第5关 多边形与平行四边形（讲义部分）
知识点1 多边形的概念和性质
多边形：在平面内，若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭的图形叫做多边形. 正多边形：多边形中，如果各条边都相等，各个内角都相等，这样的多边形叫做正多边形. 定理1：n 边形的内角和等于2180n -?（）（n 为不小于3的整数）.外角和等于360（n 为不小于3的整数）.
题型1 多边形内角和
【例1】一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720?，那么原多边形的边数为( ) A ．5
B ．5或6
C ．5或7
D ．5或6或7
【解答】解：如图，
剪切的三种情况：①不经过顶点剪，则比原来边数多1， ②只过一个顶点剪，则和原来边数相等， ③按照顶点连线剪，则比原来的边数少1，
设内角和为720?的多边形的边数是n ，则(2)180720n -=，
解得：6n =．
则原多边形的边数为5或6或7． 故选：D ．
【点评】本题考查了多边形的内角和定理，理解分三种情况是关键．
【例2】一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180?，求这个多边形的边数和内角和． 【解答】解：设这个多边形的边数为n ，
根据题意，得(2)1803360180n -??=??-?，
解得7n =．
所以这个多边形的内角和为：(72)180900-?=?．
【点评】本题考查多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是360?，与边数无关．
【例3】已知一个正多边形相邻的内角比外角大140?． （1）求这个正多边形的内角与外角的度数； （2）直接写出这个正多边形的边数． 【解答】解：（1）设正多边形的外角为x ?，则内角为(180)x -?，由题意，得
180140x x --=．解得20x =．
∴正多边形的内角为160?，外角为20?．
（2）这个正多边形的边数为：3602018?÷?=．
【点评】本题考查多边形的内角和，解题的关键是熟练运用多边形的内角和公式，本题属于基础 题型．
【例4】多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350?． （1）求多边形的边数；
（2）此多边形必有一个内角为多少度？
【解答】解：设这个外角度数为x ，根据题意，得
(2)1801350n x -??+?=?，
解得：13501803601710180x n n ?=?-?+?=?-?， 由于0180x
可得1350(92)18090x ?=?--??=?
该多边形必有一内角度数1809090?-?=?．
【点评】主要考查了多边形的内角和定理．解题的关键是熟记n 边形的内角和为：180(2)n ?-．
【例5】（1）如图，在图1中，互不重叠的三角形共有3个，在图2中，互不重叠的三角形共有5个，在图3中，互不重叠的三角形共有7个，?，则在第n 个图形中，互不重叠的三角形共有 个．（用含n 的代数式表示）
（2）若在如图4所示的n 边形中，P 是1n A A 边上的点，分别连接2PA 、3PA 、41n PA PA -?，得到1n -个互不重叠的三角形．
你能否根据这样的划分方法写出n 边形的内角和公式并说明你的理由；
（3）反之，若在四边形内部有n 个不同的点，按照（1）中的方法可得k 个互不重叠的三角形，试探究n 与k 的关系． 【解答】解：（1）()21n +个．
（2）设n 边形的内角和为k ，则：
(1)180180k n =-??-?
(2)180n =-?．
（3）又设在四边形内部有n 个不同的点，且按（1）中的方法可得k 个互不重叠的三角形，
而：四边形的内角和为360?， 360360180n k ∴+?=??， 则：22n k +=．
【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角，正确读懂题目，理解例题的基本思路是解决本题 的关键． 知识点2 平行四边形
1．平行四边形的性质
概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。用“? ”表示. 性质：平行四边形对边相等，对角相等. 推论1：夹在两条平行线间的平行线段相等. 推论2：平行线间的距离处处相等. 2. 平行四边形的判定
定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形. 三角形中位线：
定理：三角形两边中点连线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
题型2 平行四边形的性质
【例6】某人准备设计平行四边形图案，拟以长为4cm ，5cm ，7cm 的三条线段中的两条为边，另一条为对角线画不同形状的平行四边形，他可以画出形状不同的平行四边形个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【解答】解：分别以4cm ，5cm 为边，7cm 为对角线；或以4cm ，7cm 为边，5cm 为对角线； 或5cm ，7cm 为边，4cm 为对角线共有三种情况．
故选：C ．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，实质上只要三条线段的长符合构成三角形，就可以画不 同形状的平行四边形．
【例7】如图，过平行四边形ABCD 的对角线BD 上一点M 分别作平行四边形两边的平行线EF 与GH ，那么图中的过平行四边形AEMG 的面积1S 与HCFM 的面积2S 的大小关系是(
)
A ．12S S >
B ．12S S =
C ．12S S <
D ．不能确定 【解答】解：四边形ABCD 是平行四边形，//EF BC ，//HG AB ，
AD BC ∴=，AB CD =，////AB GH CD ，////AD EF BC ， ∴四边形HBEM 、GMFD 是平行四边形， 在ABD ?和CDB ?中；， AB CD BD DB DA CB =??
=??=?
