直线和平面所成的角与二面角（1）——线面角

新课讲解：

1．平面的斜线和平面所成的角： 已知，如图，AO 是平面α的斜线，A 是斜足，OB 垂直于平面α，B 为垂足，则直线AB 是斜线在平面α内的射影。设AC 是平面α内的任意一条直线，且BC AC ⊥，垂足为C ， 又设AO 与AB 所成角为1θ，AB 与AC 所成角为2θ，AO 与AC 所成角为θ，则易知：

1||||c o s A B A O θ= ，212||||cos ||cos cos AC AB AO θθθ== 又∵||||cos AC AO θ=

，

可以得到：12cos cos cos θθθ=?， 注意：2(0,

)2

π

θ∈（若22

π

θ=

，则由三垂线定理可知，

O A A C ⊥，即2

π

θ=；与“AC 是平面α内的任意一条直线，且BC AC ⊥，垂足为C ”

不相符）。

易得：1cos cos θθ< 又1,(0,

)2

π

θθ∈即可得：1θθ<．

则可以得到：

（1）平面的斜线和它在平面内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角 中最小的角；

（2）斜线和平面所成角：一个平面的斜线和它在这个平面中的射影的夹角，叫做斜线和平面 所成角（或叫斜线和平面的夹角）。

说明：1．若a α⊥，则规定a 与α所成的角是直角；

2．若//a α或a α?，则规定a 与α所成的角为0

；

3．直线和平面所成角的范围为：090θ≤≤

；

4．直线和平面所成角是直斜线与该平面内直线所成角的最小值 （12cos cos cos θθθ=?）．

2．例题分析：

例1．如图，已知AB 是平面α的一条斜线，B 为斜足，,AO O α⊥为垂足，BC 为α内的 一条直线，60,45ABC OBC ∠=∠=

，求斜线AB 和平面α所成角．

θ

θ2

θ1O

C

B

A

α

解：∵AO α⊥，由斜线和平面所成角的定义可知，ABO ∠为AB 和

α所成角， 又∵12cos cos cos θθθ=?，

∴cos cos601cos cos cos 45222

ABC ABO CBO ∠∠===÷=

∠

， ∴45BAO ∠=

，即斜线AB 和平面α所成角为45

．

例2．如图，在正方体1AC 中，求面对角线1A B 与对角面11BB D D 所成的角．

〖解〗（法一）连结11AC 与11B D 交于

O ，连结OB ， ∵11

1DD AC ⊥，1111B D AC ⊥，∴1AO ⊥平面11BB D D ， ∴1A BO ∠是1A B 与对角面11BB D D 所成的角，

在1Rt A BO ?中，1112

A O A

B =，∴1

30A BO ∠=

． （法二）由法一得1A BO ∠是1A B 与对角面11BB D D 所成的角，

又∵11cos cos 452A BB ∠==

，11cos 3

B B B BO BO ∠==， ∴1111cos cos cos A BB A BO B BO ∠∠===∠，∴130A BO ∠=

． 说明：求直线与平面所成角的一般方法是先找斜线在平面中的射影，后求斜线与其射影的夹角。

另外，在条件允许的情况下，用公式21cos cos cos θθθ=?求线面角显得更加方便． 例3．已知空间四边形ABCD 的各边及对角线相等，求AC 与平面BCD 所成角的余弦值．

解：过A 作AO ⊥平面BCD 于点O ，连接,,CO BO DO ， ∵AB AC AD ==，∴O 是正三角形BCD 的外心， 设四面体的边长为a ，则3

CO a =

， O C

B

A

α

O

C

B

A

1A 1 A

∵90AOC ∠=

，∴ACO ∠即为AC 与平面BCD 所成角，

∴cos ACO ∠=

，所以，AC 与平面BCD ． 作业：

1．如图，PA 是平面α的斜线，BAC ∠在平面α内，且满足90BAC ∠=

，又已知

60PAB PAC ∠=∠= ，求PA 和平面α所成的角．

2．如图，已知PA ⊥正方形ABCD 所在平面，且24,PC PB PD ===PC 和平面

ABCD 所成的角．

直线和平面所成的角与二面角（2）——二面角

一、课题：直线和平面所成角与二面角（2）——二面角 二新课讲解：

1．二面角的概念：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从 一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半 平面叫做二面角的面。若棱为l ，两个面分别为,αβ的二面角记为l αβ--；二面角的图 形表示：

