选修2-1 模块综合检测(B)
一、选择题
1、如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( )
A.
6 3
B.
25
5 C.
15
5
D.
10
5
2、“a>0”是“|a|>0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
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3、若双曲线x 2a 2－
y 2
b 2
＝1 (a >0，b >0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，则双曲线离
心率的取值范围是( )
A ．e > 2
B ．1 C ．e >2 D ．1 4、已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 2 4 ＝1 C.x 210－y 26＝1 D.x 26－y 2 10 ＝1 5、已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 2 3 ＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个 焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( ) A ．2 3 B ．6 C ．4 3 D ．12 6、过点(2，－2)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线的双曲线方程为( ) 实用文档 A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 2 2 ＝1 C.y 24－x 22＝1 D.y 22－x 2 4 ＝1 7、已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( ) A ．90° B．60° C．30° D．0° 8、设双曲线x 2a 2－ y 2b 2 ＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率等于 ( ) A. 3 B ．2 C. 5 D.6 9、已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1的中点，则异面直线BE 与CD 1 所成角的余弦值为( ) A.10 10 B.15 C. 310 10 D.3 5 10、若命题p：?x∈R,2x2＋1>0，则綈p是( ) A．?x∈R,2x2＋1≤0 B．?x∈R,2x2＋1>0 C．?x∈R,2x2＋1<0 D．?x∈R,2x2＋1≤0 11、命题p：关于x的不等式(x－2)x2－3x＋2≥0的解集为{x|x≥2}，命题q：若函数y＝kx2－kx－1的值恒小于0，则－4 A．“綈p”为假命题B．“綈q”为假命题 C．“p或q”为真命题D．“p且q”为假命题 12、已知椭圆x2＋2y2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为( ) A．3 2 B．2 3 C.30 3 D. 3 2 6 二、填空题 实用文档 实用文档 13、已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么b ·(2a ＋b )的值为________． 14、已知双曲线x 2－y 2 3 ＝1，那么它的焦点到渐近线的距离为________． 15、给出如下三种说法： ①四个实数a ，b ，c ，d 依次成等比数列的必要而不充分条件是ad ＝bc ； ②命题“若x ≥3且y ≥2，则x －y ≥1”为假命题； ③若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题． 其中正确说法的序号为________． 16、双曲线x 2a 2－ y 2 b 2 ＝1 (a >0，b >0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为双曲线上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|， 则双曲线离心率的取值范围为________． 三、解答题 17、如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝AA 1＝ 3，∠ABC ＝60°. (1)证明：AB ⊥A 1C ； (2)求二面角A—A1C—B的正切值大小． 18、已知命题p：方程2x2－26x＋3＝0的两根都是实数，q：方程2x2－26x＋3＝0的两 根不相等，试写出由这组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的命题，并指出其真假． 