湖北省襄阳市优质高中2021届高三数学联考试题 理(含解析)

湖北省襄阳市优质高中2021届高三数学联考试题 理（含解析）

一、选择题：

1.已知集合{}30|P x x =-≥，{}13|Q x x =<≤，则(

)R

P Q =（ ）

A. [)1,3

B. [)1,2

C. ()1,3

D. []1,3

【答案】C 【解析】 【分析】 先计算

R

P 再求()R P Q 即可.

【详解】{}{}303||P x x x x =-≥=≥,故{}|3R

P x x =<.故()()1,3R P Q ?=.

故选：C

【点睛】本题主要考查了集合的基本运算,属于基础题. 2.设1211i

z i i

-=+-+，则z 的虚部是（ ） A. i B. 1

C. -1

D. i -

【答案】B 【解析】 【分析】 化简1211i

z i i

-=

+-+再根据虚部的定义求解即可. 【详解】()()()

2

1121211111i i

z i i i i i i --=+-=+-=-+++-,其虚部为1. 故选：B

【点睛】本题主要考查了复数的基本运算与虚部的定义,属于基础题. 3.已知0.3

110.5log 3,log 0.2,0.5a b c ===，则

,,a b c 的大小关系为（ ） A. a c b << B. a b c << C. b c a << D. c a b <<

【答案】A 【解析】

【分析】

根据对数与指数的单调性分析

,,a b c 与 0.5,1的大小关系即可. 【详解】由题191log 3log 30.5a =<=,故00.5a <<,又0.50.5log 0.2log 0.51b =>=,

0.310.0.550.5c >==,故0.51a c b <<<<,故a c b <<.

故选：A

【点睛】本题主要考查了根据指对数函数的单调性分析函数值大小关系的问题,需要根据数值特征判断数值与特殊值之间的大小关系再判断,属于基础题.

4.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙．从外观上看，是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称；六根等长的正四棱柱分成三组，经90°榫卯起来．如图所示，正四棱柱的高为8，底面正方形的边长为1，将这个鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器半径的最小值为（容器壁的厚度忽略不计）（ ）

65

6669 17

【答案】C 【解析】 【分析】

根据鲁班锁的对称性,可取三组长方体中的一组进行计算,则球心为该长方体的中心,再根据长方体外接球的直径为长方体体对角线求解即可.

【详解】结合鲁班锁的对称性,球心为三组长方体的中心,且每个长方体由两个正四棱柱组成,所以每个长方体的长为2,宽为1,高为8.设球的半径为r ,则222212869r ++=故692

r =

故选：C

【点睛】本题主要考查了外接球的计算,需要根据对称性确定一组长方体的外接球即为整体的外接球,属于基础题.

5.设a b <，函数2

()()y x b x a =--的图象可能是（ ）

A. B.

C. D.

【答案】D 【解析】 【分析】

求导分析函数的单调性与极值点即可.

【详解】因为2

()()y x b x a =--,()()2

()('2)()32y x b x a x b x b x a b =--=---+-,

令'0y =有122,3a b x b x +==

.又a b <故

2233

a b b b

b ++<=. 故2

()()y x b x a =--在2,3a b +??-∞ ??

?和(),b +∞上单调递增,在2,3a b b +??

???

上单调递减. 且在x b =处取极小值0. 故选：D

【点睛】本题主要考查了根据函数的解析式判断函数图像的方法,需要根据函数解析式求导分析单调性与极值再判断,属于中档题.

6.2021年4月，习近平总书记专程前往重庆石柱考察了“精准脱贫”工作.为了进一步解决“两不愁，三保障”突出问题，当地安排包括甲、乙在内的5名专家对石柱县的3个不同的乡镇进行调研，要求每个乡镇至少安排一名专家，则甲、乙两名专家安排在同一乡镇的概率为（ ） A. 6

25

B.

