2011年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学（理科）试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。 1．设函数2
,
0,()()4,0.
x x f x f x x α-≤?==?>?若,则实数α=
A ．-4或-2
B ．-4或2
C ．-2或4
D ．-2或2
2．把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位，若1,(1)z i z z =++?则= A ．3 B ．3 C ．1+3i D ．3
3．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是
4．下列命题中错误．．的是 A ．如果平面αβ⊥平面，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C ．如果平面αγ⊥平面，平面βγ⊥平面，=l αβ?，那么l γ⊥平面
D ．如果平面αβ⊥平面，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
5．设实数,x y 满足不等式组250
270,0x y x y x +-??
+-???
＞＞≥，y ≥0，若,x y 为整数，则34x y +的最小值是
A ．14
B ．16
C ．17
D ．19
6．若02
π
α＜＜
，02π
β-
＜＜，1cos()43πα+=，3cos()423πβ-=
，则cos()2
β
α+= A ．
3
3 B ．3
3
-
C ．
53
9
D ．69
-
7．若,a b 为实数，则“01m
ab ＜＜
”是1
1a b b a
＜或＞的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
8．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=＞＞与双曲线22
1:14
y C x -
=有公共的焦点，1C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则
A ．2132
a =
B ．213a =
C ．212
b =
D ．22b =
9．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架
的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率
A ．
1
5
B ．
2
5
C ．
35 D 45
10．设a ，b ，c 为实数，f （x ）=（）2
2
(),()(1)(1)x bx c g x ax ax bx ++=+++．记集合
()0,,()0,,x f x x R T x g x x R =∈==∈若S ，T 分别为集合元素S ，T 的元素个数，
则下列结论不可能．．．的是 A ．S =1且T =0 B ．1T =1S =且 C ．S =2且T =2
D ．
S =2且T =3
非选择题部分（共100分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分
11．若函数2
()f x x x a =-+为偶函数，则实数a = = 。 12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k 的值是 。 13．设二项式（
x
）6（a>0）的展开式中X 的系数为A,常数项为B ， 若4A ，则a 的值是 。
14．若平面向量α，β满足|α1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的
平行四边形的面积为
1
2
，则α与β的夹角θ的取值范围是 。 15．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到
甲公司面试的概率为
2
3
，得到乙丙公司面试的概率为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的。记X 为该毕业生得到面试得公司个数。若1
(0)12
P X ==，则随机变量X 的数学期望
()E X =
16．设,x y 为实数，若22
41,x y xy ++=则2x y +的最大值是 ．。
17．设12,F F 分别为椭圆2
213
x y +=的左、右焦点，点,A B 在椭圆上，若125F A F B =;则点A 的坐标是 ．
三、解答题;本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18．（本题满分14分）在ABC ?中，角..A B C 所对的边分别为．
已知()sin sin sin ,A C p B p R +=∈且2
14
ac b =． （Ⅰ）当5
,14
p b =
=时，求,a c 的值； （Ⅱ）若角B 为锐角，求p 的取值范围；
19．（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项1a 为a （a R ∈）,设数列的前n 项
和为n S ，且
11a ，21a ，4
1
a 成等比数列 （1）求数列{}n a 的通项公式及n S （2）记1231111...n n A S S S S =
++++，212221111...n
n B a a a a =++++，当2n ≥时，试比较n A 与n B 的大小．
20．（本题满分15分）
如图，在三棱锥P ABC -中，AB AC =，D 为的中点，⊥平面，垂足O 落在线段上，已知8，4，3，2 （Ⅰ）证明：⊥；
（Ⅱ）在线段上是否存在点M ，使得二面角为直二面角？若存在，求出的长；若不存在，请
说明理由。
21．（本题满分15分）
已知抛物线1C :3
x ＝y ，圆2C :2
2
(4)1x y +-=的圆心为点M
（Ⅰ）求点M 到抛物线1c 的准线的距离；
（Ⅱ）已知点P 是抛物线1c 上一点（异于原点），过点P 作圆2c 的两条切线，交抛物线1c 于A ，
B 两点，若过M ，P 两点的直线l 垂直于，求直线l 的方程
22．（本题满分14分）
设函数R a x a x x f ∈-=,ln )()(2
（I ）若)(x f y e x ==为的极值点，求实数a ；
（）求实数a 的取值范围，使得对任意的]3,0(e x ∈，恒有)4(2
e x
f ≤成立，注：e 为自然对
数的底数。
参考答案
一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分28分。 11．0 12．5 13．2 14．5[
,
]66ππ
15．5
3
16
．5 17．(0,1)± 三、解答题：本大题共5小题，共72分。
18．本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。
（I ）解：由题设并利用正弦定理，得5,4
1,4
a c ac ?+=????=??
