《函数单调性与最值第一课时》教学设计
二、教学内容解析
(1)教学内容的内涵、数学思想方法、教学重点。
本节课选自人教A版《普通高中课程标准实验教科书数学必修1》第一章第1.3节第一课时。
教材研究的函数的单调性是严格单调，是研究“函数值y随自变量值x的增大而增大(或减
小)”的性质。这一性质的直观反映了函数从左向右是持续上升还是持续下降的；它反映了的是函数图像的变化趋势。函数的单调性不同于函数的奇偶性，单调性研究的是函数的局部性质，而奇偶性研究的是函数的整体对称性。
函数单调性的研究过程体现了一些重要的数学思想方法：
1?“数形结合”的思想：先借助函数图像直观观察，再借助表格列举计算分析归纳发现增减函数的数字特征，再进一步用符号语言刻画。
2.从特殊到一般的思想：先通过学生比较熟悉的一次函数，二次函数的探究发现“函数值y
随自变量值x的增大而增大(或减小)”的一般规律，再用符号语言抽象出函数单调性的定义。
3?类比的方法：得出增函数的定义后只需要类比探究就可以得出减函数的定义。
4?体现了研究概念(定义)问题的一般思路：经历情景化一去情景化一情境再现
经历情景化：先通过生活实例让学生体会到单调性在实际生活中的背景。
去情境化：通过两个具体函数的探究发现“函数值y随自变量值x的增大而增大(或减小)”
这一现象，再通过探究分析这一现象的本质，从而抽象出函数单调性的定义。
情境再现：禾U用定义去分析问题、解决问题。
同时这一研究过程也体现了“发现问题”一“提出问题”一“分析问题”一“解决问题”这一研究问题的一般思路。
教学重点是：通过活动探究引导学生发现如何用符号化的语言：在定义域I的某个区间D上
任意取的两个数X i,X2，当X2时，都有f (X i) ::：f(X2)(或f(X i) ?f(X2))则称函数为区间
D上的增函数(或减函数)来刻画“函数值y随自变量值X的增大而增大(或减小)”这一特征。
(2)教学内容的知识类型。
1?概念性知识：函数单调性的定义。
2?程序性知识：根据函数图像找函数的单调性区间、判断函数的单调性。
3.元认知知识：“发现问题”一“提出问题”一“分析问题”一“解决问题”这一研究问题的一般思路；从特殊到一般；类比研究的思想均属于元认知知识。
(3)教学内容的上位知识与下位知识。
1.上位知识：文字语言、图形语言、符号语言、函数的表示方法 (图像法、列表法、解析法)、研究函数的
基本方法是我们学习函数单调性的上位知识。
2?下位知识：单调性的证明、根据单调性画函数图像、函数的最值、禾U用单调性比大小是函数单调性的下位知识。
(4)思维教学资源和价值观教学资源。
本节课引入例子摘取自生活实例，再结合天气预报引发学生建立函数模型去观察图像变化趋势从而激发学生观察发现思维；再从学生熟悉的“一次函数、二次函数”入手探究发现函数变化趋势的本质从而抽象定义，既能激发
学生从“特殊到一般”从“感性到理性”的思想，也能培养学生“数学抽象”这一素养。
三、教学目标设置
1?通过学生画出两个特殊的一次函数、二次函数的图像能直观地判断函数的变化趋势，并能用文字语言描述
函数的变化趋势。
2?通过老师几何画板动画演示和学生的类比探究让学生体会并理解“任意……都……”的含义。
3?通过例题1和定义辨析进一步让学生理解单调性的定义?
4?在两个特殊函数探究中归纳抽象出单调性的定义，从而培养学生“数学抽象”这一素养。
5?在类比增函数的探究方法探究减函数定义过程中，让学生体会“类比方法”。
6?通过生活实例引入，让学生感受数学来源于生活高于生活，体会数学的应用价值。
7?通过活动设计，问题串联，让学生经历过程探究、经历从直观到抽象、从特殊到一般、类比研究的过程，形成理性数学思维，体会事物互相联系互相影响的辩证主义唯物观。
四、学生学情分析
(1)学生已有的认知基础
学生通过初中阶段对一次函数、二次函数、反比例函数的学习，以及高中阶段对函数概念的学习和函数表示方法的学习，已经明确了研究函数的一些基本思路和基本方法。初中阶段学生也接触过“单调性”它是用描述性的语言即“y随x的增大而增大(或减小)”来描述变量之间的依
赖关系，而一次函数、二次函数、反比例函数都可以很好地呈现这一规律，这位我们抽象函数单调性的定义提供了
认知基础。
此外通过学生小学初中阶段的学习，学生具备了一定的数学素养：如抽象概括、类比推理、数据处理等，为新
知学习提供了一定的保障。
(2)达成教学目标所需要认知基础
本节课目标的达成需要学生有一定的“数学抽象”能力和“有限”与“无限”的观点，需要学生有一定的“数
形结合”的思想。
(3)“已有基础”与“需要基础”之间的差异
学生对两个具体数据的比较应该是清楚的，但要将具体的数据比较转化为“任意”两个数据大小的比较存在一定认知差异；学生用文字语言描述“y随x的增大而增大(或减小)也是没有问
题的，但要将“文字语言”的描述抽象为为“符号语言”的描述还存在一定差异。
(4)教学难点及突破策略
难点1:如何用符号语言刻画“ y随x的增大而增大(或减小)”。
