§1.1 锐角三角函数（1）
【教学目标】
1.探索直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系。
2.掌握三角函数定义式：sinA=斜边的对边A ∠， cosA=斜边
的邻边A ∠，
【重点难点】
重点：三角函数定义的理解。
难点：直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系及求三角函数值。 【教学过程】 一、情境导入
1、∠A=30°，则
AB
BC
= ,这个比值和B 点的位置有关系吗？
2、在∠A 的一边上任取两点B 与B 1,分别作BC ⊥AC 于点C ，B 1C 1⊥AC 1于点C 1.比值
AB BC 与1
11
1B A C B 有什么关系?
3、比较1和2中的两个比值是否相等？如果∠A =50°时，这个比值和40°时有变化吗？ 二、新课教学 1、结论:当锐角α确定时,比值
AB BC 是一个唯一确定的值；当锐角α变化时,比值AB
BC
也随之变化.
简单地说：角度不变，比值不变，角度改变，比值改变
边与2、2、三角函数的定义在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.
∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正弦(sine)，记作sinA ，即sinA
=
AB
BC ＝斜边的对边
A ∠
∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦(cosine)，记作cosA ，
即cosA=
AB
AC =斜边的邻边A ∠
∠A 的对边与∠A 的邻边的比叫做∠A 的正切(tang e nt )，记作tan A ， 即的斜边
的对边A tan ∠∠==
A AC BC A 锐角A 的正弦、余弦和正切统称∠A 的三角函数. 三、课堂练习： 1. 根据图形填空：
sin A = ； cos A = ； tan A =
tanA=∠A的对边∠A的邻边 A 30° B
C
A
B １ B
C C
C 1
40°
A
α
B
C
C
4
5
3
2. 如图，在Rt △ABC 中，∠C = Rt ∠ ，AC =2, AB=13 . 求 : (1) sin A 、 cos A 、tan A 的值 (2) sin B 、 cos B 、tan B 的值；
3、在Rt △ABC 中, ∠C =Rt ∠，AC ︰BC =1︰2. 求tan B 、sin B 、 cos B 的值.
4、在Rt △ABC 中, ∠C =Rt ∠，sin A = ,则sin B 的值为( )
(A) (B) (C) (D)
5、 在Rt ⊿ABC 中，∠C=Rt ∠， CD ⊥AB ，求锐角∠DCB 的余弦
四、回顾总结：
1. 一个概念：锐角三角函数
2. 一个关系：直角三角形中边角关系
3、对任意锐角 ,下列结论成立吗？请说明理由. ① 0＜sin ＜1, ② 0＜cos ＜1, ③sin +cos ＞1 , ④tan ＞0
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
A
C
B
2
53544334
53
=sinA
28.1锐角三角函数(第一课时)课堂设计 学科数学年级九课题28.1锐角三角函数——正弦 课型新授课课时 1 授课时间总共第（）课时 目标要求知识 目标 1.初步了解正弦的概念；掌握正弦的表示方法。 2.学会根据定义求锐角的正弦值。 3.熟记30°、45°、60°角的正弦值，并根据正弦值说出对应的锐 角度数。 能力 目标逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力。 情感 目标使学生经历从特殊到一般的过程。培养学生对数学的兴趣。 教学重点正弦的定义。 教学难点正弦的表示方法及应用。 教学手段经历探究，分析，归纳，应用的过程，逐步深入理解知识。 校本教研 小课题 培养学生的探究能力 板书板画设计 28.1锐角三角函数——正弦 定义：在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦。记作sinA,即 c a A A= ∠ = 斜边 的对边 sin 2 1 30 sin= ? 2 2 45 sin= ? 2 3 60 sin= ?
