《数学模型与数学软件综合训练》论文
训练题目：投资的收益与风险问题
学生学号：07500134
姓名：海莲
学院：计算机与通信学院
专业：信息与计算科学专业
指导教师：黄灿云（理学院）
日期:2010年春季学期
目录
一前言 (3)
二投资与风险问题 (4)
1.论文摘要 (4)
2.问题重述与分析 (4)
3.假设与模型 (6)
3.1模型a (6)
3.2模型b (6)
3.3模型c (6)
3.4 模型求解及分析 (6)
四模型评价与推广 (12)
五总结 (13)
六参考文献 (13)
七附录 (13)
一前言
投资的收益与风险作为高科技产业化的催化剂和孵化器，日益引起了人们的广泛关注和重视。世界各国都在积极发展自己的风险投资业，以促进经济的发展和国家的繁荣，关于风险投资一般是指特定的人员或机构向创业初期预期有较大发展潜力。但风险也很大的为企业提供融资或参与管理的行为。这里的特定人员或机构一般具有较高的技能和较为雄厚的资本，通常称为风险投资者或风险投资公司；接受投资或管理的企业，通常是高科技企业，称为风险企业。由于风险投资与企业创业紧密联系在一起，所以又称创业投资。在我国，风险投资刚刚起步，但对国民经济发展和社会进步意义十分重大，因而越来越引起人们的重视。
二投资与风险问题
1.论文摘要
对市场上的多种风险资产和一种无风险资产（存银行）进行组合投资策略的设计需要考虑两个目标：总体收益尽可能大和总体风险尽可能小，而这两个目标在一定意义上是对立的。
本文我们建立了投资收益与风险的双目标优化模型，并通过“最大化策略”，即控制风险使收益最大，将原模型简化为单目标的线性规划模型一；在保证一定收益水平下，以风险最小为目标，将原模型简化为了极小极大规划模型二；以及引入收益——风险偏好系数，将两目标加权，化原模型为单目标非线性模型模型三。然后分别使用Matlab的内部函数linprog，fminmax，fmincon对不同的风险水平，收益水平，以及偏好系数求解三个模型。
关键词：组合投资，两目标优化模型，风险偏好
2.问题重述与分析
市场上有种资产（如股票、债券、…）(供投资者选择，某公司有数额为的
一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买的平均收益率为，并预测出购买的风险损失率为。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的中最大的一个风险来度量。
购买要付交易费，费率为，并且当购买额不超过给定值时，交易费按购买计算（不买当然无须付费）。另外，假定同期银行存款利率是, 且既无交易费又无风险。（）
1、已知时的相关数据如下：
试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。
2、试就一般情况对以上问题进行讨论，并利用以下数据进行计算。
亏数据，以及一般情况的讨论。
这是一个优化问题，要决策的是每种资产的投资额，要达到目标包括两方面的要求:净收益最大和总风险最低，即本题是一个双优化的问题，一般情况下，这两个目标是矛盾的，因为净收益越大则风险也会随着增加，反之也是一样的，所以，我们很难或者不可能提出同时满足这两个目标的决策方案，我们只能做到的是：在收益一定的情况下，使得风险最小的决策，或者在风险一定的情况下，使得净收益最大，或者在收益和风险按确定好的偏好比例的情况下设计出最好的决策方案，这样的话，我们得到的不再是一个方案，而是一个方案的组合，简称组合方案。
设购买S i （i=0,1…….n;S 0表示存入银行，）的金额为x i ;所支付的交易费为c i (x i )，则： 000
0()01, 2, , ,
()0i i i i i
i i i i
i i
x c x p u x u i n c x p x x u =??
=<<==??≥?
对S i 投资的净收益为:)()(i i i i i i x c x r x R -= （i ＝0，1，…，n ） 对S i 投资的风险为: i i i i x q x Q =)( （i ＝0，1，…，n ），q 0=0 对S i 投资所需资金（即购买金额 x i 与所需的手续费 c i (x i ) 之和）是
)()(i i i i i x c x x f += （i ＝0，1，…，n ）
投资方案用 x =（x 0，x 1，…，x n ）表示，那么，
净收益总额为：
()()n
i
i
i R R x ==
∑x
总风险为：
)(x Q =)(min 0i i n
i x Q ≤≤
所需资金为：
)()(0
i n
i i x f x F ∑
==
所以，总收益最大，总风险最小的双目标优化模型表示为： ?
??
???≥=???? ??-0,)()()(m i n x M x F x R x Q x
但是像这样的双目标模型用一般的方法很难求解出来的，所以经过分析把次模型转化为三种较简单的单目标模型。
3.假设与模型
假设该公司在这一时期内是一次性投资；除交易费和投资费用外再无其他的费用开支；在这一时期市场发展基本上是稳定的；外界因素对投资的资产无较大影响；无其他的人为干预；社会政策无较大变化；公司的经济发展对投资无较大影响资产投资是在市场中进行的，市场是复杂多变的，是无法用数量或函数进行准确描述的，因此以上的假设是必要的，一般说来物价变化具有一定的周期性，社会政策也并非天天改变，公司自身的发展在稳定的情况下才会用额外的资金进行较大的风险的投资， 市场与社会的系统发展在一个时期内是良性的、稳定的，以上假设也是合理的。
3.1模型a
假设投资的风险水平是k,即要求总风险Q （x ）限制在k 内，Q （x ）k ≤，则模型可转化为：
max ()x R
s.t ()0,)(,≥=≤x M x F k x Q
3.2模型b
假设投资的收益水平是h ，即净收益总额)(x R 不少于 h ：)(x R ≥h ，则模型可转化为：
)(min x Q
s.t 0,)(,)(≥=≥x M x F h x R
3.3模型c
假设投资者对风险和收益的相对偏好参数为ρ（≥0），则模型可转化为：
)()1()(min x R x Q ρρ--
s.t.0,)(≥=x M x F
3.4 模型求解及分析
由于交易费 c i (x i )是分段函数，使得上述模型中的目标函数或约束条件相对比较复杂，是一个非
线性规划问题，难于求解. 但注意到总投资额 M 相当大，一旦投资资产 S i ，其投资额 x i 一般都会超过 u i ，于是交易费 c i (x i )可简化为线性函数
i i i i x p x c =)(
从而，资金约束简化为
()()(1)n
n
i i i i i i F f x p x M ===
=
+
=∑
∑x
净收益总额简化为
()()[()]()n
n
n
i
i
i i
i i i
i i i i i R R x r x
c x r
p x ====
=-=
-∑∑∑x
在实际进行计算时，可设 M =1，此时
i y =（i p +1）i x （i ＝0，1，…，n ）
可视作投资 S i 的比例.
以下的模型求解都是在上述两个简化条件下进行讨论的.
1）模型 a 的求解
模型 a 的约束条件 Q (x )≤k 即
00()max ()max ()i i i i i n
i n
Q Q x q x ≤≤≤≤==x ≤k ，
所以此约束条件可转化为
k x q i i ≤ （i ＝0，1，…，n ）.
