用样本估计总体一、基础知识
1．频率分布直方图
(1)纵轴表示频率
组距
，即小长方形的高＝
频率
组距
；
(2)小长方形的面积＝组距×频率
组距
＝频率；
(3)各个小方形的面积总和等于1 . 2．频率分布表的画法
第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝极差组数
；
第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；
第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表．
3．茎叶图
茎叶图是统计中用来表示数据的一种图，
茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁
边生长出来的数．
4．中位数、众数、平均数的定义
(1)中位数
将一组数据按大小依次排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．
(2)众数
一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．
(3)平均数
一组数据的算术平均数即为这组数据的平均数，n个数据x1，x2，…，x n的
平均数x＝1
n(x1＋x2＋…＋x n)．
5．样本的数字特征
如果有n个数据x1，x2，…，x n，那么这n个数的
(1)平均数x＝1
n(x1＋x2＋…＋x n)．
(2)标准差s＝1
n[(x1－x)
2＋(x
2
－x)2＋…＋(x n－x)2].
(3)方差s2＝1
n[(x1－x)
2＋(x
2
－x)2＋…＋(x n－x)2]．
二、常用结论
1．频率分布直方图中的常见结论
(1)众数的估计值为最高矩形的中点对应的横坐标．
(2)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
(3)中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的．
2．平均数、方差的公式推广
(1)若数据x1，x2，…，x n的平均数为x，则mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mx n＋a的平均数是m x＋a.
(2)若数据x1，x2，…，x n的方差为s2，则数据ax1＋b，ax2＋b，…，ax n＋b 的方差为a2s2.
考点一茎叶图
[典例](优质试题·山东高考)如图所示的茎叶图记录了甲、
乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据
的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为()
A．3,5B．5,5
C．3,7 D．5,7
[解析]由两组数据的中位数相等可得65＝60＋y，解得y＝5，又它们的平
均值相等，
所以15×[56＋62＋65＋74＋(70＋x )]＝15×(59＋61＋67＋65＋78)，解得x ＝3.
[答案] A
[解题技法] 茎叶图的应用
(1)茎叶图通常用来记录两位数的数据，可以用来分析单组数据，也可以用来比较两组数据．通过茎叶图可以确定数据的中位数，数据大致集中在哪个茎，数据是否关于该茎对称，数据分布是否均匀等．
(2)给定两组数据的茎叶图，比较数字特征时，“重心”下移者平均数较大，数据集中者方差较小．
[专题训练]
1.在如图所示一组数据的茎叶图中，有一个数字被污染后模
糊不清，但曾计算得该组数据的极差与中位数之和为61，则被污
染的数字为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：选B 由图可知该组数据的极差为48－20＝28，则该组数据的中位
数为61－28＝33，易得被污染的数字为2.
2.甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的原始记录如茎叶图
所示，若甲、乙两人的平均得分分别为x 甲，x 乙，则下列结论
正确的是( )
A.x 甲＜x 乙；乙比甲得分稳定
B.x 甲＞x 乙；甲比乙得分稳定
C.x 甲＞x 乙；乙比甲得分稳定
D.x 甲＜x 乙；甲比乙得分稳定
解析：选A因为x甲＝2＋7＋8＋16＋22
5＝11，x乙＝
8＋12＋18＋21＋25
5＝
16.8，所以x甲＜x乙且乙比甲成绩稳定．
考点二频率分布直方图
[典例]某城市100户居民的月平均用电量(单位：千瓦时)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图．
(1)求直方图中x的值；
(2)求月平均用电量的众数和中位数．
[解](1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x＋0.005＋0.002 5)×20＝1，解得x＝0.007 5.
即直方图中x的值为0.007 5.
(2)月平均用电量的众数是220＋240
2＝230.
∵(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45＜0.5，
(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5)×20＝0.7＞0.5，
∴月平均用电量的中位数在[220,240)内．
设中位数为a，则0.45＋0.012 5×(a－220)＝0.5，解得a＝224，即中位数为224.
[变透练清]
1．某校随机抽取20个班，调查各班有出国意向的人数，所得数据的茎叶图
如图所示．以5为组距将数据分组为[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]，所作的频率分布直方图是()
解析：选A以5为组距将数据分组为[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]，各组的频数依次为1,1,4,2,4,3,3,2，可知画出的频率分布直方图为选项A中的图．
2.(变结论)在本例条件下，在月平均电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取________户．
解析：月平均用电量在[220,240)的用户有0.012 5×20×100＝25(户)．同理可得月平均用电量在[240,260)的用户有15户，月平均用电量在[260,280]的用户有
10户，月平均用电量在[280,300]的用户有5户，故抽取比例为
11
25＋15＋10＋5
＝
1 5.
所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×1
5＝5(户)．
答案：5
3．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单
位：吨)，将数据按照[0，0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求直方图中a的值；
(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由．
解：(1)由频率分布直方图可知，月均用水量在[0，0.5)的频率为0.08×0.5＝0.04.同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]6组的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.
由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×a＋0.5×a，
解得a＝0.30.
(2)估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万．理由如下：
由(1)知，100位居民中月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000＝3.6(万)．
考点三样本的数字特征
考法(一)样本的数字特征与频率分布直方图交汇
[典例](优质试题·辽宁师范大学附属中学模拟)某校初三年级有400名学生，随机抽查了40名学生测试1分钟仰卧起坐的成绩(单位：次)，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．用样本估计总体，下列结论正确的是()
A．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为25
B．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为24
C．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数超过30的人数约有80
D．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数约为8
[解析]第一组数据的频率为0.02×5＝0.1，第二组数据的频率为0.06×5＝0.3，第三组数据的频率为0.08×5＝0.4，∴中位数在第三组内，设中位数为25＋x，则x×0.08＝0.5－0.1－0.3＝0.1，∴x＝1.25，∴中位数为26.25，故A错误；第三组数据所在的矩形最高，第三组数据的中间值为27.5，∴众数为27.5，故B 错误；1分钟仰卧起坐的次数超过30的频率为0.2，∴超过30次的人数为400×0.2＝80，故C正确；1分钟仰卧起坐的次数少于20的频率为0.1，∴1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数为400×0.1＝40，故D错误．故选C.
