三角形的外角
一、选择题
1.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是( )
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.无法确定
2.如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180°,那么与这个外角相邻的内角的度数为( )
A.30°
B.60°
C.90°
D.120°
3.已知三角形的三个外角的度数比为2:3:4,则它的最大内角的度数为( )
A.90°
B.110°
C.100°
D.120°
4.已知等腰三角形的一个外角是120°,则它是( )
A.等腰直角三角形;
B.一般的等腰三角形;
C.等边三角形;
D.等腰钝角三角形
5.如图所示,在△ABC 中,E,F 分别在AB,A C 上,则下列各式不能成立的是( )
A.∠BOC=∠2+∠6+∠A;
B.∠2=∠5-∠A;
C.∠5=∠1+∠4;
D.∠1=∠ABC+∠4 二、填空题:(每小题3分,共18分) 1..如图3所示,∠1=_______. 2.如果一个三角形的各内角与一个外角的和是225°,则与这个外角相邻的
内角是____度.
3.已知等腰三角形的一个外角为150°,则它的底角为_____.
4.如图所示,∠ABC,∠ACB 的内角平分线交于点O,∠ABC 的内角平分线与∠ACB 的外角平分线交于点D,∠ABC 与∠ACB 的相邻外角平分线交于点E,且∠A=60°, 则∠BOC=_______,∠D=_____,∠E=________.
5.如图所示,∠A=50°,∠B=40°,∠C=30°,则∠BDC=________.
6.如图所示,∠CAB 的外角等于120°,
∠B 等于40°,则∠C 的度数是_______.
三、解答题
1.如图所示,在△ABC 中,∠A=70°,BO,CO 分别平分∠ABC 和∠ACB,求∠BOC 的度数.
O
C
B A
654321F E C
B A E O D
C B A
D C B A 120?40?C B A 140?80?1
2.如图所示,在△AB C 中,D 是BC 边上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63°, 求∠DAC 的度数.
4
321
D C B A
专训1 三角形内角和与外角和的几种常见应用类型名师点金：三角形内角和与外角和有着广泛的应用，利用它们可以解决有关角的很多问题，一般可用于直接计算角度、三角尺或直尺中求角度、与平行线的性质综合求角度、截角或折叠问题中求角度等． 直接计算角度 (第1题) 1．如图，在△中，∠A＝60°，∠B＝40°，点D，E分别在，的延长线上，则∠1＝．2．在△中，三个内角∠A，∠B，∠C满足∠B－∠A＝∠C－∠B，则∠B＝． 三角尺或直尺中求角度 3．【2015·咸宁】如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝50°，则∠2的度数是( ) A．50°B．40°C．30°D．25° (第3题) (第4题) 4．一副三角尺和如图放置(其中∠A＝60°，∠F＝45°)，使点E落在边上，且∥，则∠的度数为． 5．一副三角尺如图所示摆放，以为一边，在△外作∠＝∠，边交的延长线于点F，求∠F的度数． (第5题) 与平行线的性质综合求角度
6．如图，∥，∠＝60°，∠D＝50°，求∠E的度数． (第6题) 截角和折叠综合求角度 7．如图，在△中，∠C＝70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2等于( ) (第7题) A．360° B．250° C．180° D．140° 8．如图，将△沿着翻折，使B点与B′点重合，若∠1＋∠2＝80°，求∠B的度数． (第8题) 答案
1．80° 2.60°3 4.15° 5．解：因为∠＝90°，∠＝30°， 所以∠＝180°－∠－∠＝180°－90°－30°＝60°. 因为∠＝∠＝30°， 所以∠F＝180°－∠－∠＝180°－30°－60°＝90°. 6．解：因为∥， 所以∠＝∠＝60°. 因为∠D＝50°， 所以∠E＝∠－∠D＝60°－50°＝10°. 7．B 8．解：由折叠知∠1＋∠2＋2(∠＋∠)＝360°，即80°＋2(∠＋∠)＝360°， 所以∠＋∠＝140°， 所以∠B＝180°－(∠＋∠)＝180°－140°＝40°.