教学过程设计（含时间分配）修改完善（一）引入新知识，发现新问题 操场里有一根旗杆，老师让小明去测量旗杆高度，小明站在离旗杆 底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度， 并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了。你想知道小 明怎样算出的吗？ 这个问题的解决将涉及到直角三角形中的边角关系．直角三角 形中，它的边与角有什么关系？通过本章的学习，你就会明白其中 的道理，并能应用所学知识解决相关的问题． 探究新知 （1）问题的引入 教师讲解：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿 着山坡铺设水管，?在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行 喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的 高度为35m，那么需要准备多长的水管？ 教师点拨：这个问题可以归纳为，在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠A=30°，BC=35m，?求AB（课本图28．1-1）． 在上面的问题中，?如果使出水口的高度为50m，那么需要准备 多长的水管？?要求学生在解决新问题时寻找解决这两个问题的共 同点． 教师引导学生得出这样的结论：在上面求AB（所需水管的长 度）的过程中，虽然问题条件改变了，但我们所用的定理是一样的： 在一个直角三角形中，?如果一个锐角等于30°，那么不管三角形 的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于1 2 ．也是说，只 要山坡的坡度是30°这个条件不变，那么斜边与对边的比值不变．教师提出第2个问题：既然直角三角形中，30°角的斜边与对边的比值不变，那么其他角度的对边与斜边的比值是否也不会变呢？?我们再换一个解试一试．?如课本图28．1-2，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，∠A对边与斜边的比值是一个定值吗？?如果是，是多少？
《锐角三角函数》（第一课时）教学设计 一、教材分析 （一）、教材的地位与作用 本节课选自鲁教版实验教科书九年级上册第一章解直角三角形的第一节锐角三角函数（第一课时）。锐角三角函数反映了直角三角形中边角之间的关系，它在解决实际问题中起着重要的作用。相比之下，正切是生活当中应用最多的三角函数概念。通过本节课的学习使学生进一步体会比和比例、图形的相似、推理证明等数学知识之间的联系。感受数形结合的思想，体会数形结合的方法，为一般性的学习锐角三角函数、利用锐角三角函数解决实际问题奠定基础。（二）、学情分析 1、从学生的年龄特征和认知特征来看 九年级学生的思维活跃，接受能力较强，具备了一定的数学探究活动经历和应用数学的意识。 2、从学生已具备的知识和技能来看 九年级学生已经掌握直角三角形中各边和各角的关系，能灵活运用相似图形的性质及判定方法解决问题，有较强的推理证明能力。 3、从学生有待于提高的知识和技能来看 学生要得出直角三角形中边与角之间的关系，需要观察、思考、交流，进一步体会数学知识之间的联系，感受数形结合的思想，体会锐角三角函数的意义，提高应用数学和合作交流的能力。
（三）、教学目标 1、知识目标 （1）经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义，并能举例说明。 （2）能运用tanA表示直角三角形中的两边之比，表示物体的倾斜度、坡度等，能利用直角三角形中的边角关系进行简单的计算。 2、能力目标 （1）经历观察、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力。 （2）体验数形之间的联系，提高学生应用数学的意识和能力。 3、情感价值目标 使学生在学习数学的过程中体会数学与生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，增强学好数学的信心。 （四）、教学重点、难点 教学重点： 1、对正切的理解，能运用正切函数表示直角三角形中两边的比。 2、能根据直角三角形中的边角关系进行简单的计算。 3、对坡度的理解并能运用来解决实际问题。 教学难点：对正切函数的理解。 二、教法和学法 本节课的教法采用的是情境引导法和探究发现法。在教学过程中，通过适宜的问题情境引发新的认知冲突；建立知识间的联系。教师通过引导、指导、反馈、评价，不断激发学生对问题的好奇心，使
内蒙古呼和浩特市中考数学分类汇编专题11：锐角三角函数 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 (共5题；共10分) 1. （2分）如图，已知点A（-1,0）和点B（1,2），在坐标轴上确定点P，使△ABP为直角三角形，则满足条件的点P共有（） A . 2个 B . 3个 C . 6个 D . 7个 2. （2分）(2016·龙岗模拟) 如图，△ABC中，AC=5，cosB= ，sinC= ，则△ABC的面积为（） A . B . 12 C . 14 D . 21 3. （2分）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，PA=4，OA=3，则cos∠APO的值为（） A . B . C . D . 4. （2分）(2017·集宁模拟) 如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，折叠正方形ABCD，使AB 边落在AC上，点B落在点H处，折痕AE分别交BC于点E，交BO于点F，连结FH，则下列结论正确的有几个（）
⑴AD=DF；（2） = ；（3） = ﹣1；（4）四边形BEHF为菱形． A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个 5. （2分）在课题学习后，同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬，小明同学绘制的设计图如图所示，其中，AB 表示窗户，且AB=2.82米，△BCD表示直角遮阳蓬，已知当地一年中在午时的太阳光与水平线CD的最小夹角α为18°，最大夹角β为66°，根据以上数据，计算出遮阳蓬中CD的长是（结果精确到0.1）（参考数据：sin18°≈0.31，tan18°≈0.32，sin66°≈0.91，tan66°≈2.2）（） A . 1.2米 B . 1.5米 C . 1.9米 D . 2.5米 二、填空题 (共7题；共9分) 6. （1分）(2018·济宁) 如图，在一笔直的海岸线l上有相距2km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是________ km．
25.2锐角三角函数（2） 教学目标 ：1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理. 进一步体会三角函数的意义. 2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算. 3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小. 教学重点： 1.探索30°、45°、60°角的三角函数值. 2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算. 教学难点： 进一步体会三角函数的意义. 教学方法：自主探索法。 教学准备：一副三角尺、 多媒体演示。 教学过程： 一：.创设问题情境，引入新课 [问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度.(用多媒体演示上面的问题，并让学生交流各自的想法 ) 提示：让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B 处，使这位同学拿起三角尺，她的视线恰好和斜边重合且过树梢C 点，30°的邻边和水平方向平行，用卷尺测出AB 的长度，BE 的长度，因为DE=AB ，所以只需在Rt △CDA 中求出CD 的长度即可. 问题1：我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，你能求出30°角的三个三角函数值吗? 二.新知学习 1.探索30°、45°、60°角的三角函数值. [师]观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度? [师]sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流. [生]sin30°＝ 2 1. sin30°表示在直角三角形中，30°角的对边与 斜边的比值，与直角三角形的大小无关.我们不妨设30°角所对的边为a(如图所示)，根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的性质，则斜边等于2a.根据勾股定理，可知30°角的邻边为a ， 所以sin30°＝ 2 12=a a . [师]cos30°等于多少?tan30°呢? [生]cos30°＝ 2 323=a a . tan30°= 333 13==a a
第2课时 锐角三角函数 1.掌握余弦、正切的定义. 2.了解锐角∠A 的三角函数的定义. 3.能运用锐角三角函数的定义求三角函数值. 阅读教材P64-65,自学“探究”与“例2”. 自学反馈 学生独立完成后集体订正 ①在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c;∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的 ，即cosA= ；∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的 ，即tanA= . ②锐角A 的正弦、余弦、正切叫做∠A 的 . ③在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若a=3、b=4，则cosB= ，tanB= . ④在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，则sinA= （）（）= ，cosA= （）（）= ,tanA= （）（）= . ⑤在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，则sinA= （）（）= ，cosA= （）（）= ，tanA= （）（）= . ⑥在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，则sinA= （）（）= ，cosA= （）（）= ，tanA= （）（）= . 锐角三角函数是在直角三角形的前提下. 活动1 小组讨论 例1 分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值.
