2.1 两条直线的位置关系
一、学习目标：
1、知识目标：在具体情景中了解对顶角、补角、余角，知道对顶角相等、等角的余角相等、等角的补角相等，并能解决一些实际问题。
2、能力目标：（1）经历观察、操作、推理、交流等过程，发展空间观念、推理能力和有条理地表达的能力。（2）能运用互为余角、互为补角、对顶角等相关的知识解决一些实际问题。
3、情感目标：在活动中培养学生乐于探究、合作的习惯，体验探索成功、感受创新的乐趣，从而培养学习数学的主动性；进一步体会“数学就在我们身边”，增强学生用数学解决实际问题的意识。
二、学习重点：了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等。
三、学习难点：学生探索等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等的过程以及对其意义的理解，并能解决一些实际问题。初步的“说理”也是难点之一。
四、学习设计：
（一）预习准备
（1）预习书38、39页
（2）回顾：①什么是直角？②什么是平角？
（3）预习作业：
①在一副三角板中,每块都有一个角是90°,那么其余两个角的和是多少?
②已知∠1＝36°，∠2＝54°，那么∠1+∠2＝_________
③已知∠1＝144°，∠2＝36°，那么∠1+∠2＝_________
（二）学习过程：
1、创设情境，引入课题
⑴请同学们拿出事先准备好的直角纸板，用剪刀把直角从顶点剪开，问：这两个角有什么关系？
⑵再拿出平角纸板并用剪刀把平角从顶点剪开，问：这两个角有什么关系?
⑶请同学们分别给这两个角命名——引入课题
2、展示新知：
⑴在一副三角尺中，每块都有一个角是90o，而其他两个角的和是90o。一般情况下，如果两个角的和等于90o（直角），我们就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．例如，∠1与∠2互为余角，∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角．同样，如果两个角的和等于180o (平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．
⑵符号语言：若∠1+∠2= 90o，那么∠1与∠2互余。12999 . c o m
若∠3+∠4=180o
3、注：（1）“互为”这个词语，与“互为相反数”、“互为倒数”等词语中的含义有联系，均表示成对出现；
（2）互为余角以及互为补角的角，主要反映了角的数量关系，而不是角的位置关系,可以把剪下的 ∠1、∠2 、∠3、∠4摆放出各种不同位置。
（3）区分互为补角和互为余角，区别在于两角的和是180°还是90°。 4、应用新知体验成功
⑴若∠1与∠2互余，则∠1+∠2=__________ ⑵若∠1= 90o —∠2，则∠1+∠2=__________ ⑶60O 32’的补角是_______，余角是_______ (一个角的余角一定比这个角的补角小吗？) ⑷30O 角的余角的补角是__________ ⑸填表：
⑹若一个角是它余角的4倍，求这个角。
变式训练：（1）一个角的补角是它的3倍，求这个角。
（1） 一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角。
5、探讨余角与补角的性质
例1 如图：∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？
已知∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？ 余角与补角的性质：
______________________________________________________。
巩固练习 (7)如图，∠EDC=∠CDF=90°，∠1=∠2．图中哪些角互为余角?哪些角互为补角? ∠ADC 与∠BDC 有什么关系?为什么? ∠ADF 与∠BDE 有什么关系?为什么?