八年级数学直角三角形 知识点 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
八年级数学《直角三角形》知识点 一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° 可表示如下： ?BC= 21AB ∠C=90° 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90° 可表示如下： ?CD= 2 1AB=BD=AD D 为AB 的中点 4、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 5、射影定理(了解) 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在 斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜 边上的射影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD ?=2 CD ⊥AB 6、常用关系式 由三角形面积公式可得： AB ?CD=AC ?BC
二、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c ，有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 三、解直角三角形 1、解直角三角形的概念 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 2、解直角三角形的理论依据 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c （1）三边之间的关系：222c b a =+（勾股定理） （2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90° （3）边角之间的关系： 练习： 一、选择题 1. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm ，另一直角边长为6 cm ，则它的斜边长为（ ） A 、4 cm B 、8 cm C 、10 cm D 、12 cm 2. 已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A 、25 B 、14 C 、7 D 、7或25 3. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( ) A 、13 B 、8 C 、25 D 、64 4. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( ) A 、 钝角三角形 B 、 锐角三角形 C 、 直角三角形 D 、等腰三角形. 5、等腰三角形腰长为13，底边长为10，则它底边上的高为 （ ）
北师大版八上第七章第五节 《三角形内角和定理2》 教学设计 郑州市第七十五中学郑红莉
《三角形内角和定理2》教学设计 郑州市第七十五中学郑红莉 一课标要求 掌握三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，证明三角形任意两边之和大于第三边。 二基于对教材的理解 本节课是北师大版八年级上册第七章第五节《三角形内角和定理》第2 课时的内容，学生在前一节课中已经学习了三角形内角和定理的证明和应用，因此本节课是对三角形知识学习的延伸，主要涉及三角形的外角定义，三角形两个外角定理及应用，同时进一步熟悉和掌握证明的步骤、格式、方法、技巧。 三基于对考试要求的分析 能利用三角形内角和定理推论进行角度计算和角度数量关系证明。 四基于对学情的分析 1、学生已有知识基础。 学生对于平行线相关知识以及三角形内角和定理的灵活运用已经有了深入的了解，为今天的学习奠定了知识基础，并且他们已经具有初步的几何意识，形成了一定的逻辑思维能力和推理能力。 2、已有的活动经验 具备一定的学习能力，包括自学和交流，具备有条理的思考分析和表达能力，思维正逐步由具体走向抽象，当然依然倾向于通过形象
的材料来理解相关知识和概念。 3、学习本节可能出现的难点 学生仅具备初步的利用定理推理证明的能力，但如何证明几何中的不等关系可能存在困难，另外证明的方法、技巧有待提高。 4、学生座次表 A C A C A B B D B D B D A C A C A C B D B D B D A C A C A C 前后四人为一组，A 为组长，每一组课堂表现有积分累计 B D B D B D AB 层通过预习能描述判断三角形外角，并能推理证明三角形外角有关定理及进行有关应用， CD层通过自学及与同桌交流能说出三角形 外角定义，并能结合图形会描述三角形外角的两个定理及简单的应用。五学习目标 1.通过视频引入活动一，会判断和作出三角形的外角； 2.通过猜想、同桌交流，能描述有关三角形外角的两个定理及推理验证过程； 3.通过小组合作，会运用三角形内角和定理的两个推论解决相关问题 【学习重点】三角形有关外角的两个定理的应用 【学习难点】会用三角形的内角和定理的两个推论解决几何证明和几
7．2．2 三角形的外角 基础过关作业 1．若三角形的外角中有一个是锐角，则这个三角形是________三角形． 2．△ABC中，若∠C-∠B=∠A，则△ABC的外角中最小的角是______（填“锐角”、“直角”或“钝角”）． 3．如图1，x=______． (1) (2) (3) 4．如图2，△ABC中，点D在BC的延长线上，点F是AB边上一点，延长CA到E，连EF，则∠1，∠2，∠3的大小关系是_________． 5．如图3，在△ABC中，AE是角平分线，且∠B=52°，∠C=78°，求∠AEB的度数．6．如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高，H是BD、?CE的交点，求∠BHC的度数． 综合创新作业 7．如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAD=60°， 则∠EDC=______． 8．一个零件的形状如图7-2-2-6所示，按规定∠A 应等于90°，∠B、∠D应分别是30°和20°， 李叔叔量得∠BCD=142°，就断定这个零件不合 格，你能说出道理吗？
9．（1）如图7-2-2-7（1），求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数； （2）如图7-2-2-7（2），求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数． 10．（易错题）三角形的三个外角中最多有_______个锐角． 培优作业 11．（探究题）（1）如图，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠CBE、∠BCF?的平分线，试探索∠BDC与∠A之间的数量关系． （2）如图，BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC的外角∠ACE的平分线，它们相交于点D，试探索∠BDC与∠A之间的数量关系．
第十一章三角形的知识点及题型总结 一、三角形的认识 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。 分类： 锐角三角形（三个角都是锐角的三角形） 按角分类直角三角形（有一个角是直角的三角形） 钝角三角形（有一个角是钝角的三角形） 三边都不相等的三角形 按边分类等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 例题1 图1中共几个三角形。 例题2 下列说法正确的是（） A.三角形分为等边三角形和三边不相等三角形 B.等边三角形不是等腰三角形 C.等腰三角形是等边三角形 D.三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 例题3已知a、b、c为△ABC的三边长，b、c满足(b-2)2＋|c－3|=0，且a为方程|x－4|=2的解.求△ABC的周长，并判断△ABC的形状.