这时模型 a 可化简为如下的线性规划问题：
m ax
()s.t. , =1, 2, , (1)1, 0
n
i
i i
i i i n
i i i r
p x q x k i n p x ==-≤+
=≥∑∑ x
具体到 n =4 的情形，按投资的收益和风险问题中题中给定的数据，模型为：
43210185.0185.019.027.005.0max x x x x x ++++
s.t k x k x k x k x ≤≤≤≤4321026.0,055.0,015.0,025.0
0,1065.1045.102.101.143210≥=++++i x x x x x x （i ＝0，1， (4)
利用matlab7.1 求解模型a 输出结果是
{0.177638, {x0 -> 0.158192, x1 -> 0.2, x2 -> 0.333333, x3 -> 0.0909091,x4 -> 0.192308}}
这说明投资方案为（0.158192，0.2，0.333333，0.0909091，0.192308）时，可以获得总体风险不超过 0.005 的最大收益是 0.177638M .
当 k 取不同的值（0~0.025），风险与收益的关系见图1. 输出结果列表如下：
表1 模型1的计算结果
00.0050.01
0.0150.020.025
风险 a
收益
图1 模型1中风险k 与收益的关系
结合图1，对于风险和收益没有特殊偏好的投资者来说，应该选择图中曲线的拐点（0.006，0.2019），这时对的投资比例见表1的黑体所示。
从表1中的计算结果可以看出，对低风险水平，除了存入银行外，投资首选风险率最低的 S 2，然后是 S 1 和 S 4，总收益较低；对高风险水平，总收益较高，投资方向是选择净收益率（r i –p i ）较大的 S 1 和 S 2．这些与人们的经验是一致的，这里给出了定量的结果．
2）模型 b 的求解
模型 b 本来是极小极大规划：
0min max ()i i i n
q x ≤≤
s.t.
0()n
i
i i i r
p x =-∑≥h
(
1)1
n
i i i p x =+=∑ x ≥0 但是，可以引进变量 x n +1=0max ()i i i n
q x ≤≤，将它改写为如下的线性规划：
1m in()n x +
s.t 1+≤n i i x x q ,i =0,1,2,…,n ,
()n
i
i i i r
p x =-∑≥h ,
(1)1n
i i i p x =+
=∑, x ≥0
具体到 n =4 的情形，按投资的收益和风险问题中题中给定的数据，模型为：
min x 5
s.t 54535251026.0,055.0,015.0,025.0x x x x x x x x ≤≤≤≤
,185.0185.019.027.005.043210h x x x x x ≥++++
,0,1065.1045.102.101.143210≥=++++i x x x x x x （i ＝0，1， (5)
利用 matlab7.1 求解模型 b ，当 h 取不同的值（0.1~0.25），我们计算最小风险和最优决策,收益水平h 取
，结果如表2所示，风险和收益的关系见图2.
从表2看出，对低收益水平，除了存入银行外，投资首选风险率最低的资产，然后是和，总收益当然较低。对高收益水平，总风险自然也高，应首选净收益率（）最大的
和
。这些
与人们的经验是一致的。
表2 模型2的计算结果
0.002
0.0040.0060.008
0.010.0120.0140.0160.0180.02
风险
收益
图2 模型2中风险与收益h 的关系
结合图2，对于风险和收益没有特殊偏好的投资者来说，应该选择图中曲线的拐点（0.059，0.2），这时对的投资比例见表2的黑体所示。
3）模型 c 的求解
类似模型 b 的求解，我们同样引进变量 x n +1=0max ()i i i n
q x ≤≤，将它改写为如下的线性规划：
min ρx n +1–（1–ρ）0
()n
i i i i r p x =-∑
s.t 1+≤n i i x x q ,i =0，1，2，…，n
(
1)1
n
i i i p x =+=∑ x ≥0 具体到 n =4 的情形，按投资的收益和风险问题题中给定的数据，模型为：
)185.0185.019.027.005.0)(1(min 432105x x x x x x ++++--ρρ
s.t 54,535251026.0055.0,015.0,025.0x x x x x x x x ≤≤≤≤
0,1065.1045.102.101.143210≥=++++i x x x x x x （i ＝0，1， (5)
利用 matlab7.1 求解模型 c ，当 ρ 取不同的值（0.75~0.95），我们计算最小风险和最优决策
输出结果列表如下：
表3 模型3的计算结果
从图5可以看出，模型3的风险与收益关系与模型1和模型2的结果几乎完全一致。
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
风险
收益
图3 模型3中风险与收益的关系
0.75
0.8
0.850.9
0.951
偏好系数
风险
图4模型3中风险与偏好系数的关系
0.75
0.8
0.850.9
0.95
1
偏好系数
收益
图5 模型3中收益与偏好系数的关系
四 模型评价与推广
本文我们建立了投资收益与风险的双目标优化模型，通过控制风险使收益最大，保证收益使风险最小，以及引入收益——风险偏好系数，将两目标模型化为了单目标模型，并使用matlab7.1求解，所得结果具有一定的指导意义。
但是，本文没有讨论收益和风险的评估方法，在实际应用中还存在资产相关的情形，此时，用
最大风险代表组合投资的风险未必合理，因此，对不同风险度量下的最优投资组合进行比较研究是进一步的改进方向。
五总结
历经两周的时间终于完成了这次课设，在这次实践课程中，我真的遇到了不少的问题，在同学，老师的帮助以及在图书馆和网站搜集资料，解决了所有遇到的问题。尤其在问题分析的过程中，是难度最大也是问题最多的环节，感觉总是把问题分析的不够全面透彻，经常顾及这个方面而忽视了另一方面，最后我请教了同学，终于完成了问题分析并且建立了模型。在完成这一环节后，接下来的任务都是我独立完成，也遇到了不少的困难，但都是较易解决的。通过这次实践，我确实学到了不少，学会了使用MA TLAB，也知道了分析问题的方法。
六参考文献
[1]MA TLAB程序设计与实例应用。张铮等。北京：中国铁道出版社，2003.10
[2]运筹学—方法与应用。吴风平。南京：河海大学出版社，2000.12
[3]《数学模型及方法》。李火林主编。江西高校出版社，1997.10
[4]数学建模教育及竞赛。甘筱青主编。南昌：江西高校出版社。2004.6
[5] 萧树铁，面向21世纪课程教材：大学数学数学实验，北京：高等教育出版社，1999.7.
[6]赫孝良，戴永红等编著，数学建模竞赛：赛题简析与论文点评，西安：西安交通大学出版社，2002.6.
[7]陈叔平，谭永基，一类投资组合问题的建模与分析，数学的实践与认识，（29）7：45-49，1999.
