秦九韶算法教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第7课时秦九韶算法
班级姓名
学习目标
1、掌握秦九韶算法的步骤，原理
2、秦九韶算法的运用
※学习重点、难点：
重点：秦九韶算法求多项式的值
难点：秦九韶算法的运用
学习过程
一、知识链接
复习：分别用辗转相除法和更相减损术求288与123的最大公约数．
（预习教材P37~ P38，找出疑惑之处）
二、自主学习（首先独立思考探究，然后合作交流展示）
探究1：已知多项式f(x)＝x5＋x4+x3－x2+x+1
问题(1)：求f(1)
问题(2)：若求f(39)，再代入运算出现什么情况？
问题(3)：当x的值较大时，有没有更好的方法求函数值呢？
探究2：利用秦九韶算法多项式f(x)＝x5＋x4+x3－x2+x+1当x＝2时的值
知识归纳：
(1)秦九韶算法的步骤：
(2)秦九韶算法的原理是?
????
v 0＝a n ，
v k ＝v k －1x ＋a n －k ，
三、合作探究
※ 知识检测
1.用秦九韶算法求多项式f (x )＝6x 6＋5x 5＋4x 4＋3x 3＋2x 2＋x 当x ＝2时的值．
※ 能力达标
2. 用秦九韶算法计算多项式f (x )＝3x 6＋4x 5＋5x 4＋6x 3＋7x 2＋8x ＋1当x ＝0.4时的值时，需要做乘法和加法分别是多少次？
小结：
※拓展提高
3.已知f(x)＝x5＋2x3＋3x2＋x＋1，应用秦九韶算法计算当x＝3时，求v3的值
四、课堂小结
1．秦九韶算法的步骤，原理
2．秦九韶算法的运用
达标练习
1.利用秦九韶算法求f(x)＝x5＋x3＋x2＋x＋1当x＝3时的值
2．用秦九韶算法求多项式f(x)＝1＋2x＋x2－3x3＋2x4在x＝－1时的值，v2的结果是()
A．－4 B．－1
C．5 D．6
3．用秦九韶算法求多项式f(x)＝4x5－x2＋2当x＝3的值时，需要进行的乘法运算和加减运算的次数分别为()
A．4, 2 B．5,3
C．5,2 D．6,2
4．按照秦九韶算法求多项式f(x)＝1.5x5＋3.5x4－4.1x3－3.6x＋6当x＝0.5时的值的过程中，令v0＝a5，v1＝v0x＋a4，…，v5＝v4x＋a0，则v4＝________.
秦九韶算法教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第7课时秦九韶算法 班级姓名 学习目标 1、掌握秦九韶算法的步骤，原理 2、秦九韶算法的运用 ※学习重点、难点： 重点：秦九韶算法求多项式的值 难点：秦九韶算法的运用 学习过程 一、知识链接 复习：分别用辗转相除法和更相减损术求288与123的最大公约数． （预习教材P37~ P38，找出疑惑之处） 二、自主学习（首先独立思考探究，然后合作交流展示） 探究1：已知多项式f(x)＝x5＋x4+x3－x2+x+1 问题(1)：求f(1) 问题(2)：若求f(39)，再代入运算出现什么情况？ 问题(3)：当x的值较大时，有没有更好的方法求函数值呢？ 探究2：利用秦九韶算法多项式f(x)＝x5＋x4+x3－x2+x+1当x＝2时的值
知识归纳： (1)秦九韶算法的步骤： (2)秦九韶算法的原理是? ???? v 0＝a n ， v k ＝v k －1x ＋a n －k ， 三、合作探究 ※ 知识检测 1.用秦九韶算法求多项式f (x )＝6x 6＋5x 5＋4x 4＋3x 3＋2x 2＋x 当x ＝2时的值． ※ 能力达标 2. 用秦九韶算法计算多项式f (x )＝3x 6＋4x 5＋5x 4＋6x 3＋7x 2＋8x ＋1当x ＝0.4时的值时，需要做乘法和加法分别是多少次？
小结： ※拓展提高 3.已知f(x)＝x5＋2x3＋3x2＋x＋1，应用秦九韶算法计算当x＝3时，求v3的值 四、课堂小结 1．秦九韶算法的步骤，原理 2．秦九韶算法的运用 达标练习 1.利用秦九韶算法求f(x)＝x5＋x3＋x2＋x＋1当x＝3时的值
算法初步与框图 一、知识网络 二、考纲要求 1.算法的含义、程序框图 （1）了解算法的含义，了解算法的思想. （2）理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环. 2.基本算法语句 理解几种基本算法语句――输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义. 三、复习指南 本章是新增内容，多以选择题或填空题形式考查，常与数列、函数等知识联系密切.考查的重点是算法语句与程序框图,以基础知识为主,如给出程序框图或算法语句,求输出结果或说明算法的功能;或写出程序框图的算法语句,判断框内的填空等考查题型.难度层次属中偏低. 第一节 算法与程序框图 ※知识回顾 1 2..
