要分两步走．第一步是从北京到大连，可以有三种走法，即： 第二步是从大连到天津，只选择乘船这一种走法，所以他从北京到天津共有下面的三种走法： 3×1=3． 如果此人到大连后，可以乘船或飞机到天津，那么他从北京到天津则有以下的走法： 共有六种走法，注意到3×2=6． 在上面讨论问题的过程中，我们把所有可能的办法一一列举出来．这种方法叫穷举法．穷举法对于讨论方法数不太多的问题是很有效的． 在上面的例子中，完成一件事要分两个步骤．由穷举法得到的结论看到，用第一步所有的可能方法数乘以第二步所有的可能方法数，就是完成这件事所有的方法数． 一般地，如果完成一件事需要个步骤，其中，做第一步有种不同的方法，做第二步有种
不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么，完成这件事一共有 种不同的方法． 这就是乘法原理． 例1.某人到食堂去买饭，主食有三种，副食有五种，他主食和副食各买一种，共有多少种不同的买法？ 补充说明：由例题可以看出，乘法原理运用的范围是：①这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成；②每个步骤各有若干种不同的方法来完成．这样的问题就可以使用乘法原理解决问题．例2.右图中有7个点和十条线段，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何线段和点不得重复经过．问：这只甲虫最多有几种不同的走法？ 例3.书架上有6本不同的外语书，4本不同的语文书，从中任取外语、语文书各一本，有多少种不同的取法？ 例4.王英、赵明、李刚三人约好每人报名参加学校运动会的跳远、跳高、100米跑、200米跑四项中的一项比赛，问：报名的结果会出现多少种不同的情形？ 例5.由数字0、1、2、3组成三位数，问： ①可组成多少个不相等的三位数？ ②可组成多少个没有重复数字的三位数？ 分析在确定由0、1、2、3组成的三位数的过程中，应该一位一位地去确定．所以，每个问题都可以看成是分三个步骤来完成． ①要求组成不相等的三位数．所以，数字可以重复使用，百位上，不能取0，故有3种不同的取法；十位上，可以在四个数字中任取一个，有4种不同的取法；个位上，也有4种不同的取法.
分类加法计数原理和分步乘法计数原理讲义 教学目标： 知识与技能：①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理； ②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题； 过程与方法：培养学生的归纳概括能力； 情感、态度与价值观：引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式 教学重点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理) 教学难点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)的准确理解 授课类型：新授课 课时安排：2课时 教具：多媒体、实物投影仪 第一课时 引入课题 先看下面的问题： ①从我们班上推选出两名同学担任班长，有多少种不同的选法？ ②把我们的同学排成一排，共有多少种不同的排法？ 要解决这些问题，就要运用有关排列、组合知识. 排列组合是一种重要的数学计数方法. 总的来说，就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法. 在运用排列、组合方法时，经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 这节课，我们从具体例子出发来学习这两个原理. 1 分类加法计数原理 （1）提出问题 问题1.1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？ 问题1.2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 探究：你能说说以上两个问题的特征吗？
（2）发现新知 分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有 m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有 n m N += 种不同的方法. （3）知识应用 例1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B 两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下： A 大学 B 大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学 如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？ 