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第八章 空间解析 几何与向量代数
第六节 空间直线及其方程
胡倩倩 qianqian_hu@https://www.doczj.com/doc/038029368.html,
本节主要内容
一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程与参数方程 三、两直线的夹角 四、直线与平面的夹角
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空间直线的一般方程
定义 空间直线可看成两平面的交线．
Π 1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 Π 2 : A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 ? A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 ? ? A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 空间直线的一般方程 x
(不唯一)
z
Π1
Π2
o
L
y
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空间直线的对称式方程与参数方程
方向向量的定义： 如果一非零向量平行于 一条已知直线，这个向量称 为这条直线的方向向量．
M 0 ( x0 , y0 , z0 ),
M ( x , y , z ),
x
z
r s
L
? M0
o
?M
y
? M ∈ L,
r M 0 M // s
r s = {m , n, p},
M 0 M = { x ? x 0 , y ? y0 , z ? z 0 }
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空间直线的对称式方程与参数方程
r s = {m , n, p},
M 0 M = { x ? x 0 , y ? y0 , z ? z 0 }
直线的对称式方程
x ? x 0 y ? y0 z ? z 0 = = m n p
x ? x 0 y ? y0 z ? z 0 令 = = =t p m n
? x = x0 + mt ? ? y = y0 + nt ? z = z + pt ? 0
直线的参数方程 直线的一组方向数 方向向量的余弦称为 直线的方向余弦.
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举例
例1 用对称式方程及参数方程表示直线
?x + y + z + 1 = 0 . ? ?2 x ? y + 3z + 4 = 0
解 在直线上任取一点 ( x0 , y0 , z0 )
? y0 + z 0 + 2 = 0 取 x0 = 1 ? ? , ? y0 ? 3 z 0 ? 6 = 0
解得 y0 = 0,
z 0 = ?2
点坐标 (1,0,?2),
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举例
?x + y + z + 1 = 0 . ? ?2 x ? y + 3z + 4 = 0
因所求直线与两平面的法向量都垂直 取
r r r s = n1 × n2 = {4,?1,?3},
x ?1 y ?0 z + 2 对称式方程 = = , 4 ?1 ?3 ? x = 1 + 4t ? . 参数方程 ? y = ? t ? z = ?2 ? 3 t ?
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两直线的夹角
定义 两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）
x ? x1 y ? y1 z ? z1 直线 L1 : = , = m1 n1 p1 x ? x2 y ? y2 z ? z 2 直线 L2 : = , = m2 n2 p2
L1
s1 ?
L2
s2
cos( L^ ,L ) =
1 2
| m1m2 + n1n2 + p1 p2 | m1 + n1 + p1 ? m2 + n2 + p2
2 2 2 2 2 2
两直线的夹角公式
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两直线的位置关系
两直线的位置关系：
(1) L1 ⊥ L2 ?? m1 m 2 + n1 n2 + p1 p2 = 0, m1 n1 p1 = = , ( 2) L1 // L2 ?? m 2 n2 p2
r 例如， 直线 L1 : s1 = {1,?4, 0}, r 直线 L2 : s 2 = {0,0,1}, r r r r Q s1 ? s2 = 0, ∴ s1 ⊥ s2 , 即 L1 ⊥L2 .
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举例
例2. 求以下两直线的夹角
x y+2 z L2 : = = 2 ?2 ?1
解: 直线 的方向向量为 直线 的方向向量为
uu v s2 = (2 , ? 2 , ? 1)
二直线夹角? 的余弦为
12 + (?4) 2 + 12 π 从而 φ = 4
cos ? =
1 × 2 + (?4) × (?2) + 1× (?1)
2 2 + (?2) 2 + (?1) 2
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直线与平面的夹角
定义 直线和它在平面上的投影直线的夹 角? 称为直线与平面的夹角． n s π ? 0≤? ≤ . 2
L
x ? x0 y ? y0 z ? z 0 L: = = , m n p r s = {m , n, p},
Π : Ax + By + Cz + D = 0,
Π
r n = { A, B , C },
r^r π ( s , n) = ? ? 2
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直线与平面的夹角
π sin ? = cos( ? ? ) = cos( π + ? ) . 2 2
n s ?
Π
L
| Am + Bn + Cp | sin ? = 2 2 2 2 2 2 r A + B + C ? m + n + p s = {m , n, p}, r n = { A, B , C }, 直线与平面的夹角公式
直线与平面的位置关系：
(1) L⊥ Π ??
( 2) L // Π ??
A B C = = . m n p Am + Bn + Cp = 0.
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举例
例3. 求过点(1,－2 , 4) 且与平面 直的直线方程. 解: 取已知平面的法向量 n = (2 , ? 3 , 1) 为所求直线的方向向量. 则直线的对称式方程为 垂
n
x ?1 y + 2 z ? 4 = = 2 ?3 1
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举例
例4 求过点( ?3, 2, 5) 且与两平面 x ? 4 z = 3 和
2 x ? y ? 5 z = 1的交线平行的直线方程. r 解 设所求直线的方向向量为 s = { m , n, p}, r r r r 根据题意知 s ⊥ n1 , s ⊥ n2 , r r r 取 s = n1 × n2 = { ?4,?3,?1},
所求直线的方程
x+3 y?2 z?5 = = . 4 3 1
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举例
x +1 y ?1 z 例 5 求过点 M ( 2,1,3) 且与直线 = = 3 2 ?1
垂直相交的直线方程. 解 先作一过点M且与已知直线垂直的平面 Π
3( x ? 2) + 2( y ? 1) ? ( z ? 3) = 0
再求已知直线与该平面的交点N,
? x = 3t ? 1 ? ? ? y = 2t + 1. ?z = ?t ?
