第三章 中国古代数学
教学重点：1理解并掌握《九章算术》的主要贡献。2能叙述《算经十书》的名称；掌握祖冲之的贡献，知道密率及约率值。3 掌握宋元数学家的贡献。
3.1《九章算术》
1 介绍
中国古典数学最重要的著作，成书1cen B.C
《九章算术》：问题集，共九章，分别为：方田，粟米，衰分，少广，商功；均输 ，盈不足，方程，勾股。
面积、体积：方田，商功；
比例：粟米，衰分，均输 ；
开方：少广
贡献一：正负数加减法则
正负数的加减运算法则
李文林在《数学史教程》中指出：“对负数的认识是人类数系扩充的重大步骤。如果说古希腊无理量是演绎思维的发现，那么中算负数则是算法思维的产物。中算家们心安理得地接受并使用了这一概念，并没有引起震撼和迷惑。”
国外首先承认负数的是7世纪印度数学家婆罗门及多，欧洲16世纪时韦达等数学家的著作还回避使用负数。
贡献二：方程术
线性方程组求解：消元法
例：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗；问上、中、下禾实一秉各几何？
贡献三：开方术
今有积五万五千二百二十五步，问为方几何？答曰：二百三十五步。
“开方术”演变为”增乘开方法“，开高次方，求高次方程数值解；
“开方术”：包含求 方法； 02=++c bx ax
接受开方不尽的数——无理数；
贡献四：盈不足
例：今有共买物，人出八盈三，人出七不足四，问人数、物价各几何？
“盈不足”：线性插值法；
“盈不足”可以解决非盈亏类问题；
“盈不足”通过丝绸之路传入阿拉伯国家，被称为“契丹算法”。
贡献五：几何
“方田”：各种图形的面积计算；
“商功”：各种土木工程中的体积计算。长方体、台体、圆柱体、锥体等体积的计算公式正确；只是圆周率取3，误差较大。
“勾股”：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？答曰：水深一丈二尺；葭长一丈三尺。
评价
小苍金之助（日）：《九章算术》是中国的《几何原本》。
吴文俊：《九章算术》和刘徽的《九章算术注》，在数学的发展历史中具有崇高的地位，足可与《几何原本》东西辉映，各具特色。
1968年德国沃格尔（V ogel）把《九章算术》译成德文出版时的评论：“在古代算术中，包含如此丰富的246个算题，现存的埃及和巴比伦算题与之相比，真望尘莫及。”
《九章算术》数学理论门类繁多，依题列术，术文不附原理说明。刘徽注《九章》，一面阐明每个具体算法的理论依据，一面揭示各种算法之间的内在联系，使之成为一个严谨、完整的理论体系。
刘徽(魏晋, 公元3世纪)，幼习《九章》，长再详览。知识渊博，精通四书五经、诸子，谙熟前人数学，《周髀算经》、张衡数学。
刘徽集前辈之大成，又不迷信古人。注方田章圆田时，由于前人用径一周三，古率失之于粗，刘徽注说：“世传此法，莫肯精核，学者踵古，习其谬失”。
在中国古代数学中的地位、影响：阐述了中国传统数学的理论体系与数学原理；《九章算术注》中有的注文千字以上，是一篇高水平的数学论文；公元263
年撰《九章算术注》，《海岛算经》；中国传统数学最具代表性的人物，其学术思想为后世继承，如祖冲之，李淳风（唐）。
(一) 割圆术-极限思想闪烁
“割圆术”：用圆内接正多边形去逐步逼近圆。 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”
具体贡献：圆周率的推导；球体体积公式的证明
1 圆周率的推导
2 求积理论
刘徽的面积、体积理论基础： “出入相补原理”。刘徽用这条原理成功地证明了《九章算术》中的许多面积公式。
刘徽在推证《九章算术》中的一些体积公式时，使用：极限方法与不可分量方法。
（1）计算球体积，刘徽提出“牟合方盖”。
（2）阳马体积的推导
祖冲之(429-500A.D)：做过小官，创制《大明历》，当时最先进的立法。 著作：《缀术》，已经失传。
贡献一：圆周率的推导
祖冲之求得的π值的取值范围为3.141592 < π<3.1415927 约率：722 密率：113
355 16cenV .Otto 等重新推算出这个分数近似值
贡献二：球体积的推导
祖暅原理：幂势既同，则积不容异。指“两等高立体图形，若在所有等高处的水平截面积相等，则这两个立体体积相等。
思路：刘徽用水平截面去截球和“牟合方盖”，可知截面的面积之比恒为π：4，于是由祖暅原理立即得到
V 球:V 牟=π：4
即 V 球= （π/4） V 牟。
假设：V 小牟=V 立方体-V 直四棱锥=332r , V 牟=8*33
2r ，则V 球=（π/4）V 牟 《算经十书》
《算经十书》是隋
唐时期的教科书，包括
十本书，分别是：《周
髀算经》《九章算术》
《海岛算经》《孙子算
经》《张邱建算经》《夏侯阳算经》《五曹算经》《五经算术》《缀术》《缉古算经》
《缀术》失传，后用《数术记遗》补。
一《孙子算经》
“物不知数“问题：“今物不知其数，三三除之余二，五五除之余三，七七除之余二，问物几何？”
N ≡2（mod3）≡3（mod5）≡2（mod7）
其解法写作“孙子歌”：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。
计算过程为： N=70×2+21×3+15×2－2×105.
二《张邱建算经》
“百鸡问题”： “今有鸡翁一，直钱五；鸡母一，直钱三；鸡雏三，直钱一。凡百钱，买鸡百只。问鸡翁、母、雏各几何。”
给出三组答案：（4，18，78），（8，11，81）， （12，4，84）
三《缉古算经》
《辑古算经》是十部算经中最晚的一部，作者王孝通，唐初人。
求解28个如下的三次方程：数值解。
3.3 宋元数学-中国古代数学的顶峰
宋元时期的主要数学家：贾宪，秦九韶，朱世杰，李冶
社会背景：毕升发明活字印刷术 (约1041—1048年) ，促进了数学著作的保存与流传。
三大发明：活字印刷，火药，指南针。社会的商业繁荣，手工业兴盛，国家统一。
一 贾宪
贾宪：北宋人，《黄帝九章算术细草》，失传，主要内容载于杨辉著作中。 贡献：1 贾宪三角即二项式系数表 2 开高次方
二 秦九韶
秦九韶：著《数书九章》
贡献：
1 “正负开方术”：高次方程数值解法
2 “大衍总数术”：一次同余组解法，称为“中国剩余定理”。
三 李冶与天元术
天元术----半符号代数
天元术：列一元高次方程的方法，“立天元一为某某”，即“设x 为某某”。
四 朱世杰
朱世杰：（1260-1320年）平民数学家，数学教育家。
著作：《四元玉鉴》标志中国古代数学的顶峰；
《算学启蒙》：通俗数学；
贡献1：四元术
四元术：解多元高次联立方程组的方法。未知数：“天”，“地”，“人”，
“物”。
贡献2：垛积术-高阶等差数列求和法
贡献3：高次内插法
“立方招兵”问题：“以立方招兵，初招方面三尺，次招方面转多一尺，…今招十五日，问招兵几何？”
设每日招兵人数： ，十五日共招兵： 3)2(n +3333)2(543)(+++++=n n s Λ
思考题：与古希腊数学比较，中国古代数学的特点是什么？