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如东市2011届高三第一次数学模拟考试试卷

最新江苏省如东高级中学新高三高考热身练

数学

一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案直接填写在相应位置上. 1. sin 1740 的值等于 .

2. 对于命题p :R x ∈?,使得x 2

+ x +1 < 0.则p ?为:___ ______.

3. 函数y =

()2log 2y x a =+有相同的定义域,则a = .

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4.

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5. 一组数据的方差为2,将这组数据中每个扩大为原数的2倍,则所得新的一组数据的方差是 .

6. 已知△ABC 的三个顶点为A (3,3,2),B (4,-3,7),C (0,5,1),则BC 边上的中线长为 .

7.在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为

2,焦点到相应准线的距离为

1,则该椭圆的离心率为 .

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8.已知1sin()6

4

πα-=,则sin(2)6

π

α+= .

9.已知一个凸多面体共有9个面,所有棱长均为1,其平面展开图如右图所示,则

该凸多面体的体积为V= ;

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10.三角形ABC 中AP 为BC 3=,2-=?BC AP ,则= . 11.定义在),0(+∞上的函数)(x f 的导函数0)('

y x y x 222

2

+++的最小值是

12.在1,2,3,4,5五条线路的车停靠的同一个车站上,张老师等候1,3,4路车的到来,

按汽车经过该站的平均次数来说,2,3,4,5路车的次数是相等的,而1路车的次数是汽车各路车次数的总和,则首先到站的汽车是张老师所等候的汽车的概率

为 .

13.已知2sin cos 20a a θθ+-=,2sin cos 20()b b a b θθ+-=≠,对任意,a b R ∈,经过两点

22

(,),(,)a a b b 的 直线与一定圆相切,则圆方程为 .

14.对于数列{}n a ,定义数列{}n a ?满足: 1n n n a a a +=?-,(n *∈N ),定义数列2{}n a ?满足: 21n n n a a a +?=?-?,(n *∈N ),若数列2{}n a ?中各项均为1,且2120080a a ==,则

1a =__________.

二、解答题:本大题共6小题,共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 .已知复平面内平行四边形A B C D ,A 点对应的复数为

+,向量BA

对应的复数为

12i +,向量BC

对应的复数为3i -,求:

(Ⅰ)点,C D 对应的复数;(Ⅱ)平行四边形A B C D 的面积.

16.如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,∠BAC =90°,AB =AC ,BC 1∩B 1C =E ,F 是AC 的中点.

(Ⅰ)求证:EF ∥平面AB 1C 1;

(Ⅱ)设∠B 1AC 1=θ,且cos θ=2

3,试在棱AA 1上找一点M ,使得BM ⊥平面AB 1C .

17.如图,在矩形ABCD

中,1AB BC =

=,以A 为圆心1为半径的圆与AB 交于E (圆

C 1

B 1

A 1

C

F

E

B

A

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弧DE为

圆在矩形内的部分)

(Ⅰ)在圆弧DE上确定P点的位置,使过P的切线l平分矩形ABCD的面积;

(Ⅱ)若动圆M与满足题(Ⅰ)的切线l及边DC都相切,试确定M的位置,使圆M 为矩形内

部面积最大的圆.

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18.有一五边形ABCDE的地块(如图所示),其中CD,DE为围墙.其余各边界是不能动的一些体育

设施.现准备在此五边形内建一栋科技楼,使楼的底面为一矩形,且靠围墙的方向须留有5米宽

的空地.

(Ⅰ)请设计科技楼的长和宽,使科技楼的底面面积最大?

(Ⅱ)若这一块地皮价值为400万,现用来建每层为256平方米的楼房,楼房的总建筑面积(即

各层的面积之和)的每平方米平均建筑费用与建筑高度有关,楼房每升高一层,整栋楼房每平方

米的建筑费用增加25元.已知建筑5层楼房时,每平方米的建筑费用为500元.为了使该楼每平方

米的平均综合费用最低(综合费用是建筑费用与购地费用之和),问应把楼建成几层?

