第二章：精度指标与误差传播
内容及学习要求
本章详细讨论偶然误差分布的规律性，衡量精度的绝对指标－中误差，相对指标－权及其确定权的实用方法；方差、协因数定义及其传播律等问题。本章内容是是测量平差的理论基础，也是本课程的重点之一。学习本章要求深刻理解精度指标的含义，掌握权、协方差、协因数概念，确定权及根据已知协方差、协因数的观测值求其函数的方差、协因数的方法（协因数、协方差传播律）。
§2-1概述
概括本章内容，其主线是偶然误差的统计规律→衡量单个随机变量的精度指标－方差→衡量随机向量的精度指标－协方差阵→求观测值向量函数的精度指标－协方差传播律→精度的相对指标-权。
§2-2偶然误差的规律性
本小节阐述偶然误差的统计规律性，提出偶然误差服从正态分布的结论
任何一个观测值，客观上总是存在一个真正代表其值的量，这一数值就称观测值的真`值。从概率统计的观点看，当观测量仅含偶然误差时，真值就是其数学期望。
某一随机变量的数学期望为：i
n
i i
p x X E ∑==
1
)( 或 ?+∞
∞
-=dx x xf X E )()(
期望的实质是一种理论平均值,可用无穷观测,以概率为权,取加权平均值的概念理解.dx x f )(表示x 出现在小区间dx 的概率。
设对n 个量进行了观测，观测值为。
、、、n L L L ???21其相应的真值分别为。
、、、n L L L ???21令i i i i L L ?-=?，
即真误差。由于假定测量平差所处理的观测值只含偶然误差，所以真误差i ?就是偶然误差。用向量形式表述为：
?
????????????=?n b L L L L 211、??????
????????=?n n L L L L
..211、??
?????????????=??n n .211 则有：111???-=?n n n L L
注意：本教程中凡是不加说明，即没有下标说明的向量都是列向量，若表示行向量则加以转置符号表示，如：T
T
T
B A L 、、等。
对单个的偶然误差而言，大小和符号都没有规律，及事先完全不可预知。但从大量测量实践中知道，在相同的观测条件下，偶然误差就总体而言，有一定的统计规律，表现为如下几点：
1、 误差绝对值有一定限值
2、 绝对值小的比大的多
3、 绝对值相等的正负误差出现的个数相等或接近。
教材中分别列举两个实例，以358和421个三角形闭合差的分析结果验证了上述结论（闭合差是理论值与观测值之差，故是真误差）。注意：统计规律只有当有较多的观测量时，才能得出正确结论。
为了形象地刻画误差分布情况，以横坐标表示误差的大小，纵坐标采用单位区间频率（出现在某区间内的频率，等于该区间内出现的误差个数i v 除误差总个数n ，而采用单位频率
i
i
nd V ?为纵坐标值，使曲线（直方图）趋势不因区间间隔不同而变化）。根据统计规律可知，在相同条件下所得一组独立观测值，n 足够大时，误差出现在各个区间的频率总是稳定在某一常数（理论频率）附近，n 越大；稳定程度越高。n 趋于∞，则频率等于概率（理论频率）。令区间长度0→?d ，则长方条顶形成的折线变成光滑曲线，称概率曲线。
由其曲线特征知，这是正态分布曲线。于是得到结论：偶然误差服从正态分布，或偶然误差的频率分布，随n 逐步增大，以正态分布为极限。
说明了偶然误差服从正态分布后，可进一步用概率术语来概括偶然误差的几个特性。 1、 在一定条件下，超过一定限值的误差出现的概率为0 2、 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大 3、 绝对值相等的正负误差出现的概率相等 4、 偶然误差的数学期望等于0
前3个特性本质上与前述3个统计特性相同，后者仅仅是观测值个数无穷大时的理想状态下，以偶然误差的极限分布-正态分布的特征来描述同样的特性而已。第四个特性从正态分布曲线以过0点的竖直轴为对称轴来看，是很自然的。
§2-3衡量精度的指标
本小节阐述误差概念及几种精度指标 对一系列观测值而言，不论其观测条件如何，也不论是对同一量还是不同量进行观测，只要这些量是在相同条件下独立观测的，则产生的一组偶然误差必然具有上述4个特性。
如前所述，偶然误差服从正态分布，其概率密度函数为：
2
2
2
2
22))((2121)(σσσ
πσ
π?-?-?-=
=
?e e
f E 或记为：?~）
，（20σN 。 根据概率密度函数可见，最大值为σ
π21)0(=
f 。其大小与σ成反比，由于对于一
个必然事件，概率值为1，即概率密度曲线与横轴围成的面积值为1，因而f(0)越大，概率
密度曲线形状越陡峭，反之则越平缓。而σ小则f(0)大，σ大则f(0)小，所以σ决定了曲线的形状，σ为方差的平方根，称标准差，其估值在测量平差中称为中误差。
对于形状陡峭的图形，很显然随着误差绝对值的加大，概率值迅速地减小，也可说偶然误差更集中地分布在真值（0）附近，称误差分布离散度小、反之，对于形状平缓的图形，偶然误差分布较为分散，或者说离散度大。不难理解，离散度小时，对应的观测值质量较好，或说精度高。反之，离散度较大时，对应的观测值质量较差，精度较低。由此可见，精度又可以定义为误差分布的离散程度。两个（组）观测值对应的误差分布相同，则称同精度观测值，同理若误差分布不同，则是精度不同。
在相同观测条件下进行多个观测量的观测，各观测量对应同一种误差分布，各观测值都是同精度观测值。注意：同精度观测值不等于真误差相同，这是因为真误差不可知，因而不可能以真误差大小定义精度，我们只能定义观测条件相同，精度相同。所以对应于同一种误差分布的各观测值，尽管真误差不同，但都称为同精度观测值。
由于用观测值对应的误差分布来衡量精度高低，麻烦而且困难，测量上采用能描述其误差分布离散程度的数字指标作为衡量精度的指标。
下面介绍几种常见的精度指标。 一、方差和中误差
方差即真误差平方的理论平均值，表达式为：
???=?=?=?∞
∞
-d f E D )(22
2）（）（σ。
（0=?）（E ）如前所述，σ决定误差分布曲线的形状，反映误差的离散程度，所以可作为精度指标。此外，根据方差的定义，可见
方差实际上是偶然误差平方的理论平均值，或者说是以概率值为权，无穷观测条件下的加权幂平均。
对等精度的观测值而言，方差的计算可按下式进行：
∑∑∑?=∞→=∞→=∞→∞
∞
-?=?=???=???=n
k k
n N
k k k
n k k n
k k
n n n V d f d f 12)3(12)
2(1212
2
lim lim )(lim )(）
（σ 。（A ） 对于观测值有限的实际情况：只能求得标准差的估值中误差 n ]
[??=∧σ。今后不再区
分标准差和中误差，统称中误差，用σ表示。
注意公式（A ）中等号（1）根据定积分的定义，在n →∞,0→?k d 时成立。等号（2）
成立是根据观测值数（样本数）n →∞时，频率即等于概率的原理，用
n V K
代替了k k d f ??)(，等号右边累计号∑上限大写N ，是划分的区间数。等号（3）成立是将n
V
K 展开的结果，如
果将n 1
解释为每个误差出现的概率，不等于绝对值大小的误差出现的机会相同（概率相
等），因为较小的k ?出现的次数较多。
二、平均误差
在一定的条件下，一组独立的偶然误差绝对值的数学期望称平均误差，设以θ表示，
则有：???=
?=?∞
∞
-d f E )(）（θ. 同理可有：[]n
n ?=∞
→lim
θ
定义中一定条件下，在这里实指消除了系统误差法的相同观测条件下。独立的偶然误差指各个误差的大小、符号互不影响，一般而言，独立观测，误差独立。对照中误差是偶然误差平方的理论平均值的算术根，知平均误差与中误差定义的出发点都是避免偶然误差直接取理论平均值为0，下式可以证明两者之间存在固定的比例关系：
σ
πσπσπ
σ
πθσσσ2
22
212)(2)(0
20
220
22
22=????????-=-
=??
