１
一、选择题
1. (2014 辽宁省丹东市) 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝40°，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接BE ，则∠CBE 的度数为
A. 70°
B. 80°
C. 40°
D. 30°
2. (2014 山东省滨州市) 如图，OB 是∠AOC 的角平分线，OD 是∠COE 的角平分线。如果∠AOB=40°，∠COE=60°，则∠
BOD 的度数为（ ）
A. 50
B. 60
C. 65
D. 70
3. (2014 山东省威海市) 如图，在△ABC 中，∠ABC ＝50°，∠ACB ＝60°，点E 在BC 的延长线上，∠ABC 的平分线BC 与∠ACE 的平分线CD 相交于点D ，连结AD ．正确结论不正确的是
（ ）
A ．∠BAC ＝70°
B ．∠DO
C ＝90° C ．∠BDC ＝35°
D ．∠DAC ＝55°
4. (2014 浙江省湖州市) 如图，已知在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，点D 是BC 边的中点，分别以B 、C 为圆心，大于线段BC 长度一半的长为半径圆弧，两弧在直线BC 上方的交点为P ，直线PD 交AC 于点E ，连接BE ，则下列结论：①ED ⊥BC ；②∠A=∠EBA ；③EB 平分∠AED ；④ED=AB 中，一定正确的是（ ）
A ．①②③
B ． ①②④
C ． ①③④
D ． ②③④
A
B D
E O
２
5. (2014 浙江省宁波市) 用矩形纸片折出直角的平分线，下列折法正确的是
（ ）
A B C D
6. (2014 贵州省黔南州) 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，BE 平分∠ABC ，ED ⊥AB 于D ．如果∠A=30°，AE=6cm ，那么CE
等于（ ）
A ．
cm B ． 2cm C ． 3cm D ． 4cm
二、填空题
7. (2014 四川省乐山市) 如图，在△ABC 中，BC 边的中垂线交BC 于D ，交AB 于E ．若CE 平分∠ACB ，∠B=40°，则∠
A= 60 度．
8. (2014 四川省内江市) 如图12，∠AOB ＝30°，OP 平分∠AOB ，PC 丄OB 于点C ，若OC ＝2，则PC 的长是 ．
C B O 图12
３
三、画(作)图题
9. (2014 新疆建设兵团) 如图,已知ABC △,按如下步骤作图:
①分别以A 、C 为圆心,大于12
AC 的长为半径画弧,两弧交于P 、Q 两点； ②作直线PQ ,分别交AB 、AC 于点E 、D ,连接CE ；
③过C 作CF //AB 交PQ 于点F ,连接AF .
(1)求证:AED △≌CFD △；
(2)求证:四边形AECF 是菱形.
A B C D E F P Q 第20题图
A C §6．4 平行线分线段成比例定理 主备：盛莉莉 审核：袁泉 学习目标 会用平行线分线段成比例定理. 学习重点与难点 掌握平行线分线段成比例定理和平行线等分线段定理. 教学过程 一、自主探索 如图，已知321////l l l ，求证： l 1l 2 l 3 1.平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段对应成比例. 2.平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在一直线上所截得的线段相等，那么在另一直线上所截得的线段也相等。 3.平行线分线段成比例定理与平行线等分线段定理的联系: . 例1 填空： 例2已知：如图321////l l l ，AB=3 ，DE=2 ，EF=4。求AC 的长。 l 1l 2 l 3 例3已知AD // EF // BC ，AD=15，BC=21，2AE = EB ，求EF 的长 例4 已知：AD 为△ABC 的中线，EF//BC, EF 交AD 于G.求证：EG=FG . 例5 已知：梯形ABCD ，AD//BC, EF//BC ，EF 交BD 于G 交AC 于H. 求证：EG=FH . EF DE BC AB =) 1(DF DE AC AB =) 2(DF EF AC BC =) 3 (= ==∴BC BE CD AC AD CD AB DE //)1( ==GC AG BC EF AD 则若////)2(==FB CF AE AB ABCD 则已知平行四边形)3(
c b a A B C 例6 如图，△ABC 中，D 是AB 上的点，E 是AC 上的点，延长ED 与射线CB 交于点F ． 若AE ∶EC=1∶2，AD ∶BD=3∶2．求FB ∶FC 的值． 随堂演练 1．已知：如图，DE // BC ，EO: OC =3:7， 2．已知：BE 平分∠ABC ，DE//BC. AD=3, DE=2, AC=12,AE 的长度为 . 3. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，DE ⊥BC 于点E. AD= 5, DB=10, CE= 4. DE 的长度为 AC 的长度为 . 4.如图,已 知DE // FG // BC ， AD : DF : BF= 2 : 3 : 4，则DE : FG : BC = . 5.若a // b// c ，DE=3, EO=2, OF=4, OB=1, 求AB 、OC 的长. 6．已知：EF//BC 求证： 7．如图，已知□ABCD ，E 、F 为BD 的三等分点，CF 交AD 于G ，GE 交BC 于H . (1) 求证：点G 为AD 的中点； 8．已知：□ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，点E 在BC 延长线上，OE 交CD 于F. 若AB=8，BC=10，CE=3，求CF 的长度. F C =BC ED )1(=AB AE )2(BC EF AD AG =.)2(HC BH 求A E D B C O 第1题图 第2题图 第3题图 A B C 第4题图