3. 4. 5.算法的基本特征：①明确性：算法的每一步执行什么是明确的；②顺序性：算法的“前一步”是“后一步”的前提，“后一步”是“前一步”的继续；③有限性：算法必须在有限步内完成任务，不能无限制的持续进行；④通用性：算法应能解决某一类问题. ※典例精析 例1.如图所示是一个算法的程序框图，则该程序框图所表示的功能是 解析：首先要理解各程序框的含义,输入a,b,c三个数之后,接着判断a,b的大小,若b小，则把b赋给a,否则执行下一步，即判断a与c的大小，若c小，则把c赋给a, 否则执行下一步，这样输出的a是a,b,c三个数中的最小值.所以该程序框图所表示的功能是求a,b,c三个数中的最小值. 评注: 求a,b,c三个数中的最小值的算法设计也可以用下面程序框图来表示. 例2.下列程序框图表示的算法功能是（） （1）计算小于100的奇数的连乘积 （2）计算从1开始的连续奇数的连乘积 （3）计算从1开始的连续奇数的连乘积， 当乘积大于100时，计算奇数的个数 （4）计算L≥ 1×3×5××n100成立时n的最小值 解析：为了正确地理解程序框图表示的算法，可以将执行过程分解，分析每一步执行的结果.可以看出程序框图中含有当型的循环结构,故分析每一次循环的情况,列表如下: 第一次:13,5 =?=； S i 第二次:135,7 =??=； S i 第三次:1357,9 S<不成立,输出结果是7,程序框图表示的算法功能是求使=???=,此时100 S i
算法初步一.本章的知识结构 二.知识梳理 (1)四种基本的程序框 输入. 终端框（起止框） 输入.输出框 终端框（起止框） 输入.输出框 处理框 判断框终端框（起止框）输入、输出框处理框 判断框 (2)三种基本逻辑结构 顺序结构条件结构循环结构 (3)基本算法语句 （一）输入语句 单个变量 多个变量 （二） （三）赋值语句 （四）条件语句 IF-THEN-ELSE格式
当计算机执行上述语句时，首先对IF 后的条件进行判断，如果条件符合，就执行THEN 后的语句1，否则执行ELSE 后的语句2。其对应的程序框图为：（如上右图） IF -THEN 格式 计算机执行这种形式的条件语句时，也是首先对IF 后的条件进行判断，如果条件符合，就执行THEN 后的语句，如果条件不符合，则直接结束该条件语句，转而执行其他语句。其对应的程序框图为：（如上右图） （五）循环语句 （1）WHILE 语句 其中循环体是由计算机反复执行的一组语句构成的。WHLIE 后面的“条件”是用于控制计算机执行循环体或跳出循环体的。 当计算机遇到WHILE 语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行WHILE 与WEND 之间的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不符合为止。这时，计算机将不执行循环体，直接跳到WEND 语句后，接着执行WEND 之后的语句。因此，当型循环有时也称为“前测试型”循环。其对应的程序结构框图为：（如上右图） （2）UNTIL 语句 当计算机遇到UNIT 语句时，先执行一次DO 和LOOP UNIT 之间的循环体，然后判断UNIT 后的条件是否成立，如果 IF 条件 THEN 语句 END IF WHILE 条件 循环体 WEND DO 循环体 LOOP UNTIL 条件
一、知识点剖析 1．算法的定义和特点 掌握要点： 算法定义：在数学中指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤。 算法特点：①有穷性：一个算法的步骤是有限的，它应在有限步操作之后停止。②确定性，算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊且算法执行后一定产生确定的结果，不能模棱两可。③可行性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个明确的后继步骤，前一步是后一步的前提,只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都要准确无误才能解决问题。④不惟一性：求解某一类问题的算法是不惟一的，对于一个问题可以有不同的算法。⑤普遍性，很多具体的问题都可以设计合理的算法解决。 易混易错：（1）算法一般是机械的，有时要进行大量重复的运算，只要按部就班的做总能算出结果，通常把算法过程称为“数学机械化”，“数学机械化”的最大优点是它可以让计算机来完成。（2）实际上，处理任何问题都需要算法。如，邮购物品有其相应的手续。购买飞机票也有一定的手续等。（3）求解某个问题的算法不惟一。 2．（1）程序框图表示算法步骤的一些常用的图形和符号 点的符号。 （2）三种基本逻辑结构 ①顺序结构 ②条件结构 ③循环结构
顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的。这是任何一个算法都离不开的基本结构。 条件结构：在一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程根据条件是否成立会有不同的流向，条件结构就是处理这种过程的结构。 易混易错：在条件结构中无论条件是否成立，都只能执行两框之一，两框不可能同时执行，也不可能两框都不执行。 循环结构：算法结构中经常会遇到从某处开始，按照一定条件反复执行某些步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的步骤成为循环体。循环结构分为两种：当性循环结构和直到性循环结构。 当性循环结构：在每次执行循环体前，对条件进行判断，当条件满足时，执行循环体，否则终止循环。“先判断” 直到性循环结构：在执行了一次循环体后，对条件进行判断，如果条件不满足就继续执行循环体，直到条件满足时终止循环。“先循环” 注意：循环结构中一定包含着条件结构。 3．基本算法语句 （1）输入语句 ①输入语句的一般形式是：INPUT “提示内容”；变量 ②输入语句的作用是实现算法的输入信息功能 ③“提示内容”提示用户输入什么样的信息 ④输入语句可以给变量提供初值 ⑤提示内容与变量之间用分号隔开，若输入多个变量，变量之间用逗号隔开。 例如：INPUT “提示内容1，提示内容2，提示内容3，…”；变量1，变量2，变量 （2）输出语句 ①输出语句的一般形式是：PRINT “提示内容”；表达式 ②输出语句的作用是实现算法的输出结果功能。 ③“提示内容”提示用户输入什么样的信息，如PRINT “S=；S 是提示输出的结果是S的值 ④PRINT语句可以在屏幕上出现常量、变量以及系统信息。 注意：任何求解问题的算法，都要把求解问题的结果输出。 （3）赋值语句 ①赋值语句是最基本的语句 ②赋值语句的一般格式为：变量=表达式 ③“=”叫做赋值号。 易混易错:①赋值号做变只能是变量而不能使表达式。 ②赋值号的左右两边不能调换。 ③不能利用赋值语句进行代数式的演算（如化简、因式分解、解方程等）。 ④赋值号与数学中的符号意义不同。 注意:输入语句、输出语句、赋值语句基本上对应程序框图中的顺序结构；一个算法有0个或者多个输入，有一个或多个输出；输出语句和赋值语句具有运算功能而输入语句不具有运算功能。 （4）条件语句 共分为两种形式 IF-THEN-ELSE格式 (1)
