2006—2007学年第一学期
《本科高等数学(上)》试卷
专业班级
姓名
学号
开课系室
考试日期
2.封面及题目所在页背面及附页为草稿纸。
3.答案必须写在该题后的横线上，解题过程写在下方空白处，不得写在草稿纸中，否则答案无效。
一、填空题 (本题共10小题，每小题2分，共20分.)
1. 设
??
?>≤=1
,01
,1)(x x x f , 则{}=)]([x f f f .
2. 设函数????
???????<+=>-=?0,sin 0,80,)cos 1()(02x x dt e x b x x x x a x f x t
连续，则=a ，=b .
3．极限 =
+→x
x x sin 2
)
31(lim .
4．设 2)
(lim
0=→x x f x ,且)(x f 在0=x 连续,则)0(f '= .
5．设方程0=--y
e y x 确定函数)(x y y =, 则dx dy
= .
6．设
x y x
3cos 2-=, 则dy = .
7．抛物线
822
++=x x y 在其顶点处的曲率为 .
8．设)(x f 可导，{})]([x f f f y =，则='y . 9．
[]?-=-+-+a
a dx x a x x f x f 2
2sin )()( .
10．微分方程02
=--
'x x y y 的通解是 .
二、单项选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）
1. “数列极限存在”是“数列有界”的（ ） (A) 充分必要条件； (B) 充分但非必要条件；
(C) 必要但非充分条件； (D)既非充分条件，也非必要条件.
2．极限=
++∞→n
n n n 32lim
（ ）
(A) 2; (B) 3; (C) 1; (D) 5;
3．设常数0>k ，则函数k
e x x x
f +-
=ln )( 在
),0(∞+内零点的个数为（ ）
(A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个.
4．设
()x
x e e
x f 11
321++=
, 则0=x 是)(x f 的( ).
(A) 连续点; (B) 可去间断点;
(C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点.
5．设函数)(x f 二阶可导，且0)(0)(>''>'x f x f ，，令)()(x f x x f y -?+=?，当0
(A) ;0>>?dy y (B) ;0<?>y dy (D) .0
6．若)()()(+∞<<-∞-=-x x f x f ，在)0,(-∞内0)(>'x f ，0)(<''x f ，则)
(x f 在),0(∞+内( ). (A) 0)(,0)(<''>'x f x f (B) 0)(,0)(>''>'x f x f (C) 0)(,
0)(<''<'x f x f (D) 0)(,
0)(>''<'x f x f
7．设)(x f 在
0x x =处二阶可导, 且1)
(lim
-=-'→x x x f x x ,则( ).
(A) 0x 是)(x f 的极大值点; (B) 0x 是)(x f 的极小值点; (C)
))(,(00x f x 是曲线)(x f y =的拐点; (D) 以上都不是.
8．下列等式中正确的结果是 ( ). (A) ?=');()(x f dx x f (B) ?=);()(x f dx x df
(C)
?=);
(])([x f dx x f d (D)
?=');
())((x f dx x f
9．下列广义积分收敛的是( ).
(A)
?
∞+e
dx x x ln (B) ?∞+e dx x x ln 1
(C) ?
∞+e
dx x x 2)(ln 1(D) ?∞+e dx x x ln 1
10．设)(x f 在a x =的某个领域内有定义，则)(x f 在a x =处可导的一个充分条件是 ( ).
(A) 存在)]()1
([lim a f h a f h h -++∞→(B)存在
h h a f h a f h )()2(lim 0+-+→
(C)
存在h h a f h a f h 2)()(lim
--+→(D)存在
h h a f a f h )
()(lim 0--→
三、计算题：（本题共3小题，每小题5分，共15分。）
1. 求不定积分?+-dx x x x
x sin 2cos 5sin 3cos 7
2. 计算定积分.
ln 1
?
e e
dx x
3．求微分方程x y y y 234 5 -=+'+''的通解.
四．解答题：（本题共6小题，共37分。）
1．（本题5分）求摆线???-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 在
2π
=
t 处的切线的方程. 2.（本题6分）求曲线
322
3
-+=x x x y 的渐进线.
3．（本题6分）求由曲线1=xy 及直线x y =,2=y 所围成图形面积。
4．（本题6分）证明：对任意实数x ，恒有.11≤-x
xe
5.（本题6分）设有盛满水的圆柱形蓄水池,深15米,半径20米,现将池水全部抽出,问需作
多少功?
