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淮 海 工 学 院
13 – 14学年 第 1 学期 高等数学A1 期末总复习
一、选择题
1.=-→x
x x 210
)
1(lim -----------------------------------------------------------------------------（D ）
(A) 21e - (B) e -
(C) 21e
(D) 注：若1
2
lim(1),x
x kx e →-=则2k =-．
2. 2arctan x
y x
=
的水平渐近线为----------------------------------------------------------(B) (A) 0=x (B) 0=y (C) 2x = (D) 2y =
注：2arcsin x y x =的水平渐近线为0=y ， 0=x 为2arctan x
y x =的可去间断点．
3. 设3,1
()32,1
x x f x x x -?≤=?->?，则''(1)(1)f f -+-= ------------------------------------(A)
(A) 6- (B) 3- (C) 2- (D) 0 注：因()f x 连续，且各分段表达式在分段点处可导，
则'3
1(1)()'
3x f x --===-，'1(1)(32)'3x f x +==-=．
4．设()l n (1)f x x x =+-,则该函数在(1,0)-内的图象为----------------------------- (C)
(A) 增且凹 (B) 减且凹 (C) 增且凸 (D) 减且凸 5．当n →+∞
，55,ln ,,5n n n 趋于无穷大速度最慢的是 --------------------- (B)
(A) 5
n (B) 5
ln n
(C) (D) 5n
注：该题中，各数列趋于无穷大速度按由快到慢的顺序为555,,ln n n n ．
6.若)(x f 的某一原函数为cos x ，则=')(x f ---------------------------------------------(B) (A) sin x - (B) cos x - (C) sin x (D) cos x 注：若)(x f 的某一原函数为()F x ，则'()''()()()f x F x f x dx F x C ==+?
，． 7．设()f x 连续，则下列式子中正确的是--------------------------------------------------- (D)
(A) ?=)()(x f x df (B) ()()df x f x dx =? (C) ?=)()(x f dx x f d (D) ()()d f x dx f x dx =?
注：
()(),'()()()d
f x dx f x f x dx df x f x C dx ===+?
??． 8．设()f x 连续，则下列式子中正确的是--------------------------------------------------- (D)
(A)
()()f x dx f t dt =?? (B)
()()x
t
a
a f x dx f t dt =?
?
(C) ()()x a
f x dx f t dt =?? (D) ()()x a
f x d x f t d t C
=+??
注：不定积分与积分变量有关，而定积分与积分变量无关，但与积分上下限有关． 9．设()f x 连续，则下列式子中不正确的是------------------------------------------------ (D)
(A)
?=b a dx x f dx d 0)( (B) ()0b
a d f x dx dt =? (C) ?=x a x f dt t f dx d )()( (D) ()()x
a d f t d t f t dt
=? 注：设()f x 连续，()g x 可导，则
()
()(())'()g x a
d f t dt f g x g x dx =?． 10. 2
csc sin xd x =?---------------------------------------------------------------------------(A)
(A) C x +-csc (B)C x +csc (C) C x +-cot (D) C x +c o t
注：22
csc sin sin sin csc xd x x d x x C -==-+??（凑微法）；
3
3
sec
sin sec
cos tan xd x x xdx x C ==+??（求微法）；
21ln 1ln 1ln 1
ln ln x x x xd
d x dx C x x x x x x
+=-=-=+???（分部积分法）． 11.
=?
---------------------------------------------------------------------------(C)
(A)
4π (B) 2
π
(C) π (D) 2π 注：由定积分几何意义知，取0a >
，则2
4
a π==
?
?
．
12.
2
1201320131
()x x e x dx --?
=----------------------------------------------------------------(A)
(A)
11007- (B) 12012- (C) 0 (D) 1
1007
注：由定积分对称奇偶性知，21120132013
2013101()21007
x x e x dx x dx ---=-=??，
又如112013
2013101(1)21007x x x e e dx x dx ---+==??．
二、计算题
1．23011
lim ()11
x
x x x e e →---． 解：原式32230lim (1)(1)x x
x x x e e x e e →-=-- 231~21~3x x e x
e x
--=320lim 6x x x e e x →-H L '32032lim 6x x x e e →-16=． 注：01
cot lim ln(1)x x
x x →-+3
00sin cos sin cos lim lim sin ln(1)x x x x x x x x x x x x →→--==+ '20sin 1lim 33L H x x x x →==． 2．已知()y y x =由方程cos()2x y x y e -++=所确定，求y '，(,)(0,0)x y y ='．
解：sin()(1)(1)0x y
x y y e y -''-+++-=，sin()
sin()
x y x y
e x y y e x y ---+'=++ 故(,)(0,0)
1x y y ='
=．
注：设)(x y y =由方程3
3
sin cos x y θ
θ
?=??=??所确定，求,()dy d dy dx d dx θ. 解：2()3sin cos x θθθ'=，2
'()3cos sin y θθθ=-
()
cot ()
dy y dx x θθθ'==-'，
2()csc d dy d dx θθ=. 3.dx x x
x ?+-4
312.（求3
14021x x dx x -+?） 解：原式=??+-++22244)
(1)(1)1(41x x d x x d =()421ln 1arctan()4x x C +-+. 注：12112201320132
20140104(1)(1)42015
x t x x dx t t dx t dx -=--=+==???对称奇偶性.