分析：由于这名同学在 A , B 两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又由于两所大学没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件．解：这名同学可以选择 A , B 两所大学中的一所．在 A 大学中有 5 种专业选择方法，在 B 大学中有 4 种专业选择方法．又由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有 5+4=9（种）. 变式：若还有C 大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？ 探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有1m 种不同的方法，在第2类方案中有2m 种不同的方法，在第3类方案中有3m 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？ 如果完成一件事情有n 类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？
乘法原理和加法原理 加法原理:完成一件工作有几种不同的方法，每种方法又有很多种不同的方法，而且这些方法彼此互斥，那么完成这件方法的总数就是等于各类完成这件工作的综合。这类方法称为加法原理，也叫分类计数原理。 乘法原理:如果完成一件工作需要很多步骤，每个步骤又有很多种方法，那么完成这件工作的方法就是把每一步骤中的不同方法乘起来，这类方法称为乘法原理，也叫分步计数原理。 例题: 例1. 小军、小兰和小红三个小朋友排成一排照相，有多少种不同的排法, 例2. 书架上有5本不同的科技书，6本不同的故事书，8本不同的英语书。如果从中各取 一本科技书、一本故事书、一本英语书，那么共有多少种取法, 例3.一个盒子里装有5个小球，另一个盒子里装有9个小球，所有的这些小球的颜色各不相同。 (1)从两个盒子任取一个球，有多少种不同的取法, (2)从两个盒子里各取一个球，有多少种不同的取法, 例4.四个数字3、5、6、8可以组成多个没有重复数字的四位数, 例5.用四种不同的颜色给下面的图形涂色，使相邻的长方形颜色不相同，有多少种不同的涂法, B A C D
当堂练: 1. 五一前夕，学校举行亲子活动，玲玲有红、白、黄、花四件上衣和蓝、黄、青共三种颜 色的裙子，找出来搭配着穿，一共有多少种不同的搭配方法, 2.甲、乙、丙三个组，甲组6人，乙组5人，丙组4人，如果从三组中选出一个代表，有多少种不同的选法, 3.有7、3、6三个数字卡片，能组成几个不同的三位数, 课堂作业: 1. 春节期间，有四个小朋友，如果他们互相寄一张贺卡，一共寄了多少张, 2. 有8,0,2,4,6五个数字可以组成几个不同的五位数, 3. 一个袋子里装有6个白色乒乓球，另一个袋子里装有8个黄色乒乓球。 (1).从两个袋子里任取一个乒乓球，共有多少种不同取法? (2).从两个袋子里各取一个乒乓球，有多少种不同取法, 4. 南京到上海的动车组特快列车，中途只停靠常州、无锡、苏州三个火车站， 共要准备多少种不同的车票,有多少种不同的票价,(考虑往返) 5.在A、B、C、D四个长方形区域中涂上红、黄、蓝、黑这四种颜色，使任何相邻两个长方形颜色不同，一共有多少种不同的涂法, A B C D 6.有6个不同的文具盒，4支不同的铅笔，4支不同的钢笔，2把不同的尺子。若从中各取一个，配成一套学习用具，最多可以有多少种不同的配法,
人教版高中数学选修2-3 知识点梳理 重点题型（ 常考知识点 ）巩固练习 分类加法计数原理和分步乘法计数原理 【学习目标】 1．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理． 2．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别． 3．会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题． 【要点梳理】 要点一：分类加法计数原理(也称加法原理) 1．分类加法计数原理： 完成一件事,有n类办法.在第1类办法中有m种不同方法,在第2类办法中有m种不同的方法,……, 12 在第n类办法中有m种不同方法,那么完成这件事共有N=m+m++m种不同的方法. n12n 2．加法原理的特点是： ①完成一件事有若干不同方法，这些方法可以分成n类； ②用每一类中的每一种方法都可以完成这件事； ③把每一类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数． 要点诠释： 使用分类加法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对这件事确定一个标准进行分类，第二步是确定各类的方法数，第三步是取和。 3．图示分类加法计数原理： 由A到B算作完成一件事.直线型流程线表示第1类方案中包括的方法数，折线型流程线表示第2类方案中包括的方法数。 从图中可以看出，完成由A到B这件事，共有方法m+n种。 要点诠释： 用分类加法计数原理计算完成某件事的方法数，“类”要一竿到底，它的起点、终点就是完成这件事的开始与结束，图示分类加法计数原理，用意就在其中。 要点二、分步乘法计数原理 1.分步乘法计数原理
