第七讲 分式线性变换 形如()(,,,0)az b f z a b c d ad
bc cz d
+=∈-≠+￡且的分式函数,即等价于 :f →
＃,az b z w cz d +→=+为分式线性变换
. f 是￡上的双射.
设()az b w f z cz d +==
+,1()b dw z f w z cw a --=?=-,即1()dw b f w cw a --+=-. 1f -也是分式线性变换.
特别地,
11(0)()lim (0)()lim z z b f d az b a
f cz d c b f a dw b d f cw a c →∞--→∞?=??+?∞==?+??=-??-+?∞==--?
1 反演变换
形如1w z
=的变换,称为反演变换(如图7.1). 2 相似变换
(1)平移变换:(),()f z z h h =+∈￡(如图7.2).
(2)旋转变换:(),()i f z e z θθ=?∈?(如图7.3).
(3)伸缩变换:(),(0)f z rz r =>(如图7.4).
综上:相似变换统一写成arg ()()i k f z kz h k e z h =+=?+.
引理1
形如()(,,,0)az b f z a b c d ad bc cz d
+=∈-≠+￡且的分式线性变换必是一系列相似变换与反演变换的复合;反过来,相似变换与反演变换的复合也是某个分式线
性变换.
证明:(?) case1:0()az b a b c f z z d d d
+=?==+是相似变换. case2:10()bc ad a c f z c cz d c
-≠?=?++,即如下复合: 111bc ad bc ad a z cz d cz d c cz d c cz d c --→+→
→?→?++++ (?) 设''()''
a z
b g z
c z
d +=+,要证()gf z 也是分式线性变换.经过计算,得 ('')('')()('')('')
aa cb z ba db gf z ac bd z bc db +++=
+++ 为分式线性变换.证毕.
反演变换的性质
? 保圆周性
定理2 分时线性变换()az b f z cz d
+=+将圆周(或直线)映为圆周(或直线). 证:(方法一)Q ()az b f z cz d +=+是1w z
=和w kz h =+的复合而成的 ∴只需讨论1w z =或w kz h =+的形式,其中,后一情形显然.只讨论1w z
=的情形. 圆周曲线的方程为
0Azz Bz Bz C +++=
其中,2,,A C B AC ∈>?.(当0A =时,是直线方程).代入1w z
=得到 0Cww Bw Bw A +++=
依然为圆周曲线的方程.得证.
(方法二)(1)圆周方程也可写为0z z r -=如图7.5,在反演
变换1w z
=下,像可写为 case1:圆周不过原点0z ≠(即0z r ≠)时,像为
0222200z r w z r z r -
=--
依然是圆周曲线的方程. case2:圆周过原点0z =(即0z r =),像为001z w z w +=01(Re())2z w =,得证.
(2)直线方程0(,,,)ax by c z x iy a b c ++==+∈?,即Re(())a ib z c -=-,在反演变换下:
case1:当0c ≠时,像是圆周曲线22a ib a ib w c c
--+=. case2:当0c =时,像是直线Re(())0a ib w +=.
? 保交比性
定义 在￡中取1234,,,(,,1,2,3,4)i j z z z z z z i j ≠=,则交比
314112344232(,,,):z z z z z z z z z z z z --=
--. 注:若4z =∞,则31123432
(,,,)z z z z z z z z -=-. 保交比性 分时线性变换()az b f z cz d +=
+,设()(1,2,3,4)i i w f z i ==,则 12341234(,,,)(,,,)w w w w z z z z =.
ex1: 已知圆周11z -=上有三点1230,2,1z z z i ===+(如图7.6),求()az b
f z cz d
+=+使得1(0),(1),(2)12
i f f i f -=∞+==. 解:由保交比性得1(,1,,)(0,2,1,)2
i w i z -∞=+,即 110(1)0::112(1)2
12
z i i w z i -+-=---+--(3)4()(1)i z f z i z --?=-.
? 保边界性
复函数()w f z =,其定义域D 为区域,则值域()f D 也是
区域；设D ?是D 的边界,则()f D ?是()f D 的边界.若指
定D ?定向,则()f D ?保持定向.
注:沿区域D 的边界行走时,区域D 总在左边(如图
7.7).
ex2:
如图7.8,设1{|Im 0},()D z z f z z
=>=,求()f D . 解:D 边界{}D ?=实数轴,()f D ?也是()f D 的边界,由1w z =
知()f D D ?=?,所以()f D 边界仍为实轴.D ?Q 定向从左到右,由1w z
=知()f D ?定向从右到左()f D ?必是下半平面.
? 保对称性
称平面上的点12,z z 关于圆周或直线C 对称,设12,z z ∈￡,
case1:当C 为直线时,12,z z 关于C 对称,即通常意义下是镜像对称； case2:当C 为圆周时, C 的方程为
0z z r -= 12,z z 关于C 对称21020012()(),,z z z z r z z z ?--=?三点一线,并且他们之间的距离满足
21020z z z z r -?-=.
若()az b f z cz d +=
+且12,z z 关于C 对称,则12(),()f z f z 关于()f C 对称.
ex3:
求()az b f z cz d
+=+满足 ()0,arg '(),{|Im 0},(){|1}2f i f i D z z f D w w π==-
=>=<(如图7.9).
解: i -Q 与i 关于实轴对称,由保对称性()f i -与()f i 关于()f D 对称()f i ?-=∞可推出
()()k z i f z z i
-=+ 由保边界性,0D ∈?Q 故(0)()f f D ∈?,即
(0)1f =
(0)(0)0k i f k i
-==-+Q (0)1f k ∴== ∴可设i k e θ=,则()()i e z i f z z i θ-=+ 22'()()
i i f z e z i θ∴=?+代入z i =得 ()21'()()arg '()222i i i f z e e f z πθθ
πθ-=-=?=- 由条件得01k θ=?= ()z i f z z i
-∴=+. 更一般的变换()w f z =在D 上解析且
'()0,f z z D ≠?∈,称:()f D f D →为解析变换.
