勾股定理及其逆定理（讲义）课前预习
1.请你回顾直角三角形的性质：
边：直角三角形斜边长任意一条直角边长；
角：直角三角形两锐角；
2.请同学们计算并背诵下列数的平方：
112= ，122= ，132= ，142= ，152= ，162= ，172= ，182= ，192= ．
3.想一想：如图是由边长为1 的正方形组成的网格，直角三角
形的顶点在网格的格点上．分别以直角三角形的三边为边，向外作正方形，请你分别求出这三个正方形的面积S A，S B，S C ，并思考S A，S B，S C 之间的数量关系．
C
A
B
知识点睛
1.勾股定理：
如果用a，b 和c 分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，那么a2+b2=c2．
2.勾股定理的验证：
3.勾股定理逆定理：
如果，那么这个三角形是．
如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
4.勾股数：满足a2+b2=c2 的三个正整数，称为勾股数．常见勾股
数有；；；
精讲精练
1.一个直角三角形两直角边长分别为 3 和4，下列说法正确的是
A．斜边长为25 B．三角形的周长为25
C．斜边长为5D．三角形的面积为20背记 11—19 的平方：
112=121，122=144，132=169，142=196，152=225，162=256，172=289，182=324，192=361．
外弦图
内弦图
勾股定理：
角（Rt△）→边（a2+b2=c2）勾股定理逆定理：
边（a2+b2=c2）→角（Rt△）
2.如图，在 Rt△ABC 和Rt△ACF 中，BC 长为 3cm，AB 长为
4cm，AF 长为12cm，则正方形C DEF 的面积为．
F E
S3 A
D
第2题图
3.如图，在△ABC 中，∠ABC=90°AC 为边
向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3．若S2=4，S3=6，则S1= ．
4.如图，已知R t△ABC 的两直角边长分别为6和8，分别以其三
边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为．5.等面积法是几何中一种常见的证明方法，可以直观地推导或验
证公式，俗称“无字证明”．例如，著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较长的直角边长都为a，较短的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，
也可以表示为4 ?1
ab + (a -b)2 ．由此推导出重要的勾股定2
理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，那
么a2+b2=c2．图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证图1
法”，请你利用图2推导勾股定理． C
D a
b
A a E b B
图2
6.如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c 的面积分别为
5 和11，则b的面积为．
E
D
l
C B
第6题图第7题图
7.如图，在R t△ABC 中，∠ACB=90°，以斜边A B 为边向外作正
方形ABDE，已知正方形，BC 的长为8，
则点E到直线B C
8.如图，在△ABC 中，若AB=13cm，BD=5cm，CD=9cm
，求线段A D，AC 的长． A
B D
C 9.
打结处 1
10.下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是（）
A．0.3，0.4，0.5 B．7，12，15
C．11，60，61 D．9，40，41
1.如图，在单位正方形组成的网格图中有AB，CD，EF，GH
四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）
A．CD，EF，GH B ．AB，EF，GH C ．AB，CD，GH D ．AB，CD，EF C E B
H F D
G
12.若三角形的三边长分别是2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1（n 为正
整数），则三角形的最大内角等于度．
13.三边长分别是15，36，39 的三角形是三角形．
14.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆
成两个直角三角形，下列图形中正确的是（）
7
25 24 20
20
25 24
20 24
7 20
7 15
15
7 15 25
A．B．C．D．
15.一个零件的形状如图 1 所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC
都应为直角．工人师傅量得这个零件各边长如图 2 所示，这个零件符合要求吗？请说明理由．
C C
D D
4
A B A 3 B
图1 图2
15
【参考答案】
课前预习
1. 大于，互余
2. 121，144，169，196，225，256，289，324，361
3. S A=16，S B=9，S C=25
S A+S B=S C
知识点睛
1.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
2.略
3.三角形两边的平方和等于第三边的平方，直角三角形．
4. 3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41；
11，60，61．
精讲精练
1. C
2. 169 cm2
3. 2
4. 24
5. 略
6. 16
7. 14
8. AD=12 cm，AC=15 cm
9. 12 米
10.B
11.B
12. 90
13.直角
14.C
15.符合要求，理由略