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x +1 y ?1 z 令 = = =t ?1 3 2
举例
? x = 3t ? 1 将? ? y = 2t + 1 . 代入平面方程 ? z = ?t 3( x ? 2) + 2( y ? 1) ? ( z ? 3) = 0 ?
3 得t = 7
2 13 3 则交点 N ( , ,? ) 7 7 7
取所求直线的方向向量为 MN
13 3 2 12 6 24 MN = { ? 2, ? 1,? ? 3} = {? , ,? }, 7 7 7 7 7 7
所求直线方程为
x ? 2 y ?1 z ? 3 = = . 2 4 ?1
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平面束方程
过直线
? A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 L: ? ? A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
的平面束 方程 ( A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + λ ( A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0
( λ 为任意常数 )
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举例
例6. 求直线 上的投影直线方程. 提示：过已知直线的平面束方程 x + y ? z ? 1 + λ ( x ? y + z + 1) = 0 即 从中选择 λ 使其与已知平面垂直： 得 λ = ?1 , 从而得投影直线方程 ? y ? z ?1 = 0 这是投影平面 ? ?x + y + z = 0 在平面
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小结
1. 空间直线方程
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 ? 一般式 ? ? A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
对称式
? x = x0 + m t ? 参数式 ? y = y0 + n t ? ? z = z0 + p t
( m 2 + n 2 + p 2 ≠ 0)
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小结
2. 线与线的关系
直线 L1：x ? x1 = y ? y1 = z ? z1 , m1 n1 p1 x ? x2 y ? y 2 z ? z 2 直线 L2： = = , m2 n2 p2
L1 ⊥ L2 L1 // L2
s1 ? s2 = 0 s1 × s2 = 0 m1 n1 p1 = = m2 n2 p2
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s1 ? s2 夹角公式: cos ? = s1 s2
空间直线与平面的方程及其位置关系
————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期:
空间直线与平面的方程以及位置关系 高天仪 20101105295 数学科学学院 数学与应用数学专业 １0级汉二班 指导教师 李树霞 摘 要 解析几何中,在建立平面与空间直线的方程与讨论他们的性质时，充分运用了向量这一工具,通过向量来处理这类问题的好处是与坐标的选取是无关的。平面与空间直线方程的建立，就使得有关平面与空间直线的几何问题转化为这些稽核对象的方程的代数问题了。 关键词 空间直线、方向向量、参数方程、方向数 1 空间直线的方程 1.１ 直线的对称式（点向式)方程 空间给定了一点0M 与一个非零向量v ,那么通过点0M 且与向量v 平行的直线l 就被唯一确定,向量v 叫直线l 的方向向量. 任何一个与直线l 平行的非零向量都可以作为直线l 的方向向量. 直线l 过点),,(0000z y x M ,方向向量{}Z Y X v ,,= .设),,(z y x M 为l 上任意一 点,00r OM =, r OM =,由于M M 0与v （非零向量)共线, 则 v t r r =-0 即 v t r r +=0 （1.1－1） 叫做直线l 的向量式参数方程,（其中ｔ为参数)。 如果设},,{0000z y x r = ，},,{z y x r = 又设},,{Z Y X v = ,那么 （１.1-1）式得 ?? ? ??+=+=+=Zt z z Yt y y Xt x x 000 （１.１-2) （1.１－1)叫做直线l 的坐标式参数方程。
第六节 空间直线及其方程 Straight Line in Space and Equation 教学目的: 理解空间直线的概念;熟练掌握直线的标准方程、参数方程及一般方程;会判断两 直线的位置关系,并会建立直线方程. 课 题: 直线的标准方程;直线的参数方程;直线的一般方程;两直线的夹角,平行与垂直的 条件. 教学重点: 空间直线的图形及其方程 教学难点: 空间直线方程的求解 教学方法: 精讲直线的标准方程、参数方程和一般方程并能求直线方程 教学内容: 一、直线的标准方程 如果一直线与已知向量平行，这个向量就叫做已知直线的方向向量. 设直线L 过空间一点0000(,,)M x y z ,且有方向向量{,,}m n p =s ,求此直线的方程. 在直线上任取一点(,,)M x y z ,则向量0000{,,}M M x x y y z z =--- ,且0M M s ,则有 000x x y y z z m n p ---== (1) (1)即为直线L 的方程,称为直线L 的标准方程或对称方程,,,m n p 叫做直线的方向数. 