专题一算术和数论
1. Integer (whole number): 整数
①Positive integer: 正整数，从1 开始，不包括0。
②奇数：不能被2 整除的整数（可正可负），通式：2n+1。如-1，1。
③偶数：能被2 整除的整数（可正可负），零是偶数。通式：2n。如-4，-2，0，2，4。
2. Odd & even number: 奇数与偶数
①偶数＝偶数＋偶数或奇数＋奇数，偶数＝偶数×偶数或奇数×偶数
②奇数＝奇数＋偶数
③奇数个奇数相加减，结果为奇数
④偶数个奇数相加减，结果为偶数
⑤任意个偶数相加减，结果为偶数
⑥若n 个整数相乘结果为奇数，则这n 个整数为奇数
⑦若n 个连续的整数相加等于零，则n 为奇数。
⑧若n 个连续的奇数相加等于零，则n 为偶数。
⑨若n 个连续的偶数相加等于零，则n 为奇数。
⑩两个质数之和为奇数，其中必有一个是2。
例：若a2+b2=c2，其中a, b, c 均为整数，下面那个不可能是a+b+c 的值？
A.2
B.1
C.-2
D.4
E.6
【解析】因为a2+b2=c2，如果a,b,c 中有奇数存在，则必然为2 个。所以a+b+c 必为偶数，正
确答案选择B。
3. Prime number & Composite number: 质数与合数
①质数又称素数。指在一个大于1 的自然数中，除了1 和此整数自身外，不
能被其他自然数整除的数。
②合数指指自然数中除了能被1 和本身整除外，还能被其他的数整除的数
③2 是最小的质数、4 是最小的合数、1 既不是质数也不是合数。
4. Factor (divisor) & Prime factor: 因子和质因子
a) 一个数能被那些书整除，这些书就叫它的因子（因数、约数）。
b) 因子里的质数叫做质因子（数）。
*小技巧：⑴分解质因数：讲一个整数拆分成全部由质数表示，如36 = 22 + 32
⑵A b（A 为质数）有(b+1)个因子：A0, A1 ……A b
⑶如果X=a m·b n（分解质因数后），X 有(m+1)(n+1)个因子。
例1：If n=4p, where p is a prime number greater than 2, how many different positive even divisors does n have?
A.2
B.3
C.4
D.6
E.8
【解析】由n=4p 可知n 必为偶数；因为p 是大于2 的质数，所以p 必为奇数。根据n=22*p
可知n 共有(2+1)*(1+1)=6 个因子，其中1 和p 为奇数，因此偶数因子共有4 个。正确答案为C。
例2：If the integer n has exactly three positive divisors, including 1 and n, how many positive divisors does n2 have?
A.4
B.5
C.6
D.8
E.9
【解析】整数n 有三个正数因子，可以推出n 必定为完全平方数，且为一个质数的平方。因此n2 相当于一个质数的4 次方，进而拥有5 个因子。正确答案为B。
例3：What is the greatest prime factor of 2100-296?
A.2
B.3
C.5
D.7
E.11
【解析】2100-296=296*(24-1)=296*3*5, 因此正确答案为C。
例4：A positive integer n is said to be “prime-saturat ed”if the product of all the different positive prime factors of n is less than the square root of n. What is the greatest two-digit prime-saturated integer?
(A) 99 (B) 98 (C) 97 (D) 96 (E) 95
【解析】分解质因子后，发现D 选项96=25*3 的质因子乘积为6 小于96 的平方根。正确答案即为D。
5. The greatest common divisor (GCD) & The least common multiple (LCM) 最大公约数和最
小公倍数
例：If M is the least common multiple of 90, 196 and 300, which of the following is not a factor of M?
A.600 b.700 C.900 D.2100 E.4900
【解析】由题可知M=22*32*52*72，因此M 的因子必然为2、3、5、7 四个质数及其幂的组合构成。A 选项中600=23*31*52，其中2 的3 次方已经超过了M 分解质因数后2 所拥有的最大次幂，所以600 必然不是M 的因子。因此正确答案选择A。
6. Decimals & Fractions: 小数和分数
①相关词汇：reaccuring decimal 循环小数; terminating decimal 有限小数; numerator 分
子; denominator 分母; improper fraction 假分数; mixed number 带分数
②整数位于分为：后面加s 的是整数位（小数点前面的某位），加th 或者ths 的
是分位
（小数点后面的某位），如：tens 是十位数，而tenth 是十分位。
③What is the fractional part of … 意为“谁的几分之几”。
④小树和分数的相互转换：分母中若含有2 和5 之外的因子，则分数可
转化为循环小数；若分母只含有2 和5 这两个因子，则分数可转化为有限小数。
例1：0.373737…=? (将其转换成分数)
【解析】设X=0.373737…, 100X=37.373737…, 则99X=37，得X=37/99
例2：Which of the following fractions has a decimal equivalent that is a terminating decimal?
