高考数学高三模拟试卷试题压轴押题一对一个性化教案高考压轴题——函数篇1
学生签字：教学主任审批：
华实教育一对一个性化学案
教师：肖传略学生：日期: 年月日时间：第次课
§教学内容：高考压轴题——函数篇
◆教学目标：
掌握解决高考数学压轴题函数题型的一些相关解题方法
◆重难点：
掌握解决高考数学压轴题函数题型的一些相关解题方法
◆教学步骤及内容：
一、导数单调性、极值、最值的直接应用
1、已知函数
2
21()2,()3ln .2
f x x ax
g x a x b =
+=+ ⑴设两曲线()()y f x y g x ==与有公共点，且在公共点处的切线相同，若0a >，试建立b 关于a 的函数关
系式，并求b 的最大值； ⑵若[0,2],()()()(2)b h x f x g x a b x ∈=+--在(0,4)上为单调函数，求a 的取值范围。
2、已知函数()ln ,().x f x x g x e == ⑴若函数φ (x) = f(x)－
1
1
x x ，求函数φ (x)的单调区间； ⑵设直线l 为函数f(x)的图象上一点A(x0，f(x0))处的切线，证明：在区间(1,+∞)上存在唯一的x0，使得直线l 与曲线y=g(x)相切．
3、设函数
1
()ln ().
f x x a x a R x =--∈
⑴讨论函数()f x 的单调性；
⑵若()f x 有两个极值点12,x x ，记过点11(,()),A x f x 22(,())B x f x 的直线斜率为k ,问：是否存在a ，使得
2k a =-？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.
4、已知函数21
()ln (1)(0)2
f x x ax a x a R a =-+-∈≠，.
⑴求函数()f x 的单调增区间；
⑵记函数()F x 的图象为曲线C ，设点1122(,)(,)A x y B x y 、是曲线C 上两个不同点，如果曲线C 上存在点
00(,)M x y ，使得：①1202
x x
x +=；②曲线C 在点M 处的切线平行于直线AB ，则称函数()F x 存在“中值
相依切线”.试问：函数()f x 是否存在中值相依切线，请说明理由.
5、已知0a >，函数()2ln f x x ax =-，0x >．(()f x 的图象连续)
⑴求
()f x 的单调区间；
⑵若存在属于区间[]1,3的,αβ，且1βα-≥，使()
()f f αβ=，证明：ln 3ln 2ln 2
53a -≤≤．
二、交点与根的分布 6、已知3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点．
⑴求a ； ⑵求函数
()f x 的单调区间；
⑶若直线y b =与函数
()y f x =的图像有3个交点，求b 的取值范围．
7、已知函数()32f x x ax bx c =-+++在(),0-∞上是减函数，在()0,1上是增函数，函数()f x 在R 上有
三个零点． （1）求b 的值；
（2）若1是其中一个零点，求
()2f 的取值范围；
（3）若
()()'2
13ln a g x f x x x ==++，，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g(x)相切？请说明理由.
8、已知函数
2()8,()6ln .f x x x g x x m =-+=+
⑴求()f x 在区间[],1t t +上的最大值();h t
⑵是否存在实数,m 使得()y f x =的图像与()y g x =的图像有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取
值范围；若不存在，说明理由。
9、已知函数
.2
3)32ln()(2x x x f -
+= ⑴求f(x)在[0,1]上的极值；
⑵若对任意0]3)(ln[|ln |],3
1
,61[
>+'+-∈x x f x a x 不等式成立，求实数a 的取值范围； ⑶若关于x 的方程b x x f +-=2)(在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b 的取值范围.
参考答案
2、解：（Ⅰ）()1()1x x f x x ?+=--11ln -+-=x x x ，()()()
2
2
211121-?+=-+='x x x x x x ?． ∵0x >且1x ≠，∴()0x ?'>∴函数()x ?的单调递增区间为()()∞+，
和11,0． （Ⅱ）∵1()f x x
'=
，∴001()f x x '=，
∴切线l 的方程为0001ln ()y x x x x -=
-, 即00
1
ln 1y x x x =+-, ① 设直线l 与曲线()y g x =相切于点11(,)x x e ，
∵()x g x e '=，∴101x e x =
，∴10ln x x =-,∴0ln 10
1
()x g x e x -==
. ∴直线l 也为()00011ln y x x x x -=+， 即0000
ln 1
1x y x x x x =++， ②
由①②得 000
ln 1ln 1x x x x -=+，∴0001
ln 1x x x +=-．
下证：在区间（.