320 C.

725 D. 1140

【答案】A 【解析】

【分析】

先计算总共可能的分配情况,再分析甲、乙两名专家安排在同一乡镇的情况数再求概率即可. 【详解】5名专家对石柱县的3个不同的乡镇进行调研,分两大类：

①其中一个乡镇有3个专家,另外两个分别有1个,共312

53260C C A ??=种情况. ②其中一个乡镇有1个专家,另外两个分别有2个,共1

1

2

53490C C C ??=种情况. 故共60+90=150种情况.

其中甲、乙两名专家安排在同一乡镇可能的情况同上分析,有

11212233233236C C A C C A ??+??=种可能.

故甲、乙两名专家安排在同一乡镇的概率为366

15025

=. 故选：A

【点睛】本题主要考查了利用排列组合方法求解概率的问题,需要根据题意分情况求总的情况数与满足条件的情况数,再进行概率的求解.属于中档题. 7.已知非零向量,a b ，满足2=a b ，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为（ ）

A.

6

π B.

4

π C.

34

π D.

56

π 【答案】B 【解析】 【分析】

根据向量垂直的公式与数量积公式求解即可.

【详解】设a 与b 的夹角为θ,因为()a b b -⊥,所以2

()0a b b a b b -?=??=,即

2

cos a b b θ?=.

又2=a b ,2cos cos b b b θθ?=?=故4π

θ=.

故选：B

【点睛】本题主要考查了垂直的数量积表示以及数量积的公式等.属于基础题. 8.执行如图所示的程序框图，若输入的25t =-，则输出的n 的值为（ ）

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

【答案】C 【解析】 【分析】

根据框图逐个循环分析即可.

【详解】输入25t =-,初始值1,0,1S n m ===. 第1次循环：0,2,1S m n ===,?S t >判断为“是” 第2次循环：2,4,2S m n =-==,?S t >判断为“是” 第3次循环：6,8,3S m n =-==,?S t >判断为“是” 第4次循环：14,16,4S m n =-==,?S t >判断为“是” 第5次循环：30,32,5S m n =-==,?S t >判断为“否”. 输出5n =. 故选：C

【点睛】本题主要考查了根据程序框图的输入值计算输出结果,属于基础题.

9.已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若13 *(n n S S n N -=∈且13)n <，有以下结论：

①130S =；②70a =；③{}n a 为递增数列；④130a =. 则正确的结论的个数为（ ） A. 1 B. 2

C. 3

D. 4

【答案】B 【解析】 【分析】

对①②,根据等差数列的求和性质求解即可.对③④,举出反例判断即可.

【详解】对①,由题, 13 n n S S -=令7n =有767670 0S S S S a ?-=?==,故①正确. 对②,()

113137131302

a a S a +=

==.故②正确.

对③, 当0n a =时满足13 0n n S S -==,故{}n a 为递增数列不一定正确.故③错误. 对④, 由①②,可设当7n a n =-时满足13 n n S S -=,但136a =-.故④错误. 故①②正确. 故选：B

【点睛】本题主要考查了等差数列的求和性质运用,需要根据题意利用赋值法或性质推导,属于中档题.

10.过抛物线()2

:20C x py p =>的焦点F 的直线交该抛物线于A B 、两点，若3AF BF =，

O 为坐标原点，则AF

OF

=（ ） A.

43

B.

34

C. 4

D.

54

【答案】A 【解析】 【分析】

画出图像,分别作,A B 关于准线的垂线,再根据平面几何的性质与抛物线的定义求解即可.

【详解】

如图,作分别作,A B 关于准线的垂线,垂足分别为,D E ,直线AB 交准线于C .过A 作

BE 的垂线交BE 于G ,准线与y 轴交于H .则根据抛物线的定义有,AF AD BF BE ==.

设AF AD t ==,3BF BE t ==,故2BG t =,4AB t =,故1

cos 2

BG ABG AB ∠=

=. 故26BC BE t ==,故FH 是CBE △边BE 的中位线,故113

244

OF FH BE t ===.

故4

334

AF

t t OF

=

=.