=???=???=
∞
?-∞
?-
?-
∞
∞
∞
∞
-????e de
d e
d f d f
可见两种精度指标是完全等价的，即分别用两种精度指标衡量观测值及其函数的精
度，结果相同。同理，在观测数有限的情况下，也只能得到平均误差的估值。
三、或然误差ρ
或然误差ρ又称概率误差，其定义为：在一定的观测条件下，偶然误差落入对称区间
（-ρ，ρ）中的概率为二分之一，即：2
1)()(=
??=
≤?≤-?
-ρ
ρ
ρρd f P 显然，对于陡峭的误差曲线，给定概率值为1/2的条件下，ρ 较小，反之则较大。所以ρ 也能较好地反映精度的高低。
令
,t =?
σ
则有：dt d t σσ=?=?,.
dt e
d e
t 2
2222121-
-
?-
-
??=
?σ
ρσ
ρ
σ
ρ
ρ
π
π
.t 是服从标准正
态分布的随机变量。根据标准正态分布概率积分表可得：ρσσ3
2
6750.0≈
≈.由此可见,或然误差与中误差也存在固定的比例关系,所以作为衡量精度的指标,理论上是等价的。同样地,由于观测值数量有限,不可能求得或然误差.实用上是将偶然误差按绝对值大小排序,n 为奇数时取中间值，n 为偶数时取中间两个的平均值作为ρ的估值。
理论上三种精度指标是等价的，但当n 不够大时，精度估值均不太不可靠。实践表明
∧σ对较大真误差的影响较为灵敏，目前世界各国都采用∧
σ作为衡量精度的指标。
四、极限误差
极限误差本身不是一种误差指标，而是在一定观测条件下，以中误差为标准确定的，不大可能出的误差绝对值。
根据标准正态分布概率积分表，?落入区间（-σ，σ）、（-2σ，2σ）、（-3σ，3σ）
的概率分别为：68.3%、95.5%、99.7%。由此可见，出现绝对值大于2-3倍中误差的偶然误差属于小概率事件。通常小概率事件在实践中被认为是不大可能发生的，所以在测量工作中，通常根据实践确定中误差的估值，而以二倍或三倍中误差作为外业成果检核的标准，超过即视为不合格。如三角测量时以三角形闭合差超过一定限值视为不合格等
五、相对误差
同样的，相对误差严格说也不是一种精度指标，而是观测值或其函数值的中误差作分子、观测值或其函数值作分母的比值。一般而言，一些与长度有关的观测值或其函数值，单纯用中误差还不能区分出精度的高低，所以常用相对误差。相对误差没有单位，测量中一般将分子化为1，即用
N
1
表示。对应的，真误差、中误差、极限误差等都是绝对误差。 §2-4协方差传播律
本小节阐述由观测值（随机向量）的方差－协方差矩阵求观测值函数的方差－协方差的问题，即定义观测值向量与其函数的方差协方差矩阵之间的运算关系。
一、协方差
设有观测值X 、Y ，X 、Y 都是随机变量，则它们之间的协方差定义为：
))}())(({(Y E Y X E X E xy --=σ
对于离散型随机变量： ij j n i
n
j
i
n xy P Y E Y X E X
))())(((lim
--=∑∑∞
→σ
ij P 是（),j i Y X 同时出现的概率。
对于连续型随机变量：
dxdy y x f Y E Y X E X
j i
xy ),())())(((--=
??∞∞-∞
∞
-σ
),(y x f 是二维密度函数。dxdy y x f ),(是（),j i Y X 出现的概率值。
根据真误差定义：Y Y E X X E Y x -=?-=?)()(、,与σ类似，可知：
[]n
E y
x
n y
x xy ??=??=∞
→lim )(σ.
协方差xy σ是y x ??、所有可能取值的乘积的理论平均值。实际上n 总是有限的，所以
xy σ也只能求得估值∧
xy σ,以后不再加以区分，统一用xy σ表示。
协方差的意义：
描述随机量X 、Y 的相关程度的量称为相关系数，定义为；y
x xy
σσσρ=
,ρ的取值范围是（-1，1），当ρ为0时，称X 、Y 不相关。观测值X 、Y 之间误差独立时，ρ必为0，即不相关，ρ=0，则X 、Y 不一定相互独立，但是对于服从正态分布的随机变量而言，两者是等价的。（由正态二维联合密度函数，可知当ρ=0时，)()(),(y f x f y x f =，即X 、Y 误差独立），由于本教程假定误差都是服从正态分布的，所以不再区分独立与不相关，ρ=0（xy σ=0）即是X ，Y 误差独立。
协方差矩阵：设有n 个不同精度的相关观测值),...2,1(n i X i =,它们的数学期望和方差
分别为2xi xi σμ、，两两之间的协方差是xixj σ。它们的矩阵表达式为：
n
X X X X (21)
=
xn
x x μμμμ...