由（Ⅰ）可知，()x ?1
1
ln -+-
=x x x 在区间1,+∞（）上递增． 又12()ln 011
e e e e e ?+-=-
=<--
，2222
2
213()ln 01e e e e e ?+-=-=>， 结合零点存在性定理，说明方程()0x ?=0x ，故结
论成立．
3、解：⑴()f x 的定义域为(0,).+∞222
11
'()1a x ax f x x x x
-+=+-= 令2()1,g x x ax =-+其判别式2 4.a =-
①当||2,0,'()0,a f x ≤≤≥时
故()(0,)f
x +∞在上单调递增．
②当2a <-时,>0,g(x)=0的两根都小于0，在(0,)+∞上，'()0f x >，故()(0,)f x +∞在上单调递
增．
③当2a >时,>0,g(x)=0的两根为12
x x ==，
当10x x <<时，'()0f x >；当12x x x <<时，'()0f x <；当2x x >时，'()0f x >，故()f x 分别
在12(0,),(,)x x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减．
⑵由⑴知，若()f x 有两个极值点12,x x ，则只能是情况③，故2a >．
因为
12
12121212
()()()(ln ln )x x f x f x x x a x x x x --=-+
--， 所以
1212121212
()()ln ln 11f x f x x
x k a x x x x x x --==+--- 又由⑴12
12
ln ln 2x x k a x x -=-- 若存在a ，使得2.k a =-
则
12
2
ln ln 1x x x x -=-．即1212ln ln x x x x -=-． 再由⑴知，函数()2ln h t t t t
=--在(0,)+∞上单调递增，而21x >，所以
22211
2ln 12ln10.1
x x x -->--=这与(*)式矛盾．故不存在a ，使得2.k a =-
4、解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是(0,)+∞.
由已知得，1
(1)()
1'()1a x x a f x ax a x x
-+=-+-=-. ⅰ当0a >时, 令'()0f x >,解得01x <<;∴函数()f x 在(0,1)上单调递增
ⅱ当0a <时，
①当11a -
<时，即1a <-时, 令'()0f x >,解得1
0x a
<<-或1x >; ∴函数()f x 在1
(0,)a
-和(1,)+∞上单调递增
②当1
1a -=时，即1a =-时, 显然，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；
③当11a ->时，即10a -<<时, 令'()0f x >,解得01x <<或1x a
>-
∴函数()f x 在(0,1)和1
(,)a
-+∞上单调递增.
综上所述:
⑴当0a >时,函数()f x 在(0,1)上单调递增
⑵当1a <-时,函数()f x 在1
(0,)a
-
和(1,)+∞上单调递增 ⑶当1a =-时,函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；
⑷当10a -<<时,函数()f x 在(0,1)和1
(,)a
-+∞上单调递增.
(Ⅱ)假设函数()f x 存在“中值相依切线”.
设11(,)A x y ,22(,)B x y 是曲线()y f x =上的不同两点，且120x x <<，
则211111ln (1)2y x ax a x =-+-，222221
ln (1)2
y x ax a x =-+-.
2121AB y y k x x -=-22212121211
(ln ln )()(1)()
2x x a x x a x x x x ---+--=- 211221ln ln 1()(1)2
x x a x x a x x -=-++--.
曲线在点00(,)M x y 处的切线斜率0()k f x '=12
()2
x x f +'=12122(1)2x x a a x x +=
-?+-+， 依题意得：211221ln ln 1()(1)2x x a x x a x x --++--12122
(1)2
x x a a x x +=-?+-+.
化简可得 2121ln ln x x x x --122x x =+， 即21ln x x =2121
2()x x x x -+21
21
2(1)
1x x x x -=+. 设21x t x = (1t >)，上式化为：2(1)4ln 211
t t t t -==-++,
4ln 21t t +=+,令4()ln 1g t t t =++,214'()(1)g t t t =-+=2
2
(1)(1)
t t t -+. 因为1t >,显然'()0g t >，所以()g t 在(1,)+∞上递增,显然有()2g t >恒成立.
所以在(1,)+∞内不存在t ,使得4
ln 21
t t +=+成立.
综上所述，假设不成立.所以，函数()f x 不存在“中值相依切线”
5、解：⑴()21122ax f x ax x x -'=-=，0x >．令()0f x '=，则x =． 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：
所以()f x 的单调增区间是? ?，单调减区间是?+∞???．
⑵由()()f f αβ=及()f x 的单调性知αβ<<．从而()f x 在区间[],αβ上的最小值为()f α．
又由1βα-≥，[],1,3αβ∈，则123αβ≤≤≤≤．
所以()()()()
()()21,23,f f f f f f αβ≥≥???≥≥??即ln 24,
ln 24ln 39.a a a a -≥-??
