高考数学分类汇编-极坐标与参数方程
题型160 极坐标方程化直角坐标方程
1. (安徽理7）在极坐标系中,圆2cos ρθ=的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）.
A. ()0θρ=∈R 和cos 2ρθ=
B. ()π
2
θρ=∈R 和cos 2ρθ= C. ()π
2
θρ=
∈R 和cos 1ρθ= D. ()0θρ=∈R 和cos 1ρθ= 2.(天津理11）已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=,圆心为C ,点P 的极坐标为π4,3
?? ???
,则
CP = .
3. (重庆理15）在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标
系.若极坐标方程为cos 4ρθ=的直线与曲线2
3
x t
y t
?=??=??（t 为参数）相交于A B ，两点,则AB = . 4.（湖北理16）
在直角坐标系xOy 中,椭圆C 的参数方程为cos sin x a y b ?
?=??
=?
(?为参数,0a b >>),在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点
O 为极点,以x 轴正半轴为极轴）中,直线l 与圆O 的极坐标方程分别为
sin 4
π
ρθ+
=
（m 为非零数）
与b ρ=．若直线l 经过椭圆C 的焦点,且与员O 相切,则椭圆C 的离心率为 ． 5.（福建理21）
在平面直角坐标系中,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已
知点A 的极坐标为π4???,直线l 的极坐标方程为πcos 4a ρθ?
?-= ???,且点A 在直
线l 上．
（1）求a 的值及直线l 的直角坐标方程； （2）圆C 的参数方程为)(sin ,
cos 1为参数a a y a x ?
?
?=+=,试判断直线l 与圆C 的位置关系.
6.（2014 重庆理 15）已知直线l 的参数方程为23x t
y t =+??=+?（t 为参数）,以坐标原点为极
点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为
()2sin 4cos 00,0π2πρθθρ-=<,则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ=________.
7.（2014 天津理 13）在以O 为极点的极坐标系中,圆4sin ρθ=和直线sin a ρθ=相交于,A B 两点.若AOB △是等边三角形,则a 的值为___________.
8.（2014 陕西理 15）C.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,点π2,6??
???到直线
πsin 16ρθ?
?-= ??
?的距离是 .
9.（2014 湖北理 16）（选修4-4:坐标系与参数方程）
已知曲线1C 的参数方程是???
??=
=33t y t
x ()为参数t ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴
建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程是2ρ=,则1C 与2C 交点的直角坐标为________. 10.（2014 广东理 14）（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中,曲线1C 和2C 的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin 1ρθ=,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线1C 和2C 的交点的直角坐标为 .
11.（2014 安徽理 4）以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐
标系,两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线l 的参数方程是1
3x t y t =+??=-?（t 为参数）,
圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=,则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ）.
A.
B.
C.
D.
12.（2014 新课标2理23）（本小题满分10）选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C
的极坐标方程为2cos ρθ=,0,2θπ??∈????.
（1）求C 的参数方程；
（2）设点D 在C 上,C 在D
处的切线与直线:2l y =+垂直,根据（1）中你得到的参数方程,确定D 的坐标.
13.（2015陕西理23）在直角坐标系xOy 中,直线l
的参数方程为132x t y ?
=+??
??=??（t 为参数）．以
原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,C
的极坐标方程为ρθ=． (1)写出C 的直角坐标方程；
(2)P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标． 13.解析 （1
）由2sin ρθρθ=?=,
从而有(2
2
2
2
+,+3x y x y ==所以.
(2) d ==, 所以当0t =时,d 取得最小值,此时P 点的直角坐标为()3,0.
14.（2015北京理11）在极坐标中,点π2,3??
???
到直线()cos 6ρθθ+=的距离
为 .
14. 解析 极坐标中的点π2,3??
???
对应直角坐标系中的点为(,极坐标方程
()
cos 6ρθθ+=
对应的直角坐标系方程为60x +-=,根据点到直线的距离公
式
136
1
2
d
+-
==.
15.（2015广东理14）已知直线l
的极坐标方程为2sin
4
ρθ
π
??
-=
?
??
点A的极坐标为
7
4
A
π
??
?
??
,则点A到直线l的距离为．
15.解析
依题已知直线:2sin
4
lρθ
π
??
-=
?
??
7
4
A
π
??
?
??
可化为直线:10
l x y
--=和点()
2,2
A-,所以点()
2,2
A-与直线l的距离为:
2
d
==．故应填
2
．
16.（2015湖北理16）在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标
系. 已知直线l的极坐标方程为(sin3cos)0
ρθθ
-=,曲线C的参数方程为
1
,
1
x t
t
y t
t
?
=-
??
?
?=+
??
(t 为参数) ,l与C相交于A,B两点,则||
AB=.
16．解析因为()
sin3cos0
ρθθ
-=,所以sin3cos0
ρθρθ
-=,
所以30
y x
-=,即3
y x
=；由
1
1
t
t
x t
y t
-
+
?
=
??
?
?=
??
消去t得224
y x
-=.联立方程组
22
3
4
y x
y x
?=
?
?
-=
??
,
解得
2
2
x
y
?
=
?
?
?
?=
??
2
2
x
y
?
=-
?
?
?
?=-
??
,即
22
A
?
?
?
,
22
B
??
--
?
?
??
,
故AB==
17.（2015湖南理16（Ⅱ））
已知直线5:12
x l y t ?=????=??（t 为参数）,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=. (1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点M
的直角坐标为(,直线l 与曲线C 的交点为A ,B ,求||||MA MB ?的值. 17.解析 2. (i )θρcos 2=等价于 θρρcos 22=. ①
将 222y x +=ρ,x =θρcos 代入①式即得曲线C 的直角坐标方程是
0222=-+x y x . ②
(ii ) 将???
????+=+=.213,23
5t y t x 代入②,得018352=++t t . 设这个方程的两个实根分别为21,t t ,
则由参数t 的几何意义即知||||MB MA ?＝.18||21=t t
18.（2015江苏21（C ））已知圆C
的极坐标方程为2
sin 404ρθπ??+--= ???,求圆C
的半径．
18.解析
由题意得sin 422θθθπ?
?-=- ??
?,
所以()2
2sin cos 40ρρθθ+--=,即22sin 2cos 40ρρθρθ+--=,
从而222240x y y x ++--=,即()()22
116x y -++=,故圆C
．
19.（2016北京理11）在极坐标系中,
直线cos sin 10ρθθ-=与圆2cos ρθ=交于
,A B 两点, 则 AB =__________.
19. 2 解析 解法一:在平面直角坐标系中,题中的直线圆的方程分别是
22
10,2x x y x -=+=.可得
,A B 两点的坐标(,
)x y ,
即为方程组22
1(1)1
x x y ?-=??-+=??的解,
用代入法可求得,A B
两点的坐标分别为111,1,2222????
+-- ? ? ? ?????,
所以由两点的距离公式可求得
2AB =.
解法二:
直线的直角坐标方程为10x -=,圆的直角坐标方程为22(1)1x y -+=. 圆心
()1,0在直线上,因此AB 为圆的直径,所以2AB =.
