算术平均数与几何均数
一、教学目标：1．掌握两个正数的算术平均数不小于它们的的定理，并会简单运用；
2．利用不等式求最值时要注意到“一正”“二定”“三相等”．
二、教学重点：不等式的简单运用；
三、教学过程：
（一）主要知识：
1、算术平均数：如果+
∈R b a ,，那么
2
b
a +叫做这两个正数的算术平均数。 2、几何平均数：如果+
∈R b a ,，那么ab 叫做这两个正数的几何平均数。
3、定理：如果+
∈R b a ,，那么ab b a 22
2≥+（当且仅当a=b 时取“=”号） 4、推论：如果+
∈R b a ,，那么
ab b
a ≥+2
（当且仅当a=b 时取“=”号） 5、基本不等式：若+
∈R b a ,，则b
a a
b b a b a 112
2
222+≥
≥+≥+ 当且仅当a=b 时取“=”号
（二）例题分析：
题型1、利用基本不等式比较大小 例1、若()2
lg ,lg lg 21
,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+=
?=>>，试比较P ，Q 。R 的大小。
解：0lg lg ,1>>∴>>b a b a
()b a b a lg lg lg lg 2
1
?>+，即Q P > 又()b a ab b a ab b a lg lg 2
1lg 2lg ,2+=>+∴>+，Q R >∴
即P Q R >>
题型2、利用基本不等式证明不等式
例2、已知R c b a ∈,,，求证()c b a a c c b b a ++≥
+++++2222222
证明：2
2222??
? ??+≥+b a b a
()b a b a b a +≥
+≥
+∴2
2
2222
同理()c b c b +≥
+∴22
2
2,()a c a c +≥+∴2
222 三式相加得()c b a a c c b b a ++≥
+++++2222222
练习证明不等式：若1,1,,≤≤∈b a R b a ，则11122≤-+-a b b a
证：12
121112
2222
2
≤-++-+≤
-+-a b b a a b b a 例3、已知a,b,c 为不等正数，且abc=1，求证：c
b a
c b a 1
11++<++ 证一： a,b,c 为不等正数，且abc=1
c
b a b a
c a c b ab ac bc c b a 111211*********++<+
++++<++≤++∴ 证二： a,b,c 为不等正数，且abc=1
c
b a
c ab bc a abc ba
bc ca ba ca bc ab ac bc c b a ++=++>+++++=++=++∴222222111 所以c
b a
c b a 1
11++<
++ 小结：根据不等式结构特点灵活选用基本不等式。 练习：已知+
∈R b a ,且a+b=1 求证：91111≥??
? ??+??? ??+b a 证一：
914412422111111=++≥+??
?
??++=??? ??+??? ??+=??? ??++???
??++=??? ??+??? ??+b a a b b a a b b b a a b a b a 证二：因为+
∈R b a ,且a+b=1，所以ab b a 2≥+，21≥∴
ab
()()()9
814141211
111111=+≥+=+≥++=+++=++=??
? ??+??? ??+∴ab ab ab ab b a ab b a ab ab b a b a 题型3、利用基本不等式求最值 例4、（1）已知45<
x ，求函数5
4124-+-=x x y 的最大值。 （2）已知a,b 为实常数，求函数()()2
2
b x a x y -+-=的最小值。
分析：利用基本不等式求最值要注意一正、二定、三等号相等。 解（1）045,4
5
>-∴<
x x 13234514554124=+-≤+??
? ??
-+--=-+
-=∴x x x x y
当且仅当x
x 451
45-=
-，即x=1时”=”成立
∴当x=1时1max =y
（2）()()()2
222
2
22b a x b a x b x a x y +++-=-+-=
()()22222,22
2
22
min b a b a b a b a b a y b a x -=++++-?
?
? ??+=+=时 另解： ()()()()
()()()2222
2
2
2
2
2
b a x b a x x b a x b x a x y -=??
?
