如东市2011届高三第一次数学模拟考试试卷

江苏省南通市2011届高三第一次调研测试数学试卷一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．． 1．已知集合M={－1，1}，{|124}x N x =≤≤，则M N = ．2．已知射手甲射击一次，命中9环以上（含9环）的概率为0.5，命中8环的概率为0.2，命中7环的概率为0.1，则甲射击一次，命中6环以下（含6环）的概率为 ． 3．设(12i)34i z +=-（i 为虚数单位），则||z = ． 4．根据右图的算法，输出的结果是 ．5．某校对全校1200名男女学生进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生抽了85人，则该校的男生数应是 人．6．若“2230x x -->”是“x a <”的必要不充分条件，则a 的最大值为 ． 7．设a ，b 为空间的两条直线，α，β为空间的两个平面，给出下列命题： （1）若a ∥α，a ∥β，则α∥β； （2）若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β； （3）若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ； （4）若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b ． 上述命题中，所有真命题的序号是 ．8．双曲线221412x y -=上一点M 到它的右焦点的距离是3，则点M 的横坐标是 ．9．函数()()sin f x x x x ωω=∈R ，又()2f α=-，()0f β=，且αβ-的最小值等于π2，则正数ω的值为 ．10．若圆C ：22()(1)1x h y -+-=在不等式10x y ++≥所表示的平面区域内，则h 的最小值为 ． 11．在平面直角坐标系xOy 中，已知A （0，－1），B （－3，－4）两点，若点C 在AOB ∠的平分线上，且OC =C 的坐标是 ．12．已知函数3221()(21)13f x x x a x a a =++-+-+，若()0f x '=在（1，3]上有解，则实数a 的取值范围为 ．13．已知21(),()()2x f x x g x m ==-，若对[]11,3x ∀∈-，[]20,2x ∃∈，12()()f x g x ≥，则实数m 的取值范围是 ．14，则该三角形的面积的最大值是 ．For from 1 to 10End for Print EndS I S S I S ←←+（第4题）二．解答题：本大题共6小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知向量a ，b 满足|a |=2，|b |=1，|a －b |=2． （1）求a·b 的值； （2）求|a +b |的值． 16．（本题满分14分）如图，已知□ABCD ，直线BC ⊥平面ABE ，F 为CE 的中点． （1）求证：直线AE ∥平面BDF ；（2）若90AEB ∠= ，求证：平面BDF ⊥平面BCE ． 17．（本题满分15分）如图，某市准备在道路EF 的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC ，该曲线段是函数2πsin()3y A x ω=+()0,0A ω>>，[]4,0x ∈-时的图象，且图象的最高点为B （－1，2）。

江苏某重点中学2011年高三摸底试卷数学[内部资料]2010.07一、选择题（本大题共12小题，，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，选出一个符合题目要求的选项）1．已知全集=⋃≤=≤==)(},12|{},0lg |{,B A C x B x x A R U U x 则集合 （ ）A ．)1,(-∞B ．),1(+∞C ．]1,(-∞D ．),1[+∞2．已知抛物线x y 82=的焦点与双曲线1222=-y ax 的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为（ ）A ．5154 B ．332 C ．3D ．33．已知关于x 的二项式n xax )(3+展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a 的值为（ ）A ．1B ．1±C ．2D ．2± 4．若)232cos(,31)6sin(απαπ+=-则的值为（ ）A ．31 B ．31-C ．97 D ．97-5．已知数列n a a a a n n n +==+11,1,}{中，若利用如图所示的种序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是（ ）A ．?8≤nB ．?9≤nC ．?10≤nD ．?11≤n6．若直线032:1:22=--++=x y x C kx y l 被圆截得的弦最短，则直线l 的方程是（ ） A ．0=x B ．1=yC ．01=-+y xD ．01=+-y x7．设函数,))((为奇函数R x x f ∈=+=+=)5(),2()()2(,21)1(f f x f x f f 则 （ ）A ．0B ．1C ．25 D ．58．已知函数))()(()(b a b x a x x f >--=其中的图像如图所示，则函数x x b a x g +=)(的图像是 （ ）9．已知直线βαβα⊂⊥m l m l ,,,,,且平面，给出下列四个命题 ①若m l ⊥则,//βα；②若βα//,则m l ⊥；③若m l //,则βα⊥；④若βα⊥则,//m l 其中正确命题的个数是 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．310．已知y x z c y x y x x y x +=⎪⎩⎪⎨⎧≥++-≤+≥302,42,且目标函数满足的最小值是5，则z 的最大值是 （ ）A ．10B ．12C ．14D ．1511．已知函数a axxx x f 其中,1ln )(-+=为大于零的常数，若函数),1[)(+∞在区间x f 内调递增，则a 的取值范围是A ．(,1]-∞B ．(,1]-∞-C ．[1,)+∞D ．[1,)-+∞12．将1，2，3，…，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法数为 （ ） A ．6种 B ．12种C ．18种D ．24种二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知=≤≤-=-≤≤--)13(,4.0)13(),,1(~2x P X P N X 则若σ ．14．在R 上定义运算1)()(,1(:<+⊗--=⊗⊗a x a x y x y x 若不等式对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围是 ．15．在区间[1，4]上任取实数a ，在区间[0，3]上任取实数b ，使函数b x ax x f ++=2)(有两个相异零点的概率是 ．3eud 教育网 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！3eud 教育网 教学资源集散地。

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数2(1)(1)i z a a =-+-（i 为虚数单位，1a >），则z 在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知直线22+=mx ny ()0,0m n >>过圆()()22125x y -+-=的圆心，则11m n+的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．已知复数1cos23sin 23z i =+和复数2cos37sin37z i =+，则12z z ⋅为 A ．1322i - B ．3122i + C ．1322i + D ．3122i - 4．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且//AB CD ，若正方体的六个面所在的平面与直线CE EF ，相交的平面个数分别记为m n ，，则下列结论正确的是（ ）A ．m n =B ．2m n =+C ．m n <D ．8m n +<5．在复平面内，复数21(1)ii +-对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．已知等差数列{}n a 的前13项和为52，则68(2)a a +-=（ ）A ．256B ．-256C ．32D ．-327．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数（即质数）的和”，如16511=+，30723=+．在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是（ ） A ．114B ．112C ．328D ．以上都不对8．某个小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的用水量(单位：m 3)的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15 m 3的住户的户数为( )A ．10B ．50C ．60D ．1409．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且43a =-，1224S =，若0+=i j a a （*,i j ∈N ，且1i j ≤<），则i 的取值集合是（ ） A ．{}1,2,3B ．{}6,7,8C ．{}1,2,3,4,5D ．{}6,7,8,9,1010．下列命题中，真命题的个数为（ ） ①命题“若1122a b <++，则a b >”的否命题； ②命题“若21x y +>，则0x >或0y >”；③命题“若2m =，则直线0x my -=与直线2410x y -+=平行”的逆命题. A ．0 B ．1C ．2D ．311．设全集U=R ，集合()2log 41{|}A x x =-≤，()()35{|}0B x x x =-->，则()U B A =（ ）A ．[2]5，B ．[2]3，C ．[)24，D ．[)34，12．已知向量(1,0)a =，(1,3)b =，则与2a b -共线的单位向量为( )A ．13,2⎛ ⎝⎭B ．132⎛- ⎝⎭C ．3221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或3,221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D ．13,22⎛- ⎝⎭或132⎛- ⎝⎭ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高三数学考前模拟练习（密卷）I 卷（文理科必做）（满分 160分 时间 120分钟）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1. 已知z 和iz -+12都是纯虚数,那么=z ． 2．设全集U ＝{1，3，5，7}，集合M ＝{1，a －5}，M ⊆U ，U M ＝{5，7}，则实数a ＝ ． 3．某工厂生产了某种产品3000件，它们来自甲、乙、丙三条生产线．为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样．若从甲、乙、丙三条生产线抽取的个数分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 构成等差数列，则乙生产线生产了 件产品．4．若()f x ＝sin()4a x π+＋3sin()4x π-是偶函数，则实数a ＝ ． 5．从分别写有0，1，2，3，4五张卡片中取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片．两次取出的卡片上的数字之和恰好等于4的概率是 ．6．如右图，函数y ＝()f x 的图象在点P 处的切线方程，y ＝－x ＋5，在(3)f －/(3)f ＝ ．7．定义某种新运算⊗：S ＝a ⊗b 的运算原理如右边流程图所示，则5⊗4－3⊗6＝ ．8．如图，四边形ABCD 中，若AC ＝3，BD ＝1，则AB DC AC BD ⋅(+)(+)＝ ．9．有三个球和一个正方体，第一个球与正方体的各个面相切，第二个球与正方体的各条棱相切，第三个球过正方体的各个顶点，则这三个球的表面积之比为 ． 10．若A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，则4A＋1B C +的最小值为 ．11．双曲线2222x y a b-＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别是1F ，2F ，过1F 作倾斜角30︒的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率e ＝ ．12．设)(x f 是R 上的奇函数，)(x g 是R 上的偶函数，若函数)()(x g x f +的值域为)3,1[，则)()(x g x f -的值域为 ．13．已知函数()f x ＝3x ＋2(1)a x -＋3x ＋b 的图象与x 轴有三个不同交点，且交点的横坐标分别可作为抛物线、双曲线、椭圆的离心率，则实数a 的取值范围是 ． 14. 对正整数n ，设曲线)1(x x y n-=在2=x 处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ， 则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+1n a n 的前n 项和=n S ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且A ，B，C 成等差数列．（1）若AB BC ⋅＝32-，b ，求a ＋c 的值；（2）求2sin sin A C -的取值范围．16.（本小题满分14分）如图，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ＝2，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ．（1）求证：AE ⊥BE ；（2）求三棱锥D －AEC 的体积；（3）设M 在线段AB 上，且满足AM ＝2MB ，试在线段CE 上确定一点N ，使得MN ∥平面DAE.17．（满分14分）本题有2小题，第1小题6分，第2某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为a 元（62≤≤a ）的管理费，预计当每件产品的销售价为x 元（97≤≤x ）时，一年的销售量为)12(x -万件．（1）求该分公司一年的利润L （万元）与每件产品的售价x 的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，该分公司一年的利润L 最大，并求L 的最大值)(a Q ．18．（本小题满分16分）已知圆C 过点P (1，1)，且与圆M ：2(2)x +＋2(2)y +＝2r (r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．（1）求圆C 的方程；（2）设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ MQ ⋅的最小值；（3）过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A ，B ，且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．19．（本小题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足n S ＝2－n a ，n ＝1，2，3，…． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足1b ＝1，且1n b +＝n b ＋n a ，求数列{}n b 的通项公式； （3）设n c ＝n (3－n b )，求数列{}n c 的前n 项和为n T ．20．（本小题满分16分）已知二次函数g （x ）对任意实数x 都满足()()21121g x g x x x -+-=--，且()11g =-．令()19()ln (,0)28f xg x m x m x =+++∈>R ．（1）求 g (x )的表达式；（2）若0x ∃>使()0f x ≤成立，求实数m 的取值范围；（3）设1e m <≤，()()(1)H x f x m x =-+，证明:对12[1]x x m ∀∈，，，恒有12|()()| 1.H x H x -<高三数学考前模拟练习（密卷） II 卷（满分：40分 时间：30分钟）一、选做题：本大题共4小题，请从A 、B 、C 、D 这4题中选做2小题，如果多做，则按所做的前两题记分．每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21．B （4-2矩阵与变换，本题满分10分）已知矩阵A 将点(1,0)变换为(2,3)，且属于特征值3的一个特征向量是11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵A ．21．C （4-2极坐标与参数方程，本题满分10分）椭圆中心在原点，离心率为12，点(,)P x y 是椭圆上的点，若2x -的最大值为10，求椭圆的标准方程．二、必答题：本大题共2小题，共20分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明步骤或演算步骤．22． 如图，已知三棱锥O －ABC 的侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA =1，OB =OC =2，E 是OC 的中点．（1）求异面直线BE 与A C 所成角的余弦值；（2）求二面角A －BE －C 的余弦值．23．（本题满分10分）已知1(1)2nx +展开式的各项依次记为1231(),(),(),(),()n n a x a x a x a x a x +．设1231()()2()3(),()(1)()n n F x a x a x a x na x n a x +=+++++．（Ⅰ）若123(),(),()a x a x a x 的系数依次成等差数列，求n 的值； （Ⅱ）求证：对任意12,[0,2]x x ∈，恒有112|()()|2(2)1n F x F x n --≤+-.高三数学考前模拟练习（密卷）答题纸2011053014小题,每小题5分，共计70分1. 2. 3.A OE C （第22题）4. 5. 6.7. 8. 9.10. 11. 12.13． 14.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）17．（本小题满分14分）18．(本小题满分16分) 19．(本小题满分16分)高三数学考前模拟练习（密卷）答案1. i 22．8．解析：由a －5＝3，得a ＝8．3．1000．解析：因为a ，b ，c 构成等差数列，根据分层抽样的原理，所以甲、乙、丙三条生产线生产的产品数也成等差数列，其和为3000件，所以乙生产线生产了1000件产品． 4．－3．解析：由()f x 是偶函数可知，()f x -＝()f x 对任意的x ∈R 恒成立，即sin()4a x π-+＋3sin()4x π--＝sin()4a x π+＋3sin()4x π-，化简得2a ＝－6，a ＝－3． 5．15．解析：从0，1，2，3，4五张卡片中取出两张卡片的结果有5×5＝25种，数字之和恰好等于4的结果有(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)，所以数字和恰好等于4的概率是P ＝15．6．3．解析：函数y ＝()f x 的解析式未知，但可以由切线y ＝－x ＋5的方程求出(3)f ＝2，而/(3)f ＝k 切＝－1，故(3)f －/(3)f ＝3．7．1．解析：由题意知5⊗4＝5×(4＋1)＝25，3⊗6＝6×(3＋1)＝24，所以5⊗4－3⊗6＝1． 8．2．解析：AB DC AC BD ⋅(+)(+)＝AC CB DB BC AC BD ⋅(+++)(+)＝AC DB AC BD ⋅(+)(+)＝AC BD AC BD ⋅(-)(+)＝22AC BD -＝2．9．1︰2︰3．解析：不妨设正方体的棱长为1，则这三个球的半径依次为12，2，从而它们的表面积之比为1︰2︰3． 10．9π．解析：因为A ＋B ＋C ＝π，且(A ＋B ＋C )·(4A ＋1B C+)＝5＋4·B C A +＋AB C +≥5＋24B C A A B C +⋅⋅+＝9，因此4A ＋1B C +≥9π，当且仅当4·B C A +＝AB C +，即A ＝2(B ＋C )时等号成立．11．3．解析：如图，在Rt △12MF F 中，∠12MF F ＝30︒，12F F ＝2c ，所以1MF ＝2cos30c ︒＝433c ，2MF ＝2tan30c ⋅︒＝233c ．所以2a ＝1MF －2MF ＝433c －233c ＝233c ，故e ＝ca＝3．12. ]1,3(--13.(－3，－2)．解析：由题意知，三个交点分别为(1，0)，(1x ，0)，(2x ，0)，且0＜1x ＜1＜2x ．由(1)f ＝0可知b ＝－a －3，所以()f x ＝3x ＋2(1)a x -＋3x ＋b ＝(x －1)(2x ＋ax ＋a ＋3)，故2x ＋ax ＋a ＋3＝0的两根分别在(0，1)，(1，+∞)内．令()g x ＝2x ＋ax ＋a ＋3，则(0)0(1)0g g >⎧⎨<⎩，，得－3＜a ＜－2．14..2221)21(21-=--=+n n n S 15．解析：（1）因为A ，B ，C 成等差数列，所以B ＝3π． 因为AB BC ⋅＝32-，所以cos()ac B π-＝32-，所以12ac ＝32，即ac ＝3．因为b ＝3，2222cos b a c ac B =+-，所以22a c ac +-＝3，即2()3a c ac +-＝3． 所以2()a c +＝12，所以a ＋c ＝23．（2）2sin sin A C -＝22sin()sin 3C C π--＝312(cos sin )sin 22C C C +-＝3cos C ．因为0＜C ＜23π，所以3cos C ∈3(3)2-，．所以2sin sin A C -的取值范围是3(3)2-，．16．解：（2）31==--ADC E AEC D V V ×22×342= （3）在三角形ABE 中过M 点作MG ∥AE 交BE 于G 点,在三角形BEC 中过G 点作GN ∥BC 交EC 于N 点,连MN,则由比例关系易得CN ＝CE 31.MG ∥AE MG ⊄平面ADE, AE ⊂平面ADE, ∴MG ∥平面ADE同理, GN ∥平面ADE ∴平面MGN ∥平面ADE 又MN ⊂平面MGN ∴MN ∥平面ADE∴N 点为线段CE 上靠近C 点的一个三等分点17．解：（1）该分公司一年的利润L （万元）与每件产品的售价x 的函数关系式为：)12)(2(x a x L ---=，]9,7[∈x ．………………………6分（2）当42<≤a 时，此时，92148<+≤a ， 所以，当214+=a x 时，L 的最大值4)10()(2a a Q -=， ……………3分当64≤≤a 时，此时，102149≤+≤a ， 所以，当9=x 时，L 的最大值)7(3)(a a Q -=．…………………3分 答：若42<≤a ，则当每件产品售价为214+a 元时，该分公司一年的利润L 最大，最大值4)10()(2a a Q -=；若64≤≤a ，则当每件产品售价为9元时，该分公司一年的利润L 最大，最大值)7(3)(a a Q -=． ……………………2分18．（1）设圆心C (a ，b )，则2220222 1.2a b b a --⎧++=⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎩，解得00.a b =⎧⎨=⎩，则圆C 的方程为2x ＋2y ＝2r ，将点P 的坐标代入，得2r ＝2，故圆C 的方程为2x ＋2y ＝2．（2）设Q (x ，y )，则2x ＋2y ＝2，且PQ MQ ⋅＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2)＝2x ＋2y ＋x ＋y －4＝x ＋y －2，所以PQ MQ ⋅的最小值为－4(可由线性规划或三角代换求得)．（3）由题意，知直线PA 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数，故可设PA ：y －1＝k (x －1)，PB ：y －1＝－k (x －1)． 由221(1)2y k x x y -=-⎧⎨+=⎩，，得22(1)k x +＋2k (1－k )x ＋2(1)k -－2＝0． 因为点P 的横坐标x ＝1一定是该方程的解，故可得A x ＝22211k k k --+，同理B x ＝22211k k k +-+．所以AB k ＝B A B A y y x x --＝(1)(1)B A B A k x k x x x -----＝2()B A B Ak k x x x x -+-＝1＝OP k ． 所以直线OP 和AB 一定平行．19．（1）因为n ＝1时，1a ＋1S ＝1a ＋1a ＝2，所以1a ＝1．因为n S ＝2－n a ，即n a ＋n S ＝2，所以1n a +＋1n S +＝2．两式相减：1n a +－n a ＋1n S +－n S ＝0，即1n a +－n a ＋1n a +＝0，故有12n a +＝n a ． 因为n a ≠0，所以1n n a a +＝12( n ∈*N )． 所以数列{}n a 是首项1a ＝1，公比为12的等比数列，n a ＝112n -⎛⎫⎪⎝⎭( n ∈*N )．（2）因为1n b +＝n b ＋n a ( n ＝1，2，3，…)，所以1n b +－n b ＝112n -⎛⎫⎪⎝⎭．从而有21b b -＝1，32b b -＝12，43b b -＝212⎛⎫⎪⎝⎭，…，1n n b b --＝212n -⎛⎫ ⎪⎝⎭( n ＝2，3，…)．将这n －1个等式相加，得n b －1b ＝1＋12＋212⎛⎫ ⎪⎝⎭＋…＋212n -⎛⎫⎪⎝⎭＝1112112n -⎛⎫- ⎪⎝⎭-＝2－1122n -⎛⎫⎪⎝⎭．又因为1b ＝1，所以n b ＝3－1122n -⎛⎫⎪⎝⎭( n ＝1，2，3，…)．（3）因为n c ＝n (3－n b )＝1122n n -⎛⎫⎪⎝⎭，所以n T ＝022111111223(1)22222n n n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦． ① 12n T ＝123111111223(1)22222n nn n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦． ② ①－②，得12n T ＝021111122222n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦－122nn ⎛⎫⎪⎝⎭．故n T ＝1124112n⎛⎫- ⎪⎝⎭-－142n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝8－82n －142nn ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝8－1(84)2n n +( n ＝1，2，3，…)．20． 【解】 （1）设()2g x ax bx c =++，于是()()()()2211212212g x g x a x c x -+-=-+=--，所以121.a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， 又()11g =-，则12b =-．所以()211122g x x x =--.…………………4分（2）()2191()ln ln (0).282f x g x m x x m x m x =+++=+∈>R ， 当m >0时，由对数函数性质，f （x ）的值域为R ；当m =0时，2()02x f x =>对0x ∀>，()0f x >恒成立；………………6分当m <0时，由()0mf x x x x'=+=⇒=[]min ()2mf x f m ==-+这时， []min0()0e<0.20mm f x m m ⎧-+⎪>⇔⇒-<⎨⎪<⎩， ……………………8分 所以若0x ∀>，()0f x >恒成立，则实数m 的取值范围是(e 0]-，. 故0x ∃>使()0f x ≤成立，实数m 的取值范围()(,e]0-∞-+∞，．…………… 10分（3）因为对[1]x m ∀∈，，(1)()()0x x m H x x--'=≤，所以()H x 在[1,]m 内单调递减.于是21211|()()|(1)()ln .22H x H x H H m m m m -≤-=--2121113|()()|1ln 1ln 0.2222H x H x m m m m m m -<⇐--<⇔--<……… 12分记13()ln (1e)22h m m m m m =--<≤，则()221133111()022332h'm m m m =-+=-+>，所以函数13()ln 22h m m m m =--在(1e]，是单调增函数，………………… 14分所以()()e 3e 1e 3()(e)1022e 2eh m h -+≤=--=<，故命题成立.……………… 16分21 B ．解：设a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由1203a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦得，23a c =⎧⎨=⎩， ………5分由1133113a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦得，33a b c d +=⎧⎨+=⎩，所以2b d =⎧⎨=⎩ 所以2130A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． ………10分 21 C ．解：离心率为12，设椭圆标准方程是2222143x y c c +=，它的参数方程为⎧⎨⎩2cos 3x y θθ==(θ是参数) ………5分23x 4cos 3sin 5sin()c c c θθθϕ=+=+最大值是5c ，依题意510c =，2c =，椭圆的标准方程是2211612x y += ………10分22. 解：（1）以O 为原点，OB ，OC ，OA 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． 则有A （0，0，1），B （2，0，0），C （0，2，0），E （0，1，0）． 2 0 00 1 02 1 00 2 1EB AC =-=-=-（，，）（，，）（，，），（，，）， ……………………2分cos<,EB AC >2555==-⋅． ………………………………4分由于异面直线BE 与AC 所成的角是锐角，故其余弦值是25．………………5分（2）(2 0 1)AB =-，，，(0 1 1)AE =-，，，设平面ABE 的法向量为1()x y z =，，n ， 则由1AB ⊥n ，1AE ⊥n ，得20,0.x z y z -=⎧⎨-=⎩目 取n ＝（1，2，2），平面BEC 的一个法向量为n 2＝（0，0，1），………………………………7分1212122cos ||||3144⋅<>===⋅++，n n n n n n ．……9分由于二面角A －BE －C 的平面角是n 1与n 2的夹角的补角，其余弦值是－23．… 10 23．解：（Ⅰ）依题意111()()2k k k n a x C x --=，1,2,3,,1k n =+，123(),(),()a x a x a x 的系数依次为01n C =，1122n n C ⋅=，221(1)()28n n n C -⋅=， 所以(1)2128n n n -⨯=+，解得8n =； ………4分（Ⅱ）1231()()2()3(),()(1)()n n F x a x a x a x na x n a x +=+++++01221111112()3()()(1)()2222n n n n n n n n n C C x C x nC x n C x --=+++++0121(2)23(1)n nn n n n n F C C C nC n C -=+++++ 设012123(1)n n n n n n n n S C C C nC n C -=+++++， 则1210(1)32n n n n nn n n S n C nC C C C -=+++++考虑到k n kn n C C -=，将以上两式相加得： 01212(2)()n n n n n n n n S n C C C C C -=+++++所以1(2)2n n S n -=+又当[0,2]x ∈时，'()0F x ≥恒成立，从而()F x 是[0,2]上的单调递增函数， 所以对任意12,[0,2]x x ∈，112|()()|(2)(0)(2)21n F x F x F F n --≤-=+-．………10分。

