2008IMO 中国国家集训队平面几何练习题
1．一圆O 切于两条平行线12,l l ，第二个圆
1O 切1l 于A ，外切O 于C ，第三个圆2O 切2l 于B ，外切O 于D ，外切1O 于E ，AD 交BC 于Q ，求证Q 是CDE ?的外心。（35届IMO 预选题）
证明 由1AO ∥2BO ，知12 AO E BO E ∠=∠，从而有12AEO BEO ∠=∠，即,,A E B 三点共线。同理由OF ∥2BO ，可得,,B D F 三点共线。又因为
211118018022
EDB EO B AO E EAF ∠=?-∠=?-∠=∠，所以,,,A E D F 四点共圆，BE BA BD BF =，即点B 在1O 与O 的根轴上。又因为C 在1O 与O 的根轴上，所以BC 是1O 与O 的根轴。同理AD 是2O 与O 的根轴，因此Q 为根心，且有QC QD QE ==，即Q 是CDE ?的外心。
2．非等腰ABC ?的内切圆圆心为I ，其与,,BC CA AB 分别相切于点111,,A B C ，11,AA BB 分别交圆于22,A B ， 111A B C ?中111111,C A B C B A ∠∠的角平分线分别交1111,B C AC 于点33,A B ，证明（1）23A A 是121B A C ∠的角平分线；（2）如果 ,P Q 是123A A A ?和123B B B ?的两个外接圆的交点，则点I 在直线 PQ 上。（01年保加利亚）
证明 （1）因为12AC A ?∽11AAC ?，12AB A ?∽11AA
B ?，所以有122212111111
C A A A A A B A
C A A C A B B A ===，从而有131211121113
C A C A C A B A B A B A ==，即23A A 是121B A C ∠的角平分
线。
（2）设123A A A ?的外心为
O ，连221,,,OI IA OA OA ，则12OI A A ⊥。由于132A A A ∠= ()1121231131121211111121902AC A C A A C A A AC A C A B C A B AC A ∠+∠+∠=∠+
∠+∠=?+∠，所以2211321122118090902
A O I A O A A A A A C A A I O ∠=∠=?-∠=?-∠=?-∠，于是有290IA O ∠=?，即2IA 与O 相切于2A 。同理2I
B 与123B B B ?的外接圆相切于2B ，从而I 在O 与123B B B ?的外接圆的根轴上，即 ,,I P Q 三点共线。
3．已知圆O 外一点X ，由X 向圆O 引两条切线，切点分别为,A B ，过点X 作直线，
与圆O 交于两点,C D ，且满足CA BD ⊥，若,C
A B D 交于点F ，,CD AB 交于点G ，BD 与GX 的中垂线交于点H ，证明,,,X F G H 四点共圆。（05年日本）
证明 因为,,,X D G C 是调和点列，且90CFD ∠=?，所以F 在关于点,X G 的阿波
罗尼斯圆上。连,FG FX ，有GFD DFX ∠=∠。设GFX ?的外接圆与BF 交于点H '，则有GH XH ''=，即H '在GX 的中垂线上，从而有H H '=，因此,,,X F G H 四点共圆。
4．若 ,P Q 到ABC ?的三个顶点 ,,A B C 的距离的比都是 ::l m n ，且,,l m n 互不相等，则直线 PQ 过ABC ?的外接圆的一条直径DE 。若设ABC ?的外接圆圆心为O ，则
2OP OQ OD =。
证明 法一：由于 ,P Q 到,A C 的距离之比为 :l n ，则 PQ 在阿波罗尼斯圆G 上，其中AG 与G 的交点为,K L ，且,,,A K C L 为调和点列。设O 与G 交于点F ，则22GA GC GK GF ==，因此GF 与O 相切于点F ，于是OF 也与G 相切于点F 。同理，由于 ,P Q 到,B C 的距离之比为 :m n ，则 PQ 在阿波罗尼斯圆M 上，设O 与M 交于点H ，于是OH 与M 相切于点H 。因为OH OF =，所以O 在G 与M 的根轴
上，从而有,,O P Q 三点共线。设 PQ 与O 交于点,D E ，则22OD OF OP OQ ==，即,,,D P E Q 为调和点列。
法二 由于AP BP CP AQ BQ CQ
==，则ABC ?的外接圆就是关于点 ,P Q 的阿波罗尼斯圆，从而O 在直线 PQ 上，且有2OP OQ OD =。
5．已知圆心分别为12,O O 的圆12,ωω外切于点D ，并内切于圆ω，切点分别为,E F ，
过点D 作12,ωω的公切线l 。设圆ω的直径AB 垂直于l ，使得1,,A E O 在l 的同侧，证明
12,,AO BO EF 三线交于一点。
（第47届IMO 预选题）
证明 设AB 的中点为O ，E 为圆ω与圆1ω的位似中心，由于半径1,OB O D 分别垂直于l ，所以OB ∥1O D ，且有,,E D B 三点共线。同理,,F D A 三点共线。
设,AE BF 交于点C ，由于,AF BC BE AC ⊥⊥，所以D 是ABC ?的垂心，于是CD AB ⊥，这表明C 在直线l 上。
设EF 与直线l 交于点P ，下面证明点P 在直线1AO 上。设AC 与圆1ω的第二个交点为N ，则ND 是圆1ω的直径，由梅涅劳斯定理的逆定理，要证1,,A O P 三点共线，只要证111NO CA DP AN O D PC =。因为11NO O D =，所以只要证CA CP AN PD =。设l 与AB 交于点K ，则CA CK AN KD =，从而只要证CP CK PD KD
=，即证,,,C P D K 是调和点列。连AP 交BC 于点X ，则,,,C X F B 是调和点列，因此有,,,C P D K 是调和点列。
6．设 ABCD 是梯形， AB ∥CD ，在其两腰 ,AD BC 上分别存在点 ,P Q ，使得 ,APB CPD AQB CQD ∠=∠∠=∠，证明点 ,P Q 到梯形两对角线的交点的距离相等。（20届全俄）
证明 设APB ?与CPD ?的外接圆交于点1Q ，则有()()11180180180CQ P BQ P CDP BAP ∠+∠=?-∠+?-∠=?，所以点1Q 在 BC 上。又
因为11 CQ D CPD APB AQ B ∠=∠=∠=∠，所以1Q Q =。设APB ?与CPD ?的外接圆半径分别为12,R R ，APB α∠=，则1122
2sin 2sin R R AB CD R R αα==，因此 AC 与BD 的交点O 是
APB ?的外接圆与CPD ?的外接圆的位似中心，设APB ?与CPD ?的外接圆的圆心分别为12,O O ，则O 在12O O 上，且12O O 是PQ 的中垂线，于是有OP OQ =。
7．圆123,,S S S 均与圆S 外切，切点分别为111,,A B C ，并且它们还分别与ABC ?的两条边相切，证明111,,AA BB CC 三线共点。
（20届全俄）
证明 设ABC ?的内切圆的圆心为I ，半径为R ，
123,,,S S S S 的半径分别为123,,,r r r r ，则111,,1r r H A H A r R I S S ????- ? ?????????
→????→。设P 为SI 上的一点，且满足PS r PI R =，则,r H P R I S ??- ???????→，从而有1,,A A P 在一条直线上。同理1,,B B P 与1,,C C P 均三点共线，即111,,AA BB CC 三线共点。
8．给定一个半圆周，其直径为 AB ，圆心为O ，一直线与半圆周相交于点,C D ，且
与 AB 的延长线交于点M ，其中,MB MA MD MC
<<。设 ,AOC BOD ??的外接圆12,O O 的第二个交点为K ，证明MKO ∠是直角。
（21届全俄）
证明 法一 连1OO 交1O 于点P ，2OO 交2O 于点Q ，因为12,O O OK PQ ⊥∥12O O ，且K 在PQ 上，所以只要证,,P Q M 三点共线。由于OP 是1O 的直径，因此PA 与O 相切。同理,,PC QB QD 也均与O 相切。过P 作QD 的平行线，与DC 的延长线交于点E ，则CEP MDQ ECP ∠=∠=∠，所以PE PC PA ==，即PAE ?与QBD ?均是等腰三角形，且对应边平行，因此对应顶点的连线交于一点，即,,P Q M 三点共线。
法二 设,AC BD 交于点N ，,AD BC 交于点H ，则H 为NAB ?的垂心。连MH ，分别交,AC BD 于点,X Y ，则,,,N C X A 及,,,N D Y B 为调和点列，所以MH 是N 关于O 的极线，于是ON MH ⊥。同理OM NH ⊥，且O 是HMN ?的垂心。由蒙日定理得OK
过点N ，于是有MH OK ⊥。设NH 与 AB 交于点T ，则N H N T N C N A N K N O ==，
所以,,,K O T H 四点共圆，90HKO HTO ∠=∠=?，于是有,,M K H 三点共线。
法三 延长OK 至S ，则9090MKO SKD DKM ∠=??∠+∠=??
