北京清华大学附属中学数学三角形填空选择专题练习（解析版）
一、八年级数学三角形填空题（难）
1．直角三角形中,一个锐角等于另一个锐角的2倍,则较小的锐角是_______．
【答案】30°
【解析】
【分析】
设较小的锐角是x,然后根据直角三角形两锐角互余列出方程求解即可.
【详解】
设较小的锐角是x，则另一个锐角是2x，
由题意得，x＋2x＝90°，
解得x＝30°，
即此三角形中最小的角是30°.
故答案为：30°.
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.
2．已知a、b、c为△ABC的三边，化简：|a+b﹣c|-|a﹣b﹣c|+|a﹣b+c|=______．--
【答案】3a b c
【解析】
【分析】
根据三角形的三边关系判断绝对值内式子的正负，然后利用绝对值的性质去掉绝对值，再去括号合并同类项即可．
【详解】
解：∵a、b、c为△ABC的三边，
∴a+b＞c，a-b＜c，a+c＞b，
∴a+b-c＞0，a-b-c＜0，a-b+c＞0，
∴|a+b-c|-|a-b-c|+|a-b+c|
=(a+b-c)+(a-b- c)+(a-b+c)
=a+b-c+a-b- c+a-b+c
=3a-b-c．
故答案为：3a-b-c．
【点睛】
本题主要考查了三角形的三边关系定理和利用绝对值的性质进行化简，利用三角形的三边关系得出绝对值内式子的正负是解决此题的关键．
3．等腰三角形一边长是10cm，一边长是6cm，则它的周长是_____cm或_____cm．
【答案】22cm,26cm
【解析】
【分析】
题目给出等腰三角形有两条边长为10cm和6cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】
（1）当腰是6cm时，周长＝6+6+10＝22cm；
（2）当腰长为10cm时，周长＝10+10+6＝26cm，
所以其周长是22cm或26cm．
故答案为：22，26．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
4．若（a﹣4）2+|b﹣9|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为_______．
【答案】22
【解析】
【分析】
先根据非负数的性质列式求出a、b再根据等腰三角形和三角形三边关系分情况讨论求解即可．
【详解】
解：根据题意得，a-4=0，b-9=0，
解得a=4，b=9，
①若a=4是腰长，则底边为9，三角形的三边分别为4、4、9，不能组成三角形，
②若b=9是腰长，则底边为4，三角形的三边分别为9、9、4，能组成三角形，周长
=9+9+4=22．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质，非负数的性质，以及三角形的三边关系，解决本题的关键是要熟练掌握非负数的非负性质和三角形三边关系.
5．如果一个n边形的内角和等于它的外角和的3倍，则n=______．
【答案】8
【解析】
【分析】
根据多边形内角和公式180°（n-2）和外角和为360°可得方程180（n-2）=360×3，再解方程即可．
【详解】
解：由题意得：180（n-2）=360×3，
解得：n=8，
故答案为：8．
【点睛】
此题主要考查了多边形内角和与外角和，要结合多边形的内角和公式与外角和的关系来寻求等量关系，构建方程即可求解．
6．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线BE、CD相交于点F，∠A=60°，则
∠BFC=______．
【答案】120
【解析】
【分析】
根据角平分线的定义可得出∠CBF=1
2
∠ABC、∠BCF=
1
2
∠ACB，再根据内角和定理结合
∠A=60°即可求出∠BFC的度数．
【详解】
∵∠ABC、∠ACB的平分线BE、CD相交于点F，
∴∠CBF=1
2
∠ABC，∠BCF=
1
2
∠ACB．
∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=120°，
∴∠BFC=180°﹣（∠CBF+BCF）=180°﹣1
2
（∠ABC+∠ACB）=120°．
故答案为120°．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，根据角平分线的定义结合三角形内角和定理求出角的度数是解题的关键．
7．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF＝AC，则∠ABC＝_____度．
【答案】45
【解析】
【分析】
根据三角形全等的判定和性质，先证△ADC≌△BDF，可得BD=AD，可求
∠ABC=∠BAD=45°．
【详解】
∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E
∴∠EAF+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°，
又∵∠BFD=∠AFE（对顶角相等）
∴∠EAF=∠DBF，
在Rt△ADC和Rt△BDF中，
CAD FBD
BDF ADC
BF AC
∠∠
?
?
∠∠
?
?
?