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19.根据如图所示的程序框图,将输出a ,b 的值依次分别记为a 1,a 2,…,a n ,…,a 2008;b 1,b 2,…,b n ,…,b 2008.

(Ⅰ)求数列 { a n } 的通项公式;

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(Ⅱ)写出b 1,b 2,b 3,b 4,由此猜想{ b n }的通项公式,并证明你的证明; (Ⅲ)在 a k 与 a k +1 中插入b k +1个3得到一个新数列 { c n } ,设数列 { c n }的前n 项和为S n ,问是否存在这样的正整数m ,使数列{ c n }的前m 项的和2008m S =,如果存在,求出m 的值,如果不存在,请说明理由.

20. 设函数

3

2

1() (a

f x ax bx cx =

++,其图像在点

(1,(1)),(,())A f B m f m 处的切线的斜率分别为0,a -.

(1)求证:01b a

<

(2)若函数()f x 的递增区间为[],s t ,求s t -的取值范围;

(3)若当x k ≥时(k 是与,,a b c 无关的常数),恒有()0f x a '+<,试求k 的最小值

附加题部分1.(矩阵与变换,满分10分)

已知矩阵

1

1

A

?

=?

-

?

a

b

?

?

?

,A的一个特征值2

λ=,其对应的特征向是是

1

2

1

α

??

=??

??

.

(1)求矩阵A;(2)若向量

7

4

β

??

=??

??

,计算5Aβ的值.

2.(极坐标与参数方程,满分10分) 已知直线l 的极坐标方程为sin()63

π

ρθ-

=,圆C 的参数方程为10cos 10sin x y θθ

=??

=?.

(1)化直线l 的方程为直角坐标方程; (2)化圆的方程为普通方程;

(3)求直线l 被圆截得的弦长.

3.(本小题满分10分)某电视台的一个智力游戏节目中,有一道将四本由不同作者所著的外国名著A 、B 、C 、D 与它们 的作者连线的题目,每本名著只能与一名作者连线,每名作者也只能与一本名著连线.每连对一

个得3分,连错得1-分,一名观众随意连线,他的得分记作ξ.

(Ⅰ)求该观众得分ξ为非负的概率; (Ⅱ)求ξ的分布列及数学期望.

4. (本小题满分10分)如图,四边形PCBM 是直角梯形,∠PCB =90°,PM ∥BC ,PM =1,BC =2,又AC =1,∠ACB =120°,AB ⊥PC ,直线AM 与直线PC 所成的角为60°.建立如图空间直角坐标系. (Ⅰ)求二面角B AC M --的大小的余弦值; (Ⅱ)求三棱锥MAC P -的体积.

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.

答案

一、填空题

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1.2

-

2.R x ∈?,均有x 2+ x +1≥0 3.2a =- 4.5

354321b b b b b b =????

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5.8 6.3 7.2

2 8.

78

9.16

+

10

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11.16 12.34

13.11

,42??

???

14.20070 二、解答题

15.解:(1)∵ 向量BA

对应的复数为12i +,向量BC 对应的复数为3i -,

∴ 向量A C

对应的复数为(12i +)-(3i -)=23i -.

又 OC OA AC =+

,∴点C 对应的复数为(2i +)+(23i -)=42i -.

又 BD BA BC =+ =(12i +)+(3i -)=4i +,2(12)1O B O A BA i i i =-=+-+=-

∴ 1(4)5O D O B B D i i =+=-++=

,∴点D 对应的复数为5.

(2) ∵

cos ,cos BA BC BA BC BA BC B B BA BC

=∴==

=

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, ∴

sin B =

,∴sin 7S BA BC B ==

=

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∴平行四边形A B C D 的面积为7.

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16.解:(Ⅰ)在△AB 1C 中,E ,F 分别是B 1C 和AC 的中点,则EF ∥AB 1,而EF ?平面AB 1C 1,AB 1?平面AB 1C 1,∴EF ∥平面AB 1C 1.