90,,,DBO DKM DKM DAM K A M D
∠+∠=??∠=∠?四点共圆KAB CDK ?∠=∠。因为,C A 关于PO
对称，所以有()()180180C D K C D B K D B C A B K O B K ∠=
∠-∠=?-∠-?-∠=∠K C A C A B O C A O C K C A B =∠-∠=∠+∠-∠=∠+
∠-∠
。 9．设点O 是凸四边形 ABCD 的对角线的交点，过AOB ?的重心与COD ?的重心引一条直线，过BOC ?的垂心与AOD ?的垂心引一条直线，证明这两条直线互相垂直。（6届全苏）
证明 设,,,AOB BOC COD AOD ????的重心分别为 ,,,K L M N ，则四边形 KLMN 是平行四边形，并满足 ,KL KN 分别平行于 ,AC BD ， =
,33AC BD KL KN =，从而有KL AC KN BD
=。设,,,AOB BOC COD AOD ????的垂心分别为 ,,,K L M N ''''，则,,;,,;, ,;,,A K N C M L B K L D M N ''''''''均
三点共线，且四边形 K L M N ''''是平行四边形，并满足 ,K L K N ''''分别垂直于 ,AC BD 。设 A O B ?∠=，不妨假设90?
90O B L ?'∠=?-，所以有() cos 90cos K L AC ??''?-=，即 cot K L AC ?''=。同理
cot K N BD ?''=，于是有K L AC KL K N BD KN
''==''。因此平行四边形 KLMN 与 K L M N ''''相似，若把其中的一个平行四边形旋转90?，那么不仅它们的对应边而且它们对应的对角线都互相平行，因此有 ,K M LN L N KM ''''⊥⊥。
10．已知四边形 ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ，把ABC ?绕点C 旋转某一角度得到A B C ''?，证明线段,,A D BC B C ''的中点在同一条直线上。（23届全苏）
证明 将BCB '?平移DC 得EFG ?，则,,A D BC B C ''的中点经位似变换(),2H D 变为 ,,A E G '。连EB 交AD 于K ，由于BE BK BA ==，因此有,EA AD EA EF ⊥⊥，从而()111190901802222
AEG FEG EFG EFG BCB ACA ''∠=?-∠=?-
?-∠=∠=∠=∠。因为直角梯形ADFE 的腰DF 的中点到两个直角顶点的距离相等，所以EC AC A C '==，
即,,E A A '在以C 为圆心，以CA 为半径的圆上，从而有12ACA AEA ''∠=∠，于是可得 ,,A E G '三点共线。
11．已知M 为ABC ?内一点，由M 分别向,,BC CA AB 作垂线，垂足分别为,,A B C '''。由 ,,A B C 分别向,,B C C A A B ''''''作垂线，证明这三条垂线交于一点M '。若A B C '''?的外心为O ，则,,M O M '三点共线，且O 是线段MM '的中点。
证明 法一 连MO ，并延长至M '，使得O 是线段MM '的中点。设AM 的中点为O '，则O '为由,,,A C M B ''所确定的四边形的外接圆的圆心，因此OO B C '''⊥。又因为AM '∥OO '，所以有AM B C '''⊥。同理可得,BM C A CM A B ''''''⊥⊥。
法二 分别延长,,MA MB MC '''至,,D E F ，使得,,BC CA AB 分别是,,MD ME MF 的中垂线，所以AE AM AF ==，即A 是MEF ?的外心。同理，,B C 分别是,MDF MDE ??的外心。由于由 ,,A B C 分别向,,B C C A A B ''''''作的垂线就是由 ,,A B C 分别向
,,EF FD DE 作的垂线，因此也就是,,EF FD DE 的中垂线，而,,EF FD DE 的中垂线交于一点，且就是DEF ?的外心，即点M '。又因为M 是A B C '''?与DEF ?的位似中心，且位似比为2，所以,,M O M '三点共线，且O 是线段MM '的中点。
12．已知,P Q 分别是ABC ?的边,AC AB 上的点，,BP CQ 相交于点D ，证明ABD ?和ACD ?的内切圆外切的充分必要条件是四边形APDQ 有内切圆。（99年保加利亚）
证明 充分性：由ABD ?和ACD ?的内切圆外切，可得DB DC AB AC -=-。作ACQ ?的内切圆，过B 作该圆的切线BM ，交CQ 于1D 。由于11AB AC D B DC -=-，因此有11
DB DC D B DC -=-，即1D D =。 必要性：设ABD ?和ACD ?的内切圆与AD 分别切于点1,N N ，因为DB DC AB AC -=-，所以有1DN DN =。
13．已知单位面积的凸四边形ABCD 及其内一点P ，证明这5个点构成的三角形中必
有一个的面积不超过12
，并证明这个上界是最小的。 证明 假设两条对角线交于点O ，不妨假设P 点在OBC ?中。假设,,,PAC PBD PBC PAD ????的面积分别为1234,,,S S S S ，,,,PA PB PC PD 分别为,,,a b c d ，,,,APB BPC CPD APD αβγω∠=∠=∠=∠=，因为 ()()()()()1sin sin sin sin cos cos cos cos 2
αγβωαγαγβωβω-=--+++--
()()()()()1cos cos sin sin 2
αγβωαωγω=---=++， 所以有1234PAB PCD S S S S S S ??=+。若1234,,,S S S S
343411ABCD PAB PCD S S S S S S S ??==+++≥+>，
矛盾。
当等腰梯形ABCD 满足AD 平行于BC
，1,1AD BC ==
P 在对称轴上，且到AD 的距离为1。此
时PAD PBC PAC PBD S S S S ????====
，PAB PCD S S ??==
14．已知ABC 的重心为G ，()1证明,,AG BG CG 分别关于,,A B C ∠∠∠的角平分线对称的三条直线交于一点P ；()2若P 在三条边,,BC CA AB 上的投影分别为,,D E F ，证明P 为DEF 的重心。
证明 ()1设ABC 的三条中线分别为,,AL BM CN ，,,AG BG CG 关于,,A B C ∠∠∠的角平分线对称的三条直线分别与,,BC CA AB 交于点111,,L M N ，设,BC a CA b
==，AB c =，则1121112111ABL ABL ACL ACL S BL BL S AB AL BL BL AB AL c L C LC LC L C S S AC AL AC AL b ====。同理可得
22
112211;CM AN CM a AN b M A MA c N B NB a
==。由塞瓦定理，可得1BL CM AN LC MA NB =，于是有1111111BL CM AN L C M A N B
=，由塞瓦定理的逆定理可得111,,AL BM CN 交于一点。
注 用塞瓦定理的三角表示（角元塞瓦定理）更容易得到。 ()2设DP 与EF 交于点K ，CAL α∠=，由正弦定理可得()sin sin sin sin A LC BL C AL AL B
αα∠-===∠∠，由于,,,;,,,;,,,A E P F B D P F C D P E 均四点共圆，所以,,,FEP PAF EFP
PAE A FPK B EPK C αα∠=∠=∠=∠=∠-∠=∠∠=∠，由正弦定理得()()sin sin sin sin sin sin sin sin FPK B B FK PK PK KE KE EFP A A C
ααα∠∠∠====∠∠-∠-∠，于是K 是EF 的中点，进而可得P 是DEF 的重心。
15．已知ABC ?的边AB 上有两个点,P Q ，证明APC ?与BQC ?的内切圆半径相等的充分必要条件是AQC ?与BPC ?的内切圆半径相等。
证明 先证明一个引理：设ABC ?的边BC 上的高为h ，内切圆半径为r , 则2tan tan 22
h r B C h -∠∠=。 设ABC ?的内心为I ，作BC 的平行线DE 与圆I 相切，且分别与,AB AC 交于点
,D E ，则
c o t c o t t a n t a n 22222t a n t a n 22cot cot cot cot 2222
BDE CED B C r r h r DE B C B C B C h BC r r ∠∠∠∠++-∠∠====∠∠∠∠++。
设,,,APC BQC AQC BPC ????的内切圆半径分别为1234,,,r r r r ，则
121222tan tan tan tan 2222
h r h r A APC B BQC r r h h --∠∠∠∠=?