【例1】 求过点0(1,2,3)M -,且垂直于平面23580x y z +-+=的直线方程. 解 已知平面的法向量可作为所求直线的方向向量,即 {2,3,5}=-s 由式(1)可得直线方程为 123235x y z --+==- 【例2】 设直线经过两点12(1,2,3),(4,4,6)M M --,求其方程. 解 取12{3,6,9}M M = 为直线的方向向量,并选直线上一点1M ,由式(1)得直线方程为 123369 x y z -++== 即 123123x y z -++== 注 1.直线的方向向量不是唯一的,但同一条直线的所有方向向量互相平行; 2.直线上点的坐标选取不是唯一的,因此直线方程也不是唯一的; 3.在直线的标准方程中,方向数,,m n p 可以有一个或两个为零,这时方程(1)应理解为当分母为零时,分子必为零. 由例2知,过点11112222(,,),(,,)M x y z M x y z 的直线方程为 111212121 x x y y z z x x y y z z ---==--- 称此方程为直线的两点式方程. 二、直线的参数方程
一、 空间曲线的参数化 若积分曲线Γ的参数方程 ],[)(),(),(βα∈===t t z z t y y t x x Γ，：,则曲线积分的计算公式为 ??'=++β α)())(),(),(({d d d t x t z t y t x P z R y Q x P Γ }d )())(),(),(()())(),(),((t z t z t y t x R t y t z t y t x Q '+'+ ],[d )()()())()()((d )(222βαβ α ∈'+'+'=?? t t t z t y t x t ,z t ,y t x f s x,y,z f Γ ， 曲线积分计算的关键是如何将积分曲线Γ参数化。下面将给出积分曲线参数化的某些常用方法。 1. 设积分曲线???==0 ),,(0),,(z y x G z y x F Γ：,从中消去某个自变量,例如z ，得到Γ在 xoy 平面的投影曲线，这些投影曲线常常是园或是椭圆，先将它们表示成参数方程),(),(t y y t x x ==然后将它们代入0),,(0),,(==z y x G z y x F 或中，解出)(t z z =由此得到Γ的参数方程：],[)(),(),(βα∈===t t z z t y y t x x ，。 例1将曲线???==++y x a z y x Γ2222：，(其中0>a )用参数方程表示。 解：从Γ的方程中消去y ，得到xoz 平面上的投影曲线2 222a z x =+,这是椭圆， 它的参数方程为]2,0[,sin ,cos 2 π∈== t t a z t a x ，将其代入Γ的方程，得到第七讲 曲线积分与曲面积分
空间曲线方程不同形式间的转化技巧 李晶晶 摘要：空间曲线的参数方程和一般方程是空间曲线方程的两种非常重要的形式， 它们表示同一条曲线，因此可以相互转化．两种形式相互转化的方法有很多，本文主 要介绍了常用的几种．在转化的过程中要保证方程的等价性和同解性． 关键词：一般方程；参数方程；互化；等价性；同解性 Transformation Techniques for Different Forms of Inter-space Curve Equation Li Jingjing (20102112052, Class 4 Grade 2010, Mathematics & Applied Mathematics ,School of Mathematics & Statistics) Abstract:Space curve parameter equation and general equation are two very important form of the equation of space curve．They represent the same curve, so they can be transformed into each other．There are many methods for the conversion between these two kinds of forms．This paper mainly introduces several methods commonly used．During the transformation process to ensure that equation equivalence and the same solution． Key words: The general equation; parameter equation; interaction; equivalence; the same solution 1引言 空间解析几何的首要问题是空间曲线的方程的求解．空间曲线方程主要包含两种形式，即一般方程（普通方程）与参数方程．空间曲线的一般方程反映的是空间曲线上点的坐标x,y,z之间的直接关系．空间曲线的参数方程是通过参数反应坐标变量之间的间接关系．在求空间曲线的弧长以及空间曲线上的第一类与第二类曲线积分等方面都用到了空间曲线的参数方程．由于任何一种曲线方程的求解方法都不能适用于所有方程的求解，因此如何完成空间曲线方程不同形式的互化便成了一个基本问题.[1] 空间曲线的方程是建立在平面曲线方程的基础之上的，研究空间曲线方程不同形式之间的转化依赖于平面曲线不同形式之间的转化．我们首先回顾之前所学的平面曲线方程的形式以及不同形式间的相互转化．