-≥-? 所以ln 3ln 2ln 2
53
a -≤≤．
6、解：⑴
2()ln(1)10f x a x x x =++-，'()2101a
f x x x
=
+-+ 3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点．
'(3)404
a
f =
-=，16a = ⑵由⑴2
()16ln(1)10f x x x x =++-，(1,)x ∈-+∞2162862(1)(3)
'()210111
x x x x f x x x x x -+--=+-==
+++
令'()0f x =，得1x =，3x =
()f x x
()f x 的增区间是(1,1)-，(3,)+∞；减区间是(1,3)．
⑶由②知，
()f x 在(1,1)-上单调递增，在(3,)+∞上单调递增，在(1,3)上单调递减．
∴()(1)16ln 29f x f ==-极大，()(3)32ln 221f x f ==-极小．
又1x +→-时，()f x →-∞；x →+∞时，()f x →+∞；
可据此画出函数()y f x =的草图（图略），由图可知，
当直线
y b =与函数()y f x =的图像有3个交点时，b 的取值范围为(32ln 221,16ln 29)--．
7、
⑶()g x =2x+lnx ，设过点（2，5）与曲线g (x)的切线的切点坐标为00(,)x y
∴/
0005()(2)y g x x -=-，即0000
1
2ln 5(2)(2)x x x x +-=+
- ∴002ln 20x x +
-=，令h(x)=2
ln 2x x
+-，∴/h (x)=212x x -=0，∴2x = ∴h(x)在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增
又1(
)2ln 202h =->，h(2)=ln21<0，222
()0h e e
=> ∴h(x)与x 轴有两个交点，∴过点（2，5）可作2条曲线y=g(x)的切线.
9、解：⑴
2
3)
13)(1(33323)(+-+-=-+=
'x x x x x x f ，
令13
1
0)(-==='x x x f 或得（舍去）
)(,0)(,310x f x f x >'<≤∴时当单调递增；当)(,0)(,131
x f x f x <'≤<时递减.
]1,0[)(6
1
3ln )31(在为函数x f f -=∴上的极大值.
⑵由0]3)(ln[|ln |>+'+-x x f x a 得
x x a x x a 323
ln
ln 323ln ln ++<+->或
设3
32ln
323ln ln )(2
x x x x x h +=+-=，x x x x x g 323ln 323ln ln )(+=++=， 依题意知]3
1
,61[)()(∈<>x x g a x h a 在或上恒成立，
0)32(2
)32(33)32(3332)(2
>+=+?-+?+='x x x x x x x x g ， 03262)62(31323)(2
2>++=+?+='x
x x
x x x x h ， ]31
,61[)()(都在与x h x g ∴上单增，要使不等式①成立，
当且仅当.5
1
ln 31ln ),61()31(<><>a a g a h a 或即或
⑶由.022
3)32ln(2)(2
=-+-+?+-=b x x x b x x f
令x
x x x x b x x x x 329723323)(,223)32ln()(2
2+-=
+-+='-+-+=??则， 当]3
7
,0[)(,0)(,]37,0[在于是时x x x ??>'∈上递增；
]1,37[)(,0)(,]1,37[在于是时x x x ??<'∈上递减，
而)1()3
7(),0()37(????>>，
]1,0[0)(2)(在即=+-=∴x b x x f ?恰有两个不同实根等价于
??
????
??
?
≤-+=>-+-+=≤-=0215ln )1(067267)72ln()3
7(02ln )0(b b b ??? .
37
267)72ln(215ln +-+<≤+∴b
高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（附详细答案）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）
1.（5分）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为.
2.（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B=.
3.（5分）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是.
4.（5分）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是.
5.（5分）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为
的交点，则φ的值是.
6.（5分）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有株树木的底部周长小于100cm.
7.（5分）在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是.
8.（5分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面
积相等，且=，则的值是.
9.（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为.
10.（5分）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是.
11.（5分）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是.
12.（5分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，?=2，则
?的值是.
13.（5分）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是.
14.（5分）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是.
二、解答题（本大题共6小题，共计90分）
15.（14分）已知α∈（，π），sinα=.
（1）求sin（+α）的值；
（2）求cos（﹣2α）的值.
16.（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5.求证：
（1）直线PA∥平面DEF；
（2）平面BDE⊥平面ABC.
17.（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.
（1）若点C的坐标为（，），且BF2=，求椭圆的方程；
（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值.
18.（16分）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O 正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=.
（1）求新桥BC的长；
（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？
19.（16分）已知函数f（x）=ex+e﹣x，其中e是自然对数的底数.