? 保角性
如图7.10,θ是曲线12,C C 在点P 处的夹角,则
12(),()f C f C 在点()f P 处的夹角也是θ.
设曲线[]0:(),,,()C z z t t P z t αβ=∈=,在点P 处的切线
方向为
0000'()|'()'()'()t t z t z t x t iy t ==+@,
设曲线°[]:(),,C z z t t αβ=∈%%,曲线°C
在点P 处的切线方向为 0'()z t % C ∴与°C 在点P 处的夹角0
'()z t @与0'()z t %的夹角θ,即00'()arg '()z t z t θ=%,如图7.11. 设:()f D f D →解析变换(也就
是解析函数),f 在0z z =处满足
0'()0f z ≠,同上,设°,C C 在0
z z =处相交(记号同上)如图7.12
解析函数()w f z =是C 对应的方
程,有
000000'()'(())'()arg '()arg '()arg '()w t f z t z t w t f z z t =??=+ (1)
解析函数°()w f z =%是°C
对应的方程,有 °°00000
0'()'(())'()arg '()arg '()arg '()w t f z t z t w t f z z t =??=+%%% (2) 上(1)(2)两式相减得
°0000'()'()arg arg '()'()
w t z t w t z t =% 由定义°0000'()arg '()'()arg '()w t w t z t z t ?θ?=????=??
% 由上式得θ?=,该性质称为保角性.
注:00'()0arg '()f z f z ≠?有定义.
引理1 设()w f z =在D 上解析且'()0,f z z D ≠?∈,则f 在D 上每点保角. 注:若f 是D 上单叶解析函数,则:()f D f D →称为共形映射(保形映射).
第七讲 分式线性变换 形如()(,,,0)az b f z a b c d ad bc cz d +=∈-≠+￡且的分式函数,即等价于 :f → ＃,az b z w cz d +→=+为分式线性变换 . f 是￡上的双射. 设()az b w f z cz d +== +,1()b dw z f w z cw a --=?=-,即1()dw b f w cw a --+=-. 1f -也是分式线性变换. 特别地, 11(0)()lim (0)()lim z z b f d az b a f cz d c b f a dw b d f cw a c →∞--→∞?=??+?∞==?+??=-??-+?∞==--? 1 反演变换 形如1w z =的变换,称为反演变换(如图7.1). 2 相似变换 (1)平移变换:(),()f z z h h =+∈￡(如图7.2). (2)旋转变换:(),()i f z e z θθ=?∈?(如图7.3). (3)伸缩变换:(),(0)f z rz r =>(如图7.4).
综上:相似变换统一写成arg ()()i k f z kz h k e z h =+=?+. 引理1 形如()(,,,0)az b f z a b c d ad bc cz d +=∈-≠+￡且的分式线性变换必是一系列相似变换与反演变换的复合;反过来,相似变换与反演变换的复合也是某个分式线 性变换. 证明:(?) case1:0()az b a b c f z z d d d +=?==+是相似变换. case2:10()bc ad a c f z c cz d c -≠?=?++,即如下复合: 111bc ad bc ad a z cz d cz d c cz d c cz d c --→+→ →?→?++++ (?) 设''()'' a z b g z c z d +=+,要证()gf z 也是分式线性变换.经过计算,得 ('')('')()('')('') aa cb z ba db gf z ac bd z bc db +++= +++ 为分式线性变换.证毕. 反演变换的性质 ? 保圆周性 定理2 分时线性变换()az b f z cz d +=+将圆周(或直线)映为圆周(或直线). 证:(方法一)Q ()az b f z cz d +=+是1w z =和w kz h =+的复合而成的 ∴只需讨论1w z =或w kz h =+的形式,其中,后一情形显然.只讨论1w z =的情形. 圆周曲线的方程为 0Azz Bz Bz C +++=
第六章 线性变换 映射：,X Y ≠?≠?，如果有一个法则σ，它使得X 中每个元素α，在Y 中有唯一确定的元素β与之对应，则称σ为X 到Y 的一个映射，记作:X Y σ→，()σαβ=，β称为α在σ下的象，α称为β在σ下的原象。 注：()(),X στασατα=??∈=对。 变换：一个集合到自身的映射。 线性变换的定义与性质 定义 设V 是数域F 上的线性空间，σ是V 的一个变换，如果满足条件： （1）()()()βσασβασV,α,β+=+∈?； （2）()()k F,αV,k αk σασ?∈?∈=， 则称σ是V 上的线性变换或线性算子。 (1), (2)等价于条件：,,,k l F V αβ?∈∈ ()()()σk αl βk σαl σβ+=+。 例：设σ：n n R R →，定义为()c αασ=，c 为常数。-----数乘 变换或位似变换。 c =0-----零变换，记为o 。 c =1-----恒等变换，记为ε。 例：设σ是把平面上的向量绕坐标原点逆时针旋转θ角的变换 设()()(),,,T T x y x y ασα''==，则
cos sin sin cos x x y y x y θθ θθ'=-??'=+? 记cos sin sin cos A θθθ θ-?? =??? ? ，则()A σαα=是一个线性变换。 例：判断下列变换是否是线性变换 (1) ()()12323,,1,,T T a a a a a σ=; (2) ()()12323,,0,,T T a a a a a σ=; (3) ()()12312231,,2,,T T a a a a a a a a σ=-+; (4) ()()212312 3,,,,3T T a a a a a a σ=. 线性变换的基本性质 （1）()θθσ=； （2）()()ασασ-=-； （3）线性变换保持向量的线性组合关系不变，即若s s αk αk αk β+++=Λ2211，则1122s s βk αk αk ασσσσ=+++L ； 若θ=+++s s αk αk αk Λ2211，则θσσσ=+++s s αk αk αk Λ2211。 （4）线性变换将线性相关的向量组映成线性相关的向量组。 线性变换的运算 ()V L ----线性空间V 上所有线性变换的集合。