2
1=
= )
(...21n X E X E X E X E ）（）
（）
（=
??????
????????=22212222112121.......x xn x xn x xn x x x x xn x x x x xx D σσσσσσσσσ）T x x X X E ))(((μμ--=。 式中1
?n X 是观测向量，简称观测值。是)(1
X E n =?μ1?n X 的数学期望，xx D 是1
?n X 的方差-协方差矩阵，简称协方差阵。
又设有观测值1
1??r n Y X 、，它们的数学期望和协方差阵分别为1
1
??r y n x μμ、，
若记：Y
X
Z r n =
?+1
)(,则：??
?
???=YY YX XY XX ZZ
D D D D D 。其中：??
?
???
?
???????=xnyr xny xny yr x y x y x yr x y x y x XY
x D σσσσσσσσσ (212221212)
111.T XY
YX D D =，
ZZ YY XX D D D 、、都是方阵，其中的元素既有每个元素的方差，又有两两元素之间的协方
差。而XY D 中只含1
1??r n Y X 、
向量元素两两之间的协方差，一般而言（n ≠r 时）也不是方阵。当XY D =0时。则称向量1
1??r n Y X 、
是相互误差独立的观测向量。特别地，当n=r=1时： XY XY Y YY x XX D D D σσσ===、、。
二、观测值线型函数的方差
设有观测值1
?n X 、其数学期望为1
?n μ、协方差阵为xx D ,又设有1
?n X 的线性函数：
1
101
11
????+=K X K Z n n n 。式中。),...,(211n n
k k k K =?.纯量形式为：
k x k x k x k z n n ++++= (2211)
求Z 的期望值得：000)()()(K K K X KE K KX E Z E x +=+=+=μ。
等式成立依据：（1）、随机变量和的期望等于其期望的和。（2）常数与随机量积的期望等于常数与随机量期望的积。（2）常量的期望等于它本身。
求Z 的方差得：
T
XX T T X X T T X x T x x T z ZZ K
KD K X X KE K X X K E K KX K KX E Z E Z Z E Z E D =--=--=--=--==]))([(]))(([]
))([(]))())(([(μμμμμμσ2
这就是已知观测向量1
?n X 的方差阵xx D ，求其线性函数Z 的方差2
Z σ的公式，称协方差传播律。若写成纯量形式得到：
n n n n n n n n z k k k k k k k k k k ,11111331122122212122...2...22...--++++++++=σσσσσσσ,当1
?n X 中元素两两相互独立时，)(,0j i ij ≠=σ。纯量形式变为：2
221212...n n z k k σσσ++=。这就是测量学中讲述过的误差传播定律。可见误差传播定律是协方差传播定律在观测向量1
?n X 中元素两两误差独立时的一种特例。
讲述教材19页例2、例4
三、多个观测值线型函数的协方差阵
若存在t 个观测值向量1
?n X 的线性函数：
???
?
???++++=++++=++++=0221120222212121012121111...................................................................t n tn t t t n n n n k X k X k X k Z k X k X k X k Z k X k X k X k Z 令：?????
??
?????=?tn k t n n n t k k k k k k
k k k K .....
..2
1
222
2111211
、
?
???
?
?
??????=?t t Z Z Z Z .2
11、??
??????????=?020101.t t k k k K 。则多个1?n X 的线性函数矩阵形式：111????+=t n n t t K X K Z 。同样地，利用
方差的定义可得1
?t Z 的方差阵：t n T
n
n xx n t t
t zz K D K D ????=。与单个1?n X 的函数1
1?Z 相比,若不顾及下标
则其形式完全一样。但K 不再是向量，而是一个k 行n 列的矩阵，t
t zz D ?是一个t 阶方阵，
其对角线元素是各函数值的方差，其余元素是各函数值两两之间的协方差。
若另有1
?n X 的一组线性函数1
1
1
????+=r n n r r F X F Y ,根据互协方差阵的定义得：
T
XX YZ
T ZY T
XX T
T
x x T x T YZ F
KD D
D K FD K X X F
E K KX
F FX E Z E Z Y E Y E D ===--=--=--=。而：）（）（）（]))([(])([]))[(μμμμ(
习惯上将由XX D 求ZY YY ZZ D D D 、、公式统称为协方差传播律。讲述教材22、24页例5、例6。
四、非线性函数的情况
设有观测值1
?n X 的多个非线性函数1
)(?=n i i X f Z ,或),...,(21n i i X X X f Z =，已知1
?n X 的
协方差阵XX D ，求1
?t Z 的方差阵。（将1
?n X 的一个函数11?Z 视为t=1的特殊矩阵ZZ
t t D
?）显然只
有线性函数才可直接应用协方差传播律，所以对于非线性函数，需要将函数线性化。
设观测值1
?n X 有近似值01
?n X ，则可按泰勒级数将函数1
)(?=n i i X f Z 在0
1
?n X 处展开为：
+-??++-??+-??+=?)()(...)()()()(
)(0
00220201101
10n n n
i i n i i i X X X f X X X f X X X f X f Z (
)(0i
i X X -的二次及二次以上项)。假定其二次以上项为小量，可忽略不记，令：
n j X f k j i
ij ,...2,1,)(0=??=。01
100)(j
n
i ij n i i X k X f k ∑=?-=、??
???
