第十二章 习题一
数项级数
一．选择题
1．给定下列命题：① 若
∑∞
=-+1
21
2)(n n n u u
收敛，则∑∞=1
n n u 收敛；② 若∑∞
=1
n n u 收敛，则
∑∞
=+1100
n n u
收敛；③ 若0lim ≠=∞
→a u n n ，则
∑∞
=1
n n
u
发散；④ 若
∑∞
=+1
)(n n n
v u
收敛，则
∑∞
=1
n n
u
、
∑∞
=1
n n
v
都收敛．其中正确的命题是 （ B ）
（A ）①和②； （B ）②和③； （C ）③和④； （D ）①和④． 2．设∑==
n
k k
n a
S 1
，则数列}{n S 有界是级数
∑∞
=1
n n
a
收敛的 （ B ）
（A ）充分非必要条件； （B ）必要非充分条件；
（C ）充分且必要条件； （D ）既非充分又非必要条件． 3．若
∑∞
=1
2n n
a
、
∑∞
=1
2
n n
b
收敛，则
∑∞
=1
n n
n b
a （ C ）
（A ）发散； （B ）条件收敛； （C ）绝对收敛； （D ）收敛性不定． 4．设a 为常数，则级数
)cos 1()1(1
∑∞
=--n n
n a （ C ） （A ）发散； （B ）条件收敛； （C ）绝对收敛； （D ）敛散性与a 有关．
5．级数∑∞
=+-1
1
)1(n p
n n （0>p ）敛散性为 （ A ） （A ）当1p >时，绝对收敛；当1p ≤时，条件收敛； （B ）当1p <时，绝对收敛；当1p ≥时，条件收敛；
（C ）当1p ≤时发散；当1p >时收敛； （D ）当0p >时，绝对收敛．
二．填空题 1．如果级数
∑∞
=1
n n
a
的部分和为常数a ，则=1a a ，=n a 0（当1>n 时）．
2．若
11
=∑∞
=n n
a
，则=+∑∞
=+1
1)(n n n a a 12a -．
3．设}{n S 为级数
∑∞
=1
n n
a
的部分和数列，且
∑∞
=1
n n
S
收敛，则
=∑∞
=1
n n
a
0．
4．设∞=∞
→n n b lim ，且0≠n b （ ,2,1=n ），则
=-∑∞
=+1
1
)1
1(
n n n b b 11b ．
5．
=-∑∞
=22
1
1
n n 43．
三．计算题
1．判别下列级数的敛散性，若收敛，求其和： （1）
1(1)!
n n
n ∞
=+∑． 解：1(1)!
n n
n ∞
=+∑=∑∑==∞→∞→+-+=+n k n k k n k k k k 11)!1(1)1(lim )!1(lim ∑=∞→+-=n
k n k k 1))!1(1!1(lim
1))!
1(1
1(lim =+-
=∞→n n ，故级数收敛，其和为1．
另解：1(1)!n n n ∞
=+∑∑∑∞
=∞=???? ??+-=+-+=11)!1(1!
1)!1(1)1(n n n n n n （∑∞=1!1n n 与∑∞=+1)!1(1
n n 都收敛） ∑∑∞
=∞=+-=11)!1(1!1n n n n ∑∑∞
=∞=-=12!1!1n n n n 1=． （2）
23111111113531031535n n
+++++++++ ．
解： ∑∞
=131n n 收敛，∑∞=11n n 发散，)51
3
1(1n n n +∴∑∞
=发散，故原级数发散．
2．判别下列正项级数的敛散性： （1）
(1)1
1
2
n
n n ∞
+-=∑．
解：1
)1(2
12
1--+≤
n n n
，∴级数收敛．
（2）
11
(0)1n n a a
∞
=>+∑．