解:在Rt△ABC中，根据勾股定理得 ∴sinA=cosB=BC AB = 5 13 ,cosA=sinB= AC AB = 12 13 ,tanA= BC AC = 5 12 ,tanB= AC BC = 12 5 .利用勾股定理求出第三边，再直接运用三角函数定义即可. 活动2 跟踪训练(独立完成后小组内展示学习成果) 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，若CD=BC，则tanA= . 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，c=13，a=12，那么sinA= ，cosA= ，tanA= . 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，c=2，sinB=1 2 ，则a= ，b= ,S△ABC= . 均可先求出直角三角形的边长，再用锐角三角函数的关系来做. 活动1 小组讨论 例2 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，tanA=3 4 ，求sinA和cosB的值. 解:∵tanA=BC AC , ∴BC=AC×tanA=8×3 4 =6. ∵ ∴sinA=BC AB = 6 10 = 3 5 ,cosB= BC AB = 6 10 = 3 5 . 先求Rt△ABC的边长，再求sinA、cosB的值. 例3 如图，在△ABC中，AB=15，AC=13，S△ABC=84，求sinA的值.
锐角三角函数——正弦 学号： 班级： 姓名： 内容：锐角三角函数． 执笔：欧雅燕 初审：陈杜峰 主审： 初三数学组 时间：第15周 一、自学指南 【学习目标】掌握正弦的概念和形式，理解在直角三角形中，锐角一定的情况下，其对边和斜边的比值是一个定值. 【学习重点】正弦的概念和形式 【学习难点】直角三角形中，锐角一定的情况下，其对边和斜边的比值是一个定值 二、自主学习 1.请同学们自学课本P76至课本P79面，认真思考文中提出的问题，理解其中的重要结论，识记重要概念，仔细体会文中的例题. 2.自学交流 （1）在一个Rt △ABC 中，∠C=90°，当∠A=30°时，∠A 的对边和斜边的比都等于___________,是一个固定值；当∠A=45°时，∠A 的对边和斜边的比都等于___________，是一个固定值；当∠A=60°时，∠A 的对边和斜边的比都等于___________，是一个固定值；一般地，当∠A 取其他一定角度的锐角时，它的对边与斜边的比也是一个固定值. （2）探究1：如图，在斜坡AB 上任取三点123,,B B B ，分别过123,,B B B 向AC 作垂线，垂足分别为123,,C C C ，然后用刻度尺测量123112233,,,,,AB AB AB B C B C B C 的长度，并计算331122123,,B C B C B C AB AB AB 的值，前后桌之间交流下计算结果，你发现这些比值有什么关系？你能解释它吗？ C （3）探究2：请分别作111222333,,Rt A D E Rt A D E Rt A D E ???，使12,,A A A A ∠=∠∠<∠ 3A A ∠>∠测量并计算331122112233 ,,D E D E D E A D A D A D 的值，与探究1的结果比较后，你发现哪些规律？ （4）证实：任意两个直角三角形Rt △ABC 和Rt △A'B'C'，若∠C ＝∠C '＝90°，∠A ＝∠A '＝α，则 BC B C AB A B ''='' ．请你解释一下为什么？
锐角三角函数的图文解析 一、选择题 1．如图，菱形ABCD 中，AC 交BD 于点O ，DE ⊥BC 于点E ，连接OE ，∠DOE ＝120°，DE ＝1，则BD ＝（ ） A ．3 B ．23 C ．63 D ．33 【答案】B 【解析】 【分析】 证明△OBE 是等边三角形，然后解直角三角形即可． 【详解】 ∵四边形ABCD 是菱形，∴OD =OB ，CD =BC ． ∵DE ⊥BC ，∴∠DEB =90°，∴OE =OD =OB ． ∵∠DOE =120°，∴∠BOE =60°，∴△OBE 是等边三角形，∴∠DBC =60°． ∵∠DEB =90°，∴BD = 23sin603 DE =?． 故选B ． 【点睛】 本题考查了解直角三角形，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边的中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 2．如图，为了加快开凿隧道的施工进度，要在小山的两端同时施工．在AC 上找一点B ，取145ABD ∠=o ，500BD m =，55D ∠=o ，要使A ，C ，E 成一直线，那么开挖点E 离点D 的距离是（ ） A ．500sin55m o B ．500cos55m o C ．500tan55m o D ．500cos55m o 【答案】B 【解析】 【分析】 根据已知利用∠D 的余弦函数表示即可． 【详解】
在Rt△BDE中，cosD=DE BD ， ∴DE=BD?cosD=500cos55°． 故选B． 【点睛】 本题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键． 3．菱形ABCD的周长为20cm,DE⊥AB,垂足为E,sinA=3 5 ,则下列结论正确的个数有（） ①DE=3cm; ②BE=1cm; ③菱形的面积为15cm2; ④BD=210cm． A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C 【解析】 【分析】 根据菱形的性质及已知对各个选项进行分析，从而得到答案 【详解】 ∵菱形ABCD的周长为20cm ∴AD=5cm ∵sinA=3 5 ∴DE=3cm（①正确） ∴AE=4cm ∵AB=5cm ∴BE=5﹣4=1cm（②正确） ∴菱形的面积=AB×DE=5×3=15cm2（③正确） ∵DE=3cm,BE=1cm ∴10（④不正确） 所以正确的有三个． 故选C． 【点睛】 本题考查了菱形的性质及锐角三角函数的定义，熟练掌握性质是解题的关键 4．一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为（）