2008-2009学年度第一学期如东高级中学第一次阶段测试高 三 数 学 试 题（理） 2008.8.22一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在相应位置上 1．设全集U = Z ，A={1，3，5，7，9}，B={1，2，3，4，5，6}，则右图中阴影部分表示的集合是 ▲ ．2．命题“∃x∈R，x 2－2x+l≤0”的否定形式为 ▲ ．3．若}06|{},065|{2=-==+-=ax x B x x x A ，且A B A = ，则 a 的值的集合 ▲ ．4．0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的 ▲ 条件． 5．已知cos tan 0θθ<，那么角θ是第 ▲ 象限角． 6．函数2lg(421)y x x =--的定义域是 ▲ .7．已知x x x f cos 3sin 2)(cos 2-=，则)30(sinf =___ __▲ ______．8．如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A BC ，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f =___ _▲______．9. 已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且对于任意x ∈R ，都有(3)()f x f x +=-，若f (1)=1,tan 2α=, 则(2005sin cos )f αα的值为 ▲ ． 10．已知()x f 是定义域为()()+∞⋃∞-,00,的奇函数，在区间()+∞,0上单调递增，当0>x 时，()x f 的图像如右图所示：若：()()[]0<--⋅x f x f x ，则x 的取值范围是 ▲ ．11．若2()log (24)a f x x ax =-+在[,)a +∞上为增函数，则a 的取值范围是_ ▲ _． 12．已知()sin (0)363f x x f f ωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，且()f x 在区间63ππ⎛⎫⎪⎝⎭，有最小值，无最大值，则ω＝_ _ ▲ _____． 13．若x∈A 则x 1∈A，就称A 是伙伴关系集合，集合M={－1，0，31，21，1，2，3，4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为_____▲_____．14．某同学在研究函数 f (x ) = x1 + | x |(x R ∈) 时，分别给出下面几个结论：①等式()()0f x f x -+=在x R ∈时恒成立； ②函数 f (x ) 的值域为 (－1,1)； ③若x 1≠x 2，则一定有f (x 1)≠f (x 2)；④函数()()g x f x x =-在R 上有三个零点.其中正确结论的序号有 ▲ .(请将你认为正确的结论的序号都填上)二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知函数())cos()f x x x ωϕωϕ=+-+（0πϕ<<，0ω>）为偶函数，且函数()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为π2． （Ⅰ）求π8f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； （Ⅱ）将函数()y f x =的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的 4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递减区间．16．（14分）已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2015-2016学年江苏省南通市如东县高三（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1．设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0＜x＜4}，则A∩B=______．2．某校春季高考对学生填报志愿情况进行调查，采用分层抽样的办法抽取样本，该校共有200名学生报名参加春季高考，现抽取了一个容量为50的样本，已知样本中女生比男生多4人，则该校参加春季高考的女生共有______名．3．如果复数z=（i为虚数单位）的实部与虚部互为相反数，那么|z|=______．4．函数f（x）=ln（x﹣x2）的单调递减区间为______．5．如图是一个算法的流程图，则输出的k的值是______．6．若将甲、乙、丙三个球随机放入编号为1，2两个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则每个盒子中球数不小于其编号的概率是______．7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3≥6，S5≤20，则a6的最大值为______．8．若α，β∈（0，），cos（α﹣）=，sin（﹣β）=﹣，则cos（α+β）的值等于______．9．设向量=（sin，cos），=（sin，cos）（n∈N+），则（•）=______．10．已知直线l：x﹣2y+m=0上存在点M满足与两点A（﹣2，0），B（2，0）连线的斜率k MA与k MB之积为﹣1，则实数m的取值范围是______．11．某工广生产一种无盖冰激凌纸筒为圆柱形，现一客户定制该圆柱纸筒，并要求该圆柱纸筒的容积为27πcm3，设该圆柱纸筒的底面半径为r，则工厂要求制作该圆柱纸筒的材料最省时，r的值为______cm．12．已知等比数列{a n}，首项a1=2，公比q=3，a p+a p+1+…+a k=2178（k＞p，p，k∈N+），则p+k=______．13．设函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣2x+b有两个零点，则参数b的取值范围是______．14．对任意实数x＞1，y＞，不等式p≤+恒成立，则实数p的最大值为______．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知函数f（x）=2cos2x+sin2x．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）在△ABC中，若C为锐角，f（A+B）=0，AC=2，BC=3，求AB的长．16．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是边BC上异于C的一点，AD⊥C1D．（1）求证：AD⊥平面BCC1B1；（2）如果点E是B1C1的中点，求证：平面A1EB∥平面ADC1．17．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且右准线方程为x=4．（1）求椭圆的标准方程；（2）设P（x1，y1），M（x2，y2）（y2≠y1）是椭圆C上的两个动点，点M关于x轴的对称点为N，如果直线PM，PN与x轴交于（m，0）和（n，0），问m•n是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．18．如图，某景区有一座高AD为1千米的山，山顶A处可供游客观赏日出，坡角∠ACD=30°，在山脚有一条长为10千米的小路BC，且BC与CD垂直，为方便游客，该景区拟在小路BC上找一点M，建造两条直线型公路BM和MA，其中公路BM每千米的造价为30万元，公路MA每千米造价为30万元．（1）设∠AMC=θ，求出造价y关于θ的函数关系式；（2）当BM长为多少米时才能使造价y最低？19．已知a＞0，且a≠1，函数f（x）=a x﹣1，g（x）=﹣x2+xlna．（1）若a＞1，证明函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数；（2）求函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值；（3）若函数F（x）的图象过原点，且F′（x）=g（x），当a＞e时，函数F（x）过点A（1，m）的切线至少有2条，求实数m的值．20．已知等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，且数列{b n}的前n项和为S n．（1）若a1=b1=d=2，S3＜a1006+5b2﹣2016，求整数q的值；（2）若S n+1﹣2S n=2，试问数列{b n}中是否存在一点b k，使得b k恰好可以表示为该数列中连续p（p∈N，p≥2）项的和？请说明理由？（3）若b1=a r，b2=a s≠a r，b3=a t（其中t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的约数），证明数列{b n}中每一项都是数列{a n}中的项．2015-2016学年江苏省南通市如东县高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1．设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0＜x＜4}，则A∩B={x|0＜x≤2} ．【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0＜x＜4}，∴A∩B={x|0＜x≤2}，故答案为：{x|0＜x≤2}2．某校春季高考对学生填报志愿情况进行调查，采用分层抽样的办法抽取样本，该校共有200名学生报名参加春季高考，现抽取了一个容量为50的样本，已知样本中女生比男生多4人，则该校参加春季高考的女生共有108名．【考点】分层抽样方法．【分析】根据样本容量和女生比男生多4人，可得样本中女生数，再根据抽取的比例可得总体中的女生人数．【解答】解：∵样本容量为50，女生比男生多4人，∴样本中女生数为27人，又分层抽样的抽取比例为=，∴总体中女生数为27×4=108人．故答案为：108．3．如果复数z=（i为虚数单位）的实部与虚部互为相反数，那么|z|=．【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则及其实部与虚部互为相反数，解得a，再利用复数模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z===的实部与虚部互为相反数，∴+=0，解得a=0．∴z=．∴|z|==．故答案为：．4．函数f（x）=ln（x﹣x2）的单调递减区间为[，1）．【考点】复合函数的单调性．【分析】令t=x﹣x2＞0，求得函数的定义域，f（x）=g（t）=lnt，本题即求函数函数t在定义域内的减区间，再利用二次函数的性质可得结论．【解答】解：令t=x﹣x2＞0，求得0＜x＜1，可得函数的定义域为（0，1），f（x）=g（t）=lnt．本题即求函数t在定义域内的减区间，函数t在定义域内的减区间为[，1），故答案为：[，1）．5．如图是一个算法的流程图，则输出的k的值是4．【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，循环可得结论．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：第一次循环，s=5，k=1，第二次循环，s=13，k=2，第三次循环，s=13，k=3，第四次循环，s=29，k=4，退出循环，输出k=4．故答案为：4．6．若将甲、乙、丙三个球随机放入编号为1，2两个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则每个盒子中球数不小于其编号的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】将甲、乙、丙三个球随机放入编号为1，2两个盒子中，每个盒子的放球数量不限，先求出基本事件总数，每个盒子中球数不小于其编号的情况是1号盒中放1个，2号盒中放2个，求出有多少种放法，由此能求出每个盒子中球数不小于其编号的概率．【解答】解：将甲、乙、丙三个球随机放入编号为1，2两个盒子中，每个盒子的放球数量不限，基本事件总数n=23=8，每个盒子中球数不小于其编号的情况是1号盒中放1个，2号盒中放2个，有=3种放法，∴每个盒子中球数不小于其编号的概率：p=．故答案为：．7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3≥6，S5≤20，则a6的最大值为10．【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的前n项和公式得到，由此能求出a6的最大值．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3≥6，S5≤20，∴，∴，∴a6=a1+5d=﹣3（a1+d）+4（a1+2d）≤﹣3×2+4×4=10，∴a6的最大值为10．故答案为：10．8．若α，β∈（0，），cos（α﹣）=，sin（﹣β）=﹣，则cos（α+β）的值等于﹣．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】根据题意可得α﹣=±，﹣β=﹣，由此求得α+β的值，可得cos（α+β）的值．【解答】解：∵α，β∈（0，），cos（α﹣）=，sin（﹣β）=﹣，∴α﹣=±，﹣β=﹣，∴α=β=或α+β=0（舍去）．∴cos（α+β）=﹣，故答案为：﹣．9．设向量=（sin ，cos ），=（sin ，cos）（n ∈N +），则（•）= ﹣1 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】化简•=cos．于是根据诱导公式可得+=+=+=…=+=0，所以（•）=+=cos +cos π=﹣1．【解答】解： •=sin sin +coscos=cos （﹣）=cos ．∴+=cos +cos =0，同理，+=0，+=0，…+=0．∴（•）=+=cos +cos π=﹣1．故答案为﹣1．10．已知直线l ：x ﹣2y +m=0上存在点M 满足与两点A （﹣2，0），B （2，0）连线的斜率k MA 与k MB 之积为﹣1，则实数m 的取值范围是 [﹣2，2] ．【考点】圆方程的综合应用．【分析】设出M 的坐标，由k MA 与k MB 之积为3得到M 坐标的方程，和已知直线方程联立，化为关于x 的一元二次方程后由判别式大于等于0求得实数m 的取值范围．【解答】解：设M （x ，y ），由k MA •k MB =3，得•=﹣1，即x 2+y 2=4．联立，得5y 2﹣4my +m 2﹣4=0．要使直线l ：x ﹣2y +m=0上存在点M 满足与两点A （﹣2，0），B （2，0）连线的斜率k MA 与k MB 之积为﹣1，则△=（4m ）2﹣20（m 2﹣4）≥0，即m 2≤20．解得m ∈[﹣2，2]．∴实数m 的取值范围是：[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．11．某工广生产一种无盖冰激凌纸筒为圆柱形，现一客户定制该圆柱纸筒，并要求该圆柱纸筒的容积为27πcm 3，设该圆柱纸筒的底面半径为r ，则工厂要求制作该圆柱纸筒的材料最省时，r 的值为 3 cm ．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】设底面半径为r，高为h，则由题意得S=2πrh+πr2=，由此利用导数能求出制作该圆柱纸筒的材料最省时，r的值．【解答】解：设底面半径为r，高为h，则由题意得h=，∴S=2πrh+πr2=，∴S′=，当0＜r＜3时，S′＜0，当r＞3时，S′＞0，故r=3时，取得极小值，也是最小值，∴制作该圆柱纸筒的材料最省时，r的值为3．故答案为：3．12．已知等比数列{a n}，首项a1=2，公比q=3，a p+a p+1+…+a k=2178（k＞p，p，k∈N+），则p+k=10．【考点】数列的求和．【分析】通过a n=2•3n﹣1可知a p+a p+1+…+a k=3p﹣1（3k﹣p+1﹣1），利用2178=32•（35﹣1）比较即得结论．【解答】解：依题意，a n=2•3n﹣1，则2178=a p+a p+1+…+a k==3p﹣1（3k﹣p+1﹣1），又∵2178=9=32•（35﹣1），∴，即，∴p+k=10，故答案为：10．13．设函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣2x+b有两个零点，则参数b的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪（0，2ln2﹣1）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由y=f（x）﹣2x+b=0得f（x）=2x﹣b，作出函数f（x）和y=2x﹣b的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图：，由y=f（x）﹣2x+b=0得f（x）=2x﹣b，当g（x）=2x﹣b经过点（0，2）时，满足两个函数有两个交点，此时﹣b=2，即b=﹣2，当﹣b≥2，即b≤﹣2时，满足条件，当g（x）=2x﹣b与f（x）=e x﹣1相切时，由f′（x）=e x=2得x=ln2，y=e ln2﹣1=2﹣1=1，即切点坐标为（ln2，1），此时2ln2﹣b=1，即b=2ln2﹣1，当直线g（x）=2x﹣b经过原点时，b=0，∴要使两个函数有两个交点，则此时0＜b＜2ln2﹣1，综上0＜b＜2ln2﹣1或b≤﹣2，故实数b的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪（0，2ln2﹣1），故答案为：（﹣∞，﹣2]∪（0，2ln2﹣1）14．对任意实数x＞1，y＞，不等式p≤+恒成立，则实数p的最大值为8．【考点】函数恒成立问题．【分析】根据不等式p≤+恒成立，转化为求+的最小值即可，利用换元法，结合基本不等式进行求解即可．【解答】解：设a=2y﹣1，b=x﹣1，∵x＞1，y＞，∴a＞0，b＞0，且x=b+1，y=（a+1），则+=+≥2×=2×=2（++）≥2×（2+）=2（2+2）=8，当且仅当a=b=1，即x=2，y=1时，取等号．∴p≤8，即p的最大值为8，故答案为：8．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知函数f（x）=2cos2x+sin2x．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）在△ABC中，若C为锐角，f（A+B）=0，AC=2，BC=3，求AB的长．【考点】余弦定理；三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）由三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+）+1，利用周期公式可求f（x）的最小正周期T．（2）由已知可得sin（2A+2B+）=﹣，由A，B是△ABC的内角，解得：A+B=或A+B=，结合A+B+C=π，C为锐角，可得C=，由余弦定理即可求得AB的值．【解答】解：（1）∵f（x）=2cos2x+sin2x=cos2x+1+sin2x=2sin（2x+）+1，…4分∴函数f（x）的最小正周期T=．…7分（2）∵f（A+B）=0，∴sin（2A+2B+）=﹣，∵A，B是△ABC的内角，∴2A+2B+=，或2A+2B+=，解得：A+B=或A+B=，∵A+B+C=π，∴C=，或C=，∵C为锐角，∴可得C=，∵AC=2，BC=3，∴由余弦定理可得：AB2=AC2+BC2﹣2AC×BC×cosC=12+9﹣2×，即AB=．…14分16．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是边BC上异于C的一点，AD⊥C1D．（1）求证：AD⊥平面BCC1B1；（2）如果点E是B1C1的中点，求证：平面A1EB∥平面ADC1．【考点】直线与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定．【分析】（1）由于正三棱柱中，CC1⊥平面ABC，得到AD⊥CC1又已知AD⊥C1D，利用线面垂直的判断定理得到结论．（2）连结A1C，交AC1于O，连结OD，推导出OD∥A1B，由点E是B1C1的中点，可得BD EC1，即BE∥DC1，由BE∩A1B=B，DC1∩OD=D，即可证明平面A1EB∥平面ADC1．【解答】（满分为14分）解：（1）在正三棱柱中，CC1⊥平面ABC，AD⊆平面ABC，∴AD⊥CC1．…又AD⊥C1D，CC1交C1D于C1，且CC1和C1D都在面BCC1B1内，∴AD⊥平面BCC1B1．…（2）连结A1C，交AC1于O，连结OD，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在棱BC上，AD⊥C1D．平面C1AD⊥平面B1BCC1，∴D是BC中点，O是A1C中点，∴OD∥A1B，…∵点E是B1C1的中点，D是BC中点，∴BD EC1，∴四边形BDEC1为平行四边形，BE∥DC1，…∵BE∩A1B=B，DC1∩OD=D，且A1B，BE⊂平面A1EB，DC1，OD⊂平面ADC1，∴平面A1EB∥平面ADC1．…17．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且右准线方程为x=4．（1）求椭圆的标准方程；（2）设P（x1，y1），M（x2，y2）（y2≠y1）是椭圆C上的两个动点，点M关于x轴的对称点为N，如果直线PM，PN与x轴交于（m，0）和（n，0），问m•n是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由椭圆的离心率为，且右准线方程为x=4，列方程组解得a=2，c=1，由此能求出椭圆的标准方程．（2）由P（x1，y1），M（x2，y2），得N（x2，﹣y2），求出直线PM的方程和直线PN的方程，分别令y=0，得m和n，由此能推导出m•n为定值．【解答】解：（1）由题意，得，且，解得a=2，c=1，∴=，∴椭圆的标准方程为．（2）由P（x1，y1），M（x2，y2），得N（x2，﹣y2），∴+=1，，直线PM的方程为y﹣y1=，直线PN的方程为y﹣y1=（x﹣x1），分别令y=0，得m=，n=，∴mn====4为定值，∴m•n为定值4．18．如图，某景区有一座高AD为1千米的山，山顶A处可供游客观赏日出，坡角∠ACD=30°，在山脚有一条长为10千米的小路BC，且BC与CD垂直，为方便游客，该景区拟在小路BC上找一点M，建造两条直线型公路BM和MA，其中公路BM每千米的造价为30万元，公路MA每千米造价为30万元．（1）设∠AMC=θ，求出造价y关于θ的函数关系式；（2）当BM长为多少米时才能使造价y最低？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）通过锐角三角函数的定义易知AC=2、MC=、AM=、BM=10﹣，进而利用y=30（BM+2AM）化简即得结论；（2）通过令y=0可知cosθ=，结合α≤θ≤及tanα=可知θ=，通过求导判定函数的单调性，进而可得结论．【解答】解：（1）在Rt△ADC中，由AD=1、∠ACD=30°可知AC=2，在Rt△ACM中，MC=，AM=，则BM=10﹣，设造价y的单位为千万元，则y=30（BM+2AM）=30（10﹣+）=60（5+），（α≤θ≤，其中tanα=）；（2）y=60•=60•，令y=0，得cosθ=，又∵α≤θ≤，其中tanα=，∴θ=，列表：θcosθy′﹣0 +y ↓最小值↑∴当θ=时y有最小值，此时BM=10﹣．答：当BM长为（10﹣）米时才能使造价y最低．19．已知a＞0，且a≠1，函数f（x）=a x﹣1，g（x）=﹣x2+xlna．（1）若a＞1，证明函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数；（2）求函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值；（3）若函数F（x）的图象过原点，且F′（x）=g（x），当a＞e时，函数F（x）过点A（1，m）的切线至少有2条，求实数m的值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求函数的导数，根据函数单调性和导数的关系进行证明．（2）求函数的解析式，根据函数单调性和最值如导数的关系进行求解．（3）求出函数F（x）的解析式，结合导数的几何意义进行求解．【解答】解：（1）h（x）=f（x）﹣g（x）=a x﹣1+x2﹣xlna，则h′（x）=（a x﹣1）lna+2x，∵a＞1，∴当x＞0时，a x﹣1＞0，lna＞0，∴h′（x）＞0，即此时函数h（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数．（2）由（1）知，当a＞1时，函数h（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数，则在区间（﹣∞，0）上是单调减函数，同理当0＜a＜1时，h（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数，则在区间（﹣∞，0）上是单调减函数，即当a＞0，且a≠1时，h（x）在区间[﹣1，0）上是减函数，在区间（[0，1）上是增函数，当﹣1≤x≤1时，h（x）的最大值为h（﹣1）和h（1）中的最大值，∵h（1）﹣h（﹣1）=（a﹣lna）﹣（+lna）=a﹣﹣2lna，∴令G（a）=a﹣﹣2lna，a＞0，则G′（a）=1+﹣=（1﹣）2≥0，∴G（a）=a﹣﹣2lna，在a＞0上为增函数，∵G（1）=1﹣1﹣2ln1=0，∴a＞1时，G（a）＞0，即h（1）＞h（﹣1），最大值为h（1）=a﹣lna，当0＜a＜1时，G（a）＜0，即h（﹣1）＞h（1），最大值为h（﹣1）=+lna．（3）∵F（x）的图象过原点，且F′（x）=g（x）=﹣x2+xlna，∴设F（x）=﹣x3+x2lna+c，∵F（x）的图象过原点，∴F（0）=0，即c=0，则F（x）=﹣x3+x2lna．设切点为B （x 0，﹣x 03+x 02lna ），则B 处的切线方程为：y ﹣（﹣x 03+x 02lna ）=﹣（﹣x 02+x 0lna ）（x ﹣x 0），将A 的坐标代入得m ﹣（﹣x 03+x 02lna ）=﹣（﹣x 02+x 0lna ）（1﹣x 0），即m=x 03﹣（1+lna ）x 02+x 0lna （※），则原命题等价为关于x 0的方程（※）至少有2个不同的解，设φ（x ）=x 3﹣（1+lna ）x 2+xlna ，则φ′（x ）=2x 02﹣（2+lna ）x +lna=（x ﹣1）（2x ﹣lna ），∵a ＞e ，∴＞1，当x ∈（﹣∞，1）和（，+∞）时，φ′（x ）＞0，此时函数φ（x ）为增函数，当x ∈（1，）时，φ′（x ）＜0，此时函数φ（x ）为减函数，∴φ（x ）的极大值为φ（1）=﹣1﹣lna +lna=lna ﹣，φ（x ）的极大值为φ（lna ）=ln 3a ﹣ln 2a （1+lna ）+ln 2a=﹣ln 3a +ln 2a ，设t=lna ，则t ＞，则原命题等价为对t ＞恒成立，∴由m ≤t ﹣得m ≤，∵s （t ）=﹣t 3+t 2的最大值为s （4）=，∴由m ≥﹣t 3+t 2，得m ≥，即m=，综上所述当a ＞e时，函数F （x ）过点A （1，m ）的切线至少有2条，此时实数m 的值为．20．已知等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，且数列{b n }的前n 项和为S n ． （1）若a 1=b 1=d=2，S 3＜a 1006+5b 2﹣2016，求整数q 的值；（2）若S n+1﹣2S n =2，试问数列{b n }中是否存在一点b k ，使得b k 恰好可以表示为该数列中连续p （p ∈N ，p ≥2）项的和？请说明理由？（3）若b1=a r，b2=a s≠a r，b3=a t（其中t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的约数），证明数列{b n}中每一项都是数列{a n}中的项．【考点】等比数列的性质；等比数列的前n项和．【分析】（1）若数列{b n}的前n项和为S n，且a1=b1=d=2，S3＜5b2+a88﹣180，借助于通项公式得到q的值．恰好可以表示为该数列中连（2）在（1）的条件下，假设数列{b n}中存在一项b k，使得b，k续P（P∈N，P≥2）项和，然后推理证明．（3）若b1=a r，b2=a s≠a r，b3=a t（其中t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的约数），要证明数列{b n}中每一项都是数列{a n}中的项，只要分析通项公式的特点可以得到．【解答】解：（1）由题意知a n=2+（n﹣1）×2=2n，，∵S3＜a1006+5b2﹣2016，∴b1+b2+b3＜a1006+5b2﹣2016，∴b1﹣4b2+b3＜2012﹣2016，∴q2﹣4q+3＜0，解得1＜q＜3，又q为整数，∴q=2．=2，n≥2，（2）由S n+1﹣2S n=2，得S n﹣2S n﹣1两式相减得b n+1﹣2b n=0，n≥2，∵等比数列{b n}的公比为q，∴q=2，又n=1时，S2﹣2S1=2，∴b1+b2﹣2b1=2，解得b1=2，∴．数列{b n}中存在一点b k，使得b k恰好可以表示为该数列中连续p（p∈N，p≥2）项的和，即b k=b n+b n+1+b n+2+…+b n+p，﹣1，∴2k＞2n+p﹣1，∵，∴b k＞b n+p﹣1∴k＞n+p﹣1，∴k≥n+p，（*）又==2n+p﹣2n＜2n+p，∴k＜n+p，这与（*）式矛盾，∴假设不成立，故数列{b n}中不存在一点b k，使得b k恰好可以表示为该数列中连续p（p∈N，p≥2）项的和，证明：（3）∵b1=a r，b2=a s≠a r，b3=a t（其中t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的约数），∴b2=b1q=a r q=a s=a r+（s﹣r）d，∴d=，∴，∵a s≠a r，∴b1≠b2，∴q≠1，又a r≠0，∴q=，∵t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的约数，∴q是正整数，且q≥2，对于{b n}中的任一项b i（这里只讨论i＞3的情形），有===）=，由于（s﹣r）（1q+…+q i﹣1）+1为正整数，∴b i一定是数列{a n}中的项．2016年9月16日。