“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，就是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤，要完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算完成． 2．乘法原理的特点： ①完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可； ②完成每一步有若干种方法； ③把每一步的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数． 要点诠释： 使用分步乘法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对完成这件事进行分步，第二步是确定各步的方法数，第三步是求积。 3.图示分步乘法计数原理： 由A到C算作完成一件事.设完成这件事的两个步骤为从A到B、从B到C。 要点诠释： 从A到C算作完成一件事，A是起点，C是终点，点B是中间单元，从A到B是第1步，从B到C是第2步。用分步乘法计数原理解题，按着这个模式施行就可以了，可简单地理解为：A→B，有m种方法；B→C，有n种方法；A→C，有mn种方法。 要点三、分类计数原理和分步计数原理的区别： 1．分类计数原理和分步计数原理的区别： 两个原理的区别在于一个和分类有关，一个和分步有关. 完成一件事的方法种数若需“分类”思考，则这n类办法是相互独立的，且无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，则用加法原理； 若完成某件事需分n个步骤，这n个步骤相互依存，具有连续性，当且仅当这n个步骤依次都完成后，这件事才算完成，则完成这件事的方法的种数需用乘法原理计算． 2.应用两个原理的分别要注意： 若用分类计数原理，要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类计数原理，即加法原理求和得到总数； 若用分步计数原理，要做到步骤“完整”——完成了所有步骤，恰好完成所有任务，当然步与步之间要相互独立．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步计数原理，即乘法原理把完成每一步的方法数相乘得到总数． 要点四、分类计数原理和分步计数原理的应用 1.利用两个基本原理解决具体问题时的思考程序： （1）首先明确要完成的事件是什么，条件有哪些？
第一讲加法原理和乘法原理（练习题） 1. 从武汉到上海，可以乘飞机·火车·轮船和汽车。一天中飞机有两班，火车有4班，轮船有2班，汽车有3班。那么一天从武汉到上海，一共有多少种不同的走法？ 2. 商店有铅笔5种，钢笔6种，圆珠笔3种。小红要从中任选一种，一共有多少种不同的选法？ 3. 4个好朋友在旅游景点拍照留念（不考虑站的顺序），共有多少种不同的照法？ 4. 有0、2、3三个不同的数字组成不同的三位数，一共可以组成多少种不同的三位数？ 5. 一列火车从甲地到乙地中途要经过5个站，这列火车从甲地到乙地共要准备多少种不同的车票？ 6. 五个人进行下棋比赛，每两个人之间都要赛一场，一共要赛多少场？ 7. 在5×5的方格中（如右图），共有多少个正方形？
8. 书架上有8本故事书和6本童话书，王刚要从书架上去一本故事书和一本童话书，一共有多少种不同的取法？ 9. 服装店里有5件不同的儿童上衣、4条不同的裙子。妈妈为小红买了一件上衣和一条裙子配成一套，一共有多少种不同的选法？ 10. 从1、3、5、7这四个数中每次取出两个数分别作为一个分数的分母和分子，一共可以组成多少个不同的分数？其中有多少个真分数？ 11．用1、2、3、4这四个数字可以组成多少个不同的三位数？ 12．（如图所示）：A、B、C、D四个区域分别用红、黄、蓝、绿四种颜色中的某一种涂色。如果要求相邻的区域涂不同的颜色，共有多少种不同的涂色方法？ 13. 从4名男生和2名女生中选出班干部3名，其中至少要有一名女生，一共有多少种不同的选法？ 14. 有红、黄、蓝、白四种颜色的旗各一面，从中选一面、两面、三面或者四面旗从上到下挂在旗杆上表示不同的信号（顺序不同时，表示的信号也不同），一共可以表示多少种不同的信号？
加法原理 在日常生活与实践中，我们经常会遇到分组、计数的问题。解答这一类问题，我们通常运用加法与那里与乘法原理这两个基本的计数原理。熟练掌握这两个原理，不仅可以顺利解答这类问题，而求可以为今后升入中学后学习排列组合等数学知识打下好的基础。 什么叫做加法原理呢？我们先来看这样一个问题： 从南京到上海，可以乘火车，也可以乘汽车、轮船或者飞机。假如一天中南京到上海有4班火车、6班汽车，3班轮船、2班飞机。那么一天中乘做这些交通工具从南京到上海共有多少种不同的走法？ 我们把乘坐不同班次的火车、汽车、轮船、飞机称为不同的走法，那么从南京到上海，乘火车有4种走法，乘汽车有6种走法，乘轮船有3种走法，乘坐飞机有2种走法。因为每一种走法都可以从南京到上海，因此，一天中从南京到上海共有4+6+3+2 = 15 (种)不同的走法。 我们说，如果完成某一种工作可以有分类方法，一类方法中又有若干种不同的方法，那么完成这件任务工作的方法的总数就等于各类完成这件工作的总 和。即N = m 1 + m 2 + … + m n (N代表完成一件工作的方法的总和，m1,m2, … m n 表示每一类完成工作的方法的种数)。这个规律就乘做加法原理。 例题与方法： 例1 书架上有10本故事书，3本历史书，12本科普读物。志远任意从书架上取一本书，有多少种不同的取法？ 例2一列火车从上上海到南京，中途要经过6个站，这列火车要准备多少中不同的车票？