一、向量的向量积：b a ? 二、平面及其方程 一、平面的点法式方程 1．平面的法线向量定义：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量。 平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直。 2．平面的点法式方程 已知平面上的一点) , , ( z y x M和它的一个法线向量} , , {C B A = n，对平面上的任一点) , , (z y x M，有向量⊥ M M n，即 M M ?= n 代入坐标式，有： ) ( ) ( ) ( = - + - + -z z C y y B x x A此即平面的点法式方程。 【求平面方程的方法】 233231131221 {,,}. a b a b a b a b a b a b a b ?=--- ; (1)在平面上找出一个点. (2)找出一个与平面垂直的非零向量(法向)
二、 平面的一般方程 任一平面都可以用三元一次方程来表示。 平面的一般方程为： 0=+++D Cz By Ax 几个平面图形特点： 1）D ＝0：通过原点的平面。 2）A ＝0：法线向量垂直于x 轴，表示一个平行于x 轴的平面。 同理：B ＝0或C ＝0：分别表示一个平行于y 轴或z 轴的平面。 3）A ＝B ＝0：方程为0=+D C Z ，法线向量},0,0{C ，方程表示一个平行于xoy 面的平面。 同理：0=+D A X 和0=+D B Y 分别表示平行于yoz 面和xoz 面的平面。 4）反之：任何的三元一次方程，例如：011765=+-+z y x 都表示一个平面，该平面的法向量为}7,6,5{-=n
例2：设平面过原点及点)2,3 ,6(-，且与平面8 2 4= + -z y x垂直，求此平面方程。 解：设平面为0 = + + +D Cz By Ax，由平面过原点知0 = D 由平面过点)2,3 ,6(-知0 2 3 6= + -C B A， {4,1,2} ⊥- n0 2 4= + - ∴C B A C B A 3 2 - = = ? 所求平面方程为0 3 2 2= - +z y x 三、空间直线及其方程 一、空间直线的一般方程 空间直线可以看成是两个平面的交线。故其一般方程为： ? ? ? = + + + = + + + 2 2 2 2 1 1 1 1 D z C y B x A D z C y B x A 二、空间直线的对称式方程与参数方程 平行于一条已知直线的非零向量叫做这条直线的方向向量。 已知直线上的一点) , , ( z y x M和它的一方向向量} , , {p n m = s，设直线上任一点为) , , (z y x M，那么 M 与s平行，由平行的坐标表示式有： p z z n y y m x x - = - = - 此即空间直线的对称式方程（或称为点向式方程）。 . 的直线 为方向向量 ) 3 , 0,2 ( 且以 ) 3,2,1( 表示过点 3 - 3 2 2 1 例如- - = - = - s z y x
平面空间直线及其方程 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020
一、向量的向量积：b a ? 二、平面及其方程 一、平面的点法式方程 1．平面的法线向量定义：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量。 平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直。 2．平面的点法式方程 已知平面上的一点),,(0000z y x M 和它的一个法线向量},,{C B A =n ，对平面上的任一点),,(z y x M ，有向量⊥M M 0n ，即 00M M ?=n 代入坐标式，有： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 此即平面的点法式方程。 【求平面方程的方法】 233231131221{, , }. a b a b a b a b a b a b a b ?=---;(1)在平面上找出一个点.(2)找出一个与平面垂直的非零向量(法向)
二、平面的一般方程 任一平面都可以用三元一次方程来表示。 平面的一般方程为： +D Cz By Ax + = + 几个平面图形特点： 1）D＝0：通过原点的平面。 2）A＝0：法线向量垂直于x轴，表示一个平行于x轴的平面。 同理：B＝0或C＝0：分别表示一个平行于y轴或z轴的平面。
3）A ＝B ＝0：方程为0=+D C Z ，法线向量},0,0{C ，方程表示一个平行于xoy 面的平面。 同理：0=+D A X 和0=+D B Y 分别表示平行于yoz 面和xoz 面的平面。 4）反之：任何的三元一次方程，例如：011765=+-+z y x 都表示一个平面，该平面的法向量为}7,6,5{-=n 例2：设平面过原点及点)2,3,6(-，且与平面824=+-z y x 垂直，求此平面方程。 解：设平面为0=+++D Cz By Ax ，由平面过原点知 0=D 由平面过点)2,3,6(-知 0236=+-C B A ， {4,1,2}⊥-n 024=+-∴C B A C B A 3 2-==? 所求平面方程为0322=-+z y x 三、空间直线及其方程 一、空间直线的一般方程 空间直线可以看成是两个平面的交线。故其一般方程为： ???=+++=+++002222 1111D z C y B x A D z C y B x A 二、空间直线的对称式方程与参数方程 平行于一条已知直线的非零向量叫做这条直线的方向向量。
一、向量的向量积：b a ? 二、平面及其方程 一、平面的点法式方程 1．平面的法线向量定义：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量。 平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直。 2．平面的点法式方程 已知平面上的一点),,(0000z y x M 和它的一个法线向量},,{C B A =n ，对平面上的任一点),,(z y x M ，有向量⊥M 0n ，即 00M M ?=n 代入坐标式，有： 此即平面的点法式方程。 【求平面方程的方法】 233231131221{, , }. a b a b a b a b a b a b a b ?=---;(1)在平面上找出一个点. (2)找出一个与平面垂直的非零向量(法向)