一、线段中点 1、线段中点：把一条线段分成相等两部分的点叫线段的中点. C A B 结合图形写出它的符号语言 (1) ∵ ＿＿______＿____＿_＿___＿_ 反之 （2)∵_＿____＿_________＿＿＿＿_＿_＿_＿_ ∴ __＿＿__________＿＿__＿＿_____ ∴＿＿___＿_____＿__＿______＿________ 2．如图，点C 在线段A Ｂ上，A Ｃ ＝ 8 cm,CB = ６ ｃｍ，点M 、N 分别是ＡC 、ＢC 的中点。 (1)求线段MN 的长; A B C M N （2)若C 为线段AB 上任一点，满足AC + CB ＝ a c ｍ,其它条件不变，你能猜想MN 的长度吗? A B C M N 二角平分线 3、角平分线 1（1) ∵OB 是∠AOC 的平分线 ∴ ＿____＿_＿＿______＿＿_＿_＿＿＿_ 反之 (2）∵∠ＡOB ＝∠ ＿=＿ (∠AOC =2∠AOB ＝2∠ __） ∴_＿_________＿_＿_______＿_____＿_＿__＿__＿________ 4、 如图，已知点A 、O 、Ｂ在同一直线上,OC 平分∠A ＯD ，∠BO Ｄ＝50°,求∠AOC 的度数。 O A C B
５、如图所示，OB 是∠AOC 的平分线,OD 是∠COE 的平分线。 (1)如果∠A ＯＢ＝50°,∠DOE=35°，那么∠B ＯD 是多少度？ (2)如果∠ＡＯE=1６0°,∠ＣOD=４０°,那么∠ＡOB 是多少度? ６、如图，点Ｏ在直线AB 上，OE 、OF 分别是AOC ∠和BOC ∠的平分线.求EOF ∠的度数? 7、如图，AB=16cm ， Ｃ是AB 上的一点,且ＡC=10cm, Ｄ是ＡＣ的中点，E 是ＢC 的中点，求线段DE 的长． 8.如图，AB=16ｃm ， C 是ＡB 上的一点，D 是AC 的中点，E 是ＢＣ的中点，求线段DE 的长. D C O A B E O A B C F E B A B A
1 / 5 l1 l2 l3m n F E D C B A 23.1.2 平行线分线段成比例 （新授课 1课时） 一、教学内容： ① 平行线等分线段定理； ② 平行线分线段成比例定理； ③ 平行线分线段成比例推论. 二、教学目标： 1、 知识与技能：掌握平行线分线段成比例的基本定理及推论，并能用其解题； 2、 过程与方法：掌握基本定理的推导过程并能以之解题； 3、 情感态度和价值观：培养认识事物从一般到特殊的认知过程，培养欣赏数学表达式 的对称美。 三、教学重、难点： 1、 重点：平行线分线段成比例定理、推论及应用； 2、 难点：定理的推导证明。 四、教具：普通教室/多媒体计算机/三角板 五、教法：讲练结合法 六、教学过程： 活动一：复习旧课 成比例线段： a) 概念，强调顺序性：(比例式：a:b=c:d,等积式：ad=bc) b) 比例的性质： 基本性质：a c ad bc b d =?= 合比性质：a b c d b d ++= 分比性质：a b c d b d --= 合分比性质：a b c d a b c d ++=-- 等比性质： 123123123123 123(0)k k k k k a a a a a a a a b b b b b b b b b b b b ++++==== =++++≠+++ + 活动二：创设情境，引入新课 问题1：一组等距离的平行线截得直线m 所得的线段相等，那么在直线n 上所截得的线段有什么关系呢？ 即：已知l 1∥l 2∥l 3 AB=BC 求DE 与EF 的关系 （DE=EF ） 推导见右图 （平移m 证全等） l1l2l3m n m'C'(B') A'F E D C B A
第二课时：《平行线分线段成比例》练习 1．判断题 （1）三条平行线截两条直线，所得的线段成比例（ ） （2）一条直线交△ABC 的边AB 于点D ，交AC 边于点E ，如果 AB ＝9，BD ＝5，AC ＝3.5，AE ＝2，那么DE ∥BC ．（ ） （3）如图1，321////l l l ，则BF AE DF CE BD AC ==（ ） （4）如图2，在△ABC 中，DE ∥BC ，则BC DE EC AE DB AD ==（ ） 2．选择题 （1）如图3，在△ABC 中，DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，下列 不能成立的比例式一定是（ ） A ． EC AE DB AD = B ．AE AC AD AB = C ．DB EC AB AC = D ．BC DE DB AD = （2）如图4，E 是□ABCD 的边CD 上一点，CD CE 3 1 =，AD ＝12，那么CF 的长为（ ） A ．4 B ．6 C ．3 D ．12 （3）如图5，□ABCD ，E 在CD 延长线上，AB ＝10，DE ＝5，EF ＝6，则BF 的长为（ ） A ．3 B ．6 C ．12 D ．16 （4）如图6，在ABC 中，AB=3AD, DE//BC, EF//AB, 若AB=9, DE=2, 则线段FC 的长度是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 （5）如图3，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别与AB 、AC 相交于点D 、E ， 若AD=4，DB=2，则AE ︰EC 的值为（ ） （A ）0.5 （B ）2 （C ）32 （D ）2 3 3．