6.（本题8分）设对任意实数.)(0)0(],1)([)(的极值求，且，
x f f x f x x f x =-'=-'
五．（本题8分）设函数)(x f 在闭区间[0,2]上连续，在开区间（0,2）内可导，且满足条件
0)21
()0(==f f ,?=1
21)
2()(2f dx x f
证明：0)()2,0(=''∈?ξξf 使得．
Ａ卷
2007—2008学年第一学期
《高等数学》（上）期末试卷
专业班级
姓名
学号
开课系室数学学院基础数学系
考试日期 2008年1月7日
说明：1本试卷正文共页。
2 封面及题目所在页背面及附页为草稿纸。
3 答案必须写在题后的横线上，计算题解题过程写在题下空白处，写在草稿纸上无效。
一、填空题(本题共6小题，每小题3分，共18分).
1. x x x 2sin )31ln(lim
0-→= .
2. 设函数)(arctan x f y =，其中)(x f 在),0(∞+内可导，则dy = .
3. 设0>a ，则?-dx
x a 2221
=____________. 4.
?
-+-21
2
111ln
dx
x x
=__________.
5. ?+π
42sin a a
xdx
= __________.
6. 微分方程 x y y sin 4=+''的通解是 .
二、选择题 (本题共4小题，每小题3分，共12分).
1．设)(x f 为可导的奇函数，且5)(0='x f ，则=-')(0x f （ ）.
(A) 5-； (B) 5； (C) 25； (D) 25
-
.
2. 设函数)(x f 在点0x 的某邻域有定义，则)(x f 在点0x 处可导的充要条件是
（ ）.
（A ）)(lim )(lim 00x f x f x x x x +-→→=； （B ）)()(lim 00x f x f x x '='→； （C ）)()(00x f x f +-'='； （D ）函数)(x f 在点0x 处连续. 3. 下图中三条曲线给出了三个函数的图形，一条是汽车的位移函数)(t s ，一条是汽车的速度函数)(t v ，一条是汽车的加速度函数)(t a ，则（ ）.
（A ） 曲线a 是)(t s 的图形，曲线b 是)(t v 的图形，曲线c 是)(t a 的图形；
（B ） 曲线b 是)(t s 的图形，曲线a 是)(t v 的图形，曲线c 是)(t a 的图形；
（C ） 曲线a 是)(t s 的图形，曲线c 是)(t v 的图形，曲线b 是)(t a 的图形；
（D ） 曲线c 是)(t s 的图形，曲线b 是)(t v 的图形，曲线a 是)(t a 的图形.
4. 设)(x f y =是),(b a 内的可导函数，1x 、)(212x x x <是),(b a 内任意两点，则( ).
（A ）))(()()(1212x x f x f x f -'=-ξ，其中ξ为),(21x x 内任意一点 ； （B ）至少存在一点),(21x x ∈ξ，使))(()()(1212x x f x f x f -'=-ξ；
（C ）恰有一点),(21x x ∈ξ，使))(()()(1212x x f x f x f -'=-ξ;
（D ）至少存在一点),(21x x ∈ξ，使))()(122
1x x f(ξdx x f x x -=?.
三、计算题（本题共4小题，每小题6分，共24分）.
.00
,
;
0,)1()( .111
的值处连续，求常数在设函数a x x a x e x x f x
x =?????????=≠?
??
??
??+=
2. 求极限
??? ??-+++∞→n n n n n n πππ)1(sin 2sin sin 1lim
.
3. 求定积分
?
-4
1
dx
x x . 4. 求广义积分 ?∞+-+22)7(1
dx
x x .
四、解答题（本题共4小题，每小题6分，共24分）. 1. 设函数)(x y y =是由方程 ??
=2
2
cos x y t tdt
dt e 所确定的函数，求dx dy
.
2．设函数
x x
x f sin 1sin 1)(+-=
，求)(x f 的原函数.
3．求微分方程x
e x y y sin cos -=+'的通解．
4．判断曲线3
35x x y -+=的凸性与拐点.
五、应用题（本题共3小题，每小题6分，共18分）.
1.曲线y x =，2
2y x -=及x 轴围成一平面图形,求此平面图形绕y 轴旋转而成的立体
的体积.
2.求曲线
241:x y L -=
位于第一象限部分的一条切线，使该切线与曲线L 以及两坐标轴所
围图形的面积最小.
3．有一半径为R 的半圆形薄板，垂直地沉入水中，直径在上，且水平置于距水面h 的地方，
求薄板一侧所受的水压力.
六、证明题（本题4分）.
证明方程12
1=++++--x x
x x n n n )4,3,2( =n 在)1,0(内必有唯一实根n x ， 并求n
n x ∞
→lim .