(Ⅱ)设三棱柱的侧棱AA 1=b ,AB =AC =a , 由∠BAC

=90°,可得BC = 2 a ,有题意可得AB 1=AC 1

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在△AB 1C 1

中,2

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2

2

2cos 3

b

a b

θ=

=

=

+,

∴222b a =,即b = 2 a .

当M 为AA 1的中点时,在矩形AA 1B 1B 中,易证得BM ⊥AB 1,

∵在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AC ⊥AB ,∴AC ⊥平面AA 1B 1B ,BM ?平面AA 1B 1B , ∴BM ⊥AC ,又AC ∩AB 1=A ,∴BM ⊥平面AB 1C .

17

.解(Ⅰ)以A 点为坐标原点,AB 所在直线为x 轴,建立直角坐标系.

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设P (x 0,y 0),B 0),D (0,1),圆弧DE 的方程x 2+y 2=1(0,0x y ≥≥) 切线l 的方程:x 0x +y 0y =1(可以推导). 设l 与AB 、CD 交于F 、G 可求F (

1,0x )

,G (0

1

,1y x -), l 平分矩形ABCD 面积,

∴0

000

1120y FB G N y x x -=?

=?+-=

……①

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又22

001x y +=……② 解①、②得:0011

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,)2222

x y P =

=

∴. (Ⅱ)由题(Ⅰ)可知:切线l 20y +-=, 当满足题意的圆M 面积最大时必与边BC 相切,设圆M 与直线l 、BC 、DC 分别切于R 、

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Q 、T ,则MR =MT =MQ =r (r 为圆M 的半径).

∴M ,1)r r

-

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1(),3

r r r =?=

=

舍.

M

C 1

B 1

A 1

C

F

E

B

A

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∴M 点坐标为3

3

18.解:(Ⅰ)由图建立如图所示的坐标系,可知AB 所在的直线方程为

x 20+y

20

=1,即 x +y =20,设G (x ,y ),由y =20-x 可知G (x ,20-x ).

S = (34-(20-x ))(23-5-x )=-x 2+4x +18·14=-(x -2)2

+256.

由此可知,当x =2时,S 有最大值256平方米.答:长宽均为16时面积最大.

(Ⅱ)设应把楼房建成x 层,则楼房的总面积为256x 平方米,每平方米的购地费为4000000÷(256x )元,每平方米的建筑费用为500+500(x -5)·5%元.

于是建房每平方米的综合费用为

y =500+500(x -5)·5%+4000000256x =375+25x +4000000256x ≥375+225·4000000

256

=375+2·5·2000

16 =375+1250=1625(元).

当25x =4000000256x ,即x 2=4000000256·25 ,x =2000

16·5

=25时,y 有最小值1125.

故为了使该楼每平方米的平均综合费用最低,学校应把楼房建成25层. 19.解:(Ⅰ)a 1=1,a n +1 =a n +1,∴{ a n }是公差为1的等差数列.∴a n =n . (Ⅱ)b 1=0,b 2=2,b 3=8,b 4=26,

猜想131n n b -=-.证明如下:b n +1 =3b n +2,b n +1+1=3(b n +1),

∴{ b n +1}是公比为3的等比数列.∴1111(1)33n n n b b --+=+=.则131n n b -=-. (Ⅲ)数列{}n c 中,k a 项(含k a )前的所有项的和是

1

2

1

(12)(333

)k k -+++++++ ()1332

2

k

k k +-=

+

估算知,当7k =时,其和是7

3328112020082

-+=<,当8k =时,其和是

8

3336331520082

-+

=>,又因为200811208882963-==?,是3的倍数,

故存在这样的m ,使得2008m S =,此时25

7(1333)296667m =++++++= .