二、 平面的一般方程 任一平面都可以用三元一次方程来表示。 平面的一般方程为： 几个平面图形特点： 1）D ＝0：通过原点的平面。 2）A ＝0：法线向量垂直于x 轴，表示一个平行于x 轴的平面。 同理：B ＝0或C ＝0：分别表示一个平行于y 轴或z 轴的平面。 3）A ＝B ＝0：方程为0=+D C Z ，法线向量},0,0{C ，方程表示一个平行于xoy 面的平面。 同理：0=+D A X 和0=+D B Y 分别表示平行于yoz 面和xoz 面的平面。 4）反之：任何的三元一次方程，例如：011765=+-+z y x 都表示一个平面，该平面的法向量为}7,6,5{-=n 例2：设平面过原点及点)2,3,6(-，且与平面824=+-z y x 垂直，求此平面方程。 解：设平面为0=+++D Cz By Ax ，由平面过原点知 0=D 由平面过点)2,3,6(-知 0236=+-C B A ， {4,1,2}⊥-n 024=+-∴C B A C B A 3 2-==? 所求平面方程为0322=-+z y x
(8.5. 2) 第五节空间直线及方程 与直线平行的非零向量称为该直线的方向向量。显然，直线的方向向量有无穷多 个。 有立体几何知道，过空间一点可以作而且只能作一条平行于一条己知直线的直线。下面 我们将利用这个结论来建立空间直线的方程。 设直线2过点M 0(x 0,y 0,z 0),^ = (m ,n ,p ｝是直线L 的方向向量(图8.23)。设M (x ,y ,z) 是直线L 上任意一点， 则M 0M ={x-x 0,y-y 0,z-z 0},且M 0M Ils o 由两向量平行的充 要条件可知 土迪=虹业=二 (8.5.1) m n p 方程组(8.5.1)称为直线的点向式方程或标准方程(当m 、n 、p 中有一个或两个为零 时，就理解为相应的分子为零)。 若直线L 的方程为 尤 _*o = y —y 。= z —z° m n p 平面〃的方程为 Ar + + Cz + Z) = 0 则直线L 与平面勿平行的充要条件是mA + 〃8+pC = 0；直线乙与平面力垂直得充要 条件是?=兰=￡ ABC 在直线方程(8.5.1)中，记其比值为L 则有 x = x ()+ mt < y = y ()+m z = z G + pt 这样，空间直线上动点M 的坐标x 、y 、z 就都表达为变量t 的函数。当t 取遍所有实 数值时，由(8.5.2)所确定的点M(x,y,z)就描出来直线。形如(8.5.2)的方程称为 直线的参数方程，七为参数。 例1求过点M (2 ,0 ,3)且垂直于平面勿4x+ y - z + 5 = 0的直线方程。 解设所求直线方程为 由于直线垂直于平面〃，所求可取平面〃的法向量〃 =｛4,1,?1｝为直线的方向向 量
重庆科创职业学院授课教案 课名：高等数学（上）教研窒：高等数学教研室班级：编写时间：
课题： 第四节 空间曲线及其方程 教学目的及要求： 介绍空间曲线的各种表示形式。为重积分、曲面积分作准备的，学生应知道各种常用立体的解析表达式，并简单描图，对投影等应在学习时特别注意。 教学重点： 1.空间曲线的一般表示形式 2.空间曲线在坐标面上的投影 教学难点： 空间曲线在坐标面上的投影 教学步骤及内容 ： 一、空间曲线的一般方程 空间曲线可以看作两个曲面的交线，故可以将两个曲面联立方程组形 式来表示曲线。 ? ? ?==0),,(0 ),,(z y x G z y x F 特点：曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的 点不能同时满足两个方程。 二、空间曲线的参数方程 将曲线C 上的动点的坐标表示为参数t 的函数： ?? ? ??===)()()(t z z t y y t x x 当给定1t t =时，就得到曲线上的一个点),,(111z y x ，随着参数的变化可得到曲线上的全部点。 旁批栏：
三、空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线C 的一般方程为 ? ? ?==0),,(0 ),,(z y x G z y x F （1） 消去其中一个变量（例如z ）得到方程 0),(=y x H （2） 曲线的所有点都在方程（2）所表示的曲面（柱面）上。 此柱面（垂直于xoy 平面）称为投影柱面，投影柱面与xoy 平面的交线叫做空间曲线C 在xoy 面上的投影曲线，简称投影，用方程表示为 ?? ?==0 ),(z y x H 同理可以求出空间曲线C 在其它坐标面上的投影曲线。 在重积分和曲面积分中，还需要确定立体或曲面在坐标面上的投影，这 时要利用投影柱面和投影曲线。 例1：设一个立体由上半球面224y x z --=和锥面)(322y x z -=所围 成，见下图，求它在xoy 面上 的投影。 解：半球面与锥面交线为 ?????+=--=) (34:2 222y x z y x z C 消去z 并将等式两边平方整理得投影曲线为： ?? ?==+0 1 22z y x 即xoy 平面上的以原点为圆心、1为半径的圆。立体在xoy 平面上的投影为圆所围成的部分： 122≤+y x 旁批栏：
第五讲 空间曲线参数方程 一、求空间曲线(,,)0(,)0 F x y z G x y =ìG í=?：的参数方程 方法1；若把(,)0G x y =看做xoy 平面上的曲线方程，其参数方程已知，再将他们代入方程(,,)0F x y z =中，解出z ，就可以得到空间曲线G 的参数方程． 例1．设空间曲线2222 222x y z a x y b ì++=G í+=?：，()0a b 3>，求其参数方程． 解：空间曲线是球面2222x y z a ++=与圆柱222x y b +=的交线，由圆周222x y b +=的参数方程得到 cos sin x b t y b t =ìí=?，(02)t p ￡￡ 将222x y b +=代入球面方程得到222z a b =-， 于是交线方程为 cos sin x b t y b t z =ì?=í?=?． 方法2：把变量x ，y 之一看作参数，如另x t =，由(,)0G x y =解出y ，再将它们代入方程(,,)0F x y z =，解出z 即可得到空间曲线G 的参数方程． 例2．设空间曲线2222259 x y z x y ì++=G í+=?：，求其参数方程． 解：空间曲线是球面2225x y z ++=与平面429x y +=的交线，它是空间平面429x y +=上的一个圆周． 以t 为参数，令x t =，则由平面方程得到 922y t =-， 将x ，y 代入球面方程得 22229615(2)18524 z t t t t =---=--， 即 z =U n R e i s t e r e d
