短期生产函数与成本曲线图

短期生产开始时，由于可变要素相对于不

可变要素投入量而言明显不足，所以边际报酬是递增的，即增加一单位可变要素劳动的投入所生产的边际产量是递增的，增加一个工人生产的产出大于以前工人生产的产出，由于新增劳动力是企业增加产出的成本，所以1单位产出所需增加的工人人数减少了，即这一阶段增加一单位产量所需的边际成本是递减的。因此在该阶段，劳动的边际产量上升，边际成本递减。由于总产量上各点的斜率是边际产量，所以总产量以递增的速度增加，同理，总成本上各点的斜率是边际成本，所以总成本曲线以递减的速度增加。 随着可变生产要素的持续增加，由于任何产品的生产过程中，可变要素和不可变要素之间都有一个最佳配合比例，当超过这个临界点后，边际报酬递减规律发生作用，也即增加一单位可变要素投入所带来的边际产量是递减的（总产量曲线以递减的速度增加），反过来说，1单位产出所需要的劳动人数增加了，由于劳动是企业的成本支出，所以每增加一单位产量所需要的边际成本增加了。因此，边际产量曲线下降，同时，边际成本递减。 从图中可看出边际量和平均量的关系：只要边际量大于平均量，平均量往上升；反之，只要边际量小于平均量，平均量下降。 另一种方法，用数学方法证明：

()()Q L Q w Q

Q L w Q TVC AVC 1?=?== 即

L AP w AVC 1?

= 上式反映了平均产量与平均可变成本的关系： 首先，AP L 与AVC 成反比。当AP L 递减时，AVC 递增；当AP L 递增时，AVC 递减；当AP L 达到最大值时，AVC 最小。因此AP L 曲线的顶点对应AVC 曲线的最低点。

第二，由于产量曲线中MP L 曲线与AP L 曲线在AP L 曲线的顶点相交，所以MC 曲线在AVC 曲线的最低点与其相交。

短期生产函数和短期成本函数之间的对应关系 Q O

边际产量与边际成本：

()()dQ k r Q L w d dQ dTC MC ?+?== ()0+?=dQ Q dL w

又因为： ()Q dL dQ MP L =

所以： L

MP w MC 1?= 从推导的结果可以看出，边际成本MC 与边际产量MP L 也成反比关系。由于MP L 曲线先上升，然后下降，所以MC 曲线先下降，然后上升；且MC 曲线的最低点对应MP L 曲线的顶点。

从上式中可看出，生产函数与成本函数存在对偶关系，可以由生产函数推导出成本函数。结合MP 与MC 的关系可知：当TP L 曲线以递增的速度上升时，TC 曲线和TVC 曲线以递减的速度上升；当TP L 曲线以递减的速度上升时，TC 曲线和TVC 曲线以递增的速度上升；TP L 曲线上的拐点对应TC 曲线和TVC 曲线上的拐点。

一些常用函数的曲线图及应用简说

1：正弦余弦曲线：更一般应用的正弦曲线公式为： A 为波幅（纵轴），ω 为（相位矢量）角频率=2PI/T，T为周期，t 为时间（横轴），θ 为相位（横轴左右）。 周期函数：正余弦函数可用来表达周期函数。 例如，正弦和余弦函数被用来描述简谐运动，还可描述很多自然现象，比如附着在弹簧上的物体的振动，挂在绳子上物体的小角度摆动。正弦和余弦函数是圆周运动一维投影。 三角函数在一般周期函数的研究中极为有用。这些函数有作为图像的特征波模式，在描述循环现象比如声波或光波的时候很有用。每一个信号都可以记为不同频率的正弦和。 谐波数目递增的方波的加法合成的动画。 余弦函数的（通常是无限的）和；这是傅立叶分析的基础想法。例如，方波可以写为傅立叶级数： 在动画中，可以看到只用少数的项就已经形成了非常准确的估计。 如果明白了上书基本原理，也就不难理解我所用的浮动频率合成曲线的道理。

2：指数函数：形如y=ka x的函数，k为常系数，这里的a叫做“底数”，是不等于1 的任何正实数。指数函数按恒定速率翻倍，可以用来表达形象与刻画发展型的体系，比如金价2001年以来的牛市轨迹基本就是指数方程曲线。 特例：应用到值x上的这个函数可写为exp(x)。还可以等价的写为e x，这里的e是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于 2.718281828，还叫做欧拉数。 即函数： 定义于所有的a > 0，和所有的实数x。它叫做底数为a的指数函数。注意这 个的定义依赖于先前确立的定义于所有实数上的函数的存在。注意上述等式对于a = e成立，因为 指数函数可“在加法和乘法之间转换”，在下列“指数定律”的前三个和第五个中表述: 它们对所有正实数a与b和所有实数x与y都是有效的。

各种函数图象

各种函数图象 底数与指数函数图像: (1)由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点(1，a)可知:在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。 (2)由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点(-1，1/a)可知:在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。 (3)指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为:在y轴右边“底大图高”;在y轴左边“底大图低”。(如右图)》。 右图给出对于不同大小a所表示的函数图形: 可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。 (1) 对数函数的定义域为大于0的实数集合。 (2) 对数函数的值域为全部实数集合。 (3) 函数图像总是通过(1，0)点。 (4) a大于1时，为单调增函数，并且上凸;a大于0小于1时，函数为单调减函数，并且下凹。 (5) 显然对数函数无界。