二、与三角形有关的边 三边的关系：三角形的两边和大于第三边，两边的差小于第三边。例题1 以下列各组数据为边长，能够成三角形的是（） A.3，4，5 B.4，4，8 C.3，7，10 D.10，4，5 例题2 已知三角形的两边边长分别为4、5，则该三角形周长L的范围是（） A.1 三角形外角应用 例 1. （ 2005年四川省南充中考）一个三角形的两个内角分别是55°和 65°,这个三角形的外角不可能是（ ） A. 115° B. 120° C. 125° D. 130° 例 2. （宁波市中考）如图,AB//CD,∠B=23°,∠D=42°,则∠E=（ ） A. 23° B. 42° C. 65° D. 19° 例3. （2006年重庆市中考）,AB=AC,∠BAD=α,且 AE=AD,则∠EDC=（ ） A. α2 1 B. α3 1 C. α4 1 D. α3 2 例4. （2003年成都市中考）已知三角形的一个外角小于与它相邻的内角,那么这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上三种情况都有可能 例5. （2004年荆州市中考）在等边三角形中,P 为BC 上一点,D 为AC 上一点,且∠APD=60°,BP=1,3 2CD =,则△ABC 的边长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 例 6. （2002年福建省龙岩市中考）如图,在△ABC 中,AB=AC,D 、E 分别在BC 、AC 边上,且∠ADE=∠B,AD=DE.求证：△ADB ≌△DEC. 例7. 已知,如图,在△ABC 中,D 是三角形内一点,求证：∠BDC>∠BAC. 例8. 已知：如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AD ⊥BC 于D,E 是AD 上一点,求证：∠DEC>∠ABC. 例9. 如图,已知：在△ABC 中,AB>AC,∠AEF=∠AFE,延长EF 与BC 的延长线交于G ,求证：)B ACB (2 1 G ∠-∠=∠. 例10. 如图,求证：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°. 练习： 1. （1996年昆明市中考）如图,α、β、γ分别是△ABC 的外角,且4:3:2::=γβα,则∠ACB 等于（ ） A. 20° B. 30° C. 40° D. 80° 2. （2004年陕西省中考）如图,在锐角三角形中,CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高,且CD 、BE 交 直角三角形 一、直角三角形的性质 重点：直角三角形的性质定理及其推论： ①直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半; ②推论：（1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半; （2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°. 难点： 1.性质定理的证明方法. 2.性质定理及其推论在解题中的应用. 二、直角三角形全等的判断 重点：掌握直角三角形全等的判定定理：斜边、直角边公理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 难点： 创建全等条件与三角形中各定理联系解综合问题。 三、角平分线的性质定理 1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理的数学表示：如图4， ∵ OE是∠AOB的平分线，F是OE上一点，且CF⊥OA于点C，DF⊥OB于点D，∴ CF＝DF. 定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题； 角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线. 2.关于三角形三条角平分线的定理： （1）关于三角形三条角平分线交点的定理： 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等. 定理的数学表示：如图6，如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、 ∠ ABC、∠ACB的平分线，那么： ① AP、BQ、CR相交于一点I； ②若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，则DI＝EI＝FI. 定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题. （2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系： 三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）. 3.关于线段的垂直平分线和角平分线的作图： （1）会作已知线段的垂直平分线；（2）会作已知角的角平分线； （3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形. 图4 三角形外角的性质及应用 角是平面几何中基本的、重要的概念之一，也是学好直线形和圆的基础。本文谈谈三角 形外角 的性质及应用。 一.三角形外角的概念及特征 如图1像/ ACD 那样，三角形的一边与另一条边延长线组成的角叫三角形的外角。 图1 外角特征：（1）顶点在三角形的一个顶点上，如/ ACD 的顶点C 是厶ABC 的一个顶点; （2） 一条边是三角形的一边，如/ ACD 的一条边 AC 正好是△ ABC 的一条边； （3） 另一条边是三角形某条边的延长线如/ ACD 的边CD 是厶ABC 的BC 边的延长线。 二.性质 1. 三角形的外角与它相邻的内角互补。 2. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 3. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 4. 三角形的外角和等于 360 °。 三?应用 1. 