江苏省东海高级中学2011届高三强化班期初数学摸底试题2010-9-1一、填空题：（每小题5分，共70分）1、已知函数:f A B →，其中A=B =R ，对应法则为2:23f x y x x →=++， 若B 中元素k 在集合A 中不存在原象，则k 的取值范围是 ▲ .2、已知全集B A U ⋃=中有m 个元素，)()(B C A C U U ⋃中有n 个元素．若B A ⋂非空，则B A ⋂的元素个数为____▲______；3、设2lg ,(lg ),a e b e c ===，则a bc 、、的从大到小顺序依次是 ▲ .4、已知函数2()f x x x =-，若2(1)(2)f m f --<，则实数m 的取值范围是▲ .5、若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程220x x x +--=的一个近似根（精确到0.1）为 ▲ .6、已知函数2()(1)f x x k x k =+--恰有一个零点在区间(2,3)内，则实数k 的取值范围是 ▲ .7、设0a >，函数32()91f x x ax x =+--，若曲线()y f x =的切线中斜率最小的切线与直线120x y -=垂直，则a 的值为 ▲ .8、设a 为实数，给出命题p ：关于x 的不等式112x a -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭的解集为φ，命题q ：函数()()29lg 28f x ax a x ⎛⎫=+-+⎪⎝⎭的定义域为R ， 若命题p 和q 中有且仅有一个正确，则实数a 的取值范围是 ▲ . 9、若函数y =x 2+（a +2）x +3，x ∈［a ，b ］的图象关于直线x =1对称，则b =____▲___. 10、已知函数()f x =在()1,+∞上是增函数，则实数a 的取值范围为 ▲ . 11、对于集合M 和N ，定义{}N x M x x N M ∉∈=-，且，=⊕N M )(N M -)(M N - ，设{}x x y y A 32-==，{}xy y B 2-==，则=⊕B A ▲ .12、已知函数()()12822+--=x m mx x f ，()mx x g =，对∈∀x R ，()x f 与()x g 的值至少有一个为正数，则m 的取值范围是 ▲ .13、已知函数4)(x ax x f -=，]1,21[∈x ，B A ,是其图象上不同的两点.若直线AB 的斜率k 总满足421≤≤k ，则实数a 的值是 ▲ .14、如图放置的等腰直角三角形ABC 薄片（90ACB ∠=︒，2AC =）沿x 轴滚动，设顶点(),A x y 的轨迹方程是()y f x =，则()f x 在其相邻两个零点间的图像与x 轴所围区域的面积为 ▲ .二、解答题：（6小题，共90分） 15、（14分）已知{}0822≥-+=x x x A ,{}19239+≤-=x x x B ,{}0222≤++=ax x x C .（1）若不等式0102≥++c x bx 的解集为B A ，求b 、c 的值； （2）设全集=U R ，若B C ⊆ A C U ，求实数a 的取值范围.16、（14分）函数6)1(3)1()(22+-+-=x a x a x f ，（1）若)(x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围； （2）若)(x f 的定义域为[2,1]-，求实数a 的值．17.（14分） 函数()f x 的定义域为R ，并满足条件：① 对任意x R ∈，有()0f x >；② 对任意,x y R ∈，有()[()]yf x y f x ⋅=；③1()13f >． （1）求(0)f 的值；（2）求证：()f x 在R 上是单调递增函数；（3）若0a b c >>>，且2b ac =，求证()()2()f a f c f b +>．18、（16分）设函数()21f x ax bx =++ ()0,a b R >∈ 的最小值为a -，()0f x =两个实根为1x 、2x . （1）求12x x -的值；（2）若关于x 的不等式()0f x <解集为A ，函数()2f x x +在A 上不存在最小值，求a 的取值范围；（3）若120x -<<，求b 的取值范围.19、（16分)经济学中有一个用来权衡企业生产能力（简称“产能”）的模型，称为“产能边界”.它表示一个企业在产能最大化的条件下，在一定时期内所能生产的几种产品产量的各种可能的组合. 例如，某企业在产能最大化条件下，一定时期内能生产A 产品x 台和B 产品y 台，则它们之间形成的函数)(x f y =就是该企业的“产能边界函数”. 现假设该企业此时的“产能边界函数”为x y 2160015-=.① 这是一种产能未能充分利用的产量组合； ② 这是一种生产目标脱离产能实际的产量组合； ③ 这是一种使产能最大化的产量组合.（2）假设A 产品每台利润为)0(>a a 元，B 产品每台利润为A 产品每台利润的k 倍*∈>N k k ,0.在该企业的产能边界条件下，试为该企业决策，应生产A 产品和B 产品各多少台才能使企业获得最大利润？20、（16分）函数()21ln 2f x ax bx x =--，0a >，()10f '=. （1）①试用含有a 的式子表示b ；②求()f x 的单调区间；（2）对于函数图像上的不同两点()11,A x y ，()22,B x y ，如果在函数图像上存在点()00,P x y （其中0x 在1x 与2x 之间），使得点P 处的切线l ∥AB ，则称AB 存在“伴随切线”，当1202x x x +=时，又称AB 存在“中值伴随切线”。