(8)如图，C 是AB 上的一点，CD 是∠ACB
的平分线，则
① 图中互余的角是______________ 互补
的角是__________，相等的角是_____________
②在图中再添一条射线CF ，使∠FCE=Rt ∠，则图中∠FCD 余角是____________ ∠ACF 的余角是__________，∠FCB 的补角是__________，理由是____________________________________
(9)已知：如图∠AOB =∠COD= Rt ∠，问：图中有几对相等的角，并说明理由
对顶角的概念
对顶角相等的性质______________________________________________________。
六、课堂练习：
1．已知∠A=40°，则∠A 的余角等于______．
2．已知：如图所示，AB ⊥CD ，垂足为点O ，EF 为过点O?的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是（ ）
2 1
3 4
D
A ．相等
B ．互余
C ．互补
D ．互为对顶角
3．如图所示，直线AB ，CD 相交于点O ，∠BOE=90°，若∠COE=55°，?求∠BOD 的度数．
4．如图所示，直线AB 与CD 相交于点O ，OE 平分∠AOD ，∠AOC=?120°。求∠BOD ，∠AOE 的度数．
拓展训练：
1．（一题多解题）如图所示，三条直线AB ，CD ，EF 相交于点O ，∠AOF=3∠FOB ，∠AOC=90°，求∠EOC 的度数．
2．（科内交叉题）一个角的补角与这个角的余角的和比平角少10°，求这个角．
3．（课外交叉题）如图所示，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象．若∠1=42°，∠2=28°，则光的传播方向改变了______度．
C
O
E D B
A
4．（实际应用题）如图所示是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中4个角上的阴影部分分别表示4个入球袋．如果一个球按图中所示的方向被击出（?假设用足够的力气击出，使球可以经过多次反射），那么该球最后落入哪个球袋？在图上画出被击的球所走路程．
七、小结：
2.2 探索直线平行的条件（1）
一、学习目标：
1、经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，进一步发展空间观念，推理能力和有
条理表达的能力。
2、会认由三线八角所成的同位角。
3、掌握平行线公理及平行线的传递性。
4、掌握直线平行的条件并能解决一些问题
二、学习重点：会认各种图形下的同位角，并掌握直线平行的条件是“同位角相等，两直线平行”
三、学习难点：判断两直线平行的说理过程
四、学习设计：
（一）课前准备
（1）预习书44-48页 （2） 思考①什么叫同位角、内错角、同旁内角？②同位角、内错角、同旁内角有什么特征？ （3）预习作业
如图所示，①12∠∠与是 角；它们是由直线 和直线 ，被直线 所截得的；②14∠∠与是 角；它们是由直线 和直线 ，被直线 所截得的；③34∠∠与是 角；它们是由直线 和直线 ，被直线 所截得的。 （二）学习过程
1、两直线被第三直线所截，可形成的角有 ， ， 。
H G F
E
D C
B
A
4
3
2
1
例1如图是同位角关系的两角是 ，是互补关系的两角是 ，是对顶角的是 。
2、平行判定1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角 ，那么这两直线 。
简称： （公理） 如图，可表述为：
∵ ( )
∴ ( )
例2 如图 （1）,()a b c a ⊥⊥ 已知
12∴∠=∠= （垂直的定义）
∴ ∥ （同位角相等，两直线平行）
（2）用一句精炼的话总结（1）所包含的规律
变式训练：如图所示 1、12∠=∠ （已知）
∴ ∥ （ ） 2、23∠=∠ （已知） ∴ ∥ （ ）
例3、如图，已知00165,2115∠=∠=，直线BC 与DF 平行吗？为什么？
变式训练：如图，已知00170,2110∠=∠=，试问a 与b 平行吗？说说你的理
43
21F
E
D C B A 2
1c
b
a 2
1
d c
b
a 3
21
E
D
C B A
2
1
由。
1、平行线公理：过直线外一点有 条直线与这条直线平行。
2、平行线的传递性： 几何语言：
拓展：
如图，已知12∠=∠，问再添加什么条件可使AB ∥CD ？试说明理由。
N
M
F
E D
C
B
A
21c
b a 3
2
1
2.2 探索直线平行的条件（2）
一、学习目标：
1、经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力。
2、经历探索直线平行的条件的过程，掌握直线平行的条件，并能解决一些问题。
3、会用三角尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。
二、学习重点：弄清内错角和同旁内角的意义，会用“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”。 三、学习难点：
会用“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”。 四、学习设计 （一）预习准备