???????=?tn k t n n n t k k k k k k k k k K (2)
1
222
2111211、[
]
T
t t k k k K 0020
10
1
...=?。则101
1
????+=t n n t t K X K Z 。应用协方差传播律得：t
n T n
n xx n t t
t zz K D K D ????=。
可见对于非线性函数，关键在于求得系数阵n
t K ?。若令：
[]、
、，，，（n n
j j j dx dx dx dX n j X X dx .)...,21
)(2
1
10==-=?）
（0
1
11
01
1
1
??????-=-=n t t t t t X f Z Z Z dZ 。 则1
)(?=n i i X f Z 的泰勒级数只取一次项可写成：1
1
???=n n t t dX K dZ 。可见只要对1
)
(?=n i i X f Z
分别求全微分，即可得到线性化后系数阵n
t K ?。线性化后，应用协方差传播律求1
?n X 函数方
法则如前所述，这里不再赘述。
对于非线性函数应用协方差传播律，其步骤可总结为：（1）、写函数式。（2）、对函数式求全微分。（3）、将微分关系式写成矩阵式。（4）、应用协方差传播律求1
?n X 的函数的方差
协方差。
结合以上步骤讲述教材27页例7。注意两点：1、有些函数先取自然对数，再求全微分比较方便。2、函数中有角度（方向）、边长（坐标）两种不同类型的量时，角度的单位取弧度。
§2-5协方差传播律在测量上的应用
一、水准测量的精度
设经过n 站等精度的观测，测得AB 两点间的高差∑=?=
n
i i
AB h
h 1
,设每站高差中误差为
站σ，应用协方差传播律得：站σσn AB =。若设每站距离大致相等为s,而AB 间距
是S ，则s S n =
。代入站σσn AB =，并令站公里σσs
1
=，又有：公里σσS AB =。 本例给出一个结论：水准测量高差的中误差在设每站观测精度相同时与测站数的平方
根成正比、在设每公里观测精度相同时与两点间距离的平方根成正比。
二、同精度独立观测值的算术平均值的精度
设某量以同精度独立观测了n 次，观测值1
?n L ,取其平均值为：[]n
L x =
.设每次观测中
误差是σ，则根据协方差传播律，n
x σ
σ=
。
本例结论是：无限多次的观测值区中数,结果为真值，多测回观测取中数可提高精度，但随测回数提高，作用有限
三、若干独立误差的联合影响
当一个测量结果同时受到多个独立误差的联合影响时，观测结果的真误差是各个独立真误差的代数和：n Z ?++?+?=?...21，应用协方差传播律得：
。
2
22212...n z σσσσ+++= 这是个重要的结论公式，但无实用意义。
四、交会定点的精度
按教材讲述，本例除作为一个观测值非线性函数应用协方差传播律的算例外，主要目的是引出一个重要结论；平面上一个点的方差（ 点位方差）等于该点在任意两个相互垂直方向上的方差之和。平面上确定一个点需要两个参数，所以两个参数的精度决定了点个平面位置的精度，点位方差等于两个参数方差的和。由于点位方差与坐标系无关，所以可以得出，点位方差等于该点在任意两个相互垂直方向上方差之和。
2-6权与定权的常用方法
如果说方差是衡量精度的绝对指标，则权是衡量精度的相对指标，在平差中起着极其重要的作用。权是用方差定义的，但在实际工作中，方差在平差前往往是得不到的，而权却必须根据一定条件在平差前确定。
一、权的定义
设有观测值1
?n L ，它们的方差为[]T
n
n 2
2221
1
2
...σσσ
σ=
?。若选一任意常数20σ，定义22
0i
i P σσ=,就称i P 是观测值i L 的权。可见2
0σ决定了权的数值大小，但由于权是用来衡
量观测值之间精度高低的相对指标，其意义不在于本身数值的大小，在于它们之间的比例关系。而各观测值权之间的比例关系为：
2
222122022202120211:...:1:1:...:::...::n n n P P P σσσσσσσσσ==。显然这个比例关系与2
0σ的选择无关，所以2
0σ数值的选择理论上是任意的，权不是唯一的，但对同一批观测值只能
选一个，从这个意义上讲是唯一的。实用上注意使权的值适当以便于计算。对确定的2
0σ后
所得的权，规律是精度越高、权越大；精度越低、权越小。
例：有一水准网，共有5个观测高差。各观测高差路线长度分别为
。、、、、km s km s km s km s km s 0.30.40.25.25.154321=====假定每公里观测高差中误差相等，为公里σ。则各观测高差中误差为：、公里σσ5.11=5.22=
σ公里σ、
、0.23=σ公里σ0.44=σ公里σ、0.35=σ公里σ。令0σ=0.3公里σ,则
得;。、、、、0.175.05.12.10.254321=====P P P P P 。若选择公里σσ5.10=，则观测高差的权分别为1.0、0.6、0.75、0.375、0.5。从此例可见，虽然我们不知道观
测值的方差，但根据一定的假定却可以确定其相对精度指标--权。
二、单位权中误差
尽管2
0σ是任选的，但一经选定就有其具体含义。即它是其它观测值用来对比的精度
标准。精度高于它的，权大于1，反之则小于1，而精度与之相等的，则权必为1。所以0σ称为单位权中误差。测量实践中，一般而言，观测值经常是不同类型、不同精度的，平差任务之二--评定精度，首先就要求出单位权中误差。所以单位权中误差的概念是测量平差中一个非常重要的概念。
注意上节水准测量的范例，20σ是选择已有观测值的方差。实际上2
0σ并不限定要选择已有观测值的方差为单位权中误差，不论有无对应的观测值，方差为20σ的观测值称为单
位权观测值。
三、测量上定权的常用方法举例
平差工作运用的准则为
min 21
=∑=i
n
i i v
p ，因此测量平差前必须确定各观测值的权，平
差工作方可进行。根据权的定义，确定观测值的权需要知道其中误差，实际工作中是根据权的定义，在一定假设条件下确定权的。下面就几种常见情况，分述如下：
1、 水准测量的权
A 、 设各站观测精度相等，各高差对应的站数分别为n N N N 、、、...21。单位权中误差
对应的站数为C ，则各观测值的权分别是：
n
N C N C N C 、、、...21。2
2220站
站、σσσσi i N C == B 、 设每公里观测精度相等，各观测高差对应的路线长度分别是n S S S 、、、...21，单
位权中误差对应的观测值路线长度为C ，，则各观测值的权分别是：n
S C
S C S C 、、、...21。
。
、公里公里2
0220σσσσi i S C ==
2、 同精度观测值算术平均值的权
设同精度独立观测值1
?n L ,它们分别是n N N N 、、、...21次观测值的平均值。设每次观测
中误差是σ，则i L 的中误差为i
i N σ
σ=
。令c
σ
σ=
0,则由权的定义，可得：c
N P i
i =
, (i=1、2、3、...,n).即对于不同次数的同精度观测值所的算术平均值，其权与观测次数成正比。
§2-7协因数和协因数传播律
一、 协因数与协因数阵
令。、、20
202
20211σσσσσσij ij j
j jj i i ii Q P Q P Q ===== 将jj ii Q Q 、称为观测值j i L L 、的协因数或权导数，ij Q 称为观测值j i L L 关于的协因数或相关权倒数。
不难理解，jj ii Q Q 、与j i P P 、有类似的作用，也可作为比较观测值精度高低的一种指标，ij Q 作为比较观测值之间相关程度的一种指标。当然由于协因数与权互为倒数，较小的协因数代表的精度较高。
下面拓展协因数的概念：设有观测值向量（或观测值函数向量），，1
1??r n Y X ,它们的方差
阵分别是r
r YY n
n XX D D ??、
，X 关于Y 的互协方差阵为r
n XY D ?。令： r
n r n r
n XY r
r YY r
r YY n
n XX n
n XX D Q D Q D Q ???????=
=
=
2
2
2
1
1
1
σ
σ
σ
、、。则称r
r YY n
n XX Q Q ??、
分别是X 和Y 的协因数阵，r
n XY Q ?是X 关于Y 的互协因数阵。
由于协因数阵中对角线元素即是X 中各个元素的权倒数，非对角阵元素是X 中各元素
两两之间的相关权倒数。所以也称矩阵r
r YY n
n XX Q Q ??、
是X 和Y 的权逆阵，r
n XY Q ?是X 关于Y 的相关权逆阵。同样的，T
YX XY Q Q =是衡量X 和Y 之间相关程度的数字指标，r
n XY Q ?=0，则称
向量X 关于向量Y 误差独立（不相关）。若记：
、??