突破策略：通过回顾f (x) =x2图像直观感受“y随x的增大而增大(或减小)”;再通过“列表法”由形入数在表中任选两对数据比较其大小第一次发现“y随x的增大而增大(或减小)”在
解析式上的体现：如当1 <2时，有f(1) ：：： f(2);再通过几何画板动画演示在x轴上任取两个数
及图像上对应的函数值f(xj, f(X2)，比较其函数值的大小，引导学生体会数字表示与字母表示
的区别；从而实现对“ y随x的增大而增大(或减小)”的符号化描述。
难点2:如何理解“任意……都……”
突破策略：
1.结合学生熟悉的问题举例说明“任意……都……”的含义口：“我班任意一位同学都是好人”，帮助学生理解其含义。
2.在增函数定义探究中老师通过几何画板动画演示在x轴上任取两个数及图像上对应的函
数值f(Xj, f(X2)，比较其函数值的大小让学生观察、体会“任意……都……”的含义。在学生类比探究减函数的定义过程中让学生自己动手用几何画板操作再次体会“任意……都……”的含义。
3.通过概念辨析中设计的三个思考问题，帮助学生理解“任意……都……”的含义。
思考1:若定义在某区间D上的函数f(x)满足f(2)>f(1),则函数在区间上D上一定是增函数吗？
通过思考1让学生举出反例体会特殊数据的比较不能代表所有数据的比较，体会“任意”的含义。
思考2:函数在区间(1,3)和［3,5］都是增函数，则函数在区间(1,5］上一定也是增函数吗？
通过思考2设计的问题让学生再次体会“任意……都……”的含义，结合分段函数的反例让学生一方面体会“任意……都……”的含义另一方面体会正因为单调性强调“任意……都……” 从而导致了单调性是函数的局部性质这一特征。
1
思考3 :反比例函数f(x) 在整个定义域上是减函数吗？
x
通过思考3的设计让学生结合思考2和自己比较熟悉的反比例函数对比再次体会“任意…… 都……”的含义
五、教学策略分析
(1)教学材料分析
首先从学生身边实例(最高气温随时间变化曲线图)出发，让学生通过自身对温度变化的体验和数据统计曲线图直观感受两个变量之间的变化关系。再从学生非常熟悉的一次函数、二次函数入手通过图像语言、文字语言描述函数变化趋势；提出问题：如何用符号语言描述函数变化趋势？而在后续的“分析问题一解决问题”的过程中，以学生熟悉的二次函数f (x)二X2为载体探究
其内在规律，通过几何画板动画演示如何任取两点比较自变量和函数值的大小，实现学生对“任意……都……”的理解，实现由“形”到“数”的过度。通过三个思考的辨析加强学生对定义的理解和认识，通过例题1和学生练习让学生理解定义掌握定义，也体现了数学的应用价值。
(2)教学方法分析
本节课活动设计较多，所以采用“导学案”的形式让学生开展探究式学习，同时通过幻灯片及动画展示、学生活动展示等手段采用观察发现、启发引导、合作探究的教学方式开展教学。
(3)设计“问题串”引导学生数学思维活动分析
以学生对函数已有的认知基础为主线展开问题设计。通过11个关键问题串联引导学生开展探
究。同时在定义辨析、示范证明过程中通过对细节的一些追问加深学生的问题的认识和理解。
(4)缩小认知差距分析
通过3个探究活动、三个定义辨析、1个例题、1个练习和学生小结交流，让学生充分参与活
动体验，在老师问题设计下实施探究，体会知识的生成过程，逐步缩小认知差距。
(5)学习反馈分析
通过类比探究反馈学生对“任意……都……”的理解是否清晰，通过例题1反馈学生对单调
性定义的理解，通过三个思考问题的辨析反馈学生对概念的理解是否深刻，通过小结反馈学生对本节课涉及的数学知识、方法、思想的认识。
六、教学流程
七、教学过程
教学
环节
师生活动设计意图
创设情境「引入新课
好友来信贵阳市网庆节毎日最高气温天气预报1.以生活实例为情景，激发学生的学习兴趣。
（一）创设情境引入新课
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门羽工脓利睬IB那
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：
￡
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问题1你能结合天气预报给我的好朋友一些建议吗?
生：抽1学生回答、其他学生补充。
问题2：如果把时间设为x,最高气温设为y, y是x的函数吗? 生：一起
回答。
问题3:若果y是x的函数，那么函数图像反应了哪些变化规律？生：抽1
学生回答、其他学生补充。
师：那么如何研究函数这种变化趋势呢？这就是今天我们要学习的函数的
单调性。
由形入数、提出问题
探究1：你能相出下列常数图橡.井描述開数有何变化趙势吗?
(1K八刃=x
2?问题2体现数学建
模过程，培养学生建模
意识。
3?问题3让学生直观
感知图像“上升（下
降）”并用文字语言
“ y随x的增大而增
大（或减小）”描述
“上升”“下降”趋
势；完成学生对单调
性的直观认识。
4?提出本节课
题。
（二）由形入数提出问题
图靈语言'
■I:
(2). /(x)』
在（-<0} 大而
减小.