形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的 函数称为幂函数。当a取非零的有理数时是比较容易理解的，而对于a取无理数时，初学者则不大容易理解了。因此，在初等函数里，我们不要求掌握指数为无理数的问题，只需接受它作为一个已知事实即可，因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识。特性 对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性: 首先我 们知道如果a=p/q，且p/q为既约分数(即p、q互质)，q和p都是整数，则 x^(p/q)=q次根号下(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是 偶数，函数的定义域是[0,，?)。当指数a是负整数时，设a=-k，则y=1/(x^k)， 显然x?0，函数的定义域是(,?，0)?(0,，?)。因此可以看到x所受到的限制来源 于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为 负数，那么我们就可以知道: 排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以 是任意实数; 排除了为0这种可能，即对于x<0或x>0的所有实数，q不能是偶数; 排除了为负数这种可能，即对于x为大于或等于0的所有实数，a就不能是负数。 定义域与值域

短期生产函数与成本曲线图

Q TP L O L （a） Q AP L O L （ b）MP L C MC AC AVC O Q （ c） C TC TVC TFC O Q （d） 短期生产函数和短期成本函数之间的对应关系 短期生产开始时，由于可变要素相对于不可变要素投入量而言明显不足，所以边际报酬是递增的，即增加一单位可变要素劳动的投入所生产的边际产量是递增的，增加一个工人生产的产出大于以前工人生产的产出，由于新增劳动力是企业增加产出的成本，所以 1 单位产出所需增加的工人人数减少了，即这一阶段增加一单位产量所需的边际成本是递减的。因此在该阶段，劳动的边际产量上升，边际成本递减。由于总产量上各点的斜率是边际产量，所以总产量以递增的速度增加，同理，总成本上各点的斜率是边际成本，所以总成本曲线以递减的速度增加。 随着可变生产要素的持续增加，由于任何产品的生产过程中，可变要素和不可变要素之间都有一个最佳配合比例，当超过这个临界点后，边际报酬递减规律发生作用，也即增加一单位可变要素投入所带来的边际产量是递减的（总产量曲线以递减的速度增加），反过来说， 1 单位产出所需要的劳动人数增加了，由于劳动是企业的成本支出，所以每增加一单位产量所需要的边际成本增加了。因此，边际产量曲线下降，同时，边际成本递减。 从图中可看出边际量和平均量的关系：只要边际量大于平均量，平均量往上升；反之，只要边际量小于平均量，平均量下降。 另一种方法，用数学方法证明： TVC w L Q1 AVC Q w Q Q L Q即 1 AVC w AP L 上式反映了平均产量与平均可变成本的关系： 首先， AP L与 AVC成反比。当 AP L递减时， AVC递增；当 AP L递增时， AVC递减；当AP L达到最大值时，AVC最小。因此AP L曲线的顶点对应AVC曲线的最低点。 第二，由于产量曲线中 MP L曲线与 AP L曲线在 AP L曲线的顶点相交，所以 MC 曲线在 AVC曲线的最低点与其相交。

EXCEL表画曲线图方法

函数画曲线的方法用Excel引用1．用Excel 函数画曲线图的一般方法 因为Excel有强大的计算功能，而且有数据填充柄这个有力的工具，所以，绘制曲线还是十分方便的。用Excel画曲线的最大优点是不失真。大体步骤是这样的：⑴用“开始”→“程序”→“Microsoft office”→”Excel”,以进入Excel窗口。再考虑画曲线，为此： ⑵在A1 和A2单元格输入自变量的两个最低取值，并用填充柄把其它取值自动填入； ⑶在B列输入与A列自变量对应的数据或计算结果。有三种方法输入： 第一种方法是手工逐项输入的方法，这种方法适合无确定数字规律的数据：例如日产量或月销售量等； 第二种方法是手工输入计算公式法：这种方法适合在Excel的函数中没有列入粘贴函数的情况，例如，计算Y=3X^2时，没有现成的函数可用，就必须自己键入公式后，再进行计算； 第三种方法是利用Excel 中的函数的方法，因为在Excel中提供了大量的内部预定义的公式，包括常用函数、数学和三角函数、统计函数、财务函数、文本函数等等。 怎样用手工输入计算公式和怎样利用Excel的函数直接得出计算结果，下面将分别以例题的形式予以说明； ⑷开始画曲线：同时选择A列和B列的数据→“插入”→“图表”→这时出现如下图所示的图表向导: 选“XY散点图”→在“子图表类型”中选择如图所选择的曲线形式→再点击下面的‘按下不放可查看示例'钮，以查看曲线的形状→“下一步”→选“系列产生在列”→“下一步”→“标题”（输入本图表的名称）→“坐标”（是否默认或

取消图中的X轴和Y轴数据）→“网络线”（决定是否要网格线）→“下一步”后，图形就完成了； ⑸自定义绘图区格式：因为在Excel工作表上的曲线底色是灰色的，线条的类型（如连线、点线等）也不一定满足需要，为此，可右击这个图，选“绘图区格式”→“自定义”→“样式”（选择线条样式）→“颜色”（如果是准备将这个曲线用在Word上，应该选择白色）→“粗细”（选择线条的粗细）。 ⑹把这个图形复制到Word中进行必要的裁剪； ⑺把经过裁剪过的图形复制到Word画图程序的画板上，进行补画直线或坐标，或修补或写字，“保存”后，曲线图就完成了。 2.举例 下面针对三种不同的情况举三个例子说明如下： 例1. 下图是今年高考试题的一个曲线图，已知抛物线公式是Y=2X^2 ，请画出其曲线图。 因为不能直接利用Excel给出的函数，所以，其曲线数据应该用自己输入公式的方法计算出来，画图步骤如下： ⑴用“开始”→“程序”→“Microsoft Office”→”Excel”进入Excel界面；首先画抛物线，为此： ⑵在A1单元格输入“-10”;在A2单元格输入“-9”,并用填充柄把自变量的取值拖到“10”。具体方法是：选择A1和A2单元格，并把鼠标指针拖到A2单元格的右下角，使鼠标指针变成细十字型时，按住鼠标往下拖，直至出现”10”为止。这样，就把自变量x的取值都列出来了； ⑶利用输入公式的方法求出函数值，并把结果列在B列上与A列的自变量相对应的位置。为此：单击选定单元格B1→单击编辑区的空格，在空格栏出现竖直形状指针后，输入“= 2*A1^2”(见下图，这是计算机能认识的公式，且等号和乘号都不可省)→回车→这时在B1单元格将出现数值“200”→用填充柄把B列的数据填满。

