2012年高考复习中心第二次文科周练

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文 科 数 学

一、选择题: 1. 若集合A={x -2＜x ＜1}，B={x 0＜x ＜2}则集合A ∩ B=

A. {x -1＜x ＜1}

B. {x -2＜x ＜1}

C. {x -2＜x ＜2}

D. {x 0＜x ＜1} 2. 设,a b 为实数，若复数

121i i a bi

+=++，则

A. 31,2

2a b ==

B. 3,1a b ==

C. 13,2

2

a b =

= D. 1,3a b ==

3. 已知函数,0,)21(0

,)(2

1

????

?

≤>=x x x x f x

则=-)]4([f f A. 4- B. 4

1

- C. 4 D. 6

4．如图，给出的是11113

5

99

+

+

++

的值的一个程序框图，

判断框内应填入的条件是

A ．99i <

B ．99i ≤

C ．99i >

D ．99i ≥

5. 已知1cos sin ,5

4sin >-=

θθθ，则θ2sin =（ ）

A. 25

24- B. 25

12- C. 5

4-

D.

25

24

6．有下列命题：

①设集合M = {x | 0< x ≤3},N = {x | 0< x ≤2},则“a ∈M ”是“a ∈N ”的充分而不必要条件； ②命题“若a M ∈，则b M ?”的逆否命题是：若M a M b ?∈则,； ③若q p ∧是假命题，则q p ,都是假命题； ④命题P ：“0

1,02

>--∈?x x R x ”的否定P ?：“01,2≤--∈?x x R x ”

则上述命题中为真命题的是

A ．①②③④

B ．①③④

C ．②④

D ．②③④

7．若点O 和点F 分别为双曲线

15

4

2

2

=-

y

x

的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，

则FP OP ?的最小值为

A. -6

B. -2

C. 0

D. 10 8. 抛物线2ax y =的准线方程是1

=y

,则a 的值为

A.

4

1 B. 4

1-

C.4

D.-4

9．若变量x y ，满足约束条件30

101x y x y y +-≤??

-+≥??≥?

，则2z x y =-的最大值为

A ．1-

B ．0

C ．3

D ．4

10. 已知点n A （n ，n a ）（∈n N *）都在函数x y a =（01a a >≠，）的图象上，则37a a +与52a 的

大小关系是

A ．37a a +＞52a

B ．37a a +＜52a

C ．37a a +＝52a

D ．37a a +与52a 的大小与a 有关

11. 等边三角形ABC 的三个顶点在一个半径为1的球面上，O 为球心，G 为三角形ABC 的中心，

且3

3=

OG

. 则ABC ?的外接圆的面积为

A ．π

B ．2π

C ．

3

2π D ．

4

3π

12. 设f (x )是定义在R 上的偶函数，对x ∈R ，都有f (x +4)=f (x )，且当x ∈[－2,0]时，f (x )＝(1

2

)x －1，

若在区间(－2，6]内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a ＞1)恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是

A ．(1,2) B. (2，＋∞) C.

D.

P

A

B

D

E

F

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13. 一个空间几何体的三视图(单位：cm )如图所示，

则该几何体的体积为 3cm ． 14. 已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足

12

323=-S S ，则数列}{n a 的公差是____________.

15．a ，b 为平面向量，已知a =（4，3），2a +b =（3，18），则a ，b 夹角的余弦值等于_______. 16. 某中学为了解学生的数学学习

情况，在3000名学生中随机抽 取200名，并统计这200名学 生的某次数学考试成绩，得到 了样本的频率分布直方图．根 据频率分布直方图，推测这 3000名学生在该次数学考试中 成绩小于60分的学生数是________．

三、解答题：解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．

17．（本小题满分12分）

如图，AB 是底部B 不可到达的一个塔型建筑

物，A 为塔的最高点．现需在塔对岸测出塔高A B ， 甲、乙两同学各提出了一种测量方法，甲同学的方法 是：选与塔底B 在同一水平面内的一条基线CD ，使

B D

C ,,不在同一条直线上，测出DCB ∠及CDB ∠

的大小（分别用βα,表示测得的数据）以及D C ,间 的距离（用s 表示测得的数据），另外需在点C 测得 塔顶A 的仰角（用θ表示测量的数据），就可以求得 塔高A B ．乙同学的方法是：选一条水平基线EF ， 使B F E ,,三点在同一条直线上．在F E ,处分别测得

塔顶A 的仰角（分别用βα,表示测得的数据）以及F E ,间的距离（用s 表示测得的数据），就可以求得塔高A B ．

请从甲或乙的想法中选出一种测量方法，写出你的选择并按如下要求完成测量计算：①画出测量示意图；②用所叙述的相应字母表示测量数据，画图时B D C ,,按顺时针方向标注，F E ，按从左到右的方向标注；③求塔高AB ． 18．（本小题满分12分）

有两枚大小相同、质地均匀的正四面体玩具，每个玩具的各个面上分别写着数字1，2，3，5。同时投掷这两枚玩具一次，记m 为两个朝下的面上的数字之和。 （Ⅰ）求事件“m 不小于6”的概率；