第一章直角三角形的边角关系 《锐角三角函数（第2课时）》 教学设计说明 深圳市宝安区塘尾万里学校陈武惠 一、学生知识状况分析 1、学生已经知道的：学生在前一节课学习了有关正切的知识，学会了用直角三角形中两条直角边的关系来描述梯子的倾斜度（即倾斜角的正切） 2、学生想知道的：直角三角形中边与角之间是否还存在着其他的关系呢？是否也能用来刻画梯子的倾斜度呢？ 3、学生能自己解决的：探索出直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的的比、邻边与斜边的比是随锐角的大小变化而变化的. 二、教学任务分析 本课是九年级下册第一章第一节的第二课时，是让学生在理解了正切的基础上，进一步通过探究发现直角三角形中直角边与斜边之间存在的关系.同时发现，可以用其它的方式来刻画梯子的倾斜程度，从而拓展了学生的思维和视野.在导学探究过程中，不同学生对问题的理解是不一样的，教师应尊重学生间的差异，不要急于否定学生的答案，而要鼓励学生发表自己的看法，培养学生的逻辑思维能力，培养学生学习数学的自信心. 知识与技能 1、能利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数——正弦、余弦，理解锐角的正弦与余弦和梯子倾斜程度的关系. 2、能够用sinA,cosA表示直角三角形中直角边与斜边的比，能够用正弦、余弦进行简单的计算. 过程与方法 1、经历类比、猜想等过程.发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点. 2、体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神.
情感与价值观 1、积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲，学有用的数学. 2、形成实事求是的态度以及交流分享的习惯. 教学重点：理解正弦、余弦的数学定义，感受数学与生活的联系. 教学难点：体会正弦、余弦的数学意义，并用它来解决生活中的实际问题. 三、教学过程分析 本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习引入；第二环节：探求新知；第三环节：及时检测；第四环节：归类提升；第五环节：总结延伸；第六环节：随堂小测； 第一环节 复习引入 1、如图，Rt △ABC 中，tanA = ，tanB= . 2、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tanA ＝4 3 ，AC ＝10，求BC,AB 的长. 3、若梯子与水平面相交的锐角（倾斜角）为∠A ，∠A 越大，梯子越 ；tanA 的值越大，梯子越 . 4、当Rt △ABC 中的一个锐角A 确定时,其它边之间的比值也确定吗? 可以用其它的方式来表示梯子的倾斜程度吗？ 设计意图：以练代讲，让学生在练习中回顾正切的含义，避免死记硬背带来的负面作用（大脑负担重，而不会实际运用），第4题的问题引发学生的疑问，激起学生的探究欲望. 第二环节 探求新知 探究活动1：如图，请思考： （1）Rt △AB 1C 1和Rt △AB 2C 2的关系是 ； B 1 B 2 A C 1 C 2
《特殊锐角三角函数值》教学反思 芦庙中心中学刘红伟 在前一段我讲了30度、45度、60度特殊角的三角函数值，它是北师大版九年级数学下册的一节课，在前一节刚讲过正弦、余弦、正切三角函数的定义和求法。现把我对本节课的做法和想法与大家交流一下，希望能得到同行和专家的指点，以期取得更大的进步。 教学目标的设计我是以大纲为指导，要求同学们 1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义；能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算；能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小. 2.发展学生观察、分析、发现的能力；培养学生把实际问题转化为数学问题的能力. 3.积极参与数学活动，对数学产生好奇心.培养学生独立思考问题的习惯. 教学重点定为：探索特殊锐角三角函数值的过程，进行这些三角函数值的计算并会比较不同锐角三角函数值大小
在引入时我采用创设情境法，“为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：（1）含30、60度角的直角三角尺（2）皮尺。请你设计一个方案，来测量一棵大树的高度。这样会增强学生的学习欲望，使学生对本节内容更感兴趣。 在讲课中我采用这几种方法： 1、让学生自主研习，独立探究。 （1）观察一副三角尺，其中有几个锐角？他们分别等于多少度？ （2）sin30度等于多少呢？你是怎样得到的？cos30度呢，tan30度呢？ 2、让学生合作学习、生生互动 （1）请同学们完成下表：30°、45°、60°角的三角函数值（表格略） （2）观察表格中函数值的特点.先看第一列30°、45°、60°角的正弦值，你能发现什么规律呢?第二列、第三列呢？ （3）同桌之间可互相检查一下对30°、45°、60°角的三角函数值的记忆情况.