?
???=Y X Z 则：、??????=YY YX XY XX ZZ D D D D D ??????=YY YX XY XX ZZ Q Q Q Q Q 。 根据定义知，两者的
关系为：。ZZ ZZ D Q 20
1
σ= 假如X 中元素两两相互独立，XX D 就是一对角阵，XX Q 自然也
是一对角阵，而对角线上各元素是X 中相应元素i X 的权倒数。所以XX Q 的逆阵同为对角
阵，对角线上元素分别是X 中元素i X 的权。因此将1
-=XX XX Q P 称为X 的权阵。但要特别注意：当X 中元素不独立时，XX D 、XX Q 就不再是对角阵，虽然XX Q 对角线元素仍为X 元素的权倒数，但其逆阵1
-=XX XX Q P 中对角阵元数不再是X 中元素的权，由于XX P 在处理相关观测值的平差问题中仍能起到独立观测值权阵同样的作用，所以我们仍然整体的定义
XX P 为X 的权阵，但对其中具体元素则没有定义，这是不同于XX D 或XX Q 的。
（注意这一概念多次成为武汉大学测绘工程专业研究生入学考试测量平差卷的考点）
二、 协因数传播律
协因数传播律是由观测向量的协因数阵求其函数的协因数阵的公式。由于协因数阵与协方差阵仅仅是相差一常数，所以设：0
F FX Y +=
应用协方差传播律得 T
XX YY F FD D = 将YY YY XX XX Q D Q D 2
02
0σσ==、
代入就得到T
XX YY T
XX YY F FQ Q F Q F Q =?=2
02
0σσ。
可见协因数传播律与协方差传播律矩阵形式完全一样，而应用协因数传播律的方法与步骤也与协方差传播律相同，因而不再赘述。测量平差中把协方差传播律与协因数传布律并称为广义传播律。
当观测值相互独立时，XX Q 是一对角阵，其元素分别是各观测值的权倒数。
设有一观测值的函数)...,(21n X X X f Z ，，=,各观测值相互误差独立。
对其求全微分得：n n
dX X f dX X f dZ 0101)(...)(??++??==11??n n Z d K .
应用协因数传播律：n
n Z T XX ZZ
p k p k p k P K KQ Q 1...1112222121+++=== 这就是独立观测值协因数阵与其函数协因数阵之间的关系式，显然它描述了独立观测
值权倒数与其函数权倒数之间的关系。所以当观测值向量中元素两两相互独立时，协因数传播律取得了其特殊形式，称权倒数传播律。
讲授P42-43页范例10、11、12、13，其中前两例给出了独立观测值算术平均值，加权平均的权计算式，13就是间接平差中的公式。
§2-8由真误差计算中误差及其实际应用
一、用不同精度的真误差计算单位权中误差的基本公式
设有一组同精度观测值1
?n L ,数学期望为1?n μ,则真误差L -=?μ,
其中i L ~i i N ?、),(2σμ~），（2
0σN 。 根据§2-3给出的公式，中误差[]n
E n ??=?=
∞
→lim
2）（σ,
但是若1
?n L 是一组不等精度的独立观测值，它们对应的数学期望、中误差和权分别为：
??
?
??
