微积分试题及答案
一、填空题(每小题2分,共20分)
1. =∞→2
arctan lim
x x
x .
2. 设函数???
??=<<-=0 , 10 )21()(1
x k x ,x x f x 在0=x 处连续,则=k 。
3. 若x
x f 2e )(-=,则=')(ln x f 。
4. 设2sin x y =,则=)0()
7(y 。
5. 函数2
x y =在点0x 处的函数改变量与微分之差=-?y y d 。
6. 若)(x f 在[]b a ,上连续, 则=?x
a x x f x d )(d d ; =?
b x x x f x
2d )(d d . 7.
设函数)3)(2)(1()(---=x x x x f ,则方程0)(='x f 有 个实根。
8. 曲线x
x y -=e 的拐点是 。
9. 曲线)1ln(+=x y 的铅垂渐近线是 。 10. 若
C x x x f x ++=?
2d )(,则=)(x f 。
二、单项选择(每小题2分,共10分)
1. 设x x f ln )(=,2)(+=x x g 则)]([x g f 的定义域是( )
(A )()+∞-,2 (B )[)+∞-,2 (C )()2,-∞- (D )(]2,-∞- 2. 当0→x 时,下列变量中与x 相比为高阶无穷小的是( )
(A )x sin (B )2
x x + (C )3x (D )x cos 1-
3. 函数)(x f 在],[b a 上连续是)(x f 在],[b a 上取得最大值和最小值的( )
(A )必要条件 (B )充分条件 (C )充分必要条件 (D )无关条件
4. 设函数)(x f 在]0[a ,
上二次可微,且0)()(>'-''x f x f x ,则x
x f )
('在区间)0(a ,内是( )
(A )不增的 (B )不减的 (C )单调增加的 (D )单调减少的 5. 若
C x x x f +=?2d )(,则=-?x x xf d )1(2 。
(A )C x +-2
2)1(2 (B )C x +--2
2)1(2
(C )
C x +-22)1(2
1
(D )C x +--
22)1(2
1
三、计算题(每小题6分,共48分)
1. 求极限 2
2)sin (1
cos lim x x x x x +-+∞→.
2. 求极限 2
0)(arctan cos ln lim x x
x →.
3. 设)1ln()(+=x x f ,))((x f f y =,求x y d d .
4. 已知方程y
x x y =确定了函数)(x y y =,求x
y d d .
5. 求函数123
4+-=x x y 的对应曲线的凹凸区间及拐点.
6. 求不定积分?++)52(d x x x x
.
7. 求不定积分?+x x x x
d ln )1
(.
8. 求定积分?++102d 1arctan x x
x
x
四、(9分) 求曲线???>-≤≤=2
,620,2x x x x y 与直线0=y ,3=y 所围图形的面积,
并求此图形绕y 轴旋转所成旋转体的体积y V 。
五、(9
分) 某商品的需求函数为40003
=+p Q ,其中Q 为需求量(件),p 为
单价(元),求:(1)8=p 时的边际需求;(2) 8=p 时的需求弹性;(3)p 为多少时,总收益最大?