=?= 343422tan tan tan tan 2222h r h r A AQC B BPC r r h h
--∠∠∠∠?=?=?=。 16．已知圆内接五边形 ABCDE 满足ABC ?的内切圆半径等于AED ?的内切圆半径，ABD ?的内切圆半径等于AEC ?的内切圆半径，证明ABC ?≌AED ?。（98年保加利亚）
证明 设,,,ABC AED ABD AEC ????的内切圆半径分别为1234,,,r r r r ，
外接圆半径为为R ，不含其它顶点的弧 , ,,,AB BC CD DE EA 分别为2,2,2,2,2a b c d e ，则有
()()12 cos cos cos 11cos cos cos r r a b a b e d e d R R
+-+=+
=+=+-+，()()()()34 cos cos cos 11cos cos cos r r a b c e d e d c a b R R
++++=+=+=++++。 两式相减得()()cos cos cos cos b d c d b c ++=++，从而有cos cos 22b c d d c b ----=，舍去一种情况后可得b d =。代入第一个式子得()()cos cos cos cos a b e e a b ++=++，类似地可得a e =。因此有ABC ?≌AED ?。
17．已知凸四边形 ABCD ， ,AB DC 交于点 P ， ,AD BC 交于点Q ，O 为四边形 ABCD 内一点，且有 BOP DOQ ∠=∠，证明 180AOB COD ∠+∠=?。（05年保加利亚BMO 选拔）
证明 设 BOP DOQ α∠=∠=，则()s i n s i n ,sin sin AOD QD AQ OQD OD OQD OA
αα+∠==∠∠，从而有()sin sin AOD AQ OD OA QD
αα+∠=。类似地，有()sin sin AOB AP OB OA BP αα+∠=，因此有()()sin sin AOD AQ OD BP AOB AP OB QD αα+∠=+∠。同理，由()sin sin ,sin sin COD BOQ BQ QC OQB OB OQB OC α∠-∠==∠∠，可得()()s i n s i n ,s i n s i n C O D B O C Q
C O B P C O
D B O Q O C B Q D O P O C P D
αα∠-∠-==∠∠，因此有()()sin sin COD QC OB PD BOC PC OD QB αα∠-=∠-。设 AC 与 PQ 交于点L ，由梅涅劳斯定理，1,1AQ DP CL CQ BP AL QD PC LA QB PA LC ==，于是有()()()()
sin sin 1sin sin AOD COD AOB BOC αααα+∠∠-=+∠∠-。积化和差并化简后得()()cos 2=cos 2AOD COD AOB BOC αα∠-∠+∠-∠+，于是可得
AOD COD AOB BOC ∠-∠=∠-∠（其中另一种情况不存在），从而有 180AOB COD ∠+∠=?。
18．D 为AG 的中点，在AG 的同侧作全等的四边形 ,ABCD DEFG ，使它们都有内切圆，圆心分别为,O I ，证明,,AO CE GI 三线共点。（30届加拿大训练题）
证明 作位似变化(),2 H A ABCD AMNG ???→，则有(),2 H G GFED GNMA ???→，
于是C 是AN 的中点，E 是MG 的中点。设,AO GI 交于点K ，由12
OD GK =，且OD ∥GK ，可得K 是四边形AMNG 的内切圆的圆心。由牛顿定理，可得,,C K E 三点共线。
19．已知圆1234,,,O O O O 按顺时针的顺序内切于圆O ，设圆(),14i j O O i j ≤<≤的外公切线长为ij l ，证明依次以12233414,,,l l l l 为边长，以1324,l l 为对角线构成的凸四边形是圆内接四边形。
证明 设圆1234,,,,O O O O O 的半径分别为1234,,,,R r r r r ，
圆1234,,,O O O O 与圆O 的切点分别为 ,,,A B C D ，1234,,,OO a OO b OO c OO d ====，1223,OOO O OO αβ∠=∠=，3414,O OO OOO γδ∠=∠=，因为12R a r b r =+=+，所以有
()()()22222221212122cos 21cos 4sin 2l O O r r a b ab a b ab ab α
αα=--=+---=-=，即
122l α
=。同理可得2334141324,,,,l l l l l 的表达式。由托勒密定理的逆定理知，只要证
123423141324l l l l l l +=。代入ij l 的表达式，只要证
sin sin sin sin sin sin 222222α
γ
β
δ
αβ
βγ
+++=，即 AB CD BC AD AC BD +=。
20．设M 是ABC ?内一点，,,D E F 分别是,,BCM CAM ABM ???的外心，证明DEF ABC S S ??≥，并确定等号成立的条件。
证明 设,,MA MB MC 与,,EF FD DE 分别交于点111,,A B C ，DEF ?的外心为O ，外接圆半径为R ，OM d =。因为M 在圆O 的内部，由欧拉关于垂足三角形的面积公式，有111222222444ABC A B C DEF DEF DEF R d R d S S S S S R R
?????--===≤。等号成立当且仅当0d =，
即M 为DEF ?的外心。此时有M 为ABC ?的垂心，且ABC ?是锐角三角形。
21．()1直角ABC ?中，O 是斜边AB 的中点，PB AB ⊥，PO 交AC 于点M ，PC 的延长线交AB 于点E ，证明OBM BCE ∠=∠。（07年第四届东南地区数学奥林匹克）
证明 作ABC ?的外接圆O ，延长PE ，与圆O 交于点D ，连AD ，并与PO 的延长线交于点N 。因为BCE BAD ∠=∠，所以只要证OBM BAD ∠=∠。又因为O 是AB 的中点，因此只要证OM ON =。
()2设,C D 是以O 为圆心，AB 为直径的半圆上的任意两点，过点B 作圆O 的切线，交直线DC 于点P ，直线PO 与直线,AC DA 分别交于点,M N ，证明OM ON =。（07年第四届东南地区数学奥林匹克）
统一证明 过A 作AB 的垂线，与直线PO 交于点Q ，则O 是PQ 的中点。于是这两个问题都等价于：
已知过圆O 的圆心O 的直线上的两个点,P Q 满足OP OQ =，过P 作圆O 的割线PCD ，过Q 作圆O 的切线PA ，若,AC AD 与直线PQ 分别交于点,M N ，证明OM ON =。
实际上这个问题还可以更一般化：设一条直线l 与一条二次曲线交于点,S T ，ST 的中点为O ，,P Q 为l 上的两个点，且满足OP OQ =，过P 作圆O 的割线PCD ，过Q 作圆O 的割线PEF ，若,CE DF 与直线l 分别交于点,M N ，证明OM ON =。
证明 以O 为坐标原点，l 为x 轴建立平面直角坐标系，二次曲线的方程设为
220ax bxy cy dx ey f +++++=。
当0y =时得20ax dx f ++=，该二次方程的两个解就
是点,S T 的横坐标。因为ST 的中点为O ，所以0d =，即二次曲线的方程化为
220ax bxy cy ey f ++++=。设()(),0,,0
P p Q p -，则P C D ，PEF 的方程为()()()()120y k x p y k x p ---+=，因此过,,,C D E F 的二次曲线系为()()()()22120ax bxy cy ey f y k x p y k x p λ+++++---+=。特别地，当λ取某个特
殊值时，该方程就是两条直线,CE DF 的方程。当0y =时得()
222120ax f k k x p λ++-=，该二次方程的两个解就是点,M N 的横坐标。由于二次方程没有一次项，所以,M N 的横坐标的和为0，从而有OM ON =。