20.（2016全国丙卷23）在直角坐标系xOy 中,曲线1C
的参数方程为()sin x y θ
θθ
?=??
=??为参数,以坐标原点为极点,以x 轴的正半轴为极轴,,建立极坐标系,曲线2C
的极坐标方程为
sin 4
ρθπ??
+= ??
?.
（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；
（2）设点P 在1C 上,点Q 在2C 上,求PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.
20. 分析 （1）利用同角三角函数基本关系中的平方关系曲线1C 的参数方程普通方程,利用公式cos x ρθ
=与sin y ρθ=代入曲线
1C 的极坐标方程即可；（2）利用参数方程
表示出点P 的坐标,然后利用点到直线的距离公式建立()PQ d α=的三角函数表达式,
然后求出最值与相应的点P 坐标即可.
解析 （1）1C 的普通方程为2213
x y +=,2C 的直角坐标方程为40x y +-=.
（2）由题意,可设点P
的直角坐标为
)
,sin αα,因为2C 是直线,所以
PQ 的最小值,
即为P 到2C 的距离()d α的最小值,(
)π23d αα?
?=
=+- ??
?.
当且仅当()π
2π6
k k α=+
∈Z 时,()d α取得最小值,
最小值为,此时P 的直角坐标为31,22?? ???
. 21.（2017天津理11）在极坐标系中,直线4cos 106ρθπ?
?-+= ??
?与圆2sin ρθ=的公共点
的个数为___________.
21.解析
直线1
4sin 102ρθθ?++=????
化直角坐标方程为210y ++=,由
圆22sin 2sin ρθρρθ=?=,得其直角坐标方程为222x y y +=,即()2
211x y +-=,则圆心()0,1
到直线的距离3
1=4
d r =
=
<,知直线与圆相交,得它们的公共点的个数为2.
22.（2017北京理11）在极坐标系中,点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上,点P 的坐标为()1,0,则AP 的最小值为___________.
22. 解析 由22cos 4sin 40ρρθρθ--+=,化为普通方程为222440x y x y +--+=, 即()()2
2
121x y -+-=,由圆心为()1,2,P 为()1,0,则AP 最小值为1.故选D.
23.（2107全国2卷理科22）在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．
（1）M 为曲线1C 上的动点,点P 在线段OM 上,且满足16OM OP ?=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；
（2）设点A 的极坐标为2,3π??
???
,点B 在曲线2C 上,求OAB △面积的最大值．
23．解析 （1）设()()00M P ρθρθ，
，，,则0||OM OP ρρ==，． 由000016
cos 4ρρρθθθ
=??=??=?
,解得4cos ρθ=,化直角坐标方程为()2
224x y -+=()0x ≠.
（2）联结AC ,易知AOC △为正三角形,||OA 为定值．所以当高最大时,AOB △的面积最大,如图所示,过圆心C 作AO 垂线,交AO 于点H ,交圆C 于B 点,此时AOB S △最大,
max 1||||2S AO HB =
?()1
2
AO HC BC =
+2=.
题型161
直角坐标方程化为极坐标方程
1.(广东理14）已知曲线C 的参数方程为x t
y t
?=??=??(t 为参数),C 在点()1,1 处的切线
为l ,以
坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l 的极坐标方程为 ．
2. (安徽理7）在极坐标系中,圆2cos ρθ=的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）.
A. ()0θρ=∈R 和cos 2ρθ=
B. ()π
2
θρ=∈R 和cos 2ρθ= C. ()π
2
θρ=
∈R 和cos 1ρθ= D. ()0θρ=∈R 和cos 1ρθ= 3.（2014 湖南理 11）在平面直角坐标系中,倾斜角为4
π
的直线l 与曲线:
C 2cos 1sin x y αα
=+??
=+?（α为参数）交于A ,B 两点,且2AB =,以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l 的极坐标方程是________.
4.（2014 江西理 11）（2）（坐标系与参数方程选做题）若以直角坐标系的原点为极点,x
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段()101y x x =-的极坐标方程为（ ）. A.1
cos sin ρθθ
=
+,02
θ
π B. 1cos sin ρθθ=+,04θ
π C.cos sin ρθθ=+,02
θ
π
D. cos sin ρθθ=+,04
θπ 5.（2015全国Ⅰ理23）在直角坐标系xOy 中,直线1:2C x =-,
圆()()2
2
2:121C x y -+-=,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求1C ,2C 的极坐标方程； （2）若直线3C 的极坐标为()4
θρπ
=∈R ,设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN △的 面积.
5.解析 （1）因为cos x ρθ=,sin y ρθ=,所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-,
2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=．
（2）解法一:3C 的直角坐标系方程为y x =,所以2C 的圆心到直线3C 的距离
2d =
=
,
所以MN =
=所以212C MN S
=△122
=． 解法二:将4
θπ
=
代入22cos 4sin 40ρρθρθ--
+=,得240ρ-+
=, 解得1
ρ=2
ρ=,所以12ρρ-=
即MN =2C 的半径为1,
所以2C MN △的面积为1
2
．
6.（2016全国甲理23）在直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为()2
2625x y ++=. （1）以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆C 的极坐标方程；
（2）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=??=?，
，
（t 为参数）,l 与C 交于A B 、
两点,AB =求
l 的斜率.
6.解析（1）整理圆的方程得2212110x y x +++=,
由222cos sin x y x y ρρθρθ?=+?
=??=?
可知圆C 的极坐标方程为212cos 110ρρθ++=．
（2）解法一:将直线l 的参数方程代入圆C :2212110x y x +++=化简
得,212cos 110t t α++=,设,A B 两点处的参数分别为12,t t ,则1212
12cos ,
11t t t t α+=-??
=?,所以
12||||AB t t =-=
==,
解得2
3cos 8α=,
l 的斜率tan 3
k α==±
. 解法二:设:l y kx =,其中tan k α=,如图所示,圆心到到
l
的距离
d ===,
故k ==. 题型162 参数方程化普通方程
1. (重庆理15）在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标
系.若极坐标方程为cos 4ρθ=的直线与曲线2
3
x t
y t
?=??=??（t 为参数）相交于A B ，两点,则AB = .
2. (湖南理9） 在平面直角坐标系xOy 中,若,:()x t l t y t a =??
=-?为参数过椭圆3cos :2sin x C y ?
?=??=?,（? 为参数）的右顶点,则常数a 的值为 . 3.（湖北理16）
在直角坐标系xOy 中,椭圆C 的参数方程为cos sin x a y b ?
?=??
=?
(?为参数,0a b >>),在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,
且以原点
O为极点,以x轴正半轴为极轴）中,直线l与圆O的极坐标方程分别
为
sin2
4m
π
ρθ+=（m为非零数）与b
ρ=．若直线l经过椭圆C的焦点,且与员O相切,则椭圆C的离心率为．
4.(福建理21）
在平面直角坐标系中,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点
A
的极坐标为
π
4
?