短期成本函数──长期成本函数

短期成本函数长期成本函数 研究对象C=Φ(Q) 要素价格不变情况下，成本随产量变化而变化的轨迹 获取方法从生产函数与成本方程推导得出 基本概念FC──固定成本（Fixed Cost） AFC──平均固定成本 VC──可变成本（Variable Cost） AVC──平均可变成本 TC──总成本（Total Cost） AC──平均总成本 MC──边际成本（Marginal Cost） 关系表达式STC=SVC+SFC LTC（长期总成本）=STC包络线AC=AVC（平均可变成本）+AFC（平均固定成本） LMC（长期边际成本）不是SMC的包络线 关系函数短期总成本曲线（TC） ?FC是一常数，是一条与横轴平行的直线——表示 不随产量的变动而变动。 ?VC曲线是一条从原点出发且向右上方倾斜的曲线 ———表示随产量的增加而增加，但先以递减的速 率 增加，后以递增的速率增加。 ?TC曲线的形状与VC曲线相同，向右上方倾 斜。与VC曲线之间的距离即是FC。 长期总成本曲线（LTC） ?LTC是STC的包络线，两者形状相同； ?LTC与STC相切但不相交。 ?LTC形状由规模报酬先递增后递减决定；STC形 状由可变要素边际收益率先递增后递减决定。 C O FC VC TC F C 总成本 可变成本 固定成本 Q C q 1 STC 1 Q STC 2 STC 3 LTC q 2 q 3

短期平均成本曲线（） ? 固定不变的FC 随产量的增加，其与产量的比值越来越小，即为AFC 。 ? AC 、AVC 随产量的增加而趋向接近。 ? AC 、AVC 间的垂直距离就是AFC 。 长期平均成本线（） ? LAC 与SAC 的联系 LAC 是SAC 的包络线，都呈U 形；当且仅当LAC 处于最低点，唯一对应的SAC 也在最低点与其相切。 ? LAC 与SAC 的区别 LAC 最低点：最佳工厂规模； SAC 最低点：最优产出率 短期边际成本曲线（） ? TC （VC ）曲线上点的切线的斜率就是MC （即导数）。 ? 边际成本的变化引起和决定总成本和平均成本的变化。 长期边际成曲线（） ? 长期边际成本曲线并不是短期边际成本曲线的包络线。长期边际成本曲线上的任一点总是与某一特定短期边际成本曲线相交，交点所代表的产量即是LAC 与SAC 相切之点相应的产量。 O C AFC A VC AC 短期平均成本平均固定成本 Q O C MC 短期边际 成本曲线Q Q C q 1 SAC 1 q SAC 2SAC 3LAC q 2 q 3q 2a 0Q LAC SAC1 SAC2 SAC3 E H Q1 Q2 Q3 C SMC1 SMC2SMC3 LMC

EXCEL曲线图

引用用Excel函数画曲线的方法1．用Excel函数画曲线图的一般方法 因为Excel有强大的计算功能，而且有数据填充柄这个有力的工具，所以，绘制曲线还是十分方便的。用Excel画曲线的最大优点是不失真。大体步骤是 这样的： ⑴用“开始”→“程序”→“Microsoft office”→”Excel”,以进入Excel窗口。再考虑画曲线，为此： ⑵在A1 和A2单元格输入自变量的两个最低取值，并用填充柄把其它取值自动填入； ⑶在B列输入与A列自变量对应的数据或计算结果。有三种方法输入： 第一种方法是手工逐项输入的方法，这种方法适合无确定数字规律的数据：例如日产量或月销售量等； 第二种方法是手工输入计算公式法：这种方法适合在Excel的函数中没有 列入粘贴函数的情况，例如，计算Y=3X^2时，没有现成的函数可用，就必须自己键入公式后，再进行计算； 第三种方法是利用Excel 中的函数的方法，因为在Excel中提供了大量的 内部预定义的公式，包括常用函数、数学和三角函数、统计函数、财务函数、 文本函数等等。 怎样用手工输入计算公式和怎样利用Excel的函数直接得出计算结果，下 面将分别以例题的形式予以说明； ⑷开始画曲线：同时选择A列和B列的数据→“插入”→“图表”→这时出现如下图所示的图表向导:

选“XY散点图”→在“子图表类型”中选择如图所选择的曲线形式→再点击下面的…按下不放可查看示例?钮，以查看曲线的形状→“下一步”→选“系列产生在列”→“下一步”→“标题”（输入本图表的名称）→“坐标”（是否默认或取消图中的X轴和Y轴数据）→“网络线”（决定是否要网格线）→“下一步”后，图形就完成了； ⑸自定义绘图区格式：因为在Excel工作表上的曲线底色是灰色的，线条的类型（如连线、点线等）也不一定满足需要，为此，可右击这个图，选“绘图区格式”→“自定义”→“样式”（选择线条样式）→“颜色”（如果是准备将这个曲线用在Word上，应该选择白色）→“粗细”（选择线条的粗细）。 ⑹把这个图形复制到Word中进行必要的裁剪； ⑺把经过裁剪过的图形复制到Word画图程序的画板上，进行补画直线或坐标，或修补或写字，“保存”后，曲线图就完成了。 2.举例 下面针对三种不同的情况举三个例子说明如下： 例1. 下图是今年高考试题的一个曲线图，已知抛物线公式是Y=2X^2 ，请画出其曲线图。 因为不能直接利用Excel给出的函数，所以，其曲线数据应该用自己输入公式的方法计算出来，画图步骤如下：

