3.2 函数模型及其应用
3.2.1几类不同增长的函数模型
一、教学目标
（1）使学生通过投资回报实例，对直线上升和指数爆炸有感性认识。
（2）通过阅读理解题目中文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学本质，弄清题中出现的量及起数学含义。
（3）体验由具体到抽象及数形结合的思维方法。
二、教学重点与难点
重点：将实际问题转化为函数模型，比教常数函数、一次函数、指数函数模型的增长差异；结合实例让学生体会直线上升，指数爆炸等不同函数型增长的函义。
难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题。
三、教学手段：
运用计算机、实物投影仪等多媒体技术。
四、教材分析：
1、背景
（1）圆的周长随着圆的半径的增大而增大：
L=2πR (一次函数)
（2）圆的面积随着圆的半径的增大而增大：
S=πR2(二次函数)
（3）某种细胞分裂时，由1个分裂成两个，两个分裂成4个……，一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系是y = 2x(指数型函数)。
2、例题
例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。
请问，你会选择哪种投资方案呢？
投资方案选择原则：
投入资金相同，回报量多者为优 (1) 比较三种方案每天回报量
(2) 比较三种方案一段时间内的总回报量
哪个方案在某段时间内的总回报量最多，我们就在那段时间选择该方案。
根据上表我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的
增长情况，为选择投资方案提供依据。
解：设第x 天所得回报为y 元，则 方案一：每天回报40元；
y=40 (x ∈N*)
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回 报10元； y=10x (x ∈N*)
方案三：第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番。 Y=0.4×2x-1(x *N )
图112-1
从每天的回报量来看：
第1~4天，方案一最多：
每5~8天，方案二最多：
第9天以后，方案三最多；
有人认为投资
1~4天选择方案一；
5~8天选择方案二；
9天以后选择方案三。
结论
投资8天以下（不含8天），应选择第一种投资方案；投资8~10天，应选择第二种投资方案；投资11天（含11天）以上，应选择第三种投资方案。
3．例题的启示：
解决实际问题的步骤：
（1）实际问题
（2）读懂问题抽象概括
（3）数学问题
（4）演算推理
（5）数学问题的解
（6）还原说明
（7）实际问题的解
4．练习
某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随着销售利润x (单位：万元)的增加而增加，但资金数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求呢？
5．小结
（1）解决实际问题的步骤：
解决问题
（2）几种常见函数的增长情况：
6．作业:
课本116页练习题集1、2题
几类不同增长的函数模型教学设计 教学设计 2.1 几类不同增长的函数模型 整体设计 教学分析 函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述．本节的教学目标是认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同，应用函数模型解决简单问题．课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用，都是通过实例来实现的．通过教学让学生认识到数学来自现实生活，数学在现实生活中是有用的． 三维目标 ．借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异． ．恰当运用函数的三种表示方法并借助信息技术解决一些实际问题． ．让学生体会数学在实际问题中的应用价值，培养学生的学习兴趣． 重点难点
教学重点：认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模 型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同．教学难点：应用函数模型解决简单问题． 课时安排 课时 教学过程 第1课时 林大华 导入新 思路1． 一张纸的厚度大约为0.01c，一块砖的厚度大约为10c，请同学们计算将一张纸对折n次的厚度和n块砖的厚度，列出函数关系式，并计算n＝20时它们的厚度．你的直觉与结果一致吗？ 解：纸对折n次的厚度：f＝0.01?2n，n块砖的厚度：g ＝10n，f≈105，g＝2. 也许同学们感到意外，通过对本节课的学习大家对这些问题会有更深的了解． 思路2． 请同学们回忆指数函数、对数函数以及幂函数的图象和性质，本节我们将通过实例比较它们的增长差异．推进新
新知探究 提出问题 如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，需要支付y元，把y表示为x的函数． 正方形的边长为x，面积为y，把y表示为x的函数． 某保护区有1单位面积的湿地，由于保护区的努力，使湿地面积每年以5%的增长率增长，经过x年后湿地的面积为y，把y表示为x的函数． 分别用表格、图象表示上述函数． 指出它们属于哪种函数模型． 讨论它们的单调性． 比较它们的增长差异． 另外还有哪种函数模型与对数函数相关． 活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路． 总价等于单价与数量的积． 面积等于边长的平方． 由特殊到一般，先求出经过1年、2年… 列表画出函数图象． 引导学生回忆学过的函数模型． 结合函数表格与图象讨论它们的单调性．
一次函数的应用 一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！ 学习目标： ●理解一次函数与一元一次方程的关系、一次函数与一元一次不等式的关系、一次函数与二元一次方程组的关系，会 根据一次函数的图象解决一元一次方程、一元一次不等式的求解问题；会用图象法解二元一次方程组。 ●学习用函数的观点分析方程（组）与不等式的方法，初步感受用全面的观点处理局部问题的思想。 重点 ●一次函数与一元一次方程的关系的理解；一次函数图象确定一元一次不等式的解集；对应关系的理解及实际问题的 探究建模。 难点： ●一次函数与一元一次方程的关系的理解；一次函数与一元一次不等式的关系的理解；二元一次方程组的解与两直线 交点坐标之间的对应关系的理解。 学习策略： ●通过一次函数、一元一次不等式、一元一次方程及两元一次方程（组）之间的对比，总结出它们之间的内在联系， 真正理解函数与方程，函数与不等式，函数与方程组的关系，进一步体验数形结合思想意义，提高解决实际问题的能力。 二、学习与应用 “凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。 知识回顾——复习 学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？ （一）一次函数：一般地，形如的形式，则称y是x的一次函数；特别地当时，即形如的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。 （二）一元一次方程：只含有个未知数（元），并且未知数的次数都是的方程叫做一元一次方程。一元一次方程的标准形式是： .