故选：A

【点睛】本题主要考查了利用平面几何中的比例关系与抛物线的定义求解线段比例的问题,需要根据题意作出对应的辅助线,利用边角关系求解,属于中档题. 11.已知函数()f x 在R 上都存在导函数()f x '，对于任意的实数x 都有

2()

()

x f x e f x -=.当0x <时，()()0f x f x '+>，若(31)(21)a

e f a f a +≥+，则实数a 的取值范围是（ ）

A. 20,5??????

B. 2,05

??-????

C. [)0,+∞

D. (],0-∞

【答案】B 【解析】 【分析】

根据题意构造函数()()x

h x e f x =,再分析()h x 的单调性与奇偶性再求解即可.

【详解】根据题意构造函数()()x

h x e f x =,因为对于任意的实数x 都有

2()

()

x f x e f x -=,

故()()x

x f x e

e f x --=,即()()h x h x -=,故()h x 为偶函数.又当0x <时,()()0

f x f x '+>即()()0'()0x x e f x e f x h x '+>?>,故当0x <时,()h x 单调递增.

综上所述, ()h x 为偶函数, 当0x <时,()h x 单调递增；当0x ≥时, ()h x 单调递减. 又(31)(21)a

e f a f a +≥+,即31

21(31)(21)a a e

f a e f a +++≥+,即()()3121h a h a +≥+.

故3121a a +≤+,即()()()22

31210520a a a a +-+≤?+≤,解得2,05a ??∈-????

. 故选：B

【点睛】本题主要考查了构造函数求解抽象函数不等式的问题,需要根据题意判断构造的函数解析式,再根据所给的性质分析函数的单调性与奇偶性.属于中档题.

12.在四面体ABCD 中，2AD DB AC CB ====，则当四面体ABCD 的体积最大时，其外接球表面积为（ ） A.

203

π

B.

143

π

C. 4π

D. 8π

【答案】A 【解析】 【分析】

根据题意易得,当ABC 与ABD △垂直时四面体ABCD 的体积能取得最大值,再取AB 中点O ,设AO x =再列式求导分析当体积取最大值时AB 的长度,进而求得外接球的半径即可.

【详解】

由题,当ABC 与ABD △形状确定时,以ABC 为底面,易得当ABC 与ABD △垂直时四面体ABCD 的高取得最大值,此时体积取最大值.

取AB 中点O ,因为2AD DB AC CB ====,故⊥DO AB ,CO AB ⊥.

设AO x =

则CO =故ABCD

的

体积为()2111

()4323

f x AB OC OD x x =

???=-. 令()2

4'03f x x =-+

=,则x =,易得当x =时()2

1()43f x x x =-取最大值.

此时OC ==此时根据对称性可知,球心'O 必定在COD △中.作'O Q OC ⊥于Q ,作'O Q OD ⊥于D .

易得,P Q 分别为ABD △与ABC 的外心.故

2sin BC BQ BAC =

=∠2

BQ =

. 故QC BQ ==

OQ ==

.又'POQO 为正方形,故'QO QO ==故'3O C ==.故外接球表面积为2

20433S ππ?=?= ?? . 故选：A

【点睛】本题主要考查了利用导数求解立体几何中的最值问题以及外接球的表面积的求法等.需要根据题意设合适的边长求出对应的函数解析式,再求导分析最值.同时外接球的问题需要找准球心位置,构造直角三角形求边角关系.属于难题. 二、填空题：

13.已知数列{}n a 满足1111,2*() n n n n a a a a a n N ++=-=∈，则10a 的值______________. 【答案】

119

【解析】 【分析】

对112n n n n a a a a ++-=两边除以1n n a a +构造等差数列,求通项公式再求解即可. 【详解】对112n n n n a a a a ++-=两边除以1n n a a +可得

1121n n a a +-=,故1n a ??

????

是以1

11a 为首项,

公差为2的等差数列.故()1

12121n n n a =+-=-,故121n a n =-.故10119

a =. 故答案为：

1

19

【点睛】本题主要考查了构造等差数列求解数列通项公式的方法,属于基础题.

14.“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大，假设李某智商较髙，他独自一人解决项目M 的概率为10.95p =；同时，有n 个水平相同的人也在相互独立地研究项目M ，他们各自独立地解决项目M 的概率都是0.5，这个人的团队解决项目

M 的概率为2p ，若21p p ≥，则n 的最小值是______________.