[答案] C
[解题技法]
频率分布直方图与众数、中位数、平均数的关系
(1)最高的小长方形底边中点的横坐标为众数；
(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．
考法(二)样本的数字特征与茎叶图交汇
[典例]将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示，则7个剩余分数的方差为________.
[解析] 由茎叶图可知去掉的两个数是87,99，所以87＋90×2＋91×2＋94
＋90＋x ＝91×7，解得x ＝4.故s 2＝17[(87－91)2＋(90－91)2×2＋(91－91)2×2＋(94
－91)2
×2]＝367. [答案] 367
[解题技法]
样本的数字特征与茎叶图综合问题的注意点
(1)在使用茎叶图时，一定要观察所有的样本数据，弄清楚这个图中数字的特点，不要漏掉了数据，也不要混淆茎叶图中茎与叶的含义．
(2)茎叶图既可以表示两组数据，也可以表示一组数据，用它表示的数据是完整的数据，因此可以从茎叶图中看出数据的众数(数据中出现次数最多的数)、中位数(中间位置的一个数，或中间两个数的平均数)等．
考法(三) 样本的数字特征与优化决策问题交汇
[典例] (优质试题·周口调研)甲、乙两人在相同条件下各射击10次，每次中靶环数情况如图所示．
(1)请填写下表(写出计算过程)：
(2)
①从平均数和方差相结合看(分析谁的成绩更稳定)；
②从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看(分析谁的成绩好些)；
③从折线图上两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜力)．
[解]由题图，知
甲射击10次中靶环数分别为9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.
将它们由小到大排列为5,6,6,7,7,7,7,8,8,9.
乙射击10次中靶环数分别为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.
将它们由小到大排列为2,4,6,7,7,8,8,9,9,10.
(1)x甲＝1
10×(5＋6×2＋7×4＋8×2＋9)＝7(环)，
x乙＝1
10×(2＋4＋6＋7×2＋8×2＋9×2＋10)＝7(环)，
s2甲＝1
10×[(5－7)
2＋(6－7)2×2＋(7－7)2×4＋(8－7)2×2＋(9－7)2]＝1
10×(4＋2
＋0＋2＋4)＝1.2，
s2乙＝1
10×[(2－7)
2＋(4－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2×2＋(8－7)2×2＋(9－7)2×2＋
(10－7)2]
＝1
10×(25＋9＋1＋0＋2＋8＋9)＝5.4.
填表如下：
(2)①∵平均数相同，s2甲＜s2乙，
∴甲成绩比乙稳定．
②∵平均数相同，命中9环及9环以上的次数甲比乙少，
∴乙成绩比甲好些．
③∵甲成绩在平均数上下波动，而乙处于上升势头，从第三次以后就没有比甲少的情况发生，∴乙更有潜力．
[解题技法]
利用样本的数字特征解决优化决策问题的依据
(1)平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．
(2)用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征．
[专题训练]
1．对某商店一个月内每天的顾客人数进行统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本中的中位数、众数、极差分别是()
A．46,45,56B．46,45,53
C．47,45,56 D．45,47,53
解析：选A样本共30个，中位数为45＋47
2＝46；显然样本数据出现次数
最多的为45，故众数为45；极差为68－12＝56，故选A.
2．甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：
() A．甲B．乙
C．丙D．丁
解析：选C由表格中数据可知，乙、丙平均环数最高，但丙方差最小，说明成绩好，且技术稳定，选C.
3．某仪器厂从新生产的一批零件中随机抽取40个进行检测，如图是根据抽样检测得到的零件的质量(单位：克)绘制的频率分布直方图，样本数据按照[80,82)，[82,84)，[84,86)，[86,88)，[88,90)，[90,92)，[92,94)，[94,96]分成8组，将其按从左到右的顺序分别记为第一组，第二组，……，第八组．则样本数据的中位数在第________组．
解析：由题图可得，前四组的频率为(0.037 5＋0.062 5＋0.075 0＋0.100 0)×2＝0.55，则其频数为40×0.55＝22，且第四组的频数为40×0.100 0×2＝8，故中位数在第四组．
答案：四
[课时跟踪检测]
A级
1．一个频数分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[20,60)上的频率为0.8，则估计样本在[40,60)内的数据个数为()
A．14B．15
C．16 D．17
解析：选B由题意，样本中数据在[20,60)上的频数为30×0.8＝24，
所以估计样本在[40,60)内的数据个数为24－4－5＝15.
2．(优质试题·长春质检)如图所示是某学校某年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩y关于测试序号x的函数图象，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图象，给出下列结论：
①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好；
②二班成绩不够稳定，波动程度较大；
③三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，但在稳步提升．
其中正确结论的个数为()
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选D①由图可知一班每次考试的平均成绩都在年级平均成绩之上，故①正确．②由图可知二班平均成绩的图象高低变化明显，可知成绩不稳定，波动程度较大，故②正确．③由图可知三班平均成绩的图象呈上升趋势，并且图象的大部分都在年级平均成绩图象的下方，故③正确．故选D.
3．(优质试题·贵阳检测)在某中学举行的环保知识竞赛中，将三个年级参赛学生的成绩进行整理后分为5组，绘制如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组，已知第二小组的频数是40，则成绩在80～100分的学生人数是()
A．15 B．18
C．20 D．25
解析：选A根据频率分布直方图，得第二小组的频率是0.04×10＝0.4，∵
频数是40，∴样本容量是40
0.4＝100，又成绩在80～100分的频率是(0.01＋
0.005)×10＝0.15，∴成绩在80～100分的学生人数是100×0.15＝15.故选A.