満翼的瑞
在YT ￥駆
的笊丈而
聃大.」
加何用符号语言描述函魏的变化趙毎辛
问题4:画图基本步骤是：1. ，2. ，3.
生：一起回顾画图基本步骤后、再学案上画图研究。
师：巡视课堂根据学生完成情况随机抽取一个学生上台展示其研究成
果。
生：展示图像及研究结果，是补充纠正。
1?问题4回顾图像画
法为学生规范画图做准
备。
2.学生展示图像后
引导学生结合属相用文
字语言描述函数变化趋
势完成学生第二次对函
数变化趋势的直观认识。
3.通过PPT启发引导
学生思考：数学有三大语
言，图形语言和文字语言
都能描述函数变化趋势，
符号语言能否描述函数
变化趋势？如何
师：问题5:函数的表示方法有？ 生：图像法、列表法、解析法。
师：问题6 :我们已经用图像法研究过了函数的变化趋势，那我们 可否再从列表法、解析法的角度去研究函数的变化趋势呢？ 探究方向1:列表探究 在下表中任取一些自变量的值， 比较它们的函数值大小， 你能发现
什么结论？
问题8:如何才能把（0, ?：：）内的所有的数都比较完呢？
师：停顿30秒让学生思考、引导学生发现要在函数上任取两个点 作比较，然后用几何画板演示为怎么任取两个点，为什么任取两 个点就可以把（0, ?二）内的所有的数都比较完。
探究方向2:解析法（利用解析式研究）： 师：几何画板演示探究过程
.
师：学生展示完后在 PPT 上小结研究过程：我们已经从图形语言、 文字语言的角度研究了函数的变化趋势； 那么如何用符号语言描述 函数的变化趋势呢？ 三1
师生共探、抽象定义 探究2：如何用“符号语言”描述函数〃工戶/在（山*丈） ￥随斗
的增大而增大？ （三） 探究
本质 抽象 定义
在 1Q+0 丫随胃的増人 而憎大. 描述?从而激发学生 学习兴趣，明确研究 方向提出研究问题。 1?问题5引导学生 回顾函数的一些研 究思路和方法，帮助 学生找到一些探究 思路。
2?问题6进一步引 导学生从列表法和 解析法（利用解析 式）去探究。
x
f(x)
3?问题7帮助学生 认识列表法的局限 性：只能实现“有限” 个自变量和函数值 大小的比较；不能把 所有自变量和函数 值大小的比较完。激 发学生认知冲
突。
4?问题8提出后老 师停顿让学生思考， 给予学生思考时间 引导学生能发现“任 取”两点作比较的思 路。
5.通过几何画板动 画演
示帮助学体会 如何实现“任意”两 个自变量和函数值 大小的比较。帮助学 生实现从“有限”到
“无限”的过度。
问题7:列表法能把（0, ?：：）内的所有的数都比较完吗?
、2
问题9:你能用符号语言描述 f (x) = x在(0,，：：)y随x的增大而增大这一规律了吗？
学生总结如何用符号语言描述y随x的增大而增大：
问题10：对任一函数而言，如果满足：在定义域I的某个区间D 上任意取的两个数^,x2，当x^：x2时，都有f(N)：：： f (x2)，能说明函数是上升的吗？抽象增函数的定义：
类比探究*抽象定义
探究弘类比塔函数的探究方法探究函数门和“在卜，uLLf(K)随x 增大而减小。9?问题11帮助学生
找到类比探究方向。
10?通过学生在电脑上用几何画板探究，体会“任意.............. 都……”的含义，进而归纳抽象出减函数的定义。
义。
8?通过探究3设计让
学生体会“类比”方法的作用。
6?问题9帮助学生归
纳总结如何用符号语言描述y随x的增大而增大。培养学生数学抽象素养。
7?问题10帮助学生实现从“特殊到一般”的过度和认识，抽象出增函数的定
问题11:我们应该如何类比探究呢？
生:只需要在函数图像上任取两个点比较它们自变量和函数值的大
小即可。
师：下面请大家通过几何画板上在函数图像上任取两个点比较它们
自变量和函数值的大小它们有何关系？
探究完成后老师引导学生完成下列问题：
1.学生用符号语言描述y随x的增大而减小：________________
2.学生类比增函数定义得出减函数的定义：____________________________ 师：学生叙述减函数的定义时，老师在_______ P PT上同步播放定义。_______
辨析1：若定义在区间［-2,3］的函数f(x)满足f(-2 ) 函数的基本性质——单调性与最大(小)值 【教学目标】 1．知识与技能：了解单调函数、单调区间的概念：能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思 2．过程与方法：理解函数单调性的概念：能用自已的语言表述概念；并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间 3．情感、态度与价值观：掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题：能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性 【教学重难点】 教学重点：函数的单调性的概念。 教学难点：利用函数单调的定义证明具体函数的单调性 【教学过程】 一、复习引入。 1 分别画函数2x y =和3x y =的图象。2 x y =的图象如图1，3x y =的图象如图2． 2．引入：从函数2x y = 的图象（图1）看到： 图象在y 轴的右侧部分是上升的，也就是说，当x 在区间[0，+∞）上取值时，随着x 的增大，相应的y 值也随着增大，即如果取21,x x ∈[0，+∞），得到1y =)(1x f ，2y =)(2x f ，那么当 1x ＜2x 时，有1y ＜2y 。 这时我们就说函数y =)(x f =2x 在[0，+∞）上是增函数。图象在y 侧部分是下降的，也就是说，当x 在区间（－∞，0）上取值时，随着x 的增大，相应的y 值反而随着减小，即如果取21,x x ∈（－∞，0），得到1y =)(1x f ， 2y =)(2x f ，那么当1x ＜2x 时，有1y >2y 。 这时我们就说函数y =)(x f =2x 在（－∞，0）上是减函数。函数的这两个性质，就是今天我们要学习讨论的。 二、讲解新课。 1．增函数与减函数。 定义：对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值 21,x x ，（1）若当1x ＜2x 时，都有)(1x f ＜)(2x f ，则说)(x f 在这个区间上是 增函数（如图3）；（2）若当1x ＜2x 时，都有)(1x f >)(2x f ，则说)(x f 在这个区间上是减函数（如图4）。 说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的。有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数。例如函数2 x y =（图1），当x ∈[0，+∞）时是增 函数，当x ∈（－∞，0）时是减函数。 2．单调性与单调区间。 若函数y=f （x ）在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数)(x f 的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。 