由26118504t t --3，得到 18181010 t +￡￡， 因此空间曲线参数方程为922x t y t z ì?=??=-í??=?? ． 例3．设空间曲线2229x y z y z ì++=G í=? ：，求其参数方程． 解：将y z =代入方程222 9x y z ++=中，得 2229x z += 该椭圆参数方程为 x t =，3sin z t =，(02)t p ￡￡ 于是空间曲线的参数方程为 3sin x t y t z t ì=???=í??=??， (02)t p ￡￡． 例4． 设空间曲线222(1)(1)40x y z z ì+++-=G í=?：，求其参数方程． 解：因为0z =，则22(1)3x y ++=， 令1x t =- ，y t =，于是得参数方程为 10x t y t z ì=-+??=í?=?? (02)t p ￡￡， 例5．设空间曲线22290 x y z x y z ì++=G í++=?：，求其参数方程． U n R e g i s t e r e d
空间直线及其方程Newly compiled on November 23, 2020
第六节 空间直线及其方程 Straight Line in Space and Equation 教学目的: 理解空间直线的概念;熟练掌握直线的标准方程、参数方程及一般方程;会判断 两直线的位置关系,并会建立直线方程. 课 题: 直线的标准方程;直线的参数方程;直线的一般方程;两直线的夹角,平行与垂直的 条件. 教学重点: 空间直线的图形及其方程 教学难点: 空间直线方程的求解 教学方法: 精讲直线的标准方程、参数方程和一般方程并能求直线方程 教学内容: 一、直线的标准方程 如果一直线与已知向量平行，这个向量就叫做已知直线的方向向量. 设直线L 过空间一点0000(,,)M x y z ,且有方向向量{,,}m n p =s ,求此直线的方程. 在直线上任取一点(,,)M x y z ,则向量0000{,,}M M x x y y z z =---,且0M M s ,则有 (1) (1)即为直线L 的方程,称为直线L 的标准方程或对称方程,,,m n p 叫做直线的方向数. 【例1】 求过点0(1,2,3)M -,且垂直于平面23580x y z +-+=的直线方程. 解 已知平面的法向量可作为所求直线的方向向量,即 由式(1)可得直线方程为 【例2】 设直线经过两点12(1,2,3),(4,4,6)M M --,求其方程. 解 取12{3,6,9}M M =为直线的方向向量,并选直线上一点1M ,由式(1)得直线方程为 即 注 1.直线的方向向量不是唯一的,但同一条直线的所有方向向量互相平行; 2.直线上点的坐标选取不是唯一的,因此直线方程也不是唯一的; 3.在直线的标准方程中,方向数,,m n p 可以有一个或两个为零,这时方程(1)应理解为当分母为零时,分子必为零. 由例2知,过点11112222(,,),(,,)M x y z M x y z 的直线方程为 称此方程为直线的两点式方程. 二、直线的参数方程 令直线的标准方程000x x y y z z t m n p ---===,则有 000 x x mt y y nt z z pt =+??=+??=+? (t 为参数) (2) 方程(2)称为直线的参数方程. 显然直线上任一点都对应唯一确定的t 值.反之,每取定一个t 值,都得到一个确定的点.
§7.6 空间曲线及其方程 一空间曲线的一般方程 空间曲线可看作两曲面的交线，设 F x y z (,,)=0和G x y z (,,)=0 是两曲面的方程，它们的交线为C。曲线上的任何点的坐标x y z ,,应同时满足这两个曲面方程，因此，应满足方程组 F x y z G x y z (,,) (,,) = = ? ? ? (1) 反过来，如果点M不在曲线C上，那么它不可能同时两曲面上。所以，它的坐标不满足方程组(1)。由上述两点可知：曲线C可由方程组(1)表示。 方程组(1)称作空间曲线的一般方程。 二空间曲线的参数方程 对于空间曲线C，若C上的动点的坐标x y z ,,可表示成为参数t的函数x x t y y t z z t = = = ? ? ? ? ? () () () (2) 随着t的变动可得到曲线C上的全部点，方程组(2)叫做空间曲线参数方程。【例1】如果空间一点M在圆柱面x y a 222 +=上以角速度ω绕z轴旋转，同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上升(其中：ω，v均为常数)，那未点M 的轨迹叫做螺旋线，试建立其参数方程。 解：取时间t为参数。 设当t=0时，动点与x轴上的点A a(,,) 00重合，经过时间t，动点由A a(,,) 00运动到M x y z (,,)。记M在xoy面上的投影为' M，它的坐标为' M x y (,,)0。