【答案】5 【解析】 【分析】

根据题意根据不能解决项目的概率列式求解即可.

【详解】依题意,设n 个人组成的团队不能解决项目M 的概率为11122n n

P ????=-= ? ?????. 故当21p p ≥时,110.950.052n

??≤-= ???

,因为n N +∈,故5n ≥.即n 的最小值是5. 故答案为：5

【点睛】本题主要考查了概率与指数不等式的综合运用,需要根据题意根据事件的反面进行求解.属于基础题.

15.已知函数23

()123

x x f x x =+-+，若()(2020)h x f x =-的零点都在(),a b 内，其中a ，b

均为整数，当b a -取最小值时，则b a +的值为_____________. 【答案】4039 【解析】 【分析】

求导分析23

()123x x f x x =+-+的单调性,再根据零点存在定理与函数的平移分析即可.

【详解】因为2

'()10f x x x =-+>恒成立.故23

()123

x x f x x =+-+为增函数.所以()f x 有

且仅有一个零点.又(0)10=>f ,115

(1)110236

f -=--

-=-<,故()f x 零点在区间()

1,0-之间.又()(2020)h x f x =-为函数()f x 往右平移2021个单位,所以

()(2020)h x f x =-的零点落在()2019,2020上.

由题意可知, b a -取最小值时2020,2019b a ==,所以4039b a +=. 故答案为：4039

【点睛】本题主要考查了函数的零点存在性定理与函数平移的问题,属于基础题.

16.已知双曲线22

221x y a b

-=()0,0a b >>的左、右焦点分別为12,F F ，点A 是双曲线左支上的

一点，直线AF １与直线b

y x a

=?平行，12AF F ?的周长为8a ，则双曲线的离心率为_________________.

【答案】1 【解析】 【分析】

根据双曲线的定义分析12,AF AF 的关系,再根据直线AF １与直线b

y x a

=

?平行可得12tan AF F ∠的表达式,进而求得12cos AF F ∠,再在焦点三角形中利用余弦定理化简求解即可.

【详解】由题,设1AF x =,则22AF x a =+,又12AF F ?的周长为8a , 可得2283x x a c a x a c +++=?=-.又直线AF １与直线b

y x a

=?平行, 故

12tan b AF F a ∠=

,故12cos a AF F c

∠=

=. 由余弦定理可得,()()()()()2

212

2

532232cos a c a c c a c A F c F -=-+--?∠,

整理得22270c ac a +-=,同除以2a 可得2270e e +-=,故1e ==-±

因为1e >故1e =

故答案为：221-

【点睛】本题主要考查了根据双曲线的

定义与余弦定理的应用求解双曲线焦点三角形的问题,需要分析边的表达式,再根据余弦定理列出关于,a c 的齐次式再求解离心率.属于中档题. 三、解答题：

17.已知,,a b c 是ABC ?中内角,,A B C 的对边，1

23,3,cos 3

a b A ===-. （1）求c ； （2）求cos 4B π??

-

??

?

的值. 【答案】（1）1c =（2236

+ 【解析】 【分析】

(1)利用cos A 的余弦定理求解即可.

(2)根据余弦定理求解cos B 即可得sin B ,再利用余弦的差角公式求解即可. 【详解】（1）∵123,3,cos 3a b A ===-

, 所以22229121

cos 2233

b c a c A bc c +-+-===-??,

整理得：2230c +c -=,

即(3)(1)0c c +-=,解得：1c =,或3c =-（舍）,则1c =. （2）由（1）知：123,3,cos ,13

a b A c ===-=,

所以2223cos 22231a c b B ac +-===

??则6

sin B =,

则所以236

cos cos cos sin sin 444

B B B πππ

+??

-

=+= ??

?. 【点睛】本题主要考查了余弦定理以及三角恒等变换在解三角形中的应用.属于中档题. 18.如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ，2PA AB ==，

60ABC ∠=?，E 为棱BC 的中点，F 为棱PC 上的动点.