江苏省重点学校2011届高三第一次调研联考数学测试试卷参考公式:一组样本数据n x x x ,,,21 ，方差2211()ni i s x x n ==-∑一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应的位置上.1．命题p :2,2x R x ∃∈>，则命题p 的否定为 ▲ . 2．若复数i i i z 其中,2)1(=+是虚数单位，则复数z z ⋅= ▲ .3．已知函数2,0(),0x x f x x x ≥⎧=⎨<⎩，则((2))f f -= ▲ . 4．若123123,,,,2,3,3,3,,3n nx x x x x x x x 的方差为则的方差为 ▲ .5．一个靶子上有10个同心圆，半径依次为1、2、……、10，击中由内至外的区域的成绩依次为10、9、……、1环，则不考虑技术因素，射击一次,在有成绩的情况下成绩为10环的概率为6．已知3tan(),45παα+=则tan = ▲ .7．直线110,l x ky -+=:210l kx y -+=:，则1l ∥2l 的充要条件是 ▲ .8．已知|a |=3，|b |=4，(a +b )⋅(a +3b )=33，则a 与b 的夹角为 .9．如果执行右面的程序框图，那么输出的S = ▲ .10．设1F 和2F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两个焦点，若1F ，2F ，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为 ▲ .11．函数2cos y x x =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上取最大值时，x 的值是___▲___． 12．我们知道若一个边长为a ，面积为S 的正三角形的内切圆半径23Sr a =，由此类比，若一个正四面体的一个面的面积为S ,体积为V ,则其内切球的半径r = ▲ .13．设12a =，121n n a a +=+，211n n n a b a +=--，*n∈b 14．图为函数()1)f x x =<<的图象，其在点(())M t f t ，l l y 处的切线为，与轴和直线1=y 分别交于点P 、Q ，点N(0，1)，若△PQN 的面积为b时的点M 恰好有两个，则b 的取值范围为 ▲ .二、解答题:本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分) 已知函数21()2cos 22f x x x x =--∈R ，．(Ⅰ)求函数()f x 的最小值和最小正周期；(Ⅱ)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且()0c f C ==，若sin 2sin B A =，求a ，b 的值．16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ABCD ⊥平面，AD CD =，DB 平分ADC ∠，E 为PC 的中点．(Ⅰ)证明://PA BDE 平面； (Ⅱ)证明:AC PBD ⊥平面．17. (本小题满分15分)如图,某小区准备在一直角围墙ABC 内的空地上植造一块“绿地ABD ∆”,其中AB 长为定值a ,BD 长可根据需要进行GFDC A DCBPE调节(BC 足够长).现规划在ABD ∆的内接正方形BEFG 内种花,其余地方种草,且把种草的面积1S 与种花的面积2S 的比值12S S 称为“草花比y ”.(Ⅰ)设DAB θ∠=,将y 表示成θ的函数关系式； (Ⅱ)当BE 为多长时,y 有最小值?最小值是多少?18. (本小题满分15分)已知C 过点)1,1(P ,且与M :222(2)(2)(0)x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称.(Ⅰ)求C 的方程；(Ⅱ)设Q为C 上的一个动点,求PQ MQ ⋅的最小值；(Ⅲ)过点P 作两条相异直线分别与C 相交于B A ,,且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补,O 为坐标原点,试判断直线OP 和AB 是否平行?请说明理由.19．(本小题满分16分)已知函数()ln a f x x x =-.(Ⅰ)求函数()f x 的单调增区间；(Ⅱ)若函数()f x 在[1,]e 上的最小值为32，求实数a 的值；(Ⅲ)若函数2()f x x <在(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．20．(本小题满分16分)已知等差数列{}n a 的首项为a ，公差为b ，等比数列{}n b 的首项为b ，公比为a (其中,a b 均为正整数)． (Ⅰ) 若1122,a b a b ==，求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若1213,,,k n n n a a a a a ，，，12(3)k n n n <<<<<成等比数列，求数列{}k n 的通项公式；(Ⅲ) 若11223a b a b a <<<<，且至少存在三个不同的b 值使得等式()m n a t b t N +=∈成立，试求a 、b 的值．附加题部分(满分40分) 21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题；每题10分，共20分；解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4－1:几何证明选讲如图，⊙O 的半径OB 垂直于直径AC ，M 为AO 上一点，BM 的延长线交⊙O 于N ，过N 点的切线交CA 的延长线于P ． (1)求证:PM2=PA·PC ；(2)若⊙O 的半径为，，求MN 的长．OCM NA PB （第1题）考试证号———————————————————————B ．选修4－2:矩阵与变换试求曲线sin y x =在矩阵MN 变换下的函数解析式，其中M =1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦，N =10201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦．C ．选修4－4:坐标系与参数方程在极坐标系下，已知圆O:cos sin ρθθ=+和直线sin 4l ρθπ⎛⎫-=⎪⎝⎭:． (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当(0,)θ∈π时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标．D ．选修4－5:不等式选讲用数学归纳法证明不等式:211111(1)12n n n n n n *++++>∈>++N 且．【必做题】第22题，23题，每题10分，共20分；解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生(可在高考中加分录取)，两次考试过程相互独立．根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6，0.5，0.4，能通过面试的概率分别是0.5，0.6，0.75．(1)求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；(2)设经过两次考试后，能被该高校预录取的人数为ξ，求随机变量ξ的期望)(ξE ．23．已知点F(0，1)，点P 在x 轴上运动，M 点在y 轴上，N 为动点，且满足0PM PF ⋅=， PN PM +=0．(1)求动点N 的轨迹C 方程；(2)由直线y= -1上一点Q 向曲线C 引两条切线，切点分别为A ，B ，求证:AQ ⊥BQ ．参考答案1、2,2x R x ∀∈≤ 2、2 3、4 4、18 5、1100 6、14-7、1- 8、120︒ 9、650 10、2 11、6π 12、34V S 13、201221- 14、18,427⎛⎫⎪⎝⎭ 15．解:(1)1cos 21()2sin 21226x f x x x +π⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭， (3分)则()f x 的最小值是－2，(4分)最小正周期是22T π==π；(6分)(2)()sin 210,sin 2166f C C C ππ⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则， 110,022,2666C C C ππ<<π∴<<π∴-<-<π， 2,623C C πππ∴-==， (8分)sin 2sin B A =， 由正弦定理，得12a b =，① (10分) 由余弦定理，得222222cos ,33c a b ab a b abπ=+-=+-即， ②由①②解得1,2a b ==． (14分) 16．证明:(1)连结AC ，设ACBD H =，连结EH ，在ADC ∆中，因为AD CD =，且DB 平分ADC ∠，所以H 为AC 的中点，又∵E 为PC 的中点， ∴//EH PA ，……………………………4分 又EH BDE ⊂平面，且PA BDE ⊄平面， ∴//PA BDE 平面；……………………7分 (2)∵PD ABCD ⊥平面，AC ABCD ⊂平面， ∴PD AC ⊥，由(1)得BD AC ⊥， 又PDDB D =， 故AC PBD ⊥平面．……………14分17. 解:(Ⅰ)因为tan BD a θ=,所以ABD ∆的面积为21tan 2a θ((0,)2πθ∈)…(2分) 设正方形BEFG 的边长为t ,则由FG DG AB DB =,得tan tan t a t aa θθ-=,解得tan 1tan a t θθ=+,则2222tan (1tan )a S θθ=+…………………………………………………………(6分)所以222212211tan tan tan 22(1tan )a S a S a θθθθ=-=-+,则212(1tan )12tan S y S θθ+==- (9分)(Ⅱ)因为tan (0,)θ∈+∞,所以1111(tan 2)1(tan )2tan 2tan y θθθθ=++-=+1≥… (13分) 当且仅当tan 1θ=时取等号,此时2aBE =.所以当BE 长为2a时,y 有最小值1…………………………… (15分) 18. 解:(Ⅰ)设圆心C (,)a b ,则222022212a b b a --⎧++=⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎩,解得00a b =⎧⎨=⎩…………… (3分) 则圆C 的方程为222x y r +=,将点P 的坐标代入得22r =,故圆C 的方程为222x y +=…………………… (5分) (Ⅱ)设(,)Q x y ,则222x y +=,且(1,1)(2,2)PQ MQ x y x y ⋅=--⋅++… (7分) =224x y x y +++-=2x y +-,所以PQ MQ ⋅的最小值为4-(可由线性规划或三角代换求得)…(10分)(Ⅲ)由题意知, 直线PA 和直线PB 的斜率存在,且互为相反数,故可设:1(1)PA y k x -=-,:1(1)PB y k x -=--,由221(1)2y k x x y -=-⎧⎨+=⎩,得222(1)2(1)(1)20k x k k x k ++-+--= …………………………………………(11分)因为点P 的横坐标1x =一定是该方程的解,故可得22211A k k x k --=+………… (13分) 同理,22211B k k x k +-=+, 所以(1)(1)2()1B A B A B A AB B A B A B Ay y k x k x k k x x k x x x x x x ------+====---=OP k所以,直线AB 和OP 一定平行……………………………………(15分)19、解:(1)由题意，()f x 的定义域为(0,)+∞，且221()a x a f x x x x +'=+=．……2分①当0a ≥时，()0f x '>，∴()f x 的单调增区间为(0,)+∞．………………(3分) ②当0a <时，令()0f x '>，得x a >-，∴()f x 的单调增区间为(,)a -+∞．…4分(2)由(1)可知，2()x af x x +'=①若1a ≥-，则0x a +≥，即()0f x '≥在[1,]e 上恒成立，()f x 在[1,]e 上为增函数，∴min 3[()](1)2f x f a ==-=，∴32a =-(舍去)．…………… (6分) ②若a e ≤-，则0x a +≤，即()0f x '≤在[1,]e 上恒成立，()f x 在[1,]e 上为减函数，∴min 3[()]()12a f x f e e ==-=，∴2e a =-(舍去)．………………………8分 ③若1e a -<<-，当1x a <<-时，()0f x '<，∴()f x 在(1,)a -上为减函数， 当a x e -<<时，()0f x '>，∴()f x 在(,)a e -上为增函数，∴min 3[()]()ln()12f x f a a =-=-+=，∴a =综上所述，a =………………………………………………………………10分(3)∵2()f x x <，∴2ln ax x x -<．∵0x >，∴3ln a x x x >-在(1,)+∞上恒成立……………………………12分令32()ln ,()()1ln 3g x x x x h x g x x x '=-==+-，则2116()6x h x x x x -'=-=. ∵1x >，∴()0h x '<在(1,)+∞上恒成立，∴()h x 在(1,)+∞上是减函数，∴()(1)2h x h <=-，即()0g x '<，∴()g x 在(1,)+∞上也是减函数，∴()(1)1g x g <=-．∴当2()f x x <在(1,)+∞恒成立时，1a ≥-．……………………………………16分20．解:(Ⅰ)由1122,a b a b ==得:a ba b ab=⎧⎨+=⎩，解得:0a b ==或2a b ==，,a b N +∈， 2a b ∴==，从而2,2nn n a n b ==…………………………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)得132,6a a ==，∴1213,,,k n n n a a a a a ，，，构成以2为首项，3为公比的等比数列，即:123k k n a +=⋅ ……………………………………………………… 7分1223k k n +=⋅，13k k n +∴=…………………………………………10分(Ⅲ) 由11223a b a <<<得:2a b a b ab a b <<+<<+，由a b ab +<得:()1a b b->；由2ab a b <+得:()12a b b-<，而*,,a b N a b ∈<，即:1b a >≥，从而得:12211241111b b a b b b b <+=<<=+≤----，2,3a ∴=，当3a =时，2b =不合题意，故舍去，所以满足条件的2a =. …………………………………………………………………12分 又2(1)m a b m =+-，12n n b b -=⋅，故()1212n b m t b -+-+=⋅，即:()1212n m b t--+=+①若1210n m --+=，则2t N =-∉，不合题意；………………………………… 14分②若1210n m --+≠，则1221n t b m -+=-+，由于121n m --+可取到一切整数值，且3b ≥，故要至少存在三个b 使得()m n a t b t N +=∈成立，必须整数2t +至少有三个大于或等于3的不等的因数，故满足条件的最小整数为12，所以t 的最小值为10，此时3b =或4或12…………………………………………………………………16分附加题部分21． A ．(1)证明:连结ON ．∵PN 切⊙O 于N ，∴∠ONP=90°．∴∠ONB+∠BNP=90°． ∵OB=ON ，∴∠OBN=∠ONB ．∵BO ⊥AC 于O ，∴∠OBN +∠BMO=90°．∴∠BNP=∠BMO=∠PMN ，∴PM=PN ． ∴PM2=PN2=PA·PC ．………………………………………………………5分(2)解:OM=2，BO=BM=4．∵BM·MN=CM·MA=(+2)(-2)=8，∴MN=2．………………………………10分B ．解:MN = 1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦10201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦=10202⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，---------------------------------------------------4分即在矩阵MN 变换下122x x x y y y ⎡⎤''⎡⎡⎤⎤⎢⎥→=⎢⎢⎥⎥⎢⎥''⎦⎦⎣⎣⎢⎦⎣，-------------------------------------7分 则1sin 22y x ''''=，即曲线sin y x =在矩阵MN 变换下的函数解析式为2sin 2y x =．----------10分C ．解:(1)圆O:cos sin ρθθ=+，即2cos sin ρρθρθ=+， 圆O 直角坐标方程为:22x y x y +=+，直线sin 4l ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭:， 即sin cos 1ρθρθ-=，则直线l 的直角坐标方程为:1y x -=； --------------------------------------6分(2)由220,10,x y x y x y ⎧+--=⎨-+=⎩得0,1,x y =⎧⎨=⎩故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为(1,)2π．----------------------------------10分D ．证明:(1)当2n =时，左边＝11113123412++=>，∴2n =时成立； ----------3分(2)假设当(2)n k k =≥时成立，即21111112k k k k ++++>++， 那么当1n k =+时，左边2221111()11(1)k k k k =++++++++ 222111111()11(1)k k k k k k =++++++-+++2221111(21)111(1)k k k k k k k -->++⋅-=+>++，∴1n k =+时也成立， --------------------------------------8分根据(1)(2)可得不等式对所有的1n >都成立． ---------------------------10分22．解:(1)分别记甲、乙、丙三个同学笔试合格为事件1A 、2A 、3A ；E 表示事件“恰有一人通过笔试”，则123123123()()()()P E P A A A P A A A P A A A =++0.60.50.60.40.50.60.40.50.4=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.38=；--------------5分(2)解法一:因为甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格的概率均为0.3p =，所以~(30.3)B ξ，，故()30.30.9E np ξ==⨯=．------------10分 解法二:分别记甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格为事件AB C ，，， 则()()()0.3P A P B P C ===所以2(1)3(10.3)0.30.441P ξ==⨯-⨯=， 2(2)30.30.70.189P ξ==⨯⨯=，3(3)0.30.027P ξ===． 于是，()10.44120.18930.0270.9E ξ=⨯+⨯+⨯=．23．解:(1)设N(x ，y)．因PN PM +=0，故P 的坐标为(2x，0)，M(0，-y)，于是，(,)2x PM y =--，(,1)2x PF =-， 因0PM PF ⋅=，即得曲线C 的方程为x2=4y ； -------------------5分(2)设Q(m ，-1)．由题意，两条切线的斜率k 均存在，故可设两切线方程为y=k(x-m)-1， 将上述方程代入x2=4y ，得x2-4kx+4km+4=0，依题意，∆=(-4k)2-4(4km+4)=0，即k2-mk-1=0，上述方程的两根即为两切线的斜率，其积为-1，即它们所在直线互相垂直． -------------------10分。

南通市 2011 届高三第一次调研测试 数学参考答案
A．必做题部分
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分． 1．{1} 8． 2．0.2 3． z 5 9．1 13． m ≥ 4．55 10． 2 2 5．690 6． 1 7． （2） ， （4）
5 2
11． C 1, 3
（2）由（1） ，可知 OD 6 ． 又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点 P 在弧 DE 上，故 OP 6 ．„„„„„8 分
π 设 POE ， 0 ≤ ，“矩形草坪”的面积为 4
S 6 sin

6 cos 6 sin 6 sin cos sin 2
t
设 P(0, y1 ), Q(0, y2 ) ，则 y1、 2
72 72 2 (t ） 32 t t ． 2
由线段 PQ 的中点坐标为（0，9） ，得 y1 y2 18 ， t
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72 18 ． t
此时所求圆的方程为 x2 y 2 2 x 18 y 8 0 ．„„„„„„„„„„„„„„„15 分 （本题用韦达定理也可解） （2） （法二）由圆过点 A、F 得圆心横坐标为－1，由圆与 y 轴交点的纵坐标为（0，9） ， 得圆心的纵坐标为 9，故圆心坐标为（－1，9） ．„„„„„„„„„„„„„„ 11 分 易求得圆的半径为 3 10 ，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„13 分 所以，所求圆的方程为 （x 1)2 ( y 9)2 90 ．„„„„„„„„„„„„„„„ 15 分 19． （本题满分 16 分） 解： （1） ∵ g ( x) 的图象与 f ( x ) 的图象关于 y 轴对称， ∴ f ( x) 的图象上任意一点 P( x, y ) 关于 y 轴对称的对称点 Q( x, y) 在 g ( x) 的图象上． 当 x [1, 0) 时， x (0,1] ，则 f ( x) g ( x) ln( x) ax2 ．„„„„„„„„„2 分 ∵ f ( x) 为 [1,1] 上的奇函数，则 f (0) 0 ．„„„„„„„„„„„„„„„„4 分 当 x (0,1] 时， x [1,0) ， f ( x) f ( x) ln x ax2 ．„„„„„„„„„„6 分