（1）证明：f（x）是R上的偶函数；
（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，试比较ea﹣1与ae﹣1的大小，并证明你的结论.
20.（16分）设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称{an}是“H数列”.
（1）若数列{an}的前n项和为Sn=2n（n∈N*），证明：{an}是“H数列”；
（2）设{an}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{an}是“H数列”，求d的值；
（3）证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn （n∈N*）成立.
三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修41：几何证明选讲】
21.（10分）如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点，证明：∠OCB=∠D.
【选修42：矩阵与变换】
22.（10分）已知矩阵A=，B=，向量=，x，y为实数，若A=B，求x+y的值.
【选修43：极坐标及参数方程】
23.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程（t为参数），直线l与抛物线y2=4x相交于AB两点，则线段AB的长为.
【选修44：不等式选讲】
24.已知x＞0，y＞0，证明（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy.
(二）必做题（本部分包括25、26两题，每题10分，共计20分）
25.（10分）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同.
（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；
（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）.
26.（10分）已知函数f0（x）=（x＞0），设fn（x）为fn﹣1（x）的导数，n∈N*. （1）求2f1（）+f2（）的值；
（2）证明：对任意n∈N*，等式|nfn﹣1（）+fn（）|=都成立.
高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（附详细答案）
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）
1.（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B={﹣1，3}.
【分析】根据集合的基本运算即可得到结论.
【解答】解：∵A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，
∴A∩B={﹣1，3}，
故答案为：{﹣1，3}
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础.
2.（5分）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为 21 .
【分析】根据复数的有关概念，即可得到结论.
【解答】解：z=（5+2i）2=25+20i+4i2=25﹣4+20i=21+20i，
故z的实部为21，
故答案为：21
【点评】本题主要考查复数的有关概念，利用复数的基本运算是解决本题的关键，比较基础.
3.（5分）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是 5 .
【分析】算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，代入正整数n验证可得答案.
【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，
∵24=16＜20，25=32＞20，
∴输出n=5.
故答案为：5.
【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键.
4.（5分）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是.
【分析】首先列举并求出“从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数”的基本事件的个数再从中找到满足“所取2个数的乘积为6”的事件的个数，利用概率公式计算即可.
【解答】解：从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数的所有基本事件有（1，2），（1，3），（1，6），（2，3），（2，6），（3，6）共6个，
所取2个数的乘积为6的基本事件有（1，6），（2，3）共2个，
故所求概率P=.
故答案为：.
【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式的应用，关键是一一列举出所有的基本事件.
5.（5分）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为
的交点，则φ的值是.
【分析】由于函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，可得
=.根据φ的范围和正弦函数的单调性即可得出.
【解答】解：∵函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，∴=.
∵0≤φ＜π，∴，
∴+φ=，
解得φ=.
故答案为：.
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、三角函数求值，属于基础题.
6.（5分）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 24 株树木的底部周长小于100cm.
【分析】根据频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距底部求出周长小于100cm的频率，再根据频数=样本容量×频率求出底部周长小于100cm的频数.
【解答】解：由频率分布直方图知：底部周长小于100cm的频率为（0.015+0.025）×10=0.4，
∴底部周长小于100cm的频数为60×0.4=24（株）.
故答案为：24.
【点评】本题考查了频率分布直方图，在频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距=.
7.（5分）在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是 4 . 【分析】利用等比数列的通项公式即可得出.
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q＞0，a1＞0.
∵a8=a6+2a4，
∴，
化为q4﹣q2﹣2=0，解得q2=2.
∴a6===1×22=4.
故答案为：4.
【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题.
8.（5分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是.
【分析】设出两个圆柱的底面半径与高，通过侧面积相等，推出高的比，然后求解体积的比.
【解答】解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r；高分别为H，h；
∵=，
∴，它们的侧面积相等，
∴，
∴===.
故答案为：.
【点评】本题考查柱体体积公式以及侧面积公式的直接应用，是基础题目.
9.（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为.
【分析】求出已知圆的圆心为C（2，﹣1），半径r=2.利用点到直线的距离公式，算出点C 到直线直线l的距离d，由垂径定理加以计算，可得直线x+2y﹣3=0被圆截得的弦长.
【解答】解：圆（x﹣2）2+（y+1）2=4的圆心为C（2，﹣1），半径r=2，
∵点C到直线直线x+2y﹣3=0的距离d==，
∴根据垂径定理，得直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为2=2=
故答案为：.
【点评】本题给出直线与圆的方程，求直线被圆截得的弦长，着重考查点到直线的距离公式、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题.