例3、4 x 4的方格图中（如下图），共有多少个正方形？ 例4、妈妈，爸爸，和小明三人去公园照相：共有多少种不同的照法？ 练习与思考： 从甲城到乙城，可乘汽车，火车或飞机。已知一天中汽车有2班，火1. 车有4班，甲城到乙城共有（）种不同的走法。 一列火车从上海开往杭州，中途要经过4个站，沿途应为这列火车准2. 备____种不同的车票。 3.下面图形中共有____个正方形。 4.图中共有_____个角。 5.书架上共有７种不同的的故事书，中层６本不同的科技书，下层有４钟不同的历史书。如果从书架上任取一本书，有____种不同的取法。 6.平面上有８个点（其中没有任何三个点在一条直线上），经过每两个点画一条直线，共可以画_____条直线。
第1节分类加法和分步乘法 【基础知识】 1.分类加法计数原理（加法原理）的概念 一般形式：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，……，在第n类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有N=++……+种不同的方法. 2．分步乘法计数原理(乘法原理)的概念 一般形式：完成一件事需要n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，……，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有N=种不同的方法. 3.两个原理的区别： （1）“每类”间与“每步”间的关系不同：分类加法计数原理中的每一类方案中的任何一种方法、不同类之间的任何一种方法都是相互独立，互不依赖的，且是一次性的；而分步乘法计数原理中的每一步是相互依赖，且是连续性的. （2）“每类”与“每步”完成的效果不同：分类加法计数原理中所描述的每一种方法完成后，整个事件就完成了，而分步乘法计数原理中每一步中的每一种方法得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事. 4.切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行，同时要优先考虑题中的限制条件. 【规律技巧】 1.计数问题中如何判定是分类加法计数原理还是分步乘法计数原理：如果已知的每类方法中的每一种方法都能单独完成这件事，用分类加法计数原理；如果每类方法中的每一种方法只能完成事件的一部分，用分步乘法计数原理． 2.利用分类计数原理解决问题时：(1)将一个比较复杂的问题分解为若干个“类别”，先分类解决，然后将其整合，如何合理进行分类是解决问题的关键．(2)要准确把握分类加法计数原理的两个特点：①根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏；②分类时，注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，不能重复；③对于分类问题所含类型较多时也可考虑使用间接法． 3.利用分步乘法计数原理解决问题时要注意：
二讲加法与乘法原理 知识导航 加法原理：做一件事情，完成 ．．它有n类办法，在第一类办法中有M1种不 同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事情共有m 1+m 2 +……+m n 种不同的方法。 运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏。要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)。合理分类也是运用加法原理解决问题的难点，不同的问题，分类的标准往往不同，需要积累一定的解题经验。 乘法原理：完成一件工作共需N个步骤：完成第一个步骤有m 1 种方法，完 成第二个步骤有m 2种方法，…，完成第N个步骤有m n 种方法，那么，完成这件 工作共有m 1×m 2 ×…×m n 种方法。 运用乘法原理计数，关键在于合理分步。完成这件工作的N个步骤，各个步骤之间是相互联系的，任何一步的一种方法都不能完成此工作，必须连续完成这N步才能完成此工作；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此工作的方法也不同。 精典例题 例1：一个口袋内装有3个小球，另一个口袋内装有8个小球，所有这些小球颜色各不相同。问： ①从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？ ②从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？