§2.2线性变换的基本性质 教学目标: 一、知识与技能： 会证明定理1和定理2；理解矩阵变换把平面上的直线变成直线，即)(21βλαλ+A ＝ βλαλA A 21+ 二、方法与过程 分析可逆的线性变换将直线变成直线，平行四边形变成平行四边形这一结论，得到定理1和定理 2的证明，寻求线性变换在向量上的作用等式。 三、情感、态度与价值观 感受数学活动充满探索性和创造性，激发学生乐于探究的热情。增强学生的符号意识，培养学生的逻辑推理能力。 教学重点:定理的探究及证明 教学难点：定理的探究 教学过程 一、复习引入： 1、基本概念 （1）二阶矩阵：由四个数a ，b ，c ，d 排成的正方形数表??? ? ??d c b a 称为二阶矩阵。特别地， 称二阶矩阵???? ??0000为零矩阵，简记为0。称二阶矩阵??? ? ??1001为二阶单位矩阵，记为2E 。 （2）向量：向量（y x ,）是一对有序数对，y x ,叫做它的两个分量，且称??? ? ??y x 为列向量，（y x ,）为行向量。同时，向量、点以及有序实数对三者不加区别。 2、败类特殊线性变换及其二阶矩阵 （1）线性变换 在平面直角坐标系中，把形如???+=+=dy cx y by ax x ``（其中a ，b ，c ，d 为常数）的几何变换叫做线性 变换。 （2）旋转变换
坐标公式为???+=-=α αααcos sin sin cos ``y x y y x x ，变换对应的矩阵为??? ? ??-αα αα cos sin sin cos （3）反射变换 ①关于x 的反射变换坐标公式为???-==y y x x ``对应的二阶矩阵为? ??? ??-1001； ②关于y 的反射变换坐标公式为???=-=y y x x ``对应的二阶矩阵为???? ??-1001； ③关于x y =的反射变换坐标公式为???==x y y x ``对应的二阶矩阵为? ?? ? ??0110； （4）伸缩变换 坐标公式为???==y k y x k x 2`1`对应的二阶矩阵为??? ? ??21 0k k ； （5）投影变换 ①投影在x 上的变换坐标公式为???==0``y x x 对应的二阶矩阵为???? ??0001； ②投影在y 上的变换坐标公式为???==y y x ``0对应的二阶矩阵为???? ??1000 （6）切变变换 ①平行于x 轴的切变变换坐标公式为???=+=y y sy x x ``对应的二阶矩阵为???? ??101s ? ??? ??101s ②平行于y 轴的切变变换坐标公式为???+==y sx y x x ``对应的二阶矩阵为??? ? ??101s 二、新课讲解 定理1 设A ＝??? ? ??d c b a ，???? ??=111y x X ，???? ??=222y x X ，t ，k 是实数。则以下公式成立： （1） A （t 1X ）＝t （A 1X ） （2） A 1X ＋A 2X ＝A （1X ＋2X ） （3） A （t 1X ＋k 2X ）＝t A 1X ＋k A 2X
第七讲 化归—解方程组的基本思想 初中阶段已学过的方程组有：二元一次方程组、三元一次方程组、二元二次方程组． 尽管具体到每类方程组的解法不全相同，但纵有千变万化，而万变不离其宗： 化归是解方程组的基本思想，降次与消元是化归的主要途径，因式分解、换元是降次的常用方法，代人法、加减法是消元的两种主要手段． 解一些特殊方程组(如未知数系数较大，未知数个数较多等)，需要在整体分析方程组特点基础上，灵活运用一些技巧与方法，常用的技巧与方法有迭加、迭乘、换元、配方、取倒等． 注：转化与化归是解方程(组)的基本思想，常见形式有： 分式方程整式化 无理方程有理化 高次方程低次化 多元方程一元化 通过恰当的转化，化归目的明确，复杂的方程(组)就会变为我们熟悉的、简单的方程(组)． 【例题求解】 【例1】已知正实数x 、y 、z 满足?? ???=++=++=++35158zx x z yz z y xy y x ，则xyz z y x +++= ． 思路点拨 由)1)(1(1++=+++b a b a ab 想到从分解因式入手，还需整体考虑． 【例2】方程组? ??=+=+6323yz xy yz xz 的正整数解的组数是（ ） A ．4 B ．3 C 2 D ．1 思路点拨 直接消元降次解三元二次方程组较困难，从分析常数项的特征入手． 【例3】 解下列方程组： (1)???=+-=++291322y x y x xy （2）? ??=++=++24542144)53)(1(y x x y x x x (3)?? ???=+=-++2621133y x y x 思路点拨 对于(1)，先求出整体y x +、xy 的值，对于(2)，视x x +2、y x 53+为整体，可得到)53()(2y x x x +++、)53)((2y x x x ++的值；对于(3)设a x =+31，b y =-31，用换元法解．
三维线性变换 陈祥科 1、线性空间 (2) 1.1、线性空间的代数定义 (2) 1.2 线性空间的基和维度 (2) 2、线性变换 (2) 2.1、变换的定义 (2) 2.2、线性变换的定义 (2) 2.3线性变换的性质 (3) 2.4、线性变换下的坐标变换 (3) 2.5、线性变换的矩阵表示： (3) 3、三维图形的几何变换 (4) 3.1平移变换 (5) 3.2缩放变换 (5) 3.3绕坐标轴的旋转变换 (5) 3.4绕任意轴的旋转变换 (6) 4、三维线性变换的应用实例 (7) 4.1 三维图形变换理论 (7) 4.1.1 三维图形的几何变换 (7) 4.1.2 组合三维几何变换 (8) 4.1.3 围绕任意轴的旋转矩阵的推导 (9) 4.1.4 三维图形的轴侧投影变换 (9) 4.2 叉车稳定性试验的仿真 (10) 4.2.1 纵向稳定性试验的仿真 (10) 4.2.2 横向稳定性试验的仿真 (11) 4.3 结论 (12)