， ()ABD CDB SSS ∴???，
即ABD ?和CDB ?的面积相等；
同理BEM ?和MHB ?的面积相等，GMD ?和FDM ?的面积相等， 故四边形AEMG 和四边形HCFM 的面积相等，即12S S =． 故选：B ．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键 是求出ABD ?和CDB ?的面积相等，BEP ?和PGB ?的面积相等，HPD ?和FDP ?的 面积相等，注意：如果两三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．
【例8】如图， 在周长为20cm 的平行四边形ABCD 中，AB AD ≠，AC ，BD 相交于点O ，OE BD ⊥交AD 于E ，求ABE ?的周长 ．
【解答】解：
四边形ABCD 是平行四边形， AC ∴、BD 互相平分， O ∴是BD 的中点 ． 又OE BD ⊥，
OE ∴为线段BD 的中垂线， BE DE ∴=．
又ABE ?的周长AB AE BE =++，
ABE ∴?的周长AB AE DE AB AD =++=+． 又ABCD 的周长为20cm ， 10AB AD cm ∴+=
ABE ∴?的周长10cm =．
【点评】本题考查了平行四边形的性质 ． 平行四边形的对角线互相平分 ．
【例9】如图，ABC ?是直角三角形，且90ABC ∠=?，四边形BCDE 是平行四边形，E 为AC 中点，BD 平分ABC ∠，点F 在AB 上，且BF BC =．求证： （1）DF AE =； （2）DF AC ⊥．
【解答】证明：（1）延长DE 交AB 于点G ，连接AD ．
四边形BCDE 是平行四边形， //ED BC ∴，ED BC =．
点E 是AC 的中点，90ABC ∠=?， AG BG ∴=，DG AB ⊥． AD BD ∴=，
BAD ABD ∴∠=∠． BD 平分ABC ∠，
45ABD BAD ∴∠=∠=?，即45BDE ADE ∠=∠=?． 又BF BC =， BF DE ∴=．
∴在AED ?与DFB ?中，AD BD ADE DBF ED FB =??
∠=∠??=?
，
()AED DFB SAS ∴???，
AE DF ∴=，即DF AE =； （2）设AC 与FD 交于点O ． 由（1）知，AED DFB ???，
AED DFB ∴∠=∠， DEO DFG ∴∠=∠．
90DFG FDG ∠+∠=?， 90DEO EDO ∴∠+∠=?，
90EOD ∴∠=?，即DF AC ⊥．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全 等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰 当的判定条件．
题型3 平行四边形的判定
【例10】如图，已知：//AB CD ，BE AD ⊥，垂足为点E ，CF AD ⊥，垂足为点F ，并且AE DF =． 求证：四边形BECF 是平行四边形．
【解答】证明：
BE AD ⊥，CF AD ⊥，
90AEB DFC ∴∠=∠=?， //AB CD ， A D ∴∠=∠，
在AEB ?与DFC ?中， AEB DFC AE DF
A D ∠=∠??
=??∠=∠?
， ()AEB DFC ASA ∴???， BE CF ∴=．
BE AD ⊥，CF AD ⊥， //BE CF ∴．
∴四边形BECF 是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质．一组对边平行且相等的四边 形是平行四边形．
【例11】如图所示，以ABC ?的三边AB 、BC 、CA 在BC 的同侧作等边ABD ?、BCE ?、CAF ? 请说明：四边形ADEF 为平行四边形．
【解答】证明：
BCE ?、ACF ?、ABD ?都是等边三角形，
AB AD ∴=，AC CF =，BC CE =，BCE ACF ∠=∠， BCE ACE ACF ACE ∴∠-∠=∠-∠， 即BCA FCE ∠=∠，
在BCA ?和ECF ?中，BC CE BCA ECF AC CF =??
∠=∠??=?
，
()BCA ECF SAS ∴???， AB EF ∴=， AB AD =， AD EF ∴=，
同理：BDE BAC ???， DE AF ∴=，
∴四边形ADEF 是平行四边形．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质和平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质， 得出BCA ECF ???是解题关键．
【例12】如图1，ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，EF 过点O ，与AD ，BC 分别相交于点E ，F ，GH 过点O ，与AB ，CD 分别相交于点G ，H ，连接EG ，FG ，FH ，EH ． （1）求证：四边形EGFH 是平行四边形；
（2）如图2，若//EF AB ，//GH BC ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中与四边形AGHD 面积相等的所有平行四边形（四边形AGHD 除外）．
【解答】（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，
//AD BC ∴，
EAO FCO ∴∠=∠，
在OAE ?与OCF ?中EAO FCO AOE COF OA OC ∠=∠??
∠=∠??=?
