随机变量及其分布列
一． 古典概型和几何概型
1、(1)古典概型的概率：P (A )＝m n ＝A 中所含的基本事件数
基本事件总数
.
(2)几何概型的概率：P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)
试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
.
例1、盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号
之积为偶数的概率是________(结果用最简分数表示)．
例2、如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好
取自阴影部分的概率为________
练习：1、在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分
别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为________
2、现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________． 2． 互斥事件与对立事件的关系;对立是互斥，互斥未必对立；
例1、某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否
则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为45、35、2
5
、
1
5
，且各轮问题能否正确回答互不影响． (1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率． 二、随机变量与分布列
1、条件概率：在A 发生的条件下B 发生的概率：P (B |A )＝P (AB )
P (A )
. 2、相互独立事件同时发生的概率：P (AB )＝P (A )P (B )．
3、独立重复试验：如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么它在n 次独立重复试验
中恰好发生k 次的概率为P n (k )＝C k n p k (1－p )
n －
k
，k ＝0,1,2，…，n . 4、离散型随机变量的分布列
(1)设离散型随机变量ξ可能取的值为x 1，x 2，…，x i ，…，ξ取每一个值x i 的概率为P (ξ＝x i )＝p i ，则称下表：
为离散型随机变量ξ的分布列．
(2)离散型随机变量ξ的分布列性质：①p i ≥0，②p 1＋p 2＋…＋p i ＋…＝1(i ＝1,2,3，…)． 5、常见的离散型随机变量的分布
(1)两点分布：分布列为(其中0
(2)二项分布：在n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数ξ是一个随机变量，其所有
可能取的值为0,1,2,3，…，n ，并且P (ξ＝k )＝C k n p k q
n －
k
(其中k ＝0,1,2，…，n ，q ＝1－p )． ξ x 1 x 2 x 3 … x i … P
p 1
p 2
p 3
…
p i
…
ξ 0 1 P
1－p
p
显然P (ξ＝k )≥0(k ＝0,1,2，…，n )，∑n
k ＝0
C k n p k q n －
k
＝1. 称这样的随机变量ξ服从参数n 和p 的二项分布，记为ξ～B (n ，p )． 6、离散型随机变量的期望与方差
若离散型随机变量ξ
则称E (ξ)＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n ＋…为ξ的数学期望，简称期望．
D (ξ)＝(x 1－
E (ξ))2·p 1＋(x 2－E (ξ))2·p 2＋…＋(x n －E (ξ))2·p n ＋…叫做随机变量ξ的方差． 7、离散型随机变量的均值或数学期望的性质：
（1）若ξ服从两点分布，则=ξE p ．（2）若ξ～B(n ，p)，则=ξE np ． （3）()c c E
=，c 为常数（4）ξ～N(μ，2σ),则=ξE μ（5）b aE b a E +=+ξξ)(
三、典型例题
题型一、离散型随机变量的分布列
离散型随机变量的分布列在现实生活中的应用极为广泛，求分布列时要解决好以下两个问题 ①求出随机变量X 的所有可能取值
②求出随机变量X 的每个取值的概率，这是最难的也是最关键的。（一般要用到排列、组合知识，等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率等知识进行解决）
例1、 一袋中装有6个同样大小的黑球，编号分别为1,2,3,4,5,6，现在从中随机地取出的3
个球中，设X 表示取出的球中的最大编号，球X 的分布列.
例2、为了拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的6
1
,31,21.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.
（1）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；
（2）记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列及数学期望.
题型二、互斥事件与相互独立事件的概率
互斥事件与互相独立事件的概率是高考的热点，这两种概率一般综合在一起考查，解题时先要注意判断事件的类型，是互斥、互相独立，还是独立重复试验，然后选择相应的概率公式解题。 （1）、当事件A,B 互斥时，则事件A+B （A,B 中有一个发生）的概率等于事件A,B 分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)
（2）当事件A,B 互相独立时，则AB(A,B)同时发生)的概率等于事件A ，B 分别发生的概率之积，即P(AB)=P(A)P(B)
例3、某射手在一次射击中命中9环的概率是0.28，命中8环的概率是0.19，不够8环的概率是0.29，计算这个射手在一次射击中命中9环或10环的概率.
题型三、二项分布
在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是
k
n k k
n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
ξ 0
1 … k
… n
P
n
n q
p C 00
1
11-n n q
p C …
k
n k k n q
p C - …
q
p C n n n
称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n ，p)，其中n ，p 为参数。
例4、甲乙两人抛掷硬币，甲用一枚均匀的硬币抛掷3次，记正面朝上的次数为X,乙用这枚硬币抛掷2次，记正面朝上的次数为Y. （1）分别求出X 和Y 的数学期望.