A.10/189
B.15/196
C.16/225
D.25/144
E.39/128
https://www.doczj.com/doc/076744479.html,
【解析】选项E 中，分母128=27，因而该分数可以转化成有限小数。
7. Consecutive numbers: 连续数
①三个连续输的乘积必然被3 整除。
②两个连续偶数的乘积必然被8 整除
8. Divisibility & Remainder: 整除及余数问题
①一个数是否能被5 整除，只要看他的最后一位（是0 或5 就可以整除）。
②一个数是否能被4 整除，只要看他的最后两位（是4 的倍数就可以整除）。
③一个数是否能被8 整除，只要看他的最后三位（是8 的倍数就可以整除）。
④一个数能否被3 整除，取决于各位之和能否被3 整除。
⑤一个数能否被9 整除，取决于各位之和能否被9 整除。
⑥0 可以被所有数整除。
⑦余数包括0，如24 除以6，商为4 余数为0。
⑧尾数问题：把握尾数循环即可。如：1912257 的个位数是2，因为257=4*64+1，而25
尾数是2。
9. 数论题目常用方法：
①参数法；例：两个两位数，个位和十位恰好颠倒，问下面那个不可能是两
数之和？
A.181
B.121
C.77
D.132
E.154
【解析】设两数分别为ab 和ba，则ab+ba=(10a+b)+(10b+a)=11(a+b), 即和必为11的倍数，因此正确答案为A。
②带值法；
③爱迪生试错法。
几何学基础简介 Lex Li 几何原本简介 古希腊大数学家欧几里德是与他的巨著——《几何原本》一起名垂千古的。这本书是世界上最著名、最完整而且流传最广的数学著作，也是欧几里德最有价值的一部著作。欧几里德把人们公认的一些事实列成定义和公理，以形式逻辑的方法，用这些定义和公理来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从公理、定义出发，论证命题得到定理得几何学论证方法，形成了一个严密的逻辑体系——几何学。而这本书，也就成了欧式几何的奠基之作。 作为基础的五条公理和公设 五条公理 1.等于同量的量彼此相等； 2.等量加等量，其和相等； 3.等量减等量，其差相等； 4.彼此能重合的物体是全等的； 5.整体大于部分。 五条公设 1.过两点能作且只能作一直线； 2.线段(有限直线)可以无限地延长； 3.以任一点为圆心,任意长为半径,可作一圆； 4.凡是直角都相等； 5.同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。 《几何原本》的主要内容 欧几里得的《几何原本》共有十三卷。 目录 第一卷几何基础 第二卷几何与代数 第三卷圆与角 第四卷圆与正多边形 第五卷比例
第六卷相似 第七卷数论（一） 第八卷数论（二） 第九卷数论（三） 第十卷无理量 第十一卷立体几何 第十二卷立体的测量 第十三卷建正多面体 各卷简介 第一卷：几何基础。重点内容有三角形全等的条件，三角形边和角的大小关系，平行线理论，三角形和多角形等积（面积相等）的条件，第一卷最后两个命题是毕达哥拉斯定理的正逆定理； 第二卷：几何与代数。讲如何把三角形变成等积的正方形；其中12、13命题相当于余弦定理。 第三卷：本卷阐述圆，弦，切线，割线，圆心角，圆周角的一些定理。 第四卷：讨论圆内接和外切多边形的做法和性质； 第五卷：讨论比例理论，多数是继承自欧多克斯的比例理论,被认为是"最重要的数学杰作之一" 第六卷：讲相似多边形理论，并以此阐述了比例的性质。 第五、第七、第八、第九、第十卷：讲述比例和算术的理论；第十卷是篇幅最大的一卷，主要讨论无理量（与给定的量不可通约的量），其中第一命题是极限思想的雏形。 第十一卷、十二、十三卷：最后讲述立体几何的内容. 从这些内容可以看出，目前属于中学课程里的初等几何的主要内容已经完全包含在《几何原本》里了。因此长期以来，人们都认为《几何原本》是两千多年来传播几何知识的标准教科书。 《几何原本》的意义和影响 在几何学发展的历史中，欧几里得的《几何原本》起了重大的历史作用。这种作用归结到一点，就是提出了几何学的“根据”和它的逻辑结构的问题。在他写的《几何原本》中，就是用逻辑的链子由此及彼的展开全部几何学，这项工作，前人未曾作到。《几何原本》的诞生，标志着几何学已成为一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科。 论证方法上的影响 关于几何论证的方法，欧几里得提出了分析法、综合法和归谬法。所谓分析法就是先假设所要求的已经得到了，分析这时候成立的条件，由此达到证明的步骤；综合法是从以前证明过的事实开始，逐步的导出要证明的事项；归谬法是在保留命题的假设下，否定结论，从结论的反面出发，由此导出和已证明过的事实相矛盾或和已知条件相矛盾的结果，从而证实原来命题的结论是正确的，也称作反证法。
数论综合练习 五年级奥数：数的整除性试题 一、填空题 1.、四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____. 2、在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____. 3、能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____. 4、能同时被2、 5、7整除的最大五位数是_____. 5、1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____. 6、所有能被3整除的两位数的和是______. 7、已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位数是_____. 8、如果六位数1992□□能被105整除,那么它的最后两位数是_____. 9、42□28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是_____. 10、有四个数921438、76186、750235、2660161，其中只有_____是完全平方数. 二、解答题 1、在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被 2、 3、5、11整除，这个七位数最小值是多少？ 2、在下面的数中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？ 234，789，7756，8865，3728，8064。 3、被除数,除数,商与余数之和是2143,已知商是33,余数是52,求被除数和除数. 4、(美国长岛小学数学竞赛)写出所有的除109后余数为4的两位数. 5、1013除以一个两位数,余数是12.求出符合条件的所有的两位数. 6、把一个两位数的十位和个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数，如果原来的