思路点拨 ①：从两个口袋中只需取一个小球,则这个小球要么从第一个口袋中取，要么从第二个口袋中取，共有两大类方法。所以是加法原理的问题。 ②：要从两个口袋中各取一个小球，则可看成先从第一个口袋中取一个，再从第二个口袋中取一个，分两步完成，是乘法原理的问题。 模仿练习 孙老师的一个口袋内装有60个小球，另一个口袋内装有80个小球，所有这些小球颜色各不相同。问： （1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？ （2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？ 例2：一把钥匙只能开一把锁，淘气有7把钥匙和7把锁全部都搞乱了，最多要试验多少次才能全部配好锁和相应的钥匙？ 思路点拨 要求“最多”多少次配好锁和钥匙，就要从最糟糕的情况开始考虑：第1把钥匙要配到锁，最多要试6次（如果6次配对失败，第7把锁就一定是这把钥匙，不用再试）；同理，第2把钥匙最多要试5次；……第6把锁最多试1次，最好一把锁不用试。
四年级数学思维训练：加法原理与乘法原 理 1、如果两个四位数的差等于8921，那么就说这两个四位数组成一个数对，问这样的数对共有多少个？ 分析：从两个极端来考虑这个问题：最大为9999-1078=8921，最小为9921-1000=8921，所以共有9999-9921+1=79个，或1078-1000+1=79个 2、一本书从第1页开始编排页码，共用数字2355个，那么这本书共有多少页？ 分析：按数位分类：一位数：1～9共用数字1*9=9个；二位数：10～99共用数字2*90=180个；
三位数：100～999共用数字3*900=2700个，所以所求页数不超过999页，三位数共有：2355-9-180=2166，2166 3=722个，所以本书有722+99=821页。 3、上、下两册书的页码共有687个数字，且上册比下册多5页，问上册有多少页？ 分析：一位数有9个数位，二位数有180个数位，所以上、下均过三位数，利用和差问题解决：和为687，差为3*5=15，大数为：（687+15）2=351个（351- 189）3=54，54+99=153页。 4、从1、2、3、4、 5、 6、 7、 8、 9、10这10个数中，任取5个数相加的和与其余5个数相加的和相乘，能得到多少个不同的乘积。 分析：从整体考虑分两组和不变：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55 从极端考虑分成最小和最大的两组为（1+2+3+4+5）+（6+7+8+9+10）=15+40=55 最接近的
两组为27+28 所以共有27-15+1=13个不同的积。 另从15到27的任意一数是可以组合的。 5、将所有自然数，自1开始依次写下去得到：12345678910111213 ，试确定第206788个位置上出现的数字。 分析：与前面的题目相似，同一个知识点：一位数9个位置，二位数180个位置，三位数2700个位置，四位数36000个位置，还剩：206788-9-180-2700-36000=167899，167899 5=33579 4 所以答案为33579+100=33679的第4个数字7. 6、用1分、2分、5分的硬币凑成1元，共有多少种不同的凑法？ 分析：分类再相加：只有一种硬币的组合有3种方法；1分和2分的组合：其中2分的从1枚到49枚均可，有49种方法；1分和5
加法原理与乘法原理 例1 书架上有1 0本故事书、3本历史书、1 2本科普读物。志远任意从书架上取一本书，有多少种不同的取法？ 例2 一列火车从上海到南京，中途要经过6个站，这列火车要准备多少种不同的车票？ 例3 . 数数图中有多少正方形。 例 4 爸爸、妈妈和小明三人在公园照相，共有多少种不同的照法？ 例5 从甲地到乙地有2条路可走，从乙地到丙地有3条路可走。试问从甲地经乙地到丙地共有多少种不同的走法？ 例6 书架上有4本故事书，7本科普书，志远从书架上任 取1本故事书和1本科普书。共有多少种不同的取法？ 例7 用9、8、7、6这4个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？这些三位数的和是多少？ 例8如图，A 、B 、C 、D 4个区域分别用红、黄、蓝、白4种颜色中的某一种染色。若要求相邻的区域染不同的颜色，那么共有多少种不同的染色方法？ 例9 如图，小明家到学校有3条东西向的马路和5条南北向的马路。他每天步行从家到学校只能向东或向南 思考与练习： 1．从甲城到乙城，可乘汽车、火车或飞机。已知一天中汽车有2班，火车有4班，飞机有3班，从甲城到乙城共有多少种不同的走法 2．书架上层放有7本不同的故事书，中层有6本不 同的科技书，下层有4本不同的历史书。如果从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？ 3．