求角的度数 例1. （ 2005年四川省南充中考）一个三角形的两个内角分别是 55°和65°,这个三 角形的外角不可能是（ ） A. 115 ° B.120 ° C.125 ° D. 130 ° 解析：如图2，/ A 的外角为：180° 55 =125 °。 / B 的外角为：180° - 65° =115° / ACB 的外角为：55° +65 ° =120° 所以选D 。 BCD 例2. （2005年浙江省宁波市中考）如图3, AB//CD，/ B=23。，/ D=42 °，则/ E= （） 因为AB//CD 所以/仁/ B=23 ° / BED是厶EDF的外角 则/ BED= / 1 + / D=23 ° +42° =65 故选Co A. 23 例3. （2006年重庆市中考）如图4, AB=AC , / BAD= ,且AE=AD ,贝EDC=( A. B. C. D. 解析：延长 数学培优专题(一） 直角三角形 知识要点： 1、直角三角形的性质: （1）直角三角形的两个锐角＿__＿__＿__ （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的＿____＿＿__； （3）直角三角形30°角所对的直角边是______的一半; （4）直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30°. 2、直角三角形的判定方法: （1）有一个角是直角的三角形是直角三角形； （2）有两个角______的三角形是直角三角形; （3）如果一条边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理公式:_＿＿_＿ _ 勾股定理逆定理：_＿___ _ 直角三角形是一类特殊三角形，有着丰富的性质:两锐角互余(角的关系)、勾股定理（边的关系）、3０°角所对的直角边等于斜边的半(边角关系)、斜边上的中线等于斜边的一半（直角三角形中线性质），这些性质在求线段的长度、证明线段倍分关系、证明线段平方关系等方面有广泛的应用。 培优练习： 1、如图,已知△A ＢＣ为直角三角形，∠Ｃ=90°，若沿图中虚线剪去∠C ，则则∠1＋∠2等于__＿_____＿_. ２、已知一直角三角形木板，三边长的平方和为1800，则斜边长为___＿＿_＿_＿_ ３、图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形围成的，若ＡC=6，ＢC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延一倍，得到图2所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长是＿_＿_______ ４、在三角形AB Ｃ中,AB ＝5,ＡC=９,AD 是边BC 上的中线，则A Ｄ的取值范围＿______ 5、如图,等腰直角三角形A ＢC 直角边长为1，以它的斜边上的高AD 为腰作第一个等腰直角三角形AD Ｅ,再以所作的第一个等腰直角三角形ADE 的斜边上的高AF 为腰作第二个等腰直角三角形ＡFG ；……以此类推，这样所作的第n 个等腰直角三角形的腰长为＿______ ６、等腰△A ＢC 中，ＡD ⊥BC 于点D,且ＡD=2 1BC,则△AB Ｃ底角的度数为____＿_______ ７、如图,在△ABC 中,∠C ＝90°，A Ｃ＝3，∠B=30°，点Ｐ是B Ｃ边上的动点，则AP 的长不可能的是（ ) 八年级数学《直角三角形》知识点 一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° 可表示如下： ?BC=2 1AB ∠C=90° 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90° 可表示如下： ?CD= 2 1AB=BD=AD D 为AB 的中点 4、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 5、射影定理(了解) 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的 射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边 的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD ?=2 ? CD ⊥AB 6、常用关系式 由三角形面积公式可得： AB ?CD=AC ?BC 二、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c ，有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 三、解直角三角形 1、解直角三角形的概念 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 2、解直角三角形的理论依据 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c （1）三边之间的关系：222c b a =+（勾股定理） （2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90° （3）边角之间的关系： AB AD AC ?=2AB BD BC ?=2 初中数学试卷 直角三角形 知识导引 1、直角三角形的性质：（1）直角三角形的两个锐角互余；（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（3）直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半；（4）直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30°。 2、直角三角形的判定方法：（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形；（2）有两个角互余的三角形是直角三角形；（3）如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、注意直角三角形的性质和判定之间的互逆关系。 