最新江苏省如东高级中学新高三高考热身练

数学

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在相应位置上． 1. sin 1740 的值等于 .

2. 对于命题p ：R x ∈?，使得x 2

+ x +1 < 0．则p ?为：___ ______．

3. 函数y =

()2log 2y x a =+有相同的定义域，则a = .

4.

5. 一组数据的方差为2，将这组数据中每个扩大为原数的2倍，则所得新的一组数据的方差是 ．

6. 已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为 ．

7．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为

2，焦点到相应准线的距离为

1，则该椭圆的离心率为 ．

8．已知1sin()6

4

πα-=，则sin(2)6

π

α+= ．

9．已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如右图所示，则

该凸多面体的体积为V= ；

10．三角形ABC 中AP 为BC 3=，2-=?BC AP ，则＝ ． 11．定义在),0(+∞上的函数)(x f 的导函数0)('

y x y x 222

2

+++的最小值是

12．在1，2，3，4，5五条线路的车停靠的同一个车站上，张老师等候1，3，4路车的到来，

按汽车经过该站的平均次数来说，2，3，4，5路车的次数是相等的，而1路车的次数是汽车各路车次数的总和，则首先到站的汽车是张老师所等候的汽车的概率

为 ．

13．已知2sin cos 20a a θθ+-=，2sin cos 20()b b a b θθ+-=≠，对任意,a b R ∈，经过两点

22

(,),(,)a a b b 的 直线与一定圆相切，则圆方程为 ．

14．对于数列{}n a ，定义数列{}n a ?满足： 1n n n a a a +=?-，（n *∈N ），定义数列2{}n a ?满足： 21n n n a a a +?=?-?，（n *∈N ），若数列2{}n a ?中各项均为1，且2120080a a ==，则

1a =__________．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15 ．已知复平面内平行四边形A B C D ，A 点对应的复数为

+，向量BA

对应的复数为

12i +，向量BC

对应的复数为3i -，求：

（Ⅰ）点,C D 对应的复数；（Ⅱ）平行四边形A B C D 的面积．

16．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，BC 1∩B 1C ＝E ，F 是AC 的中点．

（Ⅰ）求证：EF ∥平面AB 1C 1；

（Ⅱ）设∠B 1AC 1＝θ，且cos θ＝2

3，试在棱AA 1上找一点M ，使得BM ⊥平面AB 1C ．

17．如图，在矩形ABCD

中，1AB BC =

=，以A 为圆心1为半径的圆与AB 交于E （圆

C 1

B 1

A 1

C

F

E

B

A

弧DE为

圆在矩形内的部分）

（Ⅰ）在圆弧DE上确定P点的位置，使过P的切线l平分矩形ABCD的面积；

（Ⅱ）若动圆M与满足题（Ⅰ）的切线l及边DC都相切，试确定M的位置，使圆M 为矩形内

部面积最大的圆．

18．有一五边形ABCDE的地块（如图所示），其中CD，DE为围墙.其余各边界是不能动的一些体育

设施．现准备在此五边形内建一栋科技楼，使楼的底面为一矩形，且靠围墙的方向须留有5米宽

的空地.

（Ⅰ）请设计科技楼的长和宽，使科技楼的底面面积最大？

（Ⅱ）若这一块地皮价值为400万，现用来建每层为256平方米的楼房，楼房的总建筑面积（即

各层的面积之和）的每平方米平均建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整栋楼房每平方

米的建筑费用增加25元.已知建筑5层楼房时，每平方米的建筑费用为500元.为了使该楼每平方

米的平均综合费用最低（综合费用是建筑费用与购地费用之和），问应把楼建成几层?