在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 说明：（1）函数的单调区间是其定义域的子集； （2）应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在21,x x 那样的特定位置上，虽然使得)(1x f >)(2x f ， （3）除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“)(1x f ＜)(2x f 或)(1x f >)(2x f ，”改为“)(1x f )(2x f 或) (1x f ≥ )(2x f ，”即可； （4）定义的内涵与外延： 内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况； 外延①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减。 ②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数。 三、讲解例题。 函数的单调性与最值 1.下列函数中，在区间（-1，1）为减函数的是（ ） A ．x y -=11 B ．x y cos = C ．)1ln(+=x y D ．x y -=2 2.函数)82ln()(2--=x x x f 的单调递增区间是（ ） A ．)2,(--∞ B ．)1,(-∞ C ．),1(+∞ D ．),4(+∞ 3.若函数m x x x f +-=2)(2在),3[+∞上的最小值为1，则实数m 的值为（ ） A ．-3 B ．-2 C ．-1 D ．1 4函数x x x f -=1)(的单调递增区间是（ ） A ．)1,(-∞ B ．),1(+∞ C ．)1,(-∞，),1(+∞ D ．)1,(--∞，),1(+∞ 5设函数)1()(,0,10,00,1)(2-=?? ???<-=>=x f x x g x x x x f ，则函数g (x)的单调递减区间是（ ） A ．]0,(-∞ B ．)1,0[ C ．),1[+∞ D ．]0,1[- 6.若函数R x x a x x f ∈++=,2)(2在区间),3[+∞和]1,2[--上均为增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．]3,311[-- B ．]4,6[-- C ．]22,3[-- D ．]3,4[-- 7.函数],(,1 2n m x x x y ∈+-=的最小值为0，则m 的取值范围是（ ） A ．)2,1( B ．)2,1(- C ．)2,1[ D ．)2,1[- 8.已知函数a ax x x f +-=2)(2在区间)1,(-∞上有最小值，则函数x x f x g )()(=在区间),1(+∞上一定（ ）A ．有最小值 B ．有最大值 C ．是减函数 D ．是增函数 9.若函数2)(2-+=x a x x f 在),0(+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 10.已知函数f (x)的值域为]9 4,83[，则函数)(21)()(x f x f x g -+=的值域为 1.已知函数)1(log 2-=ax y 在)2,1(上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．]1,0( B ．]2,1[ C ．+∞,1[) D ．+∞,2[) 三角函数的单调性和最值问题 例1已知函数22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++，x R ∈．求: (I) 函数()f x 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合； (II) 函数()f x 的单调增区间． 解(I)1cos 23(1cos 2)()sin 21sin 2cos 222sin(2)224 x x f x x x x x π-+=++=++=++ ∴当2242x k π ππ+=+,即()8x k k Z π π=+∈时, ()f x 取得最大值22+. 函数()f x 的取得最大值的自变量x 的集合为{/,()}8x x R x k k Z ππ∈=+ ∈. (II) ()22sin(2)4f x x π=++ 由题意得: 222()242k x k k Z πππππ- ≤+≤+∈ 即: 3()88 k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 因此函数()f x 的单调增区间为3[,]()88 k k k Z ππππ- +∈. 例2 已知函数f (x )＝π2sin 24x ??-+ ???＋6sin x cos x －2cos 2x ＋1，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在区间π0,2 ?? ???? 上的最大值和最小值． (3)求f (x )在区间π0,2?????? 的单调区间和值域。 解：(1)f (x )＝2-sin 2x ·ππcos 2cos 2sin 44 x -?＋3sin 2x －cos 2x ＝2sin 2x －2cos 2x ＝π22sin 24x ??- ?? ?. 所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2 ＝π. (2)因为f (x )在区间3π0,8??????上是增函数，在区间3ππ,82?????? 上是减函数．又f (0)＝－2，3π228f ??= ???，π22f ??= ???，故函数f (x )在区间π0,2??????上的最大值为22，最小值为－2. 第2课时 函数的最大值、最小值 知识点 函数的最大值与最小值 最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y ＝x 2(x ∈R )的最大值是0，有f(0)＝0. [小试身手] 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何函数都有最大值或最小值．( ) (2)函数的最小值一定比最大值小．( ) 答案：(1)× (2)× 2．函数f (x )＝1 x 在[1，＋∞)上( ) A ．有最大值无最小值 B ．有最小值无最大值 C ．有最大值也有最小值 D ．无最大值也无最小值 解析：函数f (x )＝1 x 是反比例函数，当x ∈(0，＋∞)时，函数图象下降，所以在[1，＋∞)上f (x )为减函数，f (1)为f (x )在[1，＋∞)上的最大值，函数在[1，＋∞)上没有最小值．故选A. 答案：A 3．函数f (x )＝－2x ＋1(x ∈[－2,2])的最小、最大值分别为( ) A ．3,5 B ．－3,5 C ．1,5 D ．－5,3 解析：因为f (x )＝－2x ＋1(x ∈[－2,2])是单调递减函数，所以当x ＝2时，函数的最小值为－3.当x ＝－2时，函数的最大值为5. 答案：B 4．函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是() A．f(－2)，0 B．0,2 C．f(－2)，2 D．f(2)，2 解析：由图象知点(1,2)是最高点，故y max＝2.