3
幂函数知识点归纳
一、 幂函数定义：对于形如：()
x f x α=，其中α为常数.叫做幂函数
定义说明：
1、 定义具有严格性，x α
系数必须是1，底数必须是x
2、 α取值是R .
3、
《考试标准》要求掌握α=1、2、3、?、-1五种情况
二、 幂函数的图像
幂函数的图像是由α决定的，可分为五类： 1）1α＞时图像是竖立的抛物线.例如：()2x f x =
2）=1α时图像是一条直线.即()
x f x =
3）01α＜＜
时图像是横卧的抛物线.例如()1
2
x f x
=
4）=0α时图像是除去（0,1）的一条直线.即()
0x f x =（0x ≠）
5）0α＜时图像是双曲线（可能一支）.例如
()-1
x f x =
具备规律:
①在第一象限内x=1的右侧：指数越大，图像相对位置越高（指大图高）
②幂指数互为倒数时，图像关于y=x 对称
③结合以上规律，要求会做出任意一种幂函数图像
练习：做出下列函数的图像：
1、1α> ①3
y x =或53y x = ②2y x =或43y x = ③32y x =或74
y x
=
2、01α<< ①13y x = ②23y x = ③12
y x = 3、0α< ①2
y x -= ②1
y x -= ③32
y x
-
= ④43
y x
=—
三、
幂函数的性质
y=x
3
幂函数的性质要结合图像观察，随着α取值范围的变化，性质有所不同。 1、 定义域、值域与α有关，通常化分数指数幂为根式求解 2、 奇偶性要结合定义域来讨论 3、 单调性：α＞0时，在（0，+∞）单调递增：α=0无单调性；α＜0时，在（0，+∞）单调递减 4、 过定点：α＞0时，过（0,0）、（1,1）两点；α≤0时，过（1,1） 5、
由
()0
x f x α=＞可知，图像不过第四象限
四、 幂函数类型题归纳 （一） 定义应用：
1、下列函数是幂函数的是 ______
①21()y x
-= ②22y x = ③21
(1)y x -=+ ④0
y x = ⑤1y =
2、若幂函数()y f x =
的图像过点2?????
，则函数()y f x =的解析式为______. 3、已知函数()()
22
1
44m m f x m m x
--=--是幂函数，且经过原点，则实数m 的值为__________.
4、已知函数()()2
2
k
k f x x k Z -++=∈满足()()23f f <，则k 的值为________ ,函数()f x 的
解析式为__________ 5、设1112,1,,,,1,2,3232a ?
?
∈---
????
，已知幂函数()f x x α=是偶函数，且在区间()0,+∞上是减函数，则满足要求的α值的个数是__________.
6、设()y f x =和()y g x =是两个不同的幂函数，集合()(){}
|M x f x g x ==，则集合M 中
元素的个数是（ ）
（Ａ）1或2或0 (Ｂ) 1或2或3（Ｃ）1或2或3或4 (Ｄ)0或1或2或3 （二） 图像及性质应用 1、
右图为幂函数y x α
=在第一象限的图像，则
,,,a b c d 的大小关系是 （ ） ()A a b c d >>> ()B b a d c >>>
d
y=x
()C a b d c >>>
()D a d c b >>> 2、如图：幂函数n m
y x =（m 、n N ∈，且m 、n 互质）的图象在第一，二象限，且不经过原点，则有
（ ）
()A m 、n 为奇数且
1m
n
<
()B m 为偶数，n 为奇数，且1m
n >
()C m 为偶数，n 为奇数，且1m
n <
b
c
3
()D m 奇数，n 为偶数，且
1m
n
> 3、比较下列各组数的大小： （1）13
1.5，13
1.7，1；（2
）(37
，(
)3
7
，(
37
；（3
）23
2-
??- ? ???
，23
107-
??
- ???，()431.1--． 4、若()()1
13
3
132a a --+<-，求实数a 的取值范围．