高考数学一轮复习课后限时集训62随机事件的概率文北师大版
随机事件的概率 建议用时：45分钟
一、选择题
1．从存放的号码分别为1,2,3，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到次数
13
8
5
7
6
13
18
10
11
9
A ．0.53
B ．0.5
C ．0.47
D ．0.37
A [取到号码为奇数的卡片的次数为：13＋5＋6＋18＋11＝53，则所求的频率为53100
＝0.53.故选A.]
2．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是1
3，则甲不输的概率为( )
A.56
B.26
C.16
D.1
3 A [甲不输的概率P ＝12＋13＝5
6
，故选A.]
3．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A ．至少有一个黑球与都是黑球
B ．至少有一个黑球与都是红球
C ．至少有一个黑球与至少有一个红球
D ．恰有一个黑球与恰有两个黑球
D [对于A ：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，∴A 不正确；对于B ：事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，∴这两个事件是对立事件，∴B 不正确；对于C ：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球与一个黑球，∴C 不正确；对于D ：事件：“恰有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能两个都是红球，∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴D 正确．]
4．根据某医疗研究所的调查，某地区居民血型的分布为O 型50%，A 型15%，B 型30%，
AB型5%.现有一血液为A型病人需要输血，若在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为( )
A．15% B．20%
C．45% D．65%
D[∵某地区居民血型的分布为：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%.现有能为A型病人输血的有O型和A型，故为病人输血的概率为50%＋15%＝65%，故选D.] 5．对一批产品的长度(单位：mm)进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图，根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是( )
A．0.09 B．0.20
C．0.25 D．0.45
D[利用统计图表可知在区间[25,30)上的频率为1－(0.02＋0.04＋0.06＋0.03)×5＝
0.25，在区间[15,20)上的频率为0.04×5＝0.2，故所求二等品的概率为0.45.]
二、填空题
6．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：排队人数01234≥5概率0.10.160.30.30.10.04
0.74[由表格可得至少有2人排队的概率P＝0.3＋0.3＋0.1＋0.04＝0.74.]
7．(2019·西安模拟)口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.38，摸出白球的概率是0.32，那么摸出黑球的概率是________．
0.3[从口袋中摸球，摸到红球、摸到黑球、摸到白球这三个事件是互斥的，因为摸出红球的概率是0.38，摸出白球的概率是0.32，且摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，所以摸出黑球的概率是1－0.38－0.32＝0.3.]
8．袋中有红球和白球若干(都多于2个)，从中任意取出两个小球，设恰有一个红球的概率为p1，没有红球的概率为p2，则至多有一个红球的概率为________．
p1＋p2[设“恰有一个红球”为事件A，“没有红球”为事件B.
“至多有一个红球”为事件C，则C＝A∪B.
从而P (C )＝P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝p 1＋p 2.] 三、解答题
9．某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．
(1)(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；
(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ [解](1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000
＝0.2.
(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000
＝0.3.
(3)与(1)同理，可得：
顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为200
1 000＝0.2，
顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋300
1 000＝0.6，
顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为100
1 000
＝0.1.
所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．
10．某保险公司利用简单随机抽样的方法，对投保的车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．[解](1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，
以频率估计概率得P(A)＝150
1 000＝0.15，P(B)＝
120
1 000
＝0.12.
由于投保额为2 800元，赔付金额大于投保金额的情形是赔付3 000和4 000元，
所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.
(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主是新司机的有0.1×1 000＝100(位)，而赔付金额为4 000元的车辆中车主为新司机的有0.2×120＝24(位)，
所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24
100
＝0.24，
由频率估计概率是P(C)＝0.24.
1．(2018·全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
B[设“只用现金支付”为事件A，“既用现金支付也用非现金支付”为事件B，“不用现金支付”为事件C，则P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.45－0.15＝0.4.故选B.] 2．(2019·武汉模拟)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题，现有类似的题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1 534石，验得米夹谷，抽样取米一把，数得254粒夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( )
A．134石B．169石
C．338石D．454石
B[由题意可知这批米内夹谷约为1 534×28
254
≈169石．故选B.]
3．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只
取一个，取得两个红球的概率为7
15
，取得两个绿球的概率为
1
15
，则取得两个同颜色的球的概
率为________；至少取得一个红球的概率为________．
8 1514
15
[由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只
需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为
P＝7
15＋
1
15
＝
8
15
.
由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一
个红球的概率为P(A)＝1－P(B)＝1－1
15＝
14
15
.]
4．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．
一次购物量1至
4件
5至
8件
9至
12件
13至
16件
17件及
以上
顾客数/(人)x 3025y 10
结算时间/
(分钟/人)
1 1.5
2 2.5 3
已知这
(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)．
[解](1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，
所以x＝15，y＝20.
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为
1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10
100
＝1.9(分钟)．
(2)设A表示事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”、“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”、“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”．将频率视为概率得
P(A1)＝15
100＝
3
20
，P(A2)＝
30
100
＝
3
10
，P(A3)＝
25
100
＝
1
4
.
因为A＝A1＋A2＋A3，且A1，A2，A3是互斥事件，所以P(A)＝P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)
＝3
20
＋
3
10
＋
1
4
＝
7
10
.
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为7
10
.
1．某校高三(1)班50名学生参加1 500 m体能测试，其中23人成绩为A，其余人成绩都是B或C.从这50名学生中任抽1人，若抽得B的概率是0.4，则抽得C的概率是( ) A．0.14 B．0.20
C ．0.40
D ．0.60
A [抽得A 的概率为2350，则抽得C 的概率为1－23
50
－0.4＝0.14，故选A.]
2．某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y (单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X (单位：毫米)有关．据统计，当X ＝70时，Y ＝460；X 每增加10，Y 增加5.已
知
近
20
年
X 的值为
140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.
(1)完成如下的频率分布表：
近20年六月份降雨量频率分布表
(2)率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．
[解](1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为：
(2)根据题意，Y ＝460＋
10×5＝2
＋425， 故P (“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”) ＝P (Y ＜490或Y ＞530) ＝P (X ＜130或X ＞210)
＝P (X ＝70)＋P (X ＝110)＋P (X ＝220) ＝
120＋320＋220＝3
10
. 故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为310
.