，
OAE OCF ∴???， OE OF ∴=， 同理OG OH =，
∴四边形EGFH 是平行四边形； （2）解：与四边形AGHD 面积相等的所有平行四边形有GBCH ，ABFE ，EFCD ，
EGFH ；
四边形ABCD 是平行四边形， //AD BC ∴，//AB CD ， //EF AB ，//GH BC ，
∴四边形GBCH ，ABFE ，EFCD ，EGFH 为平行四边形， EF 过点O ，GH 过点O ， OE OF =，OG OH =，
GBCH ∴，ABFE ，EFCD ，EGFH ，ACHD 它们面积1
2
ABCD =
的面积，
∴与四边形AGHD 面积相等的所有平行四边形有GBCH ，ABFE ，EFCD ，
EGFH ． 【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形 的判定定理是解题的关键．
【例13】如图，已知矩形ABCD ，P 、R 分别是BC 和DC 上的点，E 、F 分别是PA ，PR 的中点．如果3DR =，4AD =，则EF 的长为 ．
【解答】解：四边形ABCD 是矩形，
ADR ∴?是直角三角形， 3DR =，4AD =，
5AR ∴=， E 、F 分别是PA ，PR 的中点，
11
5 2.522
EF AR ∴==?=．
故答案为：2.5．
【点评】本题属中等难度题目，涉及到矩形的性质，勾股定理的运用及三角形中位线的性质．
【例14】如图，在ABC ?中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，M ，N 是AC 的三等分点，EM ，
FN 的延长线相交于点D ．
求证：四边形ABCD 是平行四边形．
【解答】证明：连接BD 交AC 于O ，连结BM ，BN ，如图所示：
E 是AB 中点，AM MN =，
AE BE ∴=，EM 是ABN ?的一条中位线， //EM BN ∴，即//MD BN ， 同理可证//BM DN ，
∴四边形BNDM 是平行四边形． BO OD ∴=，MO ON =， 又AM NC =，
AM MO NC ON ∴+=+， 即AO OC =， 又BO OD =，
∴四边形ABCD 是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形是平行四边形是解决问题的关键．
第5关 多边形与平行四边形（题册部分）
【课后练1】一个正多边形的每一个内角为140?，求它的边数． 【解答】解：18014040?-?=?，
360409?÷?=． 故它的边数是9．
【课后练2】（1）如图1，计算下列五角星图案中五个顶角的度数和．
即：求A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠的大小．
（2）如图2，若五角星的五个顶角的度数相等，求1∠的大小． 【解答】解：（1）如图1，设BD 、AD 与CE 的交点为M 、N ；
MBE
?和NAC ?中，由三角形的外角性质知： DMN B E ∠=∠+∠，DNM A C ∠=∠+∠； DMN ?中，180DMN DNM D ∠+∠+∠=?， 故180A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠=?； （2）如图2，
五角星的五个顶角的度数相等， ∴3602725
?
∠=
=?， 11802108∴∠=?-∠=?．
【课后练3】平行四边形的一个角比它的邻角的 2 倍还大15?，则相邻两个角为( ) A ．30?，75? B ．40?，95? C ．50?，115? D ．55?，125?
【解答】解：四边形是平行四边形，
∴邻角互补，
∴设较小角等于x ，则另一个角为：215x +?， 故215180x x ++?=?，
解得：55x =?， 故215125x =?=?，
即相邻两角为55?，125?； 故选：D ．
【课后练4】如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 为对角线，6BC =，BC 边上的高为4，则图中阴影部分的面积为( )
A ．3
B ．6
C ．12
D ．24
【解答】解：通过观察结合平行四边形性质得：1
64122
S =
??=阴影． 故选：C ．
【课后练5】ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则图中共有平行四边形的个数是 ．
【解答】解：图中平行四边形有四边形ABCD ，四边形AECG ，四边形BHDF ，四边形MNQP ，
理由：四边形ABCD 是平行四边形（已知），
AB CD =，AE EB =，CG GD =， //AE CG ∴，AE CG =，
∴四边形AECG 是平行四边形，同法可证四边形BHDF 是平行四边形， //BH DF ∴，//AG EC ，
∴四边形MNQP 是平行四边形． 故答案为4．
【课后练6】如图，在ABCD 中，点E 是AB 边的中点，DE 与CB 的延长线交于点F ． （1）求证：ADE BFE ???；
（2）若DF 平分ADC ∠，连接CE ．试判断CE 和DF 的位置关系，并说明理由．
【解答】（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，
//AD BC ∴．
又点F 在CB 的延长线上，
//AD CF ∴， 12∴∠=∠．
点E 是AB 边的中点， AE BE ∴=．
在ADE ?与BFE ?中， 12DEA FEB AE BE ∠=∠??
∠=∠??=?
， ()ADE BFE AAS ∴???；
（2）解：CE DF ⊥．理由如下： 如图，连接CE ．
由（1）知，ADE BFE ???，
DE FE ∴=，即点E 是DF 的中点，12∠=∠． DF 平分ADC ∠， 13∴∠=∠， 32∴∠=∠， CD CF ∴=， CE DF ∴⊥．
【课后练7】如图，AD BD =，AE EC =，延长DE 到F ，使E F D E =，连接AF 、FC 、CD ，求证：四边形DBCF 是平行四边形．
【解答】证明：
AD BD =，AE EC =，
//DE BC ∴，
AE EC =，EF DE =，
∴四边形ADCF 是平行四边形， //AD FC ∴， 即//BD FC ， 又//DF BC ，
∴四边形DBCF 是平行四边形．
【课后练8】如图所示，已知AD 是ABC ?的中线，//DE AB ，且DE AB =，连结AE ，EC ，求证：四边形ADCE 是平行四边形．
【解答】证明：//DE AB ，且DE AB =，
∴四边形ABDE 是平行四边形， AE BD ∴=，//AE BC ， AD 是ABC ?的中线， BD CD ∴=， AE CD ∴=，
∴四边形ADCE 是平行四边形．
【课后练9】如图，四边形ABCD 对角线交于点O ，且O 为AC 中点，AE CF =，//DF BE ，求证：四边形ABCD 是平行四边形．
【解答】证明：
O 为AC 中点，
OA OC ∴=， AE CF =， OE OF ∴=， //DF BE ， E F ∴∠=∠，
在BOE ?和DOF ?中，E F OE OF
BOE DOF ∠=∠??
=??∠=∠?