2008—2009学年第一学期
《高等数学》期末考试试卷
(理工科类)
专业班级
姓名
学号
开课系室数学学院基础数学系
考试日期 2009年1月5日
说明：1本试卷正文共6页。
2 封面及题目所在页背面及附页为草稿纸。
3 答案必须写在题后的横线上，计算题解题过程写在题下空白处，写在草稿纸上无效。
一、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分).
（1）
2
1
)(cos lim x
x x →=________________.
（2）曲线x x y ln =上与直线01=+-y x 平行的切线方程为_________________. （3）已知x
x
xe
e f -=')(，且0)1(=f , 则=)(x f _____________ .
（4）曲线
132
+=
x x y 的斜渐近线方程为 ______________. （5）微分方程5
2
2(1)1'-=++y y x x 的通解为___________________.
二、选择题 (本题共5小题，每小题4分，共20分).
（1）下列积分结果正确的是（ ）
(A) 01
11=?-dx x (B)
21
1
12-=?-dx x
(C)
+∞=?
∞+1
41
dx x (D)
+∞=?
∞+1
1
dx x
（2）函数)(x f 在],[b a 内有定义，其导数)('x f 的图形如图1-1所示，则（ ）. (A)21,x x 都是极值点.
(B) ()())(,,)(,2211x f x x f x 都是拐点. (C) 1x 是极值点.，())(,22x f x 是拐点. (D) ())(,11x f x 是拐点，2x 是极值点.
（3）函数212e e e x x x
y C C x -=++满足的一个微分方程是（ ）.
（A ）23e .x
y y y x '''--=
（B ）23e .x
y y y '''--=
（C ）
23e .x y y y x '''+-=
（D ）
23e .x
y y y '''+-= （4）设)(x f 在0x 处可导，则()()000lim
h f x f x h h →--为（ ）.
(A)
()0f x '. (B) ()0f x '-. (C) 0. (D)不存在 .
（5）下列等式中正确的结果是 （ ）
.
(A) (())().
f x dx f x '=?(B) ()().=?df x f x
(C)
[()]().d f x dx f x =?(D)
()().f x dx f x '=?
三、计算题（本题共4小题，每小题6分，共24分）.
1．求极限
)ln 11(
lim 1
x x x x --→.
2.方程???+==t t t y t x sin cos sin ln 确定y 为x 的函数，求dx dy 与2
2dx y d .
3.计算不定积分
. 4.计算定积分?++3
011dx x
x
.
四、解答题（本题共4小题，共29分）. 1．（本题6分）解微分方程256x
y y y xe
'''-+=.
2．（本题7分）一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，设桶的底半径为R ，水的密度为ρ，计算桶的一端面上所受的压力．
3. （本题8分）设()f x 在[,]a b 上有连续的导数，()()0f a f b ==，且2()1b
a f x dx =?，
试求
()()b
a
xf x f x dx
'?
.
4. （本题8分）过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.
求D 的面积A;
求D 绕直线e x =旋转一周所得旋转体的体积V.
五、证明题（本题共1小题，共7分）.
1.证明对于任意的实数x ，1x
e x ≥+.
答案
一、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分).
（1） 2
10)(cos lim x x x →=_____e 1
________.
（2）曲线x x y ln =上与直线01=+-y x 平行的切线方程为___1-=x y ______.
（3）已知x
x
xe e f -=')(，且0)1(=f , 则=)(x f ______=)(x f 2
)(ln 21
x _____ .
（4）曲线
132+=x x y 的斜渐近线方程为 _________.
91
31-=x y
（5）微分方程5
2
2(1)1'-=++y y x x 的通解为_________.
)1()1(32227+++=x C x y
二、选择题 (本题共5小题，每小题4分，共20分).
（1）下列积分结果正确的是（ D ）
(A) 01
11=?-dx x (B)
21
1
12-=?-dx x
(C)
+∞=?
∞+1
41
dx x (D)
+∞=?
∞+1
1
dx x
（2）函数)(x f 在],[b a 内有定义，其导数)('x f 的图形如图1-1所示，则（ D ）. (A)21,x x 都是极值点.
(B) ()())(,,)(,2211x f x x f x 都是拐点. (C) 1x 是极值点.，())(,22x f x 是拐点. (D) ())(,11x f x 是拐点，2x 是极值点. 图1-1
（3）函数212e e e x x x
y C C x -=++满足的一个微分方程是（ D ）.
（A ）23e .x
y y y x '''--= （B ）23e .x
y y y '''--= （C ）23e .x
y y y x '''+-=
（D ）23e .x
y y y '''+-=
（4）设)(x f 在0x 处可导，则()()
000lim
h f x f x h h →--为（ A ）
.
(A) ()0f x '. (B) ()0f x '-. (C) 0. (D)不存在 .