短期生产函数与成本曲线图

短期生产开始时，由于可变要素相对于不 可变要素投入量而言明显不足，所以边际报酬是递增的，即增加一单位可变要素劳动的投入所生产的边际产量是递增的，增加一个工人生产的产出大于以前工人生产的产出，由于新增劳动力是企业增加产出的成本，所以1单位产出所需增加的工人人数减少了，即这一阶段增加一单位产量所需的边际成本是递减的。因此在该阶段，劳动的边际产量上升，边际成本递减。由于总产量上各点的斜率是边际产量，所以总产量以递增的速度增加，同理，总成本上各点的斜率是边际成本，所以总成本曲线以递减的速度增加。 随着可变生产要素的持续增加，由于任何产品的生产过程中，可变要素和不可变要素之间都有一个最佳配合比例，当超过这个临界点后，边际报酬递减规律发生作用，也即增加一单位可变要素投入所带来的边际产量是递减的（总产量曲线以递减的速度增加），反过来说，1单位产出所需要的劳动人数增加了，由于劳动是企业的成本支出，所以每增加一单位产量所需要的边际成本增加了。因此，边际产量曲线下降，同时，边际成本递减。 从图中可看出边际量和平均量的关系：只要边际量大于平均量，平均量往上升；反之，只要边际量小于平均量，平均量下降。 另一种方法，用数学方法证明： ()()Q L Q w Q Q L w Q TVC AVC 1?=?== 即 L AP w AVC 1? = 上式反映了平均产量与平均可变成本的关系： 首先，AP L 与AVC 成反比。当AP L 递减时，AVC 递增；当AP L 递增时，AVC 递减；当AP L 达到最大值时，AVC 最小。因此AP L 曲线的顶点对应AVC 曲线的最低点。 第二，由于产量曲线中MP L 曲线与AP L 曲线在AP L 曲线的顶点相交，所以MC 曲线在AVC 曲线的最低点与其相交。 短期生产函数和短期成本函数之间的对应关系 Q O

高中数学双曲线函数的图像与性质及应用

一个十分重要的函数的图象与性质应用 新课标高一数学在“基本不等式 ab b a ≥+2”一节课中已经隐含了函数x x y 1 +=的图象、性质与重要的应用，是高考要求范围内的一个重要的基础知识．那么在高三第一轮复习 课中，对于重点中学或基础比较好一点学校的同学而言，我们务必要系统介绍学习 x b ax y + =（ab ≠0）的图象、性质与应用． 2．1 定理：函数x b ax y +=（ab ≠0）表示的图象是以y=ax 和x=0（y 轴） 的直线为渐近线的双曲线． 首先，我们根据渐近线的意义可以理解：ax 的值与x b 的值比较，当x 很大很大的时候， x b 的值几乎可以忽略不计，起决定作用的是ax 的值；当x 的值很小很小，几乎为0的时候，ax 的值几乎可以忽略不计，起决定作用的是x b 的值．从而，函数x b ax y +=（ab ≠0）表示 的图象是以y=ax 和x=0（y 轴）的直线为渐近线的曲线．另外我们可以发现这个函数是奇 函数，它的图象应该关于原点成中心对称． 由于函数形式比较抽象，系数都是字母，因此要证明曲线是双曲线是很麻烦的，我们通过一个例题来说明这一结论． 例1．若函数x x y 3 233+= 是双曲线，求实半轴a ，虚半轴b ，半焦距c ，渐近线及其焦点，并验证双曲 线的定义． 分析：画图，曲线如右所示；由此可知它的渐近线应该是x y 3 3 = 和x=0两条直线；由此，两条渐近线的夹角的平分线y=3x 就是实轴了，得出顶点为A （3，3），A 1（-3，-3）； ∴ a=OA =32, 由渐近线与实轴的夹角是30o，则有a b =tan30o, 得b=2 , c=22b a +=4, ∴ F 1(2,32)F 2(-2,-32)．为了验证函数的图象是双曲线，在曲线上任意取一点P （x, x x 3 233+）满足3421=-PF PF 即可；

高中常见函数图像及基本性质

常见函数性质汇总及简单评议对称变换 常数函数 f (x )=b (b ∈R) 1）、y=a 和 x=a 的图像和走势 2）、图象及其性质：函数f (x )的图象是平行于x 轴或与x 轴重合（垂直于y 轴）的直线 一次函数 f (x )=kx +b (k ≠0,b ∈R) 1)、两种常用的一次函数形式:斜截式—— 点斜式—— 2）、对斜截式而言，k 、b 的正负在直角坐标系中对应的图像走势： 3）、|k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓 4）、定 义 域：R 值域：R 单调性：当k>0时 ；当k<0时 奇 偶 性：当b =0时，函数f (x )为奇函数；当b ≠0时，函数f (x )没有奇偶性； 例题：y=f （x ）; y=g （x ）都有反函数，且f （x-1）和g -1 (x)函数的图像关于y=x 对称，若g （5）=2016，求）= 周 期 性：无 5）、一次函数与其它函数之间的练习 1、常用解题方法： b