，
()BOE DOF ASA ∴???， OB OD ∴=， 又OA OC =，
∴四边形ABCD 是平行四边形．
【课后练10】在ABCD 中，分别以AD 、BC 为边向内作等边ADE ?和等边BCF ?，连接BE 、
DF ．求证：四边形BEDF 是平行四边形．
【解答】证明：四边形ABCD 是平行四边形，
CD AB ∴=，AD CB =，DAB BCD ∠=∠． 又ADE ?和CBF ?都是等边三角形， DE BF ∴=，AE CF =． 60DAE BCF ∠=∠=?．
DCF BCD BCF ∠=∠-∠， BAE DAB DAE ∠=∠-∠， DCF BAE ∴∠=∠．
()DCF BAE SAS ∴???．
DF BE ∴=．
∴四边形BEDF 是平行四边形．
【课后练11】已知，如图所示，在ABC ?中，E 是AB 的中点，CD 平分ACB ∠，AD CD ⊥
于
人教版八年级上册数学轴对称知识点 第十二章轴对称 1.如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形;这条直线叫做对称轴。 2.轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 3.角平分线上的点到角两边距离相等。 4.线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。 5.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 6.轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。 7.画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。 8.点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，-y) 点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(-x，y) 点(x，y)关于原点轴对称的点的坐标为(-x，-y) 9.等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，(等边对等角) 等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为三线合一。
10.等腰三角形的判定：等角对等边。 11.等边三角形的三个内角相等，等于60， 12.等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等腰三角形。 有一个角是60的等腰三角形是等边三角形 有两个角是60的三角形是等边三角形。 13.直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。 与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。可见，“教师”一说是比较晚的事了。如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。但随着素质教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。其实,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。14.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
初二上册数学知识点汇总完整版！！！ 初二数学上上册知识点 第十一章三角形 一、知识框架： 二、知识概念： 1、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2、三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 3、高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。 4、中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。 5、角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 6、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。
7、多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。 8、多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。 9、多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 10、多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。 11、正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形。 12、平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。 13、公式与性质： （1）三角形的内角和：三角形的内角和为180°（2）三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。（3）多边形内角和公式：边形的内角和等于·180°（4）多边形的外角和：多边形的外角和为360°（5）多边形对角线的条数：①从边形的一个顶点出发可以引条对角线，把多边形分成个三角形。②边形共有条对角线。 初二数学上上册知识点 第十二章全等三角形
八年级数学（上）知识点 人教版八年级上册主要包括三角形、全等三角形、轴对称、整式的乘除与分解因式和分式五个章节的内容。 第十一章三角形 一．知识框架 二．知识概念 1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。 4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。 5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。 6.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。 7.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。 8.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 9.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。 10.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。 11.公式与性质 三角形的内角和：三角形的内角和为180° 三角形外角的性质： 性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 多边形内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）·180° 多边形的外角和：多边形的内角和为360°。 多边形对角线的条数：（1）从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分词（n-2）个三角形。
轴对称 【知识脉络】 【基础知识】 Ⅰ. 轴对称 （1）轴对称图形 如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴. 轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. （2）轴对称 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质： ①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形； ②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上. （3）轴对称图形与轴对称的区别和联系 区别：轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的. 联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形． （4）线段的垂直平分线 线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. Ⅱ. 作轴对称图形 1.作轴对称图形 （1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这
些点，就可以得到原图形的轴对称图形； （2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形. 2.用坐标表示轴对称 点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,－y）；点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（－x,y）；点（x,y）关于原点对称的点的坐标为（－x,－y）. Ⅲ. 等腰三角形 1.等腰三角形 （1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形. （2）等腰三角形性质 ①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”； ②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°. （3）等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）. 2.等边三角形 （1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形. （2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°. （3）等边三角形的判定： ①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形. 3.直角三角形的性质定理： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. Ⅳ. 最短路径