4.优质试题年4月，泉州有四处湿地被列入福建省首批重要
湿地名录，某同学决定从其中A，B两地选择一处进行实地考
察．因此，他通过网站了解上周去过这两个地方的人对它们的综
合评分，并将评分数据记录为右图的茎叶图，记A，B两地综合
评分数据的均值分别为x A，x B，方差分别为s2A，s2B.若以备受好评为依据，则下述判断较合理的是()
A．因为x A＞x B，s2A＞s2B，所以应该去A地
B．因为x A＞x B，s2A＜s2B，所以应该去A地
C．因为x A＜x B，s2A＞s2B，所以应该去B地
D．因为x A＜x B，s2A＜s2B，所以应该去B地
解析：选B因为x A＝1
6×(72＋86＋87＋89＋92＋94)≈86.67，x B＝
1
6×(74
＋73＋88＋86＋95＋94)＝85，
s 2A ≈16
[(72－86.67)2＋(86－86.67)2＋(87－86.67)2＋(89－86.67)2＋(92－86.67)2＋(94－86.67)2]≈50.56，
s 2B ＝16
[(74－85)2＋(73－85)2＋(88－85)2＋(86－85)2＋(95－85)2＋(94－85)2]＝76，
所以x A ＞x B ，s 2A ＜s 2B (A 数据集中，B 数据分散)，
所以A 地好评分高，且评价稳定．故选B.
5．(优质试题·青岛三中期中)已知数据x 1，x 2，…，x n 的平均数x ＝5，方差s 2＝4，则数据3x 1＋7,3x 2＋7，…，3x n ＋7的平均数和标准差分别为( )
A ．15,36
B ．22,6
C ．15,6
D ．22,36
解析：选B ∵x 1，x 2，x 3，…，x n 的平均数为5，
∴x 1＋x 2＋…＋x n n ＝5，∴3x 1＋3x 2＋…＋3x n n ＋7＝3(x 1＋x 2＋…＋x n )n
＋7＝3×5＋7＝22.
∵x 1，x 2，x 3，…，x n 的方差为4，∴3x 1＋7,3x 2＋7,3x 3＋7，…，3x n ＋7的方差是32×4＝36，故数据3x 1＋7,3x 2＋7，…，3x n ＋7的平均数和标准差分别为22,6，故选B.
6．(优质试题·江苏高考)已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎
叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________．
解析：这5位裁判打出的分数分别是89,89,90,91,91，因此这5位裁判打出
的分数的平均数为89＋89＋90＋91＋915
＝90. 答案：90
7．为了了解某校高三美术生的身体状况，抽查了部分美术生的体重，将所得数据整理后，作出了如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的前3
个小组的频率之比为1∶3∶5，第2个小组的频数为15，则被抽查的美术生的人数是________．
解析：设被抽查的美术生的人数为n，因为后2个小组的频率之和为(0.037 5＋0.012 5)×5＝0.25，所以前3个小组的频率之和为0.75.又前3个小组的频率之比为1∶3∶5，第2个小组的频数为15，所以前3个小组的频数分别为5,15,25，
所以n＝5＋15＋25
0.75＝60.
答案：60
8．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为________．
解析：由题意知这组数据的平均数为10，方差为2，
可得x＋y＝20，(x－10)2＋(y－10)2＝8，
设x＝10＋t，y＝10－t，由(x－10)2＋(y－10)2＝8得t2＝4，
所以|x－y|＝2|t|＝4.
答案：4
9．某班100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．
(1)求图中a的值；
(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；
高三数学一轮复习 用样本估计总体巩固与练习 1．如图是某电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上，七位 评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个 最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( ) A ．84,4.84 B ．84,1.6 C ．85,4 D ．85,1.6 解析：选D.由茎叶图可知评委打出的最低分为79，最高分为93，其余得分为84,84,86,84,87，故平均分为84×3＋86＋875 ＝85，方差为15 [3×(84－85)2＋(86－85)2＋(87－85)2]＝1.6. 2．(2009 组别 频数 (0,10] 12 (10,20] 13 (20,30] 24 (30,40] 15 (40,50] 16 (50,60] 13 (60,70] 7 A ．0.13 B ．0.39 C ．0.52 D ．0.64 解析：选C.由列表知样本数据落在(10,40]上的频数为52， 频率为0.52. 3．为了了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长(单位：cm)．根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图)，那么在这100株树木中，底部周长小于110 cm 的株数是( ) A ．30 B ．60 C ．70 D ．80 解析：选C.底部周长小于110 cm 的频率： 10×0.01＋10×0.02＋10×0.04＝0.7. 周长小于110 cm 的株数为：100×0.7＝70. 4．(原创题)在样本的频率分布直方图中，共有4个小长方形，这4个小方形的面积由小到大构成等差数列{a n }，已知a 2＝2a 1，且样本容量为400，则小长方形面积最大的一组的频数为________．
用样本估计总体一、基础知识 1．频率分布直方图 (1)纵轴表示频率 组距 ，即小长方形的高＝ 频率 组距 ； (2)小长方形的面积＝组距×频率 组距 ＝频率； (3)各个小方形的面积总和等于1 . 2．频率分布表的画法 第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝极差组数 ； 第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间； 第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表． 3．茎叶图 茎叶图是统计中用来表示数据的一种图， 茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁 边生长出来的数． 4．中位数、众数、平均数的定义 (1)中位数 将一组数据按大小依次排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数． (2)众数 一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数． (3)平均数 一组数据的算术平均数即为这组数据的平均数，n个数据x1，x2，…，x n的 平均数x＝1 n(x1＋x2＋…＋x n)．