两位数和交换后的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少？ 【质数、合数】和【约数和倍数】和【余数】 7、某个质数加上6或者前去6得到的数仍然是质数，在50以内你能找出几个这样的质数？把它们写出来。 8、甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135.那么甲最小为多少？ 9、480有多少个约数？ 10、试求出一个最小的整数，它正好有12个约数。 11、四个连续奇数的最小公倍数是6435，这四个数中最大的一个是多少？ 12、有一类三位数，它们除以6余5，除以8余5，除以9余5，请问这些三位数中，最小的一个是多少？ 13、两个数的积为126，最大公约数为3，则这两个数的最小公倍数是多少？ 14、将自然数a和b分解质因数，得到a=2×5×7×m，b=3×5×m，如果a与b的最小公倍数是2730，那么m为多少？ 15、一个四位数是一个完全平方数，并且前两位数字相等，后两位数字相等，求这个四位数。 16、在555555的约数中，最大的三位数是多少?
一、 带余除法的定义及性质 1. 定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r , 0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商 (2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型:如图 这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2. 余数的性质 ⑴ 被除数=除数?商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵ 余数小于除数． 二、 余数定理： 1.余数的加法定理 a 与 b 的和除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为 2 2.余数的加法定理 a 与 b 的差除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。 知识框架 余数性质及同余定理
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝ 2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。 例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4 3.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么n a与n b除以m的余数也相同． 一、同余定理 1、定义 整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余，即a≡b（modm） 2、同余的重要性质及举例。 〈1〉a≡a（modm）（a为任意自然）； 〈2〉若a≡b（modm），则b≡a（modm） 〈3〉若a≡b（modm），b≡c（modm）则a≡c（modm）； 〈4〉若a≡b（modm），则ac≡bc（modm） 〈5〉若a≡b（modm），c≡d（modm），则ac=bd（modm）； 〈6〉若a≡b（modm）则an≡bm（modm） 其中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性"，性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘性，"性质〈6〉常被称为"同余的可开方性" 注意：一般地同余没有"可除性"，但是：如果：ac=bc（modm）且（c，m）=1则a≡b（modm）3、整数分类： 〈1〉用2来将整数分类，分为两类： 1，3，5，7，9，……（奇数）； 0，2，4，6，8，……（偶数） 〈2〉用3来将整数分类，分为三类： 0，3，6，9，12，……（被3除余数是0） 1，4，7，10，13，……（被3除余数是1） 2，5，8，11，14，……（被3除余数是2）
关于数论函数方程() ()2 S n n ?= 李宋宋 （安徽师范大学 安徽芜湖 241000） 摘要:对于任给的正整数n ，()n ?和()S n 分别是Euler 函数和Smarandache 函数，本文根据初等数论的理论以及分类讨论的方法，对数论方程()()2S n n ?=的解进行了讨论并给出了解的表达式以及解的判别条件。 关键词:Euler 函数;Smarandache 函数;阶乘;费马数;方程 On the Arithmetic Functional Equation ()()2S n n ?= Abstract: For any given positive integer n, ()n ? and ()S n are Euler function and Smarandache function respectively, according to the elementary number theory and the method of classification discussion, this article has discussed the arithmetic functional equation ()()2S n n ?=and finally given the expression and the discriminants of solution. Keywords: Euler function ；Smarandache function ；factorial ；Fermat number ；equations 1 引言 对于任意正整数n ,设()n ?