2018届高三年级第一次学情检测数 学 试 卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1. 已知全集U N =（N 是自然数集），集合{}20A x x =->，则U C A = ▲ ．2. 函数()2ln 2()1x x f x x -=-的定义域是 ▲ ．3. “12>a ”是“13>a ”的 ▲ 条件．（填“充分不必要”， “必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”） 4. )31<<x ，则)(x f 的值域是 ▲ ． 5. 若0.330.30.3,0.3,log 3a b c ===，则,,a b c 的值从小到大的顺序是 ▲ ． 6. 设2()2f x ax bx =++是定义在[1,2]a +上的偶函数，则()f x 的值域是 ▲ ．7. 若命题“2 0t R t at a ∃∈--<，”是假命题，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 8. 若函数()22x f x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是 ▲ ．9. 已知函数()22x x f x -=-，若不等式()()230f x ax a f -++>对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．10. ，若()f x 在区间[],4m 上的值域为[]1,2-，则实数m 的取值范围是 ▲ ．11. 已知函数322()3f x x mx nx m =+++在1x =-时有极值0，则m n += ▲ ．12. []12,2,3x R x ∀∈∃∈，使得2211221233x x x x x mx ++≥+-成立，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 13. 用()C A 表示非空集合A 中的元素个数，定义()(),()()*()(),()()C A C B C A C B A B C B C A C A C B -≥⎧=⎨-<⎩.若{}{}221,2,()(2)0A B x x ax x ax ==+++=，且*1A B =，设实数a 的所有可能取值组成的集合是S ，则()C S = ▲ ．14.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －[x ]，x ≥0，f （x ＋1），x ＜0，其中[x ]表示不超过x 的最大整数.若直线y ＝k (x ＋1)(k ＞0)与函数y ＝f (x )的图象恰有三个不同的交点，则实数k 的取值范围是 ▲ ．二、解答题: 本大题共6小题．共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分）已知函数()()()log 1log 3a a f x x x =++-（0a >且1a ≠），且()12f =. （1）求a 的值及()f x 的定义域；（2）若不等式()f x c ≤恒成立，求实数c 的取值范围.16.（本小题满分14分）已知0107:2<+-x x p ，034:22<+-m mx x q ，其中0>m ． （1）已知4=m ，若q p ∧为真，求x 的取值范围；（2）若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．17．（本小题满分14分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式2()(5)2ay f x b x x ==+--，其中25x <<，,a b 为常数，已知销售价格为4元/千克时，每日可销售出该商品5千克；销售价格为4.5元/千克时，每日可销售出该商品2.35千克．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若该商品的成本为2元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润()f x 最大．18.（本小题满分16分） 已知函数3211()(1)323a f x x a x x =-++-（a ∈R ）． （1）若1a >，求函数()f x 的极值；（2）当01a <<时，判断函数()f x 在区间[]0,2上零点的个数．19．（本小题满分16分） 函数2()ln xf x x=． （1）求函数()y f x =在区间(2,e e ⎤⎦上的值域； （2）求()f x 的单调递减区间；（3）若存在0[e,)x ∈+∞，使函数21e()eln ln ()22a g x a x x x f x a +=+-⋅⋅≤成立，求实数a 的取值范围．20.（本小题满分16分） 已知函数1()2(1)(0).x a f x ae a a x+=+-+> ⑴当1a =时，求()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；⑵若对于任意的()0,x ∈+∞，恒有()0f x ≥成立，求实数a 的取值范围．2018届高三年级第一次学情检测数学加试试卷（物理方向考生作答）解答题（共4小题，每小题10分共40分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1. 求下列函数的导函数3)23()1(-=x y ）（12log )2(2+=x y2. 求曲线3232y x x x =-+过点()0,0的切线方程．3. 已知关于x 的不等式2320ax x -+>（a R ∈）.（1）若不等式2320ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >，求a ，b 的值； （2）求不等式2325ax x ax -+>-（a R ∈）的解集.4. 已知函数()()2221x f x e ax x =+-， a R ∈．（1）若函数()y f x =在(],2-∞-上单调递增，求实数a 取值范围； （2）当0x ≤时，()10f x +≥，求实数a 的取值范围．2018届高三年级第一次学情检测数学参考答案一、填空题: 本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上1. {}0,1,2;2.(0,1)⋃(1,2);3.必要不充分条件; 5 .c <b <a 6.[-10,2] 7. 8. ()0,29. ()2,6- 10.[]4,1-- 11. 11 12. 4m ≤ 13. 314.⎥⎦⎤⎢⎣⎡31,41二、解答题: 本大题共6小题．共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(本小题满分14分)已知函数()()()log 1log 3a a f x x x =++-（0a >且1a ≠），且()12f =. （1）求a 的值及()f x 的定义域；（2）若不等式()f x c ≤恒成立，求实数c 的取值范围.解：（1）因为()12f =，所以2log 22a =，故2a =， …………………………2分所以()()()22log 1log 3f x x x =++-， 由1030x x +>⎧⎨->⎩得13x -<<，所以()f x 的定义域为()1,3-. ……………………………………7分（2）由（1）知，()()()22log 1log 3f x x x =++-()()2log 13x x =+-…………9分()22log 23x x =-++=()22log 14x ⎡⎤--+⎣⎦， 故当1x =时，()f x 的最大值为2，所以c 的取值范围是[)2,+∞. ……………………………………)53,31(.440a -≤≤14分16. 已知0107:2<+-x x p ，034:22<+-m mx x q ，其中0>m ． （1）已知4=m ，若q p ∧为真，求x 的取值范围；（2）若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 解：（1）由01072<+-x x ，解得52<<x ，所以52:<<x p又03422<+-m mx x ，因为0>m ，解得m x m 3<<，所以m x m q 3:<<． 当4=m 时，124:<<x q ，又q p ∧为真，q p ,都为真，所以54<<x ． …………………………………6分（2）由q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，即q ⌝⇒p ⌝，p⌝≠>q ⌝，其逆否命题为p q q p ≠>⇒,， (8)分由（1）52:<<x p ，m x m q 3:<<， …………………………………10分所以⎪⎩⎪⎨⎧>≥≤0532m m m ，即：52.3m ≤≤ …………………………………14分17. 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式2()(5)2ay f x b x x ==+--，其中25x <<，,a b 为常数，已知销售价格为4元/千克时，每日可销售出该商品5千克；销售价格为4.5元/千克时，每日可销售出该商品2.35千克． （1）求函数()f x 的解析式；（2）若该商品的成本为2元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润()f x 最大．解：（1）由题意，(4)5,22(4.5) 2.3554a f b a b f ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩， …………………………………2分解得4a b == ， …………………………………4分故24()3(5)2f x x x =+--；25x << …………………………………6分（2）商场每日销售该商品所获得的利润为(2)()y x f x =-243(2)(5)y x x =+--(25)x << …………………………………8分9(3)(5)y x x '=--列表：由上表可得,3x =是函数()f x 在区间()2,5内的极大值点，也是最大值点所以，当3x =时，函数()f x 取得最大值，且最大值等于16 ．故销售价格为3元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． ………14分18.已知函数3211()(1)323a f x x a x x =-++-（a ∈R ）． （1）若1a >，求函数()f x 的极值；（2）当01a <<时，判断函数()f x 在区间[]0,2上零点的个数． 解：（1…………………………………4分所以()f x 的极大值为221231()6a a f a a -+-=，极小值为1(1)(1)6f a =--．…………8分（2 所以()f x 在[]0,2上有两个零点 …………………………………11分，()f x 在()0,1上单调递增，上递增， 又因为所以()f x 在[]0,1上有且只有一个零点，在[]1,2上没有零点，所以在[]0,2上有且只有一个零点时，()f x 在[]0,2上有两个零点；时，()f x 在[]0,2上有且只有一个零点 …………………………………16分19. 已知函数2()ln xf x x=． （1）求函数()y f x =在区间(2,e e ⎤⎦上的值域； （2）求()f x 的单调递减区间；（3）若存在0[e,)x ∈+∞，使函数21e()eln ln ()22a g x a x x x f x a +=+-⋅⋅≤成立，求实数的取值范围．解:（1）由已知22(ln 1)()(ln )x f x x -'=，因为(2,x e e ⎤∈⎦，所以()0f x '>， 所以函数()y f x =在区间(2,e e ⎤⎦上单调递增，又因为()()222,f e e f e e ==，所以函数()y f x =的值域为(22,e e ⎤⎦ …………………………………4分（2）函数()f x 的定义域为(0,1)(1,)+∞，22(ln 1)'()(ln )x f x x -=，由'()0f x <，解得01x <<或1e x <<，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)和(1,e)． (8)分（3）因为21()eln (e)2g x a x x a x =+-+， 由已知，若存在0[e,)x ∈+∞使函数21()eln (e)2g x a x x a x a =+-+≤成立， 则只需满足当[e,)x ∈+∞时，min ()g x a ≤即可． (10)分又21()eln (e)2g x a x x a x =+-+， 则2e (e)e ()(e)'()(e)a x a x a x a x g x x a x x x-++--=+-+==， ……………12分①若e a ≤，则()0g x '≥在[),x e ∈+∞上恒成立， 所以()g x 在[),e +∞上单调递增，所以()()()22min122e g x g e ae e e a e ==+-+=-所以22e a -≥，又因为a e ≤，22e a e -≤≤ (14)分②若a e >，则()g x 在[),e a 上单调递减，在[),a +∞上单调递增 所以()g x 在[),e +∞上的最小值是()g a又因为()()202e g a g e <=-<，而0a e >>，所以一定满足条件综上所述，的取值范围是2e 2a -≥． ………………………………16分20. 已知函数1()2(1)(0).x a f x ae a a x+=+-+>⑴当1a =时，求()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；⑵若对于任意的()0,x ∈+∞，恒有()0f x ≥成立，求实数a 的取值范围． 解:()1当1a =时，2()4x f x e x =+-因为，22()x f x e x'=-所以， (1)2f e '=-所以， 所以，()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为(2)0e x y --= (4)分()21()2(1)(0)xa f x ae a a x+=+-+>因为．所以 22(1)(),x ax e a f x x -+'= 令2()(1)x g x ax e a =-+，则()(2)0xg x a x x e'=+>， (8)分()g x 所以在()0,+∞上单调递增， (0)(1)0,g a =-+<因为2(1)(1)0g a a a a =-+>+= ， 所以存在()00,x ∈+∞，使0()0g x =，且()f x 在()00,x 上单调递减，()f x 在()0,x +∞ 上单调递增，000220002(1)()(1)0,=(1)=x x x a g x ax e a ax e a ae x +=-+=+因为所以，即， 因为对于任意的()0,x ∈+∞，恒有()0f x ≥成立，所以0min 001()()2(1)0x a f x f x ae a x +==+-+≥，………………………………12分所以200112(1)0a a a x x +++-+≥，2001120x x +-≥所以，所以200210x x --≤， 解得0112x -≤≤，因为020=(1)x ax e a +，∴0201=1x a x e a+>， 令0200()x h x x e =，而00200000()(2)(2)x x h x x x e x x e '=+=+， 当01,02x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，0()0h x '<，(]00,1x ∈时，0()0h x '>，所以0()h x 在1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上为减函数，在(]0,1上为增函数.又1(0)0,()(1)2h h h e =-=所以[]0()0h x e 的值域为， ，所以11a e a +<≤ ，解得11a e ≥- . 故所求实数a 的取值范围为1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭……………………………………16分数学（加试）参考答案1.下列函数的导函数（1）3(32)y x =- （2） (21)2log x y +=解：（1）223(32)39(32)y x x '=-⨯=- ………………………………5分（2）2(21)ln 2y x '=+ (10)分2. 求曲线3232y x x x =-+过点()0,0的切线方程．解：设切点坐标()00,P x y ，因为 2362y x x '=-+ 所以 2000()362f x x x '=-+ 曲线在()00,P x y 处的切线方程为32200000032(362)()y x x x x x x x -+-=-+- 又切线过点()0,0，所以32200000032(362)()x x x x x x -+-=-+- ……………………4分即3200230x x -=，解得0030.2x x ==或所以001()2()4f x f x ''==-或………………………………8分所以，12.4y x y x ==-切线方程为或 ………………………………10分3. 已知关于x 的不等式2320ax x -+>（a R ∈）.（1）若不等式2320ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >，求a ，b 的值； （2）求不等式2325ax x ax -+>-（a R ∈）的解集.解：（1）将1x =代入2320ax x -+=，则1a =因为，不等式为2320x x -+>，即()()120x x -->所以，不等式解集为{2x x >或}1x <，所以2b = (4)分（2）不等式为()2330ax a x +-->，即()()310ax x -+>当0a =时，原不等式解集为{}1x x <- (6)分当0a ≠时，方程()()310ax x -+=的根为13x a=，21x =-， ①当0a >时，31a >-，∴3x x a ⎧>⎨⎩或}1a <-②当30a -<<时，31a <-，∴31x x a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭③当3a =-时，31a=-，∴∅ ④当3a <-时，31a >-，∴31x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭………………………………10分4. 已知函数()()2221x f x e ax x =+-， a R ∈．（1）若函数()y f x =在(],2-∞-上单调递增，求实数a 取值范围； （2）当0x ≤时，()10f x +≥，求实数a 的取值范围．解：（1）()()22222x f x e ax a x '=++⎡⎤⎣⎦，因为函数()y f x =在(],2-∞-上单调递增所以()0f x '≥在(],2x ∈-∞-上恒成立，即()220ax a x ++≥在(],2x ∈-∞-时恒成立当0a =时，20x ≥，不合题意，当0a ≠时，0a >且22a a+--≥ 解得：2a ≥ 所以，实数a 取值范围为2a ≥ (4)分（2）因为，当0x ≤时， ()10f x +≥，即当0x ≤时， ()222110x e ax x +-+≥所以，当0x ≤时， 221210x ax x e+-+≥， 设()22121x h x ax x e =+-+，则()22212221x x h x ax ax e e ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭'， (5)设()211x m x ax e =+-，则()22x m x a e=+'． ①当2a -≥时，因为0x ≤，所以222xe ≥从而()0m x '≥， 所以()211xm x ax e =+-在(],0-∞上单调递增， 又因为()00m =，所以当0x ≤时，()0m x ≤， 从而当0x ≤时，()0h x '≤，所以()22121x h x ax x e=+-+在(],0-∞上单调递减又因为()00h =，从而当0x ≤时，()0h x ≥，即221210xax x e +-+≥ 于是当0x ≤时，()10f x +≥ (7)分②当2a <-时，令()0m x '=，得22xa e +=，∴12102x n a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭， 故当121,02x n a ⎛⎤⎛⎫∈- ⎪⎥⎝⎭⎝⎦时， ()2220x x a m x e e a ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭'，∴()211x m x ax e =+-在121,02n a ⎛⎤⎛⎫- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦上单调递减， 又∵()00m =，∴当121,02x n a ⎛⎤⎛⎫∈- ⎪⎥⎝⎭⎝⎦时， ()0m x ≥，从而当121,02x n a ⎛⎤⎛⎫∈- ⎪⎥⎝⎭⎝⎦时， ()0h x '≥∴()22121x h x ax x e =+-+在121,02n a ⎛⎤⎛⎫- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦上单调递增，又∵()00h =， 从而当121,02x n a ⎛⎫⎛⎫∈-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时， ()0h x <，即221210xax x e +-+< 于是当121,02x n a ⎛⎤⎛⎫∈-⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦时， ()10f x +<， 综合得a 的取值范围为[)2,-+∞． ………………………………。

B．附加题部分
21．【选做题】本题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题，每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4－1：几何证明选讲
锐角三角形 内接于⊙O，∠ABC=60，∠BAC=40．作OE⊥AB交劣弧 于点E，连接EC，求∠OEC．
B．选修4－2：矩阵与变换
曲线 在矩阵 的作用下变换为曲线 ，
求 的方程．
C．选修4－4：坐标系与参数方程
P为曲线 ： （ 为参数）上一点，求它到直线 ： （ 为参数）距离的最小值．
D．选修4－5：不等式选讲
设 ，求证： ．
22．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
用数学归纳法证明：
为▲．
11．在平面直角坐标系 中，已知A（0，－1），B（－3，－4）两点．若点C在 的平分线上，且 ，则点C的坐标是▲．
12．已知函数 ，若 在（1，3]上有解，则实数 的取值范围为▲．
13．已知 ，若对 ， ， ，则实数 的取值范围是▲．
14．已知等腰三角形腰上的中线长为 ，则该三角形的面积的最大值是▲．
（1）求 的值和 的大小；
（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF上，一个顶点在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧 上，且 ，求当“矩形草坪”的面积取最大值时 的值．
18．（本题满分15分）
如图，已知椭圆 的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，直线l为椭圆的右准线，N为l上一动点，且在x轴上方，直线AN与椭圆交于点M．
∴∠EOC=80+80=160．…………………………………………………………………8分