5．样本的数字特征 如果有n个数据x1，x2，…，x n，那么这n个数的 (1)平均数x＝1 n(x1＋x2＋…＋x n)． (2)标准差s＝1 n[(x1－x) 2＋(x 2 －x)2＋…＋(x n－x)2]. (3)方差s2＝1 n[(x1－x) 2＋(x 2 －x)2＋…＋(x n－x)2]． 二、常用结论 1．频率分布直方图中的常见结论 (1)众数的估计值为最高矩形的中点对应的横坐标． (2)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和． (3)中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的． 2．平均数、方差的公式推广 (1)若数据x1，x2，…，x n的平均数为x，则mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mx n＋a的平均数是m x＋a. (2)若数据x1，x2，…，x n的方差为s2，则数据ax1＋b，ax2＋b，…，ax n＋b 的方差为a2s2. 考点一茎叶图 [典例](优质试题·山东高考)如图所示的茎叶图记录了甲、 乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据 的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为() A．3,5B．5,5 C．3,7 D．5,7 [解析]由两组数据的中位数相等可得65＝60＋y，解得y＝5，又它们的平
2.2.1用样本的频率分布估计总体分布 一、教学目标分析 1．知识与技能目标 （1）通过实例体会分布的意义和作用。 （2）在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图。 （3）通过实例体会频率分布直方图的特征，能准确地做出总体估计。 2、过程与方法目标： 通过对现实生活的探究，感知应用数学知识解决问题的方法，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。 3、情感态度与价值观目标： 通过对样本分析和总体估计的过程，感受数学对实际生活的需要，认识到数学知识源于生活并指导生活的事实，体会数学知识与现实世界的联系。 二、教学的重点和难点 重点：会列频率分布表，画频率分布直方图。 难点：能通过样本的频率分布估计总体的分布。 三、教法与学法分析 1、教法：遵循观察、探究、发现、总结式的教学模式。重点以引导学生为主，让他们能积极、主动的进行探索，获取知识。由于内容较繁琐，所以要借助多媒体辅助教学。 2、学法：根据本节知识的特点，由于学生已具备一定的基础知识，可采取研究性学习的学习方法。 四、教学过程 （一）情境引入 1.随机抽样有哪几种基本的抽样方法？ 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样. 2.随机抽样是收集数据的方法，如何通过样本数据所包含的信息，估计总体的基本特征，即 用样本估计总体，是我们需要进一步学习的内容. 3.高二某班有50名学生，在数学必修②结业考试后随机抽取10名，其考试成绩如下： 82，75，61，93，62，55，70，68，85，78. 如果要求我们根据上述抽样数据，估计该班对数学模块②的总体学习水平，就需要有相应的数学方法作为理论指导，本节课我们将学习用样本的频率分布估计总体分布. （二）新课讲解 知识探究（一）：频率分布表 【问题】我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费. 通过抽样调查，获得100位居民2007年的月均用水量如下表（单位：t）： 3.1 2.5 2.0 2.0 1.5 1.0 1.6 1.8 1.9 1.6 3.4 2.6 2.2 2.2 1.5 1.2 0.2 0.4 0.3 0.4 3.2 2.7 2.3 2.1 1.6 1.2 3.7 1.5 0.5 3.8 3.3 2.8 2.3 2.2 1.7 1.3 3.6 1.7 0.6 4.1 3.2 2.9 2.4 2.3 1.8 1.4 3.5 1.9 0.8 4.3 3.0 2.9 2.4 2.4 1.9 1.3 1.4 1.8 0.7 2.0 2.5 2.8 2.3 2.3 1.8 1.3 1.3 1.6 0.9 2.3 2.6 2.7 2.4 2.1 1.7 1.4 1.2 1.5 0.5 2.4 2.5 2.6 2.3 2.1 1.6 1.0 1.0 1.7 0.8 2.4 2.8 2.5 2.2 2.0 1.5 1.0 1.2 1.8 0.6 2.2
第38练用样本估计总体 [题型分析·高考展望]用样本估计总体在高考中也是热点部分，考查形式主要是选择题、填空题或是与概率结合的综合性解答题，重点是频率分布直方图以及数字特征，属于比较简单的题目. 体验高考 1.(2015·湖南)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示：1300345668889 1411122233445556678 15012233 3 若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是() A.3 B.4 C.5 D.6 答案 B 解析由题意知，将1～35号分成7组，每组5名运动员，成绩落在区间[139，151]的运动员共有4组，故由系统抽样法知，共抽取4名.选B. 2.(2015·课标全国Ⅱ)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是() A.逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效 C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 答案 D 解析从2006年起，将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较，得到2008年二氧化硫排放量与2007年排放量的差最大，A选项正确； 2007年二氧化硫排放量较2006年降低了很多，B选项正确； 虽然2011年二氧化硫排放量较2010年多一些，但自2006年以来，整体呈递减趋势，即C 选项正确；
自2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，D选项错误.故选D. 3.(2016·课标全国丙)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是() A.各月的平均最低气温都在0 ℃以上 B.七月的平均温差比一月的平均温差大 C.三月和十一月的平均最高气温基本相同 D.平均最高气温高于20 ℃的月份有5个 答案 D 解析由题意知，平均最高气温高于20 ℃的有六月，七月，八月，故选D. 4.(2016·山东)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30].根据频率分布直方图知，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是() A.56 B.60 C.120 D.140 答案 D 解析由题图知，组距为2.5，故每周的自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7， ∴这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是200×0.7＝140，故选D. 5.(2015·湖北)某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示. (1)直方图中的a＝________； (2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为________.