和()S n 分别是Euler 函数和Smarandache 函数.其中,()n ?表示不大于n 且与n 互素的正整数的个数;()S n 定义为最小正整数m ,使得 |!n m ，即:!}|,{()min m n m m Z S n +=∈. ()S n 的各种性质是数论及其应用领域中一 个十分引人关注的研究课题[1] .关于这两个 函数之间关系的讨论,一直也是很多学者研 究的对象[2]-[4] , 例如文献[2]中讨论了数论方程()()t n S n ?=的相关性质和求解过程，并且在很多学者努力下，此类型方程的求解结果已经很完善；文献[4]中讨论并给出了方程()()2n n ω?=的解.在诸多文章和结果的启发下，本文提出了一类数论方程 ()()2S n n ?=的求解问题,并通过分类讨论的 方法，在现有的五个费马素数的基础上得到 了此类方程解的表达式和部分解的判别条件.现将本文的主要结果列在下面： 定理 对于任给的正整数n ,()n ?和 ()S n 分别是Euler 函数和Smarandache 函 数，若n 为数论方程() ()2 S n n ?=的解，则n 的标准分解式为： 1 2m s n p p =, 1(3,15)s p p s ≤<<≤≤为素数,其中 22 1k i i p =+，{0,1,2,3,4},(1,,)i k i s ∈=， m 满足： (1)当1s =时，1121k m p =-+， 1{23,4}k ∈，，或者m 满足不等式组：
数论问题之余数问题:余数问题练习题含答 案 1.数11 1(2007个1),被13除余多少 分析:根据整除性质知:13能整除111111,而2007 6后余3,所以答案为7. 2.求下列各式的余数: (1)2461 135 6047 11 (2)2123 6 分析:(1)5;(2)6443 19=339 2,212=4096 ,4096 19余11 ,所以余数是11 . 3.1013除以一个两位数,余数是12.求出符合条件的所有的两位
数. 分析:1013-12=1001,1001=7 11 13,那么符合条件的所有的两位数有13,77,91 有的同学可能会粗心的认为11也是.11小于12,所以不行.大家做题时要仔细认真. 4.学校新买来118个乒乓球,67个乒乓球拍和33个乒乓球网,如果将这三种物品平分给每个班级,那么这三种物品剩下的数量相同.请问学校共有多少个班 分析:所求班级数是除以118,67,33余数相同的数.那么可知该数应该为118-67=51和67-33=34的公约数,所求答案为17. 5.有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数. 分析:这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是由于所得的余数相同,根据性质2,我们可以得到:这个数一定
能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数. 101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14. 6.求下列各式的余数: (1)2461 135 6047 11 (2)2123 6 分析:(1)5;(2)找规律,2的n次方被6除的余数依次是(n=1,2,3,4 ):2 ,4 ,2 ,4 ,2 ,4 因为要求的是2的123次方是奇数,所以被6除的余数是2.
第一节 整数的p 进位制及其应用 正整数有无穷多个，为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数，人们发明了进位制，这是一种位值记数法。进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系，近几年来，国与国际竞赛中关于“整数的进位制”有较多的体现，比如处理数字问题、处理整除问题及处理数列问题等等。在本节，我们着重介绍进位制及其广泛的应用。 基础知识 给定一个m 位的正整数A ，其各位上的数字分别记为021,,,a a a m m ，则此数可以简记为：021a a a A m m （其中01 m a ）。 由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此A 可以表示成10的1 m 次多项式，即 012211101010a a a a A m m m m ，其中1,,2,1},9,,2,1,0{ m i a i 且 01 m a ，像这种10的多项式表示的数常常简记为10021)(a a a A m m 。在我们的日常 生活中，通常将下标10省略不写，并且连括号也不用，记作021a a a A m m ，以后我们所讲述的数字，若没有指明记数式的基，我们都认为它是十进制的数字。但是随着计算机的普及，整数的表示除了用十进制外，还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示。特别是现代社会人们越来越显示出对二进制的兴趣，究其原因，主要是二进制只使用0与1这两种数学符号，可以分别表示两种对立状态、或对立的性质、或对立的判断，所以二进制除了是一种记数方法以外，它还是一种十分有效的数学工具，可以用来解决许多数学问题。 为了具备一般性，我们给出正整数A 的p 进制表示： 012211a p a p a p a A m m m m ，其中1,,2,1},1,,2,1,0{ m i p a i 且 01 m a 。而m 仍然为十进制数字，简记为p m m a a a A )(021 。 第二节 整数的性质及其应用（1） 基础知识 整数的性质有很多，这里我们着重讨论整数的整除性、整数的奇偶性，质数与合数、完全平方数及整数的尾数等几个方面的应用。 1．整除的概念及其性质 在高中数学竞赛中如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。 定义：设b a ,是给定的数，0 b ，若存在整数c ，使得bc a 则称b 整除a ，记作a b |，并称b 是a 的一个约数(因子)，称a 是b 的一个倍数，如果不存在上述c ，则称b 不能整除a 记作b a 。 由整除的定义，容易推出以下性质： (1)若c b |且a c |，则a b |(传递性质)；