?
?
,直线l的极坐标方程为
π
cos
4
a
ρθ??
-=
?
??
,且点A在直线l上．（1）求a的值及直线l的直角坐标方程；
（2）圆C的参数方程为)
(
sin
,
cos
1
为参数
a
a
y
a
x
?
?
?
=
+
=
,试判断直线l与圆C的位置关系.
5.（2014 新课标1理23）（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线C:
22
1
49
x y
+=,直线l:
2
22
x t
y t
=+
?
?
=-
?
（t为参数）.
（1）写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程；
（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30?的直线,交l于点A,求PA的最大值与最小值.
6.（2014 江苏理21）[选修4-4:坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中,已知直线l
的参数方程为
1
2
2
x
y
?
=
??
?
?=+
??
（t为参数）,直线
l与抛物线24
y x
=相交于A,B两点,求线段AB的长．
7.（2014 福建理21）B.（本小题满分7分）选修4—4:极坐标与参数方程
已知直线l的参数方程为
2
4
x a t
y t
=-
?
?
=-
?
,（t为参数）,圆C的参数方程为
?
?
?
=
=
θ
θ
sin
4
cos
4
y
x
,（θ为
常数）.
（1）求直线l和圆C的普通方程；
（2）若直线l 与圆C 有公共点,求实数a 的取值范围.
8.（2014 重庆理 15）已知直线l 的参数方程为23x t
y t =+??=+?（t 为参数）,以坐标原点为极
点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为
()2sin 4cos 00,0π2πρθθρ-=<,则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ=________.
9.（2014 湖北理 16）（选修4-4:坐标系与参数方程）
已知曲线1C 的参数方程是???
??=
=33t y t
x ()为参数t ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴
建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程是2ρ=,则1C 与2C 交点的直角坐标为________.
10.（2014 北京理 3）曲线1cos 2sin x y θ
θ=-+??=+?（θ为参数）的对称中心（ ）.
A.在直线2y x =上
B.在直线2y x =-上
C.在直线1y x =-上
D.在直线1y x =+上
11.（2014 安徽理 4）以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐
标系,两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线l 的参数方程是1
3x t y t =+??=-?（t 为参数）,
圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=,则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ）.
A.
B.
C.
D.
12.（2015重庆理15）已知直线l 的参数方程为11x t
y t =-+??=+?（t 为参数）,以坐标原点为
极
点,x 轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线C 的极坐标方程为2
cos24ρθ=
3π5π0,44ρθ?
?><< ??
?,则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为_______.
12.解析 由直线l 的参数方程??
?+=+-=t t
y t
x (11为参数）,
得直线方程为02=+-y x ①
由2
35cos 240,ππρθρθ??=><< ?44?
?,得()()22cos sin 4ρθρθ-=,
故422=-y x ②
联立式①,式②???=-=+-40
22
2y x y x ,解得交点坐标为()2,0-,所以交点的极坐标为()2,π． 13.（2015全国Ⅱ23）在直角坐标系xOy 中,曲线1cos :sin x t C y t α
α
=??
=?（t 为参数,0t ≠）,
其中0πα<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线2:2sin C ρθ=
,
3:C ρθ=
（1）求2C 与3C 交点的直角坐标；
（2）若1C 与2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 的最大值.
13.分析（1）将参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程,联立即可求解；.
（2）先确定曲线1C 的极坐标方程()0θαρρ=∈≠R,,进一步求出点A 的极坐标为
()2sin ,αα,点B
的极坐标为()
,αα,由此可得
:
2sin AB αα=-π4sin 43α?
?=- ??
?．
解析 （1）曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=,曲线3C 的直角坐标方程为
:
22
0x y +-=
．联立2222
20,0,x y y x y ?+-=??+-=??解得0,0,x y =??=?
或232
x y ?
=????=
??． 所以2C 与1C 交点的直角坐标为(0,0)
和3
)2
． （2）曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠,其中0πα<． 因此A 得到极坐标为(2sin ,)αα,B
的极坐标为,)αα．
所以2sin AB αα=-π
4sin()43
α=-,
当5π
6
α=
时,AB 取得最大值,最大值为4． 命题意图 考查了参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化,并能求出距离的最值. 14.（2015福建理21（2））在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为13cos 23sin x t
y t =+??
=-+?
（t 为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,
以x 轴非负半轴为极轴）中,直线l
()sin 4m m θπ?
?-=∈ ??
?
R ．
(1)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (2)设圆心C 到直线l 的距离等于2,求m 的值．
14.分析 本小题主要考查极坐标与直角坐标系的互化、圆的参数方程等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想．
解析 （1）消去参数t ,得到圆C 的普通方程为()()2
2
129x y -++=．
sin 4m θπ??-= ??
?,得sin cos 0m ρθρθ--=,
所以直线的直角坐标方程为0x y m -+=． （2）依题意,圆心C 到直线l 的距离等于2,
2
=,解得3m =-±．
15.（2016江苏21 C ）在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的
参数方程为
()1122x t t y t
?
=+??
??=??为参数,椭圆C 的参数方程为()cos 2sin x y θθθ=??
=?为参数,设直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点,求线段AB 的长．
15. 解析
解法一（求点）:直线
l 0y --=,
椭圆C 方程化为普通方程为2
2
14
y x +=,
联立22014y y x --=?+
=??,解得10x y =??=?
或17x y ?
=-
???
?=??
,
因此167AB ==．
解法二（弦长）:直线l
方程化为普通方程为y =-椭圆C 方程化为普通方程为2
2
14
y x +=,不妨设()11,A x y ,()22,B x y ,
联立得2
2
44y x y ?=-??+=??消y 得27610x x --=,3628640?=+=>恒成立, 故121267
17x x x x ?+=???
?=-??
,
所以12AB x =-
16
7
==
． 解法三（几何意义）:椭圆C 方程化为普通方程为2
2
14
y x +=,
直线恒过点()1,0,该点在椭圆上,
将直线的参数方程()1122
x t t y ?=+??
?
?=??为参数代入椭圆的普通方程
,
得2
2
141422t t ???
?++=
? ??
???,整理得27404t t +=,故10t =,2167t =-,因此1216
7
AB t t =-=
．
16.（2017江苏21 C ）在平面坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为82
x t t
y =-+??
?=?? （t 为参数）,曲线C
的参数方程为2
2x s
y ?=??=??
（s 为参数）．设P 为曲线C 上的动点,求点P 到
直线l 的距离的最小值．
16.解析 直线l 的普通方程为280x y -+=．
因为点P 在曲线C 上,
设()
2
2P s ,
从而点P 到直线l 的距离
2
24
s d +=
=
,
当
s =,min 5
d =
． 因此当点P 的坐标为()4,4时,曲线C 上点P
到直线l ． 17.（2017全国1卷理科22）在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为3cos sin x y θ
θ
=??=?（θ
为参数）,直线l 的参数方程为()41x a t
t y t
=+??=-?
为参数.
