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第7讲函数的图象
一、考基自主导学
基础梳理
1．常见函数的图象
常见函数的图象：一次函数、二次函数、正比例函数，反比例函数、指数函数、对数函数．
2．图象的变换
(1)平移变换
①水平平移：y＝f(x±a)(a＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向(＋)或向(－)平移单位而得到．
②竖直平移：y＝f(x)±b(b＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向(＋)或向(－)平移单位而得到．
(2)对称变换
①y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称．
②y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于对称．
③y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于对称．
④y＝f－1(x)与y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称．
(3)翻折变换
①作为y＝f(x)的图象，将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，得到y＝的图象；
②作为y＝f(x)在y轴上及y轴右边的图象部分，并作y轴右边的图象关于y轴对称的图象，即得y
＝ 的图象． (4)伸缩变换
①y ＝af (x )(a ＞0)的图象，可将y ＝f (x )图象上每点的纵坐标伸(a ＞1时)缩(a ＜1时)到原来的 倍． ②y ＝f (ax )(a ＞0)的图象，可将y ＝f (x )的图象上每点的横坐标伸(a ＜1时)缩(a ＞1时)到原来的1
a .
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一条规律
对于左、右平移变换，可熟记口诀：左加右减．但要注意加、减指的是自变量，否则不成立． 画函数图象的方法有：
(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出；
(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响；
(3)描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论． 双基自测
1．在直角坐标系中，画出函数y ＝|x －1|的图象．
2．为了得到函数y ＝lg x ＋3
10的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点向________平移3个单位
长度，再向________平移________个长度单位．
3．已知函数y ＝log 2x 与y ＝kx 的图象有公共点A ，且点A 的横坐标为1
2，则k ＝________.
4．当x ∈[n ，n ＋1)，(n ∈N )时，f (x )＝n －2则方程f (x )＝log 2x 根的个数为________． 5．函数y ＝3x －1
x ＋2
的图象关于________对称．
二、考向探究导析
考向一 作函数的图象
【例1】?分别画出下列函数的图象．
(1)y ＝|x 2
－4x ＋3|； (2)y ＝2x ＋1x ＋1；
(3)y ＝10|lg x |.
[审题视点] 先化简函数的解析式，再利用基本初等函数的图象通过图象变换画出． 解 (1)先画函数y ＝x 2－4x ＋3的图象，再将其x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，如图(1)．
(2)y ＝2x ＋1x ＋1＝x ＋－1x ＋1＝2－1x ＋1
，
可由函数y ＝－1
x 向左平移1个单位，再向上平移2个单位，如图(2)．
(3)y ＝10|lg x |＝????
?
x ，x ≥1，1x
，0＜x ＜1，如图(3)．
方法总结：(1)熟知一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数等函数的图象，再掌握图象变换的规律作图．
(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．
【训练1】 分别画出下列函数的图象． (1)y ＝x 2－4|x |＋3； (2)y ＝|log 2(x ＋1)|.
考向二 函数图象的变换问题
【例2】说明由函数y ＝2x 的图象经过怎样的图象变换能得到函数y ＝2－x －3
＋1的图象．
[审题视点] 解答本题可以从两种方法出发 (1)先平移，再作对称变换． (2)先对称变换再进行平移变换．
解 法一 (1)将函数y ＝2x 的图象向右平移3个单位，得到函数y ＝2x －3
的图象；
(2)作出函数y ＝2x －3
的图象关于y 轴对称的图象，得到函数y ＝2
－x －3
的图象；
(3)把函数y ＝2
－x －3
的图象向上平移1个单位，得到函数y ＝2
－x －3
＋1的图象．
法二 (1)作出函数y ＝2x 的图象关于y 轴的对称图象，得到y ＝2－
x 的图象；
(2)把函数y ＝2－
x 的图象向左平移3个单位，得到y ＝2
－x －3
的图象；
(3)把函数y ＝2
－x －3
的图象向上平移1个单位，得到函数y ＝2－x －3
＋1的图象．
方法总结：变换法作图是应用基本函数的图象，通过平移、伸缩、对称、翻折等变换，作用相关函数的图象．应用变换法作图，要求我们熟记基本函数的图象及性质，准确把握基本函数的图象特征． 【训练2】 定义：若函数 f (x )的图象经过变换T 后所得的图象对应的函数与f (x )的值域相同，则称变换T 是f (x )的同值变换，下面给出了四个函数与对应的变换： ①f (x )＝(x －1)2，T ：将函数f (x )的图象关于y 轴对称； ②f (x )＝2x －
1－1，T ：将函数f (x )的图象关于x 轴对称；
③f (x )＝x x ＋1
，T ：将函数f (x )的图象关于点(－1,1)对称．
其中T 是f (x )的同值变换的有________(写出所有符合题意的序号)．
考向三 函数图象的应用
【例3】直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围是________． [审题视点] 分别画出y ＝1与y ＝x 2－|x |＋a 的图象，观察有四个交点的条件．
解析 如图，在同一直角坐标系内画出直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a ，观察图象可知，a 的取值必
须满足?????
a ＞1，4a －14＜1，解得1＜a ＜5
4.