初等数论简介 绪言：在各种数学竞赛中大量出现数论题，题目的内容几乎涉及到初等数论的所有专题。 1． 请看下面的例子： （1） 证明：对于同样的整数x 和y ，表达式2x+3y 和9x+5y 能同时被整除。(1894年首届匈牙利 数学竞 赛第一题) （2） ①设n Z ∈，证明213 1n -是168的倍数。 ②具有什么性质的自然数n ，能使123n ++++ 能整除123n ??? ？（1956年上海首届数学竞赛第一题） （3） 证明：3 231 122 n n n + +-对于任何正整数n 都是整数，且用3除时余2。（1956年北京、天津市首届数学竞赛第一题） （4） 证明：对任何自然数n ，分数 214 143 n n ++不可约简。（1956年首届国际数学奥林匹克竞赛第一题） （5） 令(,,,)a b g 和[,,,]a b g 分别表示正整数,,,a b g 的最大公因数和最小公倍数，试证： [][][][]()()()() 2 2 ,,,,,,,,,,a b c a b c a b b c c a a b b c c a =??（1972年美国首届奥林匹克数学竞赛第一题） 这些例子说明历来数论题在命题者心目中首当其冲。 2.再看以下统计数字： （1）世界上历史最悠久的匈牙利数学竞赛，从1894~1974年的222个试题中，数论题有41题，占18.5%。 （2）世界上规模最大、规格最高的IMO （国际数学奥林匹克竞赛）的前20届120道试题中有数论13题，占10.8% 。 这说明：数论题在命题者心目中总是占有一定的分量。如果将有一定“数论味”的计数型题目统计在内，那么比例还会高很多。 3.请看近年来国内外重大竞赛中出现的数论题： (1)方程323652x x x y y ++=-+的整数解(,)x y 的个数是（ ） A 、 0 B 、1 C 、3 D 、无穷多 （2007全国初中联赛5） （2）已知,a b 都是正整数，试问关于x 的方程()2 1 02 x abx a b -++=是否有两个整数解？ 如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明。 （2007全国初中联赛12）
小升初——数论 数论是考察学生数感、数字规律的观察能力的重点专题，这一讲我们将熟练运用已经学过的数论知识，解决数论问题。掌握代数式处理数论问题的方法。 1、 六位数□2004□能被99整除，这个六位数是多少？ 2、 有一个六位数，前四位是2857，即2857□□，这六位数能被11和13整除，请你算出最后两位数。 3、 若四位数a a 89能被15整除，则a 代表的数字是什么？ 4、 一个七位数c b a 9020是33的倍数，那么_______=++c b a 5、 在一个四位数的某位数字前添上一个小数点，再和原来的四位数相减，差的绝对值是1803.6，则原来的四位数是多少？
6、一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。 7、有一个整数，用它去除70、110、160所得到的3个余数和是50，这个整数是多 少？ 8、两个整数相除商8，余16，并且被除数、除数、商及余数和是463.那么被除数是 多少？ 311，那么这三个质数和是多少？ 9、三个质数倒数和是 1001
10、有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁，而他们的年龄的乘积是5040，那么他们的年龄各是多少？ 11、一个正整数与1470的积是一个完全平方数，那么这个数的最小值是多少？ 12、求2520、14850、819的最大公因数和最小公倍数（用因数分解法） 13、现有4个自然数，他们的和是1111，如果要使这4个数的公因数尽可能大， 那么4个数的公因数最大是多少？ 14、一个三位数正好等于它各位数字之和的18倍，这个三位自然数是多少？ 15、六位数2003□□能被99整除，它的最后两位数是多少？
整除 一、常见数字的整除判定方法 1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除； 一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除； 一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除； 2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除； 一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除； 3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个 数能被11整除. 4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这 个数能被7、11或13整除. 5.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则 拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。 【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.） 二、整除性质 性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)． 性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a． 用同样的方法，我们还可以得出： 性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a． 性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b 与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a． 例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12． 性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）； 性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果b｜a，且d｜c，那么bd｜ac； 余数 一、三大余数定理： 1.余数的加法定理 a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的 余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2 2.余数的减法定理