（1）若1a =-,求C 与l 的交点坐标；
（2）若
C 上的点到l 求a .
17.解析 （1）当1a =-时,直线l 的方程为430x y +-=,曲线C 的标准方程为2
219
x y +=.
联立方程22
43019x y x y +-=???+=?
?,解得30x y =??=?或21252425x y ?=-????=??
,则C 与l 交点坐标是()30，和21242525??- ???，. （2）直线l 一般式方程为440x y a +--=,设曲线C 上点()3cos sin p θθ，． 则点P 到l
的距离
d =
=
,其中3
tan 4
?=．
依题意得max d 解得16a =-或8a =.
18.（2017全国3卷理科22）在平面直角坐标系xOy 中,直线1l 的参数方程为2+x t
y kt
=??
=?（t
为参数）,直线2l 的参数方程为2x m m m y k =-+??
?=??
（为参数）．设1l 与2l 的交点为P ,当k 变化时,P
的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程；
（2）以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设
(
)3cos sin 0l ρθθ+=：,M 为3l 与C 的交点,求M 的极径．
18．解析 ⑴将参数方程转化为一般方程()1:2l y k x =- ①
()21
:2l y x k
=
+ ② ?①②,消k 可得224x y -=,即点P 的轨迹方程为224x y -=()0y ≠.
⑵将极坐标方程转化为一般方程3:0l x y +=,
联立22
04x y x y ?+??-=??
,
解得x y ?=????=??. 由cos sin x y ρθ
ρθ
=??=?,
解得ρ=,即M
．
题型163 普通方程化参数方程——暂无 1. (陕西理15C ）
C.（坐标系与参数方程选做题）如图,以过原点的直线的倾斜角θ为参数,则圆
220x y x +-= 的参数方程为 .
x
2. (全国新课标卷理23）选修4——4；坐标系与参数方程
已知动点P Q ，都在曲线2cos 2sin x C :y β
β
=??
=?（β为参数）上,对应参数分别为βα=与2πM α= （0<<2πα）,M 为PQ 的中点.
（1）求M 的轨迹的参数方程；
（2）将M 到坐标原点的距离d 表示为a 的函数,并判断M 的轨迹是否过坐标原点. 3. (辽宁理23）选修4-4；坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ,直线2C 的极坐标
方程分别为π4sin cos 4
ρθρθ??
==-= ??
?，（1）求1C 与2C 交点的极坐标；
（2）设P 为1C 的圆心,Q 为1C 与2C 交点连线的中点.已知直线PQ 的参数方程为
3312
x t a b y t ?=+??=+??（t ∈R 为参数）,求a b ，的值. 4.（2014 新课标1理23）（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线C :22149x y +=,直线l :222x t y t =+??
=-?（t 为参数）. （1）写出曲线C 的参数方程,直线l 的普通方程；
（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30?的直线,交l 于点A ,求PA 的最大值与最小值.
5.（2014 辽宁理 23）（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程
将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C . （1）写出C 的参数方程；
（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12P P ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. 题型164 参数方程与极坐标方程的互化 1.（江西理15）
(1)（坐标系与参数方程选做题）设曲线C 的参数方程为2x t
y t
=??=?（t 为参数）,若以直角
坐标系的原点
为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C 的极坐标方程为 ．
2.（2016全国乙理23）在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为cos 1sin x a t
y a t =??=+?（t 为
参数,0a >）.在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
2:4cos C ρθ=.
（1）说明1C 是哪一种曲线,并将1C 的方程化为极坐标方程；
（2）直线3C 的极坐标方程为0θα=,其中0α满足0tan 2α=,若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上,求a .
2.解析 （1）将1C 化为直角坐标方程为()2
221a x y +-=,从而可知其表示圆． 令cos x ρθ=,sin y ρθ=,代入得极坐标方程22s 2in 10a ρρθ+-=-．
（2）将1C ,2C 化为直角坐标方程为22212:10y y C x a +-+-=,22
2:40C x y x +-=．
两式相减可得它们的公共弦所在直线为24210x y a -+-=.
又12,C C 公共点都在3C 上,故3C 的方程即为公共弦24210x y a -+-=. 又3C 为0θα=,0tan 2α=,即为2y x =,从而可知1a =．
第2节 不等式选讲（选修4-5）
题型165 含绝对值的不等式 1.（江西理15）
(2)（不等式选做题）在实数范围内,不等式211x --的解集为 ． 2.(福建理21）
设不等式()2x a a *
-<∈Ν的解集为A ,且A A ?∈2
1,23.
（1）求a 的值；
（2）求函数2)(-++=x a x x f 的最小值.
3.（2014 重庆理 16）若不等式2121222
x x a a -++++对任意实数x 恒成立,则实数
a 的取值范围是____________.
4.（2014 湖南理 13）若关于x 的不等式23ax -<的解集为5133x x ?
?-<
?,则
a =________.
5.（2014 江西理 11）（1）（不等式选做题）对任意,x y ∈R ,111x x y y -++-++的最小值为（ ）.
A.1
B.2
C.3
D.4
6.（2014 陕西理 15）A.（不等式选做题）设,,,a b m n ∈R ,且225,5a b ma nb +=+=,
的最小值为 .
7.（2014 新课标2理24）（本小题满分10）选修4-5:不等式选讲 设函数()1
f x x x a a
=+
+-()0a >. （1）证明:()2f x ；
（2）若()35f <,求a 的取值范围.
8.（2014 辽宁理 24）（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲
第7讲 极坐标与参数方程(教师版 ) 【基础知识】 一．平面直角坐标系中的伸缩变换：设点(,)P x y 在变换?：//,(0) ,(0) x x y y λλμμ?=>??=>??的作用下对应到点 ///(,)P x y ，则称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。 二.极坐标知识点 1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，从O 引一条射线Ox ，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫做极轴. ①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐 标系的四要素，缺一不可. 2.极坐标与直角坐标的互化： 三.参数方程知识点 1.参数方程的概念：在平面直角坐标系中，若曲线C 上的点满足，该方程叫曲 线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 2．曲线的参数方程 （1）圆的参数方程可表示为. （2）椭圆的参数方程可表示为. （3）抛物线的参数方程可表示为. （4）经过点，倾斜角为的直线的参数方程可表示为（为参数）. 注意：t 的几何意义 3．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使的取值范围保持一致. 规律方法指导： 1.把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法. 常见的消参方法有： (,)P x y () () x f t y f t =?? =?2 2 2 )()(r b y a x =-+-)(.sin , cos 为参数θθθ? ??+=+=r b y r a x 122 22=+b y a x )0(>>b a )(. sin ,cos 为参数??????==b y a x px y 22 =)(.2, 22为参数t pt y pt x ? ? ?==),(o o O y x M αl ? ? ?+=+=.sin , cos o o ααt y y t x x t y x , ) 0(n t , sin , cos , 222≠===+=x x y a y x y x θθρθρρ
专题1 极坐标与参数方程 【基本方法】 1．两大坐标系：直角坐标系(普通方程、参数方程)；极坐标系(极坐标方程)； 2．基本转化公式： cos sin x y ρθ ρθ = ? ? = ? ， 222 (0) tan x y x y x ρ θ ?=+ ? ≠ ? = ?? ； 3．参数方程： () () x f t y g t = ? ? = ? ，消去参数t得关于,x y的普通方程，引入参数t得参数方程； 4．直线的参数方程0 0cos sin x x t y y t αα =+ ? ? =+ ? (t为参数)，注意参数t的几何意义；5．用转化法解决第(1)问，用图形法解决第(2)问. 【三年真题】 1．(2017全国I)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 3cos, sin, x y θ θ = ? ? = ? (θ为参数)，直线l的 参数方程为 4, 1, x a t t y t =+ ? ? =- ? （为参数）. (1)若1 a=-，求C与l的交点坐标； (2)若C上的点到l a. 2．(2016全国I)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 cos 1sin x a t y a t = ? ? =+ ? (t为参数， a>).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cos θ. (I)说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程； (II)直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.