反比例函数 f (x )= x k (k ≠0，k 值不相等永不相交；k 越大，离坐标轴越远) 图象及其性质：永不相交，渐趋平行；当k>0时，函数f (x )的图象分别在第一、第三 象限；当k<0时，函数f (x )的图象分别在第二、第四象限； 双曲线型曲线，x 轴与y 轴分别是曲线的两条渐近线； 既是中心对成图形也是轴对称图形 定 义 域：),0()0,(+∞-∞ 值 域：),0()0,(+∞-∞ 单 调 性：当k> 0时；当k< 0时 周 期 性：无 奇 偶 性：奇函数 反 函 数：原函数本身 补充：1、反比例函数的性质 2、与曲线函数的联合运用（常考查有无交点、交点围城图行的面积）——入手点常有两个——⑴直接带入，利用二次函数判别式计算未知数的取值；⑵利用斜率，数形结合判断未知数取值（计算面积基本方法也基于此） 3、反函数变形（如右图） 1）、y=1/（x-2）和y=1/x-2的图像移动比较 2）、y=1/(-x)和y=-（1/x ）图像移动比较 3）、f (x )= d cx b ax ++ (c ≠0且 d ≠0)（补充一下分离常数） （对比标准反比例函数，总结各项内容） 二次函数 一般式：)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 顶点式：)0()()(2 ≠+-=a h k x a x f 两根式：)0)()(()(21≠--=a x x x x a x f 图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为 ，顶点坐标为 ②当0>a 时，开口向上，有最低点 当00时，函数图象与x 轴有两个交点（ ）；当<0时，函数图象与x 轴有一个交点（ ）；当=0时，函数图象与x 轴没有交点。 ④)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 关系 )0()(2 ≠=a ax x f 定 义 域：R 值 域：当0>a 时，值域为（ ）；当0a 时；当0

短期生产函数与成本曲线图

短期生产开始时，由于可变要素相对于不可变要素投入量而言明显不足，所以边际 报酬是递增的，即增加一单位可变要素劳动 的投入所生产的边际产量是递增的，增加一 个工人生产的产出大于以前工人生产的产 出，由于新增劳动力是企业增加产出的成本， 所以1单位产出所需增加的工人人数减少了，即这一阶段增加一单位产量所需的边际成本 是递减的。因此在该阶段，劳动的边际产量 上升，边际成本递减。由于总产量上各点的斜率是边际产量，所以总产量以递增的速度增加，同理，总成本上各点的斜率是边际成本，所以总成本曲线以递减的速度增加。 随着可变生产要素的持续增加，由于任 何产品的生产过程中，可变要素和不可变要 素之间都有一个最佳配合比例，当超过这个临界点后，边际报酬递减规律发生作用，也即增加一单位可变要素投入所带来的边际产量是递减的（总产量曲线以递减的速度增加），反过来说，1单位产出所需要的劳动人数增加了，由于劳动是企业的成本支出，所以每增加一单位产量所需要的边际成本增加了。因此，边际产量曲线下降，同时，边际成本递减。 从图中可看出边际量和平均量的关系：只要边际量大于平均量，平均 （d ） 短期生产函数和短期 Q O

量往上升；反之，只要边际量小于平均量，平均量下降。 另一种方法，用数学方法证明： ()()Q L Q w Q Q L w Q TVC AVC 1?=?== 即 L AP w AVC 1?= 上式反映了平均产量与平均可变成本的关系： 首先，AP L 与AVC 成反比。当AP L 递减时，AVC 递增；当AP L 递增时，AVC 递减；当AP L 达到最大值时，AVC 最小。因此AP L 曲线的顶点对应AVC 曲线的最低点。 第二，由于产量曲线中MP L 曲线与AP L 曲线在AP L 曲线的顶点相交，所以MC 曲线在AVC 曲线的最低点与其相交。 边际产量与边际成本： ()()dQ k r Q L w d dQ dTC MC ?+?== ()0+?=dQ Q dL w 又因为： ()Q dL dQ MP L = 所以： L MP w MC 1 ?= 从推导的结果可以看出，边际成本MC 与边际产量MP L 也成反比关系。由于MP L 曲线先上升，然后下降，所以MC 曲线先下降，然后上升；且MC 曲线的最低点对应MP L 曲线的顶点。

EXCEL绘制函数图像技巧

绘制函数图像 做教学工作的朋友们一定会遇到画函数曲线的问题吧！如果想快速准确地绘制一条函数曲线，可以借助EXCEL的图表功能，它能使你画的曲线既标准又漂亮。你一定会问，是不是很难学呀？其实这一点儿也不难，可以说非常简便，不信你就跟我试一试。 以绘制y=|lg（6+x^3）|的曲线为例，其方法如下：在某张空白的工作表中，先输入函数的自变量：在A列的A1格输入"X="，表明这是自变量，再在A列的A2 及以后的格内逐次从小到大输入自变量的各个值；实际输入的时候，通常应用等差数列输入法，先输入前二个值，定出自变量中数与数之间的步长，然后选中A2和A 3两个单元格，使这二项变成一个带黑色边框的矩形，再用鼠标指向这黑色矩形的右下角的小方块“■”，当光标变成"＋"后，按住鼠标拖动光标到适当的位置，就完成自变量的输入。 输入函数式：在B列的B1格输入函数式的一般书面表达形式，y=|lg（6+x^3）|；在B2格输入“=ABS（LOG10（6+A2^3））”，B2格内马上得出了计算的结果。这时，再选中B2格，让光标指向B2矩形右下角的“■”，当光标变成"＋"时按住光标沿B

列拖动到适当的位置即完成函数值的计算。 图７ 绘制曲线：点击工具栏上的“图表向导”按钮，选择“X，Y散点图”（如图7），然后在出现的“X，Y散点图”类型中选择“无数据点平滑线散点图”；此时可察看即将绘制的函数图像，发现并不是我们所要的函数曲线，单击“下一步”按钮，选中“数据产生在列”项，给出数据区域，这时曲线就在我们面前了（如图8）。 图８