（三）一元一次不等式：只含有 个未知数（元），并且未知数的次数都是 的不等式叫做一元一次不等式。 一元一次不等式的标准形式是： . （四）二元一次方程：含有 个未知数，并且未知数的指数都是 ，这样的方程叫做二元一次方程。 （五）二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的 解，叫做二元一次方程组的解。 知识点一：一元一次方程、一元一次不等式、与一次函数之间的关系 请你注意： （一）一次函数与一元一次方程 由于一元一次方程都可以转化为ax+b=0(a 、b 为常量，a ≠0)的形式，所以解一元 一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为 时，求相应的 的值。 从图象上看，这相当于已知直线y ＝kx+b （k ，b 是常数，k ≠0）与 轴交点的 _____坐标的值. （二）一次函数与一元一次不等式 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b ＞0或ax+b ＜0或0ax b +≥或 0ax b +≤（a 、b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次 函数的值 0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应 一次函数y ＝ax +b （a ，b 是常数，a ≠0） 一元一次方程ax +b =0(a 、b 为常量，a ≠0) 一元一次不等式ax +ｂ＞0 或 ax +ｂ＜0或0ax b +≥或 0ax b +≤（a 、ｂ为常数，a ≠0） 令y=______ 令y> (或<，≥,≤)0 不等式解集的 端点值就是对应 方程的解 知识要点——预习和课堂学习 认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听 课学习。请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。课堂笔记或者其它补 充填在右栏。
高中数学:函数模型及其应用练习 1．已知正方形ABCD的边长为4,动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P 运动的路程为x,△ABP的面积为S,则函数S＝f(x)的图象是(D) 解析:依题意知当0≤x≤4时,f(x)＝2x；当4＜x≤8时,f(x)＝8；当8＜x≤12时,f(x)＝24－2x,观察四个选项知D项符合要求． 2．在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据,现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是(B) x 1.99234 5.15 6.126 y 1.517 4.041 87.51218.01 A.y＝2x－2 B．y＝1 2(x 2－1) C．y＝log2x D．y＝log 1 2x 解析:由题中表可知函数在(0,＋∞)上是增函数,且y的变化随x的增大而增大的越来越快,分析选项可知B符合,故选B. 3．我们定义函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)为“下整函数”；定义y＝{x}({x}表示不小于x的最小整数)为“上整函数”；例如[4.3]＝4,[5]＝5；{4.3}＝5,{5}＝5.某停车场收费标准为每小时2元,即不超过1小时(包括1小时)收费2元,超过一小时,不超过2小时(包括2小时)收费4元,以此类推．若李刚停车时间为x小时,则李刚应付费为(单位:元)(C) A．2[x＋1] B．2([x]＋1) C．2{x} D．{2x} 解析:如x＝1时,应付费2元,此时2[x＋1]＝4,2([x]＋1)＝4,排除A、B；当x＝0.5时,付费为
2元,此时{2x }＝1,排除D,故选C. 4．(福建质检)当生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时,用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到,则它经过的“半衰期”个数至少是( C ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 解析:设死亡生物体内原有的碳14含量为1,则经过n (n ∈N *)个“半衰期”后的含量为? ???? 12n , 由? ?? ?? 12n ＜11 000得n ≥10.所以,若探测不到碳14含量,则至少经过了10个“半衰期”．故选C. 5．(贵州遵义模拟)某企业为节能减排,用9万元购进一台新设备用于生产,第一年需运营费用2万元,从第二年起,每年运营费用均比上一年增加3万元．该设备每年生产的收入均为21万元．设该设备使用了n (n ∈N *)年后,盈利总额达到最大值(盈利总额等于总收入减去总成本),则n 等于( B ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．7或8 解析:盈利总额为21n －9－?????? 2n ＋12×n (n －1)×3＝－32n 2＋412n －9.因为其对应的函数的图 象的对称轴方程为n ＝41 6.所以当n ＝7时取最大值,即盈利总额达到最大值,故选B. 6．已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元．某食品加工厂对饼干采用两种包装,包装费用、销售价格如下表所示: ①买小包装实惠；②买大包装实惠；③卖3小包比卖1大包盈利多；④卖1大包比卖3小包盈利多．