七附录
function result=qiujie()
%data为表格数据
data=[28 2.5 1 103
21 1.5 2 198
23 5.5 4.5 52
25 2.6 6.5 40];
data1=[9.6 42 2.1 181
18.5 54 3.2 407
49.4 60 6.0 428
23.9 42 1.5 549
8.1 1.2 7.6 270
14 39 3.4 397
40.7 68 5.6 178
31.2 33.4 3.1 220
33.6 53.3 2.7 475
36.8 40 2.9 248
11.8 31 5.1 195
9 5.5 5.7 320
35 46 2.7 267
9.4 5.3 4.5 328
15 23 7.6 131];
data=[[5 0 0 0];data]./100;%增加存银行
r=data(:,1);
q=data(:,2);
p=data(:,3);
% %模型一求解
% result=[];
% for a=0:0.01:0.5
% result=[result;moxing1(r,q,p,a)]; % end
% result=round(result.*10000)./10000; % plot(result(:,1),result(:,2))
% grid on
% xlabel('风险)
% ylabel('收益')
% %模型二求解
% result=[];
% for k=0.1:0.01:0.4
% result=[result;moxing2(r,q,p,k)]; % end
% result=round(result.*10000)./10000; % plot(result(:,1),result(:,2))
% grid on
% xlabel('风险')
% ylabel('收益')
%模型三求解
result=[];
for s=0.76:0.01:0.97
result=[result;moxing3(r,q,p,s)]; end
result=round(result.*10000)./10000; figure(1)
plot(result(:,2),result(:,3))
grid on
xlabel('风险')
ylabel('收益')
pause
figure(2)
plot(result(:,1),result(:,2))
grid on
xlabel('偏好系数')
ylabel('风险')
pause
figure(3)
plot(result(:,1),result(:,3))
grid on
xlabel('偏好系数')
ylabel('收益')
function result1=moxing1(r,q,p,a)
%线性规划模型
%r收益率，为列向量
%p交易费率，为列向量
%q风险率，为列向量
%a风险水平
f=(p-r)';%转为求极小
n=length(q);
I=eye(n);
for i=2:n
A(i-1,:)=q(i)*I(i,:);
end
b=a*ones(n-1,1);
Aeq=(1+p');
beq=1;
lb=zeros(n,1);
ub=[];
[x,fval,exitflag,output]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub);
result1=[a,-fval,x'];
end
function result2=moxing2(r,q,p,k)
%极小极大模型
%r收益率，为列向量
%p交易费率，为列向量
%q风险率，为列向量
%k收益水平
n=length(q);
f=@(x)q.*x(1:n);
A=(p-r)';
b=-k;
Aeq=1+p';
beq=1;
lb=zeros(n,1);
ub=[];
x0=rand(n,1);
[x,fval,maxfval,exitflag]=fminimax (f,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub);
result2=[max(q.*x),k,x'];
end
function result3=moxing3(r,q,p,s)
%极小极大模型
%r收益率，为列向量
%p交易费率，为列向量
%q风险率，为列向量
%s投资偏好系数
n=length(q);
f=@(x)(s*max(q.*x)-(1-s)*sum((r-p).*x));
A=[];b=[];
Aeq=1+p';
beq=1;
lb=zeros(n,1);
ub=[];
x0=rand(n,1);
[x,fval,exitflag,output] = fmincon(f,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub);
result3=[s,max(q.*x),sum((r-p).*x),x'];
end
end
开放式基金的投资问题 数学建模论文 Last revised by LE LE in 2021
2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网 上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的 资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规 则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）：广西教院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 李开玲 2. 黄敏英 3. 米检辉 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2012 年 9 月 2 日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
开放式基金的投资问题 摘要 随着社会经济的发展，项目投资是商业的热点话题。本题要我们给出最佳投资方案，总资金18亿，对八个项目进行投资，，通过运用lingo 、matlab 软件得出结果，求得最大的利润和相应投资方案。 问题一：我们建立了线性规划模型Max=i i i x a ∑=8 1（a i 表示i 个项目的年利润 x i 表示对项目投资的次数），应用lingo 软件得如下方案及获得的总利润： 资总额都有上限，会出现项目之间的相互利润影响。在问题一的基础上，建立 划模型，max L ，Min i i i x b q W min =，为简化问题，固定投资风险，求总利润，把双目标转化为单目标： max L=p1x1+p2x2+p3x3+p4x4+p5x5+p6x6+p7x7+p8x8。引入风险度，运用matlab 软 一、问题重述 某开放式基金现有总额为18 亿元的资金可用于对8个项目进行选择性的投资。每个项目可以重复投资(即同时投资几份)，据专家经验，对每个项目投资总额不能太高（有上限）。这些项目的投资额以及专家对投资一年后各项目所得 的利润估算，见表（一）如下所示。
投资的收益和风险问题线性规划分析 1问题的提出 市场上有n 种资产（如股票、债券、…）S i（i＝1，…，n）供投资者选择，某公司有数额为M 的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资. 公司财务分析人员对这n 种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买S i的平均收益率为r i，并预测出购买S i的风险损失率为q i.考虑到投资越分散、总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的S i中最大的一个风险来度量. 购买S i要付交易费，费率为p i，并且当购买额不超过给定值u i时，交易费按购买u i计算（不买当然无须付费）. 另外，假定同期银行存款利率是r0，且既无交易费又无风险. （r0＝5％） 已知n＝4 时的相关数据如下： n的相关数据
