高二数学选修2—2测试题
一、选择题(每小题5分,共60分)
1、若函数()y f x =在区间(,)a b 可导,且0(,)x a b ∈则000
()()
lim
h f x h f x h h
→+-- 的
值为( )
A .'0()f x
B .'02()f x
C .'02()f x -
D .0
2、一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是( )
A .7米/秒
B .6米/秒
C .5米/秒
D .8米/秒 3、函数3
y
x x 的递增区间是( )
A .),0(+∞
B .)1,(-∞
C .),(+∞-∞
D .),1(+∞
4、32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于( )
A .
3
19 B .
316 C .313 D .3
10 5、若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直,则l 的方程为( ) A .430x y --= B .450x y +-= C .430x y -+= D .430x y ++= 6、如图是导函数/()y f x =的图象,那么函数()y f x =在下面哪个区间是减函数
A. 13(,)x x
B. 24(,)x x
C.46(,)x x
D.56(,)x x
7、设*211111()()123S n n n n n n n
=
+++++∈+++N ,当2n =时,(2)S =( )A.12B.1123+C.111234++ D.11112345+++
8、如果10N 的力能使弹簧压缩10cm ,为在弹性限度将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm 处,则克服弹力所做的功为( )
(A)0.28J (B)0.12J (C)0.26J (D)0.18J 9、 有一段“三段论”推理是这样的:
对于可导函数()f x ,如果0()0f x '=,那么0x x =是函数()f x 的极值点,因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=,所以,0x =是函数3()f x x =的极值点. 以上推理中( )
A .大前提错误
B . 小前提错误
C .推理形式错误
D .结论正确 10、已知直线kx y =是x y ln =的切线,则k 的值为( )
(A )e 1 (B )e 1- (C )e 2 (D )e
2-
11、在复平面, 复数1 + i 与31+i 分别对应向量OA 和OB , 其中O 为坐标原点,
=( ) A.2 B.2 C. 10 D. 4
12、 若点P 在曲线y =x 3-3x 2+(3-3)x +3
4上移动,经过点P 的切线的倾斜角
为α,则角α的取值围是( )
A .[0,π2)
B .[0,π2)∪[2π3,π)
C .[2π3,π) D.[0,π2)∪(π2,2π
3]
二、填空题(每小题5分,共30分) 13、=---?dx x x )2)1(1(1
02
14、函数322(),f x x ax bx a =+++在1=x 时有极值10,那么b a ,的值分别为________。
15、已知)(x f 为一次函数,且1
0()2()f x x f t dt =+?,则)(x f =_______.
16、函数g (x )=ax 3+2(1-a )x 2-3ax 在区间? ?
???-∞,a 3单调递减,则a 的取值围
是________.
三、解答题(每小题12分,共60分)
17、(本小题10分)已知等腰梯形OABC 的顶点A B ,在复平面上对应的复数分别为12i +、26i -+,且O 是坐标原点,OA BC ∥.求顶点C 所对应的复数z .
18、(本小题12分) 20()(28)(0)x
F x t t dt x =+->?.
(1)求()F x 的单调区间; (2)求函数()F x 在[13],上的最值.
19.(本小题12分)设()y f x =是二次函数,方程()0f x =有两个相等的实根,且()22f x x '=+.
(1)求()y f x =的表达式;
(2)若直线(01)x t t =-<<把()y f x =的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分,求t 的值.
20、(本小题12分)某宾馆有50个房间供游客居住,当每个房间定价为每天180元时,房间会全部住满;房间单价增加10元,就会有一个房间空闲,如果游客居住房间,宾馆每间每天需花费20元的各种维护费用。房间定价多少时,宾馆利润最大?
21、(本小题满分12分) 证明: b a a
b b a +≥+
22、(本小题12分)已知数列{}n a 的前n 项和*1()n n S na n =-∈N . (1)计算1a ,2a ,3a ,4a ;
(2)猜想n a 的表达式,并用数学归纳法证明你的结论.
参考答案
13、
14
-π
14、4,11- 15、()1f x x =- 16、 ]1,(--∞ 17、解:设i()z x y x y =+∈R ,.
由OA BC ∥,OC AB =,得OA BC k k =,C B A z z z =-,
即2612y x -?=?+=, OA BC ≠,3x ∴=-,4y =舍去. 5z ∴=-.
18、解:依题意得,23232
00
11()(28)8833x
x F x t t dt t t t x x x ??=
+-=+-=+- ???
?,定义域是(0)+∞,
. (1)2
()28F x x x '=+-, 令()0F x '>,得2x >或4x <-, 令()0F x '<,得42x -<<,
由于定义域是(0)+∞,
, ∴函数的单调增区间是(2)+∞,,单调递减区间是(02),.
(2)令()0F x '=,得2(4)x x ==-舍, 由于20(1)3F =-
,28
(2)3
F =-,(3)6F =-, ()F x ∴在[13],上的最大值是(3)6F =-,最小值是28
(2)3
F =-
.
19、解:(1)设2
()(0)f x ax bx c a =++≠, 则()2f x ax b '=+.
由已知()22f x x '=+,得1a =,2b =.
2()2f x x x c ∴=++.
又方程2
20x x c ++=有两个相等的实数根,
440c ∴?=-=,即1c =.
故2
()21f x x x =++; (2)依题意,得
221
(21)(21)t
t
x x dx x x dx ---++=++?
?,
32320
1
1133t
t
x x x x x x ---????∴++=++ ? ???
??
,
整理,得32
26610t t t -+-=,即3
2(1)10t -+=,
1t ∴= 20、)(x L =)20)(10
180
50(---
x x =.680180,13607010
12
<<-+-
x x x 令,0705
1)('
=+-=x x L 解得350=x .
当)350,180(∈x 时,,0)('
>x L 当)680,180(∈x 时0)(' 因此, 350=x 时是函数)(x L 的极大值点,也是最大值点.所以,当每个房间每天的定价为350元时,宾馆利润最大 21、证明:要证 b a a b b a +≥+ , 只需证)(b a ab b b a a +≥ + 即证)())((b a ab b a ab b a +≥+-+ 即证ab ab b a ≥ -+ 即证ab b a 2≥+,即0)(2 ≥-b a 该式显然成立,所以 b a a b b a +≥+ 22、解:(1)依题设可得111212a = = ?,211 623 a ==?, 3111234a ==?,411 2045 a == ?; (2)猜想:1 (1) n a n n = +. 证明:①当1n =时,猜想显然成立. ②假设* ()n k k =∈N 时,猜想成立, 即1 (1) k a k k = +. 那么,当1n k =+时,111(1)k k S k a ++=-+, 即111(1)k k k S a k a +++=-+. 又11 k k k S ka k =-=+, 所以 111(1)1 k k k a k a k +++=-++, 从而111 (1)(2)(1)[(1)1] k a k k k k += =+++++. 即1n k =+时,猜想也成立. 故由①和②,可知猜想成立.