（1）求证：AE ⊥平面PAD ； （2）若锐二面角E AF C --的正弦值为

10

5

，求点F 的位置. 【答案】（1）证明见解析（2）点F 为线段PC 的中点 【解析】 【分析】

(1)证明AE AD ⊥,AE PA ⊥即可.

(2) 以点A 为坐标原点,AE AD AP 、、所在直线分别为x y 、、z 轴建立空间直角坐标系

A xyz -,设(01)PF PC λλ=≤≤,进而利用空间向量求解锐二面角E AF C --的正弦值关

于λ的表达式,进而求得λ即可判断.

【详解】（1）如下图所示,由于四边形ABCD 是菱形,则AB BC =,

又∵60ABC ∠=?,∴ABC ?是等边三角形,∵E 为BC 的中点,∴AE BC ⊥, ∵//AD BC ,∴AE AD ⊥.

∵PA ⊥底面ABCD ,AE ?平面ABCD ,∴AE PA ⊥, ∵AD PA A ?=,AD PA ?、平面PAD , ∴AE ⊥平面PAD ；

（2）由（1）知,AE AD ⊥,且PA ⊥底面ABCD ,以点A 为坐标原点,AE AD AP 、、所在直线分别为x y 、、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -,

由2PA =则点,(0,0,0),3,1,0),(0,0,2)3,0,0)A C P E , 设(01)PF PC λλ=≤≤,

则(3,,2),(3,,22),(3,0,0)PF AF AP PF AE λλλλλλ=-=+=-=, 设平面AEF 的一个法向量为(,,)m x y z =,

由00m AE m AF ??=??=?,即303(22)0

x x y z λλλ?=?

++-=,取z λ=,则0x =,22y λ=-,则平面

AEF 的一个法向量为(0,22,)m λλ=-,

同理可得平面ACF 的一个法向量为(1,3,0)n =-,

∵二面角E AF C --的正弦值为

10

5

∴22|||23(115|cos ,||||||52(22)m n m n m n λλ??=

==??-+,解得1

2

λ=.

因此,当点F 为线段PC 的中点时,二面角E AF C --10

【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定与根据二面角的大小求解特殊点位置的方法,需要根据题意设所求点满足的含参向量表达式,再根据题意得出关于参数的等式求解即可.属于中档题.

19.已知椭圆M ：22

+143

x y =的左、石顶点分别为A 、B ，设P 是曲线M 上的任意一点.

（1）当点P 异于A 、B 时，直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，则12k k ?是否为定值？请说明理由；

（2）已知点C 在椭圆M 的长轴上（异于A 、B 两点）.且PC 的最大值为3，求点C 的坐标. 【答案】（1）是定值，理由见解析（2）()1,0C ± 【解析】 【分析】

(1)设(,,)(22)P x y x -<<,再表达出12k k ?,最后利用(,,)P x y 满足方程22+143

x y =代换证

明即可.

(2) 设()(),022C m m -<<,再求得||PC 的解析式,利用二次函数的最值判断,分0m ≥与

0m <两种情况求解即可.

【详解】（1）证明：由椭圆方程可得(2,0), (2,0)A B -, 设(,,)(22)P x y x -<<,

则12,22

y y

k k x x =

=+-, ∴

22

12223334444

x y k k x x -===-

--, （2）设()(),022C m m -<<,

则||PC =

=

=

若40m ≥,即0m ≥,

则max ||5PC =

=,解得1m =. 此时()1,0C ,同理,若40m <,可得1m =-,此时()1,0C -, 故C 点坐标为()1,0C ±.

【点睛】本题主要考查了根据椭圆中的定值与最值问题,需要根据题意设点表达对应的解析式,

再代入椭圆的方程结合二次不等式的最值与范围求解.属于中档题.