＝
＝
＝
，
∴△ADC≌△BDF（AAS），
∴BD=AD，
即∠ABC=∠BAD=45°．
故答案为45．
【点睛】
三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
8．如图所示，将△ABC沿着DE翻折，若∠1+∠2＝80°，则∠B＝_____度．
【答案】40．
【解析】
【分析】
利用三角形的内角和和四边形的内角和即可求得．
【详解】
∵△ABC沿着DE翻折，
∴∠1+2∠BED＝180°，∠2+2∠BDE＝180°，
∴∠1+∠2+2（∠BED+∠BDE）＝360°，
而∠1+∠2＝80°，∠B+∠BED+∠BDE＝180°，
∴80°+2（180°﹣∠B）＝360°，
∴∠B＝40°．
故答案为：40°．
【点睛】
本题考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．
9．将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4=220°，则∠5=__．
【答案】40°
【解析】
【分析】
直接利用三角形内角和定理得出∠6+∠7的度数，进而得出答案．
【详解】
如图所示：
∠1+∠2+∠6=180°，∠3+∠4+∠7=180°，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=220°，
∴∠1+∠2+∠6+∠3+∠4+∠7=360°，
∴∠6+∠7=140°，
∴∠5=180°-（∠6+∠7）=40°．
故答案为40°．
【点睛】
主要考查了三角形内角和定理，正确应用三角形内角和定理是解题关键．
10．如图，在△ABC中，∠A=70°，点O到AB,BC,AC的距离相等，连接BO，CO，则
∠BOC=________．
【答案】125°
【解析】
【分析】
根据角平分线性质推出O为△ABC三角平分线的交点，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据角平分线定义求出∠OBC+∠OCB，即可求出答案．
【详解】
：∵点O到AB、BC、AC的距离相等，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴
1
2
OBC ABC
∠=∠，
1
2
OCB ACB
∠=∠，
∵∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°，
∴
1
11055
2
OBC OCB
∠+∠=??=?，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=125°；
故答案为：125．
【点睛】
本题主要考查平分线的性质，三角形内角和定理的应用，能求出∠OBC+∠OCB的度数是解此题的关键．
二、八年级数学三角形选择题（难）
11．马小虎在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了2个内角，其和等于830，则该多边形的边数是( )
A．7B．8C．7或8D．无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】
n边形的内角和是（n-2）?180°，即为180°的（n-2）倍，多边形的内角一定大于0度，小于180度，因而多边形中，除去2个内角外，其余内角和与180度的商加上2，以后所得的数值，比这个数值大1或2的整数就是多边形的边数．
【详解】
设少加的2个内角和为x度，边数为n．
则（n-2）×180=830+x，
即（n-2）×180=4×180+110+x ，
因此x=70，n=7或x=250，n=8．
故该多边形的边数是7或8．
故选C ．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和定理，正确理解多边形内角的大小的特点，以及多边形的内角和定理是解决本题的关键．
12．已知：如图，ABC ?三条内角平分线交于点D ，CE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，则∠DCE=( )
A ．
12
BAC ∠ B ．12CBA ∠ C ．12ACB ∠ D ．CDE ∠ 【答案】A
【解析】
【分析】 根据角平分线的性质以及三角形的外角性质可推导出DCE ∠与BAC ∠的关系．
【详解】 由题意知，ECD BDC 90∠∠=-?
由三角形内角和定理得，BAC 180ABC ACB ∠∠∠=?-+
DBC DCB 180BDC ∠∠∠+=?-
∵点D 是ΔABC 三条内角平分线的交点
∴ABC 2DBC ∠∠= ACB 2DCB ∠∠=
()BAC 180ABC ACB ∠∠∠=?-+
()1802DBC DCB ∠∠=?-+
()1802180BDC ∠=?-?-
2BDC 180∠=-?
1BAC BDC 902
∠∠=-? ∴1ECD BAC 2
∠∠= 故答案选A.
本题考查角平分线的性质以及三角形的外角性质．
13．如图，△ABC 中，角平分线AD 、BE 、CF 相交于点H ，过H 点作HG ⊥AC ，垂足为G ，那么∠AHE 和∠CHG 的大小关系为（ ）
A ．∠AHE ＞∠CHG
B ．∠AHE ＜∠CHG
C ．∠AHE=∠CHG
D ．不一定
【答案】C
【解析】
【分析】 先根据AD 、BE 、CF 为△ABC 的角平分线可设
∠BAD=∠CAD=x ，∠ABE=∠CBE=y ，∠BCF=∠ACF=z ，由三角形内角和定理可知，2x+2y+2z=180° 即x+y+z=90°在△AHB 中由三角形外角的性质可知∠AHE=x+y=90°﹣z ，在△CHG 中，∠CHG=90°﹣z ，故可得出结论．
【详解】
∵AD 、BE 、CF 为△ABC 的角平分线
∴可设∠BAD=∠CAD=x ，∠ABE=∠CBE=y ，∠BCF=∠ACF=z ，
∴2x+2y+2z=180° 即x+y+z=90°，
∵在△AHB 中，∠AHE=x+y=90°﹣z ， 在△CHG 中，∠CHG=90°﹣z ，
∴∠AHE=∠CHG ，
故选C ．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形的内角和180°，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．
14．把一副直角三角板按如图所示的方式摆放在一起，其中C 90∠=，F 90∠=，D 30∠=，A 45∠=，则12∠∠+等于( )
A ．270
B ．210
C ．180
D ．150
【答案】B
【分析】
利用三角形的外角等于不相邻的两内角和，和三角形内角和为180?，可解出答案.