填空题 （1）如图8， 则 ＝________， ＝________； （2）如图9，321////l l l ，AM ＝2，MB ＝3， CD ＝4.5，则ND ＝________，CN ＝________； （3）如图10，D 、E 分别为AB 的三等分点，DF ∥EG ∥BC ，若BC ＝12，则DF ＝___ ___， EG ＝________； （4）如图11，△ABC 中，DE ∥BC ，若AE ∶EC ＝2∶3，DB -AD ＝3，则AD ＝________， DB ＝________； 4．如图， 已知△ABC 中AB=AC ，AD ⊥BC ，M 是AD 的中点，CM 交AB 于P ， DN ∥CP 交AB 于N ，若AB=6cm ，求AP 的值. 5、如图：P 是四边形OACB 对角线的任意一点，且PM ∥CB ，PN ∥CA ， 求证：OA ：AN=OB ：MB 6、如图，△ABC 中，AF ∶FD ＝1∶5，BD ＝DC ，求：AE ∶EC ． 21//l l DE AD AC AB 图6 B A C F D E 图7 E D C B A 图1 图2 图3 图4 图5 图11 图10 图9 图8
l1 l2 l3m n F E D C B A 23.1.2 平行线分线段成比例 （新授课 1课时） 一、教学内容： ① 平行线等分线段定理； ② 平行线分线段成比例定理； ③ 平行线分线段成比例推论. 二、教学目标： 1、 知识与技能：掌握平行线分线段成比例的基本定理及推论，并能用其解题； 2、 过程与方法：掌握基本定理的推导过程并能以之解题； 3、 情感态度和价值观：培养认识事物从一般到特殊的认知过程，培养欣赏数学表达式 的对称美。 三、教学重、难点： 1、 重点：平行线分线段成比例定理、推论及应用； 2、 难点：定理的推导证明。 四、教具：普通教室/多媒体计算机/三角板 五、教法：讲练结合法 六、教学过程： 活动一：复习旧课 成比例线段： a) 概念，强调顺序性：(比例式：a:b=c:d,等积式：ad=bc) b) 比例的性质： 基本性质：a c ad bc b d =?= 合比性质：a b c d b d ++= 分比性质：a b c d b d --= 合分比性质：a b c d a b c d ++=-- 等比性质： 123123123123 123(0)k k k k k a a a a a a a a b b b b b b b b b b b b ++++==== =++++≠+++ + 活动二：创设情境，引入新课 问题1：一组等距离的平行线截得直线m 所得的线段相等，那么在直线n 上所截得的线段有什么关系呢 即：已知l 1∥l 2∥l 3 AB=BC 求DE 与EF 的关系 （DE=EF ） 推导见右图 （平移m 证全等） （引导得）结论：一组等距离的平行线在直线m 上所截得的线段相等，那么在直线n 所截得的线段也相等（平行线等分线段定理）。 那如果所截得的线段不等呢这就是我们今天要研究的内容；平行线分线段成比例定理. 活动三：分析探索，新知学习 问题2：已知l 1∥l 2∥l 3∥l 4 AB=BC=CD,可知EF=FG=GH ，那么擦出其中1条如l 3后有何结论 l1l2l3m n m'C'(B') A'F E D C B A
复习专题之：线段中点与角平分线的类比学习(学案) 【学习目标】 1、在已有知识基础上，进一步理解线段中点与角平分线的应用。 2、会进行知识的横向迁移,总结解题规律与经验。 3、通过类比迁移有效沟通知识间的联系，突破教学难点,提高解决问题 的能力。 【学习重点】 通过同类型题目的对比,能够在具体的解题中体会线段中点与角平分线之间的区别与联系。 【学习难点】通过类比习题之间的异同，学会进行知识间的迁移，并能够总结出解题方法和规律。 【学法指导】类比迁移、分类讨论、归纳总结思想的综合应用。 【学习过程】 【环节一】线段的中点及角平分线知识回顾 线段中点:把一条线段分成____的两部分的点,叫这条线段的中点． ? 结合图形写出它的符号语言（１)由__＿__＿_＿＿___＿_＿____＿___ 得①：ＡC＝BC(等） ②：ＡB= = (倍) ③:ＡC=AB= (份）反之,由①、②、③之一 可得： （1)若已知AC=3，求BC,则用哪一种表示方法:___＿__＿＿_＿___．（2）若已知AC＝３，求AＢ,则用哪一种表示方法：＿___________＿．?(3）若已知AB=6，求AＣ，则用哪一种表示方法：______＿_____＿. 角平分线:从一个角的＿___引出一条射线,把这个角分成____的两个角的射线，叫这个角的角平分线． 结合图形写出它的符号语言（1）由OB是∠AOC的平分线 得①：∠AＯB＝∠ＢOC（等) ②：∠AOC= = (倍） ③:∠AOＢ=∠BOＣ= (份） 反之，由①、②、③之一 可得: （1）若已知∠BＯC=3５°,求 ∠AOB，则用哪一种表示方 法:______＿__.?（2)若已知 O A C B
[文件] sxc2jja0013.doc [科目] 数学 [年级] 初二 [章节] [关键词] 平行线分线段成比例 [标题] 平行线分线段成比例定理(一) [内容] 教学目标 1.理解平行线分线段成比例定理，并能初步应用它进行简单的计算. 2.培养学生类比联想及用运动的思维方式看待问题的能力. 教学重点和难点 平行线分线段成比例定理及应用. 教学过程设计 一、类比联想、发现定理 1.复习平地线等分线段定理的内容及数学表达式，如图5-13. ∵l 1//l 2//l 3，AB=BC ， ∴EF=FG. 2.将上述命题改写成比例的形式. ∵l 1//l 2//l 3//l 4，AB:BC=1:1， ∴EF:FG=1:1，则有 1==FG EF BC AB 3.运用类比方式将比值从1推广到正实数m 得出猜想. 教师启发学生思考： 在图5-13中，l 1//l 2//l 3//l 4，AB=BC=CD ，1,1≠≠BD AB CD AC ，那么还有类似比例式成立吗? 学生可从图中看出 2 1,12====FH EF BD AB GH EG CD AC ，猜想推广应成立.