1、线性空间 1.1、 线性空间的代数定义 一个定义了加法与数乘运算，且对这些运算封闭，空间中任意向量都属于数域P ，并满足八条算律的集合为数域P 上的线性空间。 1.2 线性空间的基和维度 对于一个数域上的线性空间R ，由n 个属于R 的元素组成的一个线性无关组，如果R 中的任意一个元素都是这n 个元素的线性组合，那么这个线性空间的维度为n ，且这个线性无关组为R 的一组基。显然，三维空间的基有3个元素组成。三维线性空间的的两组基分别为(0,0,1)和(1,0,0)、(0,1,0)。 2、线性变换 2.1、变换的定义 变换是广义概念的函数，它是这样定义的，如果存在2个非空集合A 、B ，α是A 中的任意元素，如果在集合B 中必定有一个元素β与集合A 中的α元素对应，则称这个对应关系是集合A 到集合B 的一个变换，变换也称为映射，记为T ，即有等式 β=T(α) 称β为α在T 变换下的象，称α为β在T 变换下的源，集合A 称为变换T 的源集，A 在变换T 下的所有象称为象集，显然象集是B 的子集。 2.2、线性变换的定义 R 是数域F 上的线性空间，σ是R 的一个变换，并且满足 ()()()()() a k ka b a b a σσσσσ=+=+ 其中a,b ∈R ，k ∈F 则称σ是R 的一个线性变换（这是由R 到R 自身的一个映射）。线性变换定义的意义是，将R 的任意2个元素的和进行变换等同于将这2个元素分别进行变换后再求和，将R 的任意元素的数乘进行变换等同于将这个元素先进行变换再数乘。下面是线性变换的另一种表述方式： )()()(βσασβασl k l k +=+ F l k R ∈∈?,,,βα
【关键字】计划 第7讲分式方程 知识点1 分式方程的解 知识点2 分式方程的解法 知识点3 分式方程的增根 知识点4 分式方程的实际应用 知识点1 分式方程的解 （2018株洲）5、关于的分式方程解为，则常数的值为 A、B、C、D、 （2018张家界）2．若关于的分式方程的解为，则的值为( ) 知识点2 分式方程的解法 （2018德州）8.分式方程的解为（ D ） A．B． C. D．无解 （2018龙东） （2018荆州）5.解分式方程时，去分母可得（） A. B. C. D. （2018成都）8.分式方程的解是（A ） A．x=1 B． C. D． （2018兰州） （2018哈尔滨）
（2018海南） （2018黄石）13、分式方程的解为________________ （2018铜仁） （2018甘肃） （2018湘潭）11．（3分）分式方程=1的解为x=2． （2018无锡） （2018常德）10.分式方程的解为． （2018眉山）15．已知关于x的分式方程－2=有一个正数解，则k的取值范围为. （2018广州）13.方程的解是__x= 2__. 知识点3 分式方程的增根 （2018潍坊）14．当时,解分式方程会出现增根． （2018达州）13．若关于的分式方程无解，则的值为. （2018齐齐哈尔） 知识点4 分式方程的实际应用 （2018临沂）10.新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱.各种品牌相继投放市场，一汽贸公司经销某品牌新能源汽车，去年销售总额为5000万元，今年1-5月份.每辆车的销售价格比去年 降低1万元.销售数量与去年一整年的相同.销售总额比去年整年的少20%。今年1-5月份每辆车的销售价格是多少万元?设今年1-5月份每辆车的销售价格为x万元根据题意.列方程正确的是（） A． () 5000120% 5000 1 x x - = + B． () 50001+20% 5000 1 x x = + C. () 5000120% 5000 -1 x x - = D． () 50001+20% 5000 -1 x x = （2018黔东南、黔南、黔西南）8.施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时完成任务.设原计划每天施工x米，所列方程正确的是（） A．10001000 2 30 x x -= + B． 10001000 2 30 x x -= + C．10001000 2 30 x x -= - D． 10001000 2 30 x x -= - （2018淄博）10.“绿水青山就是金山银山”.某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，
第一章 线性空间与线性变换 线性空间与线性变换是学习现代矩阵论时经常用到的两个极其重要的概念．本章先简要地论述这两个概念及其有关理论，然后再讨论两个特殊的线性空间，这就是Euclid 空间和酉空间． §1.1 线性空间 线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础，所考虑的数域是实数域(记为R)和复数域(记为C)，统称数域F ． 一、线性空间的定义及性质 定义1 设V 是一个非空集合，F 是一数域．如果存在一种规则，叫做V 的加法运算：对于V 中任意两个元素,αβ，总有V 中一个确定的元素γ与之对应．γ称为αβ与的和，记为γαβ=+．另有一种规则，叫做V 对于F 的数乘运算：对于F 中的任意数k 及V 中任意元素α，总有V 中一个确定的元素σ与之对应，σ叫做k 与α的数乘，记为k σα=．而且，以上两种运算还具有如下的性质： 对于任意α，β，V γ∈及k ，l F ∈，有 1)αββα+=+； 2)()()αβγαβγ++=++； 3)V 中存在零元素０，对于任何V α∈，恒有αα+=0； 4)对于任何V α∈，都有α的负元素V β∈，使0αβ+=； 5)1αα=； 6)()()k l kl αα=；(式中kl 是通常的数的乘法) 7)()k l k l ααα+=+；(式中k l +是通常的数的加法) 8)()k k k αβαβ+=+． 则称V 为数域F 上的一个线性空间，也称向量空间． V 中所定义的加法及数乘运算统称为线性运算，其中数乘又称数量乘 法．在不致产生混淆时，将数域F 上的线性空间简称为线性空间． 需要指出，不管V 的元素如何，当F 为实数域R 时，则称V 为实线性空间；当F 为复数域C 时，就称V 为复线性空间． 线性空间{0}V =称为零空间．