六、(4
分) 设函数)(x f 在]10[,
上有连续的导数。对于]10[,上每一点,均有1)(0< 《微积分(上)》试卷1解答 一、填空题 1. 0 2.210 e )21(lim -→=- =x x x k 3. x x f 2e 2)(--=',2 2)(ln --='x x f 4. 7 07)7(2 1)272sin(21)0(-=?+= =x x y π 5. 2 d x y y ?=-? 6. )(x f ,)2(2x f - 7. 2 8. 拐点)2,2(2-e 9. 1-=x 10. 12ln 2)(+=x x f 二、单项选择 A D B C D 三、计算题 1. 原式1) sin 1(1 cos 1lim 2 2=+-+ =∞→x x x x x . 2. 原式21 cos 2sin lim cos ln lim 02 0- =-==→→x x x x x x x . 3. []1)1ln(ln )]([++==x x f f y , 1 11)1ln(1d d +?++=x x x y . 4. 两边取对数,x y y x ln ln =, 两边关于x 求导,x y x y y y x y ln ln '+='+, ∴ x xy x y xy y y ln ln 22--=' 5. 2364x x y -=',)1(1212122 -=-=''x x x x y , 令0=''y ,得0 =x ,1=x , 6. 原式?++=5 2 d 2 x x x ? +++=4 )1()1(d 22x x C x ++=2 1 arctan . 7. 原式??+=)(d ln 2 1)(ln d ln 2 x x x x ??-+=x x x x x x d 121ln 21)(ln 21222 C x x x x +-+=222 4 1ln 21)(ln 21 8. 原式1 02102)(arctan 2 1)1ln(21x x ++=322ln 212π+= 四、325.1332 3 2918d )6(23 3 0-=?--=--=?y y y S ?--=3 2 d ])6[(y y y V y π.5.58d )1336(3 2ππ=+-=?y y y 五、 (1) 3 4000p Q -=,2 3p Q -=',192)8(-='Q (2) 3 340003p p Q Q p --='=η,44.010948 )8(-≈-=η (3) 44000)(p p pQ p R -==,3 44000)(p p R -=', 令0='R ,得10=p ,而0122 <-=''p R , ∴ 当10=p 时,总收益最大。 六、证:(1) 存在性: 设x x f x F -=)()(,则)(x F 在]10[,上连续, 1)(0< (2)唯一性。 若还有)1,0(∈η,使0)(=ηF ,由罗尔定理,)1,0(∈?γ, 使0)(='γF ,即1)(='γf ,与1)(≠'x f 矛盾,故)(x F 的零点唯一。 微积分试题及答案 第一章 函数极限与连续 一、填空题 1、已知 x x f cos 1)2(sin +=,则=)(cos x f 。 2、=-+→∞) 1()34(lim 22 x x x x 。 3、0→x 时,x x sin tan -是x 的 阶无穷小。 4、01 sin lim 0=→x x k x 成立的k 为 。 5、=-∞ →x e x x arctan lim 。 6、???≤+>+=0,0 ,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续,则=b 。 7、=+→x x x 6)13ln(lim 0 。 8、设)(x f 的定义域是]1,0[,则)(ln x f 的定义域是__________。 9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。 10、设a 是非零常数,则________)(lim =-+∞→x x a x a x 。 11、已知当0→x 时,1)1(3 12-+ax 与1cos -x 是等价无穷小,则常数 ________=a 。 12、函数 x x x f +=13arcsin )(的定义域是__________。 13 、lim ____________x →+∞ =。 14、设8)2( lim =-+∞→x x a x a x ,则=a ________。 15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞ →=____________。 二、选择题 1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数,)(x h 是],[l l -上的奇函数,则 中所给的函数必为奇函数。 (A))()(x g x f +;(B) )()(x h x f +;(C ))]()()[(x h x g x f +;(D ) )()()(x h x g x f 。 2、x x x +-=11)(α,3 1)(x x -=β,则当1→x 时有 。 (A)α是比β高阶的无穷小; (B)α是比β低阶的无穷小; (C )α与β是同阶无穷小; (D )βα~。 3、函数?????=-≥≠-+-+=0)1(0,1 111)(3x k x x x x x f 在0=x 处连续,则=k 。 (A)23; (B)3 2 ; (C )1; (D )0。 4、数列极限=--∞ →]ln )1[ln(lim n n n n 。 (A)1; (B)1-; (C )∞; (D )不存在但非∞。 5、??? ? ???>=<+=0 1cos 00 0sin )(x x x x x x x x x f ,则0=x 是)(x f 的 。 (A)连续点;(B)可去间断点;(C )跳跃间断点;(D )振荡间断点。 6、以下各项中)(x f 和)(x g 相同的是( ) (A)2 lg )(x x f =,x x g lg 2)(=; (B)x x f =)(,2)(x x g =; (C ) 334)(x x x f -=,31)(-=x x x g ;(D )1)(=x f ,x x x g 22tan sec )(-=。 