舜耕中学高一数学必修３导学案（教师版） 编号 教学过程： 一、〖创设情境〗 我们已经学过了多项式的计算，下面我们计算一下多项式 1)(2345+++++=x x x x x x f 当5=x 时的值，并统计所做的计算的种类及计算次数. 根据我们的计算统计可以得出我们共需要１0次乘法运算，５次加法运算. 如果我们先计算2x 的值，然后依次计算x x ?2，x x ?3，x x ?4 的值，这样每次都可以 利用上一次计算的结果.再统计一下计算次数，可以得出仅需４次乘法和５次加法运算，显 然少了6次乘法运算，这种算法就叫秦九韶算法. 二、〖新知探究〗 我国南宋时期的数学家秦九韶（约１２0２—１２6１）在他的著作《数书九章》中提出了下面的算法: 把一个n 次多项式012211)(a x a x a x a x a x f n n n n n n +++++=---- 改写成如下形式：
1210 123120 1322110 12211)))((())(()()(a a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a x f n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++==+++++=+++++=+++++=-------------- 求多项式的值时，可以令n a v =0，然后计算最内层括号内一次多项式的值，即 n a v =0， 101-+=n a x v v ， 212-+=n a x v v ， 323-+=n a x v v ， …… 01a x v v n n +=-， 这样，求n 次多项式)(x f 的值就转化为求n 个一次多项式的值.上述方法称为秦九韶算法. 例１ 已知一个５次多项式为8.07.16.25.324)(2 345-+-++=x x x x x x f 用秦九韶算法 求这个多项式当5=x 时的值.（参考课本P ３8） 〖思考〗：（１）例１计算时需要多少次乘法计算？多少次加法计算？（１５，５） （２）用秦九韶算法求n 次多项式012211)(a x a x a x a x a x f n n n n n n +++++=---- 当 0x x =（0x 是任意实数）时的值，需要多少次乘法运算和多少次加法运算？（2 )1(+n n ，n ） 随堂练习：利用秦九韶算法计算15.033.016.041.083.0)(2 345+++++=x x x x x x f 当5=x 时的值. 秦九韶算法的算法步骤、程序框图、程序语言参考课本P ３9． 三、〖归纳小结〗 秦九韶算法的计算过程. 四、〖书面作业〗 课本P ４8习题１．３ A 组２. 五、〖板书设计〗
秦九韶算法教学设计 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
《秦九韶算法》教学设计 一、教学目标 （一）知识与技能 1、理解秦九韶算法的计算过程及其程序； 2、会用秦九韶算法计算高次多项式的值． （二）过程与方法 1、体验用秦九韶算法计算高次多项式的值的过程； 2、体验写秦九韶算法的程序的过程． （三）情感态度与价值观 1、通过对秦九韶算法的理解和运用，体会我国古代数学家对数学的贡献，激发学生的民族自豪感和爱国热情,增强他们学习数学的积极性； 2、培养学生理解、运用知识的能力． 二、教学重、难点 重点：用秦九韶算法计算高次多项式的值． 难点：用循环结构表示“秦九韶算法”的算法步骤． 三、教学方法：情景教学法、启发式教学法、练习法和讲授法． 四、教学用具：电脑、投影仪、计算器． 五、教学设计 （一）提出问题，引出新课 当x=5时，求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1的值 让学生填空:
一个自然的做法：把5代入多项式f(x)，计算各项的值，然后把它们加起来，这时你一共做了 10 次乘法运算， 5次加法运算. 另一种做法：先计算x 2的值，然后一次计算x 2﹒x,( x 2﹒x)﹒x,( (x 2﹒x)﹒x)﹒x 的值，这样每次都可以用上一次的结果，这时你用了 4 次乘法运算， 5 次加法运算. 显然，第二种做法少了6次乘法运算。这第二种算法就叫秦九韶算法(秦九韶，我国南宋时期的数学家，其着作有《数书九章》). 秦九韶算法就来自于秦九韶的《数书九章》. （二）探究新知 1、秦九韶算法 把一个n 次多项式()0111a x a x a x a x f n n n n ++++=-- 改写成如下形式: 求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值,即 然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即 这样，求n 次多项式()x f 的值就转化为求n 个一次多项式的值． 上述方法称为秦九韶算法. 直到今天,这种算法仍是多项式求值比较先进的算法. 2、用秦九韶算法计算高次多项式的值 例1 已知一个5次多项式为(),8.07.16.25.3242345-+-++=x x x x x x f 用秦九韶算法求这个多项式当5=x 时的值. 解：将多项式变形为： 按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x = 5时的值： 所以，当x = 5时，多项式的值等于 另解：（秦九韶算法的另一种直观算法）