欧几里得算法 欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个正整数a，b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理： 定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) (a>b 且a mod b 不为0) 证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b 假设d是a,b的一个公约数，则有 d|a,d|b，而r = a - kb，因此d|r 因此d也是（b,a mod b）的公约数 因此（a,b）和（b,a mod b）的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证欧几里得算法模板 int gcd(int n,int m) { int t,r; if(n
数论与解析数论简史 王志伟200800090156 数学与应用数学 数学王子Gauss曾经说过：数学是科学的女王，而数论是数学的女王。Gauss在数学、物理、天文各方面都取得了非凡的成就，但他却始终对数论情有独钟。数论，以其纯粹的数学本质，常常被认为是最美的数学，数学的中心。 与其他数学分支，比如几何、分析不同，数论并非是源于实际需要而创立的一门学科，其起源很有可能是出自数字游戏和Pythagoras学派以数字为图腾的宗教文化。数论曾经被认为是数学家的游戏、最纯的数学学科、唯一不会有什么应用价值的分支。但是现在随着网络加密技术的发展，数论也找到了自己用武之地——密码学。前几年破解MD5码的王小云老师就是山大数论学派出身。而在其他理论中，数论也表现出了一些意想不到的价值。在量子理论中，Hermite算子是最基本的概念之一，它的思想起源就是19世纪Hermite为解决数论问题而创立的Hermite型。我们在代数中常见的理想、环等概念最开始是出自Dedekind的数论著作中。最近的一个例子，Grothendieck为解决Weil猜想而对代数几何进行了革命性的改造。此类例子还有很多，在此不一一列举。 在古代对数论贡献最大的当属古希腊人。最著名的一些成果大概就是Euclid在《几何原本》中提到的Euclid算法、素数无限多个，算数基本定理等内容，这些我们在初等数论中都可以见到。另一个对数论有重大贡献的古希腊人当属Diophantus，他探讨了很多不定方程，为纪念，我们现在就称这些方程为Diophantus方程，著名的费马大定理就是一个Diophantus 方程问题。当然，中国古代在数论方面也作出了一定的贡献：众所周知、大名鼎鼎的中国剩余定理，被数学界唯一承认的中国的定理。 在经过漫长的中世纪之后，数论进入了一个辉煌的发展时期。推动数论发展的第一个重要人物首推Fermat，一个在数论界享有崇高地位的法国律师、业余数学家。Wiles在1994年证明的Fermat's last theorem，即我们所说的费马大定理，就是Fermat所提出的一个猜想。另外，Fermat小定理，关于多角形数的猜想，Fermat数，Mersenne素数性质，Pell方程都有他的贡献，我们证明中常用的无穷递降法，就是费马在证明费马大定理在n=3时最先发明使用的，除了数论，他在其他方面也有一些突出贡献，比如解析几何、微积分。Fermat之后，另一个重要的人物是Euler，他对Fermat的一个猜想：Fermat数都是素数给出了反例，引进了在数论中一个非常重要的数论函数，即Euler函数，并发现了一个数论中非常重要的Euler 公式。另外，笔者在跟同学在参加大学生科技创新项目中研究整数分拆这个课题时，阅读了Geogre Andrew的《The theory of partitions》，有幸了解到Euler在数论中的整数分拆方面也做出了很大的贡献，提出了母函数法，利用幂级数来研究整数分拆，这导致圆法和指数和方法的产生。 。在Euler之后，两个法国人Lagrange、Legendre也在数论方面做出了重要贡献，比如我们熟悉的二次互反律，Euler和Legendre都曾提出猜想，而公式中的符号我们即称作Legendre符号。他们的贡献就不在此细述。而在数论史上做出贡献最大的，我想大多人会同意是Gauss，一个伟大的数
有关数论函数的一些问题 题目：有关数论函数的一些问题研究生：任荣珍 任课教师：杨海 学科专业：应用数学 学号：2014081034 学院：理学院 时间：2015年1月2日
有关数论函数的一些问题 数论函数是在数论这一门学科中提出的, 在介绍数论函数之前首先来说明有关数论的一些背景知识和数论这一门学科, 数论可以被定义为研究数的一门理论学科, 是数学的一个重要分支, 数论在研究数的方面有着悠久的历史, 它的发展源远流长, 早在远古时代人们就学会使用数字, 而数论在数学中有着很重要的位置, 就如数学家高斯所说”数学是科学-皇后, 而数论就是数学皇冠”. 数论这门学科最早时是从研究整数开始的, 因此叫做整数论, 随着整数论的进一步发展就把整数论叫做数论了[1], 数论在数学中就是研究数的规律, 它与几何学一样是数学中最古老的分支, 在数学中有着悠久的历史, 在现代基础数学研究中占有很重要的位置. 数论函数作为数论其中的一个分支对数学也起了很重要的作用,下面就来介绍一些有关数论函数的研究, 下面就来介绍一下有关数论函数()F n 的背景知识[2], 先介绍一些所需要的符号及定义: 对任意的正整数2n ≥, ()n ?是由满足如下条件的整数数组 12(,,...,)s a a a 所构成的集合: (1)2i a n ≤≤, 1,2,...,i s =; (2)若素数i p a , 则p n , 1,2,...,i s =; (3)2s ≥时, (,)1i j a a =, 1i j s ≤<≤. 定义()F n 为形如12...s a a a +++数的最大值, 其中12(,,...,)()s a a a n ∈? 设1 i k a i i n p ==∏为n 的标准分解式, 我们用()n k ω=表示n 的所有不同 素因子的个数.