答案 ????1，5
4
方法总结：(1)有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值．
(2)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
【训练3】 若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a ＞0，a ≠1)的图象有两个公共点，则实数a 的取值范围是________．
三、活页限时训练
A 级 基础达标演练
一、填空题(每小题5分，共35分)
1．把函数f (x )＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数解析式是________．
2．函数f (x )＝x ＋1
x
的图象的对称中心为________．
3．已知f (x )＝????13x
，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )，则g (x )的表达式为____． 4．(★)设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]．若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如右图，则不等式f (x )＜0的解集是________．
5．(★)已知函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，则函数y ＝f (x )与y ＝log 5x 的图象交点的个数为________．
6．若函数f (x )在区间[－2,3]上是增函数，则函数f (x ＋5)的单调递增区间是________． 7．设函数f (x )＝x |x |＋bx ＋c ，给出下列命题： ①b ＝0，c ＞0时，方程f (x )＝0只有一个实数根； ②c ＝0时，y ＝f (x )是奇函数； ③方程f (x )＝0至多有两个实根．
上述三个命题中所有正确命题的序号为________．
二、解答题(每小题15分，共45分)
8．利用函数图象讨论方程|1－x |＝kx 的实数根的个数．
9．已知函数f(x)＝1－x2，g(x)＝x＋2，若方程f(x＋a)＝g(x)有两不同实根，求a的取值范围．
10．(★)已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|.
(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；
(2)若关于x的方程f(x)－a＝x至少有三个不相等的实数根，求实数a的取值范围．
B级综合创新备选
一、填空题(每小题5分，共30分)
1．设f(x)表示－x＋6和－2x2＋4x＋6中较小者，则函数f(x)的最大值是________．
2．甲、乙二人沿同一方向去B地，途中都使用两种不同的速度v1与v2(v1＜v2)．甲一半的路程使用速度v1，另一半的路程使用速度v2；乙一半时间使用速度v1，另一半的时间使用速度v2.关于甲、乙二人从A地到达B地的路程与时间的函数图象及关系，有下面图中4个不同的图示分析(其中横轴t 表示时间，纵轴s表示路程)，则其中可能正确的图示分析为________．
3．任取x 1，x 2∈(a ，b )，且x 1≠x 2，若f ????x 1＋x 22＞1
2[f (x 1)＋f (x 2)]，则称f (x )是(a ，b )上的凸函数．在下列图象中，是凸函数图象的有________．
4．若直线x ＝1是函数y ＝f (2x )的图象的一条对称轴，则f (3－2x )的图象关于直线________对称． 5．若0＜a ＜1，则函数y ＝log a (x ＋5)的图象不经过第____象限．
6．已知定义在区间[0,1]上的函数y ＝f (x )，图象如图所示．对满足0＜x 1＜x 2＜1的任意x 1，x 2，给出下列结论：
①f (x 1)－f (x 2)＞x 1－x 2；
②x 2f (x 1)＞x 1f (x 2)； ③
f (x 1)＋f (x 2)2
＜f
????
x 1＋x 22. 其中正确结论的序号是________．
二、解答题(每小题15分，共30分)
7．已知函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，且x ＞0时，f (x )＝x 2－2x ＋3，试求f (x )在R 上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间．
8．已知函数f (x )＝－a
a x ＋a ，(a ＞0，a ≠1)．
(1)证明函数y ＝f (x )的图象关于点????12，－1
2对称； (2)求f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)的值．
第7讲 函数的图象 一、选择题 1.为了得到函数y ＝2x －2的图象，可以把函数y ＝2x 图象上所有的点( ) A.向右平行移动2个单位长度 B.向右平行移动1个单位长度 C.向左平行移动2个单位长度 D.向左平行移动1个单位长度 解析 因为y ＝2x －2＝2(x －1)，所以只需将函数y ＝2x 的图象上所有的点向右平移1个单位长度即可得到y ＝2(x －1)＝2x －2的图象. 答案 B 2.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是( ) 解析 小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，排除 A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，排除 B.故选 C. 答案 C 3.(2015·浙江卷)函数f (x )＝? ?? ??x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( ) 解析 (1)因为f (－x )＝? ????－x ＋1x cos(－x )＝－? ?? ??x －1x cos x ＝－f (x )，－π≤x ≤π且x ≠0，所以函数f (x )为奇函数，排除A ，B.当x ＝π时，f (x )＝? ?? ??π－1πcos π<0，排除C ，故选D. 答案 D 4.(2017·桂林一调)函数y ＝(x 3－x )2|x |的图象大致是( ) 解析 由于函数y ＝(x 3－x )2|x |为奇函数，故它的图象关于原点对称.当0