第2课时案例2 秦九韶算法 授课时间：第周年月日（星期） 导入新课 思路1（情境导入） 大家都喜欢吃苹果吧，我们吃苹果都是从外到里一口一口的吃，而虫子却是先钻到苹果里面从里到外一口一口的吃，由此看来处理同一个问题的方法多种多样.怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？方法也是多种多样的，今天我们开始学习秦九韶算法. 思路2（直接导入） 前面我们学习了辗转相除法与更相减损术，今天我们开始学习秦九韶算法. 推进新课 新知探究 提出问题 （1）求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值有哪些方法？比较它们的特点. （2）什么是秦九韶算法？ （3）怎样评价一个算法的好坏？ 讨论结果： （1）怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？ 一个自然的做法就是把5代入多项式f(x)，计算各项的值，然后把它们加起来，这时，我们一共做了1+2+3+4=10次乘法运算，5次加法运算. 另一种做法是先计算x2的值，然后依次计算x2·x，（x2·x）·x，（（x2·x）·x）·x的值，这样每次都可以利用上一次计算的结果，这时，我们一共做了4次乘法运算，5次加法运算.
第二种做法与第一种做法相比，乘法的运算次数减少了，因而能够提高运算效率，对于计算机来说，做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多，所以采用第二种做法，计算机能更快地得到结果. （2）上面问题有没有更有效的算法呢？我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202~1261）在他的著作《数书九章》中提出了下面的算法： 把一个n次多项式f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0改写成如下形式： f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0 =（a n x n-1+a n-1x n-2+…+a1）x+ a0 =（（a n x n-2+a n-1x n-3+…+a2）x+a1)x+a0 =… =（…（（a n x+a n-1）x+a n-2）x+…+a1）x+a0. 求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即 v1=a n x+a n-1， 然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即 v2=v1x+a n-2， v3=v2x+a n-3， … v n=v n-1x+a0， 这样，求n次多项式f（x）的值就转化为求n个一次多项式的值. 上述方法称为秦九韶算法.直到今天，这种算法仍是多项式求值比较先进的算法. （3）计算机的一个很重要的特点就是运算速度快，但即便如此，算法好坏的一个重要标志仍然是运算的次数.如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数，那么这
《秦九韶算法》说课稿 各位老师： 大家好!我叫***，来自**。我说课的题目是《秦九韶算法》，内容选自于新课程人教A版必修3第一章第三节，课时安排为一个课时。下面我将从教材分析、教学目标分析、教学方法与手段分析、学法分析和教学过程分析等五大方面来阐述我对这节课的分析和设计： 一、教材分析 1．教材所处的地位和作用 本节课是继上节课学习了算法案例的案例一之后，继续学习的算法案例二，学生们在学习中国古代数学中的算法案例二时,进一步体会算法的特点。学习了秦九韶算法之后，能使许多复杂的算法简单化，减少计算次数提高计算效率。 2．教学的重点和难点 重点：秦九韶算法的特点及其程序设计（理解秦九韶算法的思想。） 难点：秦九韶算法的先进性理解及其程序设计（用循环结构表示算法步骤。） 二、教学目标分析 1．知识与技能目标： 了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质。 2．过程与方法目标： 模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙。了解数学计算转换为计算机计算的途径，从而探究计算机算法与数学算法的区别，体会计算机对数学学习的辅助作用。 3．情感,态度和价值观目标 通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学家对数学的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久。 三、教学方法与手段分析 1．教学方法：充分发挥学生的主体作用和教师的主导作用，采用启发式，并遵循循序渐进的教学原则。这有利于学生掌握从现象到本质，从已知到未知逐步形成概念的学 习方法，有利于发展学生抽象思维能力和逻辑推理能力。 2．教学手段：通过各种教学媒体（计算机）调动学生参与课堂教学的主动性与积极性。 四、学法分析 探究秦九韶算法，对比一般计算方法中计算次数的改变，体会科学的计算方法。 五、教学过程分析 ㈠创设情景 在课的开始，给出一个例题： 例1 设计求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值的算法。（学生自己提出一般的解决方案：将x=5代入多项式进行计算即可） 然后提出问题1：例1计算时需要多少次乘法计算？多少次加法计算？有什么优缺点？ 学生回答后教师点评：上述算法一共做了15次乘法运算，5次加法运算，优点是简单，易懂。缺点是不通用，不能解决任意多项式的求值问题，而且计算效率不高。 ㈡探索新知 1.提问2：有没有更高效的算法？ 计算x的幂时，可以利用前面的计算结果，以减少计算量，即先计算x2，然后依次计