第一章《基本的几何图形》测试题 姓名 班级 学号 命题人：赵秀珍 审核人：朱亚男 NO:15 一、选择题（每题3分） 1.下列说法正确的是（ ） ①教科书是长方形 ②教科书是长方体，也是棱柱 ③教科书的表面是长方形 A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③ 2．将一个直角三角形绕它的最长边（斜边）旋转一周，得到的几何体是（ ） A ． B ． C ． D ． 3、下列图形中是圆柱的是（ ） A B C D 4．下列平面图形不能够围成正方体的是（ ） A B C D 5、A 、B 是平面上的两个点，AB=15cm ，P 为平面上一点，若PA+PB=30cm ，则P 点（ ） A.只能在直线AB 外 B.只能在直线AB 上 C.不能在直线AB 上 D.不能在线段AB 上 6、从高密开往济南的特快列车，途中要停靠两个站点如果任意两站间的票价都不同，不同的票价有（ ） A.14种 B.6种 C.10种 D.12种
7、已知线段AB ，画出它的中点C ，再画出BC 的中点D ，再画出AD 的中点E ，再画出AE 的中点F ，那么AF 等于AB 的（ ） A.41 B.83 C .81 D.163 8、设a 是有理数，则|a|-a 的值为（ ） A.可以是负数 B.不可能是负数 C.必是正数 D.可以是正数也可以是负数 二、填空题：（每题3分） 9、下列图形中属于棱柱的有 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 10 ．观察图中的立体图形，分别写出它们的名称． _____ 11、在任一直线上有n 个点，则这条直线上有 条线段。 12 、 A,B,C,D 是直线l 上顺 次的四点，且 线段AC=5cm,线段BD=4cm,则线 段AB-CD= 。 13、工人师傅在砌墙时，先在两端各固定一点，中间拉紧一条细线，然后沿着细线砌墙就 能砌直。运用的数学原理： 三、解答题： 14、如图，平面内的线段AB,BC,CD,DA 首尾相接，按照下列要求画图：（10分） （1）连接AC ，BD 相交于点O A （2）分别延长线段AD ，BC 相交于点P D （3）分别延长线段AB ， DC 相交于点Q C B
北师大版六年级数学上册几何图形专项练习题 1. 俗话说：“饭后百步走，活到九十九．”靓靓晚上与爸爸在路灯下散步，当走向路灯时，他们的影子（） A .会变长 B .会变短 C .长度保持不变 2. 一个长4cm，宽2cm的长方形按4：1放大，得到的图形的面积是（）cm2 ． A .32 B .72 C .128 3. 如图中的正方体、圆柱和圆锥底面积相等，高也相等．下面哪句话是正确的？（） A .圆柱的体积比正方体的体积小一些 B .圆锥的体积是正方体的 C .圆柱体积与圆锥体积相等 4. 把一个圆柱削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是这个圆柱体积的（） A . B . C .2倍 5. 从福州到厦门的实际距离是280千米，用1：4000000的比例尺画在图上，那么这两地的图上距离是（）
A .7毫米 B .7厘米 C .8分米 6. 圆柱的底面直径是6分米，高是8分米，与它等底等高的圆锥的体积是（）立方分米． A .113.04 B .226.08 C .75.36 7. 油漆圆柱形柱子，要计算油漆的面积有多大，就是求（） A .体积 B .表面积 C .侧面积 8. 电风扇的运动是（） A .平移 B .旋转 C .既平移又旋转 9. 如图所示，下面的图形是丽丽同学看到的是（） A . B . C .
10. 下列各图形面积计算公式的推导过程中，没有用到平移或旋转的是（）。 A .三角形 B .长方形 C .圆 D .平行四边形 11. 看图填一填
图①向______平移了______格。图②向______平移了______格。 图③向______平移了______格。图④向______平移了______格。 12. 下面图形是圆柱的是______。（填序号） 13. 在同一个圆里，所有的______都相等．所有的______也都相等． 14. 晚上在人行道上行走的人在汽车灯光照射下，其影长越来越短，则汽车离人的距离越来越______。近（填“远”或“近”） 15. 长方体相对的面______ ，相对的棱______ 。 16. 看图回答问题． 小圆的半径r为多少？ 17. 看图填一填。
432 1F E D C B A 432 1F E D C B A F E D C B A H G F E D C B A c b a C B A D C B A F E D C B A C B A 初中数学几何基本图形 1． 平行线的性质： ∵A B ∥CD （已知） ∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等。） ∴∠1=∠3（两直线平行，内错角相等。） ∴∠1+∠4=180° （两直线平行，同旁内角互补。） 2． 平行线的判定： （1）∵∠1=∠2（已知） ∴A B ∥CD （同位角相等，两直线平行。） （2）∵∠1=∠3（已知） ∴A B ∥CD （内错角相等，两直线平行。） （3）∵∠1+∠4=180o （已知） ∴A B ∥CD （同旁内角互补，两直线平行。） 3． 平行线的传递性： ∵A B ∥CD ，A B ∥EF （已知） ∴C D ∥EF （如果两条直线都与第三条直线平行， 那么这两条直线也互相平行。） 4． 两条平行线间距离： ∵A B ∥CD ，EF ⊥CD ，GH ⊥CD （已知） ∴EF=GH （平行线间距离处处相等。） 5． 三角形的性质： （1）∠A+∠B+∠C=180o （三角形内角之和为180o 。） （2）a+b ＞c ，∣a-b ∣＜c （三角形任意两边之和大于第三边， 三角形任意两边之差小于第三边。） （3）∠ACD=∠A+∠B （三角形一个 外角等于与它不相邻的两个外角之和。） 6．三角形中重要线段： （1）∵AD 是△ABC 边BC 上的高（已知） ∴AD ⊥BC 即∠ADC=900（三角形高的意义） （2）∵BF 是△ABC 边AC 上的中线（已知） ∴AF=FC=12 AC （AC=2AF=2FC ）（三角形中线的意义） （3）∵CE 是△ABC 的∠ACB 的角平分线（已知） ∴∠ACE=∠BCE= 1 2 ∠ACB （∠ACB=2∠ACE=2∠BCE ）（三角形角平分线的意义） 6． 等腰三角形的性质和判定： （1）∵AB=AC （已知）∴∠B=∠C （等边对等角） （2）∵∠B=∠C （已知）∴AB=AC （等角对等边）
C D B E A O C A D B C N M B A 21 E O D C B A 图（6）D ' B ' A O C G D B 第五章基本平面图形 一、1. 1.46°= ° ′ ″. 28°7′12″= °. 2. 如图，已知OE 平分∠AOB ，OD 平分∠BOC ，∠AOB 为直角， ∠EOD=70°，则∠BOC 的度数为 . 3. 如图,直线上四点A 、B 、C 、D,看图填空: ①AC=______+BC;②CD=AD —_______;③AC+BD —BC=_______. 4、如图，由泰山到青岛的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：泰山—济南—淄博—潍坊—青岛，那么要为这次列车制作的火车票有______． 5.用一个钉子把一根细木条钉在墙上，木条就可能绕着钉子 ，原因是 ； 当用两个钉子把木条钉在墙上时，木条就被固定住，其依据是 . 6.如图，AB 的长为m ，BC 的长为n ，M 、N 分别是AB 、BC 的中点，则MN= 7、如图（6），把一张长方形的纸按图那样折叠后，B 、D 两点落在B ′、D ′点处， 若得∠AOB ′=700, 则∠B ′OG 的度数为 。 8、如上右图，是一副三角板重叠而成的图形，则∠AOD+∠BOC=_____________. 9.如图，直线AB 、CD 相交于O ，∠COE 是直角，∠1=57°，则∠2= 10. 一个人从A 点出发向北偏东65°的方向走到B 点，再从B 点出发向南偏西15°方向走到C 点，那么∠ABC 的度数是 二、10、下列说法中，正确的是（ ） A ．直线a 、b 经过点M B. 直线A 、 B 相交于点 C C. 直线A 、B 相交于点m D. 直线AB,C D 相交于点m 11. 一轮船航行到B 处测得的小岛A 的方向为北偏东30°，那么从A 处观测此时B 处的方向 为（ ） A.北偏东30° B.北偏东60° C.南偏西30° D.南偏西60° 12、在时刻8:32时，时钟上的时针与分针之间的所成的夹角是（ ）