4.举例进一步验证猜想. 教师可再举出图5-14中，AB BC 等于其它更一般的实数的两个例子，来进一步验证猜想. 5.(选)用面积法证明猜想. 对于学生程度较好的班级，教师可用三角形面积公式来严格证明猜想成立，具体做法见设计 说明. 二、用运动的观点深刻认识定理的内容 1.让学生归纳以上情况，并用语言准确叙述定理内容，以及画图写出部分数学表达式. 2.教师强调“对应”的含义，并介绍结合图形形象记忆的方法，如： 右全 左全右下 左下右上 左上右全 右下左全 左下右全 右上左全 左上右下 右上右下 左上=====,,, 3.用运动的观点识别定理的各种变式图形中的比例线段.(见图5-15，不断平移DF) 强调由平行线分线段成比例定理所得比例式中，四条线段与平行直线和被截 两直线的交点位置无关，尤其是图5-15(a)中的M 点，图5-15(c)的N 点. 三、应用举例、变式练习 例1 已知：如图5-16，l 1//l 2//l 3. (1)AB=3，DE=2，EF=4，求BC ； (2)AC=8，DE=2，EF=3，求AB.
初数学平行线分线段成比例定理
初二数学 【教学进度】 几何第二册第五章§5.2 [教学内容] 平行线分线段成比例定理 [重点难点剖析] 一、主要知识点 1．平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 2．三角形一边平行线的性质定理（即平行线分线段成比例定理的推论）：平行于 三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 3．三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 4．三角形一边的平行线的性质定理2（即课本例6）：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。 二、重点剖析 1．平行线分线段成比例定理，是研究相似的最重和最基本的理论，同时，它也是直接证明线段成比例的最重要方法之一。 定理的基本图形
∵l 1∥l 2∥l 3 ∴EF BC DE AB DE AB = == 应。 ② 为了强调对应和记忆，可以使用一些简单形象化语言记忆上面所列三组比例式： EF DE BC AB = ， 可以说成“上比下等于上比下” DF DE AC AB = ， 可以说成“上比全等于上比全” DF EF AC BC = ， 可以说成“下比全等于下比全”等 L L L 图1-（1） C F A B E D F C 图1-（2）3 E D 12B A F 3 L C 图1-（3） 2L L 1B E A 图1-（4） F L 3 C L 2L 1B D A 3 L 2L L 1(D)(E)
课题：线段中点与角平分线的类比学习(学案) 【环节一】线段的中点及角平分线知识回顾 线段中点：把一条线段分成__________ 的两部分 的点叫线段的中点. 射线，把这个角分成________ 的两个角，则这 条射线叫做这个角的角平分线。 结合图形写出它的符号语言 (1 )???__________________________ ??AC=BC= ______ 或2AC= _______ =AB 反之??? ___________________________ 反之?▲OB = Z ______ =___ 或Z AOC =2 / AOB =2 / _____ ) (1)若已知AC=3，求BC,则用哪一种表 示方法：________________ . (2)若已知AC=3，求AB，则用哪一种表 示方法：________________ . (3)若已知AB=6，求AC,则用哪一种表 示 方法：________________ (1 )若已知 / BOC=35 °，求 / AOB，则 用哪一种表示方法：_________________ . (2)若已知 / BOC=35 °，求 / AOC，则 用哪一种表示方法：_________________ . (3)若已知 / AOB=70 °，求 / BOC，则 用哪一种表示方法：_________________ . 角平分线：从一个角的_________ 引出的一条 A 结合图形写出它的符号语言 (1) '-OB是ZAOC的平分线
自我总结: 【环节二】图形语言与符号语言的规范复习 1?中点过程训练 ???点N是线段BP的中点如图所示，已知线段AB=80cm，M为AB 的中点，P 在MB上，N为PB中点， NB=14cm，求MP 的长. I I I 丨I A MP N B 解：如图， ???点M是线段AB的中点??NB=14 ??PB=2 X 14=28 = 40-28 =12 即MP的长为12 cm . ??AB=80 2.角平分线过程训练 .如图，已知/ AOB=90 ，/AOC=40
平行线分线段成比例及相似多边形 责编：常春芳 【学习目标】 1. 平行线分线段成比例及其推论. 2. 平行线分线段成比例及其推论的应用. 3.相似多边形的有关概念. 【要点梳理】 要点一、平行线分线段成比例及其推论 平行线分线段成比例，一般地，有如下基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例. 要点诠释： (1).对应线段成比例可用下面的语言形象表示： 右全 左全右上左上全上全上下上下上===,,等等. （2）有推论可以得出以下结论： 要点二、行线分线段成比例及其推论的应用 行线分线段成比例及其推论的应用主要是来求线段的长度. 要点三、相似多边形的有关概念 相似多边形：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.它的符号是“∽”，读作“相似于”. 相似比：相似多边形的对应边的比叫做相似比. 要点诠释： （1）相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； （2）“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等. （3）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． 【典型例题】 类型一、平行线分线段成比例及其推论 1、如图，直线AD ∥BE ∥CF ，BC= 13 AC ，DE=4，那么EF 的值是__________.