（2）规定：若X>Y ，则甲胜；若X 常规试题训练 1、某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数ξ的分布列． 2、已知随机变量ξ 的分布列为 分别求出随机变量2 2 1,2 ξ η ξ η == 的分布列． 3、某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为4 3 ，某班3名同学商定明天分别就同一问题 询问该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数ξ的分布列． 4、盒中装有大小相等的球10个，编号分别为0，1，2，…，9，从中任取1个，观察号码是“小于5”“等于5”“大于5”三类情况之一．规定一个随机变量，并求其概率分布列． 5、一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以ξ 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量ξ 的分布列． 6、一批零件中有9个合格品与3个不合格品．安装机器时，从这批零件中任取一个．如果每次取出的不合格品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列． 、袋中有1个红球，2个白球，3个黑球，现从中任取一球观察其颜色．确定这个随机试验中的随机变量，并指出在这个随机试验中随机变量可能取的值及取每个值的概率． 概率、随机变量及其分布列提高训练 1．甲射击命中目标的概率是12，乙命中目标的概率是13，丙命中目标的概率是1 4.现在三人同 时射击目标，则目标被击中的概率为________． 2．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a ， b ， c ∈(0,1))，已知他投篮一次得分的数学期望为1(不计其他得分的情况)，则ab 的最 大值为________． 3．将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________． 4．甲，乙，丙三个同学同时报名参加某重点高校2012年自主招生，高考前自主招生的程序为审核材料和文化测试，只有审核过关后才能参加文化测试，文化测试合格者即可获得自主招生入选资格．因为甲，乙，丙三人各有优势，甲，乙，丙三人审核材料过关的概率分别为0.5,0.6,0.4，审核过关后，甲，乙，丙三人文化测试合格的概率分别为0.6,0.5,0.75. (1)求甲，乙，丙三人中只有一人通过审核材料的概率； (2)求甲，乙，丙三人中至少有两人获得自主招生入选资格的概率． 5．乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球． (1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率； (2)ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望． 6．某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需要参加下次考核．若小李参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为18的等差数列，他参加第一次考核合格的概率超过1 2，且他直到 参加第二次考核才合格的概率为9 32.(1)求小李第一次参加考核就合格的概率P 1；(2)求小 李参加考核的次数X 的分布列和数学期望E (X )． 概率、随机变量及其分布列高考真题演练 1、从如图所示的长方形区域内任取一个点M （x,y ）,则点M 取自阴影部分的概率为. 2、甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自 独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是 （ ） （A ） 136 （B ）19 （C ）5 36 （D ）16 3、如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别 是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无． 信号的概率是( )． A ． π14- B ．π12- C ． π22- D ．π4 4、高l 为平面上过(0,1)的直线, l 的斜率等可能地取22,3,2 5 ,0,25,3,22- --,用ξ表示坐标原点到l 的距离,由随机变量ξ的数学期望E ξ=___________ 5、设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。已知在某一小时内，甲、乙都 需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125， （Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少； （Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率. 6、甲、乙、丙3人投篮,投进的概率分别是13, 25 , 1 2 . (Ⅰ)现3人各投篮1次,求3人都没有投进的概率; (Ⅱ)用ξ表示乙投篮3次的进球数,求随机变量ξ的概率分布及数学期望Eξ. 7、某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为 54、53、5 2 ，且各轮问题能否正确回答互不影响. （Ⅰ）求该选手被淘汰的概率； （Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数数期望.（注：本小题结果可用分数表示） 8、某射击测试规则为：每人最多射击3次，击中目标即终止射击，第i 次击中目标得 1~i (123)i =， ，分，3次均未击中目标得0分．已知某射手每次击中目标的概率为0.8，其各次射击结果互不影响．（Ⅰ）求该射手恰好射击两次的概率；（Ⅱ）该射手的得分记为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望． 9、某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示，椐统计，随机变量ξ的概率分布如下：(Ⅰ)求a 的值和ξ的数学期望； （Ⅱ）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率。10、为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样检查，测得身高情况的统计图如下： （Ⅰ）估计该校男生的人数；（Ⅱ）估计该校学生身高在170~185cm 之间的概率； （Ⅲ）从样本中身高在165~180cm 之间的女生．．中任选2人，求至少有1人身高在170~180cm 之间的概率. 11、如图，A 地到火车站共有两条路径1L 和2L ，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在个时间段内的频率如下表： 时间（分钟） 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60 1L 的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 2L 的频率 0.1 0.4 0.4 0.1 现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站． （1）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？ （2）用X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（1）的选择方案，求X 的分布列和数学期望 . 12、某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下： 办理业务所需的时间（分） 1 2 3 4 5 频 率 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1 从第一个顾客开始办理业务时计时． （1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率； （2）X 表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X 的分布列及数学期望． 13、在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏 爱，因此在1至5号中随机选3名歌手． (1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率； (2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．
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