5.5 一次函数的简单应用（1） 〖教学目标〗 ◆1、理解和掌握一次函数的图像及其性质 ◆2、学会运用函数这种数学模型来解决生活和生产中的实际问题，增强数学应用意识 〖教学重点和难点〗 教学重点：一次函数图像及其性质 教学难点：体会函数、方程、不等式在解决实际问题时的密切联系，并在一定条件下互相转化的各种情形，感受贴近生活的数学，培养解题能力。 〖教学过程〗 一、课前预习 1、判断题 （1）正比例函数是一次函数（√ ） （2）一次函数是正比例函数（×） （3）一次函数图像是一条直线（√ ） 2、已知直线y=-x/2，下列说法错误的是（ D ） A 比例系数为-1/2 B 图像不在一、三象限 C 图像必经过（-2 ，1）点 D y随x增大而增大 二、新课教学 1、引出概念 确定两个变量是否构成一次函数关系的一种常用方法就是利用图象去获得经验公式，这种方法步骤是： （1）通过实验，测得获得数量足够多的两个变量的对应值。 （2）建立合适的直角坐标系，在坐标系内以各对应值为坐标描点，并用描点法画出函数图像。 （3）观察图像特征，判定函数的类型。 2、例题分析 例1、生物学家测得7条成熟雄性鲸的全长y和吻尖到喷水孔的长度x的数据如下表（单位：m）
问能否利用一次函数刻画这两个变量x 和y 的关系？如果能，请求出这个一次函数的解析式。 解：在直角坐标系中画出以表中x 的值为横坐标，y 的值为竖坐标的7个点。 1 24681012141618Y (m) 过7即可用一）的坐标分别代入y=kx+b 得 10.25=1.91k+b 且12.50=2.59k+b 解得：k≈3.31 b≈3.93 所以所求函数解析式为y=3.31x+3.93 相应练习：通过实验获得u,v 两个变量的各对应值如下表 判断变量u,v 是否近似地满足一次函数关系式，如果是，求v 关于u 的函数关系式，并利用函数解析式求出当u=2.2时，函数v 的值。 变型 沙尘暴发生后，经过开阔荒漠时加速，经过乡镇，遇到防护林带区则减速，最终停止，某气象研究所观察一场沙尘暴从发生到结束的全过程，记录了风速y
《函数的应用》教学设计 一、教学内容解析 本节课是《普通高中课程标准实验教科书?数学1》（人教B版）第三章第四节第一课时《函数的应用》． 函数的应用是在学生学习了函数，指数函数、对数函数和幂函数的概念与性质后进行的一次综合应用，它不仅能加深学生对所学函数知识的理解，同时能提高学生利用所学知识解决实际问题的能力． 通过经历由实际问题建立函数模型，再利用模型分析、解决问题的过程，学生体验了数学在解决实际问题中的价值和作用，体验了数学与日常生活的联系，有助于增强学生的应用意识，激发他们学习数学的兴趣，发展他们的实践能力． 二、教学目标设置 根据教学内容，以及学生现有的认知水平和数学能力，我把本节课的教学目标确定为以下三个方面： 1．了解数学建模的基本步骤，会建立函数模型解决实际问题； 2．经历建立函数模型解决实际问题的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，提高综合运用数学知识和方法解决实际问题的能力； 3．加深学生对数学应用问题的理解，培养学生的科学态度和反思意识，提高学习数学的兴趣． 本节课的教学重点是建立函数模型解决实际问题； 本节课的教学难点是选择适当的方案和函数模型解决问题． 三、学生学情分析 学生已经研究了一次函数、二次函数、指数函数等基本初等函数的图象和性质，能利用函数知识解决简单的数学应用问题．他们初步掌握了图形计算器的使用方法，能根据给定数据进行指定函数模型的拟合． 授课班级的学生思维活跃，能积极参与课堂讨论．学生已经对北京的交通情况作了初步的调查和数据整理，对问题背景有一定的了解．但学生应用数学的意
识不强，数据处理能力不足，也缺乏利用数学模型对实际问题进行分析和评价的经验． 四、教学策略分析 本节课以探究学习作为主要的学习方式，通过情境引入、初步探究、综合应用、总结提升四个环节，逐步将研究引向深入．引导学生通过自主探究、合作交流，经历数学建模的过程，培养应用数学的能力． 为了突破难点，落实重点，我采取了以下措施：首先，学生使用图形计算器辅助学习，避免繁琐的计算，为从多角度，多层次研究问题提供了支持．其次，以北京的热点问题——交通问题作为研究背景，激发学生的学习兴趣，调动学生的积极性．第三，将资料的采集和整理工作交给学生课前完成，让学生提前熟悉问题背景，降低探究难度，提高课堂效率． 本节课的效果评价以当堂反馈为主，教师通过巡视、提问的方式关注学生的学习过程和学习进展．学生通过自主探索，交流讨论，上台展示等方式，展示学习的效果，发现认知障碍，以便得到及时的引导、分析和纠正．教师还将通过开放式作业进一步评估学生的学习效果． 五、教学过程 （一）创设情境，引入新课 （1）教师对学生之前的调查作简单小结，引导学生回顾他们所提出的问题，引出本节课的课题——函数的应用． 设计意图：让学生体会到数学来源于生活，激发学生的学习兴趣，并做好利用所学知识解决实际问题的准备，为后续探究做好铺垫． （2）ppt展示学生作业，师生共同梳理解题过程，并进行题后反思． 设计意图： 1. 复习利用确定函数模型解决应用问题的基本方法和步骤． 2. 引发认知冲突，引导学生对问题进行反思，意识到实际问题往往数据多且没有确定的函数模型，从而引出后续的探究活动． （二）初步探究，归纳步骤