教师备课稿 学科_ 数学__ _九_年级第_下册教师朱晶_ 课 题 1.1锐角三角函数（1）第课时 教学目标1.经历锐角的正弦、余弦和正切的探索过程，了解三角函数的概念. 2.掌握正弦、余弦和正切的符号，会用符号表示一个锐角的三角函数. 3.掌握在直角三角形中，锐角三角函数与边之比的关系. 4.了解锐角的三角函数值都是正实数，会根据锐角三角函数的定义求锐角三角函数值. 重难点教学重点：锐角的正弦、余弦、正切和锐角三角函数的概念. 教学难点：锐角三角函数的概念. 教具、学 具准备 ppt课件 学教安排教法及学法指导、反思 课前准备一、创设情境，引入新课 小红在上山过程中，下列哪些量是变量，哪些量是常量(坡角，上升高度，所走路程)？ 她在斜坡上任意位置时，上升的高度和所走路程的比值变化吗？小强呢? （通过学生自主探索，教师引导，从而发现小红在上山过程中，坡角是常量，上升高度和所走路程是变量.她在斜坡上任意位置时，上升的高度和所走路程的比值不会变化.） 定义：一般地，对于每一个确定的锐角α，在角的一边上任取一点Ｂ，作ＢＣ⊥ＡＣ于点Ｃ，则比 值BC AB, AC AB, BC AC都是一个确定的值，与点B在角的边上的位置无关，因 此，比值BC AB, AC AB, BC AC都是锐角α的三角函数. 比值BC AB叫做∠α的正弦(sine)，记做sinα. 比值AC AB叫做∠α的余弦(cosine) ，记做cosα. 30° B 45° 西东
比值BC AC叫做∠α的正切(tangent) ，记做tanα. 注意：1、在三角函数的表示中，用希腊字母或单独一个大写英文字母表示的角前面的“∠”一般省略不写． 2、sinα、cosα、tanα是一个完整的符号，单独的“sin”没有意义. 如果∠A是Rt△ABC的一个锐角（如图），则有 sin cos tan A A A A A A A ∠ = ∠ = ∠ = ∠ 的对边 斜边 的邻边 斜边 的对边 的邻边 那么B ∠呢？追问：你能求出sinA 与cosA 的取值范围吗？. 三、新知运用 用一用 1.如图△ABC中，∠C=90°,BC=5,AC=1 2. 判断：（1）sinA= 5 13（√）（2）tanB= 5 12（×） 2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°. ⑴若BC=8,AB=17,求sinA, cosA,tanA的值; ⑵若BC︰AB=1︰2 ,求sinA, cosA,tanA的值; ⑶若sinA= 5 13, 求sinB的值. 解后语：已知直角三角形中的两边或两边之比，就能求出锐角三角函数值．例1.如图:在Rt△ABC中,∠B=90ο,AC=200, sinA=0.6.求BC的长. 解后反思：本题属于简单题，属于知识的简单运用. 练一练： 1.在Rt△ABC中，∠C为Rt∠，AC:BC=1:2，求sinA+cosA的值. 四、课堂小结 1.正弦，余弦和正切的概念； 2.三角函数的概念； 3.如果∠A是直角三角形的一个锐角，那么它的三角函数与边的关系. 4.锐角三角函数的值都是哪一类数，正弦和余弦有什么范围限制？
三角函数（Trigonometric）是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。它包含六种基本函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。 目录 锐角三角函数公式 sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边/ ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边/ ∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2） （注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A）） 三倍角公式 sin3α=4sinα2sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα2cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a 2 tan(π/3+a)2 tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a
=sin(2a+a) =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式 sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α tanα-cotα=-2cot2α 1+cos2α=2cos^2α 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2 =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina =3sina-4sin³a cos3a =cos(2a+a)