第一种是卧式法，也称为平卧式：

C

F

H I J

第二种是立式法，也称为直立式：

A

P

C

B

α

A

B

C

D

P l

B'

O'

A'

B O A β

α

2．二面角的平面角：

立体几何的基本转化途径为立几问题平面化，对于二面角的研究我们怎样衡量呢？——平 面角

（1）过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OA OB ，则A

O B ∠叫做二面角的平面角（l αβ--）．

（2）一个平面垂直于二面角l αβ--的棱l ，且与两半平面交线分别为,,OA OB O 为垂足，

则AOB ∠也是l αβ--的平面角．

说明：（1）二面角的平面角范围是[0,180]

；

（2）二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直．

3．例题分析：

例1．在正四面体ABCD

中，求相邻两个平面所成的二面角的平面角的大小． 解：取BC 的中点E ，连接,AE DE ，

∵正四面体ABCD ，∴,BC AE BC ED ⊥⊥于E ， ∴AED ∠为二面角A BC D --的平面角，

（法一）：设正四面体的棱长为1，则1AE DE AD =

==则1cos 3AED ∠=

（法二）：（向量运算）令AB a = ，,AC b AD c ==

，棱长为1，

∵1111

[()][]2224

EA ED a b c a b ?=-+?--= ，

又∵||||EA ED == ，

∴1cos 3AED ∠=

即相邻两个平面所成的二面角的平面角的大小为1arccos 3

． D

C

B

A

E

例2．在棱长为1的正方体1AC 中， （1）求二面角11A B D C --的大小；

（2）求平面1C BD 与底面ABCD 所成二面角1C BD C --

的平面角大小。

解：（1）取11B D 中点1O ，连接11,AO CO ，∵正方体1AC ，∴111111,B D AO CO B D ⊥⊥，

∴1AO C ∠即为二面角11A B D C --的平面角，

在AOC ?

中，11AO CO AC ===，

可以求得11

cos 3

AO C ∠=

即二面角11A B D C -- 的大小为1

arccos 3

．

（2）过1C 作1C O BD ⊥于点O ，∵正方体1AC ，∴1CC ⊥平面ABCD ，

∴1COC ∠为平面1C BD 与平面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角，

可以求得：1tan COC ∠=所以，平面1C BD 与底面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角大小为

说明：求二面角的步骤：作——证——算——答．

例3．已知：二面角l αβ--且,A A α∈到平面β

的距离为A 到l 的距离为4，求二

面角l αβ--的大小．

解：作AO l ⊥于点O ，AB ⊥平面β于点B ，连接BO ，

∵AB β⊥于点B ，AO l ⊥于点O ，

O

A 1

C 1

D 1

B 1

D

C

B

A

l

B

O

A β

α

O 1

A 1

C 1

D 1

B 1

D

C

B

A

∴l OB ⊥，∴AOB ∠即为二面角l αβ--的平面角，

易知，4AB AO ==，

∴60AOB ∠=

即二面角l αβ--的大小为60

．

说明：利用三垂线定理作二面角的平面角是解决二面角问题中一种重要的方法，其特征是其中

一个平面内一点作另一个平面的垂线。则已经有三种作二面角的平面角的方法，即：定义法、垂面法、三垂线法． 作业：已知四边形ABCD 为直角梯形，且有,,PD AB CB AB PA ⊥⊥⊥平面ABCD ，