25.2用样本估计总体 一. 选择题 1. 要了解一批灯泡的使用寿命,从中抽取60只灯泡进行试验,在这个问题中,样本是( ) A. 这一批灯泡 B. 抽取的60只灯泡 C. 这一批灯泡的使用寿命 D. 抽取的这60只灯泡的使用寿命 2. 如果一组数据x 1,x 2,x 3,x 4,x 5,的平均数是x ,那么另一组数据x 1+1,x 2+2,x 3+3,x 4+4,x 5+5的平均数是 ( ) A.x . B. 2x + C.3x +. D.15x + 3. 为了考查某地区初中毕业生的数学毕业会考情况,从中抽查了200名考生的数学成绩,在这个问题中,下面说法错误的是( ) A. 总体是被抽查的200名考生 B. 个体是每一个考生的数学成绩 C.样本是200名考生的数学成绩 D. 样本容量是200 4. 某学校生物兴趣小组11人到校外采集植物标本,其中2人每人采集到6件,4人每人采集到3件,5人每人采集到4件,则这个兴趣小组平均每人采集到的标本是( ) A. 3件 B. 4件 C. 5件 D. 6件 二. 填空题: 1. 样本1,0,2,1,3,5,的平均数是________. 2.某地举行了一次数学竞赛,为了估计平均成绩,在抽取的部分试卷中,有1人得10分,3人得9分,8人得8分,12人得7分,9人得6分,7人得5分,则样本容量是___,样本平均数是_________. 3.某班共有学生50人,平均身高为168cm,其中30名男生平均身高为170cm,则20名女生的平均身高为___________. 三. 解答题: 1.大连是一个严重缺水的城市,为鼓励市民珍惜每一滴水,某居民委员会表彰了100个节约用水模范户,5月份这100户节约用水情况如下表所示,求5月份这100户居民的平均节约用水量. 2.某甲鱼养殖专业户共养甲鱼200只,为了与客户签订购销合同,对自已所养甲鱼的总重量进行估计,随意捞了5只,称得重量分别为1.5, 1.4, 1.6, 2, 1.8,(单位:千克). (1)根据样本平均数估计甲鱼的总重量约是多少千克？ (2)如果甲鱼的市场价为每千克150元,那么该专业户卖出全部甲鱼的收入约为多少元？
. . . .. .. 2.2 用样本估计总体 教案 A 第1课时 教学容 §2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布 教学目标 一、知识与技能 1. 通过实例体会分布的意义和作用. 2. 在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图. 3.通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征，从而恰当地选择上述方法分析样本的分布，准确地做出总体估计. 二、过程与方法 通过对现实生活的探究，感知应用数学知识解决问题的方法，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法. 三、情感、态度与价值观 通过对样本分析和总体估计的过程，感受数学对实际生活的需要，认识到数学知识源于生活并指导生活的事实，体会数学知识与现实世界的联系. 教学重点、难点 重点：会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图. 难点：能通过样本的频率分布估计总体的分布. 教学设想 一、创设情境 在ＮＢＡ的2004赛季中，甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下﹕甲运动员得分﹕12，15，20，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50 乙运动员得分﹕8，13，14，16，23，26，28，38，39，51，31，29，33 请问从上面的数据中你能否看出甲，乙两名运动员哪一位发挥比较稳定？ 如何根据这些数据作出正确的判断呢？这就是我们这堂课要研究、学习的主要容——用样本的频率分布估计总体分布. 二、探究新知 探究1：我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费.如果希望大部分居民的日常生活不受影响，那么标准a定为多少比较合理呢？你认为，为了较为合理地确
第二节用样本估计总体 时间：45分钟分值：75分 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．(2013·重庆卷)如下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的频率为() A.0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.6 解析由茎叶图可知数据落在区间[22,30)内的频数为4，所以数据落在区间[22,30)内的频率为4 ＝0.4，故选B. 10 答案 B 2．(2013·陕西卷)对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图. 根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35)上为三等品. 用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是()
A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.45 解析由频率分布直方图的性质可知，样本数据在区间[25,30)上的频率为1－5×(0.02＋0.04＋0.06＋0.03)＝0.25，则二等品的频率为0.25＋0.04×5＝0.45，故任取1件为二等品的概率为0.45. 答案 D 3．(2013·四川卷)某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是() 解析由茎叶图知，各组频数统计如下表：
分组 区间 [0,5)[5,10) [10， 15) [15， 20) [20， 25) [25， 30) [30， 35) [35， 40) 频数 统计 1142433 2 答案 A 4．(2014·河南郑州预测)PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，下图是据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个PM2.5监测点统计的数据(单位：毫克/每立方米)列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是() A．甲B．乙 C．甲乙相等D．无法确定 解析由茎叶图可知甲数据比较集中，所以甲地浓度的方差小，选A. 答案 A 5．甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：
人教版高中数学必修三 知识点梳理 重点题型（常考知识点）巩固练习 用样本估计总体 【学习目标】 1.在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图. 2.通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征，从而恰当地选择上述方法分析样本的分布，准确地做出总体估计. 3.正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差. 4.能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并做出合理的解释. 5.会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征. 【要点梳理】 要点一、频率分布的概念 频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小.一般用频率分布直方图反映样本的频率分布.其一般步骤为： 1.计算一组数据中最大值与最小值的差，即求极差 2.决定组距与组数 3.将数据分组 4.列频率分布表 5.画频率分布直方图 要点诠释： 频率分布直方图的特征： 1.从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势. 2.从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了. 要点二、频率分布折线图、总体密度曲线 1.频率分布折线图的定义： 连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图. 2.总体密度曲线的定义： 在样本频率分布直方图中，样本容量越大，所分组数越多，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线. 要点诠释： 总体密度曲线能够精确地反映了总体在各个范围内取值的百分比，它能给我们提供更加精细的信息，能够精确的反映一个总体在各个区域内取值的规律. 要点三、茎叶图 当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图. 要点诠释：
《2.2用样本估计总体（2）》测试题 、选择题 1. （2012安徽理）甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图，贝U （）. A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B.甲的成绩的中位数等于乙 的成绩的中位数 C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D.甲的成绩的极差小于乙的成绩 的极差 考查目的：考查统计图的识读，以及对数字特征的分析与理解能力 答案：C. —J + 5 + 6 + 7^8 工—5x316+9 二+ y- —______________ —Q x —___________ — & j 解析：「匚' - ,甲成绩的方差为：, f >3 + 32xl.— -------------- = 乙成绩的方差为* . 2. （2012江西理）样本（"V '二）的平均数为」，样本-'人）的平均数为，C~），若样本（b P =，心P '-）的平均数「」："，其中 Q -C 氓—
2，贝U n，m的大小关系为（）.