苏教版《数学》（八年级上册）知识点总结 第一章轴对称 1 轴对称图形和关于直线对称的两个图形 2 轴对称的性质 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连的线段的垂直平分线； 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等； 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 3 用坐标表示轴对称 点（x，y）关于x轴对称的点的坐标是(x,-y)，关于y轴对称的点的坐标是(-x,y)，关于原点对称的点的坐标是(-x,-y). 4 等腰三角形 等腰三角形的两个底角相等；（等边对等角） 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合；（三线合一） 一个三角形的两个相等的角所对的边也相等。（等角对等边） 5 等边三角形的性质和判定 等边三角形的三个内角都相等，都等于60度； 三个角都相等的三角形是等边三角形； 有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形； 推论： 直角三角形中，如果有一个锐角是30度，那么他所对的直角边等于斜边的一半。在三角形中，大角对大边，大边对大角。 第二章勾股定理、平方根
一、勾股定理： 1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 a 2＋ b 2＝ c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 A B C a b c 弦股 勾 勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个 三角形是直角三角形。 2. 勾股数：满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么 ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。） *附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13 3. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2 +b 2 =c 2 ，那么这个三角形是直角 三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五） 其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。 （2）有两个角互余的三角形是直角三角形。 用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是： （1）确定最大边（不妨设为c ）； （2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形； 若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边） 4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 勾股定理和 平方根 勾股定理 平方根 立方根 实数 近似数、 有效数字 判定直角三角形 勾股定理的验证 定义、性质 开平方运算 开立方运算 定义、性质
图1 A B C D 初二数学平行四边形专题练习 1．如果边长分别为4cm和5cm的矩形与一个正方形的面积相等，那么这个正方 形的边长为______cm． 2．（08贵阳市）如图1，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为 cm2． 3.若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件 (写一个即可)，使四边形ABCD是菱形． 4．在平行四边形ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△ABO的周长为17， AB＝6，那么对角线AC＋BD＝ 5．以正方形ABCD的边BC 为边做等边△BCE，则∠AED的度数 为 . 6．已知菱形ABCD的边长为6，∠A＝60°，如果点P是菱形内一点，且PB＝PD ＝2那么AP的长为． 7．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A(－2，5)， B(－3，－1)，C(1，－1)，在第一象限内找一点D，使四边形 ABCD是平行四边形，那么点D的坐标是． 二、选择题（每题3分，共30分） 8．如图2在平行四边形ABCD中，∠B=110°，延长AD至F，延长CD至E，连结 EF，则∠E＋∠F＝( ) A．110° B．30° C．50°D．70° 图2 图3 图4 9．菱形具有而矩形不具有的性质是 ( ) A．对角相等B．四边相等 C．对角线互相平分D．四角相等 10．如图3所示，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的 中点．若OE=3 cm，则AB的长为 ( ) A．3 cm B．6 cm C．9 cm D．12 cm 11．已知：如图4，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为边 AB、BC、CD、DA的中点．若AB＝2，AD＝4， 则图中阴影部分的面积为 ( ) A．8 B．6 C．4 D．3 12．将两块能完全重合的两张等腰直角三角形纸片拼成下列图形：①平行四边形 （不包括菱形、矩形、正方形）②矩形③正方形④等边三角形⑤等腰直角三角形 E A F D C B H G
初中数学必考知识点总结 一、基本知识 ㈠、数与代数 A、数与式： 1、有理数 有理数： ①整数→正整数/0/负整数 ②分数→正分数/负分数 数轴： ①画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。 ②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。 ③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两 个数互为相反数。在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。 ④数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于 负数。 绝对值： ①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。 ②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。两个负数 比较大小，绝对值大的反而小。 有理数的运算： 加法： ①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。 ②异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 ③一个数与0相加不变。 减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 乘法：
①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。 ②任何数与0相乘得0。 ③乘积为1的两个有理数互为倒数。 除法： ①除以一个数等于乘以一个数的倒数。 ②0不能作除数。 乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A叫底数，N叫次数。混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。 2、实数 无理数：无限不循环小数叫无理数。 平方根： ①如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫做A的算术平方根。 ②如果一个数X的平方等于A，那么这个数X就叫做A的平方根。 ③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。 ④求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方数。 立方根： ①如果一个数X的立方等于A，那么这个数X就叫做A的立方根。 ②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。 ③求一个数A的立方根的运算叫开立方，其中A叫做被开方数。 实数： ②实数分有理数和无理数。 ②在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。 ③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。 3、代数式 代数式：单独一个数或者一个字母也是代数式。 合并同类项：
初二数学知识点总结 函数的定义，函数的定义域、值域、表达式，函数的图像2 一次函数和正比例函数，及其表达式、增减性、图像3 从函数的观点看方程、方程组和不等式如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。形如y=kx+b（k，b 是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。正比例函数是一种特殊的一次函数。当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小。 一、、常量、变量在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量，数值始终不变的量叫做常量。 二、函数的概念函数的定义：一般的，在一个变化过程中如有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说x是自变量，y是x的函数、 三、函数中自变量取值范围的求法（1）用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。（2）用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数。（3）用奇次根式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。 用偶次根式表示的函数，自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一切实数。（4）若解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取值范围，然后再求其公共范围，即为自变量