7、 | |sin lim 0x x x →= ( ) (A) 1; (B) -1; (C ) 0; (D ) 不存在。 8、 =-→x x x 10 ) 1(lim ( ) (A) 1; (B) -1; (C) e ; (D) 1 -e 。 9、 )(x f 在0x 的某一去心邻域内有界是)(lim 0 x f x x →存在的( ) (A)充分必要条件;(B) 充分条件;(C )必要条件;(D )既不充分也不必要条件. 10、 =-+∞ →)1(lim 2 x x x x ( ) (A) 1; (B) 2; (C ) 2 1 ; (D ) 0。 11、设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列,且∞===∞ →∞ →∞ →n n n n n n c b a lim ,1lim ,0lim ,则必有 ( ) (A )n n b a <对任意n 成立; (B )n n c b <对任意n 成立; (C )极限n n n c a ∞ →lim 不存在 ; (D )极限n n n c b ∞ →lim 不存在。 12、当1→x 时,函数 1 1 21 1---x e x x 的极限( ) (A)等于2; (B)等于0; (C)为∞; (D)不存在但不为∞。 三、计算解答 1、计算下列极限 (1)1 2sin 2 lim -∞ →n n n x ; (2)x x x x cot csc lim 0-→ ; (3))1(lim 1 -→∞x x e x ; (4)x x x x 31212lim ?? ? ??-+∞→ ; (5)1cos cos 21 cos 2cos 8lim 223 -+--→ x x x x x π; (6)x x x x x x tan cos sin 1lim 0-+→; (7)???? ? ?+++?+?∞→)1(1321211lim n n n ; (8)32324arctan )21ln(lim x x x --+→。 3、试确定b a ,之值,使21 11lim 2=??? ? ??--+++∞→b ax x x x 。 4、利用极限存在准则求极限 (1)n n n n 1 3121111 131211lim ++++++++++ ∞→ 。 (2)设01>>a x ,且),2,1(1 ==+n ax x n n ,证明n n x →∞ lim 存在,并求此极限 值。 5、讨论函数x x x x n n n n n x f --∞→+-=lim )(的连续性,若有间断点,指出其类型。 6、设)(x f 在],[b a 上连续,且b x f a <<)(,证明在),(b a 内至少有一点ξ,使ξξ=)(f 。 第一单元 函数极限与连续习题解答 一、填空题 1、x 2 sin 2 。 2 sin 22)2sin 21(1)2(sin 22x x x f -=-+=, 222)(x x f -=∴ x x x f 22sin 2cos 22)(cos =-=∴。 2、0 。 016 249lim )1()34(lim 3222=+-++=-+∞→∞→x x x x x x x x x 。 3、高阶 。 0)cos 1(lim ) cos 1(tan lim sin tan lim 000=-=-=-→→→x x x x x x x x x x , x x sin tan -∴是x 的高阶无穷小。 4、0>k 。 x 1sin 为有界函数,所以要使01 sin lim 0=→x x k x ,只要0lim 0=→k x x ,即0>k 。 5、 0 。 0arctan lim =-∞ →x e x x ))2 ,2(arctan ,0lim (π π- ∈=-∞ →x e x x 。 6、2=b 。 b b x x f x x =+=-- →→)(lim )(lim 0 0 , 2)1(lim )(lim 0 =+=++→→x x x e x f , ,)0(b f = 2=∴b 。 7、 21 2 163lim 6)13ln(lim 00==+→→x x x x x x 。 8、 e x ≤≤1 根据题意 要求1ln 0≤≤x ,所以 e x ≤≤1。 9、21 -=-x e y )2ln()1(),2ln(1+=-∴++=x y x y ,12-=+y e x , 21-=∴-y e x ,)2ln(1++=∴x y 的反函数为 21-=-x e y 。 10、a e 2 原式=a a a x x a a x x e a x a 222)21(lim =-+ ?-?-∞→。 11、2 3-=a 由231 231~1)1(ax ax -+(利用教材P58(1)1a x ax +-)与 221~1cos x x --,以及132 2 131lim 1cos 1)1(lim 2 203 1 20=-=-=--+→→a x ax x ax x x , 可得 2 3 -=a 。 12、21 41≤≤- x 由反三角函数的定义域要求可得 ?????≠+≤+≤-0 11 131x x x 解不等式组可得 ?????-≠≤≤-12141x x ,?)(x f 的定义域为 2141≤≤-x 。 13、0 lim lim x x = 22lim 0x ==。 14、2ln 23lim()lim(1)x x x x x a a x a x a →∞→∞+=+--,令t= 3x a a -,所以x=3at a + 即:3211 lim()lim[(1)](1)x t a a x t x a x a t t →∞→∞+=++-=38a e = 2ln 3 2ln 8ln 318ln 33 ===?=a a 。 15、2 ) 2(2 )1(lim )2)(1(lim n n n n n n n n n n ++?++=-++++∞→+∞→ 212 1) 1 11(2lim =++++=+∞→n n n 。 二、选择题 1、选(D) 令)()()()(x h x g x f x F = ,由)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数,) (x h 是],[l l - 上的奇函数, )()()()()()()()(x F x h x g x f x h x g x f x F -=-=---=-∴。 