19．根据如图所示的程序框图，将输出a ，b 的值依次分别记为a 1，a 2，…，a n ，…，a 2008；b 1，b 2，…，b n ，…，b 2008．

（Ⅰ）求数列 { a n } 的通项公式；

（Ⅱ）写出b 1，b 2，b 3，b 4，由此猜想{ b n }的通项公式，并证明你的证明； （Ⅲ）在 a k 与 a k ＋1 中插入b k ＋1个3得到一个新数列 { c n } ，设数列 { c n }的前n 项和为S n ，问是否存在这样的正整数m ，使数列{ c n }的前m 项的和2008m S =，如果存在，求出m 的值，如果不存在，请说明理由．

20． 设函数

3

2

1() (a

f x ax bx cx =

++，其图像在点

(1,(1)),(,())A f B m f m 处的切线的斜率分别为0，a -．

（1）求证：01b a

≤

<

（2）若函数()f x 的递增区间为[],s t ，求s t -的取值范围；

（3）若当x k ≥时（k 是与,,a b c 无关的常数），恒有()0f x a '+<，试求k 的最小值

附加题部分1．（矩阵与变换，满分10分）

已知矩阵

1

1

A

?

=?

-

?

a

b

?

?

?

,A的一个特征值2

λ=，其对应的特征向是是

1

2

1

α

??

=??

??

.

（1）求矩阵A；（2）若向量

7

4

β

??

=??

??

，计算5Aβ的值.

2．(极坐标与参数方程，满分10分) 已知直线l 的极坐标方程为sin()63

π

ρθ-

=，圆C 的参数方程为10cos 10sin x y θθ

=??

=?．

（1）化直线l 的方程为直角坐标方程； （2）化圆的方程为普通方程；

（3）求直线l 被圆截得的弦长．

3．(本小题满分10分)某电视台的一个智力游戏节目中，有一道将四本由不同作者所著的外国名著A 、B 、C 、D 与它们 的作者连线的题目，每本名著只能与一名作者连线，每名作者也只能与一本名著连线．每连对一

个得3分，连错得1-分，一名观众随意连线，他的得分记作ξ．

（Ⅰ）求该观众得分ξ为非负的概率； （Ⅱ）求ξ的分布列及数学期望．

4. (本小题满分10分)如图，四边形PCBM 是直角梯形，∠PCB ＝90°，PM ∥BC ，PM ＝1，BC ＝2，又AC ＝1，∠ACB ＝120°，AB ⊥PC ，直线AM 与直线PC 所成的角为60°.建立如图空间直角坐标系． （Ⅰ）求二面角B AC M --的大小的余弦值； （Ⅱ）求三棱锥MAC P -的体积．

.

答案

一、填空题

1．2

-

2．R x ∈?，均有x 2+ x +1≥0 3．2a =- 4．5

354321b b b b b b =????

5．8 6．3 7．2

2 8．

78

9．16

+

10

11．16 12．34

13．11

,42??

???

14．20070 二、解答题

15．解：（1）∵ 向量BA

对应的复数为12i +，向量BC 对应的复数为3i -，

∴ 向量A C

对应的复数为（12i +）-（3i -）=23i -．

又 OC OA AC =+

，∴点C 对应的复数为（2i +）+（23i -）=42i -．

又 BD BA BC =+ =（12i +）+（3i -）=4i +，2(12)1O B O A BA i i i =-=+-+=-

，

∴ 1(4)5O D O B B D i i =+=-++=

，∴点D 对应的复数为5．

（2） ∵

cos ,cos BA BC BA BC BA BC B B BA BC

=∴==

=

， ∴

sin B =

，∴sin 7S BA BC B ==

=

．

∴平行四边形A B C D 的面积为7．

16．解：（Ⅰ）在△AB 1C 中，E ，F 分别是B 1C 和AC 的中点，则EF ∥AB 1，而EF ?平面AB 1C 1，AB 1?平面AB 1C 1，∴EF ∥平面AB 1C 1．

（Ⅱ）设三棱柱的侧棱AA 1＝b ，AB ＝AC ＝a ， 由∠BAC

＝90°，可得BC ＝ 2 a ，有题意可得AB 1＝AC 1

在△AB 1C 1

中，2

2

2

2cos 3

b

a b

θ=

=

=

+，

∴222b a =，即b ＝ 2 a ．

当M 为AA 1的中点时，在矩形AA 1B 1B 中，易证得BM ⊥AB 1，

∵在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥AB ，∴AC ⊥平面AA 1B 1B ，BM ?平面AA 1B 1B ， ∴BM ⊥AC ，又AC ∩AB 1＝A ，∴BM ⊥平面AB 1C ．