《秦九韶算法》教学设计 一、教学目标 （一）知识与技能 1、理解秦九韶算法的计算过程及其程序； 2、会用秦九韶算法计算高次多项式的值． （二）过程与方法 1、体验用秦九韶算法计算高次多项式的值的过程； 2、体验写秦九韶算法的程序的过程． （三）情感态度与价值观 1、通过对秦九韶算法的理解和运用，体会我国古代数学家对数学的贡献，激发学生的民族自豪感和爱国热情,增强他们学习数学的积极性； 2、培养学生理解、运用知识的能力． 二、教学重、难点 重点：用秦九韶算法计算高次多项式的值． 难点：用循环结构表示“秦九韶算法”的算法步骤． 三、教学方法：情景教学法、启发式教学法、练习法和讲授法． 四、教学用具：电脑、投影仪、计算器． 五、教学设计 （一）提出问题，引出新课 当x=5时，求多项式f(x)=x 5+x 4+x 3+x 2+x+1的值？ 让学生填空: 一个自然的做法：把5代入多项式f(x)，计算各项的值，然后把它们加起来，这时你一共做了 10 次乘法运算， 5次加法运算. 另一种做法：先计算x 2的值，然后一次计算x 2﹒x,( x 2﹒x)﹒x,( (x 2﹒x)﹒x)﹒x 的值，这样每次都可以用上一次的结果，这时你用了 4 次乘法运算， 5 次加法运算. 显然，第二种做法少了6次乘法运算。这第二种算法就叫秦九韶算法(秦九韶，我国南宋时期的数学家，其著作有《数书九章》). 秦九韶算法就来自于秦九韶的《数书九章》. （二）探究新知 1、秦九韶算法 把一个n 次多项式()0111a x a x a x a x f n n n n ++++=--Λ改写成如下形式: 12101231201322110 12211)))((())(()()(a a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a x f n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++==+++++=+++++=+++++=--------------ΛΛΛ ΛΛΛΛ 求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值,即 ,11-+=n n a x a v
算法案例 三维目标 1．知识与技能 (1)理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析． (2)基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序． (3)了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质． 2．过程与方法 (1)在辗转相除法与更相减损术求最大公约数的学习过程中对比我们常见的约分求公因式的方法，比较它们在算法上的区别，并从程序的学习中体会数学的严谨，领会数学算法计算机处理的结合方式，初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤． (2)模仿秦九韶算法，体会古人计算构思的巧妙． (3)通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学家对数学的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久．通过对排序法的学习，领会数学计算与计算机计算的区别，充分认识信息技术对数学的促进． 3．情感、态度与价值观 (1)通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献． (2)在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严谨的逻辑思维能力，在利用算法解决数学问题的过程中培养理性的精神和动手实践的能力． 重点难点 重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法及秦九韶算法的特点． 难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言． 教学建议 在学生学习了算法的初步知识，理解了表示算法的算法步骤、程序框图和程序三种不同方式以后，再结合典型算法案例，让学生经历设计算法解决问题的全过程，体验算法在解决问题中的重要作用，体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能力． 建议充分发挥学生的主体作用和教师的主导作用，采用启发式，并遵循循序渐进的教学原则．这有利于学生掌握从现象到本质，从已知到未知逐步形成概念的学习方法，有利于发展学生抽象思维能力和逻辑推理能力． 以问题为载体，让学生经历知识的形成过程和发展过程，从而突出教学重点，通过各种教学媒体(计算机)调动学生参与课堂教学的主动性与积极性，增加课堂容量，有利于学生活动的充分展开．
辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法 【问题导思】 1．36与60的最大公约数是多少？你是如何得到的？ 【提示】先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来即为最大公约数．由于 ，故36与60的最大公约数为2×2×3＝12. 2．观察下列等式8 251＝6 105×1＋2 146，那么8 251与6 105这两个数的公约数和6 105与2 146的公约数有什么关系？ 【提示】8 251的最大约数是2 146的约数，同样6 105与2 146的公约数也是8 251的约数，故8 251与6 105的最大公约数也是6 105与2 146的最大公约数．辗转相除法的算法步骤 第一步，给定两个正整数m、n. 第二步，计算m除以n所得的余数r. 第三步，m＝n，n＝r. 第四步，若r 【问题导思】 设两个正整数m>n(m>n)，若m－n＝k，则m与n的最大公约数和n与k的最大公约数相等，反复利用这个原理，可求得98与63的最大公约数是多少？ 【提示】98－63＝35,63－35＝28,35－28＝7,28－7＝21,21－7＝14,14－7＝7，∴98与63的最大公约数为7. 更相减损术的算法步骤 第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步． 第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的差与减数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.
将f(x)n n－1n－21a0. 具体算法如下： (1)计算最内层括号内一次多项式的值，即v1＝a n x＋a n－1. (2)由内向外逐层计算多项式的值，即 v2＝v1x＋a n－2， v3＝v2x＋a n－3， … v n＝v n－1x＋a0. 用辗转相除法求228与1 995的最大公约数． 【思路探究】使用辗转相除法可根据m＝nq＋r，反复相除直到r＝0为止． 【自主解答】 1 995＝8×228＋171， 228＝1×171＋57， 171＝3×57， ∴228与1 995的最大公约数为57.