19、F1，F2是椭圆的两个焦点，Q是椭圆上任意一点，从任一焦点向△F1QF2中的∠F1QF2的外角 平分线引垂线，垂足为P，求点P的轨迹． 实用文档 20、若r(x)：sin x＋cos x>m，s(x)：x2＋mx＋1>0.已知?x∈R，r(x)为假命题且s(x)为真命题，求实数m的取值范围． 21、已知椭圆x2 a2＋y2 b2＝1 (a>b>0)的一个顶点为A(0，1)，离心率为 2 2 ，过点B(0，－2)及左焦点 F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2. (1)求椭圆的方程； (2)求△CDF2的面积． 22、已知PA垂直于正方形ABCD所在平面，M，N分别为AB，PC的三等分点，且PN＝2NC，AM 实用文档 ＝2MB，PA＝AB＝1，求的坐标． 以下是答案 一、选择题 1、D [ 以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 则A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)． ∴＝(－2,0,1)，＝(－2,2,0)，且为平面BB1D1D的一个法向量． ∴cos〈，〉＝＝ 4 5·8 ＝10 5 . ∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为10 5 .] 实用文档 实用文档 2、A [因为|a |>0?a >0或a <0，所以a >0?|a |>0，但|a |>0 a >0，所以a >0是|a |>0的充 分不必要条件．] 3、C [由题意，以原点及右焦点为端点的线段的垂直平分线必与右支交于两个点，故c 2>a ，∴c a >2.] 4、A [由题意知c ＝4，焦点在x 轴上， 又e ＝c a ＝2，∴a ＝2， ∴b 2＝c 2－a 2＝42－22＝12， ∴双曲线方程为x 24－y 2 12 ＝1.] 5、C [设椭圆的另一焦点为F ，由椭圆的定义知|BA |＋|BF |＝23，且|CF |＋|AC |＝23， 所以△ABC 的周长＝|BA |＋|BC |＋|AC | ＝|BA |＋|BF |＋|CF |＋|AC |＝4 3.] 6、D [与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线方程的双曲线方程可设为x 2 2 －y 2＝λ， 由过点(2，－2)，可解得λ＝－2. 实用文档 所以所求的双曲线方程为y 22－x 2 4 ＝1.] 7、A [(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2 ＝(cos 2α＋1＋sin 2α)－(sin 2α＋1＋cos 2α)＝0， ∴a ＋b 与a －b 的夹角为90°.] 8、C [双曲线x 2a 2－ y 2 b 2 ＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，因为y ＝x 2＋1与渐近线相切，故x 2＋1± b a x ＝0只有一个实根，∴ b 2a 2 －4＝0，∴ c 2－a 2a 2 ＝4，∴c 2 a 2＝5，∴e ＝ 5.] 9、C [ 以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝1， 则AA 1＝2，依题设有B (1,1,0)，C (0,1,0)， D 1(0,0,2)， E (1,0,1)， ∴＝(0，－1,1)， 实用文档 ＝(0，－1,2)． ∴cos 〈·〉＝0＋1＋22·5 ＝310 10.] 10、D [綈p ：?x ∈R,2x 2＋1≤0.] 11、D 12、C [令直线l 与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则??? ?? x 21 ＋2y 21＝4 ①x 22 ＋2y 22＝4 ② ①－②得：(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， 即2(x 1－x 2)＋4(y 1－y 2)＝0， ∴k l ＝－1 2 ，∴l 的方程：x ＋2y －3＝0， 由????? x ＋2y －3＝0x 2＋2y 2－4＝0 ，得6y 2－12y ＋5＝0. ∴y 1＋y 2＝2，y 1y 2＝56 . 实用文档 ∴|AB |＝ ? ?? ??1＋1k 2(y 1－y 2)2＝30 3.] 二、填空题 13、0 14、3 解析 焦点(±2,0)，渐近线：y ＝±3x ， 焦点到渐近线的距离为 23( 3)2＋1 ＝ 3. 15、①② 解析 对①a ，b ，c ，d 成等比数列，则ad ＝bc ，反之不一定．故①正确；对②，令x ＝5，y ＝ 6，则x －y ＝－1，所以该命题为假命题，故②正确；对③，p ∧q 假时，p ，q 至少有一个为假命 题，故③错误． 