需要注意：如何确定自变量的初始值，数据点之间的步长是多少，这是要根据函数的具体特点来判断，这也是对使用者能力的检验。如果想很快查到函数的极值或看出其发展趋势，给出的数据点也不一定非得是等差的，可以根据需要任意给定。 从简单的三角函数到复杂的对数、指数函数，都可以用EXCEL画出曲线。如果用得到，你还可以利用EXCEL来完成行列式、矩阵的各种计算，进行简单的积分运算，利用迭代求函数值（如x^2=x^7+4，可用迭代方法求x值），等等，凡是涉及计算方面的事，找EXCEL来帮忙，它一定会给你一个满意的答案。

函数图象与曲线的方程例题讲解解读

函数图象与曲线的方程例题讲解 一、函数图像 利用函数图像，我们可以研究函数本身的性质，如课本上我们是根据幂函数、指数函数等函数的图像归纳出它们的性质，并以此来进一步研究其它函数的性质． 在解决函数的其它问题时，我们也可以利用函数图像帮助我们打开思路． 例１．试判断函数：???++∈-+∈=) 22,12(,1) 12,2(,1)(k k x k k x x f （k ∈Z ）的奇偶性． 分析：由函数奇偶性的定义直接确定函数的奇偶性有些困难，但我们若给出函数图像．以奇偶函数的图像关于原点或y 轴对称这一性质判断，则问题不难解决． 解：令,2,1,0±±=k … … 得到各段函数的离散区间，从而得到函数)(x f 的图像，如图． 由图知，函数)(x f 是奇函数． 例2．设)(x f 是定义在区间),(+∞-∞上以2为周期的函数，对k ∈Z 用I k 表示区间]12, 12(+-k k ，已知当0I x ∈时，2)(x x f =． (1)求)(x f 在I k 上的解析表达式； (2)对自然数k ，求集合M k = {a | 使方程ax x f =)(在I k 上有两个不相等的实根}． 分析：借助于函数图像，不仅能正确理解题意寻求解题思路，还可以直接从图像上得出答案． 当)(,,112x f x y x 又时=≤<-是以２为周期的函数，故它的图像就是： )11(2≤<-=x x y 左、右平移后的重复出现． O

所以在每一周期I k 内对应的解析式点2)2(k x y -=．又考虑ax y =的图像是过原点的直线，要满足题目的条件就应使斜率a 在]1 21 , 0(+k 上取值．当然利用图形的直观性得出结论不能完全替代逻辑推理的论证，但重视函数图像的作用是十分必要的． 解：（1）)(x f 是以2为周期的函数，∴当z k ∈时，2 k 是)(x f 的周期． 又k I x ∈ 时o I k x ∈-)2(， ∴2)2()2()(k x k x f x f -=-=， 即对z k ∈，当k I x ∈时，2)2()(k x x f -=． （2）当N k ∈且k I x ∈时，由（１）有.)2(2ax k x =- 整理得 04)4(2 2 =++-k x a k x ).8(16)4(22k a a k a k +=-+=? 方程在区间Ｉk 上恰有两个不相等的实根的充分必要条件是a 满足 [][ ] )8(42 1 12)8(421 120 )8(k a a a k k k a a a k k k a a ++ +≥++- +<->+ 解不等式组得1 21 0+≤

(第四章)已知某完全竞争行业中的单个厂商的短期成本函...

12、（第四章）已知某完全竞争行业中的单个厂商的短期成本函数101521.023++-=Q STC Q Q 。试求： 1） 当市场上产品的价格为P ＝55时，厂商的短期产量和利润； 2） 当市场价格下降到多少时，厂商必需停产； 3） 厂商的短期供给函数。 解： 1）MC ＝1543.02+-Q Q 由P ＝MC 知55＝1543.02+-Q Q 解之得Q ＝20 利润＝1100－310＝790 2）当价格降到等于平均可变成本时，厂商必需停产。平均可变成本 A VC=1521.02+-Q Q 2) 短期供给函数P=MC ，即P=1543.02+-Q Q 13、（第四章）已知某完全竞争的成本不变行业的单个厂商的长期总成本函数Q LTC Q Q 401223+-=。试求： （1） 当市场商品价格P ＝100时，厂商实现MR=LMC 时的产量、平均成本 和利润。 （2） 该市场长期均衡时的价格和单个厂商的产量。 （3） 当市场的需求函数为Q=660-15P 时，行业长期均衡的厂商数量。 解答：TR=100Q ，则MR=100. LMC=402432+-Q Q (1)、MR=LMC,即100＝402432+-Q Q 解得Q=10 LTC(10)=200 LATC=200/10=20 利润＝10×100－200＝800 （2）、市场长期均衡时，价格等于最小长期平均成本，即P=Min{LATC} LATC= 40122+-Q Q 令0122=-=Q dQ dLATC 得Q=6。即Q ＝6时，长期平均成本达最小。最小平均成本＝4。所以长期均衡时价格为4。 （3）、成本不变的完全竞争行业的总供给曲线为水平线，由（2）的结论知道其供给曲线为P=4.此时市场需求为Q ＝660－15×4＝600，单个企业的产量为6，则可知共有100个厂商。 14、（第四章）已知某完全竞争市场的需求函数为D=6300-400P,短期市场供给函数为SS=3000+150P;单个企业在LAC 曲线最低点的价格为6，产量为50；单个企业的成本规模不变。 （1）、求市场的短期均衡价格和均衡产量。 （2）、判断（1）中的市场是否同时达到长期均衡，求行业内的厂商数量。 （3）、如果市场的需求函数变为D1=8000-400P,短期供给函数变为SS1=4700+150P,求