4．
．
（求，换元要换限）
22sin t tdt ?1sin 22t t C =-
+1
sin 2
C =．
注：
111
22
1
20
ln(2ln(2)[ln(2)]ln(2)t
t dt t t t d t -=---?
?
?
= 21
11000455
(2)4[ln 2]4ln 22222
t dt t dt t t t -=-++=---=---??．
三、计算题
若()ln(f x dx x C =++?，求2()
f x dx x ?．
（求2
1()f x dx x ）
解：由题意，知()[ln(f x x ==
2().f x dx x =?θθθθtan sec tan 1tan 2d x ??=csc cot d θθθ=? C +-=θcsc C x
x ++-=2
1．
注：若1()1x
f x dx C e -=++?，则11
()111
x x x x xf x dx xd dx e e e ---==-+++??? 1(1)ln(1)+C 111
x x
x x x x x d e e e e e --=-+=-++++?．（或求ln20()xf x dx ?）
四、计算题
若方程0932
3=+--h x x x 在),(+∞-∞内有三个根，试确定h 的范围．
解：令h x x x x f +--=93)(23 则963)(2
/--=x x x f
由/
2
()3690f x x x =--= 得11-=x ，32=x 易知)1,(--∞，)3,1(-，),3(+∞为)(x f 的单调区间
-∞=+--
=-∞-∞→)931(lim )(323x
h
x x x f x
+∞=+--=+∞-∞→)931(lim )(323x
h
x x x f x
h f +=-5)1( ， h f +-=27)3(故当275<<-h 时，有三个根分别在)1,(--∞，)3,1(-，),3(+∞上．
注：求证：方程?=+--x dt t x 04
011
13在区间)1,0(内有唯一实根. 证明：（1）令=)(x f ?+--x dt t x 0411
13，则其在[]1,0上连续 且 01)0(<-=f 01211
2)1(10104
>=->+-=??dx dx x f 故由零点定理知，在区间)1,0(内该方程有实根；
（2） 又 0132113)(4
4
4'
>++=+-=x
x x x f ，所以)(x f 单调增加， 综上可知，方程在区间)1,0(内有唯一实根.
五、证明题 当0>x 时，试取对数证明2
111)
1(x x
e x ++<+．
证明：取对数，则要证的不等式变形为22)1ln()1(2x x x x +<++ 令)1ln()1(22)(2x x x x x f ++-+=，
)1ln(22)(x x x f +-='，012)(>+=
''x
x
x f ， 因此，)(x f '在),0[∞+上单调增加，0)0()(='>'f x f ，
则)(x f 在),0[∞+上单增，故)0(0)0()(>=>x f x f ，变形即得结论． 六、计算题
已知：?
??>≤<='11
01)(ln x x x x f ，且,0)0(=f 求()f x ．
解： 1
0()0u
u f u e
u ≤?'=?>?，1
2
()0
x
x c x f x e c x +≤?=?+>?------------------------------------4 由(0)(0)0f f +
==，则120,1c c ==-，故0
()10x
x x f x e x ≤?=?->?，，
． ------------------4
注：设(ln )f x '=
，且0)(lim =+∞
→x f x ，求()f x .
解：令x u ln =
，则2
11()ln(1)2t
f u d t t
=
-?211dt t =-?
1ln 2C =，因0)(lim =+∞→x f x
，故1()ln 2f x = 七、应用题
如图，在教室的墙壁上挂着一块黑板，它的上、下边缘分别在学生的水平视线上方a 米和b 米，若b a ,已知，问学生距离墙壁多远时看黑板的视角?最大？ 解：设x
b
BPH x a APH x PH =∠=
∠=tan ,tan , 12
2()()tan tan()1a b x a b x
APH BPH abx x ab
?----=∠-∠==++ 令0)())((tan 2
22=+--=ab x x ab b a dx d ?，得唯一驻点ab x =是?tan 的极大点
故ab x =
时，?tan 最大，注意到)2
,0(π
?∈，因此?也取到最大.