3．(2015全国I)在直角坐标系xOy 中，直线1C : x =-2，圆2C ：()()22 121x y -+-=，以 坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (I)求1C ，2C 的极坐标方程； (II)若直线3C 的极坐标方程为()4 θρπ =∈R ，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求2C MN △的面积. 【自主研究】 4．(2016届佛山二模)已知曲线C 的极坐标方程为4sin()3 ρθπ =-，以极点为原点， 极轴为x 轴正半轴，建立直角坐标系xOy ． (I)求曲线C 的直角坐标方程； (II)若点P 在曲线C 上，点Q 的直角坐标是(cos ,sin )?? (其中)?∈R ，求PQ 的最大值． 5．(2016届河南八市质检)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为333x y θ θ ???=??＝cos sin (θ为参 数)，以原点O 为起点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知点P 的极坐标为(2，－3 π )， 直线l 的极坐标方程为ρcos(3 π ＋θ)＝6． (Ⅰ)求点P 到直线l 的距离； (Ⅱ)设点Q 在曲线C 上，求点Q 到直线l 的距离的最大值． 6．(2016年全国卷II )在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为2 2 (6)25x y ++=． (Ⅰ)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； (Ⅱ)直线l 的参数方程是cos sin x t y t α α=??=? (t 为参数)， l 与C 交于,A B 两点，||10AB =，求l 的 斜率．
参数方程极坐标系 解答题 1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数） （Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程． （Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值． +=1 ， ， 的距离为 则 取得最小值，最小值为 2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为： ，曲线C的参数方程为：（α为参数）． （I）写出直线l的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值． 的极坐标方程为： cos=
∴ y+1=0 （ d= 的距离的最大值． 3．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）． （1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值． ：（化为普通方程得：+ t=代入到曲线 sin =，），﹣
4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为 ，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C 上不同于A，B的任意一点． （Ⅰ）求圆心的极坐标； （Ⅱ）求△PAB面积的最大值． 的极坐标方程为，把 ，利用三角形的面积计算公式即可得出． 的极坐标方程为，化为= 把 ∴圆心极坐标为； （t ， = 距离的最大值为 5．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．
高考数学分类汇编-极坐标与参数方程 题型160 极坐标方程化直角坐标方程 1. (安徽理7）在极坐标系中,圆2cos ρθ=的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）. A. ()0θρ=∈R 和cos 2ρθ= B. ()π 2 θρ=∈R 和cos 2ρθ= C. ()π 2 θρ= ∈R 和cos 1ρθ= D. ()0θρ=∈R 和cos 1ρθ= 2.(天津理11）已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=,圆心为C ,点P 的极坐标为π4,3 ?? ??? ,则 CP = . 3. (重庆理15）在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标 系.若极坐标方程为cos 4ρθ=的直线与曲线2 3 x t y t ?=??=??（t 为参数）相交于A B ，两点,则AB = . 4.（湖北理16） 在直角坐标系xOy 中,椭圆C 的参数方程为cos sin x a y b ? ?=?? =? (?为参数,0a b >>),在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以x 轴正半轴为极轴）中,直线l 与圆O 的极坐标方程分别为 sin 4 π ρθ+ = （m 为非零数） 与b ρ=．若直线l 经过椭圆C 的焦点,且与员O 相切,则椭圆C 的离心率为 ． 5.（福建理21） 在平面直角坐标系中,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已 知点A 的极坐标为π4???,直线l 的极坐标方程为πcos 4a ρθ? ?-= ???,且点A 在直 线l 上．
（1）求a 的值及直线l 的直角坐标方程； （2）圆C 的参数方程为)(sin , cos 1为参数a a y a x ? ? ?=+=,试判断直线l 与圆C 的位置关系. 6.（2014 重庆理 15）已知直线l 的参数方程为23x t y t =+??=+?（t 为参数）,以坐标原点为极 点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为 ()2sin 4cos 00,0π2πρθθρ-=<,则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ=________. 7.（2014 天津理 13）在以O 为极点的极坐标系中,圆4sin ρθ=和直线sin a ρθ=相交于,A B 两点.若AOB △是等边三角形,则a 的值为___________. 8.（2014 陕西理 15）C.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,点π2,6?? ???到直线 πsin 16ρθ? ?-= ?? ?的距离是 . 9.（2014 湖北理 16）（选修4-4:坐标系与参数方程） 已知曲线1C 的参数方程是??? ??= =33t y t x ()为参数t ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程是2ρ=,则1C 与2C 交点的直角坐标为________. 10.（2014 广东理 14）（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中,曲线1C 和2C 的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin 1ρθ=,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线1C 和2C 的交点的直角坐标为 . 11.（2014 安徽理 4）以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐 标系,两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线l 的参数方程是1 3x t y t =+??=-?（t 为参数）, 圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=,则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ）. A. B. C. D.