【详解】
如图，AB与DE交于点G，AB与EF交于点H，
∵∠1=∠A+∠DGA，∠2=∠B+∠FHB，
∠DGA=∠BGE，∠FHB=∠AHE，
在三角形GEH中，∠BGE+∠AHE =180?-∠E=120?,
∴∠1+∠2=∠A+∠B+∠BGE+∠AHE=90?+120?=210.
【点睛】
本题考查了三角形的外角性质,内角和定理,熟练掌握即可解题.
∠的度数15．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则3
等于（）
A．50°B．30°C．20°D．15°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行和三角形外角性质可得∠2=∠4=∠1+∠3，代入数据即可求∠3．
【详解】
如图所示，
∵AB∥CD
∴∠2=∠4=∠1+∠3=50°，
∴∠3=∠4-30°=20°，
故选C.
16．如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，……，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是
（）
A．140米B．150米C．160米D．240米
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可知小华走出了一个正多边形，根据正多边形的外角和公式可求解.
【详解】
已知多边形的外角和为360°，而每一个外角为24°，可得多边形的边数为360°÷24°=15，所以小明一共走了：15×10=150米．故答案选B．
【点睛】
本题考查多边形内角与外角，熟记公式是关键.
17．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A=90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：
①∠CEG=2∠DCB；②∠DFB=∠CGE；③∠ADC=∠GCD；④CA平分∠BCG;其中正确的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行线、角平分线、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．
【详解】
①∵EG∥BC，
∴∠CEG=∠ACB．
又∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，故正确；
④无法证明CA平分∠BCG，故错误；
③∵∠A=90°，
∴∠ADC+∠ACD=90°．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴∠ADC+∠BCD=90°．
∵EG∥BC，且CG⊥EG，
∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°，
∴∠ADC=∠GCD，故正确；
②∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，
∴∠AEB+∠ADC=90°+（∠ABC+∠ACB）=135°，
∴∠DFE=360°﹣135°﹣90°=135°，
∴∠DFB=45°=∠CGE，
∴∠CGE=2∠DFB，
∴∠DFB=∠CGE，故正确．
故选C．
点睛：本题主要考查的是三角形内角和定理，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键．
18．一个三角形的两边长分别为3和4，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是( )
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围，再根据第三边是整数，从而求得周长最大时，对应的第三边的长．
【详解】
解：设第三边为a，
根据三角形的三边关系，得：4-3＜a＜4+3，
即1＜a＜7，
∵a为整数，
∴a的最大值为6，
则三角形的最大周长为3+4+6=13．
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系，根据三边关系得出第三边的取值范围是解决此题的关键．
19．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点，∠A=50°，则∠D=（）
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
【答案】C
【解析】
根据角平分线的定义和三角形的外角的性质即可得到∠D=1
2
∠A．
解：∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点，
∴∠1=1
2
∠ACE，∠2=
1
2
∠ABC，
又∠D=∠1﹣∠2，∠A=∠ACE﹣∠ABC，
∴∠D=1
2
∠A=25°．
故选C．
20．以下列数据为长度的三条线段，能组成三角形的是（）
A．2 cm、3cm、5cm B．2 cm、3 cm、4 cm
C．3 cm、5 cm、9 cm D．8 cm、4 cm、4 cm
【答案】B
【解析】
【分析】
三角形的任何一边大于其他两边之差，小于两边之和，满足此关系的可组成三角形，其实只要最小两边的和大于最大边就可判断前面的三边关系成立．
【详解】
A、2+3=5，故本选项错误．
B、2+3＞4，故本选项正确．
C、3+5＜9，故本选项错误．
D、4+4=8，故本选项错误．
故选B．
【点睛】
本题考查三角形的三边关系，根据三角形的任何一边大于其他两边之差，小于两边之和，满足此关系的可组成三角形．