4、等腰直角三角形是特殊的直角三角形，它的两个底角都是45°，且两条直角边相等，等腰直角三角形具有等腰三角形和直角三角形的所有性质，是很常见的特殊三角形。 典例精析 例1：已知等腰△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，且AD=2 1BC ，则△ABC 底角的度数为（ ） A 、45° B 、75° C 、45°或75° D 、60° 例2：两个大小不同的等腰直角三角板按如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，点B，C，E在同一条直线上，连结CD。 （1）请找出图②中的全等三角形并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）试说明：CD⊥BE。 例3：如图所示，四边形ABCD由一个∠ACB=30°的Rt△ABC与等 腰Rt△ACD拼成，E为斜边AC的中点，则∠BDE= 。 例3—1：如图，已知AD⊥BD，AC⊥BC，E为AB的中点，试判断DE与CE是否相等并说明理由。 例4：已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠ABC 的平分线BE交AD于点F，试说明AE=AF。 初中数学三角形外角的性质及应用 角是平面几何中基本的、重要的概念之一，也是学好直线形和圆的基础。本文谈谈三角形外角的性质及应用。 一. 三角形外角的概念及特征 如图1，像∠ACD那样，三角形的一边与另一条边延长线组成的角叫三角形的外角。 图1 外角特征：（1）顶点在三角形的一个顶点上，如∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点； （2）一条边是三角形的一边，如∠ACD的一条边AC正好是△ABC的一条边； （3）另一条边是三角形某条边的延长线如∠ACD的边CD是△ABC的BC边的延长线。 二. 性质 1. 三角形的外角与它相邻的内角互补。 2. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 3. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 4. 三角形的外角和等于360°。 三. 应用 1. 求角的度数 例1. （2005年四川省南充中考）一个三角形的两个内角分别是55°和65°，这个三角形的外角不可能是（） A. 115° B. 120° C. 125° D. 130° -55=125°。 解析：如图2，∠A的外角为：180°? ∠B的外角为：180°－65°=115° ∠ACB的外角为：55°+65°=120° 所以选D。 图2 例2. （2005年浙江省宁波市中考）如图3，AB//CD，∠B=23°，∠D=42°，则∠E=（） A. 23° B. 42° C. 65° D. 19° 图3 解析：延长BE 交CD 于F 因为AB//CD 所以∠1=∠B=23° ∠BED 是△EDF 的外角 则∠BED=∠1+∠D=23°+42°=65° 故选C 。 例3. （2006年重庆市中考）如图4，AB=AC ，∠BAD=α，且AE=AD ，则∠EDC=（ ） A. α2 1 B. α3 1 C. α4 1 D. α3 2 图4 解析：设∠EDC=x ° 因为∠ADC 是△ABD 的外角 所以∠ADC=∠ABC+∠BAD 即∠ADE+x=∠ABC+α （1） 因为AB=AC ，AD=AE 所以∠B=∠C ，∠ADE=∠AED 而∠AED 是△DEC 的外角 所以∠AED=∠EDC+∠C 即∠AED=x+∠C （2） 将（2）代入（1）得： α+∠=+∠+ABC x C x 所以α= 2 1x 所以选A 。 2. 判定三角形的形状 例4. （2003年成都市中考）已知三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 初中数学试卷 直角三角形 知识导引 1、直角三角形的性质：（1）直角三角形的两个锐角互余；（2）直角三角形斜边上的中线等 于斜边的一半；（3）直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半；（4）直角三角形 中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30°。 2、直角三角形的判定方法：（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形；（2）有两个角互 余的三角形是直角三角形；（3）如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是 直角三角形。 3、注意直角三角形的性质和判定之间的互逆关系。 4、等腰直角三角形是特殊的直角三角形，它的两个底角都是45°，且两条直角边相等，等 腰直角三角形具有等腰三角形和直角三角形的所有性质，是很常见的特殊三角形。 典例精析 例1：已知等腰△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，且AD=2 1BC ，则△ABC 底角的度数为（ ） A 、45° B 、75° C 、45°或75° D 、60° 例2：两个大小不同的等腰直角三角板按如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形， 点B ，C ，E 在同一条直线上，连结CD 。 （1）请找出图②中的全等三角形并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； （2）试说明：CD ⊥BE 。 例3：如图所示，四边形ABCD 由一个∠ACB=30°的Rt △ABC 与等腰Rt △ACD 拼成，E 为斜边 AC 的中点，则∠BDE= 。 例3—1：如图，已知AD ⊥BD ，AC ⊥BC ，E 为AB 的中点，试判断DE 与CE 是否相等并说明理 由。 例4：已知：在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于点D ，∠ABC 的平分线BE 交AD 于点F ，试 说明AE=AF 。 