第11讲 函数的图象 思维导图 知识梳理 1．利用描点法作函数的图象 其基本步骤是列表、描点、连线． 首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)． 其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线． 2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 (2)对称变换 ①y ＝f (x )――→关于x 轴对称 y ＝－f (x )． ②y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )． ③y ＝f (x )――→关于原点对称y ＝－f (－x )． ④y ＝a x (a ＞0且a ≠1)――→关于y ＝x 对称 y ＝log a x (x ＞0)． (3)翻折变换
①y ＝f (x )――→保留x 轴及上方图象 将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|． ②y ＝f (x ) ――→保留y 轴及右边图象，并作其 关于y 轴对称的图象 y ＝f (|x |)． (4)伸缩变换 ①y ＝f (x ) a ＞1，横坐标缩短为原来的1 a 倍，纵坐标不变 0＜a ＜1，横坐标伸长为原来的1 a 倍，纵坐标不变 →y ＝f (ax )． ②y ＝f (x ) a ＞1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变 0＜a ＜1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变→y ＝af (x )． 题型归纳题型1 作函数的图象 【例1-1】（2019秋?海淀区校级期中）已知函数21,1(),1121,1x f x x x x x <-?? =-??->? ． （Ⅰ）画出函数()y f x =的图象； （Ⅱ）若1 () 4 f x ，求x 的取值范围； （Ⅲ）直接写出()y f x =的值域． 【分析】（Ⅰ）根据分段函数的表达式，直接进行作图即可； （Ⅱ）结合分段函数的表达式，分别进行求解； （Ⅲ）由图象结合函数值域的定义进行求解． 【解答】解：（Ⅰ）函数()y f x =的图象如图； （Ⅱ）当1x <-时，满足1 () 4 f x ，
【课题】5.6三角函数的图像和性质（第一课时） 【教学目标】 知识目标： (1) 理解正弦函数的图像和性质； (2) 理解用“五点法”画正弦函数的简图的方法； (3) 了解余弦函数的图像和性质． 能力目标： (1) 认识周期现象，以正弦函数、余弦函数为载体，理解周期函数； (2) 会用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图； (3) 通过对照学习研究，使学生体验类比的方法，从而培养数学思维能力． 情感目标 培养学生的审美能力，作图能力，激发学习数学的兴趣，探究其他作图的方法． 【教学重点】 （1）正弦函数的图像及性质； 0,2π上的简图． （2）用“五点法”作出函数y=sin x在[] 【教学难点】 周期性的理解． 【教学设计】 （1）结合生活实例，认识周期现象，介绍周期函数； （2）利用诱导公式，认识正弦函数的周期； （3）利用“描点法”及“周期性”作出正弦函数图像； （4）观察图像认识有界函数，认识正弦函数的性质； （5）观察类比得到余弦函数的性质． 【教学备品】 课件，实物投影仪，三角板，常规教具． 【课时安排】 1课时．(45分钟) 【教学过程】 一、揭示课题 5.6三角函数的图像和性质 二、创设情景兴趣导入 1、问题 观察钟表，如果当前的时间是2点，那么时针走过12个小时后，显示的时间是多少呢？
再经过12个小时后，显示的时间是多少呢？L L ． 2、解决 每间隔12小时，当前时间2点重复出现． 3、推广 类似这样的周期现象还有哪些？ 三动脑思考 探索新知 概念 对于函数()y f x =，如果存在一个不为零的常数T ，当x 取定义域D 内的每一个值时,都有x T D +∈,并且等式()()f x T f x +=成立，那么，函数()y f x =叫做周期函数，常数T 叫做这个函数的一个周期． 由于正弦函数的定义域是实数集R ，对α∈R ，恒有2π()k k α+∈∈R Z ，并且 sin(2π)=sin ()k k αα+∈Z ，因此正弦函数是周期函数，并且 2π，4π， 6π，L 及2π-，4π-，L 都是它的周期． 通常把周期中最小的正数叫做最小正周期，简称周期，仍用T 表示．今后我们所研究的函数周期，都是指最小正周期．因此，正弦函数的周期是2π． 四、构建问题 探寻解决 说明 由周期性的定义可知,在长度为2π的区间（如[]0,2π，[]2,0-π,[]2,4ππ）上，正弦函数的图像相同，可以通过平移[]0,2π上的图像得到．因此，重点研究正弦函数在一个周期内，即在[]0,2π上的图像． 1、问题 用“描点法”作函数x y sin =在[]0,2π上的图像． 2、解决 把区间[]0,2π分成12等份，并且分别求得函数x y sin =在各分点及区间端点的函数值，列表如下：（见教材） 以表中的y x ,值为坐标，描出点(,)x y ，用光滑曲线依次联结各点，得到[]sin 0,2y x =π在上的图像．（见教材） 3、推广 将函数sin y x =在[]0,2π上的图像向左或向右平移2π，4π，L ，就得到sin ,y x =∞+∞在（-）上的图像，这个图像叫做正弦曲线．（见教材） 五、动脑思考 探索新知 1、概念 正弦曲线夹在两条直线1y =-和1y =之间，即对任意的角x ，都有sin 1x …成立，函数的这种性质叫做有界性． 一般地，设函数)(x f y =在区间),(b a 上有定义，如果存在一个正数M ，对任意的