“4-6 初等数论初步”简介 北京师范大学胡永建 初等数论是研究整数的性质和不定方程（组）的整数解的一门学问，它与几何学是最古老的两个数学分支。初等数论中至今仍有许多没有解决的问题，如哥德巴赫（Goldbach）问题，孪生素数猜想，奇完全数的存在性问题等，它们对人类智慧产生了极大挑战。人们在解决一些初等数论问题的过程中所作的贡献，对数论乃至整个数学的发展起了重要的推动作用，产生了一些直接与数学有关的新的重要数学分支。初等数论在计算机科学和信息工程中有许多重大的实际应用。在本专题中，同学们将通过具体的问题，学习初等数论的一些基本知识，如有关整数和整除的知识，用辗转相除法求解一次同余方程（组）和简单的一次不定方程等，初等数论中蕴含的一些思想方法，以及我国古代数学在初等数论的研究方面取得的一些重要成就。 一、内容与课程学习目标 本专题的学习初等数论的一些基本知识，具体包括：整数的整除、同余与同余方程、一次不定方程和数论在密码中的应用四部分内容。通过本专题的学习，要引导学生：1．通过实例，认识带余除法，理解同余和剩余类的概念及意义，探索剩余类的运算性质（加法和乘法），并且理解它的实际意义。体会剩余类运算与传统数的运算的异同（会出现零因子）。 2．理解整除、因数和素数的概念，了解确定素数的方法,如埃拉托斯特尼（Eratoshenes）筛法，知道素数有无穷多个。 3．了解十进制表示的整数的整除判别法，探索整数能被3，9，11，7等整除的判别法。会检查整数加法、乘法运算错误的一种方法,如弃九验算法。 4．通过实例，探索利用辗转相除法求两个整数的最大公约数的方法，理解互素的概念，并能用辗转相除法证明：若a能整除bc，且a,b互素，则a能整除c。探索公因数和公倍数的性质。了解算术基本定理。 5．通过实例，理解一次不定方程的模型，利用辗转相除法求解简单的一次不定方程。并尝试写出算法的程序框图，在条件允许的情况下上机实现。 6．通过实例（如物不知其数问题），理解一次同余方程组的模型。 7．理解大衍求一术和孙子定理的证明。 8．理解费马小定理（当m是素数时，a m-1≡1(mod m)）和欧拉定理（aφ(m)≡1(mod m),其中φ(m)是1，2，…，m-1中与m互素的数的个数）及其证明。 9．了解数论在密码中的应用——公开密钥。 二、内容安排 本专题共安排了四讲，其中最后一讲“数论在密码中的应用”可根据教学时间的实际情况机动安排，可由教师讲授，也可作为学生课后的阅读材料。本专题教学时间约需18课时，具体分配如下（仅供参考）： 第一讲整数的整除约5课时 一、整除的概念和性质约2课时 二、最大公因数与最小公倍数约2课时
2017年全国数学竞赛命题研讨会试题汇编 2017年6月
目录 代数 代数1 不等式…………………………………………………人大附中张端阳1 代数2 不等式…………………………………………………人大附中张端阳1 代数3 不等式……………………………复旦附中李朝晖、施柯杰、肖恩利3 代数4 不等式……………………………复旦附中李朝晖、施柯杰、肖恩利4 代数5 不等式……………………………复旦附中李朝晖、施柯杰、肖恩利7 代数6 不等式…………………………………………华东师大二附中唐立华8 代数7 不等式……………………………………………湖南师大附中张湘君9 代数8 不等式……………………………………………湖南师大附中张湘君10 代数9 不等式……………………………………………湖南师大附中汤礼达11 代数10 不等式……………………………………………湖南师大附中汤礼达12 代数11 不等式………………………………………吉大附中石泽晖、王庶赫13 代数12 不等式…………………………………绵阳东辰学校袁万伦、姚先伟14 代数13 不等式……………………………………………绵阳东辰学校袁万伦15 代数14 三角不等式……………………………………………广州二中程汉波16 代数15 不等式……………………………………………大连二十四中邰海峰17 代数16 数列…………………………………………………东北育才学校张雷18 代数17 不等式………………………………………………东北育才学校张雷19 代数18 不等式………………………………………………大连二十四中李响23 代数19 多项式……………………………………学而思培优苏州分校李家夫24 代数20 不等式…………………………………………………华东师大张丽玉24 代数21 不等式……………………………………………………杭州二中赵斌25 几何 几何1……………………………………复旦附中李朝晖、施柯杰、肖恩利28
第十四章数论之余数三大定理 概念 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a ＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 (1)当0 r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完 (2)当0 全商 三大余数定理 1.余数的加法定理 a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 2.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 3.同余定理 若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。 同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论： 若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m 整除 用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)
例题 1. 用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r。 2. 甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。 3. 一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。 4. 有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数 之和为2113，则被除数是多少？ 5. 用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是1 6.被除数、除数、商、余数的和是933，求这2个自然数各是多少？ 6. （真题）三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的 商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。 7. 一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是_________。 8. 有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人。如果把书全部 分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够。如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够。问：第二组有多少人? 9. 一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数。