八、应用题
求由曲线1
y x
=
，直线4y x =和2x =所围成的平面图形D 的面积S ，以及D 绕x 轴旋转而得的旋转体体积x V ．
解：联立 11
,42
y y x x x ==?=± （或画图）
2121(4)S x dx x =-?()22
12
152ln 2ln 22x x =-=-
()22
2
12
1[4]x V x dx x π??
=- ????2
312
16181[]32x x ππ=+= ．
注：在抛物线2
(1)y x =-上的点(2,1)处作法线，求该抛物线及其法线与x 轴 所围的平面图形绕x 轴旋转所得立体的体积x V ． 解：22(1)2x y x y =''
=-?=，法线：
11(2)2
y x --=-，即：,21
2x y -=
2
2
4
4
121(1)(4)2x V x dx x dx ππ??
=-+- ???
??1315π=
． 九、计算题
设)(x f 在[0,)+∞上可导，(0)0f =，其反函数为)(x g ，
若
()
()f x x x g tx dt xe =?
，求)(x f ．
解：
()()0
1
()(),0,f x xt u
f x x x
g tx dt g u du xe x x
==≠=?
?
,2)(2x x e x xe x f x x +='求导，得上式两端对
,2)(,0x x xe e x f x +='≠则有对于 ,)1()(C e x x f x ++=∴
由0
lim ()1(0)0x f x C f +
→=+==， 得1,C =- ()(1)1x f x x e =+-于是
．
往届高等数学期终考题汇编 2009-01-12 一．解答下列各题(6*10分): 1．求极限)1ln(lim 1 x x e x ++ →. 2.设?? ? ??++++=22222ln a x x a a x x y ,求y d . 3.设?????-=-=3 232t t y t t x ，求22d d x y . 4.判定级数()()0!1 2≥-∑∞ =λλλn n n n n e 的敛散性. 5.求反常积分() ?-10 d 1arcsin x x x x . 6.求?x x x d arctan . 7.?-π 03d sin sin x x x . 8.将?????≤≤<=ππ πx x x x f 2,02,)(在[]ππ,-上展为以π2为周期的付里叶级数，并指出收敛于()x f 的区间. 9.求微分方程0d )4(d 2=-+y x x x y 的解. 10.求曲线1=xy 与直线0,2,1===y x x 所围平面图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积. 二.(8分)将()()54ln -=x x f 展开为2-x 的幂级数,并指出其收敛域. 三.(9分)在曲线()10sin 2≤≤=x x y 上取点() ()10,sin ,2≤≤a a a A ,过点A 作平行于ox 轴的直线L ,由直线L ,oy 轴及曲线()a x x y ≤≤=0sin 2所围成的图形记为1S ,由直线L ,直线1=x 及曲线 ()1sin 2≤≤=x a x y 所围成的图形面积记为2S ,问a 为何值时,21S S S +=取得最小值. 四.(9分)冷却定律指出,物体在空气中冷却的速度与物体和空气温度之差成正比,已知空气温度为30℃时,物体由100℃经15分钟冷却至70℃,问该物体冷却至40℃需要多少时间? 五.(8分)(学习《工科数学分析》的做（1），其余的做（2）) （1）证明级数∑∞ =-02n nx e x 在[),0+∞上一致收敛. （2）求幂级数()∑ ∞ =-----1 221 21212)1(n n n n x n 的收敛域及和函数. 六.(6分)设()[]b a C x f ,2∈,试证存在[]b a ,∈ξ,使()()()()?''-+ ??? ??+-=b a f a b b a f a b dx x f ξ324 1 2
学年第二学期期末考试试卷 课程名称：《高等数学》 试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟 适用层次： 适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不 得分则在小题 大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。 课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷） 一、单选题 （共15分，每小题3分） 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( ) A ．(,)f x y 在P 连续 B ．(,)f x y 在P 可微 C ． 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D ． 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）． ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面2 2 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则 (),,(=??? Ω dxdydz z y x f ）． 21 2 cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θθθθ? ? ? 21 2 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θθθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θπθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ?? ? 4． 4．若1 (1)n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）． A ． 条件收敛 B ． 绝对收敛 C ． 发散 D ． 敛散性不能确定 5．曲线2 2 2x y z z x y -+=?? =+?在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1） 二、填空题（共15分，每小题3分） 系(院)：——————专业：——————年级及班级：—————姓名：——————学号：————— ------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线--------------------------------
第 1 页 共 4 页 ……………………………………………装…… …… ……………………订…… …………………… 线………………… … … … … ……… … …… … ……… 此处不能书写 此处不能书写 此处不能书写 此处不能书写 此处不能书写 此 处不能书写 此处不能书写 高等数学A （1）综合测试3 一、选择填空题(18%) 1. d = _________d . 2. 2 1 1dx x +∞ ?=_____________. 3. 设 ()f x 是定义在[1,1]-上的连续奇函数, 则 12 1 (sin )x f x dx -? =________. 4. 设函数()21, 0,1 sin ,0 x x f x x x x ?+≥? =?