几类不同增长的函数模型 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y 与时间x 的关系，可选用( ) A ．一次函数 B ．二次函数 C ．指数型函数 D ．对数型函数 2．若()0,1x ∈，则下列结论正确的是( ) A ．122lg x x x >> B ．122lg x x x >> C ．122lg x x x >> D ．12lg 2x x x >> 3．四人赛跑，假设他们跑过的路程(){}() 1,2,3,4i f x i ∈和时间()1x x >的函数关系分别是()12f x x =，()22f x x =，()32log f x x =，()42x f x =，如果他们一直跑下去， 最终跑在最前面的人具有的函数关系是( ) A ．()12f x x = B ．()22f x x = C ．()32log f x x = D ．()42x f x = 4．西部某地区实施退耕还林，森林面积在20年内增加了5%，若按此规律，设2016 年的森林面积为m ，从2016年起，经过x 年后森林面积y 与x 的函数关系式为( ) A ． 1.0520mx y = B ．0.05120x y m ??=- ??? C ．()2015%x y m =+ D ．()15%x y m ??=+?? 5．已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x 年后的剩留量为y ，则x ，y 之间的函数关系为( ) A ．1000.9576x y = B.1000.9576 x y = C ．0.9576100x y ??= ??? D ．10010.042x y =- 6．下列函数中在某个区间()0,x +∞内随x 增大而增大速度最快的是（ ） A.100ln y x = B.100y x = C.1e 100 x y = D.1002x y =? 7．以下四种说法中，正确的是( ) A ．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
第4章 函数的应用 第1讲 函数与方程 一、连续函数 连续函数： 非连续函数： 二、方程的根与函数的零点 ()()()0001f x x f x x f x ?、零点：对于函数，若使=0，则称为函数的零点. ()()()=0y f x f x y f x x ??2、函数=的零点方程的实根函数=图像与交点的横坐标. 3、零点存在性定理： ()[]()()()(),::,.0.y f x a b p q y f x a b f a f b ?????
()f x 三、用二分法求=0的近似解 步骤： ()()()()()()()12121233131323231,,0; 2,;2 30,20,2.i i x x f x f x x x x f x f x f x x x f x f x x x x x d +?<+= ?
一次函数的应用的教学设计 沙洋县蛟尾中学张金鸿 教学目标: 认知与技能：1.使学生巩固一次函数的概念和性质。 2.使学生能够将实际问题转化为一次函数的问题。 3.能够根据实际意义准确地列出解析式并画出函数图像。 过程与方法：1.通过利用一次函数解决实际问题的过程，使学生数学抽象思维能力得到发展，体验到数学与生活的联系。 2.通过制作函数图像解决实际问题的活动，使学生面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略，进一步发展学生解决问题的能力。 情感态度与价值观：1.通过利用一次函数解决实际问题的过程，使学生在数学活动中获得成功体验，建立自信心，增强学生应用数学的意识。 2.通过小组合作学习，培养学生的合作精神。 教学重点:1.使学生能够将实际问题转化为一次函数的问题。 2.能够根据实际意义准确地列出解析式并画出函数图像。 教学难点: 1.使学生能够将实际问题转化为一次函数的问题。 2.根据实际意义准确地画出函数图像。 教学过程： 一、提出问题，导入新课
1.我们前面学习了有关函数的知识，相继我们又学习了一次函数的知识，那么你能举出生活中一次函数的例子吗？ 问题1：（1）假如你是单位领导，你的单位急需用车，但又不准备买车，你们准备和一个个体车主或一国营出租车公司中的一家签订月租合同，设汽车每月行驶x 千米，应付给出租车公司的月租费是y1元，y1=110053+x ，（X ≥0），应付给个体车主的月租费是y2元，y2x 34=（X ≥0）。请你作出决定租哪家的车合算? （2）学生观察图像，判断租哪家车合算。 （3）根据图象，你能很快的回答下列问题吗？ ①如果该单位估计每月的行程约为800千米，那么这个单位租哪家的车合算？ ②如果该单位估计每月的行程约为2300千米，那么这个单位租哪家的车合算？ 二、合作探究，探求新知
湖南师范大学附属中学高一数学教案：函数的应用举例二 教材： 函数的应用举例二 目的： 要求学生熟悉属于“增长率”、“利息”一类应用问题，并能掌握其解法。 过程： 一、 新授： 例一、 （《教学与测试》 P69 第34课） 某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3 万件，为估计以后每月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函 数模拟该产品的月产量y 与月份x 的关系，模拟函数可选用二次函数 或c b a y x +?=(a,b,c 为常数)，已知四月份该产品的产量为1.37万 件，请问：用以上那个函数作模拟函数较好？说明理由。 解：设二次函数为： r qx px y ++=2 由已知得：?? ???==-=??????=++=++=++7.035.005.03.1392.1241r q p r q p r q p r q p ∴7.035.005.02 ++-=x x y 当 x = 4时，3.17.0435.0405.021=+?+?-=y 又对于函数 c b a y x +?= 由已知得：?? ????????==-=?=+=+=+4.15.08.03.12.1132c b a c ab c ab c ab ∴ 4.1)2 1(8.0+?-=x y 当 x = 4时，35.14.1)21 (8.04 2=+?-=y