n n n P P P ，，，，，，，，，.........2121121σσσμμμ i L ~),(2i i N σμ、i ?~），（20i N σ。
根据权的定义：i
i
P 20
2
σσ
=
,现已知权，若求得单位权中误差0σ，则可求得各观测值
的中误差i σ。为了应用上述求单位权中误差的公式，应从1
??n 求得到一组精度相同，权为1的独立真误差。为此可设1
??'n 是这样一组独立真误差，并且它与1
??n 的关系是：i i i ?=?'α，
其中i α是待定系数。
对i i i ?=?'α应用权倒数传播律，并根据假设得
i i i
i i p p P =?=='αα11
12。确定
了一组同精度，且权为1的真误差，代入求中误差的公式[]n
E n ??=?=∞
→lim
2）（σ，
得到：[][]n
p n
n n ??=?'?'=∞
→∞
→lim lim
0σ。这就是由一组独立但不同精度的真误差计算单
位权中误差的基本公式。
单位权观测值就是i i i ?=?'α11=?==
??=i i i i p p α的观测值。
二、由真误差计算中误差的实际应用
一般而言真误差不可知，从而不可用真误差计算中误差。但某些特殊情况下可以得到观测值函数的真误差，由此导出计算观测值中误差估值的公式 ，但是一般都是作为平差前初步估算精度的方法，实际意义不大。
（1）、菲涅罗公式
设在一个三角网中，以同精度观测了n 个三角形内角，设测角中误差为σ，则三角形闭合差1
?n ω是一组真误差。于是知三角形内角和的中误差为：[]n
ωωσ=
∑,而：
i i i i λβα++=∑，应用协方差传播率得：σσ3=∑，从而得到测角中误差估值：
[]n
3ωωσ=
。这就是测量中著名的菲涅罗公式，三角测量中常用来初步评定测角精度。
由于现在控制测量较少采用三角网形式，及n 较小时估算结果也不可靠等原因，菲涅罗公式已无实用价值。
（2）、由双观测值之差求中误差
测量中常对一系列被观测量进行成对观测（如对各段高差进行往返观测），对一个量进行的两次观测称为一个观测对。设对量n X X X 、、、...21各观测两次，得独立观测值：
n
n
n
P P P L L L L L L (21)
212
1
''' 其中i P 是第i 观测对的权，即i i L L '、的权。 设i i i L L d '-=(i=1,2,...n),则i d 的真值应为0，故而i d 是两次观测值之差的真误
差。对i i i L L d '-=应用协方差（权倒数）传播律，得：i
i i di P P P P 2
111=+=，即观测值
之差的权2
i
di P P =
。用真误差i d 求单位权中误差得：[][]n pdd n
dd P d 20==σ。根据权
的定义式知：观测值中误差估值i Li P 1
σσ=，两次观测平均值2
i i i L L x '+=的中误差：i
Li
xi P 21
2
σσσ==
。若设各次观测等精度，权均为1，则公式简化为：[]2
120
σσ
σ==
xi
L n
dd 、。 §2-9系统误差的传播
系统误差产生的原因多样，数值和符号随观测条件而变，残余系统误差对成果的影响，不可能有严密的计算方法。本节仅讨论估计系统误差的方法和某些情况下应用的近似估算方法。
一、观测值的系统误差与综合误差的方差
设有观测值,1
?n L 观测值的真值为∧
?1n L ,则,1
?n L 的综合误差Ω可定义为
Ω=ε+?=-∧
L L ,εε=+?=Ω)()()(E E E 。（由于系统误差ε不是随机量，所以有
εε=)(E 。）于是知，）（L E L -=∧
ε。即系统误差ε是观测值的数学期望对真值的偏差
值。当观测值含有系统误差时，期望不等于真值，ε越小，）（L E 对∧
L 的偏差越小，因此，ε有时称作L 的准确度。系统误差ε的存在，破坏了估计量的无偏性。
由ε+?=Ω2
222εε+?+?=Ω?。其中：n
T n n
n n
T n n
n ????????=?=112
112
、εεε
。
222222εσεεε+=+?+?=Ω=+?-=∧
）（）（）（）（）、（E E E E D L L LL 。即有结
论：观测值中含有残余系统误差时，观测值综合误差的方差为它的方差和系统误差的平方
之和。
若，σε31=
则σσσσ05.19
122=+=L ,所以实用上系统误差部分是偶然误差部分的3分之1以下时,对精度的影响可忽略不计.
三、 系统误差的传播
观测值残余的系统误差，使观测值的函数也产生系统误差称系统误差的传播。设已知
观测值1
?n L 的系统误差为∧
????-=Ω=1
111)()(n n n n L L E E ε。
若有线性函数n n L K L K L K Z +++= (2211)
顾及ε+?=-=Ω∧
L L ，则得：n n Z K K K Ω++Ω+Ω=Ω...2111. 取数学期望得：
对于非线性函数，令： ,同样可得：
四、系统误差和偶然误差的联合传播
设有独立观测值 ，它们的综合方差为： ，设有函数： . 则有：
等式两边平方：
对等式两端取期望，顾及
得：
推广到多个观测值的函数，含系统误差时的方差：
z =
[]εεεεεk k k k E k E K E n
n n n Z z =+++=Ω++Ω=Ω=...)(..)((221111)),...3,2,1()(n i L z
k i
i
=??= []εεk z =21L L 、222111εε+?=Ω+?=Ω、）
（）（221122112211εεk k k k k k z ++?+?=Ω+Ω=Ω))((2)(222112211222112121222221212εεεεk k k k k k k k k k z +?+?+++??+?+?=Ω，，）（、）（...0)(212121σ=?=?=?E E E 222112
2222121)(εεσσk k k k D ZZ +++=[]
[]2
22εσk k D ZZ +=