遵章守纪考试诚信承诺书 在我填写考生信息后及签字之后，表示我已阅读和理解《XX 学院学生考试违规处理办法》有关规定，承诺在考试中自觉遵守该考场纪律，如有违规行为愿意接受处分；我保证在本次考试中，本人所提供的个人信息是真实、准确的。 承诺人签字： 数理部《高等数学》(专科)课程期末考试卷 2016——2017学年第二学期 闭卷 考试时间： 100分钟 任课教师: （统一命题的课程可不填写） 年级、专业、班级 学号 姓名 一、填空题（每小题3分，共15分） 1.设 2 1 ,1()1 ,1x x f x x a x ?-≠? =-??=?，)(x f 在1=x 处连续，则=a 。 2.已知()3 f x '=，则0 ( 2)() lim x f x x f x x ?→-?-= ? 。 3. 2 11x +是 () f x 的一个原函数，则()f x d x = ? 。 4.已知曲线ln y x =，求曲线点(,1)e 的切线方程 。 5.函数 ()ln f x x x =+在[1,]e 上满足拉格朗日中值定理的点ξ = 。 二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1.函数2 11y x = -的定义域是（ ）。 A.(2,2)- B.[2,2]- C.[2,1)(1,2]--- D.[2,1) (1,1) (1,2] --- 2.设函数(,) z f x y =有一阶、二阶偏导数，则当（ ）时， 2 2 z z x y y x ??= ????。 A.函数(,) z f x y =连续 B.函数(,) z f x y =可微 C. ,z z x y ????连续 D.,x y y x z z ''''连续 3.若函数 () f x 在点0x 处满足 00()0,()0 f x f x '''=≠，则点0x 是曲线() y f x =的（ ）。 A.拐点 B.极大值点 C.极小值点 D.单调性不能确定 4.由曲线2 y x =，直线2,2,0 x x y =-==围成的屏幕图形的面积为（ ）。 A.22 x d x ? B.22 2 x d x -? C.40 y ? D.4 2y ? 5.以下方程中（ ）是一阶线性微分方程。 A.x y y e +'= B.x y y '= C.0 y x y y '''+ += D.ln y y x '- = 三、计算题（每小题6分，共54分） 1.1 1lim ( ) ln 1 x x x x →- - 2.22lim ( ) x x x x -→∞ -
一． 选择题：（每小题3分，共15分） 1. 若当0x →时，arctan x x -与n ax 是等价无穷小，则a = ( ) B A. 3 B. 13 C. 3- D. 1 3 - 2. 下列函数在[1,1]-上满足罗尔定理条件的是 ( )C A. ()f x x = B. 3 ()f x x = C. ()e e x x f x -=+ D. 1,10 ()0,01 x f x x -≤≤?=?<≤? 3. 如果()e ,x f x -=则(ln ) d f x x x '=? ( )B A. 1C x - + B. 1 C x + C. ln x C -+ D. ln x C + 4. 曲线y x = 渐近线的条数是( ) C A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 设函数()f x 与()g x 在[,]a a -上均具有二阶连续导数，且()f x 为奇函数，()g x 为 偶函数，则 [()()]d a a f x g x x -''''+=?( ) D A. ()()f a g a ''+ B. ()()f a g a ''- C. 2()f a ' D. 2()g a ' 二． 填空题：（每小题3分，共15分） 1. 要使函数22 32()4 x x f x x -+=-在点2x =连续，则应补充定义(2)f = . 14 2. 曲线2 e x y -=在区间 上是凸的. (,22 - 序号
3．设函数322(21)e ,x y x x x =+++则(7)(0)y =______________.77!2+ 4. 曲线2 3 1x t y t ?=+?=?在2t =点处的切线方程是 . 37.y x =- 5. 定积分1 1 (cos x x x -+=? . π2 三．解下列各题：（每小题10分，共40分） 1．求下列极限 （1）22011lim .ln(1)x x x →?? -??+? ?. 解：原式=2240ln(1) lim x x x x →-+ …………..2分 2302211lim .42 x x x x x →-+== ………….3分 （2）()2 2 2 20 e d lim e d x t x x t t t t -→?? . 解：原式= () 2 2 2 20 2 e d e lim e x t x x x t x --→?? ………….3分 2 2 00 0e d e =2lim 2lim 2.1 x t x x x t x --→→==? …………..2分 2. 求曲线0π tan d (0)4 x y t t x =≤≤?的弧长. 解： s x x == …………..5分 π π440 sec d ln sec tan |ln(1x x x x ==+=+? ………..5分 3. 设()f x 满足e ()d ln(1e ),x x f x x C =-++?求()d .f x x ?