由四月份的实际产量为1.37万件, |37.1|07.002.0|37.1|12-=<=-y y ∴选用函数4.1)21(8.0+?-=x y 作模拟函数较好。 例二、（《教学与测试》 P69 第34课） 已知某商品的价格每上涨x %，销售的数量就减少m x %，其中m 为 正常数。 1． 当2 1=m 时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额最大？ 2．如果适当的涨价，能使销售总金额增加，求m 的取值范围。 解：1．设商品现在定价a 元，卖出的数量为b 个。 由题设：当价格上涨x %时，销售总额为%)1(%)1(mx b x a y -?+= 即 ]10000)1(100[10000 2+-+-= x m mx ab y 取21=m 得：]22500)50([20000 2+--=x ab y 当 x = 50时，ab y 89max = 即该商品的价格上涨50%时，销售总金额最大。 2．∵二次函数]10000)1(100[10000 2+-+-= x m mx ab y 在 ])1(50,(m m x --上递增，在),)1(50[+∞-m m 上递减 ∴适当地涨价，即 x > 0 , 即0)1(50>-m m 就是 0 < m <1 , 能使销售总金额增加。 例三、（课本 91 例二） 按复利计算利息的一种储蓄，本金为a 元，每期利率为r ，设本利和 为y ，存期为x ，写出本利和y 随存期x 变化的函数关系式。如果 存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后本利和是多少？
几类不同增长的函数模型（1） 一、教学目标 （一）知识目标： 1.借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异. 2.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等几类不同增长的函数模型的意义. 3.恰当运用函数的三种表示法（解析式、表格、图象）并借助信息技术解决一些实际问题. （二）能力目标：初步培养学生应用数学知识解决实际问题的意识与能力。（三）情感目标：培养学生数学应用意识以及比较分析的数学思想，激发学生的学习热情. 二、教学重难点 （一）重点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型的函数增长的含义. （二）难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题. 三、活动设计 1.自主学习，从实际问题出发能构建出相应的数学模型. 2.探究与活动，在教师的指引下通过列表、描点，画出相应函数模型的图形，并能比较发现它们的增长趋势. 四、教学过程 一、创设情景，引入新课 我们知道，函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述，能否举出一些函数模型的具体例子? 指数函数、对数函数、幂函数等等. 当我们面临一个实际问题时，应如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？如果我们能够找出相应的数学模型，又是如何去研究它的性质呢?本节课先通过具体实例来比较几类不同增长的函数模型的增长趋势.（板书几类不同增长的函数模型）二、讲解新课 例题剖析 【例1】假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番. 请问，你会选择哪种投资方案？
《一次函数的应用—数学活动》 一、教学目标 （一）知识与能力目标： 进一步学会从一次函数的角度提出问题，分析问题，并能综合运用所学知识和技能解决问题，发展应用意识。 （二）过程与方法目标： 1、经历提出问题，收集和整理数据的过程，形成如何决策方案的能力。 2、在利用图象探究决策方案过程中，体会“数形结合”思想在数学应用中的广泛性。 二、教学重、难点 重点：灵活运用一次函数进行方案决策 难点：灵活运用一次函数解决三种或三种以上方案决策 三、教法演示法、读图分析法、设问引导法、比较评价法，让学生自主探 索，合作交流。 四、学情分析 八年级学生的抽象思维趋于成熟，形象直观思维能力较强，具有一定的独立思考、实践操作、合作交流、归纳概括等能力，能进行简单的推理论证，掌握了一般三角形和轴对称的知识。因此，在本节课的教学中，可让学生从已有的生活经验出发，参与知识的产生过程，在实践操作、自主探索、思考讨论、合作交流等数学活动中，理解和掌握数学知识和技能，形成数学思想和方法，让每个学生在数学上得到不同的发展，人人都获得必需的数学。 五、教法与学法 教法：我采用探索发现法完成本节的教学，在教学中以学生参与为主，通过直观的演示和学生自己动手使学生在获得感性知识的同时，为掌握理性知识创造条件。 学法：在教学中，把重点放在学生如何学这一方面，我认为通过直观演示，得到感性认识，学生在学习中运用发现法，开拓自己的创造性思维，实现由学生自己发现感受“等腰三角形的性质”通过学生自己看、想、议、练等活动，让学生自己主动“发现”几何图形的性质，活跃学生的思维。 六、教学过程