高中常见函数图像及基本性质

高中常见函数图像及基 本性质 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

常见函数性质汇总及简单评议对称变换 常数函数 f (x )=b (b ∈R) 1）、y=a 和 x=a 的图像和走势 2）、图象及其性质：函数f (x )的图象是平行于x 轴或与x 轴重合（垂直于y 轴）的直线 一次函数 f (x )=kx +b (k ≠0,b ∈R) 1)、两种常用的一次函数形式:斜截式—— 点斜式—— 2）、对斜截式而言，k 、b 的正负在直角坐标系中对应的图像走势： 3）、|k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓 4）、定 义 域：R 值域：R 单调性：当k>0时 ；当k<0时 奇 偶 性：当b =0时，函数f (x )为奇函数；当b ≠0时，函数f (x )没有奇偶性； 反 函 数：有反函数（特殊情况下：K=±1并且b=0的时候）。 补充：反函数定义： 例题：定义在上的函数y=f （x ）; y=g （x ）都有反函数，且f （x-1）和g -1(x)函数的图像关于y=x 对称，若g （5）=2016，求f （4）= x y b O f (x )=b x y O f (x )=kx +b R

周期性：无 5）、一次函数与其它函数之间的练习 1、常用解题方法： 2、与曲线函数的联合运用 反比例函数f(x)= x k (k≠0，k值不相等永不相交；k越大，离坐标轴越远) 图象及其性质：永不相交，渐趋平行；当k>0时，函数f(x)的图象分别在 第一、第三象限；当k<0时，函数f(x)的图象分别在第 二、第四象限； 双曲线型曲线，x轴与y轴分别是曲线的两条渐近线； 既是中心对成图形也是轴对称图形 定义域：) ,0( )0, (+∞ -∞ 值域：) ,0( )0, (+∞ -∞ 单调性：当k> 0时；当k< 0时周期性：无 奇偶性：奇函数 反函数：原函数本身 补充：1、反比例函数的性质 2、与曲线函数的联合运用（常考查有无交点、交点围城图行的面积）——入手点常有两个——⑴直接带入，利用二次函数判别式计算未知数的取值；⑵利用斜率，数形结合判断未知数取值（计算面积基本方法也基于此） x y O f(x)= d cx b ax + + 2）点关于直线（点）对称，求点的坐标

最新微观经济学-成本计算题答案

3.假定某企业的短期成本函数是TC(Q)=d5Q2+15Q+66: 指出该短期成本函数中的可变成本部分和不变成本部分写出下列相应的函数：TVC(Q) AC(Q) AVC(Q) AFC(Q和MC(Q). 3 2 解(1)可变成本部分:Q -5Q +15Q 不可变成本部分:66 ⑵ TVC(Q)= Q3-5Q2+15Q AC(Q)二O5Q+15+66/Q AVC(Q)= Q-5Q+15 AFC(Q)=66/Q MC(Q)= 3C J-10Q+15 4已知某企业的短期总成本函数是STC(Q)=0.04 Q-0.8Q 2+10Q+5,求最小的平均可变成本值. 解：TVC(Q)=0.04 Q 3-0.8Q 2+10Q AVC(Q)= 0.04Q2-0.8Q+10 令AVC J0.08Q - 0.8 = 0 得Q=10 又因为AVC = 0.08 0 所以当Q=10时，AVC MIN= 6

5?假定某厂商的边际成本函数MC=3QB0Q+100,且生产10单位产量时的总成本为1000. 求:(1)固定成本的值. (2)总成本函数，总可变成本函数，以及平均成本函数，平均可变成本 函数. 解:MC= 3&-30Q+100 所以TC(Q)二Q~15Q2+100Q+M 当Q=10时,TC=1000 =500 固定成本值:500 TC(Q)二Q~15Q2+100Q+500 TVC(Q)= Q-15Q2+100Q AC(Q)= ?-15Q+100+500/Q AVC(Q)= Q-15Q+100

6.某公司用两个工厂生产一种产品，其总成本函数为C=2Q+Q2-Q I Q,

excel生成函数曲线的教程

excel生成函数曲线的教程 excel生成函数曲线的教程生成函数曲线步骤1：在空白工作表的单元格“a1”和“b1”中分别输入“x”和“y”，在单元格“a2”和“a3”中，分别输入“1”和“3” 生成函数曲线步骤2：选定单元格“a2”和“a3”，用鼠标向下拖拉“填充柄”，各单元格按等差数列填充(见图8-58)。excel生成函数曲线的教程图58 生成函数曲线步骤3：单击选定单元格“b2”并输入公式:“=150/a2”(见图8-59)。 excel生成函数曲线的教程图59 生成函数曲线步骤4：单击回车键，单元格“b2”显示计算结果。 生成函数曲线步骤5：选定单元格“b2”，向下拖拉“填充柄”将单元格“b20”中的公式复制到各单元格中，并显示计算结果(见图8-60)。 excel生成函数曲线的教程图60 生成函数曲线步骤6：选定单元格区域“a1:b20”，单击菜单栏中“插入”→“图表”，弹出“图表向导-4步骤之1-图表类型”对话框(见图8-61)。 excel生成函数曲线的教程图61 生成函数曲线步骤7：单击“标准类型”标签，在“图表类型”栏中单击选定“折线图”，在“子图表类型”栏中选定一种类型(见图8-62)。 excel生成函数曲线的教程图62 生成函数曲线步骤8：单击“下一步”按钮，进入“图表向导-4步骤之2-图表源数据”对话

框，不改变默认设置。 生成函数曲线步骤9：单击“下一步”按钮，进入“图表向导-4步骤之3-图表选项”对话框，单击“标题”标签，在“图表标题”文本框中输入“x*y=150”，在“分类(x)轴”文本框中输入“x”，在“数值(y)轴”文本框中输入“y”(见图8-64)。 excel生成函数曲线的教程图64 生成函数曲线步骤10：单击“下一步”按钮，进入“图表向导-4步骤之4-图表位置”对话框，不改变默认设置。 生成函数曲线步骤11：单击“完成”按钮，在工作表中显示函数图表。修改“数据系列”和“绘图区”颜色后，函数曲线显示更清晰(见图8-65)。 excel生成函数曲线的教程图65 生成函数曲线步骤12：图表中2根曲线交点的值即为所求元素的质量值。 看了excel生成函数曲线的教程