A.；!—； B. ： - W C. !八; D.不能确定 考查目的：考查平均数意义的理解和灵活应用 答案：A. 解析：由题意知，样本（“ V 宀'■■-）的平均数为 M - ffl - 咖十M m 十闰P ，又?.? ￡ = m 丰（1 「即，?—「：，答案应选A. 3. （2012陕西理）从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售 额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图），设甲乙两组数据的平均数分别为 r -，中位数分别为J ，冷匸，则（）. 甲 乙 ?65 0 1 028 75 2 i 2 C2337 E0Q 1 3 12443 3 1 4 238 A.怎甲弋冥己，叨甲 > 叫 B.怎甲丈龙己，丹3甲c 烧乙 C.怎甩〉工邑,用甲〉临己 D.忙甲〉蛊巴,廉零c 烧乙 考查目的：考查茎叶图的结构特征和作用，以及从茎叶图中提取样本数字特征的能力 答案：B. 18+22 解析：根据平均数的概念易计算出",又???「」 上 27 4-31 = ??答案应选B. MJ+JJ27 jn+z! m m +xi
这就是说。各个小长方形的面积等于相应各组的频率。显然。所有张方形面积之和等于1. 为了了解全部产品中优等品所占比例。可以统计出内径尺寸在区间25.325到25.475内的个体数载样本容量中所占的比例、也就是他的频率。从表中容易看出，这个频率值等于0.12+0.18+0.25+0.16+0.13=0.84，于是可以估计出所有生产的钢管中有84%的优等品、工厂可以根据质量规范。看看是否达到优等品率的要求，如果没有达到。就需要进一步分析原因。解决问题。 当然。用样本的频率分布估计总体的分布时。要使样本能够很好的反应总体的特征。必须随机抽取样本。由于抽样的随机性，可以想到（参考本届练习A第三题），如果随机抽取另外一个容量为100的样本，所形成的样本频率分布一般会与请按一个样本频率分布有所不同。但是。他们都可以近似的看做总体的分布。 从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原式的数据内容。所以，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了。 把频率分布直方图各个张方形上边的中点用线段连接起来，就得到频率分布折线图，为了方便看图。一般习惯于吧频率分布折线图化成与横轴相连。所以横轴上的左右两端点没有实际的意义。 图中各个小长方形的面积，表明了所抽取的100件产品中内径尺寸落在各个小组内的产品个数与100的比值大小。如果样本容量越大，所分组数越多。图中表示的频率分布就越接近于总体在各个小组内取值的个数与总数比值的大小。设想如果样本容量不断增大，分组的组距不断缩小，则频率分布直方图实际上越来越接近于总体的分布，他可以用仪表光滑取消Y=f （x）来描绘。这条光滑曲线就叫做总体密度曲线。总体密度曲线精确地反映了一个总体在各个区域内取值的规律。产品尺寸落在（a，b）内的百分率就是图中带斜线部分的面积，对本例来说，总体密度曲线呈中间高两边低的“钟”形分布，总体的数据大致呈对称分布，并且大部分数据都集中在靠近中间的区间内。 抽样后的样本数据汇总。号可以借助计算机来准确、快速的作出，图就是运用前面所讲到的画直方图的步骤，在工作表中对样本数据汇总得出的结果。 茎叶图： 某赛季甲乙两名篮球运动员每场比赛的得分情况如下： 甲的得分：12,15,24,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50. 乙的得分：8,13,14,16,23,26,28,33,38,39,51. 上面的发数据可以用图来表示。他的中间部分像一棵植物的茎，两边部分像这个植物茎上生长出来的叶子。用中间的数字表示两位运动员得分的十位数，两边的数字分别表示两个人各场比赛得分个位数。例如。用3|389就表示了33,38,39这三个数据，通常把这样的图焦作茎叶图，根据上图可以对两名运动员的成绩进行比较。
一. .2用样本估计总体 二. 选择题 1. 要了解一批灯泡的使用寿命,从中抽取60只灯泡进行试验,在这个问题中,样本是( ) A. 这一批灯泡 B. 抽取的60只灯泡 C. 这一批灯泡的使用寿命 D. 抽取的这60只灯泡的使用寿命 2. 如果一组数据x 1,x 2,x 3,x 4,x 5,的平均数是x ,那么另一组数据x 1+1,x 2+2,x 3+3,x 4+4,x 5+5的平均数是 ( ) A.x . B. 2x + C.3x +. D.15x + 3. 为了考查某地区初中毕业生的数学毕业会考情况,从中抽查了200名考生的数学成绩,在这个问题中,下面说法错误的是( ) A. 总体是被抽查的200名考生 B. 个体是每一个考生的数学成绩 C.样本是200名考生的数学成绩 D. 样本容量是200 4. 某学校生物兴趣小组11人到校外采集植物标本,其中2人每人采集到6件,4人每人采集到3件,5人每人采集到4件,则这个兴趣小组平均每人采集到的标本是( ) A. 3件 B. 4件 C. 5件 D. 6件 三. 填空题: 1. 样本1,0,2,1,3,5,的平均数是________. 2.某地举行了一次数学竞赛,为了估计平均成绩,在抽取的部分试卷中,有1人得10分,3人得9分,8人得8分,12人得7分,9人得6分,7人得5分,则样本容量是___,样本平均数是_________. 3.某班共有学生50人,平均身高为168cm,其中30名男生平均身高为170cm,则20名女生的平均身高为___________. 四. 解答题: 1.大连是一个严重缺水的城市,为鼓励市民珍惜每一滴水,某居民委员会表彰了100个节约用水模范户,5月份这100户节约用水情况如下表所示,求5月份这100户居民的平均节约用水量. 2.某甲鱼养殖专业户共养甲鱼200只,为了与客户签订购销合同,对自已所养甲鱼的总重量进行估计,随意捞了5只,称得重量分别为1.5, 1.4, 1.6, 2, 1.8,(单位:千克). (1)根据样本平均数估计甲鱼的总重量约是多少千克？ (2)如果甲鱼的市场价为每千克150元,那么该专业户卖出全部甲鱼的收入约为多少元？
用样本估计总体 一. 选择题 1. 要了解一批灯泡的使用寿命,从中抽取60只灯泡进行试验,在这个问题中,样本是( ) A. 这一批灯泡 B. 抽取的60只灯泡 C. 这一批灯泡的使用寿命 D. 抽取的这60只灯泡的使用寿命 2. 如果一组数据x 1,x 2,x 3,x 4,x 5,的平均数是x ,那么另一组数据x 1+1,x 2+2,x 3+3,x 4+4,x 5+5的平均数是 ( ) A.x . B. 2x + C.3x +. D.15x + 3. 为了考查某地区初中毕业生的数学毕业会考情况,从中抽查了200名考生的数学成绩,在这个问题中,下面说法错误的是( ) A. 总体是被抽查的200名考生 B. 个体是每一个考生的数学成绩 C.样本是200名考生的数学成绩 D. 样本容量是200 4. 某学校生物兴趣小组11人到校外采集植物标本,其中2人每人采集到6件,4人每人采集到3件,5人每人采集到4件,则这个兴趣小组平均每人采集到的标本是( ) A. 3件 B. 4件 C. 5件 D. 6件 二. 填空题: 1. 样本1,0,2,1,3,5,的平均数是________. 2.某地举行了一次数学竞赛,为了估计平均成绩,在抽取的部分试卷中,有1人得10分,3人得9分,8人得8分,12人得7分,9人得6分,7人得5分,则样本容量是___,样本平均数是_________. 3.某班共有学生50人,平均身高为168cm,其中30名男生平均身高为170cm,则20名女生的平均身高为___________. 三. 解答题: 1.大连是一个严重缺水的城市,为鼓励市民珍惜每一滴水,某居民委员会表彰了100个节约用水模范户,5月份这100户节约用水情况如下表所示,求5月份这100户居民的平均节约用水量. 2.某甲鱼养殖专业户共养甲鱼200只,为了与客户签订购销合同,对自已所养甲鱼的总重量进行估计,随意捞了5只,称得重量分别为, , , 2, ,(单位:千克). (1)根据样本平均数估计甲鱼的总重量约是多少千克 (2)如果甲鱼的市场价为每千克150元,那么该专业户卖出全部甲鱼的收入约为多少元