点(－2，f(－2))是最低点，故y min＝f(－2)． 答案：C 类型一图象法求函数的最值 例1如图所示为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间． 【解析】观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3,3)，最低的点是(－1.5，－2)， 所以函数y＝f(x)当x＝3时取得最大值，最大值是3. 当x＝－1.5时取得最小值，最小值是－2. 函数的单调递增区间为[－1.5,3)，[5,6)， 单调递减区间为[－4，－1.5)，[3,5)，[6,7]． 观察函数图象，最高点坐标(3,3)，最低点(－1.5，－2)． 方法归纳 图象法求最值的一般步骤 一、函数的单调性 1.增函数和减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，，当时，都有f() （2）单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的，有以下几个特征：一是任意性，，即“任意取，”，“任意”两字不能丢；二是有大小，通常规定；三是属于同一单调区间（3）单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值得不等关系正逆互推，即由f(x)是增函数且f（）< （4）有的函数不具有单调性，如函数y=，它的定义域为R，但不具有单调性，函数y=x+1,x∈Z它的定义域不是区间，也不能说它在其定义域上具有单调性 （5）如果函数f(x)在其定义域内的两个区间A，B 上都是增（减）函数，一般不能认为f（x）在A∪B上是增（减）函数，例如f(x)=在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是减函数，但是不能说其在（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数，在这里，正确的写法应为：“（-∞，0），（0，+∞）”或“（-∞，0）和（0，+∞）” （6）图像特征：在某区间上，单调递增的函数f(x)，从左向右看，其图像时上升的，单调递减的函数f(x)，从左向右看，其图像时下降的 （7）函数在某一点处的单调性无意义 1.3.1函数的单调性与最大（小）值（第一课时） 教学设计 一、教学内容解析： (1)教学内容的内涵、数学思想方法、核心与教学重点； 本课教学内容出自人教版《普通高中课程标准实验教科书必修数学1》（以下简称“新教材”）第一章节。 函数的单调性是研究当自变量x不断增大时，它的函数y增大还是减小的性质．如增函数表现为“随着x增大，y也增大”这一特征．与函数的奇偶性不同，函数的奇偶性是研究x成为相反数时，y是否也成为相反数，即函数的对称性质． 函数的单调性与函数的极值类似，是函数的局部性质，在整个定义域上不一定具有．这与函数的奇偶性、函数的最大值、最小值不同，它们是函数在整个定义域上的性质． 函数单调性的研究方法也具有典型意义，体现了对函数研究的一般方法：加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般．首先借助对函数图象的观察、分析、归纳，发现函数的增、减变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化数字特征，从而进一步用数学符号刻画． 函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据，在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用（内部）；在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用（外部）．可见，不论在函数内部还是在外部，函数的单调性都有重要应用，因而在数学中具有核心地位． 教学的重点是：引导学生对函数定义域I的给定区间D上“随着x增大，y也增大（或减小）”这一特征进行抽象的符号描述：在区间D上任意取x1，x2，当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)（或f(x1)＞f(x2)），则称函数f（x）在区间D上是增函数（或减函数）． (2)教学内容的知识类型； 在本课教学内容中，包含了四种知识类型。函数单调性的相关概念属于概念性知识，函数单调性的符号语言表述属于事实性知识，利用函数单调性的定义证明函数单调性的步骤属于程序性知识，发现问题----提出问题----解决问题的研究模式，以及从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明等研究问题的一般方法，属于元认知知识. (3)教学内容的上位知识与下位知识； 在本课教学内容中，函数的单调性，是文字语言、图形语言、符号语言的上位知识.图象法、作差法是判断证明函数单调性的下位知识. (4)思维教学资源与价值观教育资源； 生活常见数据曲线图例子，能引发观察发现思维；函数f(x)= +1和函数 1 y x x =+，能引发 提出问题---分析问题----解决问题的研究思维，不等关系等价转化为作差定号，是转化化归思维的好资源，是树立辩证唯物主义价值观的好契机；创设熟悉的二次函数探究背景，是引发从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明思维的好材料，树立了“事物是普遍联系的”价值观. 二、教学目标设置： 本课教学以《普通高中数学课程标准（实验）》（以下统称为“课标”）为基本依据，以“数学育人”作为根本目标设置。 “课标”数学1模块内容要求是：不仅把函数看成变量之间的依赖关系，还要用集合与对应的语言刻画函数，体会函数的思想方法与研究方法，结合实际问题，体会函数在数学和其他学科中的重要性。 “课标”对本课课堂教学内容要求是：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性.(第一课时) 为尽好达到以上要求，结合学生实际，本课课堂教学目标设置如下： (1)知识与技能： 理解函数单调性的概念，让学生能清晰表述函数单调性的定义与相关概念； 能利用图象法直观判断函数的单调性； 函数的单调性 学习目标（1）掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应 用函数的基本性质解决一些问题。 （2）从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和 单调性定义判断、证明函数单调性的方法． （3）了解奇偶性的概念,回 会利用定义判断简单函数的奇偶性。 重点与难点 （1）判断或证明函数的单调性； （2）奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。 学习过程 【学习导航】 知识网络 学习要求 1. 从特殊到一般,掌握增函数、减函数、单调区间的概念; 2. 会根据图像说出函数的单调区间,并能指出其增减性; 3. 会用定义证明一些简单函数的单调性. 