28．1锐角三角函数（第1课时）教学设计 【教学目标】 1、知识技能：初步了解锐角三角函数的意义，初步理解在直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比值就是这个锐角的正弦的定义，并会根据已知直角三角形的边长求一个锐角的正弦值。 2、数学思考：在体验探求锐角三角函数的定义的过程中，发现对同一锐角而言它的对边与斜边的比值不变的规律，从中思考这种对应关系所揭示的数学内涵。 3、解决问题：从实际问题入手研究，经历从发现到解决直角三角形中的一个锐角所对应的对边与斜边之间的关系的过程，体会研究数学问题的一般方法以及所采用的思考问题的方法。 4、情感态度：在解决问题的过程中体验求索的科学精神以及严谨的科学态度，进一步激发学习需求。 学习重点：锐角正弦的定义 学习难点：理解直角三角形中一个锐角与其对边及斜边比值的对应关系。 【教学过程】 活动一、创设情境，导入新课 问题：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，?在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？ （1）解决问题，初步体验 隐去引例中的背景材料后，直观显示出图中的直角三角形， 追问1：你能用数学语言来表述这个实际问题吗？如何解决这个问题？ 师生活动：学生组织语言与同伴交流。教师及时了解学生语言组织情况，并适时引导。把上述实际问题抽象出数学问题为： 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，求AB。
C B A 设计意图：培养学生用数学语言表达的意识，提高数学表达能力。 追问2：在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m ，那么需要准备多长的水管？ 追问3：对于有一个锐角为30°的任意直角三角形，30°角的对边与斜边有怎样的数量关系？可以用一个怎样的式子表示？ 设计意图：在学生用“直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半”解决问题的基础上，引出研究直角三角形中边角关系的具体内容和方式—研究锐角和它的对边与斜边之比之间的关系，为下一环节奠定基础。 （2）类比思考，进一步体验 问题：在直角三角形中，如果锐角的大小发生了改变，其对边与斜边的比值还 是吗？如图，任意画一个Rt △ABC ，使∠C=90°，∠A=45°，计算∠A 的对边 与斜边的比值，由此你能得出什么结论？ 师生活动：教师提出问题，学生分组讨论，交流展示。 追问：从上面这两个问题的结论中可知，?在一个Rt △ABC 中，∠C=90°，当∠A=30°时，∠ A 的对边与斜边的比都等于，是一个固定值；?当∠A=45°时，∠A 的对边与斜边的比都等于 ，也是一个固定值．这就引发我们产生这样一个疑问：当∠A 取其他一定度数的锐角时，? 它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？ 设计意图：强化学生对“对边与斜边的比”的关注。为获得“角度固定，比值也固定”做进一步铺垫。 活动二、证明猜想，形成概念 （1）证明猜想 1 21 22 2
锐角三角函数与特殊角 一、选择题 1. （2016·四川达州·3分）如图，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C （0，2），B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则tan ∠OBC 为（ ） A ． B ．2 C ． D ． 【考点】圆周角定理；锐角三角函数的定义． 【分析】作直径CD ，根据勾股定理求出OD ，根据正切的定义求出tan ∠CDO ，根据圆周角定理得到∠OBC=∠CDO ，等量代换即可． 【解答】解：作直径CD ， 在Rt △OCD 中，CD=6，OC=2， 则OD==4， tan ∠CDO= = ， 由圆周角定理得，∠OBC=∠CDO ， 则tan ∠OBC=， 故选：C ． 2. （2016·四川乐山·3分）如图3，在Rt ABC ?中，90BAC ∠=，AD BC ⊥于点D ，则下列结论不正确．．． 的是 ()A sin AD B AB = ()B sin AC B B C = ()C sin AD B A C = ()D sin CD B A C =
答案：C 解析：考查正弦函数的概念。 由正弦函数的定义，知：A、B正确，又∠CAD＝∠B， 所以，sin sin CD B CAD AC =∠=，D也正确，故不正确的是C。 3.(2016广东，8,3分)如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（4,3），那么cosα的值是（） A、3 4 B、 4 3 C、 3 5 D、 4 5 答案：D 考点：三角函数，勾股定理。 解析：过点A作AB垂直x轴与B，则AB＝3，OB＝4， 由勾股定理，得OA＝5，所以， 4 cos 5 OB OA α==，选 4. （2016年浙江省衢州市）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A=30°，则sin∠E的值为（） A． B．C．D． 【考点】切线的性质． 【分析】首先连接OC，由CE是⊙O切线，可证得OC⊥CE，又由圆周角定理，求得∠BOC 的度数，继而求得∠E的度数，然后由特殊角的三角函数值，求得答案． 【解答】解：连接OC， ∵CE是⊙O切线， ∴OC⊥CE， ∵∠A=30°， ∴∠BOC=2∠A=60°， ∴∠E=90°﹣∠BOC=30°， ∴sin∠E=sin30°=． 故选A．