用样本估计总体 【学习目标】 1.在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图. 2.通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征，从而恰当地选择上述方法分析样本的分布，准确地做出总体估计. 3.正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差. 4.能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并做出合理的解释. 5.会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征. 【要点梳理】 要点一、频率分布的概念 频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小.一般用频率分布直方图反映样本的频率分布.其一般步骤为： 1.计算一组数据中最大值与最小值的差，即求极差 2.决定组距与组数 3.将数据分组 4.列频率分布表 5.画频率分布直方图 要点诠释： 频率分布直方图的特征： 1.从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势. 2.从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了. 要点二、频率分布折线图、总体密度曲线 1.频率分布折线图的定义： 连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图. 2.总体密度曲线的定义： 在样本频率分布直方图中，样本容量越大，所分组数越多，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线. 要点诠释： 总体密度曲线能够精确地反映了总体在各个范围内取值的百分比，它能给我们提供更加精细的信息，能够精确的反映一个总体在各个区域内取值的规律. 要点三、茎叶图 当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图. 要点诠释： 茎叶图的特征： (1)用茎叶图表示数据有两个优点：一是在统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示. (2)茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，而且茎叶图只方便记录两组的数据，两个以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两个记录那么直观，清晰. 要点四、众数、中位数与平均数 1.众数 一组数据中出现次数最多的数据叫做众数.如果变量是分类的，用众数是很有必要的.例如班委会要作出
《§6.2用样本估计总体》学案 一、学习要求： 1、掌握数据整理及其相关图表的制作方法 2、会求样本的平均值和标准差 3、能通过样本的分布和特征值来估计总体的分布和特征值 4、通过具体的实际问题，感受用样本估计总体分布规律的思想 二、学习重点、难点： 重点：数据整理及其相关图表的制作；样本特征值的计算；对总体分布和特征值的估计。 难点：频数频率分布图表和累计频率分布折线图的作用和分析；如何用样本的分布和特征值来估计总体。 三、学时安排：共4学时 第一学时：学习频率分布表，感受如何用样本频率分布表去估计总体分布，亲自体验制作频数频率分布表的过程。 第二学时：学习频率分布直方图，强化制作频率分布直方图的可操作性。 第三学时：学习平均数、方差和标准差的计算，熟悉并会用计算公式。 第四学时：建立用样本的分布估计总体的特征性质的思想，并小结本节内容四、学习过程： 第一学时 （一）课前尝试 1、学法指导： （1）回顾初中已经学过的频数分布表 （2）自学课本上P.8～10介绍的频数频率分布表。 2、尝试练习： 从某校高一年级的1002名新生中用系统抽样的方法抽取一个容量 为100的身高样本，数据如下（单位：cm），试作出该样本频率分布表。 168 165 171 167 170 165 170 152 175 174 165 170 168 169 171 166 164 155 164 158 170 155 166 158 155 160 160 164 156 162
160 170 168 164 174 171 165 179 163 172 180 174 173 159 163 172 167 160 164 169 151 168 158 168 176 155 165 165 169 162 177 158 175 165 169 151 163 166 163 167 178 165 158 170 169 159 155 163 153 155 167 163 164 158 168 167 161 162 167 168 161 165 174 156 167 166 162 161 164 166 （二）课堂探究： 1、探究问题：频数频率分布表能较好地反映总体分布情况，在实际中应用很广，因此，如何来制作频数频率分布表呢？ 2、知识链接：对总体分布的估计 (1)频数频率分布表 (2)频数频率分布表的制作 3、拓展练习：课本上P.9例1 一般地，编制频率分布表的步骤如下： （1）求全距，决定组数和组距，组距组数 全距 ； （2）分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间； （3）登记频数，计算频率，列出频率分布表。 4、当堂训练： 下面是某职业学校学生随机抽样的40名学生在一个月内的零花钱数据(单
必修三用样本估计总体 教案 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-
用样本估计总体 教案A 第1课时 教学内容 §用样本的频率分布估计总体分布 教学目标 一、知识与技能 1.通过实例体会分布的意义和作用. 2.在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图. 3.通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征，从而恰当地选择上述方法分析样本的分布，准确地做出总体估计. 二、过程与方法 通过对现实生活的探究，感知应用数学知识解决问题的方法，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法. 三、情感、态度与价值观 通过对样本分析和总体估计的过程，感受数学对实际生活的需要，认识到数学知识源于生活并指导生活的事实，体会数学知识与现实世界的联系. 教学重点、难点 重点：会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图. 难点：能通过样本的频率分布估计总体的分布. 教学设想 一、创设情境 在ＮＢＡ的2004赛季中，甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下﹕甲运动员得分﹕12，15，20，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50 乙运动员得分﹕8，13，14，16，23，26，28，38，39，51，31，29，33 请问从上面的数据中你能否看出甲，乙两名运动员哪一位发挥比较稳定？ 如何根据这些数据作出正确的判断呢？这就是我们这堂课要研究、学习的主要内容——用样本的频率分布估计总体分布. 二、探究新知 探究1：我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费.如果希望大部分居民的日常生活不受影响，那么标准a定为多少比较合理呢你认为，为了较为合理地确定出这个标准，需要做哪些工作（让学生展开讨论）