大学2013～2014学年第一学期课程考试试卷（A 卷） 课 程 考试时间 ………………注：请将答案全部答在答题纸上，直接答在试卷上无效。……………… 一、填空题（每小题2分，共10分） (1) =-∞→x x x )11(lim e 1 ． (2) 设)tan(2x x y +=，则=dy dx x x x )(sec )21(22++ ． (3) 曲线36223+++=x x x y 的拐点是 )6,1(- . (4) =-? 10211dx x 2π . (5) =?∞ +121dx x 1 ． 二、选择题（每小题2分，共10分） (1) =∞→x x x 2sin lim (A) (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 21. (2) 设x x x f tan )(=，则0=x 是函数)(x f 的(A) (A) 可去间断点. (B) 跳跃间断点. (C) 第二类间断点. (D) 连续点. (3) 当0→x 时，下列变量中与x 是等价无穷小的是(B) (A) x 3sin . (B) 1-x e . (C) x cos . (D) x +1. (4) 函数)(x f 在0x 点可导是它在该点连续的(C) (A) 充分必要条件. (B) 必要条件. (C) 充分条件. (D) 以上都不对. (5) 设)(x f 在),(∞+-∞内有连续的导数，则下列等式正确的是(D) (A) ?=')()(x f dx x f . (B) C x f dx x f dx d +=?)()(. (C) )0()())((0f x f dt t f x -='?. (D) )())((0x f dt t f x ='?. 三、计算下列极限、导数（每小题6分，共18分） (1) 213lim 21-++--→x x x x x .解： )13)(2()13)(13(lim 213lim 2121x x x x x x x x x x x x x x ++--+++-+--=-++--→→ 6 2)13)(2(1lim 2)13)(2)(1(22lim 11-=++-+-=++-+--=→→x x x x x x x x x x
高等数学A(下册)期末考试试题 一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?= ．
2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=?? ． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? ． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积． 3、判定级数 1 1 (1)ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2, z z x x y ?????． 5、计算曲面积分 ,dS z ∑ ??其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 三、（本题满分9分） 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离 的最大值与最小值． （本题满分10分） 计算曲线积分 (sin )(cos )x x L e y m dx e y mx dy -+-? ， 其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周2 2 (0)x y ax a +=>． 四、（本题满分10分） 求幂级数1 3n n n x n ∞ =?∑的收敛域及和函数．
同济大学版高等数学期 末考试试卷 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211 f dx x x ??' ????的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ??+ ??? （D ）1f C x ?? -+ ???
微积分期末测试题及答 案 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-???? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2 ()()lim 1()x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) sin lim sin x x x x x →∞-=+. 31lim(1)x x x +→∞+=. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=? ,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求 dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==+ +,求lim n x x →∞.
天津理工大学考试试卷 2009～2010学年度第一学期 《高等数学 AI》期末考试试卷 课程代码： 1590116 试卷编号： 1-A 命题日期： 2009年 12月 1日答题时限： 120 分钟考试形式：闭卷、笔试 得分统计表： 大题号总分一 二三四五核查人签名 阅卷教师 一、单项选择题（从4个备选答案中选择最适合的一项，每小题2分，共20分）得分 1、设 在 的某邻域内有定义，且，则 在（） A、有极大值； B、有极小值； C、无极值； D、不能判定是否取得极值. 2、设，则在内，是( A、有界函数； B、单调函数； C、周期函数； D、偶函数.
3、由两条曲线和所围成的图形的面积为（） A、 B、 C、 D、 4、设函数在上连续可导，且，则当 时（） A. ； B. ； C. ； D. . 5、设，则在区间内适合 ( A、只有一个； B、不存在； C、有三个； D、有两个. 6、设空间曲面与yoz面相截，截线的方程为( A、； B、； C、； D、. 7、下列反常积分收敛的是（） A、； B、； C、； D、； 8. 若，则为( A、； B、； C、； D、.