第七节函数的图象 A组基础题组 1.为了得到函数y=lg 的图象,只需把函数y=lg x的图象上所有的点( ) A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度 B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度 C.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度 D.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度 答案 C 由y=lg得y=lg(x+3)-1,把函数y=lg x的图象向左平移3个单位长度,得函数y=lg(x+3)的图象,再向下平移1个单位长度,得函数y=lg(x+3)-1的图象.故选C. 2.(2017北京西城一模)函数f(x)=-log2x的零点个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 B f(x)=-log 2x的零点个数就是函数y=与y=log2x的图象的交点个数. 如图: 由图知函数f(x)的零点个数为1.故选B. 3.函数y=的图象可能是( ) 答案 B 易知函数y=为奇函数,故排除A、C,当x>0时,y=ln x,只有B项符合,故选B. 4.下列y=f(x)的函数图象中,满足f>f(3)>f(2)的只可能是( )
答案 D 因为f>f(3)>f(2),所以函数f(x)有增有减,排除A,B.在C中, f
几种特殊函数的图象及应用 函数学习中，除了二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等常见函数外，还有一类分式函 数、绝对值函数也常常出现．这类函数问题，虽说借助于导数等工具也能解决，但如果能够掌握这 类函数的基本图象特征，便能起到事半功倍的效果．本文介绍四个最常见的函数模型及其图象特征， 并在实际问题中借助于换元、分离变量等手段将函数表达式转化为这几个函数模型之一，根据函数 图象，迅速找到解决问题的切入点和解题思路． 先了解这四个基本函数： ①函数y = 1 (图1)；②函数y = x + 1 (图2)； xx 从函数的图象很容易看出函数的对称性、单调性、值域等性质，下面看它们各自的应用． c 1 1 一、形如y =a + c (c 0)的函数可利用函数y = 1 (或y = - 1 )的性质．当c 0时，函 x -b x x cc 数y =a +c 的图象可看成由函数y = c 的图象左右、上下平移得到，在区间(-,b )、(b ,+)上 x -b x cc 分别递减；当c 0时，函数y = a + c 的图象可看成由函数y = c 的图象左右、上下平移得到， x -b x 在区间(- ,b )、(b ,+)上分别递增． 例1 函数 f (x )= lg kx -1(k 0)在 10,+ )上单调递增，求实数k 的取值范围． x -1 kx - 1 kx - 1 解析：令f (x )=lg t ,t = kx -1 ，由复合函数单调性及题意可得:t = kx -1 需满足两个条件：① x - 1 x - 1 t 在 x 10,+ )上单调递增；②t 0在 x 10,+ )上恒成立． kx - 1 k - 1 考虑t = = k + (x 1) x - 1 x - 1 当 k = 1 时， f (x ) = 0 不合题意，舍去； 当k 1时，t 在(- ,1),(1,+)上均递减，不合题意，舍去； 当0 k 1时，t 在(-,1),(1,+ )上均递增， t 也在 10,+ )上递增，且当x =10时， 图 4 )．
第7讲 函数的图象 [考纲解读] 1.掌握基本初等函数的图象特征，能熟练地运用基本初等函数的图象解决问题. 2.掌握作函数图象的常用方法：①描点法；②平移法；③对称法．(重点) 3.能运用函数图象理解和研究函数的性质、解决方程解的个数或与不等式相关的问题．(难点) [考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的热点．预测2021年高考将会考查：①已知函数解析式识别函数的图象；②利用函数图象求函数零点的个数、解不等式或求参数的取值范围．题型以客观题为主，在解答题中也会用到数形结合的思想进行求解. 1．利用描点法作函数图象的流程 2．变换法作图 (1)平移变换 提醒：对于平移，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减，上加下减． (2)对称变换 ①y ＝f (x )――→关于x 轴对称y ＝□03 －f (x )； ②y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝□04f (－x )；
③y ＝f (x )――→关于原点对称y ＝□05 －f (－x )； ④y ＝a x (a >0且a ≠1)―――――――→关于直线y ＝x 对称 y ＝□06log a x (a >0且a ≠1)． (3)翻折变换 ①y ＝f (x )―――――――――→保留x 轴上方图象 将x 轴下方图象翻折上去 y ＝□07|f (x )|； ②y ＝f (x ) ―――――――――→保留y 轴右边图象，并作其 关于y 轴对称的图象 y ＝□ 08f (|x |)． (4)伸缩变换 y ＝□09f (ax )； ②y ＝f (x )―――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变 0 第十一讲 函数的图象 一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．) 1．函数y ＝ln(1－x )的大致图象为( ) 解析：将函数y ＝ln x 的图象关于y 轴对称，得到y ＝ln(－x )的图象，再向右平移1个单位即得y ＝ln(1－x )的图象． 答案：C 2．为了得到函数y ＝3×????13x 的图象，可以把函数y ＝????13x 的图象( ) A ．向左平移3个单位长度 B ．向右平移3个单位长度 C ．向左平移1个单位长度 D ．向右平移1个单位长度 解析：y ＝3×????13x ＝????13－1·????13x ＝????13x －1，故它的图象是把函数y ＝ ????13x 的图象向右平移1个单位长度得到的． 答案：D 3．给出四个函数，分别满足①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，②g (x ＋y )＝g (x )·g (y )，③h (x ·y )＝h (x )＋h (y )，④m (x ·y )＝m (x )·m (y )．又给出四个函数的图象，那么正确的匹配方案可以是( ) A ．