2020-2021年高二数学直线与平面所成的角和二面角一

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2019-2020年高二数学直线与平面所成的角和二面角一

教学目的：

1.理解并掌握斜线在平面内的射影、直线和平面所成角的概念

2.根据概念先找直线射影后确定线面夹角从而熟练求解直线和平面所成角

3.培养化归能力、分析能力、观察思考能力和空间想象能力等

4.培养立体感、数学美感，提高学生学习数学特别是立体几何的兴趣

教学重点：线面夹角的概念及利用概念分步求夹角

教学难点：直线和平面所成角的概念及的应用

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教具：多媒体、实物投影仪

内容分析：

本节有三个知识点：直线与平面所成的角、二面角、两平面垂直的性质

要求学生掌握直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念并能灵活运用勾股定理、正余弦定理和向量代数方法计算有关的角和距离了解异面直线距离的概念和计算

在学生已初步掌握向量工具的基础上，可用向量工具解决立体几何中的一些较难的问题，一方面可进一步显示向量工具的威力，另外也为解决空间的度量问题找到了通法，减少学生学习度量问题的困难过去学生解这类问题，主要方法是构造三角形，应用勾股定理、余弦定理和正弦定理求解这种解法需要对图形进行平移、投影等转化技能，而且不同的问题需要不同的技巧实践证明，没有向量工具，学生求解这类问题比较困难有了向量运算工具，很多较难的空间计算问题，就有了统一的方法求解、但如果全用向量处理夹角相距离问题，虽有通法，但有时在解决一些较难问题时，运算量较大并需要一定的技巧，学生掌握这些技能同样会有困难所以在教材具体编写时，不是都用向量计算方法，有些直接使用勾股定理和三角能解决的问题，就不再使用向量方法了

教学过程：

一、复习引入：

1．平面几何中，点、线段在直线上射影的概念及性质：

2．直线和平面的位置关系（平行、相交和直线在平面内）

二、讲解新课：

1 斜线,垂线,射影

⑴垂线自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影. 这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.

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C αO A B ⑵斜线 一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线斜线和平面的交点叫斜足；斜线上一点与斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段

⑶射影 过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影垂足和斜足间线段叫这点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影

直线与平面平行，直线在平面由射影是一条直线直线与平面垂直射影是点斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上

2．射影长相等定理:从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线中 ⑴射影相交两条斜线相交；射影较长的斜线段也较长 ⑵相等的斜线段射影相等，较长的斜线段射影较长 ⑶垂线段比任何一条斜线段都短

⑴OB=OC ?AB=AC OB >OC ?AB >AC

⑵AB=AC ?OB=OC AB >AC ?OB >OC

⑶OA

3．直线和平面所成角

（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角 一直线垂直于平面，所成的角是直角

一直线平行于平面或在平面内，所成角为0?角 直线和平面所成角范围： [0，]

（2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角

证明：设平面的一条斜线在内的射影为，角是与所成的角 直线OD 是平面内与不同的任意一条直线，过点上的点A 引AC 垂直于OD ，垂足为C 因为AB

已知平面α的斜线a 与α内一直线b 相交成θ角，且a 与α相交成?1角，a 在α上的射影c 与b 相交成?2角，则有

用几何法研究：

在平面α的斜线a 上取一点P ，过点P 分别作直线c 、b 的垂线PO 、PB ，垂足为O 、B 连接OB ，则OB ⊥b.

在直角△AOP 中，.

在直角△ABC 中，. 在直角△ABP 中，.

所以 θ??cos cos cos 21==?=AP

AB

AO AB AP AO

所以成立

用向量运算研究：

如图，是平面的斜线，是斜足，垂直于平面，为垂足，则直线是斜线在平面内的射影设是平面内的任意一条直线，且，垂足为，又设与所成角为，与所成角为，与所成角为，则易知：

，212||||cos ||cos cos AB AO AP θθθ==

又∵， 可以得到：，

则同样可以得到：平面的斜线和它在平面内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角；

?2

?1c

b

a θP αO A

B

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O C

B

A

α

O D C B

A

1A

C

A

三、讲解范例：

例1 如图，已知是平面的一条斜线

，为斜足，为

垂足，为内的一条直线，

60,45ABC OBC ∠=∠=，求斜线和平面所成角

解：∵，由斜线和平面所成角的定义可知，为和所成角， 又∵， ∴

cos cos 601cos cos cos 452ABC ABO CBO ∠∠=

==÷=∠，

∴，即斜线和平面所成角为．

例2．如图，在正方体中，求面对角线与对角面所成的角

解法一：连结与交于，连结， ∵，，∴平面，

∴是与对角面所成的角，

在中，，∴．

解法二：由法一得是与对角面所成的角，

又∵112

cos cos 45A BB ∠==，，

∴1111cos cos cos 3

A B

B A BO B BO ∠∠===∠

说明：求直线与平面所成角的一般方法是先找斜线在平面中的射影，后求斜线与其射影的夹角另外，在条件允许的情况下，用公式求线面角显得更加方便 解法三：建立空间直角坐标系，用向量计算

例3．已知空间四边形的各边及对角线相等，求与平面所成角的余弦值 解：过作平面于点，连接，

∵，∴是正三角形的外心，

设四面体的边长为，则， ∵，∴即为与平面所成角，

∴，所以，与平面所成角的余弦值为．

例 4 如图，已知AP ⊥BP ，PA ⊥PC ，∠ABP =∠ACP =60o，PB =PC =BC ，D 是BC 中点，求AD 与平面PBC 所成角的余

弦值.