短期成本函数和长期成本函数的例子

2. 短期成本函数和长期成本函数的例子： 已知C-D 生产函数为Q=1/21/2K L ，资本和劳动力的价格分别为w 和r ， 求短期和长期成本函数。 短期， 1/21/2 1/21/2 2121 L into the cost function (in short run, K is fixed )Q K L so L QK L Q K substitute C wL rK C wQ K rK ---====+=+

长期， 1/21/2 1/21/21/21/21/21/21/2 1/2 12 12 minimize the cost, it demands is this relation into the production function, we get ()()()L K k L Q K L MP K L MP K L to MP MP w r that L K =r w K L r w substitute K r K Q w so r K Q w r K Q w a ----====?====1/2 1/21/2 1/2 () the LTC is ()()2()nd r L Q w and r r C(Q,r,w)=rQ wQ w w C(Q,r,w)=Q rw -=+?

以上求解的是规模报酬不变的LTC=1/22()Q rw ， 因此，LAC=1/22()rw 是一条水平线。 若规模报酬递增呢？

1 1 (1? <1? =1?) minimize the cost, it demands is this relation into the production functio L K k L Q K L MP K L MP K L to MP MP w r that L K =r w rK L w substitute αβαβαβ αββααββα--=+>===?=11111111n, we get ()()() the LTC is ()()()() LT LAC=1(rK K Q w so w K Q r and w L Q r and w w C(Q,r,w)=rQ wQ r r w w C(Q,r,w)=Q r w r r so C Q Q dLAC dQ βαβαβαβααβαββααβαβαβαββααβαβαβαβαβ βααβαβααββααββλλ++-++-++++-++++-+===+???+??????==121), 1,1,1,Q LAC LAC LAC αβλαβ αβαβαβ-+-++>+<+=显然时成本曲线为Q 的单调减函数,时成本曲线为Q 的单调增函数,时成本曲线为常数. 上面三段,构成了LAC 的三段\总体呈U 形的情况.

如何用Excel画出复杂函数图象

Excel应用实例：轻松画出复杂的函数曲线 目标：教您轻松画好一条复杂的函数曲线。 实例：给出了一个函数式所对应的曲线的例子。 难点分析： 一些教师会遇到画函数曲线的问题吧!如果想快速准确地绘制一条函数曲线，可以借助EXCEL的图表功能，它能使您画的曲线既标准又漂亮。您一定会问，是不是很难学呀？其实一点儿也不难，不信您就跟我试一试。 以绘制y=|lg（6+x^3）|的曲线为例，其方法如下： 1) 自变量的输入 在某张空白的工作表中，先输入函数的自变量：在A列的A1格输入“X=”，表明这是自变量。 再在A列的A2及以后的格内逐次从小到大输入自变量的各个值；实际输入的时候，通常应用等差数列输入法，先输入前二个值，定出自变量中数与数之间的步长，然后选中A2和A3两个单元格，使这二项

变成一个带黑色边框的矩形，再用鼠标指向这黑色矩形的右下角的小方块“■”，当光标变成“＋”字型后，按住鼠标拖动光标到适当的位置，就完成自变量的输入。 2) 输入函数式 在B列的B1格输入函数式的一般书面表达形式，y=|lg（6+x^3）|。 在B2格输入“=ABS（LOG10（6+A2^3））”，B2格内马上得出了计算的结果。这时，再选中B2格，让光标指向B2矩形右下角的“■”，当光标变成“＋”时按住光标沿B列拖动到适当的位置即完成函数值的计算。 3) 绘制曲线

点击工具栏上的“图表向导”按钮，选择“X，Y散点图”，然后在出现的“X，Y散点图”类型中选择“无数据点平滑线散点图”。此时可察看即将绘制的函数图像，发现并不是我们所要的函数曲线。 单击“下一步”按钮，选中“数据产生在列”项，给出数据区域。 单击“下一步”按钮。

常用曲线函数图例

1. 碟形弹簧 圓柱坐标 方程：r = 5 theta = t*3600 z =(sin(3.5*theta-90))+24*t 2 . 叶形线. 笛卡儿坐标 方程：a=10 x=3*a*t/(1+(t^3)) y=3*a*(t^2)/(1+(t^3))

3. 螺旋线(Helical curve) 圆柱坐标（cylindrical） 方程： r=t theta=10+t*(20*360) z=t*3 4. 蝴蝶曲线 球坐标 方程：rho = 8 * t theta = 360 * t * 4 phi = -360 * t * 8

5. 渐开线 采用笛卡尔坐标系 方程：r=1 ang=360*t s=2*pi*r*t x0=s*cos(ang) y0=s*sin(ang) x=x0+s*sin(ang) y=y0-s*cos(ang) z=0 6. 螺旋线. 笛卡儿坐标 方程：x = 4 * cos ( t *(5*360)) y = 4 * sin ( t *(5*360)) z = 10*t

7. 对数曲线 笛卡尔坐标系 方程：z=0 x = 10*t y = log(10*t+0.0001) 8. .球面螺旋线 采用球坐标系 方程：rho=4 theta=t*180 phi=t*360*20

9. 双弧外摆线 卡迪尔坐标 方程： l=2.5 b=2.5 x=3*b*cos(t*360)+l*cos(3*t*360) Y=3*b*sin(t*360)+l*sin(3*t*360) 10. 星行线 卡迪尔坐标 方程：a=5 x=a*(cos(t*360))^3 y=a*(sin(t*360))^3