2、选(C) ])1(11)[1(1lim )1)(1(1lim )()(lim 31311x x x x x x x x x x x ---+-=-+-=→→→βα 2 3 )1(3 1 )1(1lim 1=-?+-=→x x x x (利用教材P58(1)1a x ax +-) 3、选(A ) 233 1 21lim 1111lim )(lim 0300==-+-+=→→→x x x x x f x x x (利用教材P58(1)1a x ax +-) 4、选(B) 1lim [ln(1)ln ]lim ln(1)1n n n n n n n -→∞→∞--=--=- 5、选(C) 1)0(=-f , 0)0(=+ f , 0)0(=f 6、选(C) 在(A )中2 ln )(x x f = 的定义域为0≠x ,而x x g ln 2)(=的定义 域为0>x ,)()(x g x f ≠∴故不正确 在(B )x x f =)( 的值域为),(+∞-∞,2)(x x g =的值域为0>x ,故错 在(D )中1)(=x f 的定义域为R ,x x x g tan sec )(2 -=的定义域为 }2 ,{π π+≠∈k x R x ,)()(x g x f ≠∴,故错 7、选(D) 1sin lim ||sin lim 00==++ →→x x x x x x ,1sin lim ||sin lim 00-=-=--→→x x x x x x | |sin lim 0x x x →∴不存在 8、选(D) 1)1(1 10 )] (1[lim ) 1(lim --?-→→=-+=-e x x x x x x , 9、选(C) 由函数极限的局部有界性定理知,)(lim 0 x f x x →存在,则必有0x 的某一 去心邻域使 )(x f 有界,而)(x f 在0x 的某一去心邻域有界不一定有)(lim 0 x f x x →存 在,例如x x 1sin lim 0 →,函数11 sin 1≤≤-x 有界,但在0=x 点极限不存在 10、选(C) ( lim ()lim x x x x x x →∞ →∞ == 2 11111lim 2= ++ =∞ →x x 11、选(D ) (A )、(B)显然不对,因为有数列极限的不等式性质只能得出数列 “当n 充分大时”的情况,不可能得出“对任意n 成立”的性质。 (C)也明显不对,因为“无穷小·无穷大”是未定型,极限可能存在也可能不存在。 12、选(D ) 002)1(lim 11lim 11 1 1 121=?=+=---→-→-- x x x x e x e x x ∞=+=---→-→++11 1 1121)1(lim 11lim x x x x e x e x x 当1→x 时函数没有极限,也不是∞。 三、计算解答 1、计算下列极限: (1)解:x x x n n n n n n 222lim 2sin 2 lim 11 =? =-∞ →-∞ →。 (2)解:2 200001cos csc cot 1cos 1sin sin 2lim lim lim lim sin 2 x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→- --====。 (3)解:11 lim )1(lim 1 =?=-∞→∞→x x e x x x x 。 (4)解:3 21 2133])2 111[(lim )1221(lim )1212( lim +-∞→∞→∞→- +=-+=-+x x x x x x x x x x 。 1 1 3332211[lim(1)][lim(1)]1122 x x x e x x -→∞→∞ =+?+=-- (5)解:)1)(cos 1cos 2() 1cos 4)(1cos 2(lim 1cos cos 21cos 2cos 8lim 3 223 +-+-=-+--→ →x x x x x x x x x x ππ 212 11 21 41cos 1cos 4lim 3 =++?=++=→ x x x π。 (6)解:)cos sin 1(tan cos sin 1lim tan cos sin 1lim 00x x x x x x x x x x x x x x x ++-+=-+→→ 2020202cos 1lim 2sin lim 2cos 1sin lim x x x x x x x x x x x x -+=-+=→→→434121=+=。 lim(12x →+= (7)解:]) 1(1321211[ lim +++?+?∞→n n x )]1 1 1()3121()211[(lim +-++-+-=∞→n n x 1)1 1 1(lim =+- =∞ →n x 。 (8)解:331 2323 2323241 )21(lim 42lim 4arctan ) 21ln(lim = +=--=--+→→→x x x x x x x x 。 3、解:1)(1lim )11(lim 222+-+--+=--+++∞→+∞→x b x b a ax x b ax x x x x 211)1()()1(lim 2=+-++--=+∞→x b x b a x a x ?????=+-=-∴21)(01b a a ??? ???-==231b a 4、(1) 1111211111312111++<+++++++++< n n n n 而 1111lim =+++∞→n x 11 3121111131211lim =++++++ ++++∴+∞→n n n x 。 (2)先证有界(数学归纳法) 1=n 时,a a a ax x =?>=12 设k n =时,a x k >, 则 a a ax x k k =>=+21 数列}{n x 有下界, 再证}{n x 单调减, 11<==+n n n n n x a x ax x x 且 0>n x n n x x <∴+1即}{n x 单调减,n n x ∞ →∴lim 存在,设A x n n =∞ →lim , 则有 aA A = ?0=A (舍)或a A =,a x n n =∴∞ →lim 5、解:先求极限 得 0 001 01 11lim )(22<=>? ?? ??