分式方程和无理方程的解法 初中大家已经学习了可化为一元一次方程的分式方程的解法．本讲将要学习可化为一元二次方程的分式方程的解法以及无理方程的解法．并且只要求掌握(1)不超过三个分式构成的分式方程的解法，会用”去分母”或”换元法”求方程的根，并会验根；(2)了解无理方程概念，掌握可化为一元二次方程的无理方程的解法，会用”平方”或”换元法”求根，并会验根． 分析：去分母，转化为整式方程． 解：原方程可化为： 142 12(2)(2)2 x x x x x +-=++-- 方程两边各项都乘以2 4x -： 2(2)42(2)4x x x x -+-+=- 即2 364x x -=-， 整理得：2 320x x -+= 解得：1x =或2x =． 检验：把1x =代入2 4x -，不等于0，所以1x =是原方程的解； 把2x =代入24x -，等于0，所以2x =是增根． 所以，原方程的解是1x =． 说明： (1) 去分母解分式方程的步骤： ①把各分式的分母因式分解； ②在方程两边同乘以各分式的最简公分母； ③去括号，把所有项都移到左边，合并同类项； ④解一元二次方程； ⑤验根． (2) 验根的基本方法是代入原方程实行检验，但代入原方程计算量较大．而分式方程可能产生的增根，就是使分式方程的分母为0的根．所以我们只要检验一元二次方程的根，是否使分式方程两边同乘的各分式的最简公分母为0．若为0，即为增根；若不为0，即为原方程的解． 2．用换元法化分式方程为一元二次方程 【例2】解方程 22 23()4011 x x x x --=-- 分析：本题若直接去分母，会得到一个四次方程，解方程很困难．但注意到方程的结构特点， 设 2 1x y x =-，即得到一个关于y 的一元二次方程．最后在已知y 的值的情况下，用去分母的方法解方程 2 1 x y x =-． 解：设 2 1 x y x =-，则原方程可化为：2340y y --= 解得4y =或1y =-．
第二节 分式线性变换（映射） 本节以及下一节，我们将介绍保形变换中两类基本的保形变换---分式线性变换和某些初等解析函数构成的保形变换---及其简单的应用． 一、分式线性变换及其分解 （一）分式线性变换 形如：az b w cz d +=+（其中0a b ad bc c d =-≠）的变换称为分式线性变换，简记为L()w z =． 注：10 分式线性变换中，系数满足的条件不可少，否则， 0a b ad bc c d =-=，即 a b k c d = ，必将导致L()z k ≡为常数，显然它不可能构成保形变换． 20 为研究的方便，在扩充平面上，我们对分式线性变换L()w z =补充定义如下： （·）当0c ≠时，补充定义L()d c -=∞，L()a c ∞=； （··）当0c =时，补充定义L()∞=∞． 则分式线性变换就成为整个扩充平面上线性变换． 30 补充定义后，分式线性变换成为整个扩充z 平面与整个扩充w 平面之间的一一变换，即它在整个扩充z 平面上是单叶的，换言之，它将扩充z 平面单叶地变成扩充w 平面． 事实上，在扩充平面上，分式线性变换L()az b w z cz d +==+具有单值的逆变换dw b z cw a -+= -．
40 根据保域性定理（定理1）的推广，分式线性变换L()w z =在扩充平面上具有保域性． 50 易知，分式线性变换与分式线性变换的复合仍为分式线性变换． （二）分式线性变换的分解（分式线性变换的四种基本形式） 分式线性变换L()w z =总可以分解成下面四种简单变换的复合： （Ⅰ）i w e z θ= ------------------ 称为旋转变换； （Ⅱ）w r z =? ------------------ 称为伸缩变换； （Ⅲ）w z h =+ ------------------ 称为平移变换； （Ⅳ）1w z = ------------------ 称为反演变换． 事实上，当0c =时，分式线性变换变为a b w z d d =+， 记i a re d θ=，它又变为 ()i b w r e z d θ=+ ， 显然，它是由下面三个形如（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）的变换 i e z θξ=，r ηξ= 和 b w d η=+ ， 复合而成． 当0c ≠时，分式线性变换可变形为 2 1()1()1 az b c az b a cz d bc ad a bc ad w d cz d c cz d c cz d c c z c ++++--= =?=?=+? ++++， 记 2i bc ad re c θ-=，它还可变形为 2 11()i a bc ad a w r e d d c c c z z c c θ-=+?=+?++． 显然，它是由下面五个形如（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）（Ⅳ）的变换
第七章线性变换 计划课时：24 学时.（P 307—334） §7.1 线性变换的定义及性质（ 2 学时） 教学目的及要求：理解线性变换的定义，掌握线性变换的性质 教学重点、难点：线性变换的定义及线性变换的性质 本节内容可分为下面的两个问题讲授. 一. 线性变换的定义（P307） 注意：向量空间V到自身的同构映射一定是V上的线性变换，反之不然。 二. 线性变换的性质 定理7.1.1 （P309） 定理7.1.2 （P309） 推论7.1.3 （P310） 注意： 1.定理7.1.2 给出了在有限维向量空间构造线性变换的方法，且说明了一个线性变换完全被它对基向量的作用所决定。 2. 两个线性变换相等当且仅当它们对任意一个向量的作用结果相等，推论7.1.3 （P310）告诉我们，只要这两个线性变换对某个基中的每个基向量的作用结果相等即可。 作业：习题七P330 1 ，2， 3. §7.2 线性变换的运算（ 4 学时） 教学目的及要求：掌握线性变换的运算及线性变换可逆的条件教学重点、难点：线性变换的运算及线性变换可逆的条件 本节内容分为下面四个问题讲授： 一. 加法运算 定义 1 （P310） 注意：+ 是V的线性变换. 二. 数乘运算 定义 2 （P311） 显然k 也是V的一个线性变换. 定理7.2.1 L（V）对于线性变换的加法与数乘运算构成数域F上的一个向量空间. 三. 乘法运算 （1）. 乘法运算 定义 3 （P311-312）