高中数学新课程----算法案例 一．【课标要求】 通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。 二．【命题走向】 算法是高中数学新课程中的新增内容，本讲的重点是几种重要的算法案例思想，复习时重算法的思想轻算法和程序的构造。 预测2020年高考队本讲的考察是：以选择题或填空题的形式出现，分值在5分左右，考察的热点是算法实例和传统数学知识的结合题目 三．【要点精讲】 1．求最大公约数 （1）短除法 求两个正整数的最大公约数的步骤：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是两个互质数为止，然后把所有的除数连乘起来 （2）穷举法（也叫枚举法） 穷举法求两个正整数的最大公约数的解题步骤：从两个数中较小数开始由大到小列举，直到找到公约数立即中断列举，得到的公约数便是最大公约数 （3）辗转相除法 辗转相除法求两个数的最大公约数，其算法可以描述如下： ①输入两个正整数m和n； ②求余数r：计算m除以n，将所得余数存放到变量r中； ③更新被除数和余数：m=n，n=r； ④判断余数r是否为0。若余数为0，则输出结果；否则转向第②步继续循环执行 如此循环，直到得到结果为止。 （4）更相减损术 我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。在《九章算术》中记载了更相减损术求最大公约数的步骤：可半者半之，不可半者，副置分母?子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之 步骤： Ⅰ．任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用
2约简；若不是，执行第二步。 Ⅱ．以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。 2．秦九韶算法 秦九韶算法的一般规则： 秦九韶算法适用一般的多项式f(x)=a n x n +a n-1x n-1 +….+a 1x+a 0 的求值问题。用秦九韶算法求一般多项式 f(x)=a n x n +a n-1x n-1 +….+a 1x+a 0当x=x 0时的函数值，可把n 次多项式的求值问题转化成求n 个一次多项式的值的问题，即求 v 0=a n v 1=a n x+a n －1 v 2=v 1x+a n －2 v 3=v 2x+a n －3 …….. v n =v n －1x+a 0 观察秦九韶算法的数学模型，计算v k 时要用到v k －1的值，若令v 0=a n 。 我们可以得到下面的递推公式： v 0=a n v k =v k －1+a n －k (k=1,2,…n) 这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，可以用循环结构来实现 3．进位制 （1）概念 进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为n ，即可称n 进位制，简称n 进制。现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0—9进行记数。 对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。比如：十进数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的。 一般地，若k 是一个大于一的整数，那么以k 为基数的k 进制可以表示为： 110() 110...(0,0,...,,) n n k n n a a a a a k a a a k --<<≤<，
数学：《算法案例-进位制》（公开课）教案（新人教A版 必修3） 豆丁文档--教育资源 必修3第一章1.3算法案例:案例3进位制【教学目标】: (1) 了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位 制之间的转换。 (2) 学习各种进位制转换成十进制的计算方法，研究十进制转换为各种进位制的除k去余法，并理解 其中的数学规律。 【教学重点】各进位制表示数的方法及各进位制之间的转换 【教学难点】除k取余法的理解 【情感态度价值观】学生通过合作完成任务，领悟十进制，二进制的特点，了解计算机与二进制的联系，进一步认识到计算机与数学的联系,培养他们的合作精神和严谨的态度。【教学方法】讲解法、尝试法、归纳法、讨论法、【教学用具】多媒体电脑 【学法】学习各种进位制特点的同时探讨进位制表示数与十进制表示数的区别与联系，熟悉各种进位制表示数的方法，从而理解十进制转换为各种进位制的除k取余法。 【教学过程】 一、创设情景，揭示课题 辗转相除法和更相减损术，是求两个正整数的最大公约数的算法，秦九韶算法是求多项式的值的算法，将这些算法转化为程序，就可以由计算机来完成相关运
算。人们为了计数和运算方便，约定了各种进位制，本节课我们来共同学习《进位制》 你都了解那些进位制,比如说, 在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进位制，据说这与古人曾以手指计数有 关;由于计算机的计算与记忆元件特点，计算机上通用的是二进位制;一周七天是 七进位;一年十二个月(生肖、一打)是十二进制;旧式的称是十六进制;(老称一斤为16两，故而有了半斤八两之说)、24进制(节气)一小时六十分、角度的单位 是六十进位制。 二进制是有德国数学家莱布尼兹发明的。第一台计算机ENIAC(埃尼阿克)用的就是 十进制。计算机之父冯?诺伊曼研究后，提出改进意见，用二进制替代十进制。 主要原因?二进制只有0和1两个数字，要得到两种不同稳定状态的电子器件很容 易，而且制造简单，可靠性高;?各种计数法中，二进制运算规则简单。如:十进 制乘法叫九九表，二进制只有4句。(备用) 二、进位制的概念(课件显示) 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统。 约定满二进一，就是二进制; 满十进一，就是十进制; 满十二进一，就是十二进制;等等，也