①甲，②乙，③丙，④丁 B. ①乙，②丙，③甲，④丁 C. ①丙，②甲，③乙，④丁 D. ①丁，②甲，③乙，④丙 解析：图象甲是一个指数函数的图象，它应满足②；图象乙是一个对数函数的图象，它应满足③；图象丁是y＝x的图象，满足①. 答案：D 4．函数y＝f(x)的曲线如图(1)所示，那么函数y＝f(2－x)的曲线是图(2)中的() (1) (2) 解析：把y＝f(x)的图象向左平移2个单位得到y＝f(x＋2)的图象，再作关于y轴对称的变换得到y＝f(－x＋2)＝f(2－x)的图象，故选C. 答案：C [课时作业·巩固练习] 实战演练 夯基提能 [A 组 基础保分练] 1．设x ∈R ，定义符号函数sgn(x )＝???? ? 1，x ＞0，0，x ＝0， －1，x ＜0，则函数f (x )＝|x |sgn(x )的图象大致是 ( ) 解析：由符号函数解析式和绝对值运算，可得f (x )＝x ，选C. 答案：C 2．(2020·东北三校一模)函数f (x )＝|x |＋a x (其中a ∈R )的图象不可能是( ) 解析：当a ＝0时，f (x )＝|x |，则其图象为A ；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x ＋a x ，f ′(x )＝1 －a x 2＝x 2 －a x 2，若a ＞0，函数f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，选项B 满足；若a ＜0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，选项D 满足，而选项C 中的图象都不满足，故选C. 答案：C 3．已知二次函数f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝f (x )·e x 的图象为( ) 解析：由图象知，当x ＜－1或x ＞1时，g (x )＞0；当－1＜x ＜1时，g (x )＜0，由选项可知选A. 答案：A 4．(2020·辽宁大连测试)下列函数f (x )的图象中，满足f ???? 14＞f (3)＞f (2)的只可能是( ) 解析：因为f ????14＞f (3)＞f (2)，所以函数f (x )有增有减，排除A ，B.在C 中，f ????14＜f (0)＝1，f (3)＞f (0)，即f ????14＜f (3)，排除C ，故选D. 答案：D 5．已知函数y ＝f (1－x )的图象如图所示，则y ＝f (1＋x )的图象为( ) 解析：因为y ＝f (1－x )的图象过点(1，a )，故f (0)＝a .所以y ＝f (1＋x )的图象过点(－1，a )，选B. 答案：B 6．函数f (x )＝5 x －x 的图象大致为( ) 第7讲 函数连续性概念及运算性质 讲授内容 一、函数在一点的连续性 定义1 设函数f 在某U ()0x 内有定义．若()x f x x 0 lim →=()0x f ， 则称f 在点0x 连续． 例如，函数连续()x f 12+=x 在点2=x 连续，因为2 lim →x ()x f =2 lim →x ()()2512f x ==+ 又如，函数()x f ???=0 ,00,1sin =≠x x x x ,在点0=x 连续，因为()()001 sin lim lim 00f x x x f x x ===→→ 为引入函数()x f y =在点0x 连续的另一种表述，记0x x x -=?，称为自变量x (在点0x )的增量或改变量．设()00x f y =，相应的函数y (在点0x )的增量记为:()()000y y x f x x f y -=-?+=? 注：自变量的增量x ?或函数的增量y ?可以是正数，也可以是0或负数．引进了增量的概念之后，易见“函数()x f y =在点0x 连续”等价于0lim 0 =?→?y x . 由于函数在一点的连续性，也可直接用δε-方式来叙述，即：若对任给的0>ε，存在0>δ，使得当 δ<-0x x 时有()()ε<-0x f x f ，则称函数f 在点0x 连续． 例1 证明函数()()x xD x f =)在点0=x 连续，其中()x D 为狄利克雷函数． 证：由()00=f 及()1||≤x D ，对任给的0>ε，为使()()()ε<≤=-x x xD f x f 0，只要取εδ=， 即可按δε-定义推得f 在0=x 连续．可以证明函数x sin 、conx 、n x 等在任意一点0x 连续. 定义2 设函数f 在某()()()00x U x U -+内有定义．若()()()()?? ? ?? ==- +→→000 lim lim x f x f x f x f x x x x ,则称f 在点0x 右(左)连续． 定理4.1 函数f 在点0x 连续的充要条件是：f 在点0x 既是右连续又是左连续． 例2 讨论函数 ()?? ?<-≥+=0 ,22 ,2x x x x x f 在点0=x 的连续性. 解：因为()()22lim lim 0 =+=+ +→→x x f x x ，()()22lim lim 0 -=-=+-→→x x f x x ，而()20=f ，所以f 在点0=x 右连续，但不左连续，从而它在0=x 不连续. 二、 间断点及其分类 函数f 不连续的点0x 称为函数的间断点，若0x 为函数f 的间断点，则必出现下列情形之一： （i ）f 在点0x 无定义或极限()x f x x 0 lim →不存在； （ii ）f 在点0x 有定义且极限()x f x x 0 lim →存在，但()x f x x 0 lim →()0x f ≠ 1.可去间断点若()x f x x 0 lim →A =而f 在点0x 无定义，或有定义但()A ≠0x f ，则称0x 为f 的可去间断点． 例如，函数()x x x g sin = ，由于()1lim 0=→x g x ，而g 在0=x 无定义，所以0=x 是函数g 的可去间断点． 例如，对上述的()x x x g sin =，定义：∧g )(x ?????=≠=0 ,10 ,s i n x x x x ，则∧g 在0=x 连续． 2．跳跃间断点 若函数f 在点0x 的左、右极限都存在，但()()x f x f x x x x - +→→≠0 lim lim 则称点0x 为函数f 的跳跃间断点． 例如，对函数()[]x x f = 当n x = (n 为整数)时有[]1lim -=- →n x n x ，[]n x n x =+→lim ，所以在整数点上函数f 的左、右极限不相等，从而整数点都是函数()[]x x f =的跳跃间断点． 