试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金M ，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小. 2模型的建立 模型 1.总体风险用所投资S i 中的最大一个风险来衡量，假设投资的风险水平是 k ，即要求总体风险Q(x)限制在风险 k 以内：Q(x) ≤k 则模型可转化为： () ()()max s.t.?,,0 R x Q x k F x M x ≤≥ ＝ 模型2. 假设投资的盈利水平是 h ，即要求净收益总额 R （x ）不少于 h ：R （x ） ≥h ，则模型可转化为： () ()()min s.t.0 Q x R x h F x M x ≥≥ ＝ 模型 3.要使收益尽可能大，总体风险尽可能小，这是一个多目标规划模型。人们总希望对那些相对重要的目标给予较大的权重. 因此，假定投资者对风险——收益的相对偏好参数为 ρ（≥0），则模型可转化为： ()()() min ?1? s.t .0 Q x R x F x M x ρρ≥（）＝ 3. 模型的化简与求解 由于交易费 c i (x i )是分段函数，使得上述模型中的目标函数或约束条件相对比较复杂，是一个非线性规划问题，难于求解. 但注意到总投资额 M 相当大，一旦投资资产 S i ，其投资额 x i 一般都会超过 u i ，于是交易费 c i (x i )可简化为线性
承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
投资收益和风险问题的分析 摘要 在现代商业、金融的投资中，任何理性的投资者总是希望收益能够取得最大化，但是他也面临着不确定性和不确定性所引致的风险。而且，大的收益总是伴随着高的风险。在有很多种资产可供选择，又有很多投资方案的情况下，投资越分散，总的风险就越小。为了同时兼顾收益和风险，追求大的收益和小的风险构成一个两目标决策问题，依据决策者对收益和风险的理解和偏好将其转化为一个单目标最优化问题求解。随着投资者对收益和风险的日益关注,如何选择较好的投资组合方案是提高投资效益的根本保证。传统的投资组合遵循“不要将所有的鸡蛋放在一个蓝子里”的原则, 将投资分散化。 关键词：投资；收益；风险；数学建模 0问题提出 市场上有n种资产si (i = 1,2,··· ,n)可以选择，现用数额为M的相当大的资金作一个时期的投资。这 n 种资产在这一时期内购买的 si 平均收益率为ri ，风险损失率为 qi ，投资越分散，总的风险越少，总体风险可用投资的si中最大的一个
风险来度量。购买 si时要付交易费（费率pi），当购买额不超过给定值ui 时，交易费按购买ui计算。另外，假定同期银行存款利率是r0，既无交易费又无风险。（r0 = 5%） Table:已知n=4时相关数据 Si ri(%) qi(%) pi(%) ui S1 28 2.5 1 103 S2 21 1.5 2 198 S3 23 5.5 4.5 52 S4 25 2.6 6.5 40 1问题分析 这是一个优化问题，要决策的是向每种资产的投资额，即所谓投资组合，要达到的目标有二，净收益最大和整体风险最小。一般来说这两个目标是矛盾的，收益大，风险必然也大；反之亦然，所以不可能给出这两个目标同时达到最优的所谓的完美决策，我们追求的只能是满足投资者本身要求的投资组合，即在一定风险下收益最大的决策，或在一定收益下风险最小的决策，或收益和风险按一定比例组合最优的决策。冒险性投资者会从中选择高风险下收益最大的决策，保守型投资者则可从低风险下的决策中选取。 建立优化问题的模型最主要的是用数学符号和式子表述决策变量、构造目标函数和确定约束条件。对于本题决策变量是明确的，即对 (i=0,1，…，n)的投资份额（表示存入银行），目标函数之一是总风险最大，目标函数之二是总风险最小，而总风险用投资资产中的最大的一个风险衡量。约束条件应为总资金M的限制。 2 模型假设 1.投资数额M相当大，为了便于计算，假设M=1； 2.投资越分散，总的风险越小； 3.总体风险用投资项目si中最大的一个风险来度量； 4.n种资产si之间是相互独立的； 5.在投资的这一时期内，ri、pi、qi、r0为定值，不受意外因素影响； 6.净收益和总体风险只受ri、pi、qi影响，不受其他因素干扰。
数学建模简单的投资问题 建模论文—— 2011114114 覃婧 资金投资问题 摘要: 投资公司对现有资金进行投资，采取在无风险情况下，周期投资规律以及周期回收的资金的情况下，求取在一定时期内所掌握的的最大资金，建立相关线性规划公式，运用matlab或者lingo软件进行相关求解，得出最好的投资方式以盈利最大。此类问题适用于金融投资、证券投资等相关行业。关键词: matlab 目标函数设计变量目标变量新投资最大值 正文 一、问题重述: 某投资公司有资金200万元，现想投资一个项目，每年的投资方案如下“假设第一年投入一笔资金，第二年又继续投入此资金的50%，那么第三年就可回收第一年投入资金的一倍的金额。”请给该公司决定最优的投资策略使第六年所掌握的资金最多。 二、问题分析: 该问题作为线性规划问题，题目中给定的投资方案可以理解为每年投资金额，两年作为一个投资周期，三年作为一个资金回收周期，即第三年回收资金，每一个投资周期中偶数年的投资额与前一年是有关的，而且从第三年开始，每一年的回收金额是前两年投资金额的两倍，故以此类推，我们可以得到每年所掌握的资金，以求得第n年所掌握的最大金额。 所以该模型的目标变量为每年所掌握的资金，而设计变量为每年所进行的新投资。 设表示第i年所进行新投资的的资金，表示第i年所掌握的资金，xyii
(i=1,2,3,...n)则有: y,200,x第一年 11 3xx11200200y,,x,,x,,,x第二年: 212222 xx312y,200,,x,,x，2x第三年: 323122 xx3112y,200，,,x,x,x，2x第四年: 43342222 xx3112y,200，，,x,x,x，2x,x 第五年: 5344352222 13xxx1252002y,，，，x,x，x,,x 第六年: 6344622222 以此类推: xxx3n12,4y,200，，，...，,x，2x第n-1年: n,1n,3n,32222 xxx3n12,3y,200，，，...，,x，2x第n年: nn,2n,22222三、模型假设: 1(该投资模型实在稳定的经济条件下进行，没有任何风险; 2(每年的投资项目固定不变，不会有资金的额外转移; 3(每年所回收的资金都是依据题目条件固定的纯收益; 4. 每年的资金投资是连续的，是可以进行零投资的; 5. 新的投资不影响旧的投资。 四、符号定义与说明: 1. 表示第i年所进行新投资的的资金， xi 2.表示第i年所掌握的资金，(i=1,2,3,...n); yi 3. 表示最初手头上的资金。 y0 五、模型求解: 根据线性模型中目标变量与设计变量的线性关系我们可以得出该模型的线性公式为: xxx3n12,3max(200，，，...，,x，2x) n,2n,22222 x,200 1 x1，x,200,x 212
《数学模型与数学软件综合训练》论文 训练题目：投资的收益与风险问题 学生学号：07500134 姓名：海莲 学院：计算机与通信学院 专业：信息与计算科学专业 指导教师：黄灿云（理学院） 日期:2010年春季学期
目录 一前言 (3) 二投资与风险问题 (4) 1.论文摘要 (4) 2.问题重述与分析 (4) 3.假设与模型 (6) 3.1模型a (6) 3.2模型b (6) 3.3模型c (6) 3.4 模型求解及分析 (6) 四模型评价与推广 (12) 五总结 (13) 六参考文献 (13) 七附录 (13)