【思路点拨】根据BC=1 3 AC可得 2 1 AB BC =，再根据条件AD∥BE∥CF，可得 AB DE BC EF =，再把DE=4代入可得EF的值．【答案】2. 【解析】 解：∵BC=1 3 AC， ∴ 2 1 AB BC =， ∵AD∥BE∥CF， ∴AB DE BC EF =， ∵DE=4， ∴ 4 EF =2， ∴EF=2． 故答案为：2． 【总结升华】此题主要考查了平行线分线段成比例定理，关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 2、（2015?安庆一模）如图，△ABC的顶点A是线段PQ的中点，PQ∥BC，连接PC、QB，分别交AB、AC于M、N，连接MN，若MN=1，BC=3，求线段PQ的长． 【思路点拨】根据PQ∥BC可得，进而得出，再解答即可． 【答案与解析】 解：∵PQ∥BC， ∴=， ∴，
初二数学 【教学进度】 几何第二册第五章 §5.2 [教学内容] 平行线分线段成比例定理 [重点难点剖析] 一、主要知识点 1．平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 2．三角形一边平行线的性质定理（即平行线分线段成比例定理的推论）：平行于 三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 3．三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 4．三角形一边的平行线的性质定理2（即课本例6）：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。 二、重点剖析 1．平行线分线段成比例定理，是研究相似的最重和最基本的理论，同时，它也是直接证明线段成比 EF BC = ， 可以说成“上比下等于上比下” DF DE AC AB = ， 可以说成“上比全等于上比全” DF EF AC BC = ， 可以说成“下比全等于下比全”等 2．三角形一边平行线的性质定理1（即平行线分线段比例定理的推论） 基本图形
又∵ 43=EC AE ∴ 73=AC AE ∴7 3 =DC EG 极 EG=3X ， DC=7X （X>0），则 ∵ 32=DC BD ∴ DB=x x DC 3 14 73232=?= ∴9 14 3314==x x EG BD
例3 分析 BC//FE 证明：∵则例4 分别连结E ，DB 首先观察证明：∵点评 （1（3）最后只须证明这两条边上对应线段成比例即可 例5 如图9，,,,C B A '''分别在△ABC 的三边BC 、AC 、AB 或其延长线上，且C C B B A A '''//// 求证：C C B B A A '='+'111 分析 所证结论中出现的三条线段的倒数，解决此类问题， 一般情况下，要将其转化为线段比的形式。 证明：∵A A C C ''// ∴ BA C B A A C C '='' ∵B B C C ''// ∴B B C C ='' ∴1='+'='+'=''+''AB C A C B AB C A BA C B B B C C A A C C ∴B B A A '+'11
中点及角平分线（讲义） 知识点睛 1.线段上的点把线段分成相等的两条线段，则这个点叫做线段的________． 2.如图，若点C为线段AB的中点，则中点的六种表示是 ____________________________________________________ ___________________________________________________． 3.从一个角的顶点引出一条______，把这个角分成两个相等的角，这条_______叫做 这个角的平分线． 4.如图，若OC为∠AOB的平分线，则角平分线的六种表示是 ___________________________________________________ __________________________________________________． 精讲精练 1.已知：如图，线段AB=10 cm，点C是线段AB的中点，求AC的长．
2.已知：如图，点C是线段AB的中点，AC=4 cm，求AB的长． 3.已知：如图，线段AB=10 cm，AD=6 cm，点C是线段AD的中点，求BC的长．
4.如图，线段AB=4，点O是线段AB上一点，点C，D分别是线段OA，OB的中点， 求CD的长． 5.已知：如图，∠AOB=70°，OC平分∠AOB，求∠AOC的度数．
6.如图，已知OC平分∠AOB，OD平分∠AOC，且∠COD=25°，求∠AOB的度数． 7.如图，∠AOB=90°，∠AOC=50°，OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，求∠MON的 度数．