六年级数学图形与几何练习题 一、填空 1、3小时20分=（）小时9公顷200平方米=（）公顷 2、棱长是1分米的正方体,把它切成棱长1厘米的小正方体,摆成一排长（）米。 3、一个棱长总和是48分米的长方体,长、宽、高的比是5:4:3,表面积是（）,体积是（）。 4、把一个正方体平均分成两个小长方体,其中一个长方体的表面积是原来正方体表面积的（）。 5、把一个长20厘米、宽15厘米的长方形按1:5缩小后,长是（）厘米,宽是（）厘米,面积缩小到原来的（）。 6、王丽坐在教室最后一排的最后一列上,她的位置可以表示为（6,8）,这个班中共有( )名学生。 7、把高10厘米的圆柱分成16等份,拼成近似长方体,表面积增加了80平方厘米,圆柱的体积是（）立方厘米。 8、两个圆的半径分别是3厘米和5厘米,它们周长的比是（）,面积的比是（）。 9、一个棱长4分米的正方体铁块,熔铸成底面积是32平方分米的圆锥,圆锥的高是（）分米。 10、一个长6厘米、宽4厘米、高5厘米的长方体盒子,最多能放（）个棱长2厘米的小正方体。 二、判断 1、周长相等的两个圆面积也相等。( ) 2、把一个石块放进一只水桶里,桶里的水溢出31.4毫升,则石块的体积是31.4立方厘米。（） 3 4 5、打开冰箱门,冰箱门的运动是旋转。（） 6、把一个三角形按2:1的比放大后,所画的三角形的每条边、每个角都是原来三角形的 2倍。( ) 7、如果一个圆柱的底面直径和高相等,那么把圆柱的侧面沿高展开是一个正方形。（） 8、一条直线上的两点把这条直线分成两条射线和一条线段,所以射线比直线短。（）
9、圆有无数条对称轴,而半圆只有一条对称轴。（ ） 10、教室里小华的位置用数对表示是（2,3）,他的同桌可以用数对（2,4）表示。（ ） 三、选择 1、一架飞机从某机场向南偏东50°方向飞行了1000米,返回时飞机要向( ) A 、南偏东50°方向飞行1000米 B 、 西偏北50°方向飞行1000米 C 、南偏西50°方向飞行1000米 D 、 北偏西50°方向飞行1000米 2、把一段圆钢削成一个最大的圆锥,削去部分重4千克,这段圆钢原来重（ ）千克。 A 、24 B 、6 C 、 12 D 、 8 3、在一个等腰三角形中,已知两条边分别长8厘米和4厘米,这个等腰三角形的周长是（ ）厘米。 A 、12 B 、 16 C 、 20 D 、 16或20 4、一个等腰梯形周长是48厘米,面积96平方厘米,高是8厘米,腰长（ ）厘米。 A 、24 B 、12 C 、18 D 、 36 5、.从上向下看图,应是右图中所示的( ) 四、计算 3×（ 31＋81 ）×8 3.2×1.25 ×0.25 0.32×6.7＋3.2×0.33 24×（ 83×43） 41÷85＋43÷85
“画法几何及工程制图”复习资料 复习重点： 1制图基本知识与技术 掌握制图基本知识：制图标准、图纸幅面、字体、绘图比例、图线、尺寸的标注形式。 2 投影法和点的多面正投影 1.掌握投影法的基本知识：投影的形成及分类、工程上常用的四种图示方法 2.掌握二面投影图和三面投影图的投影规律 3.掌握作辅助正投影的方法 3平面立体的投影及线面投影分析 1.掌握基本平面立体的三面投影图的投影特性 2.掌握立体上直线的投影特性 3.掌握立体上平面的投影特性 4.掌握点、线、面间的相对几何关系 4平面立体构形及轴测图画法 1.掌握基本平面体的叠加、切割、交接 2.掌握平面立体的尺寸标注方法 3.掌握轴测投影原理及平面立体的轴测投影画法 5 规则曲线、曲面及曲面立体 1.了解曲线的形成与分类 2.掌握圆的投影的画法，了解圆柱螺旋线投影的画法 3.了解曲面的形成、分类 4.掌握曲面投影的表达方法，主要是圆柱面、圆锥面、球面投影的画法 5.掌握基本曲面立体（圆柱、圆锥）的投影特性 6.掌握平面与曲面体或曲表面相交的投影画法 7.了解两曲面体或曲表面相交的投影画法 8.掌握圆柱与圆锥的轴测图画法 6 组合体
1.学会使用形体分析法对组合体的形成进行分析 2.掌握根据实物绘制组合体的三视图的方法 3.掌握组合体的尺寸注法 4.掌握组合体三视图的阅读方法，根据组合体的两视图作第三视图 5.掌握组合体轴测图的画法 7 图样画法 1.掌握六个基本视图的画法 2.掌握剖视图的表达方法 3.掌握断面图的表达方法 4.掌握在组合体轴测图中进行剖切的画法 5.了解常用的简化画法 6.了解第三角画法的概念 8 钢筋混凝土结构图（了解） 1.了解钢筋混凝土结构的基本知识 2.掌握钢筋混凝土结构的图示方法 3.掌握钢筋混凝土结构图的阅读方法 9 房屋建筑图（了解） 1.了解房屋的组成和各部分的作用，了解房屋的一般设计方法 2.了解房屋施工图的分类及有关规定 3.了解房屋总平面图的绘制方法 4.掌握建筑平面图、建筑立面图、建筑剖面图的绘制方法 5.了解建筑详图的绘制方法 10 桥梁、涵洞工程图（了解） 了解桥涵工程图的基本知识，了解桥墩图、桥台图、涵洞图的图示方法
本讲知识点属于几何模块的第一讲，属于起步内容，难度并不大．要求学生认识各种基本平面图形和立体图形；了解简单的几何图形简拼和立体图形展开；看懂立体图形的示意图，锻炼一定的空间想象能力． 几何图形的定义： 1、几何图形主要分为点、线、面、体等，他们是构成中最基本的要素． （1）点：用笔在纸上画一个点，可以画大些，也可以画小些．点在纸上占一个位置． （2）线段：沿着直尺把两点用笔连起来，就能画出一条线段．线段有两个端点． （3）射线：从一点出发，沿着直尺画出去，就能画出一条射线．射线有一个端点，另一端延伸的很远很远，没有 尽头． （4）直线：沿着直尺用笔可以画出直线．直线没有端点，可以向两边无限延伸 （5）两条直线相交： 两条直线相交，只有一个交点． （6）两条直线平行：两条直线平行，没有交点，无论延伸多远都不相交． （7）角：角是由从一点引出的两条射线构成的．这点叫角的顶点，射线叫点的边． （8）角分为锐角、直角和钝角三种：直角的两边互相垂直，三角板有一个角就是这样的直角． 教室里天花板上的角都是直角． 锐角比直角小，钝角比直角大． （9）三角形：三角形有三条边，三个角，三个顶点． 边 边 顶点 直角锐角钝角 顶角顶角 边边 角 角 角顶角 边 知识点拨
（10）直角三角形：直角三角形是一种特殊的三角形，它有一个角是直角．它的三条边中有两条叫直角边，一条叫 斜边． （11）等腰三角形：等腰三角形也是一种特殊的三角形，它有两条边一样长(相等)，相等的两条边叫”腰”，另外 的一条边叫”底”． （12）等腰直角三角形：等腰直角三角形既是直角三角形，又是等腰三角形． （13）等边三角形：等边三角形的三条边一样长(相等)，三个角也一样大(相等)． （14）四边形：四边形有四条边，内部有四个角． （15）长方形：长方形的两组对边分别平行且相等，四个角也都是直角． （16）正方形：正方形的四条边都相等，四个角都是直角． （17）平行四边形：平行四边形的两组对边分别平行而且相等，两组对角分别相等． （18）等腰梯形：等腰梯形是一种特殊的四边形，它的上下两边平行，左右两边相等．平行的两边分别叫上底和下 底，相等的两边叫腰． 直角边 斜边 直角边 腰 腰 底 直角边 直角边 斜边 腰腰 底边边 边 角 角 角 腰 腰 下底 上底
图形认识初步基础练习题 一判断下列说法是否正确 ①直线AB与直线BA不是同一条直线（）；②用刻度尺量出直线AB的长度（）； ③直线没有端点，且可以用直线上任意两个字母来表示（）；④线段AB中间的点叫做线段AB的中点（）； ⑤取线段AB的中点M，则AB-AM=BM（）；⑥连接两点间的直线的长度，叫做这两点间的距离（） ⑦一条射线上只有一个点，一条线段上有两个点（） 二填空题 1.已知点A、B、C三个点在同一条直线上，若线段AB=8，BC=5，则线段AC为_______ 2.如图，线段AC∶CD∶DB＝3∶4∶5，M，N分别是CD，AB的中点，且MN＝2cm，则AB的长为________ 3.如图，四点A、B、C、D在一直线上，则图中有______条线段，有_______条射线；若AC=12cm，BD=8cm，且AD=3BC，则AB=______，BC=______，CD=_ ___ 4.已知点A、B、C三个点在同一条直线上，若线段AB=8，BC=5，则线段AC=_________ 5.如图，若C为线段AB的中点，D在线段CB上，DA=6，DB=4，则CD=_____ 6.C为线段AB上的一点，点D为CB的中点，若AD=4，则AC+AB的长为________ 7.把一条长24cm的线段分成三段，使中间一段的长为6cm，则第一段与第三段中点的距离为________ 8.如图,点C在线段AB上，E是AC的中点，D是BC的中点，若ED=6，则AB的长为________ 9.如图,已知∠AOB=2∠BOC，且OA⊥OC，则∠AOB=_________0 10.