例5：如图，在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，CE ⊥BD ，交 其延长线于点E ，求证：CE= 2 1BD 专题六 直角三角形 一、直角三角形性质： 1、 直角三角形的两个锐角互余 2、 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 3、 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 4、 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等 于30° 5、 勾股定理：直角三角形两直角边a,b 的平方和，等于斜边c 的平方。 a 2+ b 2= c 2 二、直角三角形判定： 1、有两个角互余的三角形是直角三角形 2、如果三角形的三条边长a,b,c 满足关系：a 2+b 2=c 2,那么这个三角形是直角三角形。 3、直角三角形全等的判定：SAS,ASA,AAS,SSS,HL 三、角平分线的性质： 1、角的平分线上的点到角的两边的距离相等 2、角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 四、练习 1如图，AB ∥CD ，∠CAB 和∠ACD 的平分线相较于H 点，E 为AC 的中点，EH=2.那么△AHC 是 直角三角形吗？为什么？若是，求出AC 的长。 2、如图，在R t △ABC 中，∠ACB=90°，CD 垂直于AB,垂足为点D ，DB= 21BC,求∠A 的度数。 3、已知，在△ABC 中，∠B =21∠A =3 1∠C ,AB=8cm. (1)求AB 边上的中线长，（2）求AC, BC 的长，（3）AB 边上的高 A B C D E H 4、如图，在RtABC 中，∠C=90°，ED 是线段AB 的垂直平分线，已知∠1= 31∠ABC ，求∠A 的度数。 6、 如图，在边长为4的正方形ABCD 中，F 为CD 的中点，E 是BC 上一点，且EC=4 1BC. 求证：△AEF 是直角三角形。 7、 如图，D 为BC 的中点，DE ⊥AB 于点E,DF ⊥AC 于点F,且DE=DF. 试问：AB 与AC 有什么关系？ 8、 如图，已知BD 平分∠ABC,BA=BC,点P 在BD 上，作P M ⊥AD,P N ⊥CD,垂足分别 为点M,N.求证：P M=PN . 9、 如图，求作一点P,使PM=PN,并且使点P 到∠AOB 的两边OA,OB 的距离相等。 . . A B C D E E F F E A B C D A B C D P M N A O B M N 1、（2011?昭通）将一副直角三角板如图所示放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为（） A、45° B、60° C、75° D、85° 2、（2011?义乌市）如图，已知AB∥CD，∠A=60°，∠C=25°，则∠E等于（） A、60° B、25° C、35° D、45° 3、（2011?台湾）如图中有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列何者正确（） A、∠2=∠4+∠7 B、∠3=∠1+∠6 C、∠1+∠4+∠6=180° D、∠2+∠3+∠5=360° 4、（2011?台湾）若△ABC中，2（∠A+∠C）=3∠B，则∠B的外角度数为何（） A、36 B、72 C、108 D、144 5、（2011?台湾）若钝角三角形ABC中，∠A=27°，则下列何者不可能是∠B的度数？（） A、37 B、57 C、77 D、97 6、（2011?宁波）如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C=20°，则∠EAB的度数为（） A、57° B、60° C、63° D、123° 7、直角三角形中两锐角平分线所交成的角的度数是（） A、45° B、135° C、45°或135° D、都不对 8、（2009?荆门）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（） A、40° B、30° C、20° D、10° 9、关于三角形的内角，下列判断不正确的是（） A、至少有两个锐角 B、最多有一个直角 C、必有一个角大于60° D、至少有一个角不小于60° 八年级上直角三角形练习 一、填空题（2′×15＝30′） 1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°AB ＝2cm,AC=BC,CD ⊥AB 于D ，则CD ＝_____。 2.有______________________对应相等的两个直角三角形全等。 3.角平分线定理的逆定理是______________________________________. 4. △ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，已知BC ＝5 cm ，则AB ＝___ cm 。 5．如图已知AB ＝AC ，BE ＝EC ，AE 的延长线交BC 于D ，则图中全等的三角形有____对 . 6. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c ＝13，a=12,则b=_____. 7.在 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a=6, b=8,则c=_____。 8．等边三角形的边长为8cm ，则它的面积为______。 9．已知直角三角形两条边长分别为3cm,4cm ，则第三边长为____。 10．等腰三角形的腰长为4，腰上的高为2，则等腰三角形的顶角为_______. 11．已知三角形三边为a 2+b 2,2ab,a 2-b 2,(a 、b 为正整数)这个三角形是_______三角形。 12．已知1和2，请你写出一个数恰好是一个直角三角形的三边长，这个数是_____. 13．已知三条线段作三角形，这三条线段必须满足 二、选择题（3′×10＝30 ′） 16．如图，DA ＝DB ，AC ⊥DA ，BC ⊥DB ，则△ADC ≌△BDC 所根据的判定定理是（ ）A ．SAS B. ASA C. SSS D. HL 17 ． 在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠C ＝∠ C ′＝ 90°AB ＝A ′B ′∠A ＝38°， ∠B ′＝52°，那么它们全等的理由是（ ） A HL B ASA 或AAS C SAS D AAA 18．