一前言 投资的收益与风险作为高科技产业化的催化剂和孵化器，日益引起了人们的广泛关注和重视。世界各国都在积极发展自己的风险投资业，以促进经济的发展和国家的繁荣，关于风险投资一般是指特定的人员或机构向创业初期预期有较大发展潜力。但风险也很大的为企业提供融资或参与管理的行为。这里的特定人员或机构一般具有较高的技能和较为雄厚的资本，通常称为风险投资者或风险投资公司；接受投资或管理的企业，通常是高科技企业，称为风险企业。由于风险投资与企业创业紧密联系在一起，所以又称创业投资。在我国，风险投资刚刚起步，但对国民经济发展和社会进步意义十分重大，因而越来越引起人们的重视。
二投资与风险问题 1.论文摘要 对市场上的多种风险资产和一种无风险资产（存银行）进行组合投资策略的设计需要考虑两个目标：总体收益尽可能大和总体风险尽可能小，而这两个目标在一定意义上是对立的。 本文我们建立了投资收益与风险的双目标优化模型，并通过“最大化策略”，即控制风险使收益最大，将原模型简化为单目标的线性规划模型一；在保证一定收益水平下，以风险最小为目标，将原模型简化为了极小极大规划模型二；以及引入收益——风险偏好系数，将两目标加权，化原模型为单目标非线性模型模型三。然后分别使用Matlab的内部函数linprog，fminmax，fmincon对不同的风险水平，收益水平，以及偏好系数求解三个模型。 关键词：组合投资，两目标优化模型，风险偏好 2.问题重述与分析 市场上有种资产（如股票、债券、…）(供投资者选择，某公司有数额为的 一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买的平均收益率为，并预测出购买的风险损失率为。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的中最大的一个风险来度量。 购买要付交易费，费率为，并且当购买额不超过给定值时，交易费按购买计算（不买当然无须付费）。另外，假定同期银行存款利率是, 且既无交易费又无风险。（） 1、已知时的相关数据如下： 试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。 2、试就一般情况对以上问题进行讨论，并利用以下数据进行计算。
《投资学》习题 第三章资产风险与收益分析（1） 计算题（必须有计算过程） 1．去年，你收到了9%的名义利率，而同期通货膨胀率是1．2%，那么你的购买力的实际增长率是多少？ 2．一年前，你在储蓄账户中存入了5000美元,年利率是3%。如果这一年的通货膨胀率是 1.5%,那么真实收益率大概是多少? 3．如果你以27美元购买了股票,一年以后获得了1.5美元分的分红并以28美元出售了该股票,那么你在持有期的收益率是多少? 4．利用下表回答以下问题,信息空间股票的持有期收益(HPR)的概率分布如下: （1）信息空间股票的预期持有期收益率是多少？ （2）信息空间股票的预期方差是多少？ （3）信息空间股票的预期标准差是多少？ （4）如果无风险利率是3%，那么该股票的风险溢价是多少？ 5．如果AMAT股票的风险溢价是29%，那么无风险利率是多少？ 6．你是新点子共同基金的经理。下表反映了基金在上一季度的表现。该季度从1月1日开始，基金的余额为1亿美元。 (1)计算该基金上半年算术平均收益率; (2)计算该基金上半年几何平均收益率;
(3)对于该基金预期收益的无偏估计是多少? (4)如果你在1月份投资1000美元在该基金上,那么在6月末,你的账户中能有多少钱? 7.假设你正在研究一项预期收益是12.4%,标准差是30.6%的投资。假设收益是正态分布的，计算以下敬意的上下边界。 （1）包含68.26%预期结果的区间。 (2)包含95.44%预期结果的区间。 (3)包含99.74%预期结果的区间。 8.你正在考虑是否投资于A公司，你估计的该公司股票收益率的概率分布如下表所示： A公司股票收益率的概率分布 基于你的估计，计算该股票的期望收益率和标准差。 9.你估计的证券A和B的投资收益率与联合概率分布如下表所示。 证券A和B的投资收益率与联合概率分布 基于你的估计，计算两种证券的协方差和相关系数。
投资的收益和风险问题 某公司现有数额为20亿的一笔资金可作为未来5年内的投资资金，市场上有8个投资项目（如股票、债券、房地产、…）可供公司作投资选择。其中项目1、项目2每年初投资，当年年末回收本利（本金和利润）；项目3、项目4每年初投资，要到第二年末才可回收本利；项目5、项目6每年初投资，要到第三年末才可回收本利；项目7只能在第二年年初投资，到第五年末回收本利；项目8 只能在第三年年初投资，到第五年末回收本利。 一、公司财务分析人员给出一组实验数据，见表1。 试根据实验数据确定5年内如何安排投资？使得第五年末所得利润最大？ 二、公司财务分析人员收集了8个项目近20年的投资额与到期利润数据，发现：在具体对这些项目投资时，实际还会出现项目之间相互影响等情况。 8个项目独立投资的往年数据见表2。同时对项目3和项目4投资的往年数据；同时对项目5和项目6投资的往年数据；同时对项目5、项目6和项目8投资的往年数据见表3。(注：同时投资项目是指某年年初投资时同时投资的项目) 试根据往年数据，预测今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率、风险损失率。 三、未来5年的投资计划中，还包含一些其他情况。 对投资项目1，公司管理层争取到一笔资金捐赠，若在项目1中投资超过20000万，则同时可获得该笔投资金额的1%的捐赠，用于当年对各项目的投资。 项目5的投资额固定，为500万，可重复投资。 各投资项目的投资上限见表4。 在此情况下，根据问题二预测结果，确定5年内如何安排20亿的投资？使得第五年末所得利润最大？ 四、考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金投资若干种项目时，总体风险可用所投资的项目中最大的一个风险来度量。 如果考虑投资风险，问题三的投资问题又应该如何决策？ 五、为了降低投资风险，公司可拿一部分资金存银行，为了获得更高的收益，公司可在银行贷款进行投资，在此情况下，公司又应该如何对5年的投资进行决策?
安徽工程大学数学建模课程设计论文 风险投资问题 班级：数学112 学号： 3110801226 姓名：杨植 指导老师：周金明 成绩： 完成日期：2013年7月3日
摘要 本论文主要讨论解决了在组合投资问题中的投资收益与风险的相关问题。 问题一是一个典型的线性规划问题，我们首先建立单目标的优化模型，也即模型1，用Lingo软件求解，得到在不考虑投资风险的情况下，20亿的可用投资金额所获得的最大利润为153254.4万元。 问题二是一个时间序列预测问题。分别在独立投资与考虑项目间的相互影响投资的情况下来对到期利润率和风险损失率的预测。两种情况下的预测思路与方法大致相同。 首先根据数据计算出到期利润率，将每一个项目的利润率看成一个时间序列，对该序列的数据进行处理，可以得到一个具有平稳性、正态性和零均值的新时间序列。再计算该序列的自相关函数和偏相关函数，发现该时间序列具有自相关函数截尾，偏自相关函数拖尾的特点，所以可认为该序列为一次滑动平均模型（简称MA(1)）。接着，用DPS数据处理系统软件中的一次滑动平均模型依次预测出各项目未来五年的投资利润率。对于风险损失率，我们用每组数据的标准差来衡量风险损失的大小，将预测出来的投资利润率加入到样本数据序列中，算出该组数据的标准差，用该值来衡量未来五年的风险损失率。 问题三与问题一类似，也是优化的问题，其目标仍是第五年末的利润最大，而且也没有考虑风险问题，只是约束条件改变了。我们建立非线性规划模型，仍用Lingo解得大利润为620589.7万元。 1问题重述 某公司现有数额为20亿的一笔资金可作为未来5年内的投资资金，市场上有8个投资项目（如股票、债券、房地产、…）可供公司作投资选择。其中项目1、项目2每年初投资，当年年末回收本利（本金和利润）；项目3、项目4每年初投资，要到第二年末才可回收本利；项目5、项目6每年初投资，要到第三年末才可回收本利；项目7只能在第二年年初投资，到第五年末回收本利；项目8只能在第三年年初投资，到第五年末回收本利。 一、公司财务分析人员给出一组实验数据，见表1。 试根据实验数据确定5年内如何安排投资？使得第五年末所得利润最大？ 二、公司财务分析人员收集了8个项目近20年的投资额与到期利润数据，发现：在具体对这些项目投资时，实际还会出现项目之间相互影响等情况。