（1）预习书47-48页 （2）回顾：①什么是同位角？什么是内错角？什么是同旁内角？②同位角相等，两直线平行。 （3）预习作业：
如图所示：
（1）如果1D ∠=∠，那么 ∥ 理由是
（2）如果1B ∠=∠，那么 ∥
理由是 （3）如果0180A B ∠+∠=，那么 ∥ 理由是
（4）如果0180A D ∠+∠=，那么 ∥ 理由是 （二）新课学习：
平行判定2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角 ，那么这两直线 。
简称：
如图，可表述为：
∵ ( )
∴ （ )
平行判定3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角 ，那么这两直线 。
简称： 如图，可表述为： ∵ ( )
∴ （ ) 例1、如右图，∵∠1＝∠2
∴ ∥ ， ∵∠2＝
∴ ∥ ，（同位角相等，两直线平行） ∵∠3＋∠4＝180°
E D
C B A
1
C
2
B D
C A 1
12
B
D C A
∴ ∥ ， ∴AC ∥FG ，
变式训练：如图所示，AB ⊥BC 于点B ，BC ⊥CD 于点C ，∠1=∠2，那么EB ∥CF 吗？?为什
么？
例2、如图，已知0040,1140B ∠=∠=，那么AB ∥CD 成立吗？请说明理由。
变式训练：如图所示，若∠1+∠2=180°，∠1=∠3，EF 与GH 平行吗？ 解：为∠1+∠2=180°（ ） 所以AB ∥_______（ ） 又因为∠1=∠3（ ） 所以∠2+∠________=180°（ ）
所以E F ∥GH （ ）
拓展：1、如图所示，BE 是∠ABD 的平分线，DE 是∠BDC 的平分线，?且∠1+∠2=90°，那
么直线AB ，CD 的位置关系如何？并说明理由．
解：AB ∥CD 理由如下：
∵BE 是∠ABD 的平分线，DE 是∠BDC 的平分线（ ） ∴∠1= ,∠2＝ （ ） ∵∠1+∠2=90o( )
∴∠ABD+∠CDB ＝ ＝ ＝180o。 ∴CD ∥AB （ ）
2.如图所示，根据下列条件可推得哪两条直线平行，并说明理由。
（1）∠ABD=∠CDB ；（2）∠CBA+∠BAD=180o； （3）∠CAD ＝∠ACB 。 当堂测评：
D
C
B
A
1
1．如图1所示，若∠BEF+______=180°，则AB∥CD．
2．（2008，齐齐哈尔市）如图2所示，请你写一个适当的条件_______， ?使AD∥BC．
图2 图3 图4
3．如图3所示，若∠1=30°，∠2=80°，∠3=30°，∠4=70°，若AB∥____．
5．如图5所示AE∥BD，下列说法不正确的是（）
A．∠1=∠2 B．∠A=∠CBD C．∠BDE+∠DEA=180° D．∠3=∠4
图5 图6 图7
6．如图6所示，能说明AB∥DE的有（）
①∠1=∠D；②∠CFB+∠D=180°；③∠B=∠D；④∠BFD=∠D．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7.如图7所示，点E在AD?的延长线上，?下列条件中能判断BC∥AD的是（）
A．∠3=∠4 B．∠A+∠ADC=180° C．∠1=∠2 D．∠A=∠5
2.3 平行线的性质(1)
教学目标：
（1）经历观察、操作、推理、交流等活动，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力。
（2）经历探索平行线性质的过程，掌握平行线的性质，并能解决一些问题。
教学重点与难点
重点：理解掌握平行线性质
难点：探索平行线性质的过程，能用平行线性质解决一些问题。
教法与学法指导：
教师创设问题情境，层层推进教学，使学生经历观察、操作、猜想、讨论、推理、归纳等数学活动，最后得到新知，并获得一些学习数学学习的方法.同时，课堂练习的设计力求符合不同层次学生的心理特点，通过练习，让不同层次学生体会到本节课是学有所得的.
教学过程
一创设情境，开辟道路
师：1、我们上两节已学习了同位角、内错角和同旁内角。提出以下问题：
（1）这些角是由几条直线构成？
（2）那位同学能用自己的语言描述一下什么是同位角、内错角和同旁内角？（不会描述的去黑板上画出并指明即可）
生：它们都是由3条直线构成的。4对同位角（∠1与∠5，∠4与∠8，∠2与∠6，∠3与∠7），两对内错角（∠3与∠5，∠4与∠6），两对同旁内角（∠4与∠5，∠3与∠6）。
同位角———在两条直线同侧，第三条直线同旁。
内错角———在两条直线内部，第三条直线两旁。
同旁内角——在两条直线内部，第三条直线同旁。
2、根据已学过的内容，填空：
（1）因为∠1=∠5 (已知)
所以a∥b（）
（2）因为∠4=∠(已知)
所以a∥b（内错角相等，两直线平行）
（3）因为∠4+∠=1800 (已知)
所以a∥b（）
设计意图：平行线的性质与判定直线平行的条件是互逆的，对初学者来说易将它们混淆，因此，复习判定直线平行的条件为后面学习性质做好准备。
反过来，如果两条直线平行，那么同位角、内错角、同旁内角又各有什么样的关系呢？这是我们这节课要探究的问题。由此引出课题。
二、动手操作、探求新知；
师：出示课本50页的内容：
如图，直线a与直线b平行。
（1）测量同位角∠1 和∠5 的大小，它们有什么关系？图中还有其他同位角吗？它们的大小有什么关系？
（2）图中有几对内错角？它们的大小有什么关系？为什么？
（3）图中有几对同旁内角？它们的大小有什么关系？为什么？
（4）换另一组平行线试试，你能得到相同的结论吗？
探究活动1：
师：测量图中角的度数,把结果填入表内.