七、板书设计 一次函数的应用 ——数学活动 预设板书（见课件） 生成板书（略） 设计理念： 本节课充分应用多媒体展示信息，板书从两个方面考虑：一是预设的课件，二是在黑板上展示的生成问题。 八、教学反思 课堂教学是一个在预设与生成问题之间交替进行的过程，我会根据课堂实施和学生反馈的信息，因势利导，随机应变，调整教学环节，努力为学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们获得广泛的数学活动经验。这节课是在学生学习了一次函数的有关知识之后进行的，学生对一次函数的性质有了较深层次的理解，而且本节课的内容贴近学生实际，是移动电话如何选择缴费方式更能省钱的问题，而且是为家长帮忙，学生比较有兴趣，可以用自己所学知识帮助家长解决问题，让学生感到很有成就。另外，这节课的课件制作的也很精彩，并且教师设计了许多的学生活动，这些对于本节课的教学都有积极的作用，学生参与的积极性都很高，收到了较好的效果。但也有一些不足，我在备课的时候对于基础很差的一部分学生照顾不够，问题设计的没有照顾全体同学，以至于有一小部分学生没有很好的参与进来，这是我以后需要改进的地方。
一次函数的应用 教学目标 【知识与技能】 学会用待定系数法求一次函数的解析式来解决实际问题,建立实际问题的函数模型. 【过程与方法】 经历对实际问题建立数学模型的过程,体验待定系数法的作用和一次函数模型的价值. 【情感、态度与价值观】 1.通过让学生经历用一次函数来解决实际问题、建立实际问题的函数模型的过程,使他们感受到数学的用途和与生活的紧密联系. 2.让学生参与到教学活动中,提高学习数学及运用数学的积极性. 学情分析 学生学习了一次函数的图像和性质，用待定系数法确定一次函数解析式，已能够熟练的确定一次函数的解析式，并运用相关性质解决问题。学生已经学习了方程和不等式解决实际问题，具备分析实际问题的能力。 重点难点 【重点】 用一次函数知识来解决实际问题. 【难点】 建立实际问题的数学模型. 教学过程 一、创设情境,导入新知 师：一次函数的图像有哪些特点，说明一次函数有哪些性质？ （学生回答） 师:我们在上节课学习了待定系数法,大家还记得是怎么用的吗? 生:设出解析式,然后把已知点的坐标代入,解方程或方程组,解得系数值,进而得到解析式. 师:很好!我们这节课就用它来解决一些实际问题. 二、共同探究,获取新知 教师多媒体出示. 【例】为节约用水,某城市制定以下用水收费标准:每户每月用水不超过8m3时,每立方米收取1元外加0.3元的污水处理费;超过8m3时,超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元的污水处理费.设一户每月用水量为xm3,应缴水费y元. (1)给出y关于x的函数关系式. (2)画出上述函数图象. (3)该市一户某月若用水量为x=5m3或x=10m3时,求应缴水费. (4)该市一户某月缴水费26.6元,求该户这月用水量.
“几类不同增长的函数模型”的教学设计与反思 台州市第一中学蒋茵 一、教学内容与内容解析 几类不同增长的函数模型是必修1第三章“函数的应用”的重要内容 .它比较指数函数、对数函数以及幕函数间的增长差异，并结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义. 对于函数增长的比较分为三个层次：（1）以实例为载体让学生切实感受不同函数模型的增长差 异；（2）采用图、表两种方法比较三个函数（y = x：y = 2、，y=log X）的增长差异；（3）将结2 论推广到一般的指数函数、对数函数以及幕函数间的增长差异 其中（1）为第一课时的内容，（2）、（ 3）为第二课时的内容. 学生在本节内容学习之前，己经有了指数函数、对数函数以及幕函数的相关知识，在这里进一步 研究几类不同增长的函数模型的增长差异有着承上启下的作用.让学生在应用函数模型的过程中，体验到指数函数、对数函数、幕函数等函数模型在描述客观世界变化规律时各自的特点与差异，同时将感受到的这种差异应用在后续的函数模型实例中 二、教学目标与目标解析 1.教学目标： （1）借助信息技术，利用函数图像及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幕函数间的增长差异. （2）结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义 （3）恰当运用函数的三种表示法（解析式、图象、表格），并借助信息技术解决一些实际问题. （4）在实际问题解决过程中，体会数学的作用与价值，形成分析问题、解决问题的能力. 2.教学目标解析： 目标（1）、（2）是教学的重点，落实好目标（1）、（2）是实现教学目标（3）、（4）的前提与保证.
落实目标（1）、（2）的过程中可以创设问题情景，并通过层层递进的问题串，让学生在不断观察、思考和探究的过程中，弄清几个函数间的增长差异，并培养分析问题、解决问题的能力，实现目标（4）. 目标（3）要求“恰当运用”对于学生初学时是不易达到的目标，教学时通过学生自主探究，相互 交流，教师适时提问引导，合作完成.另外利用信息技术工具，就可以在不同的范围观察到指数函数、对数函数和幕函数的增长差异.还使学生接触到更多的数学知识和思想方法 三、教学问题诊断分析
《一次函数的简单应用》教案 教学目标 1、了解两个条件可确定一次函数；能根据所给信息(图象、表格、实际问题等)利用待定系数法确定一次函数的表达式；并能利用所学知识解决简单的实际问题． 2、经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程，掌握用待定系数法求一次函数的表达式，进一步发展数形结合的思想方法. 3、经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程，体会到解决问题的多样性，拓展学生的思维． 教学重点 会根据条件用待定系数法求解一次函数的表达式. 教学难点 用待定系数法求解方程以及数形结合的使用. 教学过程 一、复习引入 内容：提问： (1)什么是一次函数？ (2)一次函数的图象是什么？ (3)一次函数具有什么性质？ 目的：学生回顾一次函数相关知识，温故而知新． 二、初步探究 内容1： 展示实际情境 实际情境：假定甲、乙二人在一项赛跑中路程y与时间x 的关系如图所示．