2015-2016学年江苏省南通市如东县高三（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1．设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0＜x＜4}，则A∩B=______．2．某校春季高考对学生填报志愿情况进行调查，采用分层抽样的办法抽取样本，该校共有200名学生报名参加春季高考，现抽取了一个容量为50的样本，已知样本中女生比男生多4人，则该校参加春季高考的女生共有______名．3．如果复数z=（i为虚数单位）的实部与虚部互为相反数，那么|z|=______．4．函数f（x）=ln（x﹣x2）的单调递减区间为______．5．如图是一个算法的流程图，则输出的k的值是______．6．若将甲、乙、丙三个球随机放入编号为1，2两个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则每个盒子中球数不小于其编号的概率是______．7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3≥6，S5≤20，则a6的最大值为______．8．若α，β∈（0，），cos（α﹣）=，sin（﹣β）=﹣，则cos（α+β）的值等于______．9．设向量=（sin，cos），=（sin，cos）（n∈N+），则（•）=______．10．已知直线l：x﹣2y+m=0上存在点M满足与两点A（﹣2，0），B（2，0）连线的斜率k MA与k MB之积为﹣1，则实数m的取值范围是______．11．某工广生产一种无盖冰激凌纸筒为圆柱形，现一客户定制该圆柱纸筒，并要求该圆柱纸筒的容积为27πcm3，设该圆柱纸筒的底面半径为r，则工厂要求制作该圆柱纸筒的材料最省时，r的值为______cm．12．已知等比数列{a n}，首项a1=2，公比q=3，a p+a p+1+…+a k=2178（k＞p，p，k∈N+），则p+k=______．13．设函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣2x+b有两个零点，则参数b的取值范围是______．14．对任意实数x＞1，y＞，不等式p≤+恒成立，则实数p的最大值为______．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知函数f（x）=2cos2x+sin2x．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）在△ABC中，若C为锐角，f（A+B）=0，AC=2，BC=3，求AB的长．16．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是边BC上异于C的一点，AD⊥C1D．（1）求证：AD⊥平面BCC1B1；（2）如果点E是B1C1的中点，求证：平面A1EB∥平面ADC1．17．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且右准线方程为x=4．（1）求椭圆的标准方程；（2）设P（x1，y1），M（x2，y2）（y2≠y1）是椭圆C上的两个动点，点M关于x轴的对称点为N，如果直线PM，PN与x轴交于（m，0）和（n，0），问m•n是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．18．如图，某景区有一座高AD为1千米的山，山顶A处可供游客观赏日出，坡角∠ACD=30°，在山脚有一条长为10千米的小路BC，且BC与CD垂直，为方便游客，该景区拟在小路BC上找一点M，建造两条直线型公路BM和MA，其中公路BM每千米的造价为30万元，公路MA每千米造价为30万元．（1）设∠AMC=θ，求出造价y关于θ的函数关系式；（2）当BM长为多少米时才能使造价y最低？19．已知a＞0，且a≠1，函数f（x）=a x﹣1，g（x）=﹣x2+xlna．（1）若a＞1，证明函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数；（2）求函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值；（3）若函数F（x）的图象过原点，且F′（x）=g（x），当a＞e时，函数F（x）过点A（1，m）的切线至少有2条，求实数m的值．20．已知等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，且数列{b n}的前n项和为S n．（1）若a1=b1=d=2，S3＜a1006+5b2﹣2016，求整数q的值；（2）若S n+1﹣2S n=2，试问数列{b n}中是否存在一点b k，使得b k恰好可以表示为该数列中连续p（p∈N，p≥2）项的和？请说明理由？（3）若b1=a r，b2=a s≠a r，b3=a t（其中t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的约数），证明数列{b n}中每一项都是数列{a n}中的项．2015-2016学年江苏省南通市如东县高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1．设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0＜x＜4}，则A∩B={x|0＜x≤2} ．【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0＜x＜4}，∴A∩B={x|0＜x≤2}，故答案为：{x|0＜x≤2}2．某校春季高考对学生填报志愿情况进行调查，采用分层抽样的办法抽取样本，该校共有200名学生报名参加春季高考，现抽取了一个容量为50的样本，已知样本中女生比男生多4人，则该校参加春季高考的女生共有108名．【考点】分层抽样方法．【分析】根据样本容量和女生比男生多4人，可得样本中女生数，再根据抽取的比例可得总体中的女生人数．【解答】解：∵样本容量为50，女生比男生多4人，∴样本中女生数为27人，又分层抽样的抽取比例为=，∴总体中女生数为27×4=108人．故答案为：108．3．如果复数z=（i为虚数单位）的实部与虚部互为相反数，那么|z|=．【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则及其实部与虚部互为相反数，解得a，再利用复数模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z===的实部与虚部互为相反数，∴+=0，解得a=0．∴z=．∴|z|==．故答案为：．4．函数f（x）=ln（x﹣x2）的单调递减区间为[，）．【考点】复合函数的单调性．【分析】令t=x﹣x2＞0，求得函数的定义域，f（x）=g（t）=lnt，本题即求函数函数t在定义域内的减区间，再利用二次函数的性质可得结论．【解答】解：令t=x﹣x2＞0，求得0＜x＜1，可得函数的定义域为（0，1），f（x）=g（t）=lnt．本题即求函数t在定义域内的减区间，函数t在定义域内的减区间为[，1），故答案为：[，1）．5．如图是一个算法的流程图，则输出的k的值是4．【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，循环可得结论．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：第一次循环，s=5，k=1，第二次循环，s=13，k=2，第三次循环，s=13，k=3，第四次循环，s=29，k=4，退出循环，输出k=4．故答案为：4．6．若将甲、乙、丙三个球随机放入编号为1，2两个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则每个盒子中球数不小于其编号的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】将甲、乙、丙三个球随机放入编号为1，2两个盒子中，每个盒子的放球数量不限，先求出基本事件总数，每个盒子中球数不小于其编号的情况是1号盒中放1个，2号盒中放2个，求出有多少种放法，由此能求出每个盒子中球数不小于其编号的概率．【解答】解：将甲、乙、丙三个球随机放入编号为1，2两个盒子中，每个盒子的放球数量不限，基本事件总数n=23=8，每个盒子中球数不小于其编号的情况是1号盒中放1个，2号盒中放2个，有=3种放法，∴每个盒子中球数不小于其编号的概率：p=．故答案为：．7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3≥6，S5≤20，则a6的最大值为10．【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的前n项和公式得到，由此能求出a6的最大值．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3≥6，S5≤20，∴，∴，∴a6=a1+5d=﹣3（a1+d）+4（a1+2d）≤﹣3×2+4×4=10，∴a6的最大值为10．故答案为：10．8．若α，β∈（0，），cos（α﹣）=，sin（﹣β）=﹣，则cos（α+β）的值等于﹣．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】根据题意可得α﹣=±，﹣β=﹣，由此求得α+β的值，可得cos（α+β）的值．【解答】解：∵α，β∈（0，），cos（α﹣）=，sin（﹣β）=﹣，∴α﹣=±，﹣β=﹣，∴α=β=或α+β=0（舍去）．∴cos（α+β）=﹣，故答案为：﹣．9．设向量=（sin，cos），=（sin，cos）（n∈N+），则（•）=﹣1．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】化简•=cos．于是根据诱导公式可得+=+=+=…=+=0，所以（•）=+=cos+cosπ=﹣1．【解答】解：•=sin sin+cos cos=cos（﹣）=cos．∴+=cos+cos=0，同理， +=0， +=0，…+=0．∴（•）=+=cos+cosπ=﹣1．故答案为﹣1．10．已知直线l：x﹣2y+m=0上存在点M满足与两点A（﹣2，0），B（2，0）连线的斜率k MA与k MB之积为﹣1，则实数m的取值范围是[﹣2，2]．【考点】圆方程的综合应用．【分析】设出M的坐标，由k MA与k MB之积为3得到M坐标的方程，和已知直线方程联立，化为关于x的一元二次方程后由判别式大于等于0求得实数m的取值范围．【解答】解：设M（x，y），由k MA•k MB=3，得•=﹣1，即x2+y2=4．联立，得5y2﹣4my+m2﹣4=0．要使直线l：x﹣2y+m=0上存在点M满足与两点A（﹣2，0），B（2，0）连线的斜率k MA 与k MB之积为﹣1，则△=（4m）2﹣20（m2﹣4）≥0，即m2≤20．解得m∈[﹣2，2]．∴实数m的取值范围是：[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．11．某工广生产一种无盖冰激凌纸筒为圆柱形，现一客户定制该圆柱纸筒，并要求该圆柱纸筒的容积为27πcm3，设该圆柱纸筒的底面半径为r，则工厂要求制作该圆柱纸筒的材料最省时，r的值为3cm．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】设底面半径为r，高为h，则由题意得S=2πrh+πr2=，由此利用导数能求出制作该圆柱纸筒的材料最省时，r的值．【解答】解：设底面半径为r，高为h，则由题意得h=，∴S=2πrh+πr2=，∴S′=，当0＜r＜3时，S′＜0，当r＞3时，S′＞0，故r=3时，取得极小值，也是最小值，∴制作该圆柱纸筒的材料最省时，r的值为3．故答案为：3．12．已知等比数列{a n}，首项a1=2，公比q=3，a p+a p+1+…+a k=2178（k＞p，p，k∈N+），则p+k=10．【考点】数列的求和．【分析】通过a n=2•3n﹣1可知a p+a p+1+…+a k=3p﹣1（3k﹣p+1﹣1），利用2178=32•（35﹣1）比较即得结论．【解答】解：依题意，a n=2•3n﹣1，则2178=a p+a p+1+…+a k==3p﹣1（3k﹣p+1﹣1），又∵2178=9=32•（35﹣1），∴，即，∴p+k=10，故答案为：10．13．设函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣2x+b有两个零点，则参数b的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪（0，2ln2﹣1）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由y=f（x）﹣2x+b=0得f（x）=2x﹣b，作出函数f（x）和y=2x﹣b的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图：，由y=f（x）﹣2x+b=0得f（x）=2x﹣b，当g（x）=2x﹣b经过点（0，2）时，满足两个函数有两个交点，此时﹣b=2，即b=﹣2，当﹣b≥2，即b≤﹣2时，满足条件，当g（x）=2x﹣b与f（x）=e x﹣1相切时，由f′（x）=e x=2得x=ln2，y=e ln2﹣1=2﹣1=1，即切点坐标为（ln2，1），此时2ln2﹣b=1，即b=2ln2﹣1，当直线g（x）=2x﹣b经过原点时，b=0，∴要使两个函数有两个交点，则此时0＜b＜2ln2﹣1，综上0＜b＜2ln2﹣1或b≤﹣2，故实数b的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪（0，2ln2﹣1），故答案为：（﹣∞，﹣2]∪（0，2ln2﹣1）14．对任意实数x＞1，y＞，不等式p≤+恒成立，则实数p的最大值为8．【考点】函数恒成立问题．【分析】根据不等式p≤+恒成立，转化为求+的最小值即可，利用换元法，结合基本不等式进行求解即可．【解答】解：设a=2y﹣1，b=x﹣1，∵x＞1，y＞，∴a＞0，b＞0，且x=b+1，y=（a+1），则+=+≥2×=2×=2（++）≥2×（2+）=2（2+2）=8，当且仅当a=b=1，即x=2，y=1时，取等号．∴p≤8，即p的最大值为8，故答案为：8．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知函数f（x）=2cos2x+sin2x．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）在△ABC中，若C为锐角，f（A+B）=0，AC=2，BC=3，求AB的长．【考点】余弦定理；三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）由三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+）+1，利用周期公式可求f（x）的最小正周期T．（2）由已知可得sin（2A+2B+）=﹣，由A，B是△ABC的内角，解得：A+B=或A+B=，结合A+B+C=π，C为锐角，可得C=，由余弦定理即可求得AB的值．【解答】解：（1）∵f（x）=2cos2x+sin2x=cos2x+1+sin2x=2sin（2x+）+1，…4分∴函数f（x）的最小正周期T=．…7分（2）∵f（A+B）=0，∴sin（2A+2B+）=﹣，∵A，B是△ABC的内角，∴2A+2B+=，或2A+2B+=，解得：A+B=或A+B=，∵A+B+C=π，∴C=，或C=，∵C为锐角，∴可得C=，∵AC=2，BC=3，∴由余弦定理可得：AB2=AC2+BC2﹣2AC×BC×cosC=12+9﹣2×，即AB=．…14分16．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是边BC上异于C的一点，AD⊥C1D．（1）求证：AD⊥平面BCC1B1；（2）如果点E是B1C1的中点，求证：平面A1EB∥平面ADC1．【考点】直线与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定．【分析】（1）由于正三棱柱中，CC1⊥平面ABC，得到AD⊥CC1又已知AD⊥C1D，利用线面垂直的判断定理得到结论．（2）连结A1C，交AC1于O，连结OD，推导出OD∥A1B，由点E是B1C1的中点，可得BD EC1，即BE∥DC1，由BE∩A1B=B，DC1∩OD=D，即可证明平面A1EB∥平面ADC1．【解答】（满分为14分）解：（1）在正三棱柱中，CC1⊥平面ABC，AD⊆平面ABC，∴AD⊥CC1．…又AD⊥C1D，CC1交C1D于C1，且CC1和C1D都在面BCC1B1内，∴AD⊥平面BCC1B1．…（2）连结A1C，交AC1于O，连结OD，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在棱BC上，AD⊥C1D．平面C1AD⊥平面B1BCC1，∴D是BC中点，O是A1C中点，∴OD∥A1B，…∵点E是B1C1的中点，D是BC中点，∴BD EC1，∴四边形BDEC1为平行四边形，BE∥DC1，…∵BE∩A1B=B，DC1∩OD=D，且A1B，BE⊂平面A1EB，DC1，OD⊂平面ADC1，∴平面A1EB∥平面ADC1．…17．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且右准线方程为x=4．（1）求椭圆的标准方程；（2）设P（x1，y1），M（x2，y2）（y2≠y1）是椭圆C上的两个动点，点M关于x轴的对称点为N，如果直线PM，PN与x轴交于（m，0）和（n，0），问m•n是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由椭圆的离心率为，且右准线方程为x=4，列方程组解得a=2，c=1，由此能求出椭圆的标准方程．（2）由P（x1，y1），M（x2，y2），得N（x2，﹣y2），求出直线PM的方程和直线PN的方程，分别令y=0，得m和n，由此能推导出m•n为定值．【解答】解：（1）由题意，得，且，解得a=2，c=1，∴=，∴椭圆的标准方程为．（2）由P（x1，y1），M（x2，y2），得N（x2，﹣y2），∴+=1，，直线PM的方程为y﹣y1=，直线PN的方程为y﹣y1=（x﹣x1），分别令y=0，得m=，n=，∴mn====4为定值，∴m•n为定值4．18．如图，某景区有一座高AD为1千米的山，山顶A处可供游客观赏日出，坡角∠ACD=30°，在山脚有一条长为10千米的小路BC，且BC与CD垂直，为方便游客，该景区拟在小路BC上找一点M，建造两条直线型公路BM和MA，其中公路BM每千米的造价为30万元，公路MA每千米造价为30万元．（1）设∠AMC=θ，求出造价y关于θ的函数关系式；（2）当BM长为多少米时才能使造价y最低？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）通过锐角三角函数的定义易知AC=2、MC=、AM=、BM=10﹣，进而利用y=30（BM+2AM）化简即得结论；（2）通过令y=0可知cosθ=，结合α≤θ≤及tanα=可知θ=，通过求导判定函数的单调性，进而可得结论．【解答】解：（1）在Rt△ADC中，由AD=1、∠ACD=30°可知AC=2，在Rt△ACM中，MC=，AM=，则BM=10﹣，设造价y的单位为千万元，则y=30（BM+2AM）=30（10﹣+）=60（5+），（α≤θ≤，其中tanα=）；（2）y=60•=60•，令y=0，得cosθ=，又∵α≤θ≤，其中tanα=，∴θ=，∴当θ=时y有最小值，此时BM=10﹣．答：当BM长为（10﹣）米时才能使造价y最低．19．已知a＞0，且a≠1，函数f（x）=a x﹣1，g（x）=﹣x2+xlna．（1）若a＞1，证明函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数；（2）求函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值；（3）若函数F（x）的图象过原点，且F′（x）=g（x），当a＞e时，函数F（x）过点A（1，m）的切线至少有2条，求实数m的值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求函数的导数，根据函数单调性和导数的关系进行证明．（2）求函数的解析式，根据函数单调性和最值如导数的关系进行求解．（3）求出函数F（x）的解析式，结合导数的几何意义进行求解．【解答】解：（1）h（x）=f（x）﹣g（x）=a x﹣1+x2﹣xlna，则h′（x）=（a x﹣1）lna+2x，∵a＞1，∴当x＞0时，a x﹣1＞0，lna＞0，∴h′（x）＞0，即此时函数h（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数．（2）由（1）知，当a＞1时，函数h（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数，则在区间（﹣∞，0）上是单调减函数，同理当0＜a＜1时，h（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数，则在区间（﹣∞，0）上是单调减函数，即当a＞0，且a≠1时，h（x）在区间[﹣1，0）上是减函数，在区间（[0，1）上是增函数，当﹣1≤x≤1时，h（x）的最大值为h（﹣1）和h（1）中的最大值，∵h（1）﹣h（﹣1）=（a﹣lna）﹣（+lna）=a﹣﹣2lna，∴令G（a）=a﹣﹣2lna，a＞0，则G′（a）=1+﹣=（1﹣）2≥0，∴G（a）=a﹣﹣2lna，在a＞0上为增函数，∵G（1）=1﹣1﹣2ln1=0，∴a＞1时，G（a）＞0，即h（1）＞h（﹣1），最大值为h（1）=a﹣lna，当0＜a＜1时，G（a）＜0，即h（﹣1）＞h（1），最大值为h（﹣1）=+lna．（3）∵F（x）的图象过原点，且F′（x）=g（x）=﹣x2+xlna，∴设F（x）=﹣x3+x2lna+c，∵F（x）的图象过原点，∴F（0）=0，即c=0，则F（x）=﹣x3+x2lna．设切点为B（x0，﹣x03+x02lna），则B处的切线方程为：y﹣（﹣x03+x02lna）=﹣（﹣x02+x0lna）（x﹣x0），将A的坐标代入得m﹣（﹣x03+x02lna）=﹣（﹣x02+x0lna）（1﹣x0），即m=x03﹣（1+lna）x02+x0lna （※），则原命题等价为关于x0的方程（※）至少有2个不同的解，设φ（x）=x3﹣（1+lna）x2+xlna，则φ′（x）=2x02﹣（2+lna）x+lna=（x﹣1）（2x﹣lna），∵a＞e，∴＞1，当x∈（﹣∞，1）和（，+∞）时，φ′（x）＞0，此时函数φ（x）为增函数，当x∈（1，）时，φ′（x）＜0，此时函数φ（x）为减函数，∴φ（x）的极大值为φ（1）=﹣1﹣lna+lna=lna﹣，φ（x）的极大值为φ（lna）=ln3a﹣ln2a（1+lna）+ln2a=﹣ln3a+ln2a，设t=lna，则t＞，则原命题等价为对t＞恒成立，∴由m≤t﹣得m≤，∵s（t）=﹣t3+t2的最大值为s（4）=，∴由m≥﹣t3+t2，得m≥，即m=，综上所述当a＞e时，函数F（x）过点A（1，m）的切线至少有2条，此时实数m的值为．20．已知等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，且数列{b n}的前n项和为S n．（1）若a1=b1=d=2，S3＜a1006+5b2﹣2016，求整数q的值；（2）若S n+1﹣2S n=2，试问数列{b n}中是否存在一点b k，使得b k恰好可以表示为该数列中连续p（p∈N，p≥2）项的和？请说明理由？（3）若b1=a r，b2=a s≠a r，b3=a t（其中t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的约数），证明数列{b n}中每一项都是数列{a n}中的项．【考点】等比数列的性质；等比数列的前n项和．【分析】（1）若数列{b n}的前n项和为S n，且a1=b1=d=2，S3＜5b2+a88﹣180，借助于通项公式得到q的值．恰好可以表示为该数列中连（2）在（1）的条件下，假设数列{b n}中存在一项b k，使得b，k续P（P∈N，P≥2）项和，然后推理证明．（3）若b1=a r，b2=a s≠a r，b3=a t（其中t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的约数），要证明数列{b n}中每一项都是数列{a n}中的项，只要分析通项公式的特点可以得到．【解答】解：（1）由题意知a n=2+（n﹣1）×2=2n，，∵S3＜a1006+5b2﹣2016，∴b1+b2+b3＜a1006+5b2﹣2016，∴b1﹣4b2+b3＜2012﹣2016，∴q2﹣4q+3＜0，解得1＜q＜3，又q为整数，∴q=2．=2，n≥2，（2）由S n+1﹣2S n=2，得S n﹣2S n﹣1两式相减得b n+1﹣2b n=0，n≥2，∵等比数列{b n}的公比为q，∴q=2，又n=1时，S2﹣2S1=2，∴b1+b2﹣2b1=2，解得b1=2，∴．数列{b n}中存在一点b k，使得b k恰好可以表示为该数列中连续p（p∈N，p≥2）项的和，即b k=b n+b n+1+b n+2+…+b n+p，﹣1，∴2k＞2n+p﹣1，∵，∴b k＞b n+p﹣1∴k＞n+p﹣1，∴k≥n+p，（*）又==2n+p﹣2n＜2n+p，∴k＜n+p，这与（*）式矛盾，∴假设不成立，故数列{b n}中不存在一点b k，使得b k恰好可以表示为该数列中连续p（p∈N，p≥2）项的和，证明：（3）∵b1=a r，b2=a s≠a r，b3=a t（其中t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的约数），∴b2=b1q=a r q=a s=a r+（s﹣r）d，∴d=，∴，∵a s≠a r，∴b1≠b2，∴q≠1，又a r≠0，∴q=，∵t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的约数，∴q是正整数，且q≥2，对于{b n}中的任一项b i（这里只讨论i＞3的情形），有===）=，由于（s﹣r）（1q+…+q i﹣1）+1为正整数，∴b i一定是数列{a n}中的项．2016年9月16日。

2016届如东中 学高 三数学阶段测试一．填空题：1.已知集合{}1,3A =，{}2,B x =，若{1,2,3,4}A B =U ，则x = ▲2.命题“0,1xx e x ∃><+”的否定是 ▲ 3.已知函数=''+=)0(),1(2)(2f f x x x f 则 ▲4．已知函数||)(a x e x f -=（a 为常数）。

若)(x f 在区间),1[+∞上是增函数，则a 的取值范围是 ▲5．已知a ，b 为正实数，函数xbx ax x f 2)(3++=在[]1,0上的最大值为4，则)(x f 在[]0,1-上的最小值为 ▲ 6．已知3(0,),cos()45παπα∈+=，则tan α＝ ▲ 7．若函数)(x f 是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x>0,y>0满足)()()(y f x f xy f +=，则不等式)4(2)()6(f x f x f <++的解集为 ▲8. 已知过点O 的直线与函数3xy =的图象交于A 、B 两点，点A 在线段OB 上，过A 作y 轴的平行线交函数9xy =的图象于C 点，当BC ∥x 轴，点A 的横坐标是 ▲9．设函数,01)(⎩⎨⎧=为无理数，为有理数，x x x D 有下列四个结论：①D （x ）的值域为{0,1}；② D （x ）是偶函数；③D （x ）不是周期函数；④D （x ）不是单调函数；其中正确的是 ▲ （填序号）10．已知)3)(2()(++-=m x m x m x f ，22)(-=xx g ，若同时满足条件：①R x ∈∀，0)(<x f 或0)(<x g ；②(,4)x ∃∈-∞-, )(x f 0)(<x g 。