秦九韶算法 一、教学目标：使学生掌握秦九韶算法的基本思想方法，并会设计其程序框图，且会将其转化为程序语 句。 二、德育目标：通过学习使学生了解中国古代数学对世界数学发展的贡献。 三、教学重点和难点：程序框图的设计。 四、教学过程： 1、引入：秦九韶简介：秦九韶 （公元1202-1261年）南宋，数学家。他在1247年（淳佑七年）着成『数书九章』十八卷．全书共81道题，分为九大类：大衍类、天时类、田域类、测望类、赋役类、钱谷类、营建类、军旅类、市易类。这是一部划时代的巨著，它总结了前人在开方中所使用的列筹方法，将其整齐而有系统地应用到高次方程的有理或无理根的求解上去，其中对「大衍求一术」﹝一次同余组解法）和「正负开方术」﹝高次方程的数值解法）等有十分深入的研究。其中的”大衍求一术”﹝一次同余组解法），在世界数学史上占有崇高的地位。在古代＜孙子算经＞中载有”物不知数”这个问题，举例说明：有一数，三三数之余二，五五数之余二，七七数之余二，问此数为何？这一类问题的解法可以推广成解一次同余式组的一般方法．奏九韶给出了理论上的证明，并将它定名为”大衍求一术”。这节课我们主要研 究的是秦九韶算法中的一种。即f(x)=1+x+0.5x 2+0. 16667x 3+0.04167x 4+0.00833x 5 在x=-0.2的值 2、新授： （1） 问题的转化： 先由学生直接代入计算的结果；然后再代入 f(x)=1+(1+(0.5+（0.16667+（0.04167+0.00833x ）x ）x)x)x 计算并把两算法进行比较，显然后者的计算量要少的多。因此计算类似问题可以用逐次提取的办法，然后利用递推公式： ???+==--k n k k k a x v v a v 10 进行计算，于是可以利用循环结构设计出算法。 （2）程序及框图：
〔学案〕1.3算法案例――－秦九韶算法 学习目标： （1）在学习中国古代数学中的算法案例的同时，进一步体会算法的特点。 （2）体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。 学习重点和难点： （1）重点：理解秦九韶算法的思想。 （2）难点：用循环结构表示算法的步骤。 学习过程； 一、 新课引入 在数学的发展史上，从公元前2、3世纪公元14世纪，中国的数学虽有过高潮，也有过低落，但一直走在世界的前列，是世界数学的中心。中国古代数学对世界数学发展有着不可磨灭的贡献。秦九韶算法就是中国古代数学的一枝奇葩。今天这节课我们领略秦九韶算法的魅力。 二、自主探究+教师作关键性的引导 （1）设计求多项式763452)(2345+-+--=x x x x x x f 当x=5时的值的算法，并写出程序。 （2）有没有更高效的算法？能否探求更好的算法，来解决任意多项式的求解问题？ T 引导学生把多项式变形为： 7 )6)3)4)52((((7 63452)(2 3 4 5 +-+--=--+--=x x x x x x x x x x x f 并提问：从内到外，如果把每一个括号都看成一个常数，那么变形后的式子中有哪些“一次式”？x 的系数依次是什么？ （3）若将x 的值代入变形后的式子中，那么求值的计算过程是怎样的？ 最后得系数2677即为所求的值。 三、合作探究+教师作关键性的引导 （4）让学生描述上述计算过程。 （5）用秦九韶算法求多项式的值，与多项式组成有直接关系吗？用秦九韶算法计算上述多项式的值，需要多少次乘法运算和多少次加法运算？ （6）秦九韶算法适用于一般的多项式011 1)(a x a x a x a x f n n n n ++???++=--的求值问题吗？ （7）T 引导S 思考：把n 次多项式的求值问题转化成求n 个一次多项式的值的问题，即求：
《计算方法》教案 课程名称：计算方法 适用专业：医学信息技术 适用年级：二年级 任课教师：张利萍 编写时间：2011年 8月 新疆医科大学工程学院张利萍
教案目录 《计算方法》教学大纲 (4) 一、课程的性质与任务 (4) 二、课程的教学内容、基本要求及学时分配 (4) 三、课程改革与特色 (5) 四、推荐教材及参考书 (5) 《计算方法》教学日历.................................. 错误！未定义书签。第一章绪论 .. (6) 第1讲绪论有效数字 (6) 第2讲误差……………………………………………………………………………… 第二章线性方程组的直接法 (14) 第3讲直接法、高斯消去法 (14) 第4讲高斯列主元消去法 (22) 第5讲平方根法、追赶法 (29) 第三章插值法与最小二乘法 (31) 第6讲机械求积、插值型求积公式 (32) 第7讲牛顿柯特斯公式、复化求积公式 (37) 第8讲高斯公式、数值微分 (42) 第9讲 第10讲 第12讲 第四章数值积分与数值微分 (48) 第11讲欧拉公式、改进的欧拉公式 (48) 第12讲龙格库塔方法、亚当姆斯方法 (52) 第13讲收敛性与稳定性、方程组与高阶方程 (56) 第14讲 第15讲 第五章微分常微分方程的差分方法 (59) 第16讲迭代收敛性与迭代加速 (60) 第17讲牛顿法、弦截法 (64) 第18讲 第19讲 第20讲 第六章线性方程组的迭代法 (67) 第21讲迭代公式的建立 (68)
第22讲 第23讲 第24讲向量范数、迭代收敛性 (71) 第25讲