（Ⅱ）“m 为奇数”的概率和“m 为偶数”的概率是不是相等？证明你作出的结论。

19．（本小题满分12分）

在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝90°， ∠BAC ＝∠CAD ＝60°，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中 点，PA ＝2AB ＝2．

（Ⅰ）求四棱锥P －ABCD 的体积V ；

（Ⅱ）若F 为PC 的中点，求证PC ⊥平面AEF ；

F

E

D

C B

A

20. （本题满分12分） 设椭圆M ：

)0(12

22

2>>=+

b a b

y a

x

2

A （a ，0），

B （0，b -）原点O

到直线A B

3

（Ⅰ）求椭圆M 的方程；

（Ⅱ）设点C 为（a -，0），点P 在椭圆M 上（与A 、C 均不重合），点E 在直线P C 上，

若直线P A 的方程为4y kx =-，且0CP BE ?=

，试求直线B E 的方程．

21．（本题满分12分）

已知函数10)(2

3

+-=ax x x f ， （Ⅰ）当1=a

时，求函数)

(x f y =的单调递增区间；

（Ⅱ）在区间]2,1[内至少存在一个实数x ，使得0

)(

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.（本小题满分10分） 选修4—1；几何证明选讲．

如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，

BC 与AD 的延长线交于点E ，点F 在 BA 的延长线上．

（Ⅰ）若

21,31==

EA ED EB

EC ，求AB

DC

的值； （Ⅱ）若FB FA EF ?=2

，证明：CD EF //．

23.（本小题满分10分）选修4—4;坐标系与参数方程．

在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为??

?==?

?sin cos b y a x （0>>b a ，?为参数），在以O

为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线1C 上的点)2

3,

1(M 对应的参数3

π

?=

，射线3

π

θ=

与曲线2C 交于点)3

,

1(π

D ．

（I ）求曲线1C ，2C 的方程； （II ）若点),(1θρA ，)2

,(2π

θρ+

B 在曲线1

C 上，求

22

2

1

1

1

ρ

ρ

+

的值．

24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．

设不等式1|12|<-x 的解集是M ，M b a ∈,． （I ）试比较1+ab 与b a +的大小； （II ）设max 表示数集

A 的最大数．?????

???+=b ab b

a a h 2,,2max 22,求证：2≥h ．

P E

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文科数学参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的．

题号

1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案

D

A

C

B

A

C

D

B

C

A

C

D

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．

3

8 14. 2 15. 65

16 16. 600

三．解答题

17. 解：选甲：示意图

1

图1 ----------4分 在BC D △中，πCBD αβ∠=--．由正弦定理得sin sin BC C D BD C

C BD

=

∠∠．

所以sin sin sin sin()

CD BDC s BC CBD

βαβ∠=

=

∠+·．

在ABC Rt ?中，)

sin(sin tan tan βαβθ+?=∠=s ACB BC AB ．---------12分

选乙：图2

图2----------4分

在AEF ?中，αβ-=∠EAF ，由正弦定理得

α

αβsin )

sin(AF EF =

-，

所以)

sin(sin )

sin(sin αβααβα-?=

-?=

s EF AF ．

在ABF Rt ?中，)

sin(sin sin sin αββ

αβ-??=

?=s AF AB ．---------12分

18.解：因玩具是均匀的，所以玩具各面朝下的可能性相等，出现的可能情况有 （1，1），（1，2），（1，3），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，5） （3，1），（3，2），（3，3），（3，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，5） 共16种 4分 （1）事件“m 不小于6”包含其中（1，5），（2，5），（3，5），（3，3）（5，1），（5，2），（5，

3），（5，8）共8个基本事件 6分

所以P(m ≥6)=2

1

168= 8分 （2）“m 为奇数”的概率和“m 为偶数”的概率不相等。

因为m 为奇数的概率为8

3162162162)7()5()3(=++=

=+=+=m P m P m P 10分 M 为偶数的概率为8

5

831=-。这两个概率值不相等 12分

19．【解】（Ⅰ）在Rt △ABC 中，AB ＝1，

∠BAC ＝60°，∴BC

AC ＝2．

M

F

E

D

C

B

A P

在Rt △ACD 中，AC ＝2，∠CAD ＝60°， ∴CD ＝

AD ＝4． ∴S ABCD ＝

112

2

AB BC AC CD

?+?

111222

=??

??=

3分

则V

＝123

?

=

……………… 5分

（Ⅱ）∵PA ＝CA ，F 为PC 的中点，

∴AF ⊥PC ． ……………… 7分 ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CD ． ∵AC ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ，

∴CD ⊥平面PAC ．∴CD ⊥PC ． ∵E 为PD 中点，F 为PC 中点，

∴EF ∥CD ．则EF ⊥PC ． ……… 11分 ∵AF ∩EF ＝F ，∴PC ⊥平面AEF ．…… 12分

20. 解 （Ⅰ）由222

22

2

2

2

112

c a b b e a

a

a

-=

=

=-

=

得a =

………………2分

由点A （a ，0），B （0，b -）知直线A B 的方程为1x y a

b

+=-，

于是可得直线A B

的方程为0x --=

因此

3

=

=

，得b =，22b =，2

4a =，………………4分

所以椭圆M 的方程为

2

2

14

2

x

y

+

= ………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知A 、B 的坐标依次为（2，0）

、(0,， 因为直线P A 经过点(2,0)A ，所以024k =-，得2k =，

即得直线P A 的方程为24y x =-

因为0CP BE ?= ，所以1C P BE k k ?=-，即1BE C P

k k =- ………………7分

设P 的坐标为00(,)x y ， (法Ⅰ)由????