2PA AB AD ===，4BC =，

求：（1）二面角D PA B --的大小； （2）二面角P BC A --的大小； （3）二面角P CD A --的大小．

直线和平面所成的角与二面角（3）——面面垂直

新课讲解：

1．两个平面垂直的定义：

两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平 面．

2．两平面垂直的判定定理：（线面垂直?面面垂直）

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 已知：直线AB ?平面α，AB ⊥平面β

，垂足为B ，求证：αβ⊥．

证明：如图所示，令CD αβ= ，则B CD ∈，

在β内过B 作BE CD ⊥，

∵,AB CD ββ⊥?，∴AB CD ⊥， ∴ABE ∠是二面角CD αβ--的平面角， 又∵AB BE ⊥，∴ABE ∠是直角，

所以，α与β所成的二面角是直角，即αβ⊥．

实例：建筑工地在砌墙时，常用铅垂的线来检查所砌的墙是否和水平面垂直．

E

D C

B

A

β

α

3．两平面垂直的性质定理：（面面垂直?线面垂直）

若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面． 已知：,,,CD AB AB CD αβαβα⊥=?⊥ 于点B ，求证：AB β⊥． 证明：在β内过B 作BE CD ⊥，则由题意得ABE ∠是CD αβ--的平面角，

∵αβ⊥知AB BE ⊥，又∵AB CD ⊥，∴AB β⊥．

4．例题分析：

例1．如图，已知AB 是圆O 的直径，PA 垂直于O 所在的平面，C 是圆周上不同于,A B 的

任一点，求证：平面PAC ⊥平面PBC ．

分析：根据“面面垂直”的判定定理，要证明两平面互相垂直，

只要在其中一个平面中寻找一条与另一平面垂直的直线即可。

解：∵AB 是圆O 的直径，∴AC BC ⊥，

又∵PA 垂直于O 所在的平面，∴PA BC ⊥，

∴BC ⊥平面PAC ，又BC 在平面PBC 中，

所以，平面PAC ⊥平面PBC ．

说明：由于平面PAC 与平面PBC 相交于PC ，所以如果平面PAC ⊥平面PBC ，则在平面

PBC 中，垂直于PC 的直线一定垂直于平面PAC ，这是寻找两个平面的垂线的常用方法。 例2．已知,,a αβαγβγ=⊥⊥ ，求证：a γ⊥．

证明：设,AB AC αγβγ== ，

在γ内取点P ，过P 作PM AB ⊥于M ，PN AC ⊥于点N ， ∵αγ⊥，∴PM α⊥，又∵a αβ= ， ∴PM a ⊥，同理可得PN a ⊥，∴a γ⊥．

例3．如图，AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，若2AB BC BD ==，求二面角B AC D --的

正弦值。

分析：要求二面角的正弦值，首先要找到二面角的平面角。

解：过D 作DE AC ⊥于E ，过E 作EF AC ⊥交BC 于F ，连结DF ，

则C 垂直于平面DEF ，FED ∠为二面角B AC D --的平面角，

∴AC DF ⊥，又AB ⊥平面BCD ，∴AB DF ⊥，AB CD ⊥， ∴DF ⊥平面ABC ，∴DF EF ⊥，DF BC ⊥， 又∵AB CD ⊥，BD CD ⊥，

N

M P

C

B

A a

γ

β

α

A

B C

E

F

P O

A B

C

∴CD ⊥平面ABD ，∴CD AD ⊥， 设BD a =，则2AB BC a ==， 在Rt BCD ?中，1122BCD S BC DF BD CD ?=

?=?

，∴DF =， 同理，Rt ACD ?

中，DE =

，∴sin DF FED DE ∠=== 所以，二面角B AC D --

的正弦值为5

作业：

1．过点P 引三条长度相等但不共面的线段,,PA PB PC ，且60APB APC ∠=∠=

，

90BPC ∠= ，求证：平面ABC ⊥平面BPC ．

2．如图，PA ⊥平面ABC ，90ABC ∠=

，,E F 分别是,PB PC 上的点，且AE PB ⊥，

求证：AEF ?是直角三角形。

B A

C

P

A

B

C

P

E F

（第1题图）

（第2题图）