由于动点在圆柱面上以角速度ω绕z 轴旋转，经过时间t ，∠'=?AoM t ω 从而 x a t y a t ==???cos sin ωω 又由于动点同时以线速度v 沿平行于z 轴正方向上升，所以 z vt = 因此，螺旋线的参数方程为 x a t y a t z vt ===???? ?cos sin ωω 或令θω=?t ，则方程形式可化为 x a y a z b b v ===???? ?=cos sin (,)θθθωθ为参数 螺旋线有一个重要性质： 当θ从θ0变到θα0+时，z 由b θ0变到b b θα0+；这表明当oM '转过角α时，M 点沿螺旋线上升了高度h b =α； 特别地，当oM '转过一周，即απ=2时，M 点就上升固定的高度为 h b =2π，这个高度在工程技术上叫螺距。 空间曲线的一般方程也可以化为参数方程，下面通过例子来介绍其处理方法。 【例2】将空间曲线C x y z x z 222921 ++=+=????? 表示成参数方程。 解：由方程组消去z 得
空间直线及其方程 §8.4 空间直线及其方程 ü直线的一般方程 ü直线的参数方程和对称方程 ü两直线的夹角 ü直线与平面的夹角 一、空间直线的一般方程 定义空间直线可看成两平面的交线． Π1:A1x+B1y+C1z+D1Π2:A2x+B2y+C2z+D2A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0空间直线的一般方程y 注：表示同一直线的一般方程不唯一。 确定空间直线的条件 ?由两个平面确定一条直线； ?由空间的两点确定一条直线； ?由空间的一点和一个方向来确定一条直线。 二、空间直线的参数方程与对称式方程 r如果一非零向量sr一条已知直线L，向量s线L的方向向量． 设定点M0(x0,y0,z0)∈L,方向向量的定义：y r?M(x,y,z)∈L,0//srs={m,n,p},M0={x?x0,y?y0,z?z0}则{x?x0,y?y0,z?z0}=t{m,n,p} x=x0+mt y=y0+nt z=z+pt0 消去参数t，有直线的参数方程 x?xy?yz?z==直线的对称式方程mnp 直线的一组方向数
方向向量的余弦称为直线的方向余弦. 注： 1. 表示同一直线的对称方程不唯一； 2. 对称式方程可转化为一般方程; x=x0,x?x0y?y0z?z0 3.==理解为:y?y=z?z.0np p n 4. 任一条直线均可表示为对称式方程. 设直线过两点M(x1,y1,z1),N(x2,y2,z2) r则s={x2?x1,y2?y1,z2?z1} x?x1y?y1z?z1直线的对称方程为：==x2?x1y2?y1z2?z1例1用对称式方程及参数方程表示直线 x+y+z+1=0.2x?y+3z+4=0 解在直线上任取一点(x0,y0,z0) y0+z0+2=0取x0=1?,y0?3z0?6=0 解得y0=0,z0=?2 点坐标(1,0,?2), 因所求直线与两平面的法向量都垂直取rrrs=n1×n2={4,?1,?3}, x?1y?0z+2对称式方程==,4?1?3 x=1+4t.参数方程y=?t z=?2?3t 例2 一直线过点A(2,?3,4)，且和y轴垂直相交，求其方程. 解因为直线和y轴垂直相交, 所以交点为B(0,?3,0), r取s=={2,0,4}, x?2y+3z?4==.所求直线方程204 三、两直线的夹角
第五节 空间直线及方程 与直线平行的非零向量称为该直线的方向向量。显然，直线的方向向量有无穷多个。 有立体几何知道，过空间一点可以作而且只能作一条平行于一条已知直线的直线。下面我们将利用这个结论来建立空间直线的方程。 设直线L 过点(){}0000,,, ,n ,p M x y z s m =是直线L 的方向向量（图8-23）。设() ,y ,z M x 是直线L 上任意一点，则{}0000,,M M x x y y z z =--- ，且0//M M s 。由两向量平行的充 要条件可知 00 x x y y z z m n p ---== （8.5.1） 方程组（8.5.1）称为直线的点向式方程或标准方程（当m 、n 、p 中有一个或两个为零时，就理解为相应的分子为零）。 若直线L 的方程为 00 x x y y z z m n p ---== 平面π的方程为 0Ax By Cz D +++= 则直线L 与平面π 平行的充要条件是0mA nB pC ++=；直线L 与平面π 垂直得充要条件是 m n p A B C == 在直线方程（8.5.1）中，记其比值为t ，则有 000x x m t y y nt z z pt =+?? =+??=+? （8.5.2） 这样，空间直线上动点M 的坐标 x 、y 、z 就都表达为变量t 的函数。当t 取遍所有实数值时，由（8.5.2）所确定的点() , ,M x y z 就描出来直线。形如（8.5.2）的方程称为直线的参数方程，t 为参数。 例1 求过点()2 ,0 ,3M 且垂直于平面π450x y z +-+=的直线方程。 解 设所求直线方程为 23x y z m n p --== 由于直线垂直于平面π，所求可取平面π 的法向量{}4 ,1 ,-1n = 为直线的方向向量s ，
§3.4 空间直线的方程 一、直线的点向式方程 1. 如图3-6, 在空间给定了一点M0与一个非零矢量，那么通过点M0且与矢量平行 的直线l就唯一地被确定，矢量叫做直线l的方向矢量. 显然，任何一个与直线l平行的非零矢量都可以作为直线l的方向矢量. 2. 取空间取标架{O;,,}, 设M0的径矢为＝，直线l上任意点M的径矢 为＝，则＝＝+＝＋t叫做直线l的矢量式参数方程，其 中t为参数，它的几何意义是在{M0; }下，的坐标或分量. 3. 设M0(x0, y0, z0), M(x, y, z), ＝{X, Y, Z}, 则 叫做直线l的坐标式参数方程, 其中t为参数. 从上式中消去参数t，则得 ＝＝. 叫做直线l的对称式方程或称直线l的标准方程，其中X, Y, Z不全为0，若某一为0，例如Z＝0, 此时可理解为z －z0＝0. 4. 通过空间两点M1(x1, y1, z1)和M2(x2, y2, z2)的直 线l的方程为 ＝＋t(－). 或 即＝＝. 叫做直线l的两点式方程. 5. 在直角坐标系下，直线的方向矢量常取单位矢量 ＝{cosα, cosβ, cosγ}, 这时直线l的方程为＝+t, 或＝＝.
