指数与指数函数 [基础训练]
1．函数f (x )＝a x ＋b －1(其中0 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：C 解析：由0 二象限． ∵0 ∴y ＝a x 的图象向下平移1－b 个单位即可得到y ＝a x ＋b －1的图象， ∴y ＝a x ＋b －1的图象一定经过第一、二、四象限，一定不经过第三象限． 2．已知x ，y 为正实数，则( ) A ．2lg x ＋lg y ＝2lg x ＋2lg y B ．2lg(x ＋y )＝2lg x ·2lg y C ．2lg x ·lg y ＝2lg x ＋2lg y D ．2lg(xy )＝2lg x ·2lg y 答案：D 解析：2lg(xy )＝2(lg x ＋lg y )＝2lg x ·2lg y . 3．设集合A ＝{x ||x －1|<2}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈[0,2]}，则A ∩B ＝( ) A ．[0,2] B ．(1,3) C ．[1,3) D ．(1,4) 答案：C 解析：由题意，得 A ＝{x ||x －1|<2}＝{x |－1 B ＝{y |y ＝2x ，x ∈[0,2]}＝{y |1≤y ≤4}， 所以A ∩B ＝[1,3)． 4．下列函数中，与函数y ＝2x －2－x 的定义域、单调性与奇偶性均一致的是 ( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝x 3 C ．y ＝? ?? ??12x D ．y ＝log 2x 答案：B 解析：y ＝2x －2－x 是定义域为R 的单调递增函数，且是奇函数． 而y ＝sin x 不是单调递增函数，不符合题意； y ＝? ?? ??12x 是非奇非偶函数，不符合题意； y ＝log 2x 的定义域是(0，＋∞)，不符合题意； y ＝x 3是定义域为R 的单调递增函数．且是奇函数符合题意，故选 B. 5．设函数f (x )＝x 2－a 与g (x )＝a x (a >1且a ≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M ＝(a －1) 0.2 与N ＝? ?? ??1a 0.1 的大小关系是 ( ) A ．M ＝N B ．M ≤N C ．M D ．M >N 答案：D 解析：因为f (x )＝x 2－a 与g (x )＝a x (a >1且a ≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性， 所以a >2，所以M ＝(a －1)0.2 >1，N ＝? ?? ??1a 0.1 <1， 所以M >N ，故选D. 7．已知函数f (x )＝2x －2，则函数y ＝|f (x )|的图象可能是( ) 答案：B 解析：y ＝|f (x )|＝|2x －2|＝????? 2x －2，x ≥1，2－2x ，x <1， 易知函数y ＝|f (x )|的图象的分段点是x ＝1，且过点(1,0)，(0,1)，|f (x )|≥0， 又|f (x )|在(－∞，1)上单调递减，故选B. 9．已知函数f (x )＝? ?? ??23|x |－a . (1)求f (x )的单调区间； (2)若f (x )的最大值等于9 4 ，求a 的值． 解：(1)令t ＝|x |－a ，则f (x )＝? ?? ??23t ， 不论a 取何值，t 在(－∞，0]上单调递减， 在[0，＋∞)上单调递增， 又y ＝? ?? ??23t 是单调递减的， 因此f (x )的单调递增区间是(－∞，0]， 单调递减区间是[0，＋∞)． (2)设g (x )＝|x |－a ， 由于f (x )的最大值是94，且94＝? ????23－2 ， 所以g (x )＝|x |－a 有最小值－2. 所以a ＝2. 2．已知x>0，函数f(x)＝2x－a2＋2－x＋a2 2x－2－x 的最小值为2， 则a ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2 答案：A 解析：f (x )＝2x －a 2 ＋2－x ＋a 2 2x －2－x ＝ 22x ＋2－2x －2a 2x －2－x ＋2a 2 2x －2－x ＝ 2x －2－x 2 －2a 2x －2－x ＋2a 2＋2 2x －2－x ＝2x －2－x ＋2a 2＋2 2x －2 －x －2a ≥2 2x －2－x ·2a 2＋2 2x －2－x －2a ＝22a 2＋2－2a ， 故22a 2＋2－2a ＝2，得a ＝1， 当且仅当2x －2－x ＝2时等号成立． 3．设函数f (x )＝????? ? ?? ??12x －7，x <0， x ，x ≥0， 若f (a )<1，则实数a 的取 值范围是( ) A ．(－∞，－3) B ．(1，＋∞) C ．(－3,1) D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞) 答案：C 解析：当a <0时，不等式f (a )<1可化为? ????12a －7<1，即 ? ????12a <8＝? ?? ??12－3 ，即a >－3， 此时－3 当a ≥0时，不等式f (a )<1可化为a <1， ∴0≤a <1. 综上，a 的取值范围是(－3,1)． 4．如图，四边形OABC 是面积为8的平行四边形，AC ⊥CO ，AC 与BO 交于点E ，某指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象经过点E ，B ，则a ＝( ) A. 2 B. 3 C ．2 D ．3 答案：A 解析：设E (t ，a t )，易知点B 的坐标为(2t,2a t )． ∵B 点在函数y ＝a x 的图象上， ∴2a t ＝a 2t ，∴a t ＝2(a t ＝0舍去)． ∴平行四边形OABC 的面积＝OC ·AC ＝a t ·2t ＝4t . 又平行四边形OABC 的面积为8， ∴t ＝2，∴a ＝ 2.故选A. 5．已知函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝c x 的图象如图所示，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a B ．c C ．c D ．b 答案：B 解析：由题中图象可知a >1，b ＝12，c <1 2 ，故选B. 6．已知a ＝? ?? ??120.3 ，b ＝log 12 0.3，c ＝a b ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a B ．c C ．a D ．b 答案：B 解析：b ＝log 12 0.3>log 12 1 2＝1>a ＝? ?? ??120.3，c ＝a b c 7．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝1 9，则f (x )的单调递 减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2] 答案：B 解析：由f (1)＝19，得a ＝1 3，因此f (x )＝? ?? ??13|2x －4|. 因为y ＝|2x －4|在[2，＋∞)上单调递增， 所以f (x )的单调递减区间是[2，＋∞)，故选B. 8．已知max{a ，b }表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e |x －2| }，则f (x )的最小值为________． 答案：e 解析：由题意知，f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}＝ ????? e x ，x ≥1，e 2－x ，x <1. 当x ≥1时，f (x )≥e，且当x ＝1时，取得最小值e ； 当x <1时，f (x )>e. 故f (x )的最小值为f (1)＝e. 9．若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为 m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________. 答案：1 4 解析：当a >1时，有a 2＝4，a －1＝m ， 故a ＝2，m ＝1 2 ，