16、(1,3] 解析 设|PF 2|＝m ， 则2a ＝||PF 1|－|PF 2||＝m ， 2c＝|F1F2|≤|PF1|＋|PF2|＝3m. ∴e＝ c a＝2c 2a ≤3，又e>1， ∴离心率的取值范围为(1,3]． 三、解答题 17、(1)证明∵三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱， ∴AB⊥AA1. 在△ABC中，AB＝1，AC＝3，∠ABC＝60°， 由正弦定理得∠ACB＝30°， ∴∠BAC＝90°，即AB⊥AC， 如图，建立空间直角坐标系， 则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0，3，0)，A1(0,0，3)，∴＝(1,0,0)， ＝(0，3，－3)， 实用文档 实用文档 ∴·＝1×0＋0×3＋0×(－3)＝0， ∴AB ⊥A 1C . (2)解 如图，可取m ＝＝(1,0,0)为平面AA 1C 的法向量，设平面A 1BC 的法向量为n ＝(l ，m ， n )． 则·n ＝0，·n ＝0，又＝(－1，3，0)， ∴????? －l ＋3m ＝0，3m －3n ＝0， ∴l ＝3m ，n ＝m . 不妨取m ＝1，则n ＝(3，1,1)． cos 〈m ，n 〉＝ m·n |m|·|n | ＝ 3×1＋1×0＋1×0( 3)2＋12＋12· 12＋02＋02 ＝ 155 . 设二面角A —A 1C —B 的大小为θ， ∴cos θ＝cos 〈m ，n 〉＝ 155 ，sin θ＝ 105 . 从而tan θ＝6 3，即二面角A —A 1C —B 的正切值为63 . 实用文档 18、解 “p 或q ”的形式：方程2x 2－26x ＋3＝0的两根都是实数或不相等． “p 且q ”的形式：方程2x 2－26x ＋3＝0的两根都是实数且不相等． “非p ”的形式：方程2x 2－26x ＋3＝0的两根不都是实数． ∵Δ＝24－24＝0，∴方程有两相等的实根． ∴p 真，q 假．∴“p 或q ”真，“p 且q ”假，“非p ”假． 19、解 设椭圆的方程为x 2a 2＋ y 2 b 2 ＝1 (a >b >0)，F 1，F 2是它的两个焦点，Q 为椭圆上任意一点，QP 是△F 1QF 2 中的∠F 1QF 2的外角平分线(如图)， 过F 2作F 2P ⊥QP 于P 并延长交F 1Q 的延长线于H ， 则P 是F 2H 的中点，且|F 2Q |＝|QH |， 因此|PO |＝12|F 1H |＝1 2 (|F 1Q |＋|QH |) ＝1 2 (|F 1Q |＋|F 2Q |)＝a ， 实用文档 ∴点P 的轨迹是以原点为圆心，以椭圆长半轴长为半径的圆(除掉两点即椭圆与x 轴的交点)． 20、解 由于sin x ＋cos x ＝2sin ? ?? ?? x ＋π4∈[－2，2]，?x ∈R ，r (x )为假命题即sin x ＋cos x >m 恒不成立． ∴m ≥ 2.① 又对?x ∈R ，s (x )为真命题． ∴x 2＋mx ＋1>0对x ∈R 恒成立． 则Δ＝m 2－4<0，即－2 故?x ∈R ，r (x )为假命题，且s (x )为真命题， 应有2≤m <2. 21、解 (1)易得椭圆方程为x 2 2 ＋y 2＝1. (2)∵F 1(－1,0)，∴直线BF 1的方程为y ＝－2x －2， 由? ???? y ＝－2x －2x 2 2＋y 2 ＝1得9x 2＋16x ＋6＝0. 实用文档 ∵Δ＝162－4×9×6＝40>0， 所以直线与椭圆有两个公共点， 设为C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 则????? x 1＋x 2＝－ 169 x 1 ·x 2 ＝2 3 ， ∴|CD |＝1＋(－2)2|x 1－x 2| ＝5·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝5· ? ?? ??－1692－4×23＝10 92， 又点F 2到直线BF 1的距离d ＝ 4 55 ， 故S △CDF 2＝12|CD |·d ＝ 4 9 10. 22、解 方法一 实用文档 ∵PA ＝AB ＝AD ＝1，且PA ⊥面ABCD ，AD ⊥AB ，∴可设＝i ，＝j ，＝k ，以{i ，j ，k }为单位正交 基底建立如图所示的空间直角坐标系． ∵＝＋＋ ＝－23＋＋23 ＝－23＋＋2 3 (－＋＋) ＝13＋23＝13k ＋23 (－) ＝－23i ＋13 k . ∴＝? ????－23 ，0，13. 方法二 设＝i ，＝j ，＝k ，以{i ，j ，k }为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，过M 作AD 的平行线交CD 于点E .可知NE ∥PD . ∵＝＋＝＋1 3 实用文档 ＝－＋13(＋)＝－i ＋1 3 (i ＋k ) ＝－23i ＋13 k ， ∴＝? ????－23 ，0，13.
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