如图，已知OE⊥OF直线AB经过点O，则∠BOF—∠AOE=__________若∠AOF=2∠AOE，则∠BOF=___________ 11.如图，OC平分∠AOB，∠BOC＝20°，则∠AOB＝_______ 12.如图,点C是∠AOB的边OA上一点，D、E是OB上两点，则图中共有_______条线段，________条射线, ________个小于平角的角 13.如图，∠AOB＝600，OD 、OE分别平分∠BOC、∠AOC，那么∠EOD＝0 14.已知有共公顶点的三条射线OA、OB、OC，若∠AOB=1200，∠BOC=300，则∠AOC=_________ 15.2点30分时，时钟与分钟所成的角为度 16.40038′14′′的余角是，106024′48′′的补角是 17.一个角为n0（n<90），则它的余角为，补角为 18.∠α和∠β都是∠AOB的补角，则∠α∠β； 19.如果∠1+∠2=900，∠1+∠3=900，则∠2与∠3的关系是，理由是 20.102°43′32″+77°16′28″=_____ ___;98°12′25″÷5=___ __ 三选择题 1.互为余角的两个角之差为35°，则较大角的补角是（） A．117.5° B．11 2.5° C．125° D．127.5° 2.如图，∠AOE＝∠BOC，OD平分∠COE，那么图中除∠AOE＝∠BOC外，相等的角共有（） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 3.如图，由A到B的方向是（） A．南偏东30° B．南偏东60° C．北偏西30 D．北偏西60° 4.某测绘装置上一枚指针原来指向南偏西550，把这枚指针按逆时针方向旋转800,则结果指针的指向（） A．南偏东35° B．北偏西35° C．南偏东25° D．北偏西25° 5.甲看乙的方向为南偏西25°，那么乙看甲的方向是（） A．北偏东75° B．南偏东75° C．北偏东25° D．北偏西25°
画法几何复习题及答案 一、填空题（1X 30= 30分） 1、投影法分中心投影和平行投影两大类。 2、在点的三面投影图中，aax反映点A到V 面的距离，a' C反映点A到W 面的距离。 3、绘制机械图样时采用的比例，为图样机件要素的线性尺寸与实际机件相应 要素的线性之比。 4、正垂面上的圆在V面上的投影为直线，在H面上的投影形状为椭圆。 5、空间两直线的相对位置可分为平行、相交、交叉和垂直四种。 6、同一机件如采用不同的比例画出图样，则其图形大小不同（相同，不同），但图 上所标注的尺寸数值是一样的（一样的，不一样的）。 7、图形是圆、大于半圆注直径尺寸：图形是半圆、小于半圆注半径尺寸。 &表示回转面在投射方向上可见、不可见的分界线，称为转向轮廓线。 9、两等径圆柱相贯，其相贯线形状为椭圆。 10、组合体尺寸种类分为定形尺寸、定位尺寸和总体尺寸。 11、用于普通连接的螺栓与被连接件的光孔间是否属于配合关系否。 12、圆锥销GB117-86 A10 × 30代号中的“ 10”是指销的小端直径。 13、两标准圆柱齿轮啮合时，其两节圆应相切。 14、含有标准结构要素的零件，是否一定属于标准件不一定。 15、已知双线螺纹，导程P W = 10,其螺距P= 5 。 16、已知标准直齿圆柱齿轮m=3，z=20，其齿顶圆直径da= 66 。 17、①50f 7代号中的“ f 7”是轴的公差带代号，其中“ f”表示基本偏差代号。 18、多面正投影图是工程中应用最广泛的一种图示方法。 19、建筑剖面图的剖切位置应选择在能反映内部构造比较复杂和典型的的部位, 并 应通过门窗洞。 20、点的三面投影规律是：①点的正面投影与点的水平投影的连线垂直于 OX轴。②点的正面投影与点的侧面投影的连线垂直于OZ轴。③点的水平投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到OZ轴的距离。 21、在三投影面体系中直线与投影面的相对位置可分一般位置直线、投影面平行线和 一投影面垂直线。 22、空间两直线互相平行，则它们的同面投影也一定平行—。 23、空间两直线相交，贝尼们的同面投影也一定相交，而且各同面投影的交点就
初中几何常见基本图形 AOC=BOD AOD=BOC OD OE ①BAD= C CAD= B ②AD2=BD·CD ③AB2=BD·BC ④AC2=CD·BC P=A+B+C A+B=C+D B=D P=90+A/2 P=A/2
P=90-A/2 ①AC平分BAD ②AB=CB ③BC∥AD AP平分BAC PB=PC ①AB=AC ②BD=CD ③AD BC
几何基本图形 1、如图，正三角形ABC 中，AE=CD ，AD 、BE 交于F ： ①△AEB ≌△ADC ②∠BFD=600 ③△AEF ∽△ABE 2、如图，正三角形ABC 中，F 是△ABC 中心，正三角形边长为a ： ①AF ：DF ：AD=2：1：3 ②内切圆半径DF= a 63 ③外接圆半径AF=a 3 3 3、如图Rt △ABC 中，∠C=900，∠B=300，AC=a ，D 是AC 上的点： ①内切圆半径为 a 2 1 3 ②外接圆半径为a 4、如图Rt △ABC 中，∠C=900，AB=AC=a ，D 是AC 上的点：
F E D B A F E D C B A D C B A D C A 45 A B C 为 a 2 5 ； ②当BD 是角平分线时，BD 长为a 224-。 ①当D 是AC 中点时，BD 长 5、如图，如图Rt △ABC 中，∠BAC=900，AB=AC=a ，E 、D 是BC 、AC 上的点，且∠ AED=450：①△ABE ∽ECD ②设BE=x ，则CD=a x ax 2 2-。 6、如图AB=AC ，∠A=360，则：BC= 2 1 5-AB 。 7、如图AB=AC ，D 是BC 上一点，AE=AD ，则： 2 1 ∠BAD=∠EDC 。 8、 如图，D 、E 是△ABC 边BC 上两点，AC=CD ，BE=BA ，则当：①∠BAC=1000时，∠DAE=400；②当∠BAC=x 0时，∠DAE=2 180x -0 。 9、如图，△BCA 中，D 是三角形内一点， ①当点D 是外心时，∠BDC= 21 ∠A ；②当点D 是内心时，∠BDC=2 180A ∠+ 10、如图，∠ACB=900，DE 是AB 中垂线，则①AE=BE ，若AC=3，BC=4，设AE=x ， 有()2 22 34x x =+-； ②△BED ∽△BAC 。 11、如图，E 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，AE 交BC 延长线于点F ，H 是FG 中点：①△ADE ≌△CDE ； ②△EGC ∽ECF ； ③EC ⊥CH ； ④EC 是以BG 为直径的圆的切线。 12、如图，ABCD 、CGFE 是正方形：①△DCG ≌CBCE ； ②BE ⊥DG 。 C B A 300 A B C E A B C E D A B C D A B C D E A B C D E F G H A B C D E F G
七年级基本平面图形 选择题（共9小题） 1. （2005.）由河源到广州的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：——，那么要为 这次列车制作的火车票有（） A. 3 种 B. 4 种 C. 6 种 D. 12 种 2. （2003?）经过A、 B、C三点的任意两点，可以画出的直线数为（） A. 1 或2 B. 1 或3 C. 2 或 3 D. 1 或 2 或3 3. （2003?黄冈）某公司员工分别住在A、B、C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C 区有10人.三个区在一条直线上，位置如图所示.公司的接送打算在此间只设一个停靠点，要 使所有员工步行到停靠点的路程总和最少，那么停靠点的位置应在（） f 100米---------- ?米 4 --------------- A区8区C区 A. A区 B. B区 C. C区 D.不确定 ) 4. (2002>) 已知，P是线段AB上-点，且菁嘴等于（ A. 7 B. 5 C. 2 D. 5 5277 5. 如图，在数轴上有A、B、C、D、E五个整数点（即各点均表示整数），且 AB=2BC=3CD=4DE, 若A、E两点表示的数的分别为-13和12,那么，该数轴上上述五个点所表示的整数中，离线段AE的中点最近的整数是（） ------- ? ----------------------- ?------------- ?---------- . ----- ?------------------------------- A A B C D Z A. - 2 B. - 1 C. 0 D. 2 6. 在同一面内，不重合的三条直线的公共点数个数可能有（） A.。个、1个或2个 B. 0个、2个或3个 C. 0个、1个、2个或3个 D. 1个或3个 7. 如图所示，甲、乙、丙、丁、戊五名同学有以下说法: 甲说：“直线BC不过点A”； 乙说："点A在直线CD外”： 丙说："D在射线CB的反向延长线上”； 丁说：“A, B, C, D两两连接，有5条线段”； 戊说：“射线AD与射线CD不相交”. 其中说明正确的有（）