复习专题之：线段中点与角平分线的类比学习（学案） 【学习目标】 1、 在已有知识基础上，进一步理解线段中点与角平分线的应用。 2、 会进行知识的横向迁移，总结解题规律与经验。 3、 通过类比迁移有效沟通知识间的联系，突破教学难点，提高解决问 题的能力。 【学习重点】 通过同类型题目的对比，能够在具体的解题中体会线段中点与角平分线之间的区别与联系。 【学习难点】通过类比习题之间的异同，学会进行知识间的迁移，并能够总结出解题方法和规律。 【学法指导】类比迁移、分类讨论、归纳总结思想的综合应用。 【学习过程】 【环节一】线段的中点及角平分线知识回顾 线段中点：把一条线段分成____的两部分的点，叫这条线段的中点． 结合图形写出它的符号语言 （1）由_______________________ 得①：AC=BC （等） ②：AB= = (倍) ③：AC=AB= （份） 反之，由①、②、③之一 可得： （1）若已知AC=3，求BC ，则用哪一种表示方法：_____________． （2）若已知AC=3，求AB ，则用哪一种表示方法：_____________． （3）若已知AB=6，求AC ，则用哪一种表示方法：_____________. 角平分线:从一个角的____引出一条射线，把这个角分成____的两个角的射线，叫这个角的角平分线. 结合图形写出它的符号语言 （1） 由OB 是∠AOC 的平分线 得①：∠AOB=∠BOC （等） ②：∠AOC= = (倍) ③：∠AOB=∠BOC= （份） 反之，由①、②、③之一 可得： （1）若已知∠BOC=35°，求∠AOB，则用哪一种表示方法：_________． （2）若已知∠BOC=35°，求∠AOC，则用哪一种表示方法：_________． （3）若已知∠AO C =70°，求∠BOC，则用哪一种表示方法：_________.O A C B
平行线分线段成比例的基本事实 一、学生知识状况分析 学生在本章前两课时的学习中，通过对相似图形的直观感知，体会到可以用对应线段长度的比来描述两个形状相同的平面图形的大小关系。从而认识了线段的比，成比例线段。通过对方格纸中成比例线段的探究，了解了合比性质与等比性质，并在探究活动中积累了一定的合作交流的经验，培养了提出问题与解决问题的能力。同时学生通过对合比性质与等比性质的演绎证明，也进一步发展了逻辑推理能力。 二、教学任务分析 本节课依旧采用前两节在方格纸中探究的方式，引导学生得出平行线分线段成比例及其推论。平行线分线段成比例定理是研究相似形的最重要和最基本的理论，是《课程标准》图形的性质及其证明中列出的九个基本事实之一。在知识技能方面，要求学生理解并掌握平行线分线段成比例定理及其推论，并会灵活应用。学生经历运用平行线分线段成比例及其推论解决问题的过程，在观察、计算、讨论、推理等活动获取知识。让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法。进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系。 教学目标： （一）知识目标 理解并掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并会灵活应用。 （二）能力目标 通过应用，培养识图能力和推理论证能力。 （三）情感与价值观目标 （1）、培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值。 （2）、在进行探索的活动过程中发展学生的探索发现归纳意识并养成合作交流的习惯。 教学重点：平行线分线段成比例定理和推论及其应用。 教学难点：平行线分线段成比例定理及推论的灵活应用，平行线分线段成比例定理的变式。 三、教学过程分析 本节课设计了五个教学环节：第一环节：复习设疑，引入新课；第二环节：探索发现平行线分线段成比例定理及其推论；第三环节：平行线分线段成比例定理及其推论的简单应用；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业．
初数学平行线分线段成 比例定理 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
初二数学 【教学进度】 几何第二册第五章 § [教学内容] 平行线分线段成比例定理 [重点难点剖析] 一、 主要知识点 1． 平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 2． 三角形一边平行线的性质定理（即平行线分线段成比例定理的推论）：平行于 三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 3． 三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 4． 三角形一边的平行线的性质定理2（即课本例6）：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。 二、 重点剖析 1． 平行线分线段成比例定理，是研究相似的最重和最基本的理论，同时，它也是直接证明线段成比例的最重要方法之一。 EF DE BC AB = ， 可以说成“上比下等于上比下” DF DE AC AB = ， 可以说成“上比全等于上比全” DF EF AC BC = ， 可以说成“下比全等于下比全”等 2． 三角形一边平行线的性质定理1（即平行线分线段比例定理的推论） 基本图形
解：过E 作EG ∥BC 交AD 于G ，则在△ADC 中，AC AE DC GE =
又∵ 43=EC AE ∴ 73=AC AE ∴7 3 =DC EG 极 EG=3X ， DC=7X （X>0），则 ∵32=DC BD ∴ DB=x x DC 3 14 73232=?= ∴9 14 3314==x x EG BD B B C C ' '//AB C A B B C C '=''1='+'='+'=''+''AB C A C B AB C A BA C B B B C C A A C C C C B B A A ' ='+'1 11C C B B A A ' ='+'1 111=''+''B B C C A A C C 1==AD BF BC DE AD =CB DB =1=-=-DE DB AD BC 1=-AD BC FC BF =CE FC AE EN =EM BF =射线AM 2. 在AM 3. 连结BE