2. 2 用样本估计总体 一、选择题 1、为了解一批数据在各个范围内所占的比例大小，将这批数据分组，落在各个小组里的数据个数叫做（） A、频数 B、样本容量 C、频率 D、频数累计 2、在频率分布直方图中，各个小长方形的面积表示（） A、落在相应各组的数据的频数 B、相应各组的频率 C、该样本所分成的组数 D、该样本的容量 3、为考察某种皮鞋的各种尺码的销售情况，以某天销售40双皮鞋为一个样本，把它按尺码分成5组，第3组的频率为0、25，第1，2，4组的频率分别为6，7，9，若第5组表示的是40—42码的皮鞋，则售出的200双皮鞋中含40—42码的皮鞋为（） A、50 B、40 C、20 D、30 4、从一群学生中收取一个一定容量的样本对他们的学习成绩进行分析，前三
组是不超过80分的人，其频数之和为20人，其频率之和（又称累积频率）为0、4，则所抽取的样本的容量是 （ ） A 、100 B 、80 C 、40 D 、50 5、一个容量为20的数据样本，分组后，组距与频数如下：（10,20］2个，（20，30］3个，（30，40］4个，（40，50］5个，（50，60］4个，（60，70 ］2个，则样本在区间（-∞，50］上的频率是 （ ） A 、5% B 、25% C 、50% D 、70% 6、在10人中，有4个学生，2个干部，3个工人，1个农民，数5 2 是学生占总体的（ ） A 、频数 B 、概率 C 、频率 D 、累积频率 7、列样本频率分布表时，决定组数的正确方法是 （ ） A 、任意确定 B 、一般分为5—12组 C 、由组距和组数决定 D 、根据经验法则，灵活 掌握 8、下列叙述中正确的是 （ ） A 、从频率分布表可以看出样本数据对于平均数的波动大小
1．把样本容量为20的数据分组，分组区间与频数如下：[10，20)，2；[20，30)，3；[30，40)，4；[40，50)，5；[50，60)，4；[60，70]，2，则在区间[10，50)上的数据的频率是( ) A ．0.05 B ．0.25 C ．0.5 D ．0.7 解析：选D.由题知，在区间[10，50)上的数据的频数是2＋3＋4＋5＝14，故其频率为14 20 ＝0.7. 2．(2014·高考广东卷)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( ) A ．200，20 B ．100，20 C ．200，10 D ．100，10 解析：选A.该地区中小学生总人数为3 500＋2 000＋4 500＝10 000，则样本容量为10 000×2%＝200，其中抽取的高中生近视人数为2 000×2%×50%＝20，故选A. 3. 某同学进入高三后，4次月考的数学成绩的茎叶图如图，则该同学数学成绩的方差是( ) A ．125 B ．5 5 C ．45 D ．3 5 解析：选C.由茎叶图知平均值为114＋126＋128＋1324＝125，∴s 2＝1 4[(125－114)2＋(125－126)2＋(125－128)2＋(125 －132)2]＝45. 4．某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设该组数据的平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >a >b D ．c >b >a 解析：选D.把该组数据按从小到大的顺序排列为10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，其平均数a ＝110× (10＋12＋14＋14＋15＋15＋16＋17＋17＋17)＝14.7，中位数b ＝15＋15 2 ＝15，众数c ＝17，则a 用样本估计总体
用样本估计总体 1．作频率分布直方图的步骤 (1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)． (2)决定组距与组数． (3)将数据分组． (4)列频率分布表． (5)画频率分布直方图． 2．频率分布折线图和总体密度曲线 (1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图． (2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．
3．茎叶图 统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数． 4．标准差和方差 (1)标准差是样本数据到平均数的一种平均距离． (2)标准差： s＝1 n[(x1－x) 2＋(x 2 －x)2＋…＋(x n－x)2]. (3)方差：s2＝1 n[(x1－x) 2＋(x 2 －x)2＋…＋(x n－x)2](x n是样本数据，n是样本容 量，x是样本平均数)． 知识拓展 1．频率分布直方图的特点 (1)频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距，纵坐标表示频率 组距 ，频率＝组距 ×频率组距 . (2)在频率分布直方图中，各小长方形的面积总和等于1，因为在频率分布直方图中组距是一个固定值，所以各小长方形高的比也就是频率比． (3)频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种形式，前者准确，后者直观． 2．平均数、方差的公式推广 (1)若数据x1，x2，…，x n的平均数为x，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mx n ＋a的平均数是m x＋a. (2)数据x1，x2，…，x n的方差为s2. ①数据x1＋a，x2＋a，…，x n＋a的方差也为s2； ②数据ax1，ax2，…，ax n的方差为a2s2.
人教版新课标普通高中◎数学③必修 2. 2 用样本估计总体 教案 A 第1课时 教学内容 §2. 2. 1 用样本的频率分布估计总体分布 教学目标 一、知识与技能 1.通过实例体会分布的意义和作用. 2.在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线 图和茎叶图 . 3.通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征，从而恰当地 选择上述方法分析样本的分布，准确地做出总体估计. 二、过程与方法 通过对现实生活的探究，感知应用数学知识解决问题的方法，理解数形结合的数学 思想和逻辑推理的数学方法 . 三、情感、态度与价值观 通过对样本分析和总体估计的过程，感受数学对实际生活的需要，认识到数学知识 源于生活并指导生活的事实，体会数学知识与现实世界的联系. 教学重点、难点 重点：会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图. 难点：能通过样本的频率分布估计总体的分布. 教学设想 一、创设情境 在ＮＢＡ的 2004 赛季中，甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下﹕ 甲运动员得分﹕ 12， 15，20， 25， 31， 31， 36， 36， 37， 39， 44， 49， 50 乙运动员得分﹕ 8， 13， 14， 16，23， 26，28， 38，39， 51，31， 29， 33 请问从上面的数据中你能否看出甲，乙两名运动员哪一位发挥比较稳定？ 如何根据这些数据作出正确的判断呢？这就是我们这堂课要研究、学习的主要内容——用样本的频率分布估计总体分布. 二、探究新知 探究 1：我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为 了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标 准a，用水量不超过 a 的部分按平价收费，超出 a 的部分按议价收费 . 如果希望大部分居 民的日常生活不受影响，那么标准a 定为多少比较合理呢？你认为，为了较为合理地确 1