小升初专项训练---数论 数论在数学中的地位是独特的，高斯曾经说过“数学是科学的皇后，数论是数学中 的皇冠”。翻开任何一本数学辅导书，数论的内容都占据了不少的版面。在小升初择校 考试及小学各类数学竞赛中，直接运用数论知识解题的题目分值大概占据整张试卷总分 的12%左右，小学阶段的数论知识点主要有： 1、质数与合数、因数与倍数、分解质因数 2、数的整除特征及整除性质 3、余数的性质、同余问题 4、位值原理 5、最值问题 知识点一：质数与合数、因数与倍数、分解质因数 1.质数与合数 突破要点——质数合数分清楚，2是唯一偶质数 (1)质数：一个数除了1和它本身以外，没有其他的因数，这样的数统称质数。 (2)合数：一个数除了1和它本身以外，还有其他的因数，这样的数统称合数。 例如：4、6、8、10、12、14，…都是合数。 在100以内有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97共25个质数 2约数与倍数 公因数短除法到一个不能除为止，公倍数除到海枯石烂为止，因数有限个，倍数无穷多。如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数。如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。在 所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。自然数a1，a2，…，an的最大公约数通常用符号（a1，a2，…，an）表示，例如，（6，9，15）=3。
3．质因数与分解质因数 （1）如果一个质数是某个数的约数，那么就是说这个质数是这个数的质因数。 （2）把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 例如，把42分解质因数，即是42=2×3×7。其中2、3、7叫做42的质因数。 又如，50=2×5×5，2、5都叫做50的质因数。 4、要注意以下几条： （1）1既不是质数，也不是合数。 （2）质数有无限多个，最小的质数是2。 （3）在质数中只有2是偶数，其余的质数全是奇数。 （4）合数有无限多个。最小的合数是4。 （5）每个合数至少有三个约数：1、它本身、其他约数。例如，8的约数除1和8外，还有2、4，所以8是合数。 知识点二：数的整除特征及整除性质 突破要点——牢记特征是关键，常见特征背5遍，先看末尾再看和，然后分段求结果。 数的整除特征 （1）2末尾是0、2、4、6、8 （2）3各数位上数字的和是3的倍数 （3）5末尾是0或5 （4）9各数位上数字的和是9的倍数 （5）11奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数 （6）4和25末两位数是4（或25）的倍数 （7）8和125末三位数是8（或125）的倍数 （8）7、11、13末三位数与前几位数的差是7（或11或13）的倍数 知识点三：余数的性质、同余问题 1.带余除法 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,那么一定有另外两个整数q和r，0≤ｒ＜b,使得a=b×q+r 当r=0时，我们称a能被b整除。 当r≠０时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全
1.数论——数的整除和余数 2.1基本概念和基本性质 2.1.1定义 整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b 整除，或者说b能整除a。 2.1.2表达式和读法 b∣a，读着b能整除a;或a能被b整除；b a，不能整除； 2.1.3基本性质 ①传递性：如果a|b,b|c,那么a|c;即b是a的倍数，c是b的倍数，则c肯定是a的 倍数； ②加减性：如果a|b、a|c，那么a|(b c); ③因数性：如果ab|c，那么a|c，b|c;即如果ab的积能整除c,则a或b皆能整除 c; ④互质性，如果a|c，b|c，且（a,b）=1,那么ab|c,即如果a能整除c,b能整除c， 且ab互质，则ab的积能整除c; ⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。
2.2数的整除的判别法 2.2.1末位判别法 2.2.2数字和判别法（用以判别能否被3或9整除） 各数位上数字的和是3或9的倍数，则能被3或9整除。 173652÷9:1+7+3+6+5+2的和除以3或9； 简便算法，利用整除的加减性，可以去掉1个或多个9，剩下数字的和x再除以3或9；如果x﹥9,则余数为x-9;如果x﹤9,则余数为x。 2.2.3奇偶数位判别法（用以判别能否被11整除） 从右往左编号，编号为奇数的为奇数位，编号为偶数的为偶数位，看奇数位上的数字的和与偶数位上的数字的和的两者之差是否能被11整除； 81729033÷11:奇数位和为6，偶数位和为27；如果奇数位和比偶数位和小，则奇数位和加1个或多个11，直到够减。余数的判断法与整数位的判断法一致。
2.2.4三位一截判别法（用以判别能否被7/11/13整除） 2.2.4.1基本用法 从右往左三位一截并编号，编号为奇数的为奇数段，编号为偶数的为偶数段，看奇数段的数字的和与偶数段的数字的和的两者之差是否能被7、11、13整除； 如，86372548，奇数段的和为（548+86），偶数段的和为372，求两者差看能否被7整除，同样，不够减前面加1个或多个7，直到够减，余数位的判断法与整数位的判断法一致。 2.2.4.2特殊用法 ①一般求空格数 如果中间有空格，则利用加减性加或减除数7的倍数，分别从右边和左边抵消缩减位数，到最后看7的哪个倍数与缩减后的末位数相同，并看7的哪个倍数与缩减后的首位数相同，则前一个倍数的十位数和后一个倍数的个位数的和即为空格中应填的数。注意，如果这个数加或减7后为1到9间的自然数，则加或减7后的这个数也为正确答案。 395864□82365，答案为5 463925□01234，答案为1和8 ②特殊求空格数 根据整除的因数性，如果1个数能被1001整除，则这个数能被7、11、13、77、91、143整除，因为： 7×11×13=1001; 77×13=1001; 99×11=1001;