20. (1)2

()2f x ax bx c '=++ ,由题意及导数的几何意义得(1)20f a b c '=++=①

2

()2f m am bm c a '=++=-② 又a b c <<,可得424a a b c c <++<,即404a c <<

,故0,0a c <>。

由①得2c a b =--,代入a b c <<,再由0a <,得113

b a

-

<

<③,将2c a b =--代入②

得2

220am bm b +-=即方程2

220ax bx b +-=有实根,故判别式2

480b ab ?=+≥,得

2()2()0b b a a +≥,得2,0.b b a a ≤-≥或④ 由③④得01b

a

≤<。 (2)由

2

()

2f x a x b x c '=++的判别式2

440

b a

c '?=->知方程

2

(

)

2

0f x a x b x c '=++=(*)有两个不等实根,设为12,x x ,又由(1)20f a b c '=++=知

11x =为方程(*)的一个实根,则有根与系数的关系得12

2122,10b b x x

x x a a

+=-=-

-<<,当21x x x x <>或时,()0f x '<,当21x x x <<时,

()0f x '>,故函数()f x 的递增区间为21[,]x x ,由题设知21[,][,]x x s t =,由此122||||2b s t x x a

-=-=+

,由(1)知01b a

<得||s t -的取值范围为[2,4)。

(3)由()0f x a '+<,即220ax bx a c +++<即2220ax bx b +-<,因为0a <,得

2

220b b

x x a a +

-

>,整理得2(22)0b x x a -+> ,设2

()(22)b b g x x a a

=-+ ,可以看作是关于b a

的一次函数,由题意得()0b

g a

>对于01b a

<恒成立。

故(1)0(0)0g g ≥??>?即2

2

220

x x x ?+-≥??>??

得1x ≤

或1x ≥

-,

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由题意[,)(,1)1,)k +∞?-∞-+∞

,故1k ≥

,因此k

1。

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附加题答案

1.解: (1)

1

1A ?=?-?

24?

??

; ---------------------------------------------------------4分

(2)矩阵A 的特征多项式为1

()1

f λλ-=

2

4

λ--2

560

λλ=-+=, 得122,3λλ==, -----------------------------------------------------------------------5分 当1122,1

λα??

==????时 ,当2213,1λα??==????

时得. ----------------------------------------6分

由12m n βαα=+,得273,14

m n m n m n +=?==?

+=?得. -------------------------------------7分

∴5A β5551212(3)3()A A A αααα=+=+

555

51122214353()3231

1339λαλα????

??=+=?+=??

??????????

.--------------------10分

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2

2

131sin 3

2

3

12

1204210073610

16

10y y x y d r πρθρθθ-

∴-

=-+=+===∴ .解:()由sin(-

)=6得:(

)=6------------2分

即-----------------------分()------------------------------------ 分()且弦长等于------------------------分

3解: (Ⅰ)ξ的可能取值为4,0,4,12-.

(12)P ξ=44

1124

A

==

,(4)P ξ=2

444

14

C A

=

=

,(0)P ξ=1

444

213

C A

?=

=

该同学得分非负的概率为(12)(4)(0)P P P ξξξ=+=+==

1524

(Ⅱ)(4)P ξ=-44

33924

A

?==

ξ的分布列为:

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数学期望9

1

1

4412024424

E ξ=-?

+?

+?

=

4解:(Ⅰ)在平面ABC 内,过C 作C D C B ⊥,建立空间直角坐标系C xyz -(如图)

由题意有1,02

2

A ?-??

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??

,设()()000,0,0P z z >, 则()()00010,1,,,,0,0,22M z AM z C P z ?=-=????

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,

由直线A M 与直线P C 所成的解为060,得

cos 60AM C P AM C P ?=?? ,即200z z =

,解得0

1z =,

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∴()1

0,0,1,,022C M C A ??==- ? ??? ,设平面M A C 的一个法向量为{}111,,n x y z =

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则111101

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022

y z y z +=?

?

?-=?

?,取11x =,得{n = , 平面ABC 的法向量取为()0,0,1m =

,

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设m 与n 所成的角为θ,则cos m n m n

θ?==?

,

显然,二面角M AC B --的平面角为锐角,

故二面角M AC B --7

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,

(Ⅱ)取平面P C M 的法向量取为()11,0,0n =

,则点A 到平面P C M 的距离

1

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1

2C A n h n ?==

,

∵1,1PC PM ==

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,∴11111326212

P M AC A PCM V V PC PM h --===???=???=

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