用7cm 、24cm 、25cm 的三根小木棒构成的三角形是 （ ） A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 等腰三角形 19．将直角三角形三边分别扩大a 倍，得到的三角形是 （ ） A 直角三角形 B 可能是锐角三角形 C 可能是钝角三角形 D 不可能是直角三角形 20．已知△ABC 中D 是BC 上一点，E 是AC 上一点，BE 、CD 相交于F ， ∠A ＝70°，∠ACD ＝20°， ∠ABE ＝28°，则∠CFE ＝ （ ） A 62° B 68° C 78° D 90° 21．已知三条线段的长度比为 ∶ ∶ ，那么这三条线段 （ ） A 能组成锐角三角形 B 不能组成三角形 C 能组成直角三角形 D 能组成钝角三角形 22．下列说法正确的是 （ ） A 周长相等的两个三角形全等 B 边长相等的两个三角形全等 C 面积相等的两个三角形全等 D 各角相等的两个三角形 23、△ABC 中，∠A －∠B ＝90°，那么这个三角形为 （ ） A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 锐角或钝角三角形 24．如图，已知∠AOB ，求作射线OC ，使OC 平分∠AOB ，作法的合理顺序是 ①作射线OC ②在OA 和OB 上，分别截取OD 、OE ，使OD ＝OE ③分别以D 、E 为圆心，大于 DE 的长为半径作弧，在∠AOB 内，两弧交于点C A ①②③ B ②①③ C ②③① D ③②① 25．已知线段a 、b 和m ，求作△ABC ，使BC ＝a ，AC ＝b,BC 边上的中线AD ＝m ，作法的合理顺序为（ ） ①延长CD 到B ，使BD ＝CD ②连结AB 八 初三数学三角形外角的性质及应用 蔡志武阮正法 http:// 角是平面几何中基本的、重要的概念之一，也是学好直线形和圆的基础。本文谈谈三角形外角的性质及应用。 一. 三角形外角的概念及特征 如图1，像∠ACD那样，三角形的一边与另一条边延长线组成的角叫三角形的外角。 图1 外角特征：（1）顶点在三角形的一个顶点上，如∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点； （2）一条边是三角形的一边，如∠ACD的一条边AC正好是△ABC的一条边； （3）另一条边是三角形某条边的延长线如∠ACD的边CD是△ABC的BC边的延长线。 二. 性质 1. 三角形的外角与它相邻的内角互补。 2. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 3. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 4. 三角形的外角和等于360°。 三. 应用 1. 求角的度数 例1. （ 2005年四川省南充中考）一个三角形的两个内角分别是55°和65°，这个三角形的外角不可能是（） A. 115° B. 120° C. 125° D. 130° -55=125°。 解析：如图2，∠A的外角为：180°? ∠B的外角为：180°－65°=115° ∠ACB的外角为：55°+65°=120° 所以选D。 图2 例2. （2005年浙江省宁波市中考）如图3，AB//CD，∠B=23°，∠D=42°，则∠E=（） A. 23° B. 42° C. 65° D. 19° 图3 解析：延长BE 交CD 于F 因为AB//CD 所以∠1=∠B=23° ∠BED 是△EDF 的外角 则∠BED=∠1+∠D=23°+42°=65° 故选C 。 例3. （2006年重庆市中考）如图4，AB=AC ，∠BAD=α，且AE=AD ，则∠EDC=（ ） A. α2 1 B. α3 1 C. α4 1 D. α3 2 图4 解析：设∠EDC=x ° 因为∠ADC 是△ABD 的外角 所以∠ADC=∠ABC+∠BAD 即∠ADE+x=∠ABC+α （1） 因为AB=AC ，AD=AE 所以∠B=∠C ，∠ADE=∠AED 而∠AED 是△DEC 的外角 所以∠AED=∠EDC+∠C 即∠AED=x+∠C （2） 将（2）代入（1）得： α+∠=+∠+ABC x C x 所以α= 2 1x 所以选A 。 2. 判定三角形的形状 例4. （2003年成都市中考）已知三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 三角形外角的性质及应用 蔡志武 阮正法 角是平面几何中基本的、重要的概念之一，也是学好直线形和圆的基础。本文谈谈三角形外角的性质及应用。 一. 三角形外角的概念及特征 如图1，像∠ACD那样，三角形的一边与另一条边延长线组成的角叫三角形的外角。 图1 外角特征：（1）顶点在三角形的一个顶点上，如∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点； （2）一条边是三角形的一边，如∠ACD的一条边AC正好是△ABC 的一条边； （3）另一条边是三角形某条边的延长线如∠ACD的边CD是△ABC 的BC边的延长线。 二. 性质 1. 三角形的外角与它相邻的内角互补。 2. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 3. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 4. 三角形的外角和等于360°。 三. 应用 1. 求角的度数 例1. （ 2005年四川省南充中考）一个三角形的两个内角分别是55°和65°，这个三角形的外角不可能是（） A. 115° B. 120° C. 125° D. 130° 解析：如图2，∠A的外角为：180°=125°。 ∠B的外角为：180°－65°=115° ∠ACB的外角为：55°+65°=120° 所以选D。 图2 例2. （2005年浙江省宁波市中考）如图3，AB//CD，∠B=23°，∠D=42°，则∠E=（） A. 23° B. 42° C. 65° D. 19° 图3 解析：延长BE交CD于F 因为AB//CD 所以∠1=∠B=23° ∠BED是△EDF的外角 则∠BED=∠1+∠D=23°+42°=65° 故选C。 