17

．解（Ⅰ）以A 点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系．

设P （x 0，y 0），B 0），D （0,1），圆弧DE 的方程x 2＋y 2＝1（0,0x y ≥≥） 切线l 的方程：x 0x ＋y 0y ＝1（可以推导）． 设l 与AB 、CD 交于F 、G 可求F （

1,0x ）

，G （0

1

,1y x -）， l 平分矩形ABCD 面积，

∴0

000

1120y FB G N y x x -=?

=?+-=

……①

又22

001x y +=……② 解①、②得：0011

,)2222

x y P =

=

∴． （Ⅱ）由题（Ⅰ）可知：切线l 20y +-=， 当满足题意的圆M 面积最大时必与边BC 相切，设圆M 与直线l 、BC 、DC 分别切于R 、

Q 、T ，则MR =MT =MQ =r （r 为圆M 的半径）．

∴M ,1)r r

-

1(),3

r r r =?=

=

舍．

M

C 1

B 1

A 1

C

F

E

B

A

∴M 点坐标为3

3

．

18．解：（Ⅰ）由图建立如图所示的坐标系，可知AB 所在的直线方程为

x 20＋y

20

＝1，即 x ＋y ＝20，设G (x ，y )，由y ＝20－x 可知G (x ，20－x )．

S ＝ (34-（20-x ）)(23-5－x )＝－x 2＋4x ＋18·14＝－(x －2)2

＋256．

由此可知，当x ＝2时，S 有最大值256平方米．答：长宽均为16时面积最大.

（Ⅱ）设应把楼房建成x 层，则楼房的总面积为256x 平方米，每平方米的购地费为4000000÷(256x )元，每平方米的建筑费用为500＋500(x －5)·5%元．

于是建房每平方米的综合费用为

y ＝500＋500(x －5)·5%＋4000000256x ＝375＋25x ＋4000000256x ≥375＋225·4000000

256

＝375＋2·5·2000

16 ＝375＋1250＝1625（元）.

当25x ＝4000000256x ，即x 2＝4000000256·25 ，x ＝2000

16·5

＝25时，y 有最小值1125．

故为了使该楼每平方米的平均综合费用最低，学校应把楼房建成25层． 19．解：（Ⅰ）a 1＝1，a n ＋1 ＝a n ＋1，∴{ a n }是公差为1的等差数列．∴a n ＝n ． （Ⅱ）b 1＝0，b 2＝2，b 3＝8，b 4＝26，

猜想131n n b -=-．证明如下：b n ＋1 ＝3b n ＋2，b n ＋1＋1＝3（b n ＋1），

∴{ b n ＋1}是公比为3的等比数列．∴1111(1)33n n n b b --+=+=．则131n n b -=-． （Ⅲ）数列{}n c 中，k a 项（含k a ）前的所有项的和是

1

2

1

(12)(333

)k k -+++++++ ()1332

2

k

k k +-=

+

，

估算知，当7k =时，其和是7

3328112020082

-+=<，当8k =时，其和是

8

3336331520082

-+

=>，又因为200811208882963-==?，是3的倍数，

故存在这样的m ，使得2008m S =，此时25

7(1333)296667m =++++++= ．

20． （1）2

()2f x ax bx c '=++ ，由题意及导数的几何意义得(1)20f a b c '=++=①

2

()2f m am bm c a '=++=-② 又a b c <<，可得424a a b c c <++<，即404a c <<

，故0,0a c <>。

由①得2c a b =--，代入a b c <<，再由0a <，得113

b a

-

<

<③，将2c a b =--代入②

得2

220am bm b +-=即方程2

220ax bx b +-=有实根，故判别式2

480b ab ?=+≥，得

2()2()0b b a a +≥，得2,0.b b a a ≤-≥或④ 由③④得01b

a

≤<。 （2）由

2

()