第二章：精度指标与误差传播 内容及学习要求 本章详细讨论偶然误差分布的规律性，衡量精度的绝对指标－中误差，相对指标－权及其确定权的实用方法；方差、协因数定义及其传播律等问题。本章内容是是测量平差的理论基础，也是本课程的重点之一。学习本章要求深刻理解精度指标的含义，掌握权、协方差、协因数概念，确定权及根据已知协方差、协因数的观测值求其函数的方差、协因数的方法（协因数、协方差传播律）。 §2-1概述 概括本章内容，其主线是偶然误差的统计规律→衡量单个随机变量的精度指标－方差→衡量随机向量的精度指标－协方差阵→求观测值向量函数的精度指标－协方差传播律→精度的相对指标-权。 §2-2偶然误差的规律性 本小节阐述偶然误差的统计规律性，提出偶然误差服从正态分布的结论 任何一个观测值，客观上总是存在一个真正代表其值的量，这一数值就称观测值的真`值。从概率统计的观点看，当观测量仅含偶然误差时，真值就是其数学期望。 某一随机变量的数学期望为：i n i i p x X E ∑== 1 )( 或 ?+∞ ∞ -=dx x xf X E )()( 期望的实质是一种理论平均值,可用无穷观测,以概率为权,取加权平均值的概念理解.dx x f )(表示x 出现在小区间dx 的概率。 设对n 个量进行了观测，观测值为。 、、、n L L L ???21其相应的真值分别为。 、、、n L L L ???21令i i i i L L ?-=?， 即真误差。由于假定测量平差所处理的观测值只含偶然误差，所以真误差i ?就是偶然误差。用向量形式表述为： ? ????????????=?n b L L L L 211、?????? ????????=?n n L L L L ..211、?? ?????????????=??n n .211 则有：111???-=?n n n L L 注意：本教程中凡是不加说明，即没有下标说明的向量都是列向量，若表示行向量则加以转置符号表示，如：T T T B A L 、、等。 对单个的偶然误差而言，大小和符号都没有规律，及事先完全不可预知。但从大量测量实践中知道，在相同的观测条件下，偶然误差就总体而言，有一定的统计规律，表现为如下几点： 1、 误差绝对值有一定限值 2、 绝对值小的比大的多 3、 绝对值相等的正负误差出现的个数相等或接近。 教材中分别列举两个实例，以358和421个三角形闭合差的分析结果验证了上述结论（闭合差是理论值与观测值之差，故是真误差）。注意：统计规律只有当有较多的观测量时，才能得出正确结论。 为了形象地刻画误差分布情况，以横坐标表示误差的大小，纵坐标采用单位区间频率（出现在某区间内的频率，等于该区间内出现的误差个数i v 除误差总个数n ，而采用单位频率 i i nd V ?为纵坐标值，使曲线（直方图）趋势不因区间间隔不同而变化）。根据统计规律可知，在相同条件下所得一组独立观测值，n 足够大时，误差出现在各个区间的频率总是稳定在某一常数（理论频率）附近，n 越大；稳定程度越高。n 趋于∞，则频率等于概率（理论频率）。令区间长度0→?d ，则长方条顶形成的折线变成光滑曲线，称概率曲线。
题目：影响零件加工精度因素的分析 影响零件加工精度因素的分析 摘要 在机械加工过程中，每一个产品都是由若干零件装配而成的，因而零件的加工质量是整台机器的基础，它直接影响机器的性能和寿命。有很多因影响零件最终的加工质量，如何使工件加工达到质量要求，如何减少各种因素对加工精度的影响，提高工件的加工质量，就成为必须考虑的事情，也就是要对影响机械加工精度的因素进行分析。该论文的目的是研究各种工艺因素对加工精度的影响及规律，从而找出减小加工误差、提高加工精度的途径。通过图例的分析，确定合适的加工方法，最终达到零件的质量要求。 关键词：加工精度工艺系统刚度位置精度几何参数
目录 绪论 (2) 1．加工精度与加工误差的概念 (3) 2. 产生加工误差的因素 (3) 2.1工艺系统的几何误差 (4) 2.1.1机床、刀具、夹具的制造误差与磨损 (4) 2.1.2 刀具、夹具误差及工件的定位误差 (9) 2.2 工件装夹误差 (10) 2.3机床的热变形及其对加工精度的影响 (10) 2．4 工件热变形及其对加工精度的影响 (11) 2.4.1刀具热变形及其对加工精度的影响 (12) 3. 提高加工精度的工艺措施 (14) 结论 (15) 致谢 (16) 参考文献 (17)
绪论 机床是各行各业普遍使用的机械设备，凡有机械加工的场所都离不开机床，它使用范围广，社会拥有量大，从业人员也越来越多，尤其大型机床设备、成套机床设备的安装需要非常专业的安装技术人员参与才能完成。近年来，随着新材料、新技术、新工艺和信息技术的发展，机械设备的体积、重量和技术含量都已经发生了很大变化，安装工艺也在不断地完善和发展。这篇论文主要介绍影响机械零件加工精度的因素和提高加工精度的方法，包括几何误差、加工中各种因素影响产生的误差，典型零件加工与加工方法，通过分析找出最适合的加工方案。
如何理解电子测量仪器的精度指标 精确度是衡量电子测量仪器性能最重要的指标，通常由读数精度、量程精度两部分组成。本文结合几个具体案例，讲述误差的产生、计算以及标定方法，正确理解精度指标能够帮助您选择合适的仪器仪表。 一、测量误差的定义 误差常见的表示方法有：绝对误差、相对误差、引用误差。 1）绝对误差：测量值x*与其被测真值x之差称为近似值x*的绝对误差，简称ε。 计算公式：绝对误差 = 测量值 - 真实值； 2）相对误差：测量所造成的绝对误差与被测量（约定）真值之比乘以100%所得的数值，以百分数表示。 计算公式：相对误差 =（测量值 - 真实值）/真实值×100%（即绝对误差占真实值的百分比）； 3）测量的绝对误差与仪表的满量程值之比，称为仪表的引用误差，它常以百分数表示。引用误差=（绝对误差的最大值/仪表量程）×100% 引用误差越小，仪表的准确度越高，而引用误差与仪表的量程范围有关，所以在使用同一准确度的仪表时，往往采取压缩量程范围，以减小测量误差 举个例子，使用万用表测得电压1.005V，假定电压真实值为1V，万用表量程10V，精度（引用误差）0.1%F.S，此时万用表测试误差是否在允许范围内？ 分析过程如下： 绝对误差：E = 1.005V - 1V = +0.005V； 相对误差：δ=0.005V/1V×100%=0.5%； 万用表引用误差：10V×0.1%F.S=0.1V； 因为绝对误差0.005V<0.1V，所以10V量程引用误差0.1%F.S的万用表，测量1V相对误差为0.5%，仍在误差允许范围内。 二、测量误差的产生 绝对误差客观存在但人们无法确定得到，且绝对误差不可避免，相对误差可以尽量减少。误差组成成分可分为随机误差与系统误差，即：误差=测量结果-真值=随机误差+系统误差因此任意一个误差均可分解为系统误差和随机误差的代数和系统误差： 1）系统误差（Systematic error） 定义：在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。 产生原因：由于测量工具（或测量仪器）本身固有误差、测量原理或测量方法本身理论的缺陷、实验操作及实验人员本身心理生理条件的制约而带来的测量误差。 特性：是在相同测量条件下、重复测量所得测量结果总是偏大或偏小，且误差数值一定或按一定规律变化。 优化方法：方法通常可以改变测量工具或测量方法，还可以对测量结果考虑修正值。 2）随机误差。 定义：随机误差又叫偶然误差，是指测量结果与同一待测量的大量重复测量的平均结果之差。产生原因：即使在完全消除系统误差这种理想情况下，多次重复测量同一测量对象，仍会由于各种偶然的、无法预测的不确定因素干扰而产生测量误差。 特点：是对同一测量对象多次重复测量，测量结果的误差呈现无规则涨落，可能是正偏差，也可能是负偏差，且误差绝对值起伏无规则。但误差的分布服从统计规律，表现出以下三个