这叫做直线l的法式方程, 其中t的绝对值恰好是直线l上两点M0与M间的距离，这是因 为| t | = |－| = ||. 6. 直线的方向矢量的方向角γ与方向余弦cosα, cosβ, cosγ分别叫做直线的方 向角与方向余弦；直线的方向矢量的分量X, Y, Z或与它成比例的一组数l, m, n(l: m: n=X: Y: Z)叫做直线的方向数，由于与直线共线的任何非零矢量，都可以作为直线的方向矢量，因此 π－α，π－β，π－γ及cos(π－α)=－cosα, cos(π－β)=－cosβ, cos(π－γ)=－cosγ, 也可以看作是直线的方向角与方向余弦. 显然直线的方向余弦与方向数之间有下面的关系： cosα＝，cosβ＝， cosγ＝. 由于我们讨论的直线不是有向直线，而且两非零矢量{X, Y, Z}与{X′, Y′, Z′}共线的充要条件是X: Y: Z= X′: Y′: Z′，所以我们将用X: Y: Z 来表示与非零矢量{X, Y, Z}共线的直线的方向(数). 例1. 求z轴的参数方程和对称式方程. 解：因为z轴过原点(0, 0, 0)，坐标矢量＝{0, 0, 1}显然是z轴的一个方向矢量，从而z轴的参数方程为 对称式方程为 ＝＝. 例2．求过点P(1, 2,－1)与z轴相交且与平面π：6x+2y+z－1=0平行的直线方程. 解：所求直线与z轴的交点为（0，0，c）,则直线方程为 ＝＝， 因为所求直线与平面π平行， 所以两矢量{1, 2, －1－c}与{6, 2, 1}垂直， 从而 6+4+(－1－c)=0, 即c = 9. 故所求直线为 ＝＝. 例3．一直线与三坐标轴间的夹角分别为α, β, γ，证明 sin2α＋sin2β＋sin2γ＝2. 证明：因为 cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1 ， 所以 sin2α＋sin2β＋sin2γ ＝(1－cos2α)＋(1－cos2β)＋(1－cos2γ)
空间直线与平面的方程以及位置关系 高天仪 20101105295 数学科学学院 数学与应用数学专业 10级汉二班 指导教师 李树霞 摘 要 解析几何中，在建立平面与空间直线的方程与讨论他们的性质时，充分运用了向量这一工具，通过向量来处理这类问题的好处是与坐标的选取是无关的。平面与空间直线方程的建立，就使得有关平面与空间直线的几何问题转化为这些稽核对象的方程的代数问题了。 关键词 空间直线、方向向量、参数方程、方向数 1 空间直线的方程 1.1 直线的对称式（点向式）方程 空间给定了一点0M 与一个非零向量v ,那么通过点0M 且与向量v 平行的直线l 就被唯一确定,向量v 叫直线l 的方向向量. 任何一个与直线l 平行的非零向量都可以作为直线l 的方向向量. 直线l 过点),,(0000z y x M ,方向向量{}Z Y X v ,,= .设),,(z y x M 为l 上任意一 点,00r OM =, r OM =,由于M M 0与v (非零向量)共线, 则 v t r r =-0 即 v t r r +=0 （1.1-1） 叫做直线l 的向量式参数方程，（其中t 为参数）。 如果设},,{0000z y x r = ，},,{z y x r = 又设},,{Z Y X v = ，那么 （1.1-1）式得 ?? ? ??+=+=+=Zt z z Yt y y Xt x x 000 （1.1-2） （1.1-1）叫做直线l 的坐标式参数方程。 消参数t 即得 Z z z Y y y X x x 0 00-=-=- (1.1-3)
则(1.1-3)叫做直线l 的对称式方程或称直线l 准方程。 例1 求通过空间两点),,(1111z y x M ，),,(2222z y x M 的直线方程。 解 取21M M v =作为直线l 的方向向量，设),,(z y x M 为 直线l 上的任意点（如右图），那么 },,,{12121212z z y y x x r r M O r ---=-== 所以直线l 的向量式参数方程为： );(121r r t r r -+= （1.1-4） 坐标式参数方程为 ?? ? ??-+=-==-+=) ()()(121121121z z t z z y y y y x x t x x （1.1-5） 对称式方程为 1 21121121z z z z y y y y x x x x --=--=-- （1.1-6） 方程（1.4-4）（1.4-5）（1.4-6）都叫做直线l 的两点式方程。 1.1.1直线的方向数 ①取直线l 的方向向量为 {}γβαcos ,cos ,cos 0=v ,则直线的方程为 00v t r r +=(参数方程) 或 ?? ? ??+=+=+=γ βαcos cos cos 000t z z t y y t x x （1.1-7） 标准方程 γ βαcos cos cos 000z z y y x x -=-=- （1.1-8） 由此可见参数t 的几何意义: t 为直线l 上点M 与点0M 之间的距离. ②直线的几个问题 Ⅰ.直线的方向角与方向余弦:直线的方向向量的方向角与方向. Ⅱ.直线的方向数:直线的方向向量的分量X,Y,Z 或与之成比例的一组数n m l ,, Ⅲ.直线的方向余弦γβαcos ,cos ,cos 与方向数n m l ,,之间的关系