解：∵AP ⊥BP ，PA ⊥PC ，∴AP ⊥PBC

连PD ，则PD 就是AD 在平面PBC 上的射影 ∴∠PDA 就是AD 与平面PBC 所成角

又∵∠ABP =∠ACP =60o，PB =PC =BC ，D 是BC 中点， ∴PD=, PA=BC ∴AD=

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E

F

C 1B 1

A 1

D 1

D

A

C ∴31

217

cos ==

∠AD PD

PDA ∴AD 与平面PBC 所成角的余弦值为 四、课堂练习： 1选择题

（1）一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是（ ） （A ）（0o,90o） （B ）[0o,90o] （C ）[0o,180o] （D ）[0o,180o)

（2）两条平行直线在平面内的射影可能是①两条平行线；②两条相交直线；③一条直线；④

两个点. 上述四个结论中，可能成立的个数是 （ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个

（3）从平面外一点P 引与平面相交的直线，使P 点与交点的距离等于1，则满足条件的直线

条数不可能是（ ） （A ）0条或1条 （B ）0条或无数条

（C ）1条或2条 （D ）0条或1条或无数条 答案：（1）B (2)C (3)D 2．填空题

（1）设斜线与平面α所成角为θ，斜线长为，则它在平面内的射影长是 .

（2）一条与平面相交的线段，其长度为10cm ，两端点到平面的距离分别是2cm ，3cm ，这条线

段与平面α所成的角是 .

（3）若（2）中的线段与平面不相交，两端点到平面的距离分别是2cm ，3cm ，则线段所在直

线与平面α所成的角是 . 答案：（1） （2） （3）

3．若P 为⊿ABC 所在平面外一点，且PA =PB =PC ，求证点P 在⊿ABC 所在平面内的射影是⊿ABC 的外心.

分析：斜线段长相等，则射影长也相等从而由PA =PB =PC ，点P 的射影到⊿ABC 的三个顶点的距离相等，所以射影为⊿ABC 的外心.

五、小结 ：我们学习了有关平面的斜线、射影和直线与平面成角的几个概念，射影定理中的三个结论成立的前提是这些斜线段及垂线段必须是从平面外同一点向平面所引而得到的．否则，结论不成立．线面夹角的概念及解题步骤：先找垂线，后找射影最后确定夹角 在具体解题时，关键是求斜线在平面内的射影 六、课后作业：

在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1、A 1D 1的中点，求： （1）D 1B 1与面AC 所成角的余弦值； （2）EF 与面A 1C 1所成的角； （3）EF 与面AC 所成的角． 解：（1）设正方体的边长为a ，则在中，. ∴.

（2）45°．（3）45°． 七、板书设计（略） 八、课后记：

在具体解题时往往找不出夹角，关键是不能求斜线在平面内的射影，通过练习，使学生在不同的视图中能较熟练地找出射影

人教版高中数学《直线和圆的方程》教案全套

人教版高中数学《直线和圆的方程》教案全套 直线的倾斜角和斜率 一、教学目标 (一)知识教学点 知道一次函数的图象是直线，了解直线方程的概念，掌握直线的倾斜角和斜率的概念以及直线的斜率公式． (二)能力训练点 通过对研究直线方程的必要性的分析，培养学生分析、提出问题的能力；通过建立直线上的点与直线的方程的解的一一对应关系、方程和直线的对应关系，培养学生的知识转化、迁移能力． (三)学科渗透点 分析问题、提出问题的思维品质，事物之间相互联系、互相转化的辩证唯物主义思想． 二、教材分析 1．重点：通过对一次函数的研究，学生对直线的方程已有所了解，要对进一步研究直线方程的内容进行介绍，以激发学生学习这一部分知识的兴趣；直线的倾斜角和斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，是研究两条直线位置关系的重要依据，要正确理解概念；斜率公式要在熟练运用上多下功夫． 2．难点：一次函数与其图象的对应关系、直线方程与直线的对应关系是难点．由于以后还要专门研究曲线与方程，对这一点只需一般介绍就可以了． 3．疑点：是否有继续研究直线方程的必要？ 三、活动设计 启发、思考、问答、讨论、练习． 四、教学过程 (一)复习一次函数及其图象 已知一次函数y=2x+1，试判断点A(1，2)和点B(2，1)是否在函数图象上． 初中我们是这样解答的：

∵A(1，2)的坐标满足函数式， ∴点A在函数图象上． ∵B(2，1)的坐标不满足函数式， ∴点B不在函数图象上． 现在我们问：这样解答的理论依据是什么？(这个问题是本课的难点，要给足够的时间让学生思考、体会．) 讨论作答：判断点A在函数图象上的理论依据是：满足函数关系式的点都在函数的图象上；判断点B不在函数图象上的理论依据是：函数图象上的点的坐标应满足函数关系式．简言之，就是函数图象上的点与满足函数式的有序数对具有一一对应关系． (二)直线的方程 引导学生思考：直角坐标平面内，一次函数的图象都是直线吗？直线都是一次函数的图象吗？ 一次函数的图象是直线，直线不一定是一次函数的图象，如直线x=a连函数都不是． 一次函数y=kx+b，x=a都可以看作二元一次方程，这个方程的解和它所表示的直线上的点一一对应． 以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解．这时，这个方程就叫做这条直线的方程；这条直线就叫做这个方程的直线． 上面的定义可简言之：(方程)有一个解(直线上)就有一个点；(直线上)有一个点(方程)就有一个解，即方程的解与直线上的点是一一对应的． 显然，直线的方程是比一次函数包含对象更广泛的一个概念． (三)进一步研究直线方程的必要性 通过研究一次函数，我们对直线的方程已有了一些了解，但有些问题还没有完全解决，如 y=kx+b中k的几何含意、已知直线上一点和直线的方向怎样求直线的方程、怎样通过直线的方程来研究两条直线的位置关系等都有待于我们继续研究． (四)直线的倾斜角 一条直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角，叫做这条直线的倾斜角，如图1-21中的α．特别地，当直线l和x轴平行时，我们规定它的倾斜角为0°，因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°．