20.十九大提出对农村要坚持精准扶贫，至2021年底全面脱贫.现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作.经摸底排查，该村现有贫闲农户100家，他们均从事水果种植，2017年底该村平均每户年纯收入为1万元.扶贫工作组一方面请有关专家对果树进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其人数必须小于种植的人数.从2022年初开始，该村抽出5x 户（,19x Z x ∈≤≤）从事水果包装、销售.经测算，剩下从事水果种植农户的年纯收入每户平均比上一年提高

20

x

，而从事包装销售农户的年纯收入每户平均为1

34

x -万元（参考数据：3331.1 1. 331,1.15 1.521,1.2 1.728≈==）.

（1）至2021年底，为使从事水果种植农户能实现脱贫（每户年均纯收入不低于1万5千元），则应至少抽出多少户从事包装、销售工作？

（2）至2022年底，该村每户年均纯收人能否达到1.355万元？若能，请求出从事包装、销售的户数；若不能，请说明理由.

【答案】（1）15（2）当从事包装、销售的户数达到20户、25户、30户时，能达到，否则不能，理由见解析 【解析】 【分析】

(1)根据从事水果种植农户的年纯收入每户平均比上一年提高20

x

列式求解即可得出x 的值,继而得出从事包装、销售工作的户数.

(2)根据题意计算从事水果种植农户的年纯收入与从事包装、销售工作的农户的总和除以总人数100即可得该村每户年均纯收入,再列出不等式求解即可.

【详解】（1）至2021年底,种植户平均收入3

1 1.520x ??+≥ ???

,

即)

20

1x ≥,由题所给数据,

知：1.1 1.15<<,所以,)

22013<<,

所以,x 的最小值为3,515x ≥,

即至少抽出15户从事包装、销售工作. （2）至2022年底,假设能达到1.355万元,

每户的平均收入为：()153(1005)1420 1.355100

x x x x f x ???

?-+-+ ? ?

?

???=≥,

化简,得：2330710x x -+≤,因,19x Z x ∈<≤

解得：{}4,5,6x ∈.

所以,当从事包装、销售的户数达到20户、25户、30户时,能达到, 否则不能.

【点睛】本题主要考查了统计中的实际运用,需要根据题意列出题中的所求变量满足的不等式,再利用对应的不等式求解方法求解即可.属于中档题. 21.已知2

()1(0)f x cosx mx x =+-≥．

（1）若()0f x ≥在[

)0,+∞上恒成立，求实数m 的取值范围； （2）证明：当0x ≥时，2sin cos x e x x -≥-． 【答案】(1) 1

2

m ≥ (2)证明见解析 【解析】 【分析】

（1）求导()sin 2f x x mx '=-+，()'

cos 2f x x m '=-+，讨论2m 与1 的大小确定()f x '的

正负，进而确定()f x 的最值即可证明 （2）由（1）取12m =

，得2

112

x cosx -≥- ，要证2sin cos x e x x -≥-，只需证21212x e x x -≥+-，构造函数()21

12

x g x e x x =---，证明()()00g x g ≥=即可证明

【详解】（1）法一：由题意()sin 2f x x mx '=-+，()'

cos 2f x x m '=-+

① 若21m ≥，即12

m ≥

时，()'

0f x '≥，则()f x '在[)0,+∞单调递增， 则()()00f x f ''≥=，则()f x 在[

)0,+∞单调递增，故()()00f x f ≥=，满足题意； ② 若121m -<<，即11

22

m -

<<时，存在00x >，使得()'00f x '=，且当()00,x x ∈时，()'0f x '<，则()f x '在()00,x 上单调递减，则()()00f x f ''<=，则()f x 在()00,x 单调

递减，此时()()00f x f <=，舍去；

③ 若21m ≤-，即12

m ≤-

时，()'

0f x '<，则()f x '在[)0,+∞上单调递减，则()()00f x f ''<=，则()f x 在[)0,+∞单调递减， ()()00f x f <=，舍去；

故12

m ≥

． 法二：由题知()00f =，且()sin 2f x x mx '=-+，()00f '=，()'

cos 2f x x m '=-+

要使得()0f x ≥在[

)0,+∞上恒成立，则必须满足()00f ''≥，即210m -≥，12

m ≥． ① 若12

m ≥

时，()'