???-+-≥-+-=-+-= 当且仅当x-a=b-x ，即2
b
a x +=时，()22
min b a y -=
结论：满足一正、二定、三相等和定积最大，积定和最小。
题型4、基本不等式的综合应用
例5、已知A 、B 两地相距200km ，一只船从A 地逆水到B 地，水速为8km/h ，船在静水中的速度为v km/h(8 解：设每小时的燃料费为y 1，比例系数为k(k>0)，则2 1kv y = 当v=12时，y 1=720 212720?=∴k 得k=5 设全程燃料费为y ，依题意有 3200016864810008648100081000820021≥?? ? ??+-+ -=??? ??-++=-=-?=v v v v v v v y y 当8 64 8-= -v v ，即v=16时取等号 8 所以当16≥ v 时，v=16时全程燃料费最省 当16< v 时，令8 64 8-+-=v v t 任取0218v v v ≤<< 则80,88021<<<- ()() 08864 121<--- ∴v v ()()()08864 1212121>??? ? ??----=-∴v v v v t t 即864 8-+-=v v t 在(] v ,8上为减函数，当v=v 0时，y 取最小值8 10002- v v 综合得：当16≥ v 时，v=16km/h ，全程燃料费最省，32000为元，当16< v 时，当v=v 0 时，全程燃料费最省，为8 10002 - v v 元。 另解：当16< v 时，令8 64 8-+ -=v v t () 2 '864 1--+ =v t 1680<≤ ()6480,8802 <-<<-<∴v v () 0864 12 '<--+ =∴v t []0,88 64 8v v v t 在-+ -=∴上为减函数 以下相同 小结：注意基本不等式应用条件和分类讨论 判断函数单调性用导数是很有效的方法 （三）巩固练习： 1. 设 , 0>>y x 则下列各式中正确的是 ( ) A y xy y x x >>+>2 B x xy y x y >>+>2 C xy y y x x >>+>2 D x xy y x y >≥+>2 2. 下列不等式的证明过程正确的是 ( ) A 若,,R b a ∈则22=?≥+b a a b b a a b B 若+ ∈R y x ,,则y x y x lg lg 2lg lg ≥+ C 若,- ∈R x 则4424-=?-≥+x x x x D 若,- ∈R x 则222222=?≥+--x x x x 3.设实数b a ,满足,0b a <<且,1=+b a 则下列四数中最大的是 ( ) A 22b a + B ab 2 C a D 1/2 4.在下列结论中,错用重要不等式作依据的是 ( ) A ,,,+ ∈R z y x 则 6y z z x x y x y z +++++≥ B 21 222≥++x x C x R + ∈，210log lg ≥+x x D 4)11)(1(,≥++∈+a a R a 5.已知,,22,,xy c y x R y x ==+∈+那么c 的最大值为 ( ) A 1 B 1/2 C 2 D 1/4 6. 设 b a ,为实数且 , 3=+b a 则 b a 22+的最小值是 ( ) A 6 B 24 C 22 D 62 7设+ ∈R b a ,,则在 2)1(≥+b a a b ； (2) b a b a +≤+211(3)ab b a 222≥+； (4)b a b a a b +≥+22 这四个不等式中,不 正确的有 ( ) A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 8. 设,,,+ ∈R c b a 且,1=++c b a 若)11)(11)(11(---=c b a M ,则必有 ( ) A 01/8M ≤< B 1/81M ≤< C 81<≤M D 8≥M 9. 设n m d c b a ,,,,,都是正数,n d m b nc ma Q cd ab P ++=+=,,则 ( ) A Q P ≤ B Q P ≥ C Q P < D P 与Q 的大小关系与n m ,有关,不能确定. 10．甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一半时间以速度n 行走；乙有 一半路程以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走，若m ≠n ，则甲、乙两人到达指定地点的情况是 （ ） A ．甲先到 B ．乙先到 C ．甲乙同时到 D ．不能确定 参考答案ADACB BBDAA 四、小结： 1、根据不等式的特征能灵活选用基本不等式 2、多次用基本不等式必须保持取“=”的致性 3、用基本不等式时务必注意一正、二定、三相等这三个条件。 五、作业：
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