24.3 锐角三角函数 1.锐角三角函数 第1课时锐角三角函数 【知识与技能】 1.使学生掌握锐角的四种三角函数的定义. 2.使学生掌握锐角三角函数的取值范围. 【过程与方法】 1.使学生会利用三角函数的定义，表示出直角三角形中某个锐角的三角函数值. 2.使学生会利用锐角三角函数的定义求三角函数值. 3.使学生学会运用参数法求三角函数值. 【情感态度】 培养学生的数形结合的思想和探索的精神. 【教学重点】 三角函数的定义及三角函数值的求法. 【教学难点】 引入参数三角函数值. 一、情境导入，初步认识 1.含30°角的直角三角形，有什么性质？ 答：30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边的比值为1 2 . 2.上述结论与所选取的直角三角形的大小有关吗？ 答：无关. 3.含45°角的直角三角形中，45°角所对的直角边与斜边的比值为多少？ 这个比值与所选取的直角三角形的大小有关吗？ 答: 2 ，无关. 4.一般地，在Rt△ABC中，∠A为其一个锐角，当∠A取一个固定的值时，∠A所对的直角边和斜边的比值固定吗？ 答：固定不变.如下图
我们把这个固定的比值，称为∠A的正弦，记作sinA,当∠A看作变量时,sinA常称为∠A的正弦函数，正弦函数是三角函数的一种，今天我们就来研究锐角三角函数. 二、思考探究，获取新知 （一）锐角三角函数的定义 如图,在Rt△ABC中，∠C=90° ∠A的正弦： A BC a sinA AB c ∠ === 的对边 斜边 ∠A的余弦： A AC b cosA AB c ∠ === 的邻边 斜边 ∠A的正切： A BC a tanA A AC b ∠ === ∠ 的对边 的邻边 【教学说明】这三个三角函数的书写和含义，特别是不能看成是乘法的关系，另外角的符号也常常省略. 提问：你能按定义写出∠B的三个三角函数来吗？ (二）锐角三角函数的取值范围 在Rt△ABC中，∠A为其一锐角，有0
《锐角三角函数第一课时》教学设计 【教材依据】人民教育出版社、第二十八章、第一节（28.1 锐角三角函数） 【设计思想】 1、指导思想：教学中要充分体现数学教学是数学活动（研究与应用）、学生是数学学习主人的观念，以培养学生自主学习能力和促进探究意识为重点，以诱思探究理论为指导思想。 2、设计理念：在数学教学中渗透数学思想方法，发展思维能力，形成空间观念，提高学生运用所学知识解决实际问题的能力，培养学生的实践能力与创新意识。 3、教材分析：《锐角三角函数》是人教版数学教材九年级下册第二十八章第一节的内容。锐角三角函数的概念是以相似三角形的知识为基础的，它的建立是对代数中已初步涉及的函数概念的一次充实和进一步开阔视野，也将是高中阶段学习任意角的三角函数的基础。 4、学情分析：本节的内容的学习涉及到直角三角形和相似三角形方面的知识，这些内容学生掌握情况良好，教师应在解决实际问题中提出，然后让他们自主探究解决问题的方法。 【教学目标】 知识与能力：1、了解当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都是固定值这一事实； 2、通过实例是学生理解并认识锐角三角函数的概念； 3、正确理解正弦符号的含义，掌握锐角三角函数的表示； 4、学会根据定义求锐角的正弦值。 过程与方法：1、经历锐角的正弦概念的探究过程，确信三角函数的合理性，体会数形结合的思想； 2、三角函数的学习中，初步探索、讨论、论证对学习数学的重要性。 情感与评价：1、通过锐角的正弦概念的建立，是学生经历从特殊到一般的认识过程； 2、让学生在探索、分析、论证、总结获取新知识的过程中体验成功的喜 悦，从解决实际问题中感悟数学的实用性，从而培养学生学习数学的兴趣。现代教学手段的运用：用多媒体课件逐步展示出所要探究的四个问题
解锐角三角函数 第一课时 教学目标： 1、经历探索直角三角形中某锐角确定后其对边与邻边的比值也随之确定的过程，理解正切的意义。 2、能够用表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度，并能够用正切进行简单的计算。 教学重难点： 1、重点：理解锐角三角函数正切的意义，用正切表示倾斜程度、坡度。 2、难点：从现实情境中理解正切的意义 教学过程： 1、问题引入： 在直角三角形中,知道一边和一个锐角,你能求出其它的边和角吗?猜一猜,这座古塔有多高?那你能运用所学的数学知识测出这座古塔的高吗? 2、探究新知：从梯子的倾斜程度谈起 梯子是我们日常生活中常见的物体，你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？ 问题1：小明的问题,如图: 梯子AB和EF哪个更陡？ 你是怎样判断的？ 问题2：小丽的问题,如图: 梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ 55 2.5 2 A B D E F C B 1 2 A