0f x '≥，则()f x '在[)0,+∞单调递增，则()()00f x f ''≥=， 则()f x 在[

)0,+∞单调递增，故()()00f x f ≥=，满足题意； ② 若12

m <

时，存在()00,x x ∈时，()'

0f x '<，则()f x '在()00,x 上单调递减，则()()00f x f ''<=，则()f x 在()00,x 单调递减，此时()()00f x f <=，舍去；

故1

2

m ≥

． （2）证明：由（1）知，当12m ≥时，()2

10f x cosx mx =+-≥．取12

m =， 则

2

112

x cosx -≥- 由（1）()sin 0f x x x '=-+≥，则sin x x ≥，故2

11sin cos 2

x x x x +-≥-， 要证2sin cos x e x x -≥-，只需证2

1212

x

e x x -≥+-． 令()2

112

x

g x e x x =-

--，则()1x g x e x ='--，()1x g x e ='-'， 当0x ≥时，()0g x ''≥，则()g x '在[

)0,+∞上单调递增，有()()00g x g ''≥=， 故()g x 在[

)0,+∞单调递增，故()()00g x g ≥=， 故21102x

e x x -

--≥，即有21

212

x e x x -≥+-，得证 【点睛】本题考查函数与导数的应用，考查利用导数证明不等式，考查构造函数及变形转化能力，是中档题

22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 1sin x y αα

?=??=+??（α为参数）.以坐标原

点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()0,R θθρ=∈.

（1）求曲线C 的极坐标方程；

（2）设直线l 与曲线C 相交于不同的两点12,P P ，指出0θ的范围，并求12

11

||||OP OP +的取值范围.

【答案】（1

）2

cos 2sin 30ρθρθ--+=（2）0,3π?? ???

，43?

???

【解析】

【

分析】

(1)将曲线C 的参数方程先消参化简得到直角坐标方程,再代入cos x ρθ=及sin y ρθ=化简即可.

(2) 将0θθ=代入曲线C 的极坐标方程得出韦达定理,再根据ρ的几何意义代入韦达定理

,并

利用三角函数的最值问题求解即可. 【详解】（1）将曲线C 的参数方程cos 1sin x y α

α

?=??=+??,消去参数α,

得(()2

2

11x y +-=.

将cos x ρθ=及sin y ρθ=代入上式,得2cos 2sin 30ρθρθ--+=. （2）依题意由知00,

3πθ?

?

∈ ??

?

. 将0θθ=代入曲线C 的极坐标方程,得200cos 2sin 30ρθρθ--+=. 设()()1

10220,,,P P ρθρθ,则1200122sin ,3ρρθθρρ+=+=. 所以

001201

212122sin 11114sin 333OP OP θθρρθπρρρρ++??

+=+===+ ???. 因为00,

3πθ?

?

∈ ??

?

,所以02,333

π

ππθ??+

∈ ???,则044sin 333πθ???+∈? ????

?, 所以1211

||OP OP +的取值范围为43???

?. 【点睛】本题主要考查了参数方程化简极坐标的方法,需要利用直角坐标过度.同时也考查了极坐标的几何意义与三角函数求最值的方法.属于中档题.

23.

已知函数()2145f x x x =++-的最小值为M . （1）求M ；

（2）若正实数a ，b ，c 满足2a b c M ++=，求：2

2

2

(1)(2)(3)a b c ++-+-的最小值.

【答案】（1）7

2

M =（2）3. 【解析】 【分析】

将绝对值函数写成分段函数形式，分别求出各段的最小值，最小的即为函数的最小值．

由（1）知7a b c ++=，直接利用公式：平方平均数≥ 算数平均数，222+33

a b c a b c

+++≥

即可解出最小值．

【详解】（1）164,215()26,24564,4x x f x x x x x ?

-+-??

?

=-+-??

?

-??

＜＜＜＞

如图所示

max 57

()()42

f x f ==

∴72

M =

(2)由（1）知7a b c ++= ∴[]2

(1)(2)(3)a b c ++-+-

222(1)(2)(3)2(1)(2)2(1)(3)2(2)(3)a b c a b a c b c =++-+-++-++-+--