（5）下列等式中正确的结果是 （ A ）. (A) (())().
f x dx f x '=?(B) ()().=?df x f x
(C) [()]().d f x dx f x =?(D)
()().f x dx f x '=?
三、计算题（本题共4小题，每小题6分，共24分）.
1．求极限)ln 11(
lim 1
x x x x --→.
解 )ln 11(lim 1x x x x --→=
x x x x x x ln )1(1ln lim 1
-+-→-------1分 =
x x x x x ln 1
ln lim
1
+-→-------2分
=
x x x x
x x ln 1ln lim
1
+-→-------1分
= 21
1ln 1ln 1lim
1=
+++→x x x -------2分
2.方程???+==t t t y t x sin cos sin ln 确定y 为x 的函数，求dx dy 与2
2dx y d .
解 ,sin )()(t t t x t y dx dy =''=----------------------------（3分）
.sin tan sin )()sin (2
2t t t t t x t t dx y d +=''=---------------------（6分）
计算不定积分
.
2
22(1) =2arctan 2 =2d x C =----------+------+---------??分
分
（分
4.计算定积分?++3
011dx x
x
.
解 ??-+-=++303
0)11(11dx x x x dx x x ?+--=3
0)11(dx x --------- --------------- （3分）
35
)1(3233
23=
++-=x ----------------------------------------- ---------------------（6分）
（或令t x =+1）
四、解答题（本题共4小题，共29分）. 1．（本题6分）解微分方程256x
y y y xe
'''-+=.
2122312*20101*223212-56012,31.1()11
1.
21
(1)12
1
(1).12x x x x x x x r r r r e C e y x b x b e b b y x x e y e C e x x e +=----------==----------+-------=+-----------=-=-=-------------=+-+----解：特征方程分特征解.分 次方程的通解Y =C 分令分
代入解得，所以分
所以所求通解C 分
2．（本题7分）一个横放着的圆柱形水桶（如图4-1），桶内盛有半桶水，设桶的底半径为R ，水的比重为γ，计算桶的一端面上所受的压力．
解：建立坐标系如图
220
322203*********R
R
R
P g R x g R x g R ρρρρ=---------=--------=--------=----------------??
分
）分
[（）]分
分
3. （本题8分）设()f x 在[,]a b 上有连续的导数，()()0f a f b ==，且2()1
b a
f x dx =?
，
试求()()b a
xf x f x dx
'?
.
222()()()()21 ()221 =[()]()2211
=0222b
b a a
b
a
b b
a a
xf x f x dx xf x df x xdf x xf x f x dx '=-----=---------=----------????解：分分
分
分
4. （本题8分）过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.
求D 的面积A;
求D 绕直线e x =旋转一周所得旋转体的体积V.
解：(1) 设切点的横坐标为0x ，则曲线x y ln =在点)ln ,(00x x 处的切线方程是
).(1
ln 00
0x x x x y -+
=----1分
由该切线过原点知 01ln 0=-x ，从而.0e x =所以
该切线的方程为
.
1
x e y =
----1分
平面图形D 的面积
?-=
-=1
.121
)(e dy ey e A y ----2分
（2） 切线
x
e y 1=
与x 轴及直线e x =所围成的三角形绕直线e x =旋转所得的圆锥体积为
.
3121e V π=----2分
曲线x y ln =与x 轴及直线e x =所围成的图形绕直线e x =旋转所得的旋转体体积为 dy
e e V y 21
2)(?-=π， ----1分 因此所求旋转体的体积为
).
3125(6)(312102221+-=--=-=?e e dy e e e V V V y π
ππ----1分
五、证明题（本题共1小题，共7分）.
1.证明对于任意的实数x ，1x
e x ≥+.
解法一：2
112x
e e x x x
ξ=++≥+
解法二：设
() 1.x
f x e x =--则(0)0.f =------------------------1分 因为() 1.x
f x e '=-------------------------—————— 1分
当0x ≥时，()0.f x '≥()f x 单调增加，()(0)0.f x f ≥=------------------------2分 当0x ≤时，()0.f x '≤()f x 单调增加，()(0)0.f x f ≥=------------------------2分
所以对于任意的实数x ，()0.f x ≥即1x
e x ≥+。------------------------1分
解法三：由微分中值定理得，
01(0)x x e e e e x e x ξξ-=-=-=，其中ξ位于0到x 之间。------------------------2分
当0x ≥时，1e ξ>，1x
e x -≥。------------------------2分 当0x ≤时，1e ξ<，1x
e x -≥。------------------------2分 所以对于任意的实数x ，1x
e x ≥+。------------------------1分