可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点．第一类间断点的特点是函数在该点处的左、右极限都存 在． 3．函数的所有其他形式的间断点，即函数至少有一侧极限不存在的那些点，称为第二类间断点． 例如，函数x y 1= ，当0→x 时，不存在有限的极限，故0=x 是x y 1=的第二类间断点．函数x 1sin 在 第7讲 函数的图象及其应用 基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、填空题 1．把函数f (x )＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式是________． 解析 把函数f (x )＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位长度，得y ＝[(x ＋1)－2]2＋2＝(x －1)2＋2，再向上平移1个单位长度，得y ＝(x －1)2＋2＋1＝(x －1)2＋3. 答案 y ＝(x －1)2＋3 2．函数f (x )＝x ＋1 x 的图象的对称中心为________． 解析 f (x )＝x ＋1x ＝1＋1 x ，故f (x )的对称中心为(0,1)． 答案 (0,1) 3．已知f (x )＝? ???? 13x ，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )， 则g (x )的表达式为________． 解析 在函数g (x )的图象上任取一点(x ，y )，这一点关于x ＝1的对称点为(x 0，y 0)，则??? x 0＝2－x ， y 0＝y . ∴y ＝? ???? 132－x ＝3x －2. 答案 g (x )＝3x －2 4．函数y ＝(x －1)3＋1的图象的对称中心是________． 解析 y ＝x 3的图象的对称中心是(0,0)，将y ＝x 3的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，即得y ＝(x －1)3＋1的图象，所以对称中心为(1,1)． 答案 (1,1) 5. 设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]．若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图，则不等式f (x )＜0的解集是________． 解析 利用函数f (x )的图象关于原点对称．∴f (x )＜0的解集为(－2,0)∪(2,5)． 答案 (－2,0)∪(2,5) 6．若函数f (x )在区间[－2,3]上是增函数，则函数f (x ＋5)的单调递增区间是________． 解析 ∵f (x ＋5)的图象是f (x )的图象向左平移5个单位得到的． ∴f (x ＋5)的递增区间就是[－2,3]向左平移5个单位得到的区间[－7，－2] 答案 [－7，－2] 7．若方程|ax |＝x ＋a (a >0)有两个解，则a 的取值范围是________． 解析 画出y ＝|ax |与y ＝x ＋a 的图象，如图．只需a >1. 答案 (1，＋∞) 8．(2013·泰州模拟)已知函数f (x )＝??? log 2x (x ＞0)，2x (x ≤0)，且关于x 的方程f (x )－a ＝0有 两个实根，则实数a 的范围是________． 解析 当x ≤0时，0＜2x ≤1，所以由图象可知要使方程f (x )－a ＝0有两个实 第7 讲函数的图象 最新考纲 1.理解点的坐标与函数图象的关系； 2.会利用平移、对称、伸缩变换，由一个函数图象得到另一个函数的图象； 3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题． 知识梳理 1．函数图象的作法 (1) 描点法作图：通过列表、描点、连线三个步骤，画出函数图象．用描点法在选点时往往选取特殊点，有时也可利用函数的性质( 如单调性、奇偶性、周期性) 画出图象． (2) 图象变换法作图：一个函数的图象经过适当的变换，得到另一个与之有关的函数图象，在高考中要求学生掌握三种变换(平移变换、伸缩变换、对称变换) ． 2．函数图象间的变换 (1) 平移变换 对于平移，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减，上加下减. (2) 对称变换 (3) 伸缩变换 断自测 精彩PPT 展示 图象相同.(X) ⑵ 函数y = f (x )与y = — f (x )的图象关于原点对称.(X) ⑶ 若函数y = f (x )满足f (1 + x ) = f (1 — x )，则函数f (x )的图象关于直线 x = 1对 称.(V) y =f (x ) 各点横坐标变纵坐标不变 a a a > 0 倍y = f (ax ). 横坐标不变 i A y = f (x ) 各点纵坐标变为原来苗 A > 0 倍 y = Af (x ). 判 断正误 括号内打 或 “x”) (1)当x € (0 ,+s )时，函数 y = | f (x )| 与 y = f (| x |)的 ⑷若函数y = f(x)满足f(x—1) = f(x + 1)，则函数f(x)的图象关于直线x= 1对称. ( X) (5)将函数y = f( —x)的图象向右平移1个单位得到函数y= f ( —x—1)的图象.(X) 2. (2014 ?浙江卷)在同一直角坐标系中，函数f (x) = x a(x>0), g( x) = log a x的图象可 能是( ) 解析■/ a>0，且1,二f (x) = x a在(0 ,+s)上单调递增，二排除A；当0v a v 1 或a> 1时，B, C中f(x)与g(x)的图象矛盾，故选D. 答案D 3. (2014 ?山东卷)已知函数y = log a(x+ c)( a, c为常数，其中a> 0, a* 1)的图象如 图,则下列结论成立的是( ) 第一课时：单调性 知识点一 函数的单调性 思考 画出函数f (x )＝x 、f (x )＝x 2的图象，并指出f (x )＝x 、f (x )＝x 2的图象的升降情况如何？ 答案 两函数的图象如下： 函数f (x )＝x 的图象由左到右是上升的；函数f (x )＝x 2的图象在y 轴左侧是下降的，在y 轴右侧是上升的. 