9、若则（） A、； B、； C、； D、 . 10、直线与平面的关系是( A、平行，但直线不在平面上； B、直线在平面上； C、垂直相交； D、相交但不垂直. 二、填空题（每空3分，共30分） 得分 1、，且，则； 2、； 3、设连续，且=； 4、； 5、由定积分的几何意义知； 6、由曲线及直线所围成图形的面积是； 7、设，则；
8、设有点A（2 ，3，1），B（1，，2）和C（1，4，2），且，则 = ； 9、若在内连续，则; 10、函数的极小值是. 三、计算题（每小题7分，共28分） 1、已知函数由方程确定，求. 2、已知，求. 3、求由曲线及所围成的平面图形绕轴旋转所得的旋转体的体积. 4、求. 四、解下列各题（每小题8分，共16分） 得分 1、已知的一个原函数为，求. 2、求过点,且与直线垂直的平面方程. 五、证明题（本题6分）
高等数学期末试卷 一、填空题（每题2分，共30分） 1．函数1 1 42-+ -= x x y 的定义域是 . 解. ),2[]2,(∞+--∞ 。 2．若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f ． 解. 62 -x 3．________________sin lim =-∞→x x x x 答案：1 正确解法：101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim =-=-=-=-∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x 4.已知22 lim 2 22=--++→x x b ax x x ，则=a _____, =b _____。 由所给极限存在知, 024=++b a , 得42--=a b , 又由23 4 12lim 2lim 22 22=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2-==b a 5.已知∞=---→) 1)((lim 0x a x b e x x ，则=a _____, =b _____。 ∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x , 即01)1)((lim 0=-=---→b a b e x a x x x , 1,0≠=∴b a 6．函数????? ≥+<=0 1 01sin )(x x x x x x f 的间断点是x = 。 解：由)(x f 是分段函数，0=x 是)(x f 的分段点，考虑函数在0=x 处的连续性。 因为 1)0(1)1(lim 01 sin lim 00 ==+=+- →→f x x x x x 所以函数)(x f 在0=x 处是间断的， 又)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是连续的，故函数)(x f 的间断点是0=x 。 7. 设()()()n x x x x y -??--= 21, 则() =+1n y (1)!n + 8．2 )(x x f =，则__________)1)((=+'x f f 。
2008-2009学年第一学期期末试题 一、填空题（每题5分，共30分） 1．曲线1ln()y x e x =+的斜渐近线方程是________________________ 2．若函数)(x y y =由2cos()1x y e xy e +-=-确定，则在点(0,1)处的法线方程是________ 3．设()f x 连续，且21 40 ()x f t dt x -=? ，则(8)______f = 4．积分 20 sin n xdx π =? ___________________ 5．微分方程044=+'+''y y y 的通解为_____________ 6 ．曲边三角形y = 0,1y x ==绕x 轴旋转所得的旋转体体积为_________ 二．选择题（每题3分，共15分） 1．当0x +→ ） () A 1- () B () C 1 () D 1-2. 若1()(21)f x x x ??=-???? ，则()f x 在（ ）处不连续 ()A 3x = ()B 2x = ()C 12x = ()D 13 x = 3．若()sin cos f x x x x =+，则（ ） ()A (0)f 是极大值，()2f π是极小值， ()B (0)f 是极小值，()2f π 是极大值 ()C (0)f 是极大值，()2f π 也是极大值 ()D (0)f 是极小值，()2 f π 也是极小值 4．设线性无关的函数123,,y y y 都是二阶非齐次线性方程()()()y p x y q x y f x '''++=的解， 12,c c 是任意常数，则该方程的通解为（ ） ()A 11223c y c y y ++， ()B 1122123()c y c y c c y +-+， ()C 1122123(1)c y c y c c y +---， ()D 1122123(1)c y c y c c y ++--， 5．极限2 1 33lim ( )n n i i n n n →∞=-∑可表示为（ ） ()A 2 2 13x dx -? ()B 1 2 03(31)x dx -? ()C 2 2 1 (31)x dx --? () D 1 20 x dx ?
2011 学年第一学期 《高等数学（ 2-1 ）》期末模拟试卷 专业班级 姓名 学号 开课系室考试日期 高等数学 2010 年 1 月11 日 页号一二三四五六总分得分 阅卷人 注意事项 1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸； 2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁； 3．本试卷共五道大题，满分100 分；试卷本请勿撕开，否则作废.