1.3.2秦九韶算法与排序 （1）教学目标 （a ）知识与技能 1.了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质。 2.掌握数据排序的原理能使用直接排序法与冒泡排序法给一组数据排序，进而能设计冒泡排序法的程序框图及程序，理解数学算法与计算机算法的区别，理解计算机对数学的辅助作用。 （b ）过程与方法 模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙。能根据排序法中的直接插入排序法与冒泡排序法的步骤，了解数学计算转换为计算机计算的途径，从而探究计算机算法与数学算法的区别，体会计算机对数学学习的辅助作用。 （c ）情态与价值 通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学家对数学的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久。通过对排序法的学习，领会数学计算与计算机计算的区别，充分认识信息技术对数学的促进。 （2）教学重难点 重点：1.秦九韶算法的特点 2.两种排序法的排序步骤及计算机程序设计 难点：1.秦九韶算法的先进性理解 2.排序法的计算机程序设计 （3）学法与教学用具 学法：1.探究秦九韶算法对比一般计算方法中计算次数的改变，体会科学的计算。 2.模仿排序法中数字排序的步骤，理解计算机计算的一般步骤，领会数学计算在计算机上实施的要求。 教学用具：电脑，计算器，图形计算器 （4）教学设想 （一）创设情景，揭示课题 我们已经学过了多项式的计算，下面我们计算一下多项式 1)(2345+++++=x x x x x x f 当5=x 时的值，并统计所做的计算的种类及计算次数。 根据我们的计算统计可以得出我们共需要10次乘法运算，5次加法运算。 我们把多项式变形为：1)))1(1(1()(2+++++=x x x x x x f 再统计一下计算当5 =x 时的值时需要的计算次数，可以得出仅需4次乘法和5次加法运算即可得出结果。显然少了6次乘法运算。这种算法就叫秦九韶算法。 （二）研探新知 1.秦九韶计算多项式的方法
算法案例 教学目标： 本节通过算法案例的学习，进一步理解算法的含义，掌握算法设计的常用方法. 教学重点： 如何在伪代码中运用条件语句. 教学难点： 如何在伪代码中运用条件语句. 教学过程： Ⅰ.课题导入 1.中国古代数学中算法的内容是非常丰富的，比如，中国古代数学著作《九章算术》中介绍了下述“约分术”：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也.以等数约之.”给出了求任意两个数的最大公约数的一种算法，被后人称为“更相减损术”.这种方法与欧氏的辗转相除法异曲同工，本质上是相同的. 2.中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究.秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来.研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时决定解的个数；③求出所有的解. 二分法是用计算机求解多项式方程的一种常用方法.基本思想是：如果取［a ，b ］的中点x 0=（a +b ）/2；若f (x 0)=0，则x 0就是方程的根，若f (a )f (x 0)>0，则解在（x 0，b ）上，以x 0代替a ，否则解在（a ， x 0）之间，以x 0代替b ，重复上述步骤，直到|a －b | 第二课时 1.3.2 算法案例---秦九韶算法 教学要求：了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以 减少计算次数、提高计算效率的实质；理解数学算法与计算机算法的 区别，理解计算机对数学的辅助作用. 教学重点：秦九韶算法的特点及其程序设计. 教学难点：秦九韶算法的先进性理解及其程序设计. 教学过程： 一、复习准备： 1. 分别用辗转相除法和更相减损术求出两个正数623和1513的最大 公约数. 2. 设计一个求多项式5432 x=时的值的 ()254367 =--+-+当5 f x x x x x x 算法. （学生自己提出一般的解决方案：将5 x=代入多项式进行计算 即可） 提问：上述算法在计算时共用了多少次乘法运算？多少次加法运算？ 此方案有何优缺点？(上述算法一共做了5＋4＋3＋2＋1＝15次乘法 运算，5次加法运算. 优点是简单、易懂；缺点是不通用，不能解决 任意多项式的求值问题，而且计算效率不高.) 二、讲授新课： 1. 教学秦九韶算法： ①提问：在计算x的幂值时，可以利用前面的计算结果，以减少计 算量，即先计算2x，然后依次计算2x x?，2() ??，2 x x x ???的值， x x x x (()) 这样计算上述多项式的值，一共需要多少次乘法，多少次加法?（上 述算法一共做了4次乘法运算，5次加法运算） ②结论：第二种做法与第一种做法相比，乘法的运算次数减少了， 因而能提高运算效率，而且对于计算机来说，做一次乘法所需的运算 时间比做一次加法要长得多，因此第二种做法能更快地得到结果. ③更有效的一种算法是： 将多项式变形为： ， 5432 =--+-+= ()254367 f x x x x x x 依次计算2555 ?-=， ?+=，10856534 ?-=，55421 ?-=，2153108 ?+= 534572677 故(5)2677 f=. ――这种算法就是“秦九韶算法”. （注意变形，强 调格式） ④练习：用秦九韶算法求多项式432 x=时的 =+-++当4 f x x x x x ()2351 值.人教版高中数学必修三(教案)1.3 秦九韶算法
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