梳理 一般地，单调性是相对于区间来说的，函数图象在某区间上上升，则函数在该区间上为增函数，该区间称为增区间.反之则为减函数，相应区间称为减区间.因为很多时候我们不知道函数图象是什么样的，而且用上升下降来刻画单调性很粗糙.所以有以下定义： 设函数f (x )的定义域为I ： (1)如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1 于f (x )＝1 x 的定义域. 梳理 一般地，有下列常识： (1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开. (2)单调区间D ?定义域I . (3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大. 类型一 求单调区间并判断单调性 例1 如图是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？ 解 y ＝f (x )的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]，其中y ＝f (x )在区间[－5，－2]，[1,3]上是减函数，在区间[－2,1]，[3,5]上是增函数. 反思与感悟 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D 上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有. 跟踪训练1 写出函数y ＝|x 2－2x －3|的单调区间，并指出单调性. 解 先画出f (x )＝????? x 2－2x －3，x <－1或x >3，－(x 2 －2x －3)，－1≤x ≤3 的图象，如图. 一、幂函数图像的分布规律 幂函数图像的分布规律可用“一全有、二一偶、三一奇、四全无”来说明。 1.“一全有”：指所有幂函数的图像在第一象限都出现， 分布情况如图1所示，其特点如下：①抓住三条特征 线：直线x=1，y=x ，y=1把幂函数的图像分为三个区 域，这三个区域对应着幂函数y=x α在α<0,0<α<1, α>1时的图像；②第一象限内幂函数y=x α图像的区 域分布情况为：在直线x=1的右边，α越大，图像越高，越趋向于直线x=1；在直线x=1的右边，α越小，其图像越低，越趋向于x 轴。 2.“二一偶”：指当幂函数为偶函数时，其图像关于y 轴对称，即幂函数的图像出现在第一、第二象限。 3.“三一奇”：指当幂函数为奇函数时，其图像关于原点对称，即幂函数的图像出现在第一、第三象限。 4.“四必无”：指由定义，知幂函数的图像不可能出现在第四象限。 二、幂函数图像的应用 1.识别图像 例1.图2中 的曲线是幂函数y=x α在第一象限的图像，已知α取±2，±12四个值，则其相应于曲线C 1,C 2,C 3,C 4的α依次为（ ） A.-2，-12，12，2 B.2，12，-12，-2 C.- 12，-2，2，12 D.2，12，-2，-12 解：根据幂函数的图像特点，立即可以断定相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α值排序是由大到小，故选B 。 2.用于判断方程的个数 例2.方程x 2=2x 的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D. 解：令f（x）=x2，g（x）=2x，在同一坐标平面内作出这两个函数的图象，如图三所示，由图可知，交点有三个，所以方程x2=2x的根的个数为3，故选C。 怀柔四中导学案初二数学编写人： 章节：第十四章一次函数 第七课时——14.3函数图象的画法（2、函数图像的画法） 班级：_______姓名：______________ 一、学习目标：1、会根据函数的解析式列表、描点、联线画出函数图象 2、知道函数图象上的点的坐标与其解析式之间的关系。 二、旧知回顾： 1、点P（-3，-4）到x轴的距离是______，到y轴的距离是______，到原点的距离是______，关于x轴对称点的坐标是________，关于y轴对称点的坐标是________，关于原点对称点的坐标是_________。 2、点A（2，2）是________象限的平分线上的点。 三、新知要点： 画函数图象的步骤 1、____________ 2、__________ 3、________ 四、预习检测： 1、在直角坐标系中，画出函数2 y x =的图象： 解：①列表： ②描点、连线2、画出 x 6 y=的函数图象 解：（1） x …… y=2x …… （2）描点、连线 x…… 2 y x =…… 课堂反馈(第七课时) 学生姓名：________ 画出函数y=2x的图象 解：①. 课堂反馈(第八课时) 学生姓名：________ 1、一辆汽车以40千米/时的速度行驶，则行驶的路程S（千米）与行驶 的时间t(时)之间的解析式__________，它是_______________函数，k=________，b=__________。 2、某种大米的单价是2.2元/千克，购买x千克大米，花费为y元。请 写出y关于x的解析式________，它是_______________函数，k=________，b=__________。 3、小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来．他已存有50元，从现 在起每个月节存12元．试写出小张的存款数y与从现在开始的月份数x 之间的解析式___________，它是_______________函数，k=________，b=__________。 4、下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？ （1）1 5 x y + =-；（2） 5 x y=-；（3）1 2 y x- =-； （4）1 3 5 y x =--；（5）2(1)(2) y x x x =---；（6）21 x y -=． 一次函数有：____________________正比例函数有：__________________(写序号) 第7讲 函数图像 一、选择题 1．函数＝ln 1 |2x －3| 的大致图像为(如图所示) ( )． 