本页满分 36 分 本 页 得 一．填空题（共 5 小题，每小题 4 分，共计 20 分） 分 1 lim( e x x) x 2 . 1． x 0 1 x 2005 e x e x dx x 1 2． 1 . x y t 2 dy 3．设函数 y y( x) 由方程 e dt x x 0 1 确定，则 dx x tf (t)dt f (x) 4. 设 f x 1 ，则 f x 可导，且 1 ， f (0) . 5．微分方程 y 4 y 4 y 的通解为 . 二．选择题（共 4 小题，每小题 4 分，共计 16 分） . f ( x) ln x x k 1．设常数 k e 0 ，则函数 在 ( 0, (A) 3 个; (B) 2 个 ; (C) 1 2． 微分方程 y 4y 3cos2 x 的特解形式为（ （ A ） y Acos2 x ; （ B ） y （ C ） y Ax cos2 x Bx sin 2x ; （ D ） y * 3．下列结论不一定成立的是（ ） . ) 内零点的个数为（ 个 ; (D) 0 个 . ） . Ax cos2x ; A sin 2x . ） . d b x dx （ A ）若 c, d a,b , 则必有 f x dx f ; c a b x dx 0 （B ）若 f (x) 0 在 a,b f 上可积 , 则 a ; a T T （ C ）若 f x 是周期为 T 的连续函数 , 则对任意常数 a 都有 a f x dx x t dt （D ）若可积函数 t f f x 为奇函数 , 则 0 也为奇函数 . 1 f 1 e x x 1 4. 设 2 3e x , 则 x 0 是 f ( x) 的（ ）. (A) 连续点 ; (B) 可去间断点 ; (C) 跳跃间断点 ; (D) 无穷间断点 . f x dx ; 三．计算题（共 5 小题，每小题 6 分，共计 30 分）
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）.
关于大学高等数学期末考 试试题与答案 Last revision on 21 December 2020
（一）填空题（每题2分，共16分） 1 、函数ln(5)y x =+-的定义域为 . 2、2()12x e f x x a ??=??+? 000x x x <=> ，若0lim ()x f x →存在，则a = . 3、已知 30lim(1)m x x x e →+=，那么m = . 4、函数21()1x f x x k ?-?=-??? 11x x ≠= ，在(),-∞+∞内连续，则k = . 5、曲线x y e =在0x =处的切线方程为 . 6、()F x dx '=? . 7、sec xdx =? . 8、20cos x d tdt dx ??=? ???? . （二）单项选择（每题2分，共12分。在每小题给出的选项中，选出正确答案） 1、下列各式中，不成立的是（ ）。 A 、lim 0x x e →+∞= B 、lim 0x x e →-∞= C 、21 lim 1x x e →∞= D 、1lim 1x x e →∞= 2、下列变化过程中，（ ）为无穷小量。 A 、()sin 0x x x → B 、()cos x x x →∞ C 、()0sin x x x → D 、()cos x x x →∞ 3、0lim ()x x f x →存在是)(x f 在0x 处连续的（ ）条件。 A 、充分 B 、必要 C 、充要 D 、无关 4、函数3y x =在区间[]0,1上满足拉格朗日中值定理的条件，则ξ=（ ）。 A 、 B 、
5、若曲线()y f x =在区间(),a b 内有()0f x '<，()0f x ''>，则曲线在此区间内 （ ）。 A 、单增上凹 B 、单增下凹 C 、单减上凹 D 、单减下凹 6、下列积分正确的是（ ）. A 、1 12111dx x x --=-? B 、 122π-==?? C 、22cos xdx ππ-=?0 D 、2220 sin 2sin 2xdx xdx πππ-==?? （三）计算题（每题7分，共 56分） 1、求下列极限 （1 ）2x → （2）lim (arctan )2x x x π →∞?- 2、求下列导数与微分 （1）x x y cos ln ln sin +=，求dy ； （2）2tan (1)x y x =+，求 dx dy ； （3）ln(12)y x =+，求(0)y '' 3、计算下列积分 （1 ）； （2 ）； （3）10arctan x xdx ?. （四）应用题（每题8分，共16分） 1. 求ln(1)y x x =-+的单调区间与极值. 2. 求由抛物线21y x +=与直线1y x =+所围成的图形的面积. 参考答案 一、填空题（每空2分，共16分） 1. ()3,5 2. 2 3. 3 4. 2 5. 10x y -+= 6. ()F x C + 7. sec tan x x C ++ln 8.2cos x
华北科技学院12级《电子商务专业》高等数学二期末考试试题 一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。 1、 .设函数25x y e =+，则'y = A.2x e B.22x e C. 225x e + D.25x e + 2、设y x =+-33，则y '等于（ ） A --34x B --32x C 34x - D -+-334x 3、设f x x ()cos =2，则f '()0等于（ ） A －2 B －1 C 0 D 2 4. 曲线y x =3的拐点坐标是（ ） A （－1，－1） B （0，0） C （1，1） D （2，8） 5、sin xdx ?等于（ ） A cos x B -cos x C cos x C + D -+cos x C 6、已知()3x f x x e =+，则'(0)f = A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7、下列函数在(,)-∞+∞内单调增加的是 A.y x = B.y x =- C. 2y x = D.sin y x = 8、1 20x dx =? A.1- B. 0 C. 13 D. 1 9、已知2x 是()f x 的一个原函数，则()f x = A.2 3 x C + B.2x C.2x D. 2 10. 已知事件A 的概率P （A ）＝0.6，则A 的对立事件A 的概率P A ()等于（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7
二、填空题：11～20小题，每小题4分，共40分。把答案填写在题中横线上。 11、lim()x x x →-+=13 2____________________。 12、lim()x x x →∞-=13____________________。 13、函数y x =+ln()12的驻点为x ＝____________________。 14、设函数y e x =2，则y "()0=____________________。 15、曲线y x e x =+在点（0，1）处的切线斜率k ＝____________________。 16、()12 +=?x dx ____________________。 17、2031lim 1 x x x x →+-=+ 。 18、设函数20,()02,x x a f x x ≤?+=?>? 点0x =处连续，则a = 。 19、函数2 x y e =的极值点为x = 。 20、曲线3y x x =-在点（1,0）处的切线方程为y = 。 三、解答题：21～24小题，共20分。解答应写出推理、演算步骤。 21、（本题满分5分） 计算lim x x x x →-+-122321
大一高等数学期末考试试卷 （一） 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 π π -?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 2 4 1(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 2 1lim sin x x x →= . 4. （3分） 3 2 23y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设1 y x = +求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +?