2020-2021年高二数学直线与平面所成的角和二面角一

实用文档 2019-2020年高二数学直线与平面所成的角和二面角一 教学目的： 1.理解并掌握斜线在平面内的射影、直线和平面所成角的概念 2.根据概念先找直线射影后确定线面夹角从而熟练求解直线和平面所成角 3.培养化归能力、分析能力、观察思考能力和空间想象能力等 4.培养立体感、数学美感，提高学生学习数学特别是立体几何的兴趣 教学重点：线面夹角的概念及利用概念分步求夹角 教学难点：直线和平面所成角的概念及的应用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节有三个知识点：直线与平面所成的角、二面角、两平面垂直的性质 要求学生掌握直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念并能灵活运用勾股定理、正余弦定理和向量代数方法计算有关的角和距离了解异面直线距离的概念和计算 在学生已初步掌握向量工具的基础上，可用向量工具解决立体几何中的一些较难的问题，一方面可进一步显示向量工具的威力，另外也为解决空间的度量问题找到了通法，减少学生学习度量问题的困难过去学生解这类问题，主要方法是构造三角形，应用勾股定理、余弦定理和正弦定理求解这种解法需要对图形进行平移、投影等转化技能，而且不同的问题需要不同的技巧实践证明，没有向量工具，学生求解这类问题比较困难有了向量运算工具，很多较难的空间计算问题，就有了统一的方法求解、但如果全用向量处理夹角相距离问题，虽有通法，但有时在解决一些较难问题时，运算量较大并需要一定的技巧，学生掌握这些技能同样会有困难所以在教材具体编写时，不是都用向量计算方法，有些直接使用勾股定理和三角能解决的问题，就不再使用向量方法了 教学过程： 一、复习引入： 1．平面几何中，点、线段在直线上射影的概念及性质： 2．直线和平面的位置关系（平行、相交和直线在平面内） 二、讲解新课： 1 斜线,垂线,射影 ⑴垂线自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影. 这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.

高二文科数学直线和圆的方程

直线和圆的方程 【知识图解】 【方法点拨】 1．掌握直线的倾斜角，斜率以及直线方程的各种形式，能正确地判断两直线位置关系，并能熟练地利用距离公式解决有关问题．注意直线方程各种形式应用的条件．了解二元一次不等式表示的平面区域，能解决一些简单的线性规划问题． 2.掌握关于点对称及关于直线对称的问题讨论方法,并能够熟练运用对称性来解决问题. 3．熟练运用待定系数法求圆的方程． 4．处理解析几何问题时，主要表现在两个方面：(1)根据图形的性质，建立与之等价的代数结构;(2)根据方程的代数特征洞察并揭示图形的性质． 5．要重视坐标法，学会如何借助于坐标系，用代数方法研究几何问题，体会这种方法所体现的数形结合思想． 6.要善于综合运用初中几何有关直线和圆的知识解决本章问题；还要注意综合运用三角函数、平面向量等与本章容关系比较密切的知识．

第1课 直线的方程 【考点导读】 理解直线倾斜角、斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的几种形式，能根据条件，求出直线的方程． 高考中主要考查直线的斜率、截距、直线相对坐标系位置确定和求在不同条件下的直线方程，属中、低档题，多以填空题和选择题出现，每年必考. 【基础练习】 1. 直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角围是 2. 过点)3,2(P ，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 3.直线l 经过点（3，-1），且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线l 的方程为 4.无论k 取任何实数，直线()()()14232140k x k y k +--+-=必经过一定点P ，则P 的坐标为 【例导析】 例1.已知两点A （－1，2）、B （m ，3） （1）求直线AB 的斜率k ； （2）求直线AB 的方程； （3）已知实数m 13?? ∈--???? ，求直线AB 的倾斜角α的取值围． 例2.直线l 过点P(2,1),且分别交x 轴、y 轴的正半轴于点A 、B 、O 为坐标原点.