解析 y ＝－ln|2x －3|＝????? －ln (2x －3)，x >3 2， －ln (3－2x )，x <3 2， 故当x >32时，函数为减函数，当x <3 2时，函数为增函数． 答案 A 2．由方程x |x |＋y |y |＝1确定的函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上是( )． A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减 D ．先减后增 解析 ①当x ≥0且y ≥0时，x 2＋y 2＝1，②当x >0且y <0时，x 2－y 2＝1， ③当x <0且y >0时，y 2－x 2＝1， ④当x <0且y <0时，无意义． 由以上讨论作图如上图，易知是减函数． 答案 B 3．已知函数f (x )＝? ????1e x －tan x ? ????－π 2 A ．大于1 B ．大于0 C ．小于0 D ．不大于0 解析 分别作出函数y ＝? ????1e x 与y ＝tan x 在区间? ???? －π2，π2上的图象，得到 0 一个十分重要的函数的图象与性质应用 新课标高一数学在“基本不等式 ab b a ≥+2”一节课中已经隐含了函数x x y 1 +=的图象、性质与重要的应用，是高考要求范围内的一个重要的基础知识．那么在高三第一轮复习 课中，对于重点中学或基础比较好一点学校的同学而言，我们务必要系统介绍学习 x b ax y + =（ab ≠0）的图象、性质与应用． 2．1 定理：函数x b ax y +=（ab ≠0）表示的图象是以y=ax 和x=0（y 轴） 的直线为渐近线的双曲线． 首先，我们根据渐近线的意义可以理解：ax 的值与x b 的值比较，当x 很大很大的时候， x b 的值几乎可以忽略不计，起决定作用的是ax 的值；当x 的值很小很小，几乎为0的时候，ax 的值几乎可以忽略不计，起决定作用的是x b 的值．从而，函数x b ax y +=（ab ≠0）表示 的图象是以y=ax 和x=0（y 轴）的直线为渐近线的曲线．另外我们可以发现这个函数是奇 函数，它的图象应该关于原点成中心对称． 由于函数形式比较抽象，系数都是字母，因此要证明曲线是双曲线是很麻烦的，我们通过一个例题来说明这一结论． 例1．若函数x x y 3 233+= 是双曲线，求实半轴a ，虚半轴b ，半焦距c ，渐近线及其焦点，并验证双曲 线的定义． 分析：画图，曲线如右所示；由此可知它的渐近线应该是x y 3 3 = 和x=0两条直线；由此，两条渐近线的夹角的平分线y=3x 就是实轴了，得出顶点为A （3，3），A 1（-3，-3）； ∴ a=OA =32, 由渐近线与实轴的夹角是30o，则有a b =tan30o, 得b=2 , c=22b a +=4, ∴ F 1(2,32)F 2(-2,-32)．为了验证函数的图象是双曲线，在曲线上任意取一点P （x, x x 3233+）满足3421=-PF PF 即可； 上节课知识检测 一、基本内容 1．利用描点法作函数图像 其基本步骤是列表、描点、连线，具体为： 2、会画基本函数图像（一次(两点想x 取0，，y 取0（或X 取1）)、反比例（三点（x 取1/2、1,2）对称轴、对称中心）、二次(对称轴\顶点\开口)、幂(四点x 取0,1/2,1,2对称)、指数(三点x 取-1,0,1)、对数(三点Y-1,0,1)、对勾(两部分相等时X 值点)、三角(x 取五点；对称轴、对称中心)） 3.掌握画图像的基本方法：（1）描点法（2）图像变换法．平移、伸缩、翻折 （3）讨论分段法 (1)平移变换： y ＝f (x ) ――――――――――→a >0，右移a 个单位a <0，左移|a |个单位 y ＝f (x －a )； y ＝f (x ) ―――――――――→b >0，上移b 个单位b <0，下移|b |个单位 y ＝f (x )＋b . (2)伸缩变换： y ＝f (x ) 1 011 1ωωωω <<>????????→，伸原的倍 ，短原的 长为来缩为来 y ＝f (ωx )； y ＝f (x ) ――――――――――――→A >1，伸为原来的A 倍0 第7课时 函数的图象 教学目标： 使学生掌握作函数图象的一般步骤，会运用平移变换和翻折变换作图. 教学重点： 用平移变换和翻折变换作图. 教学难点： 用平移变换和翻折变换作图. 教学过程： (1)作函数图象的一般步骤： ①确定函数的定义域(决定图象的左、右位置)和值域(决定图象的上、下位置). ②化简函数的表达式(如含绝对值的函数应化为分段函数). ③讨论函数的性质(如奇偶性、单调性、周期性等图象特征及图象上特殊点的位置). ④利用基本函数图象作出所需函数的图象. (2)描绘函数图象的基本方法有 ①描点法：通过列表、描点、连线三步，画出函数的图象. ②图象变换法：一个函数图象经过适当的变换，得到另一个与之有关的函数图象. 问题1：平移变换都有哪些内容？ 【答】 平移变换主要有 ①水平平移y ＝f (x ±a )(a >0)的图象，可由y ＝f (x )的图象向左或右平移a 个单位得到. ②竖直平移y ＝f (x )±b (b >0)的图象，可由y ＝f (x )的图象向上或向下平移b 个单位而得到. 问题2：翻折变换都有哪些内容？ 【答】 翻折变换主要有 ①y ＝f (|x |)的图象在y 轴右侧(x >0)的部分与y ＝f (x )的图象相同，在y 轴左侧部分与其右侧部分关于y 轴对称. ②y ＝|f (x )|的图象在x 轴上方部分与y =f (x )的图象相同，其他部分图象为y ＝f (x )图象下方部分关于x 轴的对称图形. [例1]作函数y ＝? ??x ＋1 x ≤1 12 （5－x ） 1＜x ≤34－x x ＞3 的图象. [例2]作函数y ＝x 2－2︱x ︱－2的图象.2013届高考数学第一轮专题复习测试卷第十一讲 函数的图象
第二章 第七节 函数的图象
第7讲函数连续及运算2009
2015高考数学(理)一轮题组训练：2-7函数的图象及其应用
高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数第7讲函数的图象
7第七讲 函数的单调性及最值(教师版)
赏析幂函数的图象特征及应用
函数第七课时
高中数学大一轮复习讲义(文科)第7讲函数图像
双曲线函数的图像与性质及应用
函数图像变换及应用
高一数学教案 第二章函数概念与基本初等函数第7课时函数的图象
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