市场上有n 种资产i s （i=1,2……n ）可以选择，现用数额为M 的相当大的资金作一个时期的投资。这n 种资产在这一时期内购买i s 的平均收益率为i r ，风险损失率为i q ，投资越分散，总的风险越小，总体风险可用投资的i s 中最大的一个风险来度量。 购买i s 时要付交易费，(费率 i p )，当购买额不超过给定值i u 时，交易费按 购买i u 计算。另外，假定同期银行存款利率是0r ，既无交易费又无风险。（0r =5%） 已知n=4 试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定达到资金M ，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，使总体风险尽可能小。 1. 假设：投资数额M 相当大,为了便于计算，假设M=1； 2．投资越分散，总的风险越小； 3．总体风险用投资项目i s 中最大的一个风险来度量； 4．n 种资产S i 之间是相互独立的； 5．在投资的这一时期内, r i ,p i ,q i ，r 0为定值，不受意外因素影响； 6．净收益和总体风险只受 r i ,p i ,q i 影响，不受其他因素干扰。 解答 1、符号规定： S i ——第i 种投资项目，如股票，债券 r i ,p i ,q i ----分别为S i 的平均收益率,风险损失率，交易费率 u i ----S i 的交易定额 0r -------同期银行利率 x i -------投资项目S i 的资金 a -----投资风险度 Q ----总体收益 ΔQ ----总体收益的增量 2、模型的建立与分析 (1).总体风险用所投资的Si 中最大的一个风险来衡量,即max{ pixi|i=1，2,…n}
投资的收益与风险问题 摘要 对市场上的多种风险资产和一种无风险资产（存银行）进行组合投资策略的设计需要考虑两个目标：总体收益尽可能大和总体风险尽可能小，而这两个目标在一定意义上是对立的。 本文我们建立了投资收益与风险的双目标优化模型，并通过“最大化策略” ，即控制风险使收益最大，将原模型简化为单目标的线性规划模型一；在保证一定收益水平下，以风险最小为目标，将原模型简化为了极小极大规划模型二；以及引入收益——风险偏好系数，将两目标加权，化原模型为单目标非线性模型模型三。然后分别使用Matlab 的内部函数linprog ，fminmax ，fmincon 对不同的风险水平，收益水平，以及偏好系数求解三个模型。 关键词：组合投资，两目标优化模型，风险偏好
2?问题重述与分析 3.市场上有”种资产(如股票、债券、，).：0 丨.小供投资者选择，某公司有数额为匸的 一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这种资产进行了评估，估算出在 这一时期内购买?「的平均收益率为c，并预测出购买T的风险损失率为％。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的：中最大的一个风 险来度量。 购买」要付交易费，费率为;■.，并且当购买额不超过给定值?；..时，交易费按购买■；.计算(不买当然无须付费)。另外，假定同期银行存款利率是：，且既无交易费又无风险。(? 1、已知" ；时的相关数据如下: 试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金有选择地购买若干种资产或存银行生息, 使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。 2、试就一般情况对以上问题进行讨论，并利用以下数据进行计算。 本题需要我们设计一种投资组合方案，使收益尽可能大，而风险尽可能小。并给出对应的盈亏数 据，以及一般情况的讨论。 这是一个优化问题，要决策的是每种资产的投资额，要达到目标包括两方面的要求：净收益最大和总 风险最低，即本题是一个双优化的问题，一般情况下，这两个目标是矛盾的，因为净收益越大则风险也会随着增加，反之也是一样的，所以，我们很难或者不可能提出同时满足这两个目标的决策方案，我们只能做到的是：在收益一定的情况下，使得风险最小的决策，或者在风险一定的情况下，使得净收益最大，或者在收益和风险按确定好的偏好比例的情
某银行经理计划用一笔资金进行有价证劵的投资，可供购进的证劵以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。按照规定，市政证劵的收益可以免税，其他证劵的收益需按照50%的税率纳税。此外还有以下限制： （1）政府及代办机构的证劵总共至少要购进400万元； （2）所购证劵的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）； （2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？ （3）在1000万元资金情况下，若证劵A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证劵C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？ 2．模型的假设 (1)假设该投资为连续性投资，即该经理投资不会受到年限过长而导致资金周转困难的 影响； (2)假设证劵税收政策稳定不变而且该经理优先考虑可以免税的市政证劵的情况下再考 虑其他证劵种类以节约成本； (3)假设各证劵之间相互独立而且各自的风险损失率为零。 (4)假设在经理投资之后，各证劵的信用等级、到期年限都没有发生改变； (5)假设投资不需要任何交易费或者交易费远远少于投资金额和所获得的收益,可以忽 略不计； (6)假设所借贷资金所要支付的利息不会随时间增长，直接等于所给的利率乘上借贷资 金。 3．符号说明 X1:投资证劵A的金额（百万元）； X2:投资证劵A的金额（百万元）； X3:投资证劵A的金额（百万元）； X4:投资证劵A的金额（百万元）； X5:投资证劵A的金额（百万元）； Y：投资之后所获得的总收益（百万元）；
对于该经理根据现有投资趋势，为解决投资方案问题，运用连续性投资模型，根据所给的客观的条件，来确定各种投资方案，并利用线性规划模型进行选择方案，以获得最大的收益。 问题一，该经理优先考虑可以免税的市政证劵的情况下再考虑其他证劵种类以节约成本，我们可以在所提出的假设都成立的前提下（尤其是假设所借贷资金所要支付的利息不会随时间增长，直接等于所给的利率乘上借贷资金）以及综合考虑约束资金和限制条件，将1000万元的资金按照一定的比例分别投资个各种证劵。而该如何分配呢？怎样地分配才是最合理的呢？我们通过建立一个线性规划模型来解决这个问题。由所给的表格知证劵A(市政)，B（代办机构），C（政府），D（政府），E（市政）的信用等级分别为2，2，1，1，5，到期年限分别为9，15，4，3，2，1，到期税前收益（%）分别为4.3，5.4，5.0，4.4，4.5（市政证劵的收益可以免税，其他的收益按50%的税率纳税）以及政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元，所购证券的平均信用等级不超过1.4(信用等级数字越小，信用程度越高)，所购证券的平均到期年限不超过5年这三个约束条件，不妨设投资证劵A，B，C，D，E的金额分别为x1，x2，x3，x4，x5，建立线性规划模型，用lingo或者lindo软件求解即可得出最优投资方案和最大利润。 问题二中的解决方法和问题一中的解决方法是一样的，只不过在求解时需要进行灵敏度分析利用问题一的模型，把借贷的1百万元在投资后所获得的收益与借贷所要付出的利息作比较，即与2.75%的利率借到的1百万元资金的利息比较，若大于，则应借贷；反之，则不借贷。若借贷，投资方案需将问题一模型的第二个约束条件右端10改为11，用lingo软件求解即可得出最优方案以及最大收益。 