-=+-=∞→x x x n n x f x x n 而 1)(lim 0 =+ →x f x 1)(lim 0 -=-→x f x 0)0(=f )(x f ∴的连续区间为),0()0,(+∞-∞ 0=x 为跳跃间断点.。 6、解:令x x f x F -= )()(, 则 )(x F 在 ],[b a 上连续 而0)()(>-=a a f a F 0)()(<-=b b f b F 由零点定理,),(b a ∈?ξ使0)(=ξF 即 0)(=-ξξf ,亦即 ξξ=)(f 。 微积分试题及答案 一、填空题(每小题2分,共20分) 1. =∞→2 arctan lim x x x . 2. 设函数??? ??=<<-=0 , 10 )21()(1 x k x ,x x f x 在0=x 处连续,则=k 。 3. 若x x f 2e )(-=,则=')(ln x f 。 4. 设2sin x y =,则=)0() 7(y 。 5. 函数2 x y =在点0x 处的函数改变量与微分之差=-?y y d 。 6. 若)(x f 在[]b a ,上连续, 则=?x a x x f x d )(d d ; =? b x x x f x 2d )(d d . 7. 设函数)3)(2)(1()(---=x x x x f ,则方程0)(='x f 有 个实根。 8. 曲线x x y -=e 的拐点是 。 9. 曲线)1ln(+=x y 的铅垂渐近线是 。 10. 若 C x x x f x ++=? 2d )(,则=)(x f 。 二、单项选择(每小题2分,共10分) 1. 设x x f ln )(=,2)(+=x x g 则)]([x g f 的定义域是( ) (A )()+∞-,2 (B )[)+∞-,2 (C )()2,-∞- (D )(]2,-∞- 2. 当0→x 时,下列变量中与x 相比为高阶无穷小的是( ) (A )x sin (B )2 x x + (C )3x (D )x cos 1- 3. 函数)(x f 在],[b a 上连续是)(x f 在],[b a 上取得最大值和最小值的( ) (A )必要条件 (B )充分条件 (C )充分必要条件 (D )无关条件 4. 设函数)(x f 在]0[a , 上二次可微,且0)()(>'-''x f x f x ,则x x f ) ('在区间)0(a ,内是( ) (A )不增的 (B )不减的 (C )单调增加的 (D )单调减少的 5. 若 C x x x f +=?2d )(,则=-?x x xf d )1(2 。 (A )C x +-2 2)1(2 (B )C x +--2 2)1(2 大一高等数学期末考试试卷 一、选择题(共12分) 1. (3分)若2,0, (),0x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. (3分)已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为( ). (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. (3分)定积分22 π π-?的值为( ). (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. (3分)若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题(共12分) 1.(3分) 平面上过点(0,1),且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. (3分) 1 241 (sin )x x x dx -+=? . 3. (3分) 20 1 lim sin x x x →= . 4. (3分) 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题(共42分) 1. (6分)求2 ln(15) lim .sin 3x x x x →+ 2. (6分)设2 ,1 y x =+求.y ' 3. (6分)求不定积分2ln(1).x x dx +? 4. (6分)求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤? =+??+>? 5. (6分)设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. (6分)设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. (6分)求极限3lim 1.2n n n →∞ ? ?+ ??? 四、解答题(共28分) 1. (7分)设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. (7分)求由曲线cos 22y x x π π??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴 旋转一周所得旋转体的体积. 3. (7分)求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. (7 分)求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--? ? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2 ;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式205lim 3x x x x →?= 5分 5 3 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分微积分试题及答案(5)
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