4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ? ≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt + =?? 所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞? ?+ ?? ? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x π π?? =- ≤≤ ?? ? 与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋 转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().2 2 b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''= ++ --? ? （二） 一、 填空题（每小题3分，共18分） 1．设函数()2 312 2 +--= x x x x f ，则1=x 是()x f 的第 类间断点. 2．函数()2 1ln x y +=，则= 'y . 3． =? ? ? ??+∞→x x x x 21lim . 4．曲线x y 1 = 在点?? ? ??2,21处的切线方程为 .
2015 -2016-1 高等数学A1 期末总练习 一．计算题 1．求极限0sin lim (1cos )ln(1) x x x x x →---。 2．已知函数22(tan )tan[()],y f x f x =+且()f x 可导，求y '。 3．讨论函数1arctan ,00,0 x x y x x ?≠?=??=?在0x =处的连续性与可导性。 4 ．已知22 ((4)x x y x e -+=+，求该函数图形在点()12，12的切线方程。 5．设方程y e xy e +=确定隐函数()y y x =，求()0y '和()0y ''。 6．求由参数方程33cos sin x a t y a t ?=?=?所确定的函数的一阶及二阶导数dy dx ，22d y dx 。 7、设( )ln(f x x =求函数()f x 当自变量x 由1改变到1.01的微分。 8 ．求极限0x →。 9．求函数sin (1) x y x x =-的间断点并判别其类型。 10．设(2)x y f =，其中()f u 有二阶导数，求y '及y ''。 11．设函数()y f x =由方程y x x y =所确定，求dy 。 12. 求由参数方程sin 1cos x t t y t =-??=-?所确定的函数的一阶及二阶导数dy dx ，22d y dx 。 13．设()y f x =由方程cos e 1y x y +=所确定，求曲线()y f x =在点(0,0)处的 切线方程. 14．求数列的极限)(lim n n n n -+∞ →2。
15．求函数的极限22011lim sin x x x →??- ?? ?。 16．已知函数()1 tan x y x =，求y d 。 17．设函数)(x f y =由方程e 1sin()y x y ++= 所确定，求2020d d x y y x ==。 18．求曲线21arctan ,ln() x t y t =??=+?在参数 t = 1时所对应的点处的切线方程和法线方程。 19．设函数)(x f 在0=x 处可导，且,)(,)(a f f ='=000 求220e 1()lim () x x f x x →-。 20．求出函数()2()ln 1f x x =+的凹凸区间及拐点。 21．计算 22020lim arc x t x te dt tanx →? 。 22．计算 ()21dx x x +?。 23. 计算 10?。 24．计算反常积分22d ln x x x +∞ ?。 25．求摆线sin ,(02)1cos ,x t t t y t π=-?≤≤?=-? 一拱的全长。 26．求解方程200(1)21 3 x x x y x y y y =='''?+=??'==??；。 27. 设曲线2y x ax b =++与321y xy =+在点(11),处相切，求常数,a b 的值。 28．计算2sin 00(1)lim sin x t x e dt x x →--?。 29．计算41x dx x -? 。 30 ．计算3 2 0?。 31．求微分方程2(2arccos )0xy x dx x dy -+=的通解。 32．求微分方程2335y y y x '''+-=-满足(0)0,(0)4y y '==的特解。 33．求极限102lim[sin (12)]x x x x x →++。 34．求arctan x xdx ?。