2f x a x b x c '=++的判别式2

440

b a

c '?=->知方程

2

(

)

2

0f x a x b x c '=++=（*）有两个不等实根，设为12,x x ，又由(1)20f a b c '=++=知

11x =为方程（*）的一个实根，则有根与系数的关系得12

2122,10b b x x

x x a a

+=-=-

-<<，当21x x x x <>或时，()0f x '<，当21x x x <<时，

()0f x '>，故函数()f x 的递增区间为21[,]x x ，由题设知21[,][,]x x s t =，由此122||||2b s t x x a

-=-=+

，由（1）知01b a

≤

<得||s t -的取值范围为[2,4)。

（3）由()0f x a '+<，即220ax bx a c +++<即2220ax bx b +-<，因为0a <，得

2

220b b

x x a a +

-

>，整理得2(22)0b x x a -+> ，设2

()(22)b b g x x a a

=-+ ，可以看作是关于b a

的一次函数，由题意得()0b

g a

>对于01b a

≤

<恒成立。

故(1)0(0)0g g ≥??>?即2

2

220

x x x ?+-≥??>??

得1x ≤

或1x ≥

-，

由题意[,)(,1)1,)k +∞?-∞-+∞

，故1k ≥

，因此k

1。

附加题答案

1．解： (1)

1

1A ?=?-?

24?

??

； ---------------------------------------------------------4分

(2)矩阵A 的特征多项式为1

()1

f λλ-=

2

4

λ--2

560

λλ=-+=， 得122,3λλ==, -----------------------------------------------------------------------5分 当1122,1

λα??

==????时 ,当2213,1λα??==????

时得． ----------------------------------------6分

由12m n βαα=+，得273,14

m n m n m n +=?==?

+=?得． -------------------------------------7分

∴5A β5551212(3)3()A A A αααα=+=+

555

51122214353()3231

1339λαλα????

??=+=?+=??

??????????

．--------------------10分

2

2

131sin 3

2

3

12

1204210073610

16

10y y x y d r πρθρθθ-

∴-

=-+=+===∴ ．解：（）由sin(-

)=6得:(

)=6------------2分

即-----------------------分（）------------------------------------ 分（）且弦长等于------------------------分

3解: （Ⅰ）ξ的可能取值为4,0,4,12-．

(12)P ξ=44

1124

A

==

，(4)P ξ=2

444

14

C A

=

=

，(0)P ξ=1

444

213

C A

?=

=

．

该同学得分非负的概率为(12)(4)(0)P P P ξξξ=+=+==

1524

．

（Ⅱ）(4)P ξ=-44

33924

A

?==

．

ξ的分布列为:

数学期望9

1

1

4412024424

E ξ=-?

+?

+?

=

4解：（Ⅰ）在平面ABC 内，过C 作C D C B ⊥，建立空间直角坐标系C xyz -（如图）

由题意有1,02

2

A ?-??

??

，设()()000,0,0P z z >， 则()()00010,1,,,,0,0,22M z AM z C P z ?=-=????

,

由直线A M 与直线P C 所成的解为060，得

cos 60AM C P AM C P ?=?? ，即200z z =

，解得0

1z =,

∴()1

0,0,1,,022C M C A ??==- ? ??? ，设平面M A C 的一个法向量为{}111,,n x y z =

，

则111101

022

y z y z +=?

?

?-=?

?，取11x =，得{n = , 平面ABC 的法向量取为()0,0,1m =

,

设m 与n 所成的角为θ，则cos m n m n

θ?==?

,

显然，二面角M AC B --的平面角为锐角，

故二面角M AC B --7

,

（Ⅱ）取平面P C M 的法向量取为()11,0,0n =

，则点A 到平面P C M 的距离

1

1

2C A n h n ?==

,

∵1,1PC PM ==

，∴11111326212

P M AC A PCM V V PC PM h --===???=???=