高二数学教案：高二数学直线与平面平行2

第1页 共2页 直线与平面平行(2) 教学目的： 1.掌握空间直线和平面的位置关系； 2.掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理，灵活运用线面平行的判定定 理和性质定理 教学重点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用 教学难点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用 教学过程： 一、复习 1．直线和平面的位置关系 （1）直线在平面内（无数个公共点）； （2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）； （3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类． 2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 3. 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行． 二、例题 例1求证：如果过平面内一点的直线平行于与此平面平行的一条直线，那么这条直线在此平面内． 已知：//,,,//a P P b b a αα∈∈. 求证：b α?． 例2已知直线a ∥直线b ，直线a ∥平面α,b ?α， 求证：b ∥平面α 例3．已知直线a ∥平面α，直线a ∥平面β，平面α平面β=b ，求证//a b ． 分析： 利用公理4，寻求一条直线分别与a ，b 均平行，从而达到a ∥b 的目的．可借用已知条件中的a ∥α及a ∥β来实现． d c b a δ γ β αa b b' β α P c a b βα

第2页 共2页 三、课堂练习 1.已知直线l 1、l 2，平面α，l 1∥l 2，l 1∥α，则ｌ2与α的位置关系是 ( ) A.l 2∥α B.l 2?α C.l 2∥α或l 2?α D.l 2与α相交 2.已知两条相交直线ａ、ｂ，ａ∥平面α，则ｂ与α的位置关系 ( ) A.ｂ∥α B.ｂ与α相交 C.ｂ?α D.ｂ∥α或ｂ与α相交 3.下列命题中正确的是 ( ) ∥过一点，一定存在和两条异面直线都平行的平面 ∥垂直于同一条直线的一条直线和一个平面平行 ∥若两条直线没有公共点，则过其中一条直线一定有一个平面与另一条直线平行 A.∥ B.∥ C.∥∥ D.∥∥∥ 4.几何体ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为ａ的正方体，M 、N 分别是下底面的棱 A 1 B 1，B 1 C 1的中点，P 是上底面的棱A D 上的一点，AP ＝a 3 1 ，过P 、M 、N 的 平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝ . 5.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1的中点，则BD 1与过点A 、E 、C 的平面的位置关系是 . 四、作业 同步练习 09032

高中数学专题讲义-直线与平面所成的角

【例1】 （全国2文7） 已知正三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（ ） A ．3 B ．3 C ．22 D ．3 【例2】 （全国2理7） 已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面11ACC A 所成角的正弦等于（ ） A ．6 B ．10 C ．2 D ．3 【例3】 （福建卷6） 如图，在长方体ABCD 1111A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则1BC 与平面11BB D D 所成角的正弦值为（ ） A ． 63 B ． 26 5 C ． 155 D ． 105 D C B A A 1 D 1 B 1 C 1 【例4】 （浙江） 在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是 （ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 典例分析 板块二.直线与平面所成的角

E A 1 C 1 B 1 D C B A 【例5】 （四川卷理13）在三棱锥O ABC -中，三条棱OA 、OB 、OC 两两互相垂直，且 OA ＝OB ＝OC ，M 是AB 边的中点，则OM 与平面ABC 所成的角的大小是 （ 用反三角函数表示） 【例6】 （全国Ⅰ）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内 的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ） A ．13 B C D ． 23 【例7】 正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与底面成45o 角，求此三棱柱的体积． 【例8】 （四川卷15） 且对角线与底面所成角的余弦值 ，则该正四棱柱的体积等于________________． 【例9】 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中， ⑴求1BC 与平面11ACC A 所成的角； ⑵求11A B 与平面11A C B 所成的角的余弦值． A B C D B 1 C 1 D 1 A 1

高中数学直线与圆精选题目(附答案)

高中数学直线与圆精选题目（附答案） 一、两直线的位置关系 1．求直线斜率的基本方法 (1)定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k ＝tan α. (2)公式法：已知直线过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且x 1≠x 2，则斜率k ＝y 2－y 1 x 2－x 1. 2．判断两直线平行的方法 (1)若不重合的直线l 1与l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则k 1＝k 2?l 1∥l 2. (2)若不重合的直线l 1与l 2的斜率都不存在，其倾斜角都为90°，则l 1∥l 2. 3．判断两直线垂直的方法 (1)若直线l 1与l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－1?l 1⊥l 2. (2)已知直线l 1与l 2，若其中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则l 1⊥l 2. 1.已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值． (1)l 1⊥l 2且l 1过点(－3，－1)； (2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． [解] (1)∵l 1⊥l 2， ∴a (a －1)－b ＝0，① 又l 1过点(－3，－1)， ∴－3a ＋b ＋4＝0.② 解①②组成的方程组得??? a ＝2， b ＝2. (2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2， ∴直线l 1的斜率存在． ∴k 1＝k 2，即a b ＝1－a .③ 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，l 1∥l 2， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，

即4 b ＝－(－b )．④ 由③④联立，解得??? a ＝2， b ＝－2或????? a ＝23 ，b ＝2. 经检验此时的l 1与l 2不重合，故所求值为 ??? a ＝2， b ＝－2或????? a ＝23 ， b ＝2. 注： 已知两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0 (1)对于l 1∥l 2的问题，先由A 1B 2－A 2B 1＝0解出其中的字母值，然后代回原方程检验这时的l 1和l 2是否重合，若重合，舍去． (2)对于l 1⊥l 2的问题，由A 1A 2＋B 1B 2＝0解出字母的值即可． 2．直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －3y －1＝0垂直，则a 的值为( ) A ．－3 B ．－4 3 C ．2 D ．3 解析：选D 由2a －6＝0得a ＝3.故选D. 3．已知直线x ＋2ay －1＝0与直线(a －1)x ＋ay ＋1＝0平行，则a 的值为( ) A.32 B.32或0 C ．0 D ．－2 解析：选A 当a ＝0时，两直线的方程化为x ＝1和x ＝1，显然重合，不符合题意；当a ≠0时，a －11＝a 2a ，解得a ＝3 2.故选A. 二、直线方程 1．直线方程的五种形式

高中数学直线与平面的夹角题库

3.2.3直线与平面的夹角 3.2.4二面角及其度量 学习目标 1.理解斜线和平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性.2.会求直线与平面的夹角θ.3.掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角.4.掌握求二面角的基本方法、步骤． 知识点一直线与平面所成的角 1．直线与平面所成的角 2．最小角定理 知识点二二面角及理解 1．二面角的概念 (1)二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．如图所示，其中，直线l叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面，如图中的α，β.