则m 的取值范围是 ▲11．在ABC ∆中，若tan tan tan tan 2tan tan A C B C A B +=，则 222cb a += ▲ 12．函数2()cos f x x x =在区间[0,4]上的零点个数为 ▲13．已知函数2log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩则满足不等式(())1f f x >的x 的取值范围是 ▲14.设函数132)(2+-+=a bx ax x f ，当]4,4[-∈x 时，0)(≥x f 恒成立，则b a +5的最大值是 ▲二．解答题：15．已知命题p ：函数21y x mx =++ 在(1,)-+∞内单调递增 ；命题q ：函数244(2)1y x m x =+-+大于0恒成立 ，若命题“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数m的取值范围．16．已知函数()sin()(0,||,)2f x A x A x R πωϕϕ=+><∈，且函数()f x 的最大值为2，最小正周期为2π，并且函数()f x 的图像过点(,0)24π（1）求函数()f x 的解析式；（2）设ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()24cf =，2c =，求2a b +的取值范围。

2011年高考一模试卷(三)数学试题(文)人教A版2011年高考一模试卷（三）数学试题（文）人教A 版第Ⅰ卷为选择题，共60分；第Ⅱ卷为非选择题共90分。

满分100分，考试时间为120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合{}0 1 2A =，，，集合{}2B x x =>，则A B =（ ）A ．{}2B ．{}0 1 2，，C ．{}2x x >D ．∅ 2．已知a b ∈R ，，若3i 1i i a b +=+⋅()（其中i 为虚数单位），则 （ ） A ．11a b =-=，B ．11a b =-=-，C ．11a b ==-，D ．11a b ==，3．已知nS 为等差数列{}na 的前n 项和，若11S =，424SS=，则64S S 的值为（ ） A ．94 B ．32C ．54D ．44．体积为 （A ．2B ．1C ．23 D ．135．如图所示程序框图，标平面中一点P a b c ()，，，输出相应的点 Q a b c ()，， 2 3 1()，，，则 P Q ，间的距离为） “←”或“：=” ） A ．0 BC D ．6．已知条件p ：不等式210xmx ++>条件q ：指数函数()(3)xf x m =+则p 是q 的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．设平面区域D 是由双曲线2214y x-=的两条渐近线A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个9．如图所示的方格纸中有定点 O P Q E F G H ,,,,,,，则OP OQ +=（ ）A ．OHB ．OGC ．FOD ．EO 10．设22)1(则,3005满足约束条件,y x x y x y x y x ++⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-的最大值为（ ）A ． 80 B．C ． 25D ． 17211．有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直；③异面直线a 、b 不垂直，那么过a 的任一个平面与b 都不垂直。

江苏如东高级中学2011届高三考前热身练习数学试卷一、填空题：本题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸指定位置上.1．已知集合{|0}A x x =>，{|12}B x x =-≤≤，则AB = ▲ ．2．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)(0)(3)2f f f -++=，则(2)(3)f f -= ▲ ． 3．“直线012=++y ax 和直线01)1(3=+-+y a x 平行”的充要条件是“=a ▲ ”. 4．若复数z 满足(1)1z i i +=- (i 是虚数单位)，则其共轭复数z = ▲ .5. 某产品在连续7天中，不合格品的数据分别为4，2，1，0，0，0，0，则这组数据的标准差= ▲ ．6．顶点在原点且以双曲线1322=-y x 的右准线为准线的抛物线方程是 ▲ ．7．将函数sin(2)3y x π=+的图像沿坐标轴右移，使图像的对称轴与函数cos(2)3y x π=+的对称轴重合，则平移的最小单位是 ▲ ．8．设,a b 为不重合的两条直线，,αβ为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若,,,a b a b αα⊂⊄是异面直线，那么//b α；（2）若a ∥α且b ∥α，则a ∥b ； （3）若,//,,a b a b αα⊂共面，那么//a b ；（4）若a α⊥且a β⊥，则α∥β． 上面命题中，所有真命题．．．的序号是 ▲ ． 9．已知有序数对(,)a b 满足[]0,3a ∈，[]2,2b ∈-，关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=有实根的概率 ▲ ． 10．已知{}n a 是等差数列，设12||||||n n S a a a =+++()n *∈N ．某学生设计了一个求n S 的部分算法流程图（如图），图中空白处理框中是用n 的表达式对n S 赋值，则空白处理框中应填入：n S ← ▲ ．11．已知,[,]44x y ππ∈-，33sin 20,4sin cos 0x x a y y y a +-=++=，则tan(2)x y += ▲ ．12．函数()f x 满足1()ln 1()f x x f x +=-，且12,x x 均大于e ，12()()1f x f x +=，则12()f x x 的最小值为 ▲ ．13． 已知O 为ABC ∆外心，AB=2，AC=1，0120BAC ∠=，若12AO AB AC λλ=+，则12λλ+=▲ ．14．在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y 之间（第10题图）的“折线距离”. 则圆221x y +=上一点与直线2250x y +-=上一点的“折线距离”的最小值是____▲___．二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. (本小题满分14分)已知：正方体1111ABCD-A B C D ，1AA =2，E 为棱1CC 的中点． (Ⅰ) 求证：11B D AE ⊥；(Ⅱ) 求证：//AC 平面1B DE ； （Ⅲ）求三棱锥A-BDE 的体积．16. (本小题满分14分)已知a =(1+cos α,sin α),b =(1-cos ,sin ββ),(1,0)c =,(0,),(,2)απβππ∈∈,向量a 与c 夹角为1θ，向量b 与c 夹角为2θ，且1θ-2θ=6π，若ABC ∆中角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且角A=βα-.求（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）若ABC ∆的外接圆半径为3b+c 取值范围．17.（本题满分15分）国家加大水利工程建设，某地区要修建一条灌溉水渠，其横断面为等腰梯形（如图），底角A 为060，考虑到坚固性及用料原因，要求其横断面的面积为63平方米，记水渠深为x 米，用料部分的周长（即渠底BC 及两腰长的和）为y 米， ⑴．求y 关于x 的函数关系式，并指出其定义域；⑵．当水渠的腰长x 为多少米时，水泥用料最省（即断面的用料部分的周长最小）？求此时用料周长的值 ⑶.如果水渠的深限制在3,3⎡⎤⎣⎦范围内时，横断面用料部分周长的最小值是多少米？18.(本小题满分15分)如图，在直角坐标系中，中心在原点，焦点在X 轴上的椭圆G 的离心率为154e =，左顶点A （-4,0），圆O '：222(2)x y r -+=是椭圆G 的内接ABC ∆的内切圆. (Ⅰ) 求椭圆G 的方程； (Ⅱ) 求圆O '的半径r ；（Ⅲ）过(0,1)M 作圆G 的两条切线交椭圆于E,F 两点，判断直线EF 与圆O '的位置关系，并证明.19.(本小题满分16分)xy ABCMEFo '数列{}n b 定义如下：对于正整数m ，m b 是使不等式n a m ≥成立中的所有n 中的最小值 (Ⅰ)若正项数列{}n a 前n 和为n S是14与2(1)n a +的等比中项，求n a 及n b 通项； (Ⅱ)若数列{}n a 通项为(,0)n a pn q n N p *=+∈>，是否存在p 和q ，使得32()m b m m N *=+∈，如果存在，求出p 和q 的取值范围，如果不存在，请说明理由.，20.(本小题满分16分) 已知函数1()ln 1af x x ax x-=-+-()a R ∈. (Ⅰ) 当0a ≥时，讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）设2()2 4.g x x bx =-+当14a =时， （i ）若对任意1(0,2)x ∈，存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，求实数b 取值范围. (ii ) 对于任意12,(1,2]x x ∈都有121211()()f x f x x x λ-≤-，求λ的取值范围.附加题部分21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4－1 几何证明选讲如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE =AC ， DE 交AB 于点F ．求证：△PDF ∽△POC ．B ．选修4－2 矩阵与变换已知矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 属于特征值3的一个特征向量为111α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，属于特征值－1的一个特征向量为211α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，求矩阵A ．C ．选修4－4 坐标系与参数方程已知极坐标系的极点O 与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，曲线C 1：cos()4ρθπ+=与曲线C 2：24,4x t y t ⎧=⎨=⎩（t ∈R ）交于A 、B 两点．求证：OA ⊥OB ．D ．选修4－5 不等式选讲已知x ，y ，z 均为正数．求证：111y xz yz zxxy x y z≥．（第21-A 题） A B P F OED C·【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是棱BC 的中点，Q 在棱CD 上.且DQ DC λ=，若二面角1P C Q C --的余弦值为7，求实数λ的值.23．已知30123(1)(1)(1)(1)...(1),n n n x a a x a x a x a x +=+-+-+-++-（其中*n N ∈）（1）求0a 及1nn i i S a ==∑；(2) 试比较n S 与2(2)22nn n -+的大小，并说明理由．参考答案一、填空题：1、[)1,-+∞2、2-3、2-4、i5、6、26y x =- 7、4π 8、③④ 9、23 10、2940n n -+ 11、0 12、 57 13、BD1B 113614、 52二、解答题：15．解：(Ⅰ)证明：连结BD ，则BD //11B D ，∵ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥．∵CE ⊥面ABCD ，∴CE BD ⊥．又C =AC CE ，∴BD ⊥面ACE ． --------------------------------3分∵AE ⊂面ACE ，∴BD AE ⊥，∴11B D AE ⊥．--------------------5分（Ⅱ）证明：作1BB 的中点F ，连结AF CF EF 、、． ∵E F 、是1BB 1CC 、的中点，∴CE1B F ，∴四边形1B FCE 是平行四边形，∴ 1CF// B E ．∵,E F 是1BB 1CC 、的中点，∴//EF BC ，又//BC AD ，∴//EF AD ． ∴四边形ADEF 是平行四边形，AF ∴//ED ，∵AF CF C =，1B EED E =，∴平面//ACF 面1B DE ． 又AC ⊂平面ACF ，∴//AC 面1B DE ．---------------------------10分（Ⅲ）122ABD S AB AD ∆=⋅=． 112333A BDEE ABD ABD ABD V V S CE S CE --∆∆==⋅=⋅=---------------------------------------------------14分 16．（Ⅰ）据题设，并注意到αβ、的范围，1cos cos2a b a bαθ•==---------------------------------2分222cos sincos()222(1cos )sin ββπθββ===--+，-------------------------------------------4分由于12、θθ为向量夹角，故12θθ、[]0π∈，， 而(0,),22απ∈(0,),222βππ-∈故有12,222αβπθθ=-=， 得23A πβα=-=.-----------7分 （Ⅱ）（2）由正弦定理sin sin sin3a b cB Cπ===，--------------------------------------------------10分得sin )sin()])33b c B C B B B ππ+=+=+-=+-----------------------12分 注意到2(,)333B πππ+∈，从而得b c +∈-----------------------------------------------------14分17.解：（1）由AD BC =+，及1()2S AD BC x =+=得BC x =，又0x BC x ≥⎧⎪⎨=>⎪⎩，得0x <<，------------------------------4分所以2y BC AB =+=，定义域为-------------------------------6分 （2）y x =≥=()0,12x =时等号成立， 所以用料周长最少为米，此时腰长为米.------------------------------10分（3）3,x ⎡∈⎣,6)y x x=+递增，所以3x =时，min y =米-------------------------------15分18.解： (Ⅰ) c e a =，4a =得1c b ==，椭圆G 方程为22116x y +=-----------------------5分(Ⅱ)设B 02,r y +（），过圆心o '作O D AB '⊥于D ,BC 交长轴于H由O D HB AD AH'=得06y r=+,即0y =(1)---------------------------7分而点B 02,r y +（）在椭圆上,2220(2)124(2)(6)1161616r r r r r y +---+=-==- (2)-------------9分由(1)、 (2)式得2158120r r +-=,解得23r =或65r =-（舍去）-------------------------------------------11分(2) 直线EF 与圆O '的相切 设过点M(0,1)与圆224(2)9x y -+=相切的直线方程为:1y kx -= (3)则23=即2323650k k ++= (4)解得1299,1616k k -+-== 将(3)代入22116x y +=得22(161)320k x kx ++=,则异于零的解为232161kx k =-+----------------------13分设111(,1)F x k x +,222(,1)E x k x +，则121222123232,161161k k x x k k =-=-++ 则直线FE 的斜率为：221112*********EF k x k x k k k x x k k -+===--于是直线FE 的方程为:2112211323231()1614161k k y x k k +-=+++ 即3743y x =- 则圆心(2,0)到直线FE 的距离23d ==故结论成立.---------------------------------------------15分19.解：(Ⅰ)是14与2(1)n a +的等比中项，21(1)4n n S a ∴=+ 当1n =时，21111(1),14S a a =+∴=，------------------------------2分当2n ≥时，1111(1)(1)44n n n n n a S S a a --=-=+-+，由0n a >，化简有12n n a a --=所以{}n a 是等差数列，21n a n =-，检验当1n =时也适合，即21n a n =----------------------5分 对于正整数，由n a m ≥，得12m n +≥.根据m b 的定义可知当21m k =-时，()*m b k k N =∈；当2m k =时，()*1m b k k N =+∈.1,21,2n n n b n n +⎧⎪⎪∴=⎨⎪+⎪⎩是奇数是偶数---------------------------------------------9分(Ⅱ)假设存在p 和q 满足条件，由不等式pn q m +≥及0p >得m qn p-≥. ∵32()m b m m N *=+∈,根据m b 的定义可知，对于任意的正整数m 都有3132m qm m p-+<≤+，即()231p q p m p q --≤-<--对任意的正整数m 都成立. 当310p ->（或310p -<）时，得31p q m p +<--（或231p qm p +≤--）， 这与上述结论矛盾！-------------------------------13分 当310p -=，即13p =时，得21033q q --≤<--，解得2133q -≤<-. ∴ 存在p 和q ，使得32()m b m m N *=+∈；p 和q 的取值范围分别是13p =，2133q -≤<-，----------------------------16分20．解：(Ⅰ)函数()f x 的定义域为()0∞，+，因为222111()a ax x a f x a x x x --++-'=--=，所以当0a =时，21()x f x x -'=，令21()0x f x x -'=>得1x >，所以此时函数()f x 在()1∞，+上是增函数，在()01，是减函数；-----------------------------------------2分当12a =时，222221(1)()022x x x f x x x -++---'==≤，所以此时函数()f x 在()0∞，+是减函数；当102a <<时，令221()0ax x a f x x -++-'=>，解得111x a<<-，此时函数()f x 在111a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，是增函数，在1(0,1)(1,)a-+∞和上是减函数；--------------------------------------------------------------4分当112a <<，令221()0ax x a f x x -++-'=>，解得111x a -<<，此时函数()f x 在11a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1是增函数，在1(0,1)(1,)a-+∞和上是减函数；--------------------------------------------------------------6分当1a ≥，由于110a-≤，，令221()0ax x a f x x -++-'=>，解得01x <<，此时函数()f x 在()0，1是增函数，在(1,)+∞上是减函数.--------------------------------------------------------------8分 （Ⅱ） （i ）当14a =时，f(x)在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意1(0,2)x ∈，有11f(x )f(1)=-2≥，又已知存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，所以21()2g x -≥，[]21,2x ∈，即存在[]1,2x ∈，使21()242g x x bx =-+≤-，即2922bx x ≥+，即922b x x≥+∈1711[,]42，所以1724b ≥，解得178b ≥，即实数b 取值范围是17[,)8+∞.----------------------------12分(ii )不妨设1212x x <≤≤，由函数()f x 在(1,2]上是增函数，函数1y x=在(1,2]是减函数，121211()()f x f x x x λ∴-≤-等价于211211()()()f x f x x x λ-≤-，所以212111()()f x f x x x λλ+≤+ 设13()()ln 44h x f x x x x x xλλ=+=-++是减函数， 所以()0h x '≥在(1,2]上恒成立，即22311(2)1444x x x λ+≥-=--+，解得14λ≥.-------------16分附加题部分A ．选修4－1 几何证明选讲 证明：∵AE =AC ，∠CDE ＝∠AOC ， ---------------------------------------------------3分又∠CDE ＝∠P +∠PDF ，∠AOC ＝∠P +∠OCP ， 从而∠PDF ＝∠OCP ． ---------------------------------------------------8分在△PDF 与△POC 中，∠P ＝∠P ，∠PDF ＝∠OCP ，故△PDF ∽△POC ． ---------------------------------------------------10分B ．选修4－2 矩阵与变换解：由矩阵A 属于特征值3的一个特征向量为111α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 可得a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝311⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即33a b c d +=⎧⎨+=⎩；----------------------------------------------------4分 由矩阵A 属于特征值2的一个特征向量为211α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，可得a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦＝（－1）11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦， 即11a b c d -=-⎧⎨-=⎩----------------------------------------------------6分解得1221a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 即矩阵1221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦---------------------------------------------------10分C ．选修4－4 坐标系与参数方程解：曲线1C 的直角坐标方程4x y -=，曲线2C 的直角坐标方程是抛物线24y x =，…4分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，将这两个方程联立，消去x ， 得212416016y y y y --=⇒=-，421=+y y ． ---------------------------------6分016)(42)4)(4(212121212121=+++=+++=+∴y y y y y y y y y y x x ．----------------8分∴0OA OB ⋅=，∴OB OA ⊥． -------------------------------------------------10分D ．选修4－5 不等式选讲 证明：因为x ，y ，z 都是为正数，所以12()x y x y yz zx z y x z+=+≥．-------------------------4分 同理可得22y z z x zx xy x xy yz y++≥，≥， 当且仅当x ＝y ＝z 时，以上三式等号都成立． --------------------------------------7分将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得111x y z yz zx xy x y z++++≥． --------------------------- 10分 22．解：以1,,AB AD AA 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -， 设正方体的棱长为4，则各点的坐标分别为(0,0,0)A ，(4,0,0)B ，(4,4,0)C ，(0,4,0)D ；1(0,0,4)A ，1(4,0,4)B ，1(4,4,4)C ，1(0,4,4)D ，(4,2,0)P ，(4,4,0)Q λ----------------------------------------2分 设平面1C PQ 法向量为(1,,)n b c =，而1(0,2,4)PC =，(44,2,0)PQ λ=-，所以240(44)20b c b λ+=⎧⎨-+=⎩，可得一个法向量(,,)n a b c ==(1,2(1),(1))λλ---，------------6分设面1C PQ 的一个法向量为(0,1,0)u =， 则cos ,n u <>==，-----------------------------------8分 即：21(1)9λ-=，又因为点Q在棱CD上，所以23λ=.--------------------------------10分23.解：（1）令1x =，则02na =，令2x =，则3nn ii a==∑，∴32n n n S =-； ----------------------3分（2）要比较n S 与2(2)22nn n -+的大小，即比较：3n与2(1)22nn n -+的大小，当1n =时，23(1)22n n n n >-+；当2,3n =时，23(1)22n n n n <-+； 当4,5n =时，23(1)22n n n n >-+；-----------------------------------5分猜想：当4n ≥时4n ≥时，23(1)22nnn n >-+，下面用数学归纳法证明： 由上述过程可知，4n =4n =时结论成立，假设当(4)n k k =≥,(4)n k k =≥时结论成立，即23(1)22nnn n >-+， 两边同乘以3 得：1212233[(1)22]22(1)[(3)2442]k k k k k k k k k k k ++>-+=+++-+--而22(3)2442(3)24(2)6(2)24(2)(1)60k k k k k k k k k k k k -+--=-+--+=-+-++>∴1123[(1)1]22(1)k k k k ++>+-++即1n k =+时结论也成立，∴当4n ≥时，23(1)22nnn n >-+成立. 综上得，当1n =时，23(1)22nnn n >-+；当2,3n =时，23(1)22nnn n <-+；当4,n n N *≥∈时，23(1)22nnn n >-+ ------10分。