自学评价 观察函数x x f =)(，2 )(x x f =的图象 从左至右看函数图象的变化规律: (1). x x f =)(的图象是_________的， 2)(x x f =的图象在y 轴左侧是______的，2)(x x f =的图象在y 轴右侧是_______的. (2). x x f =)(在),(+∞-∞上，f （x ）随着x 的增大而___________;2 )(x x f =在]0,(-∞ 上，f （x ）随着x 的增大而_______;2 )(x x f =在),0(+∞上，f （x ）随着x 的增大而________. 一、 函数的单调性 1．单调函数的定义 （1）增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。 （2）减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时 函数的单调性 单调性的定义 定义法证明函数的单调性 增函数 减函数 单调区间 x y 0 x y 0 x x f =)( 2)(x x f = 函数的单调性与最值 【知识要点】 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 (2)单调区间的定义 如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝ f (x )的单调区间． （3）判断函数单调性的方法 ①根据定义；②根据图象；③利用已知函数的增减性；④利用导数；⑤复合函数单调性判定方法。 2．函数的最值 求函数最值的方法： ①若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法； ②利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用单调性求最值； ③基本不等式法：当函数是分式形式且分子、分母不同次时常用此法。 【复习回顾】 一次函数(0)y kx b k =+≠具有下列性质： (1)当0k >时，函数y 随x 的增大而增大 (2)当0k <时，函数y 随x 的增大而减小 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质： (1)当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时， y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a - 时，y 随着x 的增大而增大； (2)当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时， y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而减小； 提出问题: ①如图所示为一次函数y=x ，二次函数y=x 2和y=-x 2的图象,它们的图象有什么变化规律?这反映了相应的函数值的哪些变化规律? ①这些函数走势是什么？在什么范围上升，在什么区间下降？ ②如何理解图象是上升的？如何用自变量的大小关系与函数值的大小关系表示函数的增减性？ ③定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1 第三节函数的单调性与最值 [知识能否忆起] 一、函数的单调性 1．单调函数的定义 图象描述 自左向右看图象逐渐上升 自左向右看图象逐渐下降 2．单调区间的定义 若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间． 二、函数的最值 前提 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足 条件 ①对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ； ②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M ①对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ； ②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M 结论 M 为最大值 M 为最小值 [小题能否全取] 1．(2012·陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3 C ．y ＝1 x D ．y ＝x |x | 解析：选D 由函数的奇偶性排除A ，由函数的单调性排除B 、C ，由y ＝x |x |的图象可知此函数为增函数，又该函数为奇函数，故选D. 2．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则( ) A ．k >12 B ．k <12 C ．k >－1 2 D ．k <－1 2 解析：选D 函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 是减函数， 则2k ＋1<0，即k <－1 2 . 3．(教材习题改编)函数f (x )＝1 1－x 1－x 的最大值是( ) A.4 5 B.54 C.3 4 D.43 解析：选D ∵1－x (1－x )＝x 2 －x ＋1＝? ????x －122＋34≥34 ，∴0<11－x 1－x ≤43. 4．(教材习题改编)f (x )＝x 2 －2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为________；f (x )max ＝________. 解析：函数f (x )的对称轴x ＝1，单调增区间为[1,4]，f (x )max ＝f (－2)＝f (4)＝8. 答案：[1,4] 8 5．已知函数f (x )为R 上的减函数，若m 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义． 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. ★备考知考情 1.函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点，常见问题有：求单调区间，判断函数的单调性，求参数的取值，利用函数单调性比较数的大小，以及解不等式等．客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用． 2.题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P15 注意： 研究函数单调性必须先求函数的定义域， 函数的单调区间是定义域的子集 单调区间不能并！ 知识点一函数的单调性 1.单调函数的定义 1 2 2.单调性、单调区间的定义 若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的单调区间. 注意： 1、《名师一号》P16 问题探究 问题1 关于函数单调性的定义应注意哪些问题？ (1)定义中x 1，x 2具有任意性，不能是规定的特定值． (2)函数的单调区间必须是定义域的子集； (3)定义的两种变式： 设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1 3 1212 ()() 0-<-f x f x x x ? f (x )在[a ，b ]上是减函数． ②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0?f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0?f (x )在[a ，b ]上是减函数． 2、《名师一号》P16 问题探究 问题2 单调区间的表示注意哪些问题？ 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示； 如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． 知识点二 单调性的证明方法：定义法及导数法 《名师一号》P16 高频考点 例1 规律方法 (1) 定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x 1、x 2∈D ，且x 1 第05讲-函数的单调性与最值 一、考情分析 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义． 二、知识梳理 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数减函数 定义设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M?A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当 Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称 函数y＝f(x)在区间M上是增 函数 Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y ＝f(x)在区间M上是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的 (2)上是增函数或是减函数， 性，区间M称为单调区间. 2.函数的最值 前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论M为最大值M为最小值 [方法技巧] 1.(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值). 2.函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1 f （x ） 的单调性相反. 3.“对勾函数”y ＝x ＋a x (a >0)的增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)；单调减区间是[－a ，0)，(0，a ]. 三、 经典例题 考点一 确定函数的单调性(区间) 【例1－1】（2019·安徽省泗县第一中学高二开学考试（理））如果函数f(x)在[a ，b]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b](x 1≠x 2)，下列结论不正确的是( ) A ． ()()1212 f x f x x x -->0 B ．f(a) §3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性 一、函数单调性的判别法 定理1 设 )(x f 在区间I 上可导，则)(x f 在I 上递增（减）的充要条件是 )()('00≤≥x f . 证 若 f 为增函数，则对每一I x ∈0，当0x x ≠时，有 ()() 00 0≥--x x x f x f 。 令0x x →，即得 00≥)('x f 。 反之，若 )(x f 在区间I 上恒有0≥)('x f ，则对任意I x x ∈21,（设21x x <） ，应用拉格朗日定理，存在，使得 ()()()01212≥-=-x x f x f x f ξ')(。 由此证得 f 在I 上为增函数。 定理2 若函数 f 在),(b a 内可导,则f 在),(b a 内严格递增(递减)的充要条件是: (1)),(b a x ∈?有)()('00≤≥x f ; (2) 在),(b a 内的任何子区间上0≠)('x f . 推论 设函数在区间I 上可微,若))('()('00<>x f x f , 则f 在I 上(严格)递增(递 减). 注1 若函数 f 在),(b a 内(严格)递增(递减),且在点a 右连续,则f 在),[b a 上亦为(严 格)递增(递减), 对右端点b 可类似讨论. 注2 如果函数 )(x f 在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外，导数存在且 连续，那么只要用方程0=)('x f 的根及)('x f 不存在的点来划分函数)(x f 的定义区间就 能保证 )('x f 在各个部分区间保持固定符号，因而函数)(x f 在每个部分区间上单调。 注意：如果函数 )(x f 在区间],[b a 上连续，在),(b a 内除个别点处一阶导数为零或 不存在外，在其余点上都有 0>)('x f （或0<)('x f ），那么由于连续性，)(x f 在区间 ],[b a 上仍然是单调增加（或单调减少）的。 《函数的单调性与最大（小）值》教学设计 ⑴通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义； ⑵学会运用函数图象理解和研究函数的性质； ⑶够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性． ⑷理解函数的最大（小）值及其几何意义； 函数的单调性及其几何意义．函数的最大（小）值及其几何意义． 利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．利用函数的单 并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律： ①随x 的增大，y 的值有什么变化？②能否看出函数的最大（小）值？③函数图象是否具有某种对称性？ ⑵画出下列函数的图象，观察其变化规律： ①f(x) = x ○ 1 从左至右图象上升还是下降 ○ 2 在区间 ____________ 上，随着x 大，f(x)的值随着 ________ ． ②f(x) = -2x+1 ○ 1 从左至右图象上升还是下降 ○ 2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ． ③f(x) = x 2 ○ 1在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而 ________ ． ○ 2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而 ________ ． ⑴设函数)(x f y =的定义域是Ｉ，区间I D ?，D x x ∈21,，当21x x <时，都有)()(21x f x f < 成立，则称)(x f 在区间D 上是增函数．．．