注意：线性变换的乘法适合结合律，但不适合交换律及消去律. 两个非零线性变换的乘积可能是零变换. (2). 线性变换的方幂 四. 可逆线性变换定义 4 ( P313) 线性变换可逆的充要条件例 2 ( P314) 线性变换的多项式的概念( 阅读 内容). 作业：P330 习题七4， 5. §7.3 线性变换的矩阵( 6 学时) 教学目的及要求：理解线性变换关于一个基的矩阵的定义，掌握与( ) 关于同一个基的坐标之间的关系、线性变换与它们的和、数乘、乘积在同一个基下的矩阵的关系、 同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的理论，掌握L(V)与M(F)的同构理 论。 教学重点、难点： 1. 线性变换关于一个基的矩阵的定义。 2. L(V)与M(F)的同构理论，线性变换与它们的和、数乘、乘积在同一个基下的矩阵的关系。 本节内容分为下面四个问题讲授： 一.线性变换关于基的矩阵 定义 ( P316) 。 注意：取定n维向量空间V的一个基之后，对于V的每一个线性变换，有唯一确定的n阶矩阵与 它对应. 例 1 ( P316 ) 注意：一个线性变换在不同基下的矩阵通常是不同的. 例 2 ( P317) 例 3 ( P317) 二.与( )关于同一个基的坐标之间的关系. 定理7.3.1 例 4 ( P318 ) 三? L(V)与M(F)的同构 定理7.3.2 (P320) 定理7.3.3 (P320) 注意：1.定理732 ( P320)的证明是本章的难点，在证明之前应复习证明所用到的知识点。 2. 由于L(V) 同构于M n ( F ) ，所以就把研究一个很复杂的向量空间L(V) 的问题转化成研究一个很直观具体的向量空间M n(F) 的问题。同构是高等代数课程的一个基本概念。 3. 定理7.3.3 不仅给出了在有限维向量空间判定一个线性变换可逆的方法，而且给出了求 逆变换的方法。 四. 同一个线性变换在不同基下的矩阵之间的关系定理7.3.4 （P321）. 作业：P331 习题七6，9，12，17.
7．1解析函数的特性 教学目的：使学生掌握从映射角度来研究解析函数的概念及基本原理，从而了解 解析函数的几何理论. 重点：保角映射的概念与性质. 难点：解析变换的保域性. 课时：4课时 教学过程： 前几章我们用分析的方法研究了解析函数的性质和应用，从映射角度来研究解析函数的性质及其应用主是通常说的解析函数的几何理论.几何理论中最基本的是共形映射的理论.下面我们来介绍共形映射的概念及基本原理. 一．解析函数的保域性. 定理7.1 (保域定理)设()w f z =在区域D 内解析且不恒为常数,则D 的象()G f D =也是 一个区域. 证明：按区域的定义：要证()G f D =是一个连通开集. 首先证明G 是一个开集即证G 的每一个都是内点,设0w 是G 内的任意一点，则存在0z D ∈， 使得00()f z w =，由第六章的儒歇定理，必存在0w 的一个邻域*0w w δ-<.对于其中的任一数w A =，函数()f z A -在0z z ρ-<内（0z z ρ-<是D 内的邻域）必有根，即w A =，这记0w w G -?.表明0w 是G 的内点.由0w 的任意性知G 是开集 其次证明G 是连通集.由于D 是区域,可在D 内部取一条联结12,z z 的折线 =≤≤==121122:()[,(),()]C z z t t t t z t z z t z . 于是： 12:[()]() w f z t t t t Γ=≤≤就是联结12,w w 的并且完全含于G 的一条曲线.从而, 由柯西积分定理的古莎证明第三步,可以找到一条联结12,w w 内接于Γ且完全含于G 的折线 Γ. 从以上两点，表明()G f D =是区域. 推论7.2 设()w f z =在区域D 内单叶解析,则D 的象()G f D =也是一个区域. 证明：用()f z 在区域D 内单叶，必()f z 在D 内不恒为常数. 定理7.3 设函数()w f z =在点0z 解析,且' 0()0f z ≠,则()f z 在0z 的一个邻域内单叶解 析. 由此可见，符合本定理条件的解析变换()w f z =将0z 的一个充分小邻域变成00()w f z =的
第七章 线 性 变 换 § 1 线性变换的定义 上一章我们看到，数域 P 上任意一个 n 维线性空间都与n P 同构，因之，有限维线性空间的同构可以认为是完全清楚了.线性空间是某一类事物从量的方面的一个抽象.我们认识客观事物，固然要弄清它们单个的和总体的性质，但是更重要的是研究它们之间的各种各样的联系.在线性空间中，事物之间的联系就反映为线性空间的映射.线性空间到自身的映射通常称为的一个变换.这一章中要讨论的线性变换就是最简单的，同时也可以认为是最基本的一种变换，正如线性函数是最简单的和最基本的函数一样. 线性变换是代数的一个主要研究对象. 下面如果不特别声明，所考虑的都是某一固定的数域P 上的线性空间. 定义 1 线性空间 V 的一个变换 A 称为线性变换，如果对于V 中的任意的元素αβ,和数域中任意数k ,都有 ()()A A αβαβ+=+ ()()A k kA αα= （1） 以后我们一般用黑体答谢拉丁字 A , B ，…代表 V 的变换，()A k α或()A α代表 元素α在变换下的象. 定义中等式（1）所表示的性质，有时也说成线性变换保持向量的加法与数量乘法. 问题1: 线性变换与线性同构有什么异同？ 下面我们来看几个简单的例子 ，它们表明线性变换这个概念是有丰富的内容的. 例 1 平面上的向量构成实数域上的二维线性空间 . 把平面围绕坐标原点按反时针方向旋转θ角，就是一个线性变换，我们用I θ表示。如果平面上一个向量α在直角坐标系下的坐标是(,)x y ，那么象I θα()的坐标，即旋转θ角之后的坐标是(,)x y ''按照公式 cos sin sin cos x x y y θθθ θ'-??????= ? ???'?????? 来计算的.同样地，空间中绕轴的旋转也是一个线性变换. 例 2 设α是几何空间中一固定的非零向量，把每个向量ξ变到它在α上的内映射的变换也是一个线性变换，以α∏表示它.用公式表示就是 (,)()(,) ααξξααα∏= 这里(,)αξ表示内积. 例 3 线性空间 V 中的恒等变换或称单位变换 E ，即 ()E αα= ()V α∈ 以及零变换0，即 0()0α= ()V α∈ 都是线性变换. 例 4 设V 是数域P 上的线性空间，k 是P 中某个数 ，定义V 的变换如下： ,k αα→ ()V α∈ 不难证明，这是一个线性变换，称为由数 k 决定的数乘变换，可用k 表示.显然，当k=1时，我们便得恒等变换，当k=0时，便得零变换. 例 5 在线性空间[]P x 或者[]n P x 中，求微商是一个线性变换.这个变换通常用D 代表，即11220r r k k k ααα+++=， (())()D f x f x '= 例 6 定义在闭区间[a,b ]上的全体连续函数组成实数域上一线性空间，以C (a,b )代表.在这个空间中，变换
线性变换与矩阵的关系 学院：数学与计算机科学学院 班级：2011级数学与应用数学
