4.1.1圆的标准方程
学习目标：
知识与技能： 1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。
2、会判断点和圆的位置关系。
过程与方法：进一步培养学生能用坐标法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问
题的能力。
情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情
和兴趣。
重点难点：
学习重点：圆的标准方程
学习难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。
学习过程：
复习问题 1：二元一次方程与直线的关系？
复习问题 2：在平面直角坐标系中，如何确定一条直线？
【A 级】探究问题1：：在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？
结论 1 ：确定一个圆最基本的要素是：
【B 级】探究问题 2 ：如何用坐标法探求圆的方程（即圆上任意一点横、纵坐标间的关系）？
在直角坐标系中，圆心（点） A 的位置用坐标(a,b)表示，半径r的大小等于圆上任意点 M ( x, y) 与圆心 A(a,b) 的距离，圆心为A的圆就是集合
P M MA r 。
由两点间的距离公式，点M 的坐标适合的条件可以表示为
( x a) 2( y b) 2r
①
①式两边平方，得
( x a) 2( y b) 2r 2
结论 2 ：圆的标准方程
( x a) 2( y b) 2r 2
圆心为A(a,b)，半径为r。
思考：1：方程( x a) 2( y b) 2r 2与圆的关系是什么？
2：回顾推导过程，怎样推导出圆的标准方程？
3：当圆心为原点时，方程形式是什么？
4：由圆的标准方程，能否直接求出其圆心坐标和半径？
5：确定圆的标准方程需要什么条件？
四、【合作探究】
【B 级】探究问题3：点M0(x0 , y0 ) 在圆x2y 2r 2内的条件是什么？在圆x2y 2r 2外的条件是什么？若方程为(x a)2( y b) 2r 2呢？
例 1：写出圆心为A(2, 3) ，半径长等于 5 的圆的方程，并判断点M 1(5, 7) ，M 2 (5, 1) 是否在这个圆上。
结论 3 ：设点到圆心的距离为 d ，圆的半径为r ，则点在圆外 d r ;点在圆上
d r ；点在圆内d r
P(x0 , y0 ) 和圆 ( x a) 2( y b) 2r 2有：
(x0a) 2( y0b)2r 2
(x0a) 2( y0b)2r 2
(x 0a) 2( y0b)2r 2
【 B 级】探究问题4：求圆的标准方程的步骤。
例 2：ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1) ， B(7,3) ，C(2,8) ，求它的外接圆的
方程。
结论 4 ：用待定系数法求圆的标准方程的步骤：
例 3：已知圆心为 C 的圆经过点A(1,1) 和 B(2, 2) ，且圆心C在直线 l : x y 10 上，求圆心为 C 的圆的标准方程。
反馈练习：
1．圆( x2)2( y 3)2 2 的圆心和半径分别是（）
A．( 2,3)，1B．
(2,3)，3． (2,3)，
2
D．
(2,3)
，
2 C
2．过点A(1,1) 、 B( 1,1)且圆心在直线 x y 2 0 上的圆的方程是（）
A. ( x 3)2( y 1)24
B. ( x 3)2( y 1)24
C. ( x 1)2( y 1)24
D. ( x 1)2( y 1)24
3. 点M (a, a)与圆 ( x a2)( y2a)的2a 位置关系是
点M 在
圆.
4．写出下列圆的标准方程
（ 1）圆心在C ( 3,4)，半径长为 5 的圆的标准方程.
（ 2）圆心在C (8,3)，且过点 M (5,1) 的圆的标准方程.
（ 3）求以点A(1,2)为圆心，并且和x 轴相切的圆的方程；
（ 4）已知两点P(4,9)，Q (6,3)，求以线段PQ为直径的圆的方程．
5 ．圆C：(x 5)2( y 4) 2
6 关于直线 x y 0对称的圆的方程.
6．求过两点A(0, 4)，B(4,6)，且圆心在直线x 2 y20 上的圆的标准方程．