平行线分线段成比例 平行线分线段成比例定理及其推论 1. 平行线分线段成比例定理 如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则 BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB AC DE DF = . l 3 l 2l 1F E D C B A 2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则 AD AE DE AB AC BC == A B C D E E D C B A 3. 平行的判定定理：如上图，如果有 BC DE AC AE AB AD = =，那么DE ∥ BC 。 专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用 【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。 E D C B A 【例2】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：1 11c a b =+.
F E D C B A 【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和 BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明： 111 AB CD EF += . F E D C B A 【巩固】如图，找出ABD S ?、BED S ?、BCD S ?之间的关系，并证明你的结论. F E D C B A 【例3】 如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作 EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。 O F E D C B A 【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ，的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。
复习专题之：线段中点与角平分线的类比学习 一、目标展示 1、 在已有知识基础上，进一步理解线段中点与角平分线的应用。 2、 会进行知识的横向迁移，总结解题规律与经验。 3、 通过类比迁移有效沟通知识间的联系，突破教学难点，提高解决问 题的能力。 二、自主学习1 线段的中点及角平分线知识回顾 线段中点：把一条线段分成____的两部分的点，叫这条线段的中点． 结合图形写出它的符号语言 （1）∵____________________ ∴①：AC=BC （等） ②：AB= = (倍) ③：AC=AB= （份） 反之，∵①、②、③之一 ∴ 角平分线:从一个角的____引出一条射线，把这个角分成____的两个角的射线，叫这个角的角平分线. 结合图形写出它的符号语言 （1） ∵OB 是∠AOC 的平分线 ∴①：∠AOB=∠BOC （等） ②：∠AOC= = (倍) ③：∠AOB=∠BOC= （份） 反之，∵①、②、③之一 ∴ 自主学习 2 （图形语言与符号语言规范复习） 1.中点解题规范训练 如图所示，已知线段AB=80cm ，M 为AB 的中点，P 在MB 上，N 为 PB 中点，NB=14cm ，求MP 的长． 解：如图 ∵点M 是线段AB 的中点 O A C B
∴_______________ 又∵ AB=80 ∴___________________ ∵点N是线段BP的中点 ∴________________ ∵NB=14 ∴PB=2×14=28 ∴MP=MB-PB =40-28=12 即MP的长为12 cm 2.角平分线解题规范训练 如图所示，已知∠AOB=84°,∠AOC=40°OM平分∠AOB，求∠MOC 的度数． 解：如图 ∵OM平分∠AOB ∴∠AOM=_________ 又∵∠AOB=84° ∴∠AOM=______ = __ _ ∵∠AOC=40° ∴∠MOC= - =42°-400 =2° ∴∠MOC的度数为2° 三、合作探究 合作探究1：线段中点与角平分线判定的类比 例1.如果点C在线段AB上,则下列等式: ①AC=CB;②AC=1/2AB; ③AB-AC=BC; ④AB=2AC; 能说明点C是线段AB中点的有( ) A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 类比迁移1：若点D为∠BAC内的一点,则下列等式: ①∠BAD=1/2∠BAC; ②∠BAD=∠BAC-∠CAD; ③∠BAC=1/2∠BAC+∠BAD; ④∠DAC=∠BAC-∠BAD; 能说明射线AD是∠BAC平分线的有( ) A.① B.①②③ C.①③ D.①②③④
平行线分线段成比例----知识讲解 【学习目标】 1、掌握平行线分线段成比例定理和三角形一边平行线的性质与判定定理，并会灵活应用. 2、经历运用类比思想针对图形运动的不同位置分别探究的过程,初步领略运用运动观点、化归和分类讨论等思想进行数学思考的策略. 3. 认识事物的一般规律是从特殊到一般，并能欣赏数学表达式的对称美. 【要点梳理】 要点一、一组等距离的平行线截直线 两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等. 当 l 1∥l 2∥l 3，AB=BC 时，则有DE=EF . 要点诠释： 常用的比例式: AB DE BC EF = A B D E A C D F = B C E F A B D E = BC EF AC DE = 要点二、一组不等距的平行线截直线 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.简称为平行线分线段成比例. 要点诠释：当两线段的比是1时，即为平行线等分线段定理，可见平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理特殊情况，平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的推广. 要点三、平行于三角形一边的直线的性质 平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例. 要点诠释： (1)主要的基本图形：分A 型和X 型；