的取值范围。（5）对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问题有意义。 四、函数图象的定义一般的，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么在坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。 五、用描点法画函数的图象的一般步骤 1、列表：表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。注意：列表时自变量由小到大，相差一样，有时需对称。 2、描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。 3、连线：按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来。六、函数有三种表示形式（1）列表法（2）图像法（3）解析式法七、正比例函数与一次函数的概念：一般地，形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。 一般地，形如y=kx+b (k,b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数。、当b =0 时,y=kx+b 即为 y=kx，所以正比例函数是一次函数的特例、。八、正比例函数的图象与性质图象：正比例函数y= kx (k 是常数，k≠0) 的图象是经过原点的一条直线，称之为直线y= kx 。 性质：当k>0时,直线y= kx经过第三，一象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；当k<0时,直线y= kx经过二,四
八年级下册数学平行四边形练习题及答案 一、填空： 1、对角线＿＿＿＿＿平行四边形是矩形。 2、如图⑴已知O是□ABCD的对角线交点，AC＝24，BD＝38，AD＝14，那么△OBC的周长等于＿＿＿＿＿。 ⑴ ⑶ ⑷ ⑵ 3、在平行四边形ABCD中，∠C＝∠B+∠D,则∠A＝＿＿＿，∠D＝＿＿＿。、一个平行四边形的周长为70cm，两边的差是10cm，则平行四边形各边长为＿＿＿＿cm。 5、已知菱形的一条对角线长为12cm，面积为30cm2，则这个菱形的另一条对角线长为__________cm。 6、菱形ABCD中，∠A＝60o，对角线BD长为7cm，则此菱形周长＿＿＿＿＿cm。 7 8、如图2矩形ABCD的两条对角线相交于O,∠AOB ＝60o,AB＝8,则矩形对角线的长＿＿＿。 9、如图3,等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，BC＝8，AB＝6，AD＝5则△CDE周长＿＿＿。
10、正方形的对称轴有＿＿＿条 11、如图4，BD是□ABCD的对角线，点E、F在BD 上，要使四边形AECF是平行四边形，还需增加的一个条件是＿＿＿＿＿＿ 12、要从一张长为40cm，宽为20cm的矩形纸片中，剪出长为18cm，宽为12cm的矩形纸片，最多能剪出＿＿＿＿＿＿张。 二、选择题： 13、在□ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是 A、1：2：3： B、1：2：2：1 C、2：2：1：1 D、2：1：2：1 14、菱形和矩形一定都 具有的性质是A、对角线相等B、对角线互相垂直C、对角线互相平分D、对角线互相平分且相等15、下列命题中的假命题是A、等腰梯形在同一底边上的两个底角相等B、对角线相等的四边形是等腰梯形C、等腰梯形是轴对称图形 D、等腰梯形的对角线相等 16、四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，能判定它是正方形的是A、AO＝OC，OB＝OD B、AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD C、AO＝OC，OB＝OD，AC⊥BD D、AO＝OC＝OB＝OD 17、给出下列四个命题 ⑴一组对边平行的四边形是平行四边形⑵一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形
轴对称章节知识点总结复习 轴对称图形 如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，?这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴． 有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴． 轴对称 有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，?那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称． 图形轴对称的性质 如果两个图形成轴对称，?那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 轴对称与轴对称图形的区别 轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，?成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称． 线段的垂直平分线 （1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，?叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）．
（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，?与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合． 轴对称变换 由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．? 成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到． 轴对称变换的性质 （1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样 （2）?经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点． （3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分． 作一个图形关于某条直线的轴对称图形 （1）作出一些关键点或特殊点的对称点． （2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形． 关于坐标轴对称 点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，－y） 点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（－x，y） 关于原点对称
1 / 1 初二数学平行四边形压轴：几何证明题 1.在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，顺次连接EF 、FG 、GH 、HE ． （1）请判断四边形EFGH 的形状，并给予证明； （2）试探究当满足什么条件时，使四边形EFGH 是菱形，并说明理由。 2.如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=10，将△ABC 绕点B 沿顺时针方向旋转90°得到△A 1BC 1． （1）线段A 1C 1的长度是 ，∠CBA 1的度数是 ． （2）连接CC 1，求证：四边形CBA 1C 1是平行四边形． 3. 如图，矩形ABCD 中，点P 是线段AD 上一动点，O 为BD 的中点， PO 的延长线交BC 于Q. （1）求证：OP=OQ ； （2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P 从点A 出发，以1厘米/秒的速度向D 运动（不与D 重合）.设点P 运动时间为t 秒，请用t 表示PD 的长；并求t 为何值时，四边形PBQD 是菱形． 4.已知：如图，在□ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将△ABE 沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得△GFC. ⑴求证：BE =DG ； ⑵若∠B =60?，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论. 5. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 的中点，连结AE 、BE ，BE ⊥AE ，延长AE 交BC 的延长线于点F ． 求证：（1）FC ＝AD ； （2）AB ＝BC ＋AD ． 6.如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE. （1）求证：△ABE ≌△ACE （2）当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由. B F C G D H B A 1 C 1A C A D G C B F E A Q C D P B O A B E D A D E F C B
初二数学应知应会知识点第一章一次函 数 1 函数的定义,函数的定义域、值域、表达式,函数的图像 2 一次函数和正比例函数,包括他们的表达式、增减性、图像 3 从函数的观点看方程、方程组和不等式 第二章数据的描述 1 了解几种常见的统计图表:条形图、扇形图、折线图、复合条形图、直方图,了解各种图表的特点 条形图特点: (1)能够显示出每组中的具体数据; (2)易于比较数据间的差别 扇形图的特点: (1)用扇形的面积来表示部分在总体中所占的百分比; (2)易于显示每组数据相对与总数的大小 折线图的特点; 易于显示数据的变化趋势 直方图的特点:
(1)能够显示各组频数分布的情况; (2)易于显示各组之间频数的差别 2 会用各种统计图表示出一些实际的问题 第三章全等三角形 1 全等三角形的性质: 全等三角形的对应边、对应角相等 2 全等三角形的判定 边边边、边角边、角边角、角角边、直角三角形的HL定理 3 角平分线的性质 角平分线上的点到角的两边的距离相等; 到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 第四章轴对称 1 轴对称图形和关于直线对称的两个图形 2 轴对称的性质 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线; 如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连的线段的垂直平分线;
线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等; 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 3 用坐标表示轴对称 点(x,y)关于x轴对称的点的坐标是(x,-y),关于y轴对称的点的坐标是(-x,y),关于原点对称的点的坐标是(-x,-y). 4 等腰三角形 等腰三角形的两个底角相等;(等边对等角) 1 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合;(三线合一) 一个三角形的两个相等的角所对的边也相等。(等角对等边) 5 等边三角形的性质和判定 等边三角形的三个内角都相等,都等于60度; 三个角都相等的三角形是等边三角形; 有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形; 推论: 直角三角形中,如果有一个锐角是30度,那么他所对的直角边等于斜边的一半。在三角形中,大角对大边,大边对大角。
一、与三角形有关的线段 1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形 2、等边三角形：三边都相等的三角形 3、等腰三角形：有两条边相等的三角形 4、不等边三角形：三边都不相等的三角形 5、在等腰三角形中，相等的两边都叫腰，另一边叫底，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角 6、三角形分类：不等边三角形 等腰三角形：底边和腰不等的等腰三角形 等边三角形 7、三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 注：1）在实际运用中，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形2）在实际运用中，已经两边，则第三边的取值范围为：两边之差<第三边<两边之和3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，注意检查每个答案能否组成三角形 8、三角形的高：从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC 的边BC上的高 9、三角形的中线：连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线 注：两个三角形周长之差为x，则存在两种可能：即可能是第一个△周长大，也有可能是第一个△周长小10、三角形的角平分线：画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线 11、三角形的稳定性，四边形没有稳定性 二、与三角形有关的角 1、三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180度。证明方法：利用平行线性质 2、三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角 3、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 4、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角 5、三角形的外角和为360度 6、等腰三角形两个底角相等
第一册 第一章有理数 1.1正数和负数 以前学过的0以外的数前面加上负号“一”的书叫做负数。 以前学过的0以外的数叫做正数。 数0既不是正数也不是负数，0是正数与负数的分界。 在同一个问题中，分别用正数和负数表示的量具有相反的意义 1.2有理数 1.2.1有理数 正整数、0、负整数统称整数，正分数和负分数统称分数。整数和分数统称有理数。 1.2.2数轴 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。数轴的作用：所有的有理数都可以用数轴上的点来表达。注意事项：⑴数轴的原点、正方向、单位长度三要素，缺一不可。 ⑵同一根数轴，单位长度不能改变。 一般地，设是一个正数，则数轴上表示a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。 1.2.3相反数 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。数轴上表示相反数的两个点关于原点对称。 在任意一个数前面添上“-”号，新的数就表示原数的相反数。 1.2.4绝对值 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。 一个正数的绝对值是它的本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。 比较有理数的大小：⑴正数大于0，0大于负数，正数大于负数。 ⑵两个负数，绝对值大的反而小。 1.3有理数的加减法 1.3.1有理数的加法 有理数的加法法则： ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 ⑵绝对值不相等的饿异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 ⑶一个数同0相加，仍得这个数。 两个数相加，交换加数的位置，和不变。 加法交换律：a+ b= b+ a 三个数相加，先把前面两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 加法结合律：(a + b) + c = a+ (b + c)
初二数学知识点归纳总结 初二数学知识点归纳总结 （一）运用公式法： 我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。于是有：a2-b2=(a+b)(a- b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2。如果把乘法公式反过来， 就可以用来把某些多项式分解因式。这种分解因式的方法叫做运用 公式法。 （二）平方差公式： （1）式子：a2-b2=(a+b)(a-b) （2）语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的 差的积。这个公式就是平方差公式。 （三）因式分解： （1）．因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一 步分解。 （2）．因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。 （四）完全平方公式： （1）把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2这就是说，两个 数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个 数的和（或者差）的平方。把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子 叫完全平方式。上面两个公式叫完全平方公式。 （2）完全平方式的形式和特点
①项数：三项 ②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。 ③有一项是这两个数的积的两倍。 （3）当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。 （4）完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。这里只要将多项式看成一个整体就可以了。 （5）分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。 （五）分组分解法： 我们看多项式am+an+bm+bn，这四项中没有公因式，所以不能用 提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式．如果我们把它分 成两组(am+an)和(bm+bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别 分解因式．原式=(am+an)+(bm+bn)＝a(m+n)+b(m+n)，做到这一步不 叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义．但不难看出 这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以原式 =(am+an)+(bm+bn)＝a(m+n)+b(m+n)＝(m+n)?(a+b)． 这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．从上面的例子可以看出，如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一 个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式． （六）提公因式法： 在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式．当多项式各项的公因式是一个 多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这 个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式；当多项式各项的公 因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直 到可确定多项式的公因式． 运用公式x2+(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)进行因式分解要注意：
初二数学知识点与常见 题型总结 LEKIBM standardization office【IBM5AB- LEKIBMK08- LEKIBM2C】