姓名： 学号： 线性变换与矩阵的关系 （西北民族大学数学与应用数学专业，兰州 730124） 指导教师 一、线性变换 定义1 设有两个非空集合V,U，若对于V中任一元素α，按照一定规则总有U中一个确定的元素β和它对应，则这个对应规则被称为从集合V到集合U的变换（或映射），记作β=T(α)或β=T α,( α∈V)。 设α∈V，T(α)= β,则说变换T把元素α变为β，β称为α在变换T下的象，α称为β在变换T下的源，V称为变换T的源集，象的全体所构成的集合称为象集，记作T(V)。即 T(V)={ β=T(α)|α∈V}, 显然T(V) ?U 注：变换的概念实际上是函数概念的推广。
定义2 设V n,U m分别是实数域R上的n维和m维线性空间，T是一个从V n到U m得变换，如果变换满足 （1）任给α1 ，α2∈V n，有T(α1+α2)=T(α1)+T(α2); （2）任给α∈V n，k∈R，都有 T(kα)=kT(α)。 那么，就称T为从V n到U m的线性变换。 说明： ○1线性变换就是保持线性组合的对应的变换。 ○2一般用黑体大写字母T,A,B,…代表现象变换，T(α)或Tα代表元 α在变换下的象。 ○3若U m=V n，则T是一个从线性空间V n到其自身的线性变换，称为线性空 V n中的线性变换。下面主要讨论线性空间V n中的线性变换。 二、线性变换的性质 设T是V n中的线性变换，则 (1)T(0)=0,T(-α)=-T(α); (2)若β=k1α1+k2α2+…+k mαm,则Tβ=k1Tα1+k2Tα2+…+k m Tα m; (3)若α1，…αm线性相关，则Tα1…Tαm亦线性相关； 注：讨论对线性无关的情形不一定成立。 (4)线性变换T的象集T(V n)是一个线性空间V n的子空间。 记S T={α|α∈V n,T α=0}称为线性变换T的核，S T是V n的子空间。
第七讲分式方程和无理方程的解法 初中大家已经学习了可化为一元一次方程的分式方程的解法. 本讲将要学习可化为一元 .次方程的分式方程的解法以及无理方程的解法?并且只要求掌握 的分式方程的解法，会用”去分母”或”换元法”求方程的根，并会验根； (2) 了解无理方程概念, 、可化为一元二次方程的分式方程 1 .去分母化分式方程为一兀二次方程 分析：去分母，转化为整式方程. 解：原方程可化为: 1 4x x 2 (x 2)( x 2) 2 方程两边各项都乘以 x 4 : (x 2) 4x 2(x 2) x 2 4 2 2 即3x 6 x 4 , 整理得：x 3x 2 0 解得：x 1或x 2. 能产生的增根，就是使分式方程的分母为 0的根.因此我们只要检验一元二次方程的根， 是 否使分式方程两边同乘的各分式的最简公分母为 0?若为0，即为增根；若不为 0,即为原 方程的解. 2 ?用换元法化分式方程为一元二次方程 2 x 2 【例2】解方程( ) x 1 把x 2代入x 2 4 ，等于0,所以x 2是增根. 所以，原方程的解是 x 1 说明： (1)去分母解分式方程的步骤： ①把各分式的分母因式分解； ②在方程两边同乘以各分式的最简公分母； ③去括号， 把所有项都移到左边，合并同类项； ④解一兀二次方程； ⑤验根. 4，不等于0，所以x 1是原方程的解; (2)验根的基本方法是代入原方程进行检验，但代入原方程计算量较大?而分式方程可 (1)不超过三个分式构成 【例1】解方程 1 F_2 4x 2 x 2 4 x 2 检验：把x 1代入x 2
第二章方程（组）与不等式（组） 第7讲分式方程随堂测试 满分60分，时间60分钟 一、选择题（共6题，满分18分） 1．下列关于x的方程：+x＝1，＝，＝，＝2中，分式方程的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个 【分析】由分式方程的定义可知：＝不是分式方程． 【解答】解：＝不是分式方程，是整式方程， 故选：C． 2．下列分式方程无解的是（） A．B． C．D． 【分析】解每个分式方程，通过验根可得结论． 【解答】解：∵方程A去分母，得2x＝3（x﹣3），解得x＝9，当x＝9时，x（x﹣3）≠0，所以原方程的解为x＝9； 方程B去分母，得x2﹣1＝2x﹣2，解得x＝1，当x＝1时，（x﹣1）（x2﹣1）＝0，所以原方程无解； 方程C去分母，得x+3﹣4x＝0，解得x＝1，当x＝1时，2x（x+3）≠0，所以原方程的解为x＝1；
方程D去分母，得3x＝2x+3x+3，解得x＝﹣，当x＝﹣时，3x+3≠0，所以原方程的解为x＝﹣． 故选：B． 3．把分式方程﹣＝1化为整式方程正确的是（） A．1﹣（1﹣x）＝1B．1+（1﹣x）＝1 C．1﹣（1﹣x）＝x﹣2D．1+（1﹣x）＝x﹣2 【分析】分式方程变形后，两边乘以最简公分母（x﹣2）化简得到结果，即可作出判断．【解答】解：方程变形得：+＝1， 去分母得：1+（1﹣x）＝x﹣2， 故选：D． 4．若关于x的分式方程+＝1有增根，则m的值是（） A．m＝1 B．m＝﹣1 C．m＝﹣2 D．m＝0或m＝﹣2 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m的值即可【解答】解：去分母得：3﹣x﹣m＝x﹣2， 由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2， 把x＝2代入整式方程得：3﹣2﹣m＝0， 解得：m＝1， 故选：A． 5．随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力
第七章习题 （一） 1. 求2w z =在z=I 处的伸缩率和旋转角。问此变换将经过点z=i 且平行于实宙正方向的曲线的切线方向变换成w 平面上哪一个方向？并用图。 2. 试利用保域定理7.1简捷地证明第二章习题（一）6(3)、（4）。 3. 在整线性变换w iz =下，下列图形分别变成什么图形？ （1）以123,1,1z i z z ==-=为顶点的三角形； （2）闭圆|1|1z -≤. 4. 下列各题中，给出了三对对应点112233,,z w z w z w ???的具体数值，写出相应的分式线性变换，并指出此变换把通过z 1，z 2，z 3的圆周的内部，或直线左边（顺着z 1，z 2，z 3观察）变成什么区域。 （1）11,0,1i i ??-?-； （2）1,1,10i ?∞?--?； （3）0,,0i i ∞???∞； （4）0,01,1∞???∞. 5. z 平面上有三个互相外切的圆周，切点之一在原点，函数1w z = 将此三个圆周所围成的区域变成w 平面上什么区域？ 6. 如az b w cz d +=+将单位圆周变成直线，其系数应满足什么条件？ 7. 分别求将上半z 平面Im 0z >共形映射成单位圆 ||1w <的分式线性变换()w L z =,使符合条件： （1）()0,()0L i L i '=>; （2）()0,arg ()2L i L i π '==. 8. 分别求将单位圆 ||1z <共形映射成单位圆||1w <的分式线性变换()w L z =，使