(1)这是一次多少米的赛跑？ (2)甲、乙二人谁先到达终点？ (3)甲、乙二人的速度分别是多少？ (4)求甲、乙二人y 与x 的函数关系式． 目的：利用函数图象提供的信息可以确定正比例函数的表达式，一方面让学生初步掌握确定函数表达式的方法，即待定系数法，另一方面让学生通过实践感受到确定正比例函数只需一个条件．情景一、二可根据学生情况进行选取，情景二几个问题有一定的梯度，学生可能更易写出函数关系式． 教学注意事项：学生可能会用图象所反映的实际意义来求函数表达式，如先求出速度，再写表达式，教师应给予肯定，但要注意比较两种方法异同，并突出待定系数法． 内容2： 想一想：确定正比例函数的表达式需要几个条件？确定一次函数的表达式呢？ 目的：在实践的基础上学生加以归纳总结.这个问题涉及到数学对象的一个本质概念——基本量．由于一次函数有两个基本量k 、b ，所以需要两个条件来确定． 三、深入探究 内容1： 例1在弹性限度内，弹簧的长度y (厘米)是所挂物体的质量x (千克)的一次函数，一根弹簧不挂物体时长14.5cm ；当所挂物体的质量为3kg 时，弹簧长16cm .写出y 与x 之间的关系式，并求所挂物体的质量为4kg 时弹簧的长度． 解：设b kx y +=，根据题意，得 14.5=b ，① 16=3k +b ，② 将5.14=b 代入②，得5.0=k ． 所以在弹性限度内，5.145.0+=x y ． 当4=x 时，5.165.1445.0=+?=y (厘米)． 即物体的质量为4千克时，弹簧长度为5.16厘米． 目的： 引例中设置的是利用函数图象求函数表达式，这个例子选取的是弹簧的一个物理现象，目的在于让学生从不同的情景中获取信息求一次函数表达式，进一步体会函数表达式是刻画现实世界的一个很好的数学模型．这道例题关键在于求一次函数表达式，在求出一般情况后，第二个问题就是求函数值的问题可迎刃而解． 教学注意事项： 学生除了从函数的观点来考虑这个问题之外，还有学生是用推理的方式：挂3千克伸长了1.5厘米，则每千克伸长了0.5厘米，同样可以得到y 与x 间的关系式．对此，教师应给予
一次函数的应用教学设计 教学设计思想 在掌握了一次函数的图像、性质等知识后，这节课我们将学习一次函数的应用，通过两个课时对一次函数的应用进行简单概括、归纳，这一节是本章的重点与归宿。教学过程中鼓励解法和表述的多样化，充分加强图象识别与应用能力的培养，避免习惯的“代数化”倾向。突出通过函数获取信息,发展形象思维；突出一次函数的简单应用；突出函数与方程、不等式的关系。根据不同学生的基础，有针对性地增强问题的探索性与开放性，使不同层次学生的思维能力均得到充分的发展，调动学生自主学习与合作交流的积极性。 教学目标 知识与技能 经历应用一次函数解决实际问题的过程，熟悉一次函数在生活中的应用。 通过解决实际问题领悟函数与方程、不等式的关系及应用价值。 提高通过文字、表格、图像获取信息的能力。 在解决问题的过程中，提高综合思维的能力。 过程与方法 经历探求直线解析式的过程，体验数学学习探究的方法。 情感态度价值观 初步学会利用函数性质进行判断及决策的方法，增进应用函数思想的意识。 体验数学学习活动充满着探索，并在探索中感受成功，建立自信；体验数学来源于生活并应用于生活。 教学重难点 重点：应有一次函数解决实际问题 难点：准确的图像识别与应用，领悟函数与方程、不等式的关系 教学方法 启发式教学，学生探索为主 教学用具
多媒体 课时安排 2课时 教学过程设计 第一课时 一、导入新课 在前几节课里，我们学习了一次函数的图象和性质以及一次函数与方程、不等式的关系，其实一次函数在现实生活中也有着广泛的应用，现在我们就来一起探究一下。 二、试着做做 （出示题目）某公司与营销人员签订了这样的工资合同，工资由两部分组成，一部分是基本工资，每人每月300元；另一部分是按月销售量确定的奖励工资，每销售1件产品奖励工资4元． 1．设某营销员月销售产品x件，他应得的工资为y元，求y与x之间的函数关系式． 学生活动：独立阅读，领悟问题情境给出的数量关系，自己写出函数关系式。 师：让学生说出答案，并说出题中的数量关系。 营销员的月工资y(元)与他当月销售产品的件数x之间的函数关系式为： y=4x+300． 2．用求出的函数关系式，尝试解决以下问题： (1)该营销员某月的工资为l 220元，他这个月销售了多少件产品? (2)要想使月工资超过1 500元，当月的销售量应当超过多少件? 学生活动：积极思考，自主探究 解：当营销员的月工资为 1 220元时，他当月销售的产品件数x应当满足方程：4x+300=1 220． 解这个方程，得 x=230． 要想使月工资超过1 500元，则当月销售的产品件数x应当满足不等式：4x+300>1 500． 解这个不等式，得x>300．
3.2.2 几类不同增长的函数模型 （一）教学目标 1．知识与技能 利用函数增长的快慢一般规律，借助函数模型，研究解决实际问题，培养数学的应用意识. 2．进程与方法 在实例分析、解决的过程中，体会函数增长快慢的实际意义，从而提高学生应用数学解决实际问题的能力. 3．情感、态度与价值观 在实际问题求解的过程中，享受数学为人们的生产和生活服务的乐趣，激发学生学习数学知识的兴趣. （二）教学重点与难点 重点：应用数学理论解决实际问题的兴趣培养和能力提升 难点：函数建模及应用函数探求问题的能力培养. （三）教学方法 尝试指导与合作交流相结合，学生自主学习和老师引导相结合.解决实际问题范例，培养学生利用函数增长快慢的数学知识对实际问题进行探究和决策. （四）教学过程 回顾复习 择，这三种方案的回报如下： 元； 元； . 三种方案所得回报的增长情况