(2)二面角的记法：棱为l ，两个面分别为α，β的二面角，记作α—l —β.如图，A ∈α，B ∈β，二面角也可以记作A —l —B ，也可记作2∠l . (3)二面角的平面角：在二面角α—l —β的棱上任取一点O ，在两半平面内分别作射线OA ⊥l ，OB ⊥l ，则∠AOB 叫做二面角α—l —β的平面角，如图所示．由等角定理知，这个平面角与点O 在l 上的位置无关． (4)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角． (5)二面角的范围是[0°，180°]． 2．用向量夹角来确定二面角性质及其度量的方法 (1)如图，分别在二面角α—l —β的面α，β内，并沿α，β延伸的方向，作向量n 1⊥l ，n 2⊥l ，则〈n 1，n 2〉等于该二面角的平面角． (2)如图，设m 1⊥α，m 2⊥β，则角〈m 1，m 2〉与该二面角大小相等或互补． 1．直线与平面所成的角α与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角β互余．( × ) 2．二面角的大小范围是??? ?0，π 2.( × ) 3．二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小．( × ) 题型一 求直线与平面的夹角 例1 已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为2a ，求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角． 解 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，

高中数学直线和圆知识点总结

直线和圆 一．直线 1．斜率与倾斜角：tan k θ=，[0,)θπ∈ （1）[0, )2 π θ∈时，0k ≥； （2）2 πθ=时，k 不存在；（3）( ,)2 π θπ∈时，0k < （4）当倾斜角从0? 增加到90? 时，斜率从0增加到+∞； 当倾斜角从90? 增加到180? 时，斜率从-∞增加到0 2．直线方程 （1）点斜式：)(00x x k y y -=- （2）斜截式：y kx b =+ （3）两点式： 1 21121x x x x y y y y --=-- （4）截距式： 1x y a b += （5）一般式：0C =++By Ax 3．距离公式 （1）点111(,)P x y ，222(,)P x y 之间的距离：12PP = （2）点 00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离：d = （3）平行线间的距离： 10Ax By C ++=与20Ax By C ++=的距离：d = 4．位置关系 （1）截距式：y kx b =+形式 重合：1212 k k b b == 相交：12k k ≠ 平行：1212 k k b b =≠ 垂直：121k k ?=- （2）一般式：0Ax By C ++=形式 重合：1221A B A B =且1221A C A C =且1212B C C B = 平行：1221A B A B =且1221A C A C ≠且1212B C C B ≠

垂直：12120A A B B += 相交：1221A B A B ≠ 5．直线系 1112220A x B y C A x B y C λ++++=＋（）表示过两直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=交点的所 有直线方程（不含2l ） 二．圆 1．圆的方程 （1）标准形式：2 2 2 ()()x a y b R -+-=（0R >） （2）一般式：2 2 0x y Dx Ey F ++++=（22 40D E F +->） （3）参数方程：00cos sin x x r y y r θ θ =+?? =+?（θ是参数） 【注】题目中出现动点求量时，通常可采取参数方程转化为三角函数问题去解决. （4）以11(,)A x y ,22(,)B x y 为直径的圆的方程是：()()()()0A B A B x x x x y y y y --+--= 2．位置关系 （1）点00(,)P x y 和圆222 ()()x a y b R -+-=的位置关系： 当22200()()x a y b R -+-<时，点00(,)P x y 在圆222 ()()x a y b R -+-=部 当22200()()x a y b R -+-=时，点00(,)P x y 在圆222 ()()x a y b R -+-=上 当22200()()x a y b R -+->时，点00(,)P x y 在圆222 ()()x a y b R -+-=外 （2）直线0Ax By C ++=和圆2 2 2 ()()x a y b R -+-=的位置关系： 判断圆心(,)O a b 到直线0Ax By C ++= 的距离d =R 的大小关系 当d R <时，直线和圆相交（有两个交点）； 当d R =时，直线和圆相切（有且仅有一个交点）； 当d R <时，直线和圆相离（无交点）； 判断直线与圆的位置关系常见的方法 (1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系． (2)代数法：联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断． (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆可判断直线与圆相交．