A 型 X 型 （2）常用的比例式：,,AD AE AD AE DB EC DB EC AB AC AB AC ===. 【典型例题】 类型一、三角形一边的平行线性质定理 CD EF C .BO OE D.BC BE 【答案】D. BC BE =. 【总结升华】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是找准对应线段． 举一反三 【变式】如图,在⊿ABC, DG ∥EC, EG ∥BC,求证:2AE AB AD =? 【答案】∵DG ∥EC,∴AD AG AE AC =, ∵EG ∥BC,∴AE AG AB AC =, B C
平行线分线段成比例 一、学生知识状况分析 学生在本章前两课时的学习中，通过对相似图形的直观感知，体会到可以用对应线段长度的比来描述两个形状相同的平面图形的大小关系。从而认识了线段的比，成比例线段。通过对方格纸中成比例线段的探究，了解了合比性质与等比性质，并在探究活动中积累了一定的合作交流的经验，培养了提出问题与解决问题的能力。同时学生通过对合比性质与等比性质的演绎证明，也进一步发展了逻辑推理能力。 二、教学任务分析 本节课依旧采用前两节在方格纸中探究的方式，引导学生得出平行线分线段成比例及其推论。平行线分线段成比例定理是研究相似形的最重要和最基本的理论，是《课程标准》图形的性质及其证明中列出的九个基本事实之一。在知识技能方面，要求学生理解并掌握平行线分线段成比例定理及其推论，并会灵活应用。学生经历运用平行线分线段成比例及其推论解决问题的过程，在观察、计算、讨论、推理等活动获取知识。让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法。进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系。 教学目标： （一）知识目标 理解并掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并会灵活应用。 （二）能力目标 通过应用，培养识图能力和推理论证能力。 （三）情感与价值观目标 （1）、培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值。 （2）、在进行探索的活动过程中发展学生的探索发现归纳意识并养成合作交流的习惯。
教学重点：平行线分线段成比例定理和推论及其应用。 教学难点：平行线分线段成比例定理及推论的灵活应用，平行线分线段成比例定理的变式。 三、教学过程分析 本节课设计了五个教学环节：第一环节：复习设疑，引入新课；第二环节：探索发现平行线分线段成比例定理及其推论；第三环节：平行线分线段成比例定理及其推论的简单应用；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业． 第一环节：复习设疑，引入新课 内容：教师提问： （1）什么是成比例线段 （2）你能不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得这两部分的比是2:3 目的：（1）复习成比例线段的内容，回顾上节课通过方格纸探究成比例线段性质的过程。（2）通过一个生活中的实例激发学生探究的欲望。 效果：学生对不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得这两部分的比是2:3，这一问题很感兴趣，急切想要知道解决办法。 第二环节：小组活动，探究定理 1. 探究活动一： 内容：如图（1）小方格的边长都是1，直线 a ∥b∥ c ,分别交直线m,n 于 A 1，A 2 ，A 3 ，B 1 ，B 2 ，B 3 。
线段的垂直平分线与角平分线(1) 知识要点详解 1、线段垂直平分线的性质 （1）垂直平分线性质定理： 定理的数学表示： 定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称. 经典例题： 例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm 针对性练习： 已知：1、如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交 AC 于点E ，如果△EBC 的周长是24cm ，那么BC= 2、如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点 ，如果BC=8cm ，那么△EBC 的周长是 3、如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ， 如果∠A=28度，那么∠EBC 是 m 图1 D A B C E B D A
2、线段垂直平分线性质定理的逆定理 （1）线段垂直平分线的逆定理： 定理的数学表示： 定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分上. 例2.如图，已知：在ABC ?中，?=∠90C ，?=∠30A ，BD 平分ABC ∠交AC 于D .求证：D 在AB 的垂直平分线上. 针对性练习： 已知：在△ABC 中，ON 是AB 的垂直平分线,OA=OC 求证：点O 在BC 的垂直平分线 例3、如图8，已知AD 是△ABC 的BC 边上的高，且∠C ＝2∠B ， 求证：BD ＝AC ＋CD. 证明： 例4．如图，已知：AD 平分BAC ∠，EF 垂直平分AD ，交BC 延长线于F ，连结AF 。求证：CAF B ∠=∠。 m 图2 D A B C C D A A C O N