符合条件： （1）10,(1)12L L ??==- ??? ; （2）110,arg 222L L π????'==- ? ????? . 9. 求出将圆 |4|2z i -<变成半平面v u >的共形映射，使得圆心变到-4，而圆周上的点2i 变到0.w = 10. 求出将上半z 平面Im 0z >共形映射成圆||w R <的分式线性变换()w L z =，使符合条件()0L i =；如果再要求()1L i '=，此变换是否存在？ 11. 求将圆||z ρ<共形映射成圆||w R <的分式线性变换，使(||)z a a ρ=<变成w=0。 12. 求出圆||2z <到半平面Re 0w >的共形映射()w f z =，使符合条件 (0)1arg (0)2f f π '==. 13. 试求以下各区域（除去阴影部分）到上半平面的一个共形映射。 （1）||2,Im 0z i z +<>（图7.20）。 （2）|||z i z i +>-7.21）。 （3）||2,|1|1z z <->（图7.22）。 14. 求出角形区域0arg 4z π <<到单位圆||1w <的一个共形映射。 15.求出将上半单位圆变成上半平面的共形映射，使z=1,-1,0分别变成1,1,w =-∞。 16. 求出第一象限到上半平面的共形映射，使,,1z θ=对应地变成0,, 1.w =∞- 17. 将扩充z 平面割去1+I 到2+2i 的线段后剩下的区域共形映射成上半平面。 18. 将单位圆割去0到1的半径后剩下的区域共形映射成上半平面。 19. 将一个从中心起沿实轴上的半径割开了的单位圆共形映射成单位圆，使符合条件：割疑寂岸的1变成1，割缝下岸的1变成-1，0变成-i 。
本科生毕业论文论文题目：线性变换的几何背景 学院 专业 学号 学生姓名 指导教师 指导教师职称 指导教师单位 年月日
学位论文写作声明 本人重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 论文作者签名：日期：年月日 论文作者签名：导师签名： 日期：年月日
线性变换的几何背景 摘要 线性变换可以通过几何现象直观化，几何现象也可以通过线性变换精练化。本文就通过研究几何现象所表现出来的线性变换、思考矩阵与线性变换在几何意义上的关系、思考线性变换一些性质所具备的几何意义、思考线性变换的非矩阵表现形式、思考线性变换和几何联系起来解决问题的思路以及思考射影几何上的线性变换。我们可以得出线性变换是运动的、线性的，许多几何现象都是线性变换，我们可以用矩阵来研究线性变换的几何意义，但矩阵只是研究线性变换的几何意义的工具之一，线性变换许多拓展相关的问题也涉及到几何现象，并且线性变换与几何联合起来对于解决某些问题存在好处，但不同的几何体系的研究客体对于线性变换来说也存在不同方面。 关键词：线性变换；几何现象；矩阵
The geometry background of linear transformation Abstract：Linear transformation could be visualized through the geometric phenomena, geometric phenomenon could be refined through the linear transformation. The article analyzes the linear transformation, reflects by geometric phenomenon, studies the relationship of matrix and linear transformation on the basis of geometric meaning, researches the geometric meanings of linear transformation, reflects the expression of nonnegativematrix of linear transformation, discusses the solutions to the questions on the basis of connection between linear transformation and geometry, and considers the linear transformation of projective geometry. In conclusion, the thesis finds out that the linear transformation is athletic, linear, and many geometry phenomena are linear transformation. The matrix could be used to analyze the geometry meaning of linear meaning, but the matrix is one of the tools to study the geometry meaning of linear transformation. Many of the linear transformation related problems are involved in the geometric phenomena, and the combination of linear transformation and geometry is beneficial to the solutions to some problems, but different geometry research objects have various aspects. Key words: linear transformation; geometry phenomenon; matrix