高二数学空间直线和平面单元练习

高二数学空间直线和平面单元练习 一、选择题 1.下列各条件可以确定平面的是( ) A.六边形 B.两两相交的三条直线 C.两两平行的三条直线 D.梯形 2.正方形的一条对角线与正方体的棱所组成的异面直线有( ) A.12对 B.10对 C.8对 D.6对 3.给出下列四个命题： (1)如果一个平面内有两条直线分别平行于另一个平面，那么这个平面平行； (2)如果一个平面内有无数条直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行； (3)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行； (4)垂直于同一平面的两平面平行. 其中正确的是( ) A.(1)(3)(4) B.(2)(3)(4) C.(3) D.(4) 4.经过空间一点作直线，使它与异面直线都成60°角，则这样的直线有( ) A.2条 B.2条或3条 C.4条 D.2条或3条或4条 5.异面直线在同一平面的射影不可能是( ) A.两条平行直线 B.两相交线 C.一点与一直线 D.同一直线 6.空间四边形ABCD四条边的中点为E、F、G、H，且EFGH为菱形，则空间四边形ABCD 的对角线 AC与BD的关系是( ) A.AC⊥BD B.AC与BD共面 C.AC=BD D.不能确定 7.已知ABCD为正方形，过A作SA⊥平面ABCD，若AB=SA，则面SAB与面SCD所构成二面角的度数是( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 8.异面直线所成角取值集合为A，直线与平面所成角取值集合为B，平面斜线与平面所成角取值集合为C，则它们角的集合关系为( ) A.A B C B.B A C C.C A B D.C B A 9.一直线与直二面角的两个面所成角分别为θ1与θ2，则θ1+θ2的值是( ) A.90° B.不超过90° C.不小于90° D.以上三种情况都可能 10.如图，PC⊥平面α于C，ABα，PB⊥AB，则线段PB、PA、PC的关系式是( ) A.PA＞PC＞PB B.PC＞PB＞PA C.PA＞PB＞PC D.PB＞PA＞PC 11.矩形ABCD中，AB=2,BC=6,沿对角线AC折起成直二面角，则AC与BD的距离为( ) A.22 B.2 C.1 D.23 12.等边△ABC的边长为1，BC上的高是AD，若沿AD折成直二面角，则A到BC的距离

北京宏志中学2014年高二数学(理科)寒假作业——直线与圆 复数及逻辑(学生)

北京宏志中学2014学年高二数学（理科）寒假作业——直线与圆 复数及逻辑 #印出的是必做题，百度文库里面的文档里有选做题# 1． 1 ． 10y -+=的倾斜角为 A ．0150 B ．0 120 C ．060 D ．030 2．以A （１，３）和Ｂ（－５，１）为端点的线段AB 的中垂线方程是 A ．380x y -+= B ．340x y ++= C ．260x y --= D ．380x y ++= 3．直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程是（ ） Ａ．210x y +-= Ｂ．210x y +-= Ｃ．230x y +-= Ｄ．230x y +-= 4 ．直线过点P （0，2），且截圆2 2 4x y +=所得的弦长为2，则直线的斜率为 A ．32± B ． ． ．5 ．直线1y x =+与圆22 1x y +=的位置关系为（ ） A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．直线过圆心 D ．相离 6 ．圆162 2 =+y x 上的点到直线03=--y x 的距离的最大值是 A ． 2 23 B ．2234- C ．22 34+ D ．0 7 ．圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ） A ．2 2 (2)1x y +-= B ．2 2 (2)1x y ++= C ．2 2 (1)(3)1x y -+-= D ．22 (3)1x y +-= 8 ．直线l ：b x y +=与曲线c ： 21x y -=有两个公共点，则b 的取值范围是 A ．22<<-b B ．21≤≤b C ．21<≤b D ．21<x x ，或，则12>x D.若11-≤≥x x ，或，则12≥x 15．已知命题:,sin 1,p x R x ?∈≤则p ?是：( ) A ．,sin 1x R x ?∈≥ B.,sin 1x R x ?∈≥ C.,sin 1x R x ?∈> D.,sin 1x R x ?∈> 16．“若R y x ∈,且022=+y x ，则y x ,全为0”的否命题是（ ） A.若R y x ∈,且022≠+y x ，则y x ,全不为0 B ．若R y x ∈,且022≠+y x ，则y x ,不全为0 C ．若R y x ∈,且y x ,全为0，则022=+y x D ．若R y x ∈,且0≠xy ，则022≠+y x . 17．若不等式 x a -<1成立的充分条件为04 <

高中数学 空间点,直线和平面的位置关系公式

空间点，直线和平面的位置关系 一，线在面内的性质： 定里1. 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。 二，平面确定的判定定理： 定里2. 经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。 定里3.经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。 定里4. 经过两条相交直线有且只有一个平面。 定里5.经过两条平行直线有且只有一个个平面。 三，两面相交的性质： 定里6. 如果两个平面有一个公共点，那么还有其它公共点，则这些公共点的集合是一条直线。 四，直线平行的判定定理： 定里7. 平行于同一直线的两直线平行。 五，等角定理： 定里8.如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且同向，那么这两个角相等。 六，异面直线定义： 不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线。（异面直线间的夹角只能是：锐角或直角） 七，直线和平面平行的判定定理： 定理9. 平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平

面平行。

符合表示： β ββ////a b a b a ???????? 推理1. 如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 符号表示： b a b a a a ////??? ?????=??βαβαα 八，平面与平面平行判定定理： 定理1. 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 符号表示： β αββαα//////??????????=??b a M b a b a 推论1：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。 九，平面与平面平行的性质： 定理1. 如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。

高二数学期末复习直线和圆的方程(附答案)