高考文科数学复习专题极坐标与参数方程 (1)极坐标系：一般地，在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O 称为极点，射线Ox 称为极轴． (2)极坐标(ρ，θ)的含义：设M 是平面上任一点，ρ表示OM 的长度，θ表示以射线Ox 为始边，射线OM 为终边所成的角．那么，有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．显然，每一个有序实数对(ρ， ． 极角的M 称为点，θ极径的M 称为点ρ决定一个点的位置．其中，)θ 极坐标系和直角坐标系的最大区别在于：在直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的，而在极坐标系中，对于给定的有序数对(ρ，θ)，可以确定平面上的一点，但是平面内的一 点的极坐标却不是唯一的． (3)曲线的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上的任意一点的极坐标满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C 上，那么方程f (ρ，θ)＝0叫做曲线C 的极坐标方程． 2．直线的极坐标方程． 如下图所示． ，0 φ－π＝θ和0 φ＝θ角的直线方程是0 φ过极点且与极轴成(1)
(2)与极轴垂直且与极轴交于点(a ，0)的直线的极坐标方程是ρcos θ＝a ，如下图所示． (3)与极轴平行且在x 轴的上方，与x 轴的距离为a 的直线的极坐标方程为ρsin θ＝a ，如下图所 示． 3．圆的极坐标方程． 所示． 1如图，r ＝ρ的圆的方程为r 半径为，以极点为圆心(1) 所示． 2如图，θ_2rcos ＝ρ的圆的方程为r 半径为，圆心在极轴上且过极点(2) 所 3如图，θ_sin 2r ρ的圆的方程为r 过极点且半径为，的射线上π 2 圆心在过极点且与极轴成3)(示． 4．极坐标与直角坐标的互化．
2 2 坐 标 系 与 参 数 方 程 一、平面直角坐标系 1. 平面直角坐标系 （1） 数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建 立一一对应关系 （2） 平面直角坐标系： ①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系 ②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向 ③坐标轴水平的数轴叫做 x 轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做 y 轴或纵坐标轴，x 轴或 y 轴统称为坐标轴 ④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点 ⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x ，y)之间可以建立一一对应关系 （3） 距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点 P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，线段 P 1P 2 的中点为P ①两点间的距离公式|P 1P 2|＝ ??x ＝x 1＋x 2 ②中点P 的坐标公式? y ＋y ??y ＝ 1 2 2. 平面直角坐标系中的伸缩变换 ?x′＝λx （λ>0） 设点P(x ，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ：? ?y′＝μy （μ>0） 的作用下，点 P(x ，y)对应到点 P′(x′，y′)，称φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换二、极坐标系 1. 定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一 个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一 （x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2
极坐标与参数方程（近年高考题和各种类型总结） 一、最近6年极坐标与参数方程题型归纳 （2016）【极坐标方程求长度】在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(+6)+=25x y . （Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线l 的参数方程是（t 为参数），l 与C 交于A ，B 两点，AB = 求l 的斜率. (2015）【极坐标方程求长度】 在直角坐标系xOy 中,曲线1cos , :sin , x t C y t αα=?? =? （t 为参数,且0t ≠ ）, 其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线 23:2sin ,:. C C ρθρθ== （I ）求 2C 与3C 交点的直角坐标； （II ）若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3 C 相交于点B ,求AB 最大值. （2014）在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程 为2cos ρθ=， 0,2πθ??∈???? . （Ⅰ）求C 的参数方程； （Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确 定D 的坐标. （2013）【轨迹问题】已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos ,2sin x t y t =?? =?(t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点． (1)求M 的轨迹的参数方程； (2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． （2012）【参数坐标求最值、范围】已知曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数?? ? ?? ?==，以坐标 原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系， 曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为 (2,)3 π （1）求点,,,A B C D 的直角坐标； （2）设P 为1 C 上任意一点，求 2222 PA PB PC PD +++的取值范围。
极坐标与参数方程（全国卷高考题） 1、（2011）坐标系与参数方程：在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为 2cos 22sin x y αα =?? =+?（α为参数），M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =u u u v u u u u v ,P 点的轨迹为曲 线C 2 (Ⅰ)求C 2的方程 (Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3 π θ=与C 1的异于 极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB . 解：（I ）设P(x,y),则由条件知M( 2 ,2Y X ).由于M 点在C 1上，所以 ??? ???????????+=?=sin 222,cos 22y x 即 ? ?? ????+=?=sin 44cos 4y x 从而2C 的参数方程为4cos 44sin x y α α =??=+?（α为参数） （Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=。 射线3 π θ=与1C 的交点A 的极径为14sin 3 π ρ=， 射线3 π θ= 与2C 的交点B 的极径为28sin 3 π ρ=。 所以21||||AB ρρ-== 2、（2012）已知曲线C 1的参数方程是??? x ＝2cos φ y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD 的 顶点都在C 2上，且A 、B 、C 、D 以逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，π 3) (Ⅰ)求点A 、B 、C 、D 的直角坐标； (Ⅱ)设P 为C 1上任意一点，求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2的取值范围。 【解析】（1）点,,,A B C D 的极坐标为5411(2,),(2,),(2,),(2, )3636 ππππ
高考数学：极坐标与参数方程知识点总结 极坐标与参数方程这部分题目比较简单，考法固定，同学们一定要掌握住，高考不失分啊！ 第一讲 一平面直角坐标系 1．平面直角坐标系 (1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系．
(2)平面直角坐标系： ①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系； ②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向； ③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴，x轴或y轴统称为坐标轴； ④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点； ⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一对应关系． (3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点为P，填表：
二极坐标系 (1)定义：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向． (3)图示
2．极坐标 (1)极坐标的定义：设M是平面内一点，极点O与点M 的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)． (2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O的极坐标是(0，θ)，(θ∈R)，若点M的极坐标是M(ρ，θ)，则点M的极坐标也可写成M(ρ，θ＋2kπ)，(k∈Z)． 若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系． 3．极坐标与直角坐标的互化公式 如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，(ρ，θ)．
高考极坐标与参数方程大题题型汇总 1．在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ? ?? =+??=?为参数） ．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程； （2）直线l 的极坐标方程是 C 的交点为 O 、P ,与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 解:(1)圆C 的普通方程是22(1)1x y -+=，又cos ,sin x y ρθρθ==; 所以圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=. ---5分 (2)设11(,)ρθ为点P 的极坐标，则有 设22(,)ρθ为点Q 的极坐标，则有 由于12θθ=，所以，所以线段PQ 的长为2. 2．已知直线l 的参数方程为431x t a y t =-+??=-? （t 为参数），在直角坐标系xOy 中，以O 点为极 点， x 轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆M 的方程为 26sin 8 ρρθ-=-． （1）求圆M 的直角坐标方程； （2）若直线l 截圆M a 的值． 解：（1）∵2 222268(36si )n 81x y y x y ρρθ+--=-?=-?+-=， ∴圆M 的直角坐标方程为2 2 (3)1x y +-=；(5分）
（2）把直线l的参数方程 4 31 x t a y t =-+ ? ? =- ? （t为参数）化为普通方程得：34340 x y a +-+=， ∵直线l截圆M所得弦长 为，且圆M的圆心(0,3) M到直线l的距 离 |163|19 522 a d a - ===?=或 37 6 a=，∴ 37 6 a=或 9 2 a=．(10分）3．已知曲线C的参数方程为 ?? ? ? ? + = + = α α sin 5 1 cos 5 2 y x (α为参数)，以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系。 （1）求曲线c的极坐标方程 （2）若直线l的极坐标方程为 ρ (sinθ+cosθ)=1，求直线l被曲线c截得的弦长。 解：(1)∵曲线c的参数方程为 ?? ? ? ? + = + = α α sin 5 1 cos 5 2 y x (α为参数) ∴曲线c的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=5 将? ? ? = = θ ρ θ ρ sin cos y x 代入并化简得： ρ =4cosθ+2sinθ 即曲线c的极坐标方程为 ρ =4cosθ+2sinθ (2)∵l的直角坐标方程为x+y-1=0 ∴圆心c到直线l的距离为d=2 2 =2∴弦长为22 5-=23 4．已知曲线C： 2 21 9 x y += ，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 sin() 4 π ρθ-= （1）写出曲线C的参数方程，直线l的直角坐标方程； （2）设P是曲线C上任一点，求P到直线l的距离的最大值.