，如图⑴ ⑵设函数)(x f y =的定义域是Ｉ，区间I D ?，D x x ∈21,，当21x x <时，都有)()(21x f x f >成立，则称)(x f 在区间D 上是减函数．．． ，如图⑵ ①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ②必须是对于区间D 内的任意．．两个自变量x 1，x 2；当x 1 函数的单调性与最值 一、知识梳理 1．增函数、减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D?I，如果对于任意x1，x2∈D，且x1 函数单调性与最大最小值教案Function monotonicity and max min teaching plan 函数单调性与最大最小值教案 前言：本文档根据题材书写内容要求展开，具有实践指导意义，适用于组织或个人。便于学习和使用，本文档下载后内容可按需编辑修改及打印。 我是本科数学**号选手，今天我要进行说课的课题是高 中数学必修一第一章第三节第一课时《函数单调性与最大（小）值》（可以在这时候板书课题，以缓解紧张）。我将从教材分析；教学目标分析；教法、学法；教学过程；教学评价五个方面来陈述我对本节课的设计方案。恳请在座的专家评委批评指正。 一、教材分析 1、教材的地位和作用 （1）本节课主要对函数单调性的学习； （2）它是在学习函数概念的基础上进行学习的，同时又 为基本初等函数的学习奠定了基础，所以他在教材中起着承前启后的重要作用；（可以看看这一课题的前后章节来写）（3）它是历年高考的热点、难点问题 （根据具体的课题改变就行了，如果不是热点难点问题 就删掉） 2、教材重、难点 重点：函数单调性的定义 难点：函数单调性的证明 重难点突破：在学生已有知识的基础上，通过认真观察思考，并通过小组合作探究的办法来实现重难点突破。（这个必须要有） 二、教学目标 知识目标： （1）函数单调性的定义 （2）函数单调性的证明 能力目标：培养学生全面分析、抽象和概括的能力，以及了解由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想 情感目标：培养学生勇于探索的精神和善于合作的意识 （这样的教学目标设计更注重教学过程和情感体验，立足教学目标多元化） 三、教法学法分析 1、教法分析 第四节 函数单调性、凹凸性与极值 我们已经会用初等数学的方法研究一些函数的单调性和某些简单函数的性质，但这些方法使用范围狭小，并且有些需要借助某些特殊的技巧，因而不具有一般性. 本节将以导数为工具，介绍判断函数单调性和凹凸性的简便且具有一般性的方法. 分布图示 ★ 单调性的判别法 ★ 例1 ★ 单调区间的求法 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 曲线凹凸的概念 ★ 例9 ★ 例 10 ★ 曲线的拐点及其求法 ★ 例11 ★ 例12 ★ 例13 ★ 函数极值的定义 ★函数极值的求法 ★ 例14 ★ 例15 ★ 例16 ★第二充分条件下 ★ 例17 ★ 例18 ★ 例19 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-4 ★ 返回 内容要点 一、函数的单调性：设函数)(x f y =在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导. (1) 若在(a , b )内0)(>'x f , 则函数)(x f y =在[a , b ]上单调增加; (2) 若在(a , b )内0)(<'x f , 则函数)(x f y =在[a , b ]上单调减少. 二、曲线的凹凸性：设)(x f 在[a , b ]上连续, 在(a , b )内具有一阶和二阶导数, 则 (1) 若在(a , b )内，,0)(>''x f 则)(x f 在[a , b ]上的图形是凹的; (2) 若在(a , b )内，,0)(<''x f 则)(x f 在[a , b ]上的图形是凸的. 三、连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点 判定曲线的凹凸性与求曲线的拐点的一般步骤为： (1) 求函数的二阶导数)(x f ''； (2) 令0)(=''x f ，解出全部实根，并求出所有使二阶导数不存在的点； (3) 对步骤(2)中求出的每一个点，检查其邻近左、右两侧)(x f ''的符号，确定曲线的凹凸区间和拐点. 四、函数的极值 极值的概念； 极值的必要条件； 第一充分条件与第二充分条件； 求函数的极值点和极值的步骤： （1） 确定函数)(x f 的定义域，并求其导数)(x f '; （2） 解方程0)(='x f 求出)(x f 的全部驻点与不可导点; （3）讨论)(x f '在驻点和不可导点左、右两侧邻近符号变化的情况，确定函数的极值点; （4） 求出各极值点的函数值，就得到函数)(x f 的全部极值. (一)判断函数单调性的基本方法 Ⅰ、定义法： 定义域判断函数单调性的步骤：取值、作差（或商）变形、定号、判断。例1：已知函数f(x)=x3+x,判断f(x)在(-∞，+∞)上的单调性并证明 Ⅱ、直接法（一次函数、二次函数、反比例函数的单调可直接说出）： 在公共区间内，增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数 例2：判断函数y=-x+1+1/x在（0，+∞）内的单调性 Ⅲ、图像法： 说明：⑴单调区间是定义域的子集 ⑵定义x 1、x 2 的任意性 ⑶代数：自变量与函数值同大或同小→单调增函数 自变量与函数相对→单调减函数 例3：y＝|x2＋2x－3| 练习： (二) 函数单调性的应用 Ⅰ、利用函数单调性求连续函数的值域（最值） 根据增函数减函数的定义我们可得到如下结论： （1）若 f(x)在某定义域[a,b]上是增函数，则当x=a 时, f(x) 有最小值f(a)，当 x=b 时, f(x)有最大值 f(b)。 （2）若 f(x)在某定义域[a,b]上是减函数，则当x=a 时, f(x) 有最大值f(a)，当 x=b 时, f(x)有最小值 f(b)。 例1：求下列函数的值域 (1)y=x 2-6x+3, x ∈[-1,2] (2)y=-x 2+2x+2, x ∈[-1,4] 练习题： 1.已知函数f(x)在区间[a,c]上单调减小，在区间[c,b]上单调增加,则f(x)在 [a,b]上的最小值是 ( ) 2.数f(x)=4x 2-mx+5在区间[-2,+∞)上是增函数，则f(1)的取值范围是 ( ) 3、( )有函数13+--=x x y 存在、最大值、最小值都不，最小值、最大值，最小值、最大值，最小值、最大值D C B A 4 -44 -00 4 4、](()()的值域为 时，函数当1435,02+-=∈x x x f x ()()][()()]()][5,5,323205,0f c D f f C f f B f f A 、、、、、????? ? ??????????? ?? 5、求函数y=-x-6+ 的值域 x -1函数的基本性质——单调性与最大(小)值
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