问题3：小亮的问题,如图 梯子AB 和EF 哪个更陡？ 你是怎样判断的？ 问题4：小颖的问题,如图: 梯子AB 和EF 哪个更陡？ 你是怎样判断的？ 小明和小亮这样想,如图: 小明想通过测量B1C1及AC1,算出 它们的比,来说明梯子AB1的倾斜程度; 而小亮则认为,通过测量B2C2及 AC2,算出它们的比,也能说明梯子AB1的 倾斜程度 你同意小亮的看法吗? 问题5：(1).Rt △AB1C1和Rt △AB2C2有什么关系? 总结： 直角三角形中边与角的关系:锐角的三角函数-- 在直角三角形中,的值也随之确定 在Rt △ ABC 中 ,锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切,记作tanA,即 C 1 B 2 C 2 4 3.5 1.5 1.3 B C D E F 4 6 3 A B C D F 5 2 A B C E ? ).2(2 22111有什么关系和AC C B A C C B
28.1 锐角三角函数第一课时教学设计 一、教材分析 （一）、教材的地位与作用 本节课选自义务教育人教版教科书九年级下册第二十八章锐角三角函数的第一节（第一课时）。锐角三角函数反映了直角三角形中边角之间的关系，它在解决实际问题中起着重要的作用。相比之下，正弦是生活当中应用最多的三角函数概念。通过本节课的学习使学生进一步体会比和比例、图形的相似、推理证明等数学知识之间的联系。感受数形结合的思想，体会数形结合的方法，为一般性的学习锐角三角函数、利用锐角三角函数解决实际问题奠定基础。 （二）、学情分析 1、从学生的年龄特征和认知特征来看 九年级学生的思维活跃，接受能力较强，具备了一定的数学探究活动经历和应用数学的意识。 2、从学生已具备的知识和技能来看 九年级学生已经掌握“直角三角形中30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半”的关系，能灵活运用相似图形的性质及判定方法解决问题，有较强的推理证明能力。 3、从学生有待于提高的知识和技能来看 学生要得出直角三角形中边与角之间的关系，需要观察、思考、交流，进一步体会数学知识之间的联系，感受数形结合的思想，体会锐角三角函数的意义，提高应用数学和合作交流的能力。 二、教法和学法 本节课的教法采用的是情境引导法和探究发现法。在教学过程中，通过适宜的问题情境引发新的认知冲突；建立知识间的联系。教师通过引导、指导、反馈、评价，不断激发学生对问题的好奇心，使其在积极的自主活动中主动参与概念的建构过程，并运用数学知识解决实际问题，享受数学学习带来的乐趣。 本节课的学习方法采用自主探究法与合作交流法相结合。本节课数学活动贯穿始终，既有学生自主探究的，也有小组合作交流的，旨在让学生从自主探究中发展，从合作交流中提高。 三、教学目标
第3课时特殊角的锐角三角函数 1.掌握30°、45°、60°角的三角函数值，能够用它们进行计算. 2.能够根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应锐角的大小. 阅读教材P65-67页，自习“探究”、“例3”与“例4”. 自学反馈学生独立完成后集体订正 ①sin30°= ，cos30°= ，tan30°= ，sin45°= ，cos45°= ，tan45°= ，sin60°= ，cos60°= ，tan60°= . ②sinα的值随着角α的增大而，cosα的值随着角α的增大而，tanα的值随着角α的增大而. 这些常用的锐角三角函数值之间也是有规律的，互余的两个锐角的正弦值的平方和为1，互余的两个锐角的余弦值的平方和为1，它们的正切值的积为1. 活动1 小组讨论 例1求下列各式的值： ①cos230°+sin230°；② 45 45 cos sin ? ? -tan60°. 解:①cos230°+sin230°=( 3 2 )2+( 1 2 )2=1. ② 45 45 cos sin ? ? -tan60°= 2 2 ÷ 2 2 -3=1-3. sin230°表示(sin30°)2，即sin30°2sin30°，这类计算只需将三角函数值代入即可. 活动2 跟踪训练(学生独立完成后展示学习成果) 1.计算:①|3-12|+( 6 22 + )0+cos230°-4sin60°；
②2(2cos45°-sin60°)＋24 4 ; ③(sin30°)-1-2 0100+|-43|-tan60°. 2.直线y=kx-4与y轴相交所成的锐角的正切值为1 2 ，则k的值为. 第1题的计算，注意理清运算顺利；第2题可构造直角三角形再运用锐角三角函数的知识解决，注意两种情况. 活动1 小组讨论 例2 如图，在高为2 m，斜坡面与地平面夹角为α的楼梯表面铺地毯，楼梯宽2 m，共需地毯的面积为(43+4)m2,则α为多少度？ 解:由题意可得，BC+AC=434 2 =23+2, ∴AC=23. 在Rt△ABC中,∵tana=BC AC = 2 23 = 3 3 , ∴∠α=30°. 答:α为30度. 此题应该先理解BC+AC的长就是地毯的长度，所以先根据已知地毯的面积和宽求出地毯长，再求出AC的长，然后根据tanA的值得知α的度数. 活动2 跟踪训练(小组内讨论完成并展示小组学习成果) 1.已知α为锐角，则m=sinα+cosα的值( ) A.m>1 B.m=1 C.m<1 D.m≥1 运用三角形的两边之和大于第三边，可得出分子大于分母，其商必大于1.