选做题部分 极坐标系与参数方程 一、极坐标系 1．极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2点M 直角坐标(x ，y ) 极坐标(ρ，θ) 互化公式 题型一 极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为)4 ,2(π ，则点P 的直角坐标为 （ ） A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1） 2、设点P 的直角坐标为(3,3)-，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系 (02)θπ≤<，则点P 的极坐标为（ ） A ．3(32,)4π B ．5(32,)4π- C ．5(3,)4π D ．3(3,)4 π - 3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝1 5．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．
2018届高三文科数学讲义 极坐标和参数方程 一：极坐标 公式：cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+，tan y x θ=（0x ≠） （一）：自我训练： 1.将以下极坐标转化为直角坐标 (1) ??? ??32π， （2?? ? ??324π， 2.由直角坐标（x.y ）转化为极坐标()θρ， （1）()2-2-， （2）（4，0） （3）（0，4） 3.将直角坐标方程转化为极坐标方程 （1）直角坐标方程x+y+2=0转化为极坐标方程为： （2）. 圆直角坐标方程122=+y x 转化为极坐标方程为： 4、将极坐标方程转化为直角坐标方程 （1）直线2)4cos(=-π θρ的斜率为： （2）直线4 π θ=的直角坐标方程为： （3）化极坐标方程2cos ρθ=为直角坐标方程为： (4)圆的极坐标方程是 2=ρ，则其表示的曲线方程为 二 参数方程 参考公式： 1cos sin 22=+αα， αααcos sin 22sin ?=， ααα2 2s i n 211c o s 22c o s -=-= 直线的参数方程为：?? ?+=+=α αsin cos 00t y y t x x )(为参数t ，其中α为直线的倾斜角； 圆2 2 2 )()(r b y a x =-+-的参数方程为：?? ?+=+=θθ sin cos r b y r a x )(为参数θ 椭圆)0(,122 22>>=+b a b y a x 的参数方程为：?? ?==θ θsin cos b y a x )(为参数θ 一、直线方程的互化 1.直线 ? ??==t y t x 2)(为参数t 的普通方程为 ，斜率为：
高中数学极坐标与参数方程知识点极坐标与参数方程知识点 (一)曲线的参数方程的定义: 在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函 数，即 x,f(t), ,y,f(t), 并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程 组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称 参数( (二)常见曲线的参数方程如下: 1(过定点(x，y)，倾角为α的直线: 00 ,x,x，tcos0 (t为参数) y,y，tsin,0 其中参数t是以定点P(x，y)为起点，对应于t点M(x，y)为终点的有向线段PM00 的数量，又称为点P与点M间的有向距离( 根据t的几何意义，有以下结论( ABt,t1(设A、B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t和t，则,,AB?BA 2(t,t),4t,t( BAAB t，tAB2(线段AB的中点所对应的参数值等于( ?2 2(中心在(x，y)，半径等于r的圆: 00 ,x,x，rcos0, (为参数) y,y，rsin,0 3(中心在原点，焦点在x轴(或y轴)上的椭圆: ,,x,bcosx,acos, (为参数) (或 ) y,bsin,y,asin,
中心在点(x0,y0)焦点在平行于x轴的直线上的椭圆的参数方程 ,x,x，acos,,0(,为参数) ,y,y，bsin.,0, 4(中心在原点，焦点在x轴(或y轴)上的双曲线: 1 ,,x,btgx,asec, (为参数) (或 ) y,btg,y,asec, 5(顶点在原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线: 2x,2pt (t为参数，p,0) y,2pt 直线的参数方程和参数的几何意义 ,x,x，tcos,0过定点P(x，y)，倾斜角为的直线的参数方程是 (t为参 数)( ,00,yytsin,,，0, (三)极坐标系 1、定义:在平面内取一个定点O，叫做极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。对于平面内的任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点M的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。 M , , Ox 图1 2、极坐标有四个要素:?极点;?极轴;?长度单位;?角度单位及它的方向(极坐标与 ,直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数、对应,
2019极坐标与参数方程高考题型全归纳 一.题型部分 (一) 极坐标与直角坐标的转化、参数方程与普通方程的转化,极坐标与参数 方程的转化 1. 极坐标与直角坐标互化公式： 若以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，点P 的极坐标为(,)ρθ，直角坐标为(,)x y ，则cos x ρθ=, sin y ρθ=, 222x y ρ=+, tan y x θ= 。 2. 参数方程： 直线参数方程：0 0cos () sin x x t t y y t θ θ =+?? =+?为参数 00(,) x y 为直线上的定点， t 为直线上任一点(,)x y 到定点00(,)x y 的数量； 圆锥曲线参数方程： 圆的参数方程：cos ()sin x a r y b r θθθ =+?? =+?为参数(a,b)为圆心，r 为半径； 椭圆2 2221x y a b +=的参数方程是cos ()sin x a y b θ θθ =??=?为参数； 双曲线2222-1x y a b =的参数方程是sec ()tan x a y b φθφ =?? =?为参数； 抛物线22y px =的参数方程是2 2()2x pt t y pt ?=? =?为参数 (二)有关圆的题型 题型一：圆与直线的位置关系（圆与直线的交点个数问题）----利用圆心到直线的距离与半径比较 相离，无交点；:r d >个交点；相切，1:r d =个交点；相交，2:r d < 用圆心（x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离2 2 00B A C By Ax d +++= ，算出d ，在与半径
比较。 题型二：圆上的点到直线的最值问题（不求该点坐标，如果求该点坐标请参照距离最值求法） 思路：第一步：利用圆心（x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离2 2 00B A C By Ax d +++= 第二步：判断直线与圆的位置关系 第三步：相离：代入公式：r d d +=max ，r d d -=min 相切、相交：r d d +=max min 0d = 题型三：直线与圆的弦长问题 弦长公式2 22 d r l -=，d 是圆心到直线的距离 延伸：直线与圆锥曲线（包括圆、椭圆、双曲线、抛物线）的弦长问题 （弦长：直线与曲线相交两点，这两点之间的距离就是弦长） 弦长公式21t t l -=,解法参考“直线参数方程的几何意义” (三）距离的最值： ---用“参数法” 1.曲线上的点到直线距离的最值问题 2.点与点的最值问题 “参数法”：设点---套公式--三角辅助角 ①设点： 设点的坐标，点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设 ②套公式：利用点到线的距离公式 ③辅助角：利用三角函数辅助角公式进行化一 例如：在直角坐标系xOy 中，曲线1 C 的参数方程为()sin x y α αα?=?? =?? 为参数，以坐标原 点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为
极坐标与参数方程高考题 1.在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()2 2 2:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （I ）求12,C C 的极坐标方程. （II ）若直线3C 的极坐标方程为()π R 4 θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ? 的面积. 解：（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=. （Ⅱ）将= 4 π θ代入2 2cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得 240 ρ-+=，解得1ρ=， 2ρ，|MN|=1ρ－2ρ，因为2C 的半径为1，则2C MN V 的面积o 1 1sin 452 ?=12 . 2.已知曲线194:2 2=+y x C ，直线???-=+=t y t x l 222:（t 为参数） （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程； （2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值. 解：(1)曲线C 的参数方程为(θ为参数).直线l 的普通方程为2x+y-6=0. (2)曲线C 上任意一点P(2cos θ,3sin θ)到l 的距离为 |4cos θ+3sin θ-6|,
则|PA|==|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tan α= 43 . 当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,.当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小 值,. 3.在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐 标方程为ρ=2cos θ02πθ?? ∈???? ，, (1)求C 的参数方程;(2)设点D 在C 上,C 在D 处的切线与直线x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D 的坐标. 解：(1)C 的普通方程为(x-1)2+y 2=1(0≤y ≤1).可得C 的参数方程为: x 1cos sin y θ θ=+??=? (0≤θ ≤π). (2)设D(1+cos θ,sin θ).由(1)知C 是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆. 因为C 在点D 处的切线与l 垂直,所以直线GD 与l 的斜率相同,tan θ,θ= 3 π .故D 的 直角坐标为32（. 4.将圆x 2+y 2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C. (1)写出C 的参数方程; (2)设直线l:2x+y-2=0与C 的交点为P 1,P 2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.