例3. （2006年重庆市中考）如图4，AB=AC，∠BAD=，且AE=AD，则∠EDC=（） A. B. C. D. 图4 解析：设∠EDC=x° 因为∠ADC是△ABD的外角 所以∠ADC=∠ABC+∠BAD 即∠ADE+x=∠ABC+ （1） 因为AB=AC，AD=AE 所以∠B=∠C，∠ADE=∠AED 而∠AED是△DEC的外角 所以∠AED=∠EDC+∠C 即∠AED=x+∠C （2） 将（2）代入（1）得： 所以 所以选A。 2. 判定三角形的形状 例4. （2003年成都市中考）已知三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形是（） 三角形外角 学习目标： 1、知道什么叫三角形的外角；理解三角形外角的两条性质定理； 2．能用三角形外角的有关定理解答问题。 重点：三角形内角和定理推论的应用． 难点：三角形外角的概念．真正理解推论并能灵活运用． 一、自学指导：（自己完成） （一）复习回顾：（2分钟） 1、如图, △ABC中∠A+∠B+∠C=_____ 3、如图，在△ABC中若∠A=60°∠B=35°则 ∠ACB=__ ∠ACD=_______ （二）自主探究： 如上图△ABC的三个内角是什么？它们有什么关系？若延长B C至D， 则∠ACD是什么角？这个角与△ABC的三个内角有什么关系？ 1.自学内容：教材第14页 2.自学要求：学生理解三角形外角的概念。 1.自学内容：课本15页思考 2.自学要求：学生理解三角形内角和定理推论 二.合作探究，生成总结（先自己做，再小组讨论，仍解决不了的问题写在纸条 1、三角形外角的定义：________________________________ 2、三角形外角的特征有三：(1)顶点在___________上．(2)一条边是______________．(3)另一条边是__________________． 3、画出一个三角形，并画出它的所有外角。 观察上图三角形的外角∠ACD与相邻的内角∠ACB是邻补角，那与另外两个角有怎样的数量关系呢？ 归纳：①三角形的一个外角等于； ②三角形的一个外角大于一个。 几何语言：∠1=∠ +∠； ∠ABE= + ； ∠1 >∠；∠1 >∠； （三）三角形的外角和——每一个三角形的内角相应地取其中一个外角相加的结果； 思考：如图，∠1+∠2+∠3=°（你能证明得到的结论吗？） 证明： 归纳：三角形的外角和等于° 三、学习反思：（用不同颜色的笔写） 、直角三角形的性质 重点：直角三角形的性质定理及其推论： ① 直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半 ； ② 推论：（1）在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°,则它所对的直角边等于斜 边的一半； （2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角 为 30° . 难点： 1. 性质定理的证明方法. 2. 性质定理及其推论在解题中的应用. 二、直角三角形全等的判断 重点：掌握直角三角形全等的判定定理：斜边、直角边公理：斜边和一条直角边对应 相等的两个直角三角形全等（HL ） 难点： 创建全等条件与三角形中各定理联系解综合问题。 三、角平分线的性质定理 1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的 距离相等. 定理的数学表示：如图4, v OE 是/ AOB 勺平分线，F 是OE 上一点，且CF! OA 于点C, DF! OB 于点 D, 二 CF = DF. 定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题； 角是一个轴对称图形，它的 直角三角形 B 对称轴是角平分线所在的直线. 定理的数学表示：如图6,如果AP BQ CR 分别是△ 的内角/ BAC / ABC 、/ ACB 的平分线，那么： ① AP 、BQ CR 相交于一点I ; ② 若ID 、IE 、IF 分别垂直于BC CA AB 于点D E 、F ,贝卩DI = EI = FI. 定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题 . (2)三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系： 三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部 .这个交点叫做三角形的内心 (即内切圆的圆心). 3. 关于线段的垂直平分线和角平分线的作图： (1) 会作已知线段的垂直平分线； (2)会作已 知角的角平分线； (3) 会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形 . 四、勾股定理的证明及应用 1 .勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 a , b ，斜边为c ,那么a 2 b 2 c 2 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把 直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.早在三千多年 前，周朝数学家商高就提出了 勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现 并证明了直角 2.关于三角形三条角平分线的定理: (1)关于三角形三条角平分线交点的定理: 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边 距离相等. ABC A 的 B(人教版初中数学)三角形外角应用练习题
八年级数学直角三角形(教师讲义带答案)资料
三角形外角的性质及应用
八年级数学培优专题(一)-直角三角形
八年级数学《直角三角形》知识点
人教版八年级数学上直角三角形
初中数学三角形外角的性质及应用专题辅导
人教版八年级数学上直角三角形
八年级上册数学-专题六直角三角形
三角形的内角和与外角的性质(含答案)
八年级上直角三角形练习
初三数学三角形外角的性质及应用
三角形外角的性质及应用
三角形外角
(完整版)八年级直角三角形(答案)
相关主题
文本预览