而对问题三，是否该改变要看最优解是否改变，如果各证劵所对应的字数在最优解不变的条件下目标函数允许的变化范围内，则不应该改变投资方案，反之则改变投资方案。即证劵A所对应的系数只取决于到期税前收益，而证劵C所对应的系数取决于到期税前收益和其收益所需的税额。同样的通过在问题一的灵敏度分析结果中可以知道最优解不变的条件下目标函数系数所允许的变化范围，根据题中证劵A和证劵C所对应的系数系数改变即可决定投资方案是否应改变。 5．模型的建立与求解 问题一的求解： 在提出的假设条件成立的前提下，根据题目给出的限制条件以及各种证劵的信息（政府及代办机构的证劵总共至少要购进4百万元；所购证劵的平均信用等级不超过1.4；所购证劵的平均到期年限不超过5年），设投资证劵A、证劵B、证劵C、证劵D、证劵E 的金额分别为：X1、X2、X3、X4、X5（百万元），投资之后获得的总收益为Y百万元。对于平均信用等级和平均到期年限的求解，我们可以用加权算术平均值的算法求得，即用各个信用等级（平均到期年限）乘以相应的权，然后相加，所得之和再除以所有的权之和。在1000万元的资金约束条件下，另外考虑到证劵B、C、D的收益都需按照50%的税率纳税，我们可以建立如下的线性规划模型： Max Y=0.043X1+(0.054*0.5)X2+(0.05*0.5)X3+(0.044*0.5)X4+0.045X5 S.t. X2+X3+X4>=4 X1+X2+X3+X4+X5<=10
投资收益和风险的优化 模型
投资收益和风险的优化模型 摘要 如何投资是现代企业所要面临的一个实际问题，投资的目标是收益尽可能大，但是投资往往都伴随着风险。实际情况不可能保证风险和收益同时达到最优，因为收益和风险是矛盾的两个方面，收益的增长必然伴随着风险的提高。“高风险，高回报”是经济学中一个重要的准则。 但是企业总是追求风险尽可能小，与此同时又追求收益尽可能大。怎样分配资金才能做到统筹兼顾？ 在本文中，我们首先建立了一个多目标规划模型（模型一），目标函数分别为风险和收益。由于M 是一笔相当大的资金，所以我们开始先忽略了i u 对模型的影响，将其转化成了一个形式更为简单的多目标线性规划模型。 为了求解此模型，我们将风险的上限限制为c ，这样多目标规划模型就转化成了一个带参量c 的线性规划模型（模型二）。 当给定参数c 时，这带参量c 的线性规划个模型就是一个一般的线性规划模型，由此可以唯一地求解出目标函数的最大值max g 。所以若c 作为变量，max g 便是一个关于c 的函数)(max c g 。如果我们求得了函数)(max c g ，就能够知道：当公司能承担的总风险损失率c v ≤时，公司能得到的最大总平均收益率，及其应投入各个项目i S 的资金率i x 。 这样我们在求解模型二的同时，也将模型一的非劣解解空间给了出来，即图1中的OA 、AB 段。 不同的企业，对于风险和收益的侧重不同，所以作出的决策也不同，自然得到的收益和承受的风险也不尽相同。但无论怎样都应在我们给出的非劣解解空间中取值，这样才可能实现“风险尽可能小，收益尽可能大”。 针对第一组数据，我们给出了一个“通用性较强”的投资分配方案，即对大多数企业都合适的投资选择方案，应用此方案，总风险为M ?%61.0, 总收益可以达到 M ?%59.20；类似地，针对第二组数据，我们利用效用函数的方法也给出了一个“通用性较强”的投资分配方案应用此方案，总风险为M ?%2.10, 总收益可以达到M ?%70.34。 在模型评价中，我们通过分析在考虑i u 后,模型以及解的改变程度,验证了i u 对模型的改变很小,可以忽略不计,从而证明了我们给出的模型的正确性、实用性。 关键词 投资风险 收益 投资方案 多目标规划 线性规划 非劣解
个人投资风险与收益的权衡经济 收益是指在一定时间对外投资所获得的报酬,风险是指未来收益的不确定性,而且这种不确定性是可以用概率来描述的。风险在经济生活特别是投资活动中无处不在,主要包括系统风险与非系统风险。系统风险与市场的整体运动相关联,通常表现为某个领域、某个金融市场或者某个行业部门的整体变化,它断裂层大,涉及面广,往往使整个一类资产产生价格波动。这类风险因其来源于宏观经济因素变化对市场整体的影响,亦称为宏观风险。系统风险强调的是对整个市场所有项目及资产的影响,而且这种风险通常难以回避和消除,因而又称为不可分散风险。它的来源主要包括市场风险、利率风险和通货膨胀风险。非系统风险只同某项具体的资产相关联,而与其他的资产和整个市场无关,因而也称为独特风险或特定公司风险。非系统风险强调的是对某项资产的个别影响,人们一般可以通过分散化投资策略回避或者消除这种风险,因而也称为可分散风险。它的来源主要包括违约风险、经营风险、财务风险、破产风险等。[1](p40—42) 个人投资风险主要指投资者个人因自身和环境条件等各种因素的不确定性,引起投资风险收益与非收益间发生偏离的可能性。影响个人投资组合的非系统风险主要来自:投资者分散组合投资预期收益,即单项资产的预期收益,占用资金的权重,取得预期收益的概率。如果没有很好的协调和控制,投资者必然会承担很多不必要的风险;投资者投资组合分散风险的条件,即当新增投资项目风险大于原有项目风险时,只有选择不相关甚至负相关项目时,才能达到降低风险的目的;投资组合的主要目的,即获得预期的报酬率,投资者不能为了降低风险,而使非相关程度过大,不
能进行有效控制风险。[2](p71—75)既然投资组合不能无限地降低风险,那么投资者就需要有选择地购买若干种资产或存银行生息,使自身获得的净收益尽可能大,而总体风险尽可能小。如何从一般的传统投资理论和模型研究中被忽略的交易费用中,推导出一个比较实用的投资目标函数呢?假设市场上有n种资产供投资者选择,某个体投资者有数额为M的一笔相对较大的资金可用做一个时期的投资。 投资者通过分析对这n种资产进行评估,估算出在这一时期内购买某资产的平均收益率和风险损失率。购买资产要付交易费,费率已知,并且当购买金额不超过给定值时,交易费按给定值计算(不买无须付费)。另外,假定同期银行存款利率是r0(r0=5%),且既无交易费又无风险。试确定一种投资组合方案,即用给定的资金,有选择的购买若干种资产或存银行生息,使净收益尽可能大,而总体风险尽可能小。 在处理此问题时,如何在投资因素中确定投资项目的投资金额是关键。收益、风险和投资者本身都是影响投资决策的因素,只有通过一种线性关系建立三者的联系,才能解决投资的收益和风险这个问题。同时,以投资者看待净收益和风险同等地位为分界点,讨论投资资产的变化。假使从投资开始到投资收益的一段时间,影响投资的经济因素保持不变,用资金投资单项资产时,风险率由其风险损失率来度量,否则,总体的风险率可用所投资的资产中最大的一个风险度量。单项资产的收益用其平均收益率ri 来衡量,若干项资产所组成的资产组合的收益用构成该资产的组合的平均收益率的权重平均来表示,投资的资金是相对较大的一笔资金。引入记号:M(投资者拥有的全部资金);si(供投资者选择的资产);ai(投资si项资产所用资金占总资产的比例);r0(银行存款利
公司的投资问题模型 摘要 本问题是在资金总额固定的情况下对一批项目进行投资，以获得最大经济效益，是一类投资组合的决策问题，属于优化问题。 对问题一：我们采用线性规划的方法求解。设X项目第i年初的投资额为，每年末收回所有可收回的本利，第二年初再对所有能够投资的项目进行考察，X i 约束条件为资金总额和各项目的投资限制。目标是五年末的总利润最大。以此建 对问题二：我们用EXCLE对8个项目近20年的单独和同时两种情况投资额与到期利润数据进行处理，得到8个项目在不同情况下利润率的时间序列。用DPS软件对每个项目不同情况的利润率时间序列进行时间序列分析，对单独投资的情况建立MA(1)模型进行预测,结果见附录。对同时投资的情况建立ARMA(3,1)模型预测，结果见模型求解。并对两种情况的预测进行了预测优度分析。 对问题三：我们用线性规划的模型求解。对问题中出现的是否有捐赠，是否为同时投资的情况建立4个（0,1）规划模型考虑所有的可能情形。设第i年初 ，年末收回所有可收回的本利，年初对所有可投资的项目考对项目X的投资为X i 察，以投资额和投资上限为限制建立约束条件，目标为五年末的总利润最大。建 风险和最大利润两个优化目标，由于两个目标相矛盾，于是转化为单目标优化模型，在不同的风险下求最大利润，及对应的5年投资方案，绘制出风险与最大利润的曲线图，以供不同风险偏好的投资者决策。结果见模型求解。 对问题五：我们将投资额在10亿和30亿之间进行变动，计算在不同投资总额情况下的最大利润及对应的风险大小。发现将资金存银行风险小利润也很小，而从银行贷款利润增幅很大但风险并没有明显增加，我们鼓励公司从银行贷款，并计算出最佳贷款额，在此最佳贷款额下我们又计算出不同风险下的最大利润及5年投资方案，绘制出风险与最大利润曲线图以供不同风险偏好者选择。 关键词：线性规划、时间序列、预测优度、01规划、多目标优化、风险偏好。