极坐标与参数方程 重点：(1)参数方程与普通方程的互化；一般要求是把参数方程化为普通方程；较高要求是利用设参求曲线的轨迹方程或研究某些最值问题；（2）极坐标与直角坐标的互化。 重点方法：<1>消参的种种方法；<2>极坐标方程化为直角坐标方程的方法；<3>设参的方法。 内容分析：坐标系与参数方程在高考中选考内容，是10分的解答题之一，与不等式选讲二选一解答，知识相对比较独立，与其他章节联系不大，容易拿分。根据不同的几何问题可以建立不同的坐标系，坐标系选取的恰当与否关系着解决平面内的点的坐标和线的方程的难易以及它们位置关系的数据确立。有些问题用极坐标系解答比较简单，而有些问题如果我们引入一个参数就可以使问题容易入手解答，计算简便。高考出现的题目往往是求曲线的极坐标方程、参数方程以及极坐标方程、参数方程与普通方程间的相互转化，并用极坐标方程、参数方程研究有关的距离问题，交点问题和位置关系的判定。 考点一：弦长问题
（本题为周考试卷内容，主要考查圆的弦长问题，可以用几何法，也可以用参数法） （学生上黑板板演，师生共同订正） 总结：弦长公式222d r l -=，d 是圆心到直线的距离（圆） 2122124)(1x x x x k l -++= 延伸：直线与圆锥曲线（包括圆、椭圆、双曲线、抛物线）的弦长问题（弦长：直线与曲线相交两点，这两点之间的距离就是弦长） 弦长公式21t t l -=,解法参考“直线参数方程的几何意义” 考点二：距离的最值问题
（本题为开年考第22题，第一问考查极坐标与直角坐标之间的转化，第二问考查距离的最值问题，可以转化为普通方程在转化为两条平行线的距离，也可以直接利用参数法转化为三角运算。） （学生上黑板板演，师生共同订正） 总结：圆上的点到直线的最值问题（不求该点坐标，如果求该点坐标请参照距离最值求法） 思路：第一步：利用圆心（x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离 2200B A C By Ax d +++= 第二步：判断直线与圆的位置关系 第三步：相离：代入公式：r d d +=max ，r d d -=min 相切、相交：r d d +=max min 0d = 距离的最值： ---用“参数法” 1.曲线上的点到直线距离的最值问题 2.点与点的最值问题 “参数法”：设点---套公式--三角辅助角 ①设点： 设点的坐标，点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来
极坐标与参数方程 一、教学目标 本次课是一堂新课，通过本次课的学习，让学生理解极坐标和参数方程的概念等基础知识，掌握极坐标与直角坐标的相互转化，掌握一般常见曲线和直线的极坐标方程和参数方程。深刻理解参数方程所代表的数学思想——换元思想。 二、考纲解读 极坐标和参数方程是新课标考纲里的选考内容之一，只有理科生选学。在每年的高考试卷中，极坐标和参数方程都是放在一道填空题中，与平面几何作为二选一的考题出现的。由于极坐标是新添的内容，考纲要求比较简单，所以在考试中一般以基础题出现，不会有很难的题目。 三、知识点回顾 （一）曲线的参数方程的定义： 在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ? ? ?==)() (t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． （二）常见曲线的参数方程如下： 1．过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线： α αsin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数） 其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离． 根据t 的几何意义，有以下结论． ○ 1．设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则AB ＝A B t t -＝B A A B t t t t ?--4)(2． ○ 2．线段AB 的中点所对应的参数值等于2 B A t t +． 2．中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：
极坐标与参数方程 一、基础知识点梳理 （一）极坐标 极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示 ,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再 选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ. 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标 (,)ρθ表示的点也是唯一确定的. 3、极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:
(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 点M 直角坐标(,)x y 极坐标(,)ρθ 互化公式 cos sin x y ρθ ρθ =?? =? 222 tan (0) x y y x x ρθ=+=≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4、常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点,半径 为r 的圆 (02)r ρθπ=≤< 圆心为(,0)r ,半径 为r 的圆 2cos ()2 2 r π π ρθθ=- ≤< 圆心为(, )2 r π ,半 径为r 的圆 2sin (0)r ρθθπ≤< 过极点,倾斜角为 α的直线 (1)()()R R θαρθπαρ=∈=+∈或 (2)(0)(0)θαρθπαρ=≥=+≥和
高三极坐标与参数方程综合练习题 1. (2016·全国Ⅱ，23)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2 ＋y 2 ＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； (2)直线l 的参数方程是???x ＝t cos α， y ＝t sin α (t 为参数)，l 与C 交于A 、B 两点， |AB |＝10，求l 的斜率. 2. (2015·全国Ⅰ，23)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1) 2 ＋ (y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C 1，C 2的极坐标方程； (2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π 4 (ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积. 3. (2016·全国Ⅲ，23)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为?? ?x ＝3cos α， y ＝sin α (α为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲 线C 2的极坐标方程为ρsin ? ? ???θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标系方程； (2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标.
4. (2014·辽宁，23)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来 的2倍，得曲线C . (1)写出C 的参数方程； (2)设l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. 5. (2015·湖南，16Ⅱ)已知直线l ：?????x ＝5＋32 t ，y ＝3＋1 2t (t 为参数)，以坐标原点为极 点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. (1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)设点M 的直角坐标为(5，3)，l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值. 6. 已知直线l 的参数方程为?????x ＝12 t ，y ＝22＋32t (t 为参数)，若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos ? ? ???θ－π4. (1)求直线l 的倾斜角； (2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|AB |.