图形与几何整理和复习 整理教师：刘新民 一、基础知识回顾 （一）位置与方向（二） 1. 在平面图上标出物体位置的方法：先用量角器确定它在什么方向，再以选定的单位长度为基准用直尺确定图上距离（几个单位长度），最后找出物体的具体位置，标上名称。 2. 描述路线图的方法：先按行走路线确定观测点，再确定行走的方向和距离。即每走一步，都要说清从哪里出发，向什么方向走多远的距离。 3. 绘制路线图的方法： （1）确定风向标和单位长度。 （2）确定起点的位置。 （3）从起点出发，根据描述确定方向和距离。每走一段路，都要重新确定观测点。 （二）圆 1. 圆的各部分名称。 （1）圆心：圆中心的一点叫做圆心，一般用字母O 表示。 （2）半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，一般用字母r 表示。 （3）直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d 表示。 2. 圆的特征。 （1）在同圆或等圆中，半径的长度都相等，直径的长度都相等，直径的长度是半径的2倍，用字母表示为d =2r 或r = 2 d 。 （2）圆具有对称性，圆是轴对称图形，它有无数条对称轴。 3. 用圆规画圆的方法： （1）先把圆规的两脚叉开，定好两脚的距离作为半径。 （2）再把带有针尖的脚固定在一点上作为圆心。 （3）然后把装有铅笔的脚旋转一周，就画出一个圆。 明确：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 4. 圆的周长
（1）圆的周长：围成圆的曲线的长叫做圆的周长，一般用字母C 表示。 （2）圆周率：圆的周长与它的直径的比值叫做圆周率，一般用字母π表示，π是无限不循环小数，一般取近似数π≈3.14。 （3）圆的周长计算公式：C=πd 或C=2πr 。 5. 圆的面积。 （1）圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积，一般用字母S 表示。 （2）圆的面积计算公式：S=πr 2。 6. 圆环的面积计算公式：S 环=πR 2-πr 2或S=π(R 2-r 2),其中R 是外圆半径， r 是内圆半径。 6. 有关“外方内圆”和“外圆内方”的问题。 （1）外方内圆：就是在正方形内画一个最大的圆（如右图）， 这个圆的直径等于正方形的边长。如果圆的半径为r ，那么正 方形和圆之间部分（阴影部分）的面积为2r ×2r -πr 2=（4-π）r 2=0.86r 2。 （2）外圆内方：就是在圆内画一个最大的正方形（如右图）， 这个正方形的对角线等于圆的直径。如果圆的半径为r ，那么正 方形和圆之间部分（阴影部分）的面积为πr 2-2r ×r ÷2×2 =（π-2）r 2=1.14r 2。 7. 扇形。 （1）弧：圆上任意两点之间的部分叫做弧。 （2）扇形：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 （3）圆心角：由两条半径组成，顶点在圆心的角叫做圆心角。 （4 ）在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角大小有关。 二、例题精讲 例1、在右图中标出各建筑物的位置。 （1）教学楼在大门正北方向300m 处。 （2）食堂在大门西偏北30°方向200m 处。 （3）图书馆在大门东偏北40°方向400m 处。 分析与解答：确定物体的位置，应先观测点建立“┼” 方向标，再确定该物体在观测点的什么方向，距该点 北
1、单项选择题(30) 1．图纸的会签栏一般在（ B） A．图纸右上角及图框线内 B．图纸左上角及图框线外 C．图纸右上角及图框线外 D．图纸左上角及图框线内 @！．一物体图上长度标注为2000，其比例为1﹕5，则其实际大小为（ B）A．400 B．2000 C．10000 D．200 3．下列仪器或工具中，不能用来画直线的是（ D ） A．三角板 B．丁字尺 C．比例尺 D．曲线板 4. 在土木工程制图中，除了遵守建筑工程制图标准和某些行业标准外，还必须遵守的国家标准为：( A ) A.总图制图标准 B.水利水电工程制图标准 C.技术制图标准 D.铁路工程制图标准 5. 由国家职能部门制定、颁布的制图标准，是国家级的标准，简称国标。国标的代号为：( B ) A. ISO B. GB C. Standard D. ANSI 6. 图纸上的各种文字如汉字、字母、数字等，必须按规定字号书写，字体的号数为：( A ) A. 字体的高度 B. 字体的宽度 C. 标准中的编号 D. 序号 7. 绘制工程图应使用制图标准中规定的幅面尺寸，其中A2幅面的尺寸为：( C) A. 594 841（A1） B. 210 297(A4) C. 420 594(A2) D. 297 420(A3) 1189*841(A0) 8. 绘制工程图应使用制图标准中规定的幅面尺寸，其中A4幅面的尺寸为：(B ) A. 594 841 B. 210 297 C. 420 594 D. 297 420 9. 绘图比例是：( A ) A. 图形与实物相应要素的线性尺寸之比 B. 实物与图形相应要素的线性尺寸之比 C. 比例尺上的比例刻度 D. 图形上尺寸数字的换算系数 10. 如果物体的长度为1000mm，绘图比例是1:20，则在绘图时其长度应取：( C ) A. 100 B. 1000 C. 50 D. 20
作者：非成败 作品编号：92032155GZ5702241547853215475102 时间：2020.12.13 第四章几何图形初步 一、选择题（每小题6分，共36分） 1.下列说法中正确的是（）. A.射线AB和射线BA是同一条射线 B. 延长线段AB和延长线段BA的含义是相同的 C. 延长直线AB D.经过两点可以画一条直线，并且只能画一条直线 2.如图，下列说法不正确的是（）. A.∠1与∠AOB是同一个角 B.B. ∠AOC也可用∠O来表示 C. 图中共有三个角：∠AOB, ∠AOC, ∠BOC D. ∠ 与∠BOC是同一个角 3.甲看乙的方向为北偏东30°，那么乙看甲的方向是（）. A. 南偏东60° B.南偏西60° C. 南偏西30° D.南偏东30 ° 4.分别从正面、左面和上面这三个方向看下面的四个几何体，得到如图所示的平 面图形，那么这个几何体是（）. 5.下面四个图形中，经过折叠能围成如图所示的几何图形的是（） 6.一个角的度数为54°11′23〞，则这个角的余角和补角的度数分别为（）. A. 35°48′37〞, 125°48′37〞 B. 35°48′37〞，144°11′23〞 β 1 O C B A （第2题） （A）（B）（C）（D）（第5题）（A）（B）（C）（D）
C. 36°11′23〞， 125°48′37〞 D. 36°11′23〞， 144°11′23〞 二、填空题（每小题6分，共24分） 7.如图，从学校A 到书店B 最近的路线是①号路线，得到这个结论的根据 8.如图，各图中的阴影部分绕着直线l 旋转360°，所形成的立体图形分别 是 . 9.如图，以图中的A ，B ，C ，D ，E 为端点的线段共有 条. 10.如图所示，两个直角三角形的直角顶点重合，如果∠AOB=128°，那么∠ BOC= °. 三、解答题（每小题10分，共40分） 11.如图，若CB=4㎝，DB=7㎝，且D 是AC 的中点，求线段DC 和AB 的长度. 12.借助一副三角尺画出15°,105°,120°,135°的角. 13.直线AB ，CD 相交于点O ，OE 平分∠AOD ，∠FOC=90°，∠1=40°，求∠ 2与∠3的度数. E D C B A D C O B A D C B A 321E D C O B A （第7题） （第8题） （第9题） （第10题） （第11题）