解得1,1,41, 1.
4a a c c =??
=????
=??=??或 （）解：由余弦定理，2
2
2
2cos b a c ac B =+-
222222()22cos 11
cos ,2231
cos ,
22
a c ac ac B p
b b b B p B =+--=--=+即
因为2
30cos 1,(,2)2
B p <<∈得，
由题设知0,2
p p ><<所以
19．本题主要考查等差数列、等比数列、求和公式、不等式等基础知识，同时考查分类讨论思想。
满分14分。 （I ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由2214
111(
),a a a =? 得2
111()(3)a d a a d +=+
因为0d ≠，所以d a =所以1(1)
,.2
n n an n a na S +==
（）解：因为
1211()1
n S a n n =-+，所以 123
111
121(1)1
n n A S S S S a n =
++++
=-+ 因为1122n n a a --=，所以
2
1122211()11111212(1).1212
n n
n n
B a a a a a a --=
++++=?
=-- 当012
2,21n n n n n n n C C C C n ≥=+++
+>+时，
即1111,12
n n -
<-+ 所以，当0,;n n a A B ><时 当0,.n n a A B <>时
20．本题主要考查空是点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分。 方法一：
（I ）证明：如图，以O 为原点，以射线为z 轴的正半轴，
建立空间直角坐标系O —
则(0,0,0),(0,3,0),(4,2,0),(4,2,0),(0,0,4)O A B C P --，
(0,3,4),(8,0,0)AP BC ==-，由此可得0AP BC ?=，所以
AP BC ⊥，即.AP BC ⊥
（）解：设,1,(0,3,4)PM PA PM λλλ=≠=--则
BM BP PM BP PA λ=+=+ (4,2,4)(0,3,4)
(4,23,44)λλλ=--+--=----
(4,5,0),(8,0,0)AC BC =-=-
设平面的法向量1111(,,)n x y z =， 平面的法向量2n 222(,,)x y z =
由110,0,
BM n BC n ??=???=?? 得1111
4(23)(44)0,
80,x y x x λλ--++-=??
-=?
即11110,
23(0,1,
)2344,44x n z y λλλλ=?+?
=?+-=?-?
可取 由220,0.AP n AC n ??=???=??即2222340,
450,y z x y +=??-+=?
得22
2225,4(5,4,3).3,4
x y n z y ?
=??=-?
?=-??可取 由12230,430,44n n λ
λ
+?=-?=-得
解得2
5
λ=
，故3。 综上所述，存在点M 符合题意，3。 方法二：
（I ）证明：由，D 是的中点，得AD BC ⊥ 又PO ⊥平面，得.PO BC ⊥
因为PO AD O =，所以BC ⊥平面，
故.BC PA ⊥
（）解：如图，在平面内作BM PA ⊥于M ，连， 由（I ）中知AP BC ⊥，得AP ⊥平面， 又AP ?平面，所以平面⊥平面。
在222
,41,41.Rt ADB AB AD BD AB ?=+==
中得
在222
,Rt POD PD PO OD ?=+中， 在2
2
2
,,Rt PDB PB PD BD ?=+中
所以2
2
2
2
36,PB=6.PB PO OD DB =++=得 在2
2
2
Rt POA ,25, 5.PA AO OP PA ?=+==中得
又2221
cos ,23
PA PB AB BPA PA PB +-∠=
=?