高二数学期末复习直线和圆的方程 一、选择题 1. 直线1l 的倾斜角130α=，直线12l l ⊥，则直线2l 的斜率为( ) A B C D 2. 直线经过点(2,0)A -，(5,3)B -,则直线的倾斜角( ) A 450 B 1350 C －450 D －1350 3. 一条直线经过点1(2,3)P -，倾斜角为45α=，则这条直线方程为( ) A 50x y ++= B 50x y --= C 50x y -+= D 50x y +-= 4. 已知直线l 与x 轴的交点(,0)a ，与y 轴的交点(0,)b ，其中0,0a b ≠≠， 则直线l 的方程为( ) A 1x y a b -= B 1x y a b +=- C 1x y a b -=- D 1x y a b += 5.直线l 的方程260x y -+= 的斜率和它在x 轴与y 轴上的截距分别为( ) A 1,6,32- B 1,6,32 C 2,6,3- D 1 ,6,32 -- 6. 经过点)4,1(-A 且与直线0532=++y x 平行的直线方程为( ) A 23100x y -+= B 01032=++y x C 23100x y +-= D 23100x y --= 7. 过点(2,1)A ，且与直线0102=-+y x 垂直的直线l 的方程为( ) A 20x y += B 20x y -= C 02=-y x D 20x y += 8. 直线1l ：23y x =-+，2l ：2 3 - =x y 的夹角为( ) A arctan3- B arctan3π- C arctan3π+ D arctan3 9若实数x 、y 满足等式 3)2(2 2=+-y x ，那么x y 的最大值为( )

高中数学直线与圆的方程知识点总结

高中数学之直线与圆的方程 一、概念理解： 1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°； ③范围：0°≤α＜180° 。 2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。 3、斜率与坐标：1 21 22121tan x x y y x x y y k --=--= =α ①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。 4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在） 特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=?k k 。 ②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。 ③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程： ①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可； ③两点式：),(21211 21 121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接 带入即可； ④截距式： 1=+b y a x 将已知截距坐标),0(),0,( b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。 2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可

直线和平面所成的角练习题

《直线和平面所成的角 》 练习 题 2 1、正方体中,(1)求1BD 和底面ABCD 所成的角正切值；(2 ) (2)求1BD 和面11AA D D 所成的角的正切值。( 2 ) 2、正方体中,,E F 分别是11D C 和BC 中点,O 是BD 的中点， (1)求EF 和底面ABCD ） (2) 求EF 和侧面11BCC B 所成的角的正切值, （4 ） (3)求1B O 和底面ABCD 所成的角的正切值 ） (4)求1B O 和侧面11BCC B 所成的角的正切值。（5 ） 3、正方体中,,M N 分别是1AD 和BD 的中点, (1)求1AC 和上底面1111A B C D 所成的角的正切值（2 ） (2)求MN 和底面ABCD 所成的角（45°） 4、空间四边形PBCD 中,AC BC ⊥, PA ⊥平面ABC ,2AC BC ==,4PA = (1)求PB 与平面PAC 所成的角正切值；（ 5） (2)求PC 和平面PAB 所成的角的正切值。（ 10 ） 5、长方体中,2,AB BC == 11AA = ,求1BC 和平面11BB D D A B C D 1 A 1 B 1 C 1 D A B C D 1A 1 B 1 C 1 D O A C E F

6、,E F 分别是正方体的棱 1,AA AB 的中点, 求EF 和平面11ACC A 所成角的大小（30°） 7、正方体中, 求1A B 和面11BB D D 所成角的大小（30°） 8、正三棱柱的各棱长相等,是D 侧面11BCC B 的中心, (1)求ＡＤ和平面11BCC B 所成角的大小（60°） (2)求ＡＤ和平面ＡＢＣ所成的角的大小（30°） ９、两个正方形ＡＢＣＤ和ＤＣＥＦ不在同一平面内，Ｍ，Ｎ 分别是ＡＢ， ＤＦ的中点，AD DF ⊥，求ＭＮ和平面ＤＣＥＦ所成的角 ） １０、正方体中，求1AB 和平面11A B CD 所成的角（30°） １１、三棱锥中，, PA PB PC BC ===AB AC ⊥，求PA 12、直三棱柱中,90ABC ∠=o ,14,3AB BC BB === ,,M (1)求MN 和面ABC 所成的角(3 2 ) (2)求异面直线1AB 和1BC 所成的角的余弦值（9 25 ） 14、点P 在正方形ABCD 所在平面外,PD ⊥平面ABCD, PD=AD, 求: (1)PB 与底面ABCD ） (2)异面直线PA 和B D 所成角大小是多少（60°） 15、正方体中，求1BB 和平面1ACD 所成角的余弦值。（ 3A B C D 1 A 1 B 1 C 1 D E 1 1 A

直线与平面所成的角

直线与平面所成的角 教学目的： 1、掌握斜线在平面上的射影的概念、斜线与平面所成角的概念 2、掌握公式cos θ=cos θ1?cos θ2，会用这个公式解决一些问题 教学重点： 斜线在平面上的射影的概念、斜线与平面所成角的概念 教学难点：公式cos θ=cos θ1?cos θ2的灵活运用 教学过程： 一、引入新课 发射炮弹时，当炮筒和地面所成的角为多少度时，才能准确地命中目标，也即射程最远？铅球运动员在投掷时，以多大的角度，投出的距离最远？这都与我们今天学习的直线和平面所成的角有关。 二、讲授新课 1、公式cos θ=cos θ1?cos θ2 已知AO 是平面α的斜线，A 是斜足，OB 垂直于α， B 为垂足，则直线AB 是斜线OA 在α内的射影，设AC 是α 内的任一条直线，且BC ⊥AC 于C ，又设AO 与AB 成的角为θ2，AO 与AC 所成的角为θ，则cos θ=cos θ1?cos 证：不妨设AO 为单位长，则 2 121211cos cos cos ,cos cos ||||, cos cos cos ||||,cos cos ||||θθθθθθθθθθ=∴======AO AC AB AC AO AB 2、最小角定理 平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中的最小角。 在公式cos θ=cos θ1?cos θ2中，由于0＜cos θ2＜1，所以cos θ＜cos θ1，从而θ1＜θ（y ＝cosx 在[0,π]上是减函数） 3、直线和平面所成的角 ⑴定义：一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）。 规定：如果直线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角；如果直线和平面平行或在平面内，那么就说直线和平面所成的角是0°的角。 说明：斜线和平面所成的角的定义表明斜线和平面所成的角是通过斜线在平面内的射影而转化为两条相交直线所成的锐角。 ⑵斜线和平面所成角的范围是(0,π/2)；直线和平面所成角的范围是［0,π/2］；两条异面直线所成角的范围是(0,π/2］，三者不同，要注意区分。 ⑶求斜线和平面所成的角一般步骤是： ①作：作（或找）出斜线在平面上的射影，将空间角（斜线和平面所成的角）转化为平面角（两条相交直线所成的锐角），作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足（有时可以是两垂足）作直线，注：斜线上点的选取以及斜足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算。 ②证：证明某平面角就是斜线与平面所成的角。