?=-+-=0

42422

2

y

x

x y 得P(

9

8,9

14-

)，则4

1-

=PC

K ………………10分

所以K BE =4

又点B

的坐标为(0,，因此直线B E

的方程为4y x =-………………12分

(法Ⅱ)由椭圆的性质 2

2a

b K

K PB

PA

-

=?，因为2=PA K

又2

2

000

21222

4

4

2

C P y y y k x x x ?

=

=-

=-

=

-+- 得14C P

k -

=，即直线B E 的斜率为4

又点B

的坐标为(0,，因此直线B E

的方程为4y x =-

21．(I)当1=a 时，x

x

x f 23)('2

-=

当

)('>x f 得

3

20>

所以函数

上为增

与在),3

2(

)0,()(+∞-∞=x f y

（II ）解1：

2

2

()=323()

3

f x x ax x x a '-=-

(12)x ≤≤ 当213a ≤，即

32a ≤

时，()0f x '≥，()f x 在[],12上为增函数， 故()=(1)m in f x f =11a -，所以11a -0<，11a >，这与32a ≤

矛盾……………8分 当2123a <<，即332a <<时，若

213x a

≤<，()0f x '<； 若2

23

a x <≤，()0f x '>，所以2

3x a

=

时，()f x 取最小值，

因此有2()3f a 0<，即338210273a a -+310100

27a =-+<， 解得3a >，这与3

3

2a <<矛盾； …10分 当2

23,

a ≥即3a ≥时，()0f x '≤，()f x 在

[],12上为减函数，所以()=(2)m in f x f

=184a -，所以1840a -<，解得

92a >

，这符合3a ≥． 综上所述，a 的取值范围为92a >

． ……12分 解2：有已知得：

2

2

3

10

10

x x x x a +

=+>

， ………………7分 设()()21102≤≤+=x x x x g ，

()3

10

1x x g -='， ………………9分 21≤≤x ，()0<'∴x g ，所以()x g 在[]2,1上是减函数． ………………10分

()()292min =

=g x g ，所以

9

2a >

． ………………12分

22.（本小题满分10分） 选修4—1；几何证明选讲． F

E

D

C

B

A

证明：（1） D C B A ,,,四点共圆，∴EBF EDC ∠=∠，

又 A E B C E D ∠=∠， ∴C E D ?∽AEB ?， AB

DC EB

ED EA EC =

=

∴

，

21,31==

EA ED EB

EC ，∴6

6=AB DC ． （2） FB FA EF ?=2

， ∴ FE

FB FA

EF = 又 BFE EFA ∠=∠，

∴FAE ?∽FEB ?， ∴EBF FEA ∠=∠， 又 D C B A ,,,四点共圆，∴E B F E D C ∠=∠，

∴EDC FEA ∠=∠，

∴CD EF //.

23.（本小题满分10分）选修4—4;坐标系与参数方程．

解：（I ）将)23,1(M 及对应的参数3π?=，代入???==??sin cos b y a x ，得???????

==3sin 2

33cos 1ππb a ， 即???==1

2

b a ， 所以曲线1C 的方程为???==?

?sin cos 2y x （?为参数），或142

2

=+y x .

设圆2C 的半径为R ,由题意,圆2C 的方程为θρcos 2R =,(或222)(R y R x =+-).

将点)3

,

1(π

D 代入θρcos 2R =,

得3

cos

21π

R =,即1=R .

(或由)3

,1(π

D ,得)2

3,2

1(

D ,代入2

2

2)(R y

R x =+-,得1=R ),

所以曲线2C 的方程为θρcos 2=,或1)1(22=+-y x .

（II ）因为点),(1θρA ，)2

,(2π

θρ+B 在在曲线1C 上,

所以

1s i n 4

c o s 2

2

1

2

21=+θρθ

ρ,

1cos 4

sin 2

222

22=+θρθ

ρ,

所以4

5)c o s 4

s i n (

)s i n 4

c o s (1

12

2

2

2

22

21

=

+++=+θθθθρ

ρ

.

24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．

解：由|21|11211,0 1.x x x -<-<-<<<得解得

所以{|01}.M x x =<<

（I ）

由M b a ∈,，得10,10<<< 故1.ab a b +>+

（II ）由}2,,2max 22???+=b ab b a a

h ，得,2a h ≥ab b a h 2

2+≥

，b h 2

≥， 所以8)

(4222

22

23

≥+=

?

+?

≥

ab

b a b

ab

b

a a

h ，

故

≥h .