再作三个函数的图象 在第1~3天，方案一最多；在第天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5~8天，方案二
观察图象发现，在区间[10，1000] 上，模型y=0.25x，y=1.002x的图 象都有一部分在直线y=5的上方， 只有模型y=log7x+1的图象始终 y=5的下方，这说明只有按模 . 所以该模型不符合要求； 时，是否有 2 变化的数据如下表
．中学数学建模的主要步骤
例1 有一批影碟机（VCD ）原销售价为每台800元，在甲、乙两家电商场均有销售. 甲商场用如下的方法促销，买一台单价为780元，买二台单价为760元，依次类推，每多买一台单价均减少20元，但每台最低不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费最小. 【解析】设单位购买x 台影碟机， 在甲商场购买，每台的单价为800 – 20x ，则总费用 280020,(118)440,(18)x x x y x x ?-≤≤=?>? 在乙商场购买，费用y = 600x . （1）当0＜x ＜10时，(800x – 20x 2)＞600x ∴购买影碟机低于10台，在乙商场购买. （2）当x = 10时，(800x – 20x 2) = 600x ∴购买10台影碟机，在甲商场或在乙商场费用一样. （3）当10＜x ≤18时，(800x – 20x 2)＜600x ∴购买影碟机多于10台且不多于18台，在甲商场购买. （4）当x ≥18时，600x ＞440x ∴购买影碟机多于18台，在甲商场购买. 答：若购买小于10台，去乙商场购买；若购买10台，在甲商场或在乙商场费用一样多；若购买多于10台，在甲商场购买. 【评析】实际应用问题求解，理解题意建立模型是关键，建好模型后实际问题使自然转化为数学问题. 例2 某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双. 由于产品质量好，款式新颖，前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时，接受定单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量. 厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程. 厂里也暂时不准备增加设备和工人. 假如你是厂长，就月份x ，产量为y 给出四种函数模型：y = ax + b ，y = ax 2 + bx + c ，y = a 2 1x + b ，y = ab x + c ，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？ 【解析】本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型. 由题意知A （1，1），B （2，1.2），C （3，1.3），D （4，1.37）. （1）设模拟函数为y =ax +b ，将B 、C 两点的坐标代入函数式，有?? ?=+=+2.123.13b a b a ，解得? ??==11 .0b a 所以得y =0.1x +1. 因此此法的结论是：在不增加工人和设备的条件下，产量会月月上升1000双，这是不太可能的.
函数的应用 教学目标 知识目标： 使学生能根据实际问题抽象出函数的数学模型； 使学生学会用数形结合的思想解决函数值大小比较的实际问题； 能力目标： 培养学生数学的应用意识，提高解决实际问题的能力； 情感目标： 培养学生学习数学的兴趣和积极性。 教学重点和难点： 使学生学会从实际问题抽象出函数的数学模型，并用数形结合的思想解决函数值大小比较的实际问题。 课前准备：学生调查桑塔纳出租车计价情况 教学过程： 一、复习 提问：我们已学的一次函数、正比例函数、常值函数都可用怎样的函数解析式表示？ y=kx+b ：当k 0≠时是一次函数；当k 0≠，b=0时是正比例函数；当k=0时是常值函数。 [说明：渗透分类的数学思想，明确函数间的关系] 二、函数的应用 1、 龟兔赛跑（动画演示） 师：兔子在醒来后，发现乌龟已在自己前面2500米处，很后悔，以每小时跑3000米的速度奋力去追，而乌龟仍以每小时500米的速度继续前进，那么谁能胜利呢？ 师：你能用学过的方法直观地反映这一问题吗？ （学生讨论后回答） 若设兔子醒后追赶了t 小时，龟、兔离开兔子睡觉处的路程S （米）与时间t （小时）各是什么关系？并在同一直角坐标系内画出图象。 （学生回答） 师：（板书）兔：1S =3000t ()0≥t ； 龟：t S 50025002+= ()0≥t ； （图象实物投影） 师：图象的交点表示什么实际意义？交点左侧表示什么意义？右侧又表示什么意义呢？ （学生回答后，老师归纳） 归纳：两图象交点表示当自变量为交点横坐标时，两函数值相等，且同为交点纵坐标；反映在龟兔赛跑中，即经过相同的时间，兔子正好追上乌龟； 交点左侧部分图象对于相同的自变量，两函数值不同，其中位于上方图象的函数值大于下方图象的相应函数值；反映在龟兔赛跑中，即乌龟跑在兔子前面， [说明：对学生 脑海中传统的龟兔赛跑的结局提出问题，引发学生兴趣的同时也引起学生的思考，从而考虑解决问题的方法；通过对函数图象的一系列问题这一师生间的互动，使学生充分认识图象获取信息，理解图象的实际含义，直观感受到数形结合解决这类问题的价值，从学法上给学生以指导，为后面学生自主解