. . 资产最优组合 摘要 本文在充分分析数据的基础上，运用了模糊评价评估产品近期表现的优劣性，利用线性规划模型对多种金融产品进行组合，得到最优解，最后对模型进行评价。 问题一：基于模糊评价模型。本文使用累计收益率、本月平均涨幅、β系数（风险指标）3个指标，建立评估模型，来评估金融产品近期的优劣性表现。首先用层次分析法给出各项评估指标的权重并进行对指标一致性检验，再用熵权法对权重值进行修正；然后建立评估模型，利用模糊评价法得出景顺长城需增长、中邮战略新兴产业、华夏现金增利货币、工银货币、华能国际（稳健型）、万向钱潮（波动型）、*ST 中华A （ST 型）、国债⑺、万业债的模糊评估指标分别为 [] 0.00971 0.00484 0.00072 0.00090 0.34040 0.45785 0.17205 0.00332 0.01022通过以上数据比较可知，股票的表现明显优于债券和基金。 问题二：首先构建线性规划模型，通过收益最大目标函数和约束条件，求解出最优产品组合。其次求解收益对应的β系数，绘出收益和风险的折线图。根据图示，找到风险变化一单位得到最大收益处的值，得到最优解：选择华能国际（稳健型）、万向钱潮（波动型）、国债⑺、万业债、中邮战略新兴产业、华夏现金增利货币的投资量为：3716.556、3752.874、3819.063、52.10025、109.8907、541.8917、41.32636 问题三：本文在对选取的指标运用层次分析法赋予权重后，用熵权法对权值进行修正，使权值更为准确。同时，利用综合评价得出产品的近期优劣性表现。但是，本文β系数求解考虑较为单一，β系数的计算公式可以根据产品公司进行修改。 本文运用EXCEL 统计了大量数据，利用SPSS 软件进行数据分析，使用MATLAB 进行模型求解，使得模型更具合理性，可行性和科学性。 关键词：层次分析，一致性检验，熵值取权，模糊评价， 线性规划
投资得收益与风险问题 市场上有种资产(如股票、债券、…)()供投资者选择,某公司有数额为得一 笔相当大得资金可用作一个时期得投资。公司财务分析人员对这种资产进行了评估,估算出在这一时期内购买得平均收益率为,并预测出购买得风险损失率为。考虑到投资越分散,总得风险越小,公司确定,当用这笔资金购买若干种资产时,总体风险可用所投资得中最大得一个风险来度量。 购买要付交易费,费率为,并且当购买额不超过给定值时,交易费按购买计算(不买当然无须付费)。另外,假定同期银行存款利率就是, 且既无交易费又无风险。( ) 已知 时得相关数据如下: 试给该公司设计一种投资组合方案,即用给定得资金,有选择地购买若干种资产或存银行生 息,使净收益尽可能大,而总体风险尽可能小。 模型分析 本题需要我们设计一种投资组合方案,使收益尽可能大,而风险尽可能小。并给出对应得盈亏数据,以及一般情况得讨论。 这就是一个优化问题,要决策得就是每种资产得投资额,要达到目标包括两方面得要求:净收益最大与总风险最低,即本题就是一个双优化得问题,一般情况下,这两个目标就是矛盾得,因为净收益越大则风险也会随着增加,反之也就是一样得,所以,我们很难或者不可能提出同时满足这两个目标得决策方案,我们只能做到得就是:在收益一定得情况下,使得风险最小得决策,或者在风险一定得情况下,使得净收益最大,或者在收益与风险按确定好得偏好比例得情况下设计出最好得决策方案,这样得话,我们得到得不再就是一个方案,而就是一个方案得组合,简称组合方案。 设购买S i (i=0,1……、n;S 0表示存入银行,)得金额为x i ;所支付得交易费为c i (x i ),则: 对S i 投资得净收益为:)()(i i i i i i x c x r x R -= (i ＝0,1,…,n ) 对S i 投资得风险为: i i i i x q x Q =)( (i ＝0,1,…,n ),q 0=0 对S i 投资所需资金(即购买金额 x i 与所需得手续费 c i (x i ) 之与)就是 )()(i i i i i x c x x f += (i ＝0,1,…,n ) 投资方案用 x =(x 0,x 1,…,x n )表示,那么, 净收益总额为: 总风险为: )(x Q =)(min 0i i n i x Q ≤≤ 所需资金为: 所以,总收益最大,总风险最小得双目标优化模型表示为: 但就是像这样得双目标模型用一般得方法很难求解出来得,所以经过分析把次模型转化为三种较简单得单目标模型。
A 投资的收益和风险问题 摘要：某公司现有数额为20亿的一笔资金可作为未来5年内的投资资金，市 场上有8个投资项目（如股票、债券、房地产、…）可供公司作投资选择。其中 项目1、项目2每年初投资，当年年末回收本利（本金和利润）；项目3、项目4 每年初投资，要到第二年末才可回收本利；项目5、项目6每年初投资，要到第 三年末才可回收本利；项目7只能在第二年年初投资，到第五年末回收本利；项 目8只能在第三年年初投资，到第五年末回收本利。 对于第一问，我们建立了一个优化的线性规划模型，得到不错的结果。根据 我们的结果，我们认为五年末所得利润最大可为：37.94亿。具体如何安排五年 内的投资，可看下面的详细解答。 对于第二问，考虑独立投资各个项目的到期利润率时，通过分析，发 现数据中存在着相互的联系。由此，我们建立了一个统计回归模型: x5=a0+a1*x4+a2*x3+a3*x2+a4*x1+a5*x1^2+a6*x2^2+a7*x3^2+a8*x4^2 经过代入数据检验，可以看出，模型数据与原20年内的实际数据拟合得很好。 通过这个模型，我们预测了今后5年各个项目的到期利润率。如第一个项目今后 五年的到期利润率为：第一年：0.1431 第二年：0.1601 第三年：0.0605 第四年：0.1816 第五年： 0.1572。（其他几个项目的预测祥见下面的解答） 考虑风险损失率时，我们定义起计算式为：f=d*p;d为该项目20年内的到期利 润率的标准差，p为到期利润率； 考虑相互影响各个项目的到期利润率时，我们在第一个模型的基础上建立一新的 模型： x5=a10+a11*x4+a12*x3+a13*x2+a14*x1+a15*y5 y5=a20+a21*y4+a22*y3+a23*y2+a24*y1+a25*x5 (两个项目互相影响的模型) x5=a10+a11*x4+a12*x3+a13*x2+a14*x1+a15*y5+a16*z5 y5=a20+a21*y4+a22*y3+a23*y2+a24*y1+a25*z5+a26*x5 z5=a30+a31*z4+a32*z3+a33*z2+a34*z1+a35*x5+a37*y5 (三个项目互相影响的模型) 通过解方程组，我们可以预测出今后五年的到期利润率。而且得到的结果也较为 满意。 对与第三问，我们利用0-1变量，建立起一优化的线性规划模型。 关键词：线性规划，统计自回归模型，风险损失率，0-1变量法，数据拟合 （一）问题一的提出 项目1、项目2每年初投资，当年年末回收本利（本金和利润）；项目3、项目4每年 初投资，要到第二年末才可回收本利；项目5、项目6每年初投资，要到第三年末才可回收 本利；项目7只能在第二年年初投资，到第五年末回收本利；项目8只能在第三年年初投资， 到第五年末回收本利。公司财务分析人员给出一组实验数据，试根据实验数据确定5年内如