知识点复习与基本题型总结 1．平行四边形的定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 这个定义包含两层意义：①四边形；②两组对边分别平行 2．对角线的定义 平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫做它的对角线 3．平行四边形的性质 ①从边看：平行四边形的对边平行且相等 ②从角看：平行四边形的对角相等，邻角互补 ③从对角线看：平行四边形的对角线互相平分，互相平分是指两条线段有公共的中点 4．平行四边形的面积 平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． 5.平行四边形的判别方法 ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ③两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ④对角线互相平分的四边形是平行四边形 ⑤两组对角分别相等的四边形是平行四边形 6.平行四边形的性质与判定的区别 平行四边形的性质是指平行四边形的边,角,对角线等所具有的大小或位置之间的关系,而平行四边形的判定是指四边形具有什么条件就是平行四边形
7.矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形是矩形 8.矩形的性质 ①具有平行四边形的一切性质 ②矩形的四个角都是直角 ③矩形的对角线相等 ④矩形是轴对称图形,它有两条对称轴 9.矩形的判定 ①有一个内角是直角的平行四边形是矩形 ②对角线相等的平行四边形是矩形 ③有三个角是直角的四边形是矩形 另外还有对角线相等且互相平分的四边形是矩形 10.直角三角形的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 11.矩形对角线产生的三角形的特点 矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形,两条对角线把矩形分成四个小的全等的等腰三角形 12.有关矩形面积的计算 ①面积公式:矩形面积=长?宽 ②如图.矩形ABCD 的两条对角线相交于O ,则14 ABO BCO CDO ADO S S S S S ????====矩形ABCD
图1 A B C D 初二数学平行四边形专题练习 1．如果边长分别为4cm 和5cm 的矩形与一个正方形的面积相等，那么这个正方形的边长为______cm ． 2．（08贵阳市）如图1，正方形ABCD 的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积为 cm 2． 3.若四边形ABCD 是平行四边形，请补充条件 (写一个即可)，使四边形ABCD 是菱形． 4．在平行四边形ABCD 中，已知对角线AC 和BD 相交于点O ，△ABO 的周长为17，AB ＝6，那么对角线AC ＋BD ＝ 5．以正方形ABCD 的边BC 为边做等边△BCE ，则∠AED 的度数 为 . 6．已知菱形ABCD 的边长为6，∠A ＝60°，如果点P 是菱形内一点，且PB ＝PD ＝2那么AP 的长为 ． 7．在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别是A(－2，5)， B(－3，－1)，C(1，－1)，在第一象限内找一点D ，使四边形 ABCD 是平行四边形，那么点D 的坐标是 ． 二、选择题（每题3分，共30分） 8．如图2在平行四边形ABCD 中，∠B=110°，延长AD 至F ，延长CD 至E ，连结EF ，则∠E ＋∠F ＝( ) A ．110° B ．30° C ．50° D ．70° 图2 图3 图4 9．菱形具有而矩形不具有的性质是 ( ) A ．对角相等 B ．四边相等 C ．对角线互相平分 D ．四角相等 10．如图3所示，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 是BC 的中点．若OE=3 cm ，则AB 的长为 ( ) A ．3 cm B ．6 cm C ．9 cm D ．12 cm 11．已知：如图4，在矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边 AB 、BC 、CD 、DA 的中点．若AB ＝2，AD ＝4， 则图中阴影部分的面积为 ( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．3 12．将两块能完全重合的两张等腰直角三角形纸片拼成下列图形：①平行四边形（不包括菱形、矩形、正方形）②矩形③正方形④等边三角形⑤等腰直角三角形 ( ) A ．①③⑤ B ．②③⑤ C ．①②③ D ．①③④⑤ 13．如图5所示，是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所示(单位：mm)，则该主板的周长是 ( ) A ．88 mm B ．96 mm C ．80 mm D ．84 mm 图5 图6 14、（08甘肃省白银市）如图6所示，把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分重合，若150∠=o ，则AEF ∠=（ ） E A F D C B H G
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初二数学第十一章三角形 知识点归纳 一、与三角形有关的线段 1.三角形的定义：不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角，三角形有三个顶点，三个角，三条边。 2.等边三角形：三边都相等的三角形。 3.等腰三角形：有两条边相等的三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角，两个底角相等。 4.不等边三角形：三边都不相等的三角形。 5.三角形分类： （1）按边分：不等边三角形 等腰三角形：底边和腰不等的等腰三角形 等边三角形 （2）按角分：锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 6.三角形三边的性质：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 注：1）在实际运用中，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形 2）在实际运用中，已知两边，则第三边的取值范围为：两边之差＜第三边＜两边之和 3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，注意检查每个答案能否组成三角形 7.三角形的高：从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高 8.三角形的中线：连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线 注：两个三角形周长之差为x，则存在两种可能：即可能是第一个△周长大，也有可能是第一个△周长小 9.三角形的角平分线：画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线 10.三角形的稳定性，四边形没有稳定性 二、与三角形有关的角 1.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180度。
轴对称知识点总结 1、轴对称图形： 一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。 这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。 2、轴对称： 两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与另一个图形完全重合。 这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。 3、轴对称图形与轴对称的区别与联系： （1）区别。轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系” ；轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。 （2）联系。把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称；把轴对称的“两 个图形看作一个整体”便是轴对称图形。 4、轴对称的性质： （1）成轴对称的两个图形全等。 （2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。 （3）对应点到对称轴的距离相等。 （4）对应点的连线互相平行。 5、线段的垂直平分线： （1）定义。经过线段的中点且与线段垂直的直 线，叫做线段的垂直平分线。 如图2， ∵CA=CB ， 直线m ⊥AB 于C ， ∴直线m 是线段AB 的垂直平分线。 （2）性质。线段垂直平分线上的点与线段两端 点的距离相等。 如图3， ∵CA=CB ， 直线m ⊥AB 于C ， 点P 是直线m 上的点。 ∴PA=PB 。 （3）判定。 与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。 如图3，∵PA=PB ， 直线m 是线段AB 的垂直平分线， ∴点P 在直线m 上 。 6、等腰三角形： （1）定义。有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。 ①相等的两条边叫做腰。 第三条边叫做底。 ②两腰的夹角叫做顶角。 ③腰与底的夹角叫做底角。 说明：顶角=180°- 2底角 底角=顶角顶角21 -902180?=-? 可见，底角只能是锐角。 （2）性质。 ①等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是“底边的垂直平分线” ，只有一条。 ②等边对等角。 如图5，在△ABC 中 ∵AB=AC ∴∠B=∠C 。 ③三线合一。 （3）判定。 ①有两条边相等的三角形是等腰三角形。 如图5，在△ABC 中， ∵AB=AC ∴△ABC 是等腰三角形 。 ②有两个角相等的三角形是等腰三角形。 如图5，在△ABC 中 ∵∠B=∠C ∴△ABC 是等腰三角形 。 7、等边三角形： （1）定义。三条边都相等的三角形，叫做等边三角形。 说明：等边三角形就是腰和底相等的等腰三角形，因此，等边三角形是特殊的等腰三角形。 （2）性质。 ①等边三角形是轴对称图形，其对称轴是“三边的垂直平分线” ，有三条。 ②三条边上的中线、高线及三个内角平分线都相交于一点。 m C A B D' D C' B' A' K J I H 图1 图2 m C A B P 图3 底边 底角底角顶 角腰 腰D C B A 图5 图4