小学六年级奥数知识点：几何初步认识二（平面图形）★这篇《小学六年级奥数知识点：几何初步认识二（平面图形）》，是特地为大家整理的，希望对大家有所帮助！ 二、平面图形 1、长方形 （1）特征 对边相等，4个角都是直角的四边形。有两条对称轴。 （2）计算公式 c=2(a+b) s=ab 2、正方形 （1）特征： 四条边都相等，四个角都是直角的四边形。有4条对称轴。 （2）计算公式 c=4a s=a2 3、三角形 （1）特征 由三条线段围成的图形。内角和是180度。三角形具有稳定性。三角形有三条高。 （2）计算公式 s=ah/2
（3）分类 按角分 锐角三角形：三个角都是锐角。 直角三角形：有一个角是直角。等腰三角形的两个锐角各为45度，它有一条对称轴。 钝角三角形：有一个角是钝角。 按边分 不等边三角形：三条边长度不相等。 等腰三角形：有两条边长度相等；两个底角相等；有一条对称轴。 等边三角形：三条边长度都相等；三个内角都是60度；有三条对称轴。 4、平行四边形 （1）特征 两组对边分别平行的四边形。相对的边平行且相等。对角相等，相邻的两个角的度数之和为180度。平行四边形容易变形。 （2）计算公式 s=ah 5、梯形 （1）特征 只有一组对边平行的四边形。中位线等于上下底和的一半。等腰梯形有一条对称轴。 （2）公式
s=(a+b)h/2=mh 6、圆 （1）圆的认识 平面上的一种曲线图形。圆中心的一点叫做圆心。一般用字母o 表示。 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。一般用r表示。在同一个圆里，有无数条半径，每条半径的长度都相等。 直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用d表示。同一个圆里有无数条直径，所有的直径都相等。 同一个圆里，直径等于两个半径的长度，即d=2r。圆的大小由半径决定。圆有无数条对称轴。 （2）圆的画法 把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离（即半径）；把有针尖的一只脚固定在一点（即圆心）上；把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。 （3）圆的周长 围成圆的曲线的长叫做圆的周长。把圆的周长和直径的比值叫做圆周率。用字母∏表示。 （4）圆的面积 圆所占平面的大小叫做圆的面积。 （5）计算公式 d=2r
第一章基本的几何图形 §1.1我们身边的图形世界 【学习重点与难点】 重点：了解几何体、多面体、面、平面图形的特征. 难点：培养提高学生的观察力、想象力、和创新能力. 【学习过程】 导入新课 看P4页美丽海滨城市图片，你看到哪些熟悉的图形？小组讨论回答看谁说的多？ 一、新知学习： 1.几何体的认识 （1）你熟悉下面的立体图形吗？用线把图形和它们的名称连起来 球正方体圆柱圆锥长方体 （2）像长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等都是（）简称为体（）和（）的面都是平的，像这一类几何体也叫多面体.（）（）（）的面有曲的面. 2、平面的学习 （１）数学上的“平面”是 ,平面没有，没有， 是 . （2）正方体由个面围成，圆柱是由个面和个面围成，圆锥是由个面和个面围成，球是由个面围成 §1.2点、线、面、体 重点：点线面体如何形成的. 难点：对几何图形本质特征的正确认识. 【学习过程】 一、导入新课：请同学们自己看课本P8页上的图画，你有什么发现？.
二、新知学习： 1、点线面体如何形成？ 从课本P8页上的图中你发现了：点动成，线动成，面动成 2、几何图形 （1）都是几何图形。 （2）几何图形分为平面图形和立体图形 如果，那么这样的几何图形叫做平面图形。 如果，那么这样的几何图形叫做立体图形。 你能举出你学过、见过的平面图形吗？ 你能举出你学过、见过的立体图形吗？ 3. 几何图形的本质特征 （1）观察圆柱和长方体，正方体，我们发现面与面的交接处是，线可以是直的，也可以是曲的。 在长方体和正方体中，相邻两个面的交接处是一段直的线，我们把它叫做。 （2）线与线的交接处是。 在长方体或正方体中，棱与棱的公共点叫做长方体或正方体的。 注意：1.点是组成几何体的基本元素。 2.点没有大小，线没有粗细，面没有厚薄。 2.动动手：你一定能从中发现数学的美妙！ 请同学们自己做一个正方体纸盒. 1.观察立方体的形状它是有几个面组成的？这些面的大小和形状都相同吗？ 2.两个面的相接处是什么图形？ 3.棱和棱的相接处是什么图形？ 4.数一数立方体有几条棱？几个顶点？ 5.把正方体纸盒剪开得到一个什么图形？如果展开的 方法不同，得到的图形相同吗？ 动手做一做你能得到多少种平面图形？与同学交流.
几何中常见的基本图形(1) 若AC=BD则AB=CD 若AB=CD则AC=BD 若∠1=∠2，则∠BAD=∠ CAE； 若∠BAD=∠CAE，则∠1=∠2。 如左图箭头形状： ∠BPC=∠A+∠B+∠C
如左图蝶形所示 ∠BAC +∠DBA =∠BDC +∠ DCA 如左图所示 点A 、O 、B 在一条直线上， 线段OE 平分∠BOC ,OD 平分∠COA ,则OD ⊥OE 或∠EOD =90° A 线段BP 平分∠CBA ，PC 平分∠ACB 则∠BPC =90°+1 2 ∠BAC B
①AC 平分∠DAB ；②AD =CD ；③CD //AB 以上3个结论“有二可推另一个 ” A 若AP 平分∠CAB ，PB ⊥AB ，PC ⊥AC ，则PB =PC ； 相反，若PB ⊥AB ，PC ⊥AC ，PB =PC ，则AP 平分∠CAB 。 A AB //DC ， 则∠ABE +∠EDC +∠BED =360°或∠ABE +∠EDC =360°-∠BED AB //DC ， 则∠BED =∠ABE +∠EDC A B C
点A、O、B在一条直线上， 若OC⊥ OD， 则∠1+∠2=90°或∠1和∠2互余A B AB// ED//FG，BC//EF， ∠CBA=∠FED；∠CBA+∠GFE=180° 一个角的两边分别平行于另一个角 的两边，则这两个角相等或互补。 B C E 如左图1,∠POQ内一点C，CA⊥QO于A， CB⊥OP于B，则∠POQ+∠ACB=180°； 如左图2,∠POQ外一点C，AC⊥OQ于 A， CB⊥OP于B，则∠ POQ=∠BCA。 一个角的两边分别垂直于另一个角的两 边，则这两个角相等或互补。 图1 P O 直线a//b，点C、D、E都在直线a上， 则SΔCAB=SΔDAB=SΔEAB 结论：夹在平行线间同底的三角形面积相等。 或：等底等高的三角形面积相等。
北师大版六年级数学上册几何图形专项练习 1. 分针和时针的转速比是（）。 A .1：12 B .12：1 C .60：1 2. 根据下面几幅图的排列规律，第四幅图是（） A . B . C . D . 3. 学校要召开秋季运动会，体育组的老师们在操场上画跑道，最内圈跑道的弯道半径大约是15米，每条跑道宽0.8米，直道部分全长是106米 （1）最内圈的弯道部分全长是（）米 A .15π B .30π C .60π
D .7.5π （2）靠内第二圈的弯道部分全长是（）米 A .15π B .30π C .（15＋0.8）π D .2（15＋0.8）π （3）相邻两条跑道的弯道部分相差（）米 A .0.8π B .15.8π C .（15－0.8）π D .1.6π 4. 下面（）的运动是平移． A .转动着的呼啦圈 B .电风扇的运动 C .拔算珠 5. 把一段圆柱形的木材，削成一个体积最大的圆锥，削去部分的体积是圆锥体积的（） A .3倍 B . C . D .2倍 6. 教室门的打开和关闭，门的运动是（）现象。 A .平移 B .旋转 C .平移和旋转 7. 一张正方形纸对折后再对折，写出一个田字，打开后看见（）个田字。。 A .1 B .2 C .4
8. 下列各图形面积计算公式的推导过程中，没有用到平移或旋转的是（）。 A .三角形 B .长方形 C .圆 D .平行四边形 9. 一幅地图的比例尺是 A . B . C . D . 10. 下面（）的运动是平移。 A .旋转的呼啦圈 B .电风扇扇叶 C .拨算珠 11. 一个圆柱的底面周长6.28厘米，高是3厘米，它的体积是______立方厘米． 12. 李群在船快靠岸时，连续拍摄了几张图片，请你按先后顺序选择序号排列______。 13. 正方形有______条对称轴；等边三角形有______条对称轴；圆有______条对称轴。