平面上有8个点（其中没有任何三个点在一条直线上），经过每两点画一条直线，共可以画多少条直线？ 4．从2、3、5、7 、11、13这六个数中，每次取出两个数，分别作为一个分数的分子和分母，一共可以组成多少个真分数？ 5．十把钥匙开十把锁，但钥匙已经搞乱了，问：最多试多少次即可将钥匙和锁配起来？ 6.用1、2.3.4、5这五个数字可以组成多少个没有重复数字的四位数？将它们从小到大排列起来，5124是第几个？ 7．某人到食堂去买饭，主食有3种，副食有5种，他 主食和副食各买一种，共有多少种不同的买法？ 8．衣架上有2顶帽子、3件上衣、3条裤子。从中任取1顶帽子、1件上衣、1条裤子可以组成一套装束，最多可配成多少种不同的装束？ 9．甲、乙两个班级进行乒乓球比赛，每班选3人，每人都要和对方的每个选手赛一场，一共要赛多少场？ 10．从5、7、11、13这四个数中每次取2个数组成分数，一共可以组成多少个分数？
第2讲 加法原理和乘法原理 1、 书架上有三排书，第一排有12本，第二排共有20本，第三排共有15本 书，小明从中取出一本来阅读，问他共有几种不同的取法？ 2、 某班有男生18人，女生15人，现从中选出一人参加夏令营，问有多少种 不同的选法？ 3、 第一个口袋装有4个球，第二个口袋里装2个球，第三个口袋里装5个球， 所有三个口袋中的球各不相同。 （1） 从口袋中任取一个小球，共有多少种不同的取法？ （2） 从三个口袋中各取一个球，问有多少种不同的取法？ 4、 如图所示， 地有四条路，问从甲地到 丙地共有多少种不同的走法？ 5、 把多项式：（a 1+a 2+a 3）(b 1+b 2+b 3)(c 1+c 2) 展开，问展开式中有多少种不同的项？ 6、 求2000的正约数的个数？ 7、 用1、2、3、48、 将69、 从南京到上海的某次快车中途要靠六个大站，铁路局要为这次快车准备多 少种不同的车票，这些车票中最多有多少种不同的票价？ 10、 10个人站成一排合影，共有多少种不同的排法？ 11、 用2、3、4这三个数字组成没有重复的三位数。 （1） 求所有这些三位数的数字和的和。 （2） 求所有这些三位数的和。 12、 2000有多少个正约数？在这些正月数中，有多少个偶数 13、 用数字0、1、2、3、4可以组成多少个 （1）四位数？ （2）四位偶数 14、 三封信，随机的投入四个箱中，问共有多少种不同的投信方法？ 15、 5个人照相，其中一个人必须站在中间，有多少种站法？ 16、 有多少个被3整除并含有数字9的三位数？ 17、 如图，对图上的A 、B 、C 、D 、E 、这五个部分分成四种不同的颜色，且 相邻的部分不能用相同的颜色，不相邻的部分可用相同的颜色，那么,共有多少种不同的染色方法？ 18、 一个学生要从2本科技书，3本文艺书，4本外文书中任选一本，共有多少 种不同的选法？ 19、 求720的正约数？并求这些正约数的和。 20、 由1、2、3、4、5这五个数可以组成： （1）多少个四位数？其中有多少个奇数？ （2）多少个没有重复数字的四位数？其中有多少个是3的倍 数？
加法原理和乘法原理 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-
课题：加法原理和乘法原理 教学内容：加法原理和乘法原理 教学目的：1．加法原理和乘法原理 2．让学生学会从具体到抽象的思维过程。 教学重点：两个原理的归纳 教学难点：两个原理的应用 教学方法：研讨法 教学过程： 1．课题引入 排列、组合和二项式定理是一门在生产和生活实际中运用很广的数学知识。学好它对我们的生活和实践都会带来许多方便。要学好它，并不难，只要认真学会下面的原理：加法原理和乘法原理。 2．研究课题 分析下面问题，有些什么特征，能得出一些一般的结论吗？ 1）修山至桃江有2班船， 5班车，共有几种不同的方法从修山至桃江？ 2）修山经益阳至长沙市，修山有水路1条，公路3条至益阳，益阳至长沙有水路1条，公路2条，铁路1条，共有几种不同的方法从修山至 长沙市？ 3）你的桌上摆有一垒32开的书5本和一叠16开的书6本，现从中选取1本，共有多少种不同的选取方法？ 4）你的桌上摆有一垒32开的书5本和一叠16开的书6本，现从中选取1本32开的书和2本16开的书，共有多少种不同的选取方法？ 3．学生活动 a)对下面四个问题作出回答。 b)相互之间交流解决问题的方法。 c)总结解这类问题的一般方法。 4．课题总结 由解决问题1）、3）可总结出 加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m 1 种 不同的方法，在第二类办法中有m 2 种不同的方法，……，在第n类办法中有 m n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N=m 1+m 2 +…+m n 种不同的方法。 由解决问题2）、4）可总结出 乘法原理：做一件事，完成它可以有n个步骤，在第一个步骤中有m 1 种 不同的方法，在第二个步骤中有m 2 种不同的方法，……，在第n个步骤中有 m n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N=m 1×m 2 ×…×m n