高中 圆与直线的典型大题

1. 已知方程x2+y2-2x-4y+m=0。 （Ⅰ）若此方程表示圆，求m的取值范围； （Ⅱ）若（Ⅰ）中的圆与直线x+2y-4=0相交于M，N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求以MN为直径的圆的方程。 解：（Ⅰ），D=-2，E=-4，F=m， =20-4m＞0，解得：m＜5。 （Ⅱ）， 将x=4-2y代入得，∴，， ∵OM⊥ON，得出：， ∴， ∴。 （Ⅲ）设圆心为（a，b），， 半径， ∴圆的方程为。 法 2.

2. 已知圆C方程为x2+y2-2x-4y-20=0，直线l的方程为：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0. 证明：无论m取何 圆C恒有两个公共点。 2、求直线l被圆C截得的线段的最短长度，并求出此时m的值 1、将直线方程化为：m(2x+y-7)+(x+y-4)=0，不论m取何值，直线总过定点，令2x+y-7=0，x+y-4=0 解得x=3，y=1，所以直线过定点(3，1），将点(3,1)代入圆方程左边可知<0，所以点(3,1)在圆内 所以直线与圆相交，直线与圆恒有两个公共点 2、当直线与过A(3,1)点的直径垂直时，直线l被圆C截得的线段的最短，圆心C(1,2)， AC的斜率= -1/2，所以L的斜率=2，所以- (2m+1)/(m+1)=2，所以m= - 3/4 3、已知圆C：（x-1）2+（y-2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0． （Ⅰ）证明：不论m为何值时，直线l和圆C恒有两个交点； （Ⅱ）判断直线l被圆C截得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时m的值以及最短长度．

直线和平面所成的角练习题2

《直线和平面所成的角》 练 习题 2 1、正方体中,(1)求1BD 和底面ABCD 所成的角正切值；) (2)求1BD 和面11AA D D 所成的角的正切值。(2) 2、正方体中,,E F 分别是11D C 和BC 中点,O 是BD 的中点， (1)求EF 和底面ABCD (2) 求EF 和侧面11BCC B 所成的角的正切值, ） (3)求1B O 和底面ABCD 所成的角的正切值 ，（） (4)求1B O 和侧面11BCC B 3、正方体中,,M N 分别是1AD 和BD 的中点, (1)求1AC 和上底面1111A B C D ） (2)求MN 和底面ABCD 所成的角（45°） 4、空间四边形PBCD 中,AC BC ⊥, PA ⊥平面ABC ,2AC BC ==,4PA = (1)求PB 与平面PAC (2)求PC 和平面PAB 所成的角的正切值。（10 ） 5、长方体中,2,AB BC == 11AA = ,求1BC 和平面11BB D D A B C D 1A 1B 1 C 1 D A B C D 1A 1B 1 C 1 D O A B C E F

6、,E F 分别是正方体的棱 1,AA AB 的中点, 求EF 和平面11ACC A 所成角的大小（30°） 7、正方体中, 求1A B 和面11BB D D 所成角的大小（30°） 8、正三棱柱的各棱长相等,是D 侧面11BCC B 的中心, (1)求ＡＤ和平面11BCC B 所成角的大小（60°） (2)求ＡＤ和平面ＡＢＣ所成的角的大小（30°） ９、两个正方形ＡＢＣＤ和ＤＣＥＦ不在同一平面内，Ｍ， Ｎ 分别是ＡＢ， ＤＦ的中点，AD DF ⊥，求ＭＮ和平面ＤＣＥＦ所成 ） １０、正方体中，求1AB 和平面11A B CD 所成的角（30°） １１、三棱锥中，,PA PB PC BC ===AB AC ⊥，求PA 12、直三棱柱中,90ABC ∠=o ,14,3AB BC BB === ,,M (1)求MN 和面ABC 所成的角(32 ) (2)求异面直线1AB 和1BC 所成的角的余弦值（925 ） 14、点P 在正方形ABCD 所在平面外,PD ⊥平面ABCD, PD=AD, 求: (1)PB 与底面ABCD ） (2)异面直线PA 和B D 所成角大小是多少（60°） 15、正方体中，求1BB 和平面1ACD 所成角的余弦值。（3）A B C D 1 A 1 B 1 C 1 D E F 1 1A