2015-2016学年江苏省南通市如东高中高三（上）开学数学试卷一、填空题（本大题共11小题，每小题4分，共44分．）1．已知集合M⊊{0，1，2，3，4}，M∩{0，1，2}={0，1}的集合M的个数是__________．2．函数y=|x﹣1|+|x+4|的值域为__________．3．函数f（x）=lg（x2﹣ax﹣1）在区间（1，+∞）上为单调增函数，则a的取值范围是__________．4．已知方程x2﹣4|x|+5=m有四个全不相等的实根，则实数m的取值范围是__________．5．设函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|的图象关于直线x=1对称，则a的值为__________．6．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且在[﹣1，0]上是增函数，给出下列关于f（x）的判断：①f（x）是周期函数；②f（x）关于直线x=1对称；③f（x）在[0，1]上是增函数；④f（x）在[1，2]上是减函数；⑤f（2）=f（0），其中正确的序号是__________．7．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定，若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为，则的最大值为__________．8．圆x2+y2+2x﹣4y+1=0关于直线2ax﹣by+2=0对称（a，b∈R），则ab的最大值是__________．9．设 P点在圆x2+（y﹣2）2=1上移动，点Q在椭圆上移动，则 PQ的最大值是__________．10．若函数f（x）=（k为常数）在定义域上为奇函数，则k的值为__________．11．已知数列{a n}满足，，则=__________．二、解答题（本大题共5小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求角C的大小；（2）若△ABC的外接圆直径为1，求a2+b2的取值范围．13．某小商品2013年的价格为8元/件，年销量为a件，现经销商计划在2014年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格为4元/件，经测算，该商品的价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k，该商品的成本价格为3元/件．（1）写出该商品价格下降后，经销商的年收益y与实际价格x的函数关系式；（2）设k=2a，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%？14．已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点M（2，t）（t＞0）在直线x=（a为长半轴，c为半焦距）上．（1）求椭圆的标准方程（2）求以OM为直径且被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．15．已知数列{a n}满足：，a n a n+1＜0（n≥1），数列{b n}满足：b n=a n+12﹣a n2（n≥1）．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式（Ⅱ）证明：数列{b n}中的任意三项不可能成等差数列．16．已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）若函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，求t的值；（Ⅲ）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，试求a的取值范围．2015-2016学年江苏省南通市如东高中高三（上）开学数学试卷一、填空题（本大题共11小题，每小题4分，共44分．）1．已知集合M⊊{0，1，2，3，4}，M∩{0，1，2}={0，1}的集合M的个数是4．【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】根据题意，利用交集的定义及包含关系确定出M的个数即可．【解答】解：∵M⊊{0，1，2，3，4}，M∩{0，1，2}={0，1}，∴M={0，1}或{0，1，2，3}或{0，1，3}或{0，1，4}共4个，故答案为：4．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．函数y=|x﹣1|+|x+4|的值域为[5，+∞）．【考点】函数的值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】去绝对值号，根据一次函数的单调性求每段上函数的值域，求并集即可得出该函数的值域．【解答】解：；∴①x≤﹣4时，y=﹣2x﹣3≥5；②﹣4＜x＜1时，y=5；③x≥1时，x≥5；∴该函数的值域为[5，+∞）．故答案为：[5，+∞）．【点评】考查函数值域的概念，含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，一次函数的单调性．3．函数f（x）=lg（x2﹣ax﹣1）在区间（1，+∞）上为单调增函数，则a的取值范围是a≤0．【考点】复合函数的单调性．【专题】计算题．【分析】利用复合函数的单调性遵循的规律：同增异减判断出t的单调性；对数的真数大于0得到不等式恒成立；利用二次函数的单调性与对称轴有关及不等式恒成立转化为最值问题．【解答】解：令t=x2﹣ax﹣1则y=lgt∵y=lgt在（0，+∞）递增又∵函数f（x）=lg（x2﹣ax﹣1）在区间（1，+∞）上为单调增函数，∴t=x2﹣ax﹣1在区间（1，+∞）上为单调增函数，且 x2﹣ax﹣1＞0在（1，+∞）恒成立所以≤1且1﹣a﹣1≥0解得a≤0故答案为a≤0【点评】本题考查复合函数的单调性遵循的规律：同增异减、考查二次函数的单调性与对称轴有关、考查不等式恒成立转化为函数最值的范围．4．已知方程x2﹣4|x|+5=m有四个全不相等的实根，则实数m的取值范围是（1，5）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据题意作出y=x2﹣4|x|+5的图象，从图象可知何时直线y=m与y=x2﹣4|x|+5的图象有四个交点，从而可得结论【解答】解析：设f（x）=x2﹣4|x|+5，则f（x）=，作出f（x）的图象，如图要使方程x2﹣4|x|+5=m有四个全不相等的实根，需使函数f（x）与y=m的图象有四个不同的交点，由图象可知，1＜m＜5．故答案：（1，5）【点评】考查学生会根据解析式作出相应的函数图象，会根据直线与函数图象交点的个数得到方程解的个数．注意利用数形结合的数学思想解决实际问题．5．设函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|的图象关于直线x=1对称，则a的值为3．【考点】奇偶函数图象的对称性．【专题】计算题．【分析】直接利用两个绝对值相加的函数的图象的对称轴所特有的结论即可求a的值．【解答】解：因为两个绝对值相加的函数的图象形状为，即关于两个转折点对应的横坐标的一半所在直线对称．又因为函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|=的图象关于直线x=1对称，所以有=1⇒a=3．故答案为：3．【点评】本题主要考查两个绝对值相加的函数的图象特点．在平时做题过程中，要善于运用总结的结论和性质，做小题时节约时间．6．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且在[﹣1，0]上是增函数，给出下列关于f（x）的判断：①f（x）是周期函数；②f（x）关于直线x=1对称；③f（x）在[0，1]上是增函数；④f（x）在[1，2]上是减函数；⑤f（2）=f（0），其中正确的序号是①②⑤．【考点】函数的周期性；函数的单调性及单调区间．【专题】压轴题．【分析】首先理解题目f（x）定义在R上的偶函数，则必有f（x）=f（﹣x），又有关系式f（x+1）=﹣f（x），两个式子综合起来就可以求得周期了．再根据周期函数的性质，且在[﹣1，0]上是增函数，推出单调区间即可．【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），∴f（x）=﹣f（x+1）=﹣[﹣f（x+1+1）]=f（x+2），∴f（x）是周期为2的函数，则①正确．又∵f（x+2）=f（x）=f（﹣x），∴y=f（x）的图象关于x=1对称，②正确，又∵f（x）为偶函数且在[﹣1，0]上是增函数，∴f（x）在[0，1]上是减函数，又∵对称轴为x=1．∴f（x）在[1，2]上为增函数，f（2）=f（0），故③④错误，⑤正确．故答案应为①②⑤．【点评】此题主要考查偶函数及周期函数的性质问题，其中涉及到函数单调性问题．对于偶函数和周期函数是非常重要的考点，需要理解记忆．7．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定，若M（x，y）为D 上的动点，点A的坐标为，则的最大值为4．【考点】简单线性规划；平面向量数量积的运算．【专题】数形结合．【分析】首先画出可行域，z=•代入坐标变为z=x+y，即y=﹣x+z，z表示斜率为的直线在y轴上的截距，故求z的最大值，即求y=﹣x+z与可行域有公共点时在y轴上的截距的最大值．【解答】解：由不等式组给定的区域D如图所示：z=•=x+y，即y=﹣x+z首先做出直线l0：y=﹣x，将l0平行移动，当经过B点时在y轴上的截距最大，从而z最大．因为B（，2），故z的最大值为4．故答案为：4．【点评】本题考查线性规划、向量的坐标表示、平面向量数量积的运算等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．8．圆x2+y2+2x﹣4y+1=0关于直线2ax﹣by+2=0对称（a，b∈R），则ab的最大值是．【考点】直线与圆的位置关系；基本不等式．【专题】直线与圆．【分析】由题意知，直线2ax﹣by+2=0经过圆的圆心（﹣1，2），可得a+b=1，再利用基本不等式求得ab的最大值．【解答】解：由题意可得，直线2ax﹣by+2=0经过圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的圆心（﹣1，2），故有﹣2a﹣2b+2=0，即 a+b=1，故1=a+b≥2，求得ab≤，当且仅当 a=b=时取等号，故ab的最大值是，故答案为：．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题．9．设 P点在圆x2+（y﹣2）2=1上移动，点Q在椭圆上移动，则 PQ的最大值是1+．【考点】椭圆的简单性质．【专题】转化思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离．【解答】解：设椭圆上任意一点Q的坐标为（x，y），则x2+9y2=9．点Q到圆心（0，2）的距离为d===，故当y=﹣时，d取得最大值为，故|PQ|的最大值为1+．故答案为：1+．【点评】本题考查椭圆、圆的方程、二次函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，考查计算能力以及转化思想，属于中档题．10．若函数f（x）=（k为常数）在定义域上为奇函数，则k的值为±1．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】由函数f（x）为在定义域上为奇函数，则必有f（﹣x）=﹣f（x），然后利用待定系数法求解．【解答】解：∵函数f（x）=∴f（﹣x）=﹣f（x）∴∴（k2﹣1）（2x）2=1﹣k2∴（k2﹣1）=0∴k=±1故答案为：±1．【点评】本题主要考查奇偶性的定义的应用，要注意判断和应用的区别，判断时一定要从两个方面，一是定义域是否关于原点对称，二是模型是否满足．应用时，已经知道奇偶性了，则对于定义域中任一变量都满足模型，做大题时用待定系数法求参数，做客观题时可用特殊值求解．11．已知数列{a n}满足，，则=．【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】由，，知a n+1=，由此得到+=3（+），从而推导出=3n﹣1﹣，由此能求出．【解答】解：∵，，∴a n+1=，∴==+，∴+=3（+），即=3，∴=3n﹣1，即=3n﹣1，∴=3n﹣1﹣，∴=（30+3+32+…+3n﹣1）﹣==．故答案为：．【点评】本题考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想、构造法、等比数列性质的合理运用．二、解答题（本大题共5小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求角C的大小；（2）若△ABC的外接圆直径为1，求a2+b2的取值范围．【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【专题】解三角形．【分析】（1）在△ABC中，由条件利用同角三角函数的基本关系以及两角和差的正弦公式化简可得sin（C﹣A）=sin（B﹣C）．故有 C﹣A=B﹣C，或者C﹣A=π﹣（B﹣C）（不成立，舍去），即 2C=A+B，由此求得C的值．（2）由于C=，设A=+α，B=﹣α，﹣＜α＜，由正弦定理可得a2+b2=sin2A+sin2B=1+cos2α．由﹣＜2α＜，根据余弦函数的定义域和值域求得 a2+b2的取值范围．【解答】解：（1）在△ABC中，∵，∴=，化简可得 sinCcosA﹣cosCsinA=sinBcosC﹣cosBsinC，即 sin（C﹣A）=sin（B﹣C）．∴C﹣A=B﹣C，或者C﹣A=π﹣（B﹣C）（不成立，舍去），即 2C=A+B，∴C=．（2）由于C=，设A=+α，B=﹣α，﹣＜α＜，由正弦定理可得 a=2rsinA=sinA，b=2rsinB=sinB，∴a2+b2=sin2A+sin2B=+=1﹣[cos（+2α）+cos（﹣2α）] =1+cos2α．由﹣＜2α＜，可得﹣＜cos2α≤1，∴＜1+cos2α≤，即a2+b2的取值范围为（，]．【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，同角三角函数的基本关系、余弦定理、余弦函数的定义域和值域、两角和差的正弦公式，属于中档题．13．某小商品2013年的价格为8元/件，年销量为a件，现经销商计划在2014年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格为4元/件，经测算，该商品的价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k，该商品的成本价格为3元/件．（1）写出该商品价格下降后，经销商的年收益y与实际价格x的函数关系式；（2）设k=2a，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%？【考点】函数最值的应用．【专题】应用题；函数的性质及应用．【分析】（1）先根据题意设商品价格下降后为x元/件，销量增加到（a+）件，即可求出经销商的年收益y与实际价格x的函数关系式；（2）依题意保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%，得到关于x的不等关系，解此不等式即得出结论．【解答】解：（1）设该商品价格下降后为x元/件，销量增加到（a+）件，年收益y=（a+）（x﹣3）（5.5≤x≤7.5），（2）当k=2a时，依题意有（a+）（x﹣3）≥（8﹣3）a×（1+20%），解之得x≥6或4＜x≤5，又5.5≤x≤7.5，所以6≤x≤7.5，因此当实际价格最低定为6元/件时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%．【点评】本小题主要考查建立函数关系、解不等式等基础知识，考查综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的能力．14．已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点M（2，t）（t＞0）在直线x=（a为长半轴，c为半焦距）上．（1）求椭圆的标准方程（2）求以OM为直径且被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）把M的横坐标代入准线方程得到一个关系式，然后由短半轴b和c表示出a，代入关系式得到关于c的方程，求出方程的解得到c的值，进而得到a的值，由a和b的值写出椭圆的标准方程即可；（2）设出以OM为直径的圆的方程，变为标准方程后找出圆心坐标和圆的半径，由以OM为直径的圆被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长，过圆心作弦的垂线，根据垂径定理得到垂足为中点，由弦的一半，半径以及圆心到直线的距离即弦心距构成直角三角形，利用点到直线的距离公式表示出圆心到3x﹣4y﹣5=0的距离d，根据勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，即可确定出所求圆的方程；（3）设出点N的坐标，表示出，，及，由，得到两向量的数量积为0，利用平面向量的数量积的运算法则表示出一个关系式，又，同理根据平面向量的数量积的运算法则得到另一个关系式，把前面得到的关系式代入即可求出线段ON的长，从而得到线段ON的长为定值．【解答】解：（1）又由点M在准线上，得故，∴c=1，从而所以椭圆方程为；（2）以OM为直径的圆的方程为x（x﹣2）+y（y﹣t）=0即其圆心为，半径因为以OM为直径的圆被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2所以圆心到直线3x﹣4y﹣5=0的距离=所以，解得t=4所求圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5（3）设N（x0，y0），则，，∵，∴2（x0﹣1）+ty0=0，∴2x0+ty0=2，又∵，∴x0（x0﹣2）+y0（y0﹣t）=0，∴x02+y02=2x0+ty0=2，所以为定值．【点评】此题综合考查了椭圆的简单性质，垂径定理及平面向量的数量积的运算法则．要求学生掌握平面向量垂直时满足的条件是两向量的数量积为0，以及椭圆中长半轴的平方等于短半轴与半焦距的平方和．15．已知数列{a n}满足：，a n a n+1＜0（n≥1），数列{b n}满足：b n=a n+12﹣a n2（n≥1）．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式（Ⅱ）证明：数列{b n}中的任意三项不可能成等差数列．【考点】数列递推式；数列的概念及简单表示法；等差数列的性质．【专题】计算题；应用题；压轴题．【分析】（1）对化简整理得，令c n=1﹣a n2，进而可推断数列{c n}是首项为，公比为的等比数列，根据等比数列通项公式求得c n，则a2n可得，进而根据a n a n+1＜0求得a n．（2）假设数列{b n}存在三项b r，b s，b t（r＜s＜t）按某种顺序成等差数列，由于数列{b n}为等比数列，于是有b r＞b s＞b t，则只有可能有2b s=b r+b t成立，代入通项公式，化简整理后发现等式左边为2，右边为分数，故上式不可能成立，导致矛盾．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，令c n=1﹣a n2，则又，则数列{c n}是首项为，公比为的等比数列，即，故，又，a n a n+1＜0故因为=，故（Ⅱ）假设数列{b n}存在三项b r，b s，b t（r＜s＜t）按某种顺序成等差数列，由于数列{b n}是首项为，公比为的等比数列，于是有2b s=b r+b t成立，则只有可能有2b r=b s+b t成立，∴化简整理后可得，2=（）r﹣s+（）t﹣s，由于r＜s＜t，且为整数，故上式不可能成立，导致矛盾．故数列{b n}中任意三项不可能成等差数列．【点评】本题主要考查了数列的递推式．对于用递推式确定数列的通项公式问题，常可把通过吧递推式变形转换成等差或等比数列．16．已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）若函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，求t的值；（Ⅲ）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，试求a的取值范围．【考点】函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】计算题；压轴题．【分析】（Ⅰ）证明a＞1时函数的导数大于0．（Ⅱ）先判断函数f（x）的极小值，再由y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，所以方程f（x）=t±1有三个根，根据t﹣1应是f（x）的极小值，解出t．（Ⅲ）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的单调性，判断f（1）与f（﹣1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna由于a＞1，故当x∈（0，+∞）时，lna＞0，a x﹣1＞0，所以f′（x）＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增（Ⅱ）当a＞0，a≠1时，因为f′（0）=0，且f（x）在（0，+∞）上单调递增，故f′（x）=0有唯一解x=0所以x，f′（x），f（x）的变化情况如下表所示：又函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，所以方程f（x）=t±1有三个根，而t+1＞t﹣1，所以t﹣1=（f（x））min=f（0）=1，解得t=2；（Ⅲ）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min|=（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，由（Ⅱ）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，而，记，因为（当t=1时取等号），所以在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1）；当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）（14分）①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1⇒a﹣lna≥e﹣1⇒a≥e，②当0＜a＜1时，由，综上知，所求a的取值范围为．（16分）【点评】本题考查函数的零点，用导数判断函数单调性，利用导数研究函数极值，属于中档题．。

学必求其心得，业必贵于专精如东高级中学2011届高三英语第一次月考第I卷(共85分)第一部分：听力(共两节，满分20分)第一节(共5小题；每小题1分,满分5分）听下面5段对话。

每段对话后面有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项,并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1.Who will go to China next month？A. Anna。

B. Cathy。

C。

Ted .2.What will the woman probably do next？A.She will close her car windows.B.She will get an umbrella.C.She will clean the windows.3.Why does the man bring back the trousers?A.Because they are too bright。

B.Because they are too small.C.Because they are too big.4.When is the woman’s birthday?A。

On 15th August。

B. On 16th August。

C。

On 17th August.5.Why do the people walk backward？A.Because they think it’s good for body—shaping.B.Because they think it’s good for their brain。

C.Because they think it’s good for their balance.第二节（共15小题;每小题1分，满分15分）听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题,从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。