生：小组之间分工，谁测量那个角并把结果填在表格中。（不考虑误差）
探究活动2：
师：根据刚才测量所得的结果表格上看，你有什么猜想？
生：同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。
探究活动3：
师：另外画一组平行线被第三条直线所截，同样测量并计算各角的度数,检验刚才的猜想是否成立?如果直线a与b不平行，猜想还成立吗?
生：仿造上述的步骤验证猜想是：只要是两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。如果两条直线不平行，猜想就不成立。
师生：共同归纳平行线的性质
两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等。
简称为两直线平行, 同位角相等.
两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等。
简称为两直线平行, 内错角相等.
两条平行直线按被第三条线所截,同旁内角互补。
简称为两直线平行, 同旁内角互补。
师：你能根据性质1,说出性质2,性质3成立的理由吗?
生：（在教师的引导下，尝试说出推理过程）
因为a∥b.
所以∠1=∠5 (_______)
又因为∠1=∠_____(对顶角相等)
所以∠4=∠5,
生1：因为a∥b.
所以∠1=∠5 (_______)
又因为∠1+∠3=180°(_______)
所以∠3+∠5=180°
设计意图：通过测量、猜想、验证，让学生首先在动手探索的过程中感知平行线的性质，然后再在性质1的基础上推理论证性质2、3的正确性，从而使学生对知识的认识从感性上升到理性。
三、巩固新知，灵活运用
师：出示课本50页做一做：
如图2-18，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射，此时
∠1 =∠2，∠3 = ∠4．
（1）∠1与∠3 的大小有什么关系？∠2与∠4 呢？
（2）反射光线BC 与EF 也平行吗？
问：你能说明每一步的理由吗？你是如何思考的？与同伴进行交流。
（留给学生足够的时间去思考，由一位学生黑板上板书。）
生：独立思考后，在练习本上写出说理过程。
（1）因为AB∥CD
所以∠1 =∠3（两直线平行，同位角相等）
又因为∠1 =∠2，∠3 = ∠4．
所以∠2=∠4（等量代换）
（2）因为∠2=∠4
所以BC∥EF（同位角相等，两直线平行）
试一试：
1．如图所示，AB∥CD，AC∥BD,分别找出与
∠1相等或互补的角。
设计意图：目的就是通过其来落实基础。因为学生刚刚接触到新知识，往往应用起来会比较生疏。通过练习熟悉解决问题的过程与思路，无论是基本的习题，还是变化的习题，都以透彻理解性质为最终目标
四、对比学习，加深理解；
师：通过刚才的应用，大家能谈一谈今天学习的平行线的性质和上一节判定直线平行的条件有什么不同吗？
生：小组间相互讨论交流后，派代表回答。
师生共同总结：
同位角相等
两直线平行内错角相等
同旁内角互补
设计意图：使学生在前面的实例中，在有了充足的感性认识的基础上上升到理性认识，总结
出平行线性质与判定直线平行的条件的区别和联系，加深理解。
五、回顾小结，盘点收获
师：谈谈你们本节课有哪些收获？
生1：学了平行线的性质，知道了如果两条直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。还学了它的应用。
师：强调：只有在两条直线平行的前提下，才有同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。否则就同位角、内错角就不相等，同旁内角就不互补。一定注意！
生2：还知道了平行线的性质与判断的区别，它们是互逆的
设计意图：通过对以上问题的思考引导学生回顾整节课的学习历程，让学生对知识有一个沉淀、吸收的过程。让学生畅谈自己学习的体会，通过教师为学生提供的交流互动的平台，使
学生倾听别人的想法、意见，从而不断完善自己的认识，形成完整的知识结构.
六、达标测试，反馈矫正
1.如图是一块梯形铁片的残缺部分,量得∠A=65°,∠B=80°, 梯形另外两个角分别是多少度?
2．如图，一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，
第一次拐的角∠B 是130°，第二次拐的角∠C是多少度？
3．如图，已知D是AB上的一点，E是AC上的一点，∠ADE =60°，∠B =60°,∠AED =40°．
（1）DE和BC平行吗？为什么？
（2）∠C是多少度？为什么？
设计意图：这三个问题都是关于平行线性质和判定直线平行的条件的综合应用。通过具体问题,使学生进一步认识和理解平行线的性质和判定直线平行的条件的区别和联系。知道什么时候用性质，什么时候用判定直线平行的条件。
七、布置作业，落实目标
作业:课本第51页习题2.5 1、2
拓展题:课本第51页习题2.5 3、
助学的部分题目。
板书设计：
教学反思：
成功之处：首先，本节课研究的内容是平行线的性质，它是在学生学习了判定直线平行的条件之后来进行学习的。因此，在引入环节，就充分考虑到这一点，从复习判定直线平行的条件入手，进而引导学生进行平行线性质的探究。
其次，着重突出了平行线性质的探究过程。通过学生自主测量，猜想、验证，让学生在充分活动的基础上，自己发现，并用自己的语言来归纳，这样可以增强学生的学习兴趣和自信心。
另外，在教学中，有意识、有计划地设计了教学活动，充分挖掘知识内涵，引导学生体会平行线性质与两直线平行的条件之间的联系与区别，使学生体会数学知识间的密切联系。
不足之处：本节课忽略了对两直线不平行时同位角、内错角、同旁内角之间关系的探究，其有助于学生加深对平行线性质的理解，有助于区分性质与两直线平行的条件，有必要加强。
再教建议：在学生的自主探索、合作交流的过程中，应该留给学生充足的时间，不要由老师的包办代替了学生的思考。
2.3 平行线的性质(2)
教学目标
1、熟练应用平行线的性质和判别直线平行的条件解决问题.
2、逐渐理解几何推理的要领，分清推理中“因为”、“所以”表达的意义，从而初步学会简单的几何推理.
3、经历观察、讨论、推理、归纳等活动, 进一步发展空间观念，培养推理能力和有条理表达的能力.
教学重点与难点
重点：能够应用平行线的性质定理和判定定理解决问题．
难点：平行线的性质定理和判定定理的准确及熟练应用.
教法与学法指导：
平行线是最简单、最基本的几何图形，在生活中随处可见，它不仅是研究其他图形的基础，而且在实际中也有着广泛的应用.因此，探索和掌握好它的有关知识，对学生更好的认识世界、发展空间观念和推理能力都是非常重要的.因此，教学中我鼓励学运用多种方法进行探索，充分交流.尽可能地发现有关事实，并能应用平行线性质和判定解决一些问题，运用自己的语言说明理由，使学生的推理能力和语言表达能力得到提高.
教学准备：多媒体课件
教学过程
一、复习回顾，引入新课
师：我们已经学习了平行线的性质和判别直线平行的条件.请同学们回答下面的问题.
问题1: 平行线的性质有哪几条？
问题2：判别直线平行的条件有哪几个？你现在一共有几个判定直线平行的方法？
问题3：在应用二者时应注意什么问题？
生1：平行线的性质有:
两直线平行，同位角相等.
两直线平行，内错角相等.
两直线平行，同旁内角互补.
生2：判定有:
同位角相等，两直线平行.
内错角相等，两直线平行.
同旁内角互补，两直线平行.
平行于同一条直线的两条直线互相平行.
生3：使用判定时是已知角的相等或互补说明二直线平行；
使用性质时是已知二直线平行说明角的相等或互补.
问题4：如图2.3—1，直线a，b被直线c所截，
（1）当∠1=∠2时，你能结合图形用推理的方式来说明
a∥b吗？
（2）若∠2+∠3=180°呢？
设计意图：通过复习提问的方式让学生回顾总结已有的知识，并通过问题4
这个基本图形引导学生逐步学会用推理的方法来说明理由，渗透运用学过的定义、定理公理进行推理的意识，从而为本节课进行几何推理做好铺垫.
二、师生合作，探究新知
例1.如图2.3—2 ：
（1）若∠1 = ∠2，可以判定哪两条直线平行？根据是什么？
（2）若∠2 = ∠M，可以判定哪两条直线平行？根据是什么？
（3）若∠2 +∠3 =180°，可以判定哪两条直线平行？根据是什么？
解：（1）∠1与∠2是内错角，若∠1 = ∠2，则根据“内错角相等，两直线平行”，得BF∥CE；
（2）∠2 = ∠M是同位角，若∠2 = ∠M，则根据“同位角相等，两直线平行”，得AM∥BF；