《误差理论与测量平差基础》授课教案 2006～2007第一学期 测绘工程系 2006年9月
课程名称:误差理论与测量平差基础 英文名称: 课程编号：?? 适用专业：测绘工程 总学时数: 56学时其中理论课教学56学时，实验教学学时 总学分：4学分 ◆内容简介 《测量平差》是测绘工程等专业的技术基础课，测量平差的任务是利用含有观测误差的观测值求得观测量及其函数的平差值，并评定其精度。 本课程的主要内容包括误差理论﹑误差分布与精度指标﹑协方差传播律及权﹑平差数学模型与最小二乘原理﹑条件平差﹑附有参数的条件平差﹑间接平差﹑附有限制条件的间接平差﹑线性方程组解算方法﹑误差椭圆﹑平差系统的统计假设检验和近代平差概论等。 ◆教学目的、课程性质任务，与其他课程的关系，所需先修课程 本课程的教学目的是使学生掌握误差理论和测量平差的基本知识、基本方法和基本技能，为后续专业课程的学习和毕业后从事测绘生产打下专业基础。 课程性质为必修课、考试课。 本课程的内容将在测绘工程和地理信息系统专业的专业课程的测量数据处理内容讲授中得到应用，所需先修课程为《高等数学》、《概率与数理统计》、《线性代数》和《测量学》等。 ◆主要内容重点及深度 考虑到专业基础理论课教学应掌握“必须和够用”的原则，结合测绘专业建设的指导思想，教学内容以最小二乘理论为基础，误差理论及其应用、平差基本方法与计算方法，以及平差程序设计及其应用为主线。 测量误差理论，以分析解决工程测量中精度分析和工程设计的技术问题为着眼点，在掌握适当深度的前提下，有针对性的加强基本理论，并与实践结合，突出知识的应用。 平差方法，以条件平差和参数平差的介绍为主，以适应电算平差的参数平差为重点。 计算方法，以介绍适应电子计算机计算的理论、方法为主，建立新的手工计算与计算机求解线性方程组过程相对照的计算方法和计算格式。 平差程序设计及其应用，通过课程设计要求学生利用所学程序设计的知识和平差数学模型编制简单的平差程序，熟练掌握已有平差程序的使用方法。
建筑物沉降观测精度指标及评定方法 摘要：本文结合相关标准，探讨了建筑物沉降观测精度指标的含义及其估算方法，并对沉降观测结果的精度评定进行了研究。 关键词：建筑物；沉降观测；精度评定；精度指标 0 引言 沉降观测的精度要求取决于观测的目的、该建筑物的允许变形值以及建筑物的结构与基础类型[1]。由于沉降观测的精度直接影响到观测成果的可靠性和精确性，因此精度指标的确定及评定是沉降观测中的一个重要环节。然而，在现实工作中，建筑物沉降观测的精度评定经常被忽视，不少测量工作者甚至不清楚精度指标的含义及精度评定的方法。本文结合标准《建筑物沉降观测方法》DGJ32/J18-2006及《建筑变形测量规范》JGJ8-2007的要求，对建筑物的精度指标及评定进行深入探讨，弄清精度指标的概念及精度评定的方法。 1 基本概念 在测量中，由于受到测量仪器、观测者、外界条件等种种因素的影响，产生误差是不可避免的。测量误差分为偶尔误差和系统误差两大类，所谓精度，就是描述偶然误差分布的参数，精度越高，表示偶然误差的离散度越小，观测成果越可靠，反之亦然。 为了衡量观测精度的高低，利用一些数字反映误差分布的离散程度，这些数字称为衡量精度的指标，较常用的精度指标为方差和中误差，计算公式如下： （1） （2） 方差和中误差是表征精度的绝对数字指标，权、协因数（权倒数）则是表征精度的相对数字指标。设有观测值，对应的方差为，如选定任一常数，协因数的计算公式为： （3） 则称为的协因数或权倒数，为单位权中误差。对于水准测量，常用每公里观测高差中误差或者每测站高差中误差作为单位权中误差。 2 建筑物沉降观测精度指标及评定方法 2.1 精度指标
关于机械加工精度与加工误差的研究分析 发表时间：2019-08-29T14:35:25.360Z 来源：《基层建设》2019年第16期作者：董玉泉 [导读] 摘要：机械零件精度对机械产品的质量和性能有着直接影响。 身份证号码：44098219901028XXXX 摘要：机械零件精度对机械产品的质量和性能有着直接影响。减少误差提高精度对提高机械产品质量和性能意义重大。本文分析了机械加工精度误差产生的原因，并对如何提高机械加工精度提出了一些建议措施。 关键词：机械加工；精度；加工误差 引言：机械工业是国民经济发展的重要基础，作为现代化工业产品的重要生产环节，机械加工是利用机械手段针对相关工件进行加工制造的过程。随着高尖科技的不断创新与发展，对于机械元件加工的精度要求愈来愈高，针对影响机械加工精度的误差成因，如何在机械加工过程中避免或减小机械部件的精度误差，提高和优化机械产品的加工质量及其性能，成为现代机械加工制造领域广为关注的技术问题。 一、机械加工精度的含义及减少误差提高精度的意义 机械加工精度是指相关工件在加工完成后所具有的包括尺寸大小、几何形状以及各表面相互位置等参数的实际值，与其预先设计应具备的理想几何参数需求比对的相符程度。加工精度通常包括尺寸精度、形状精度和位置精度等方面的内容，尺寸精度用来限制加工表面与其基准间尺寸误差的范围，形状精度用来限制加工表面宏观几何形状误差，位置精度用来限制加工表面与其基准间的平行度、垂直度、同轴度等相互位置误差。由于加工机械的性能、技术方法、生产条件等因素的不同影响，机械加工出来的相关零件在其尺寸、形状和表面相互位置参数与理想参数总是存在一定的偏离误差，在数值上通常采用加工误差的大小来表示加工精度。机械元件的加工精度和表面质量等加工质量、是保证相关机械产品装配质量的基础，加工误差的大小反映了加工精度的高低。 在机械加工中，误差是不可避免的，只有对误差产生的原因进行详细的分析，才能采取相应的预防措施减少加工误差，提高机械加工精度。提高机械产品的质量和性能，是当前机械生产企业提高市场竞争力的重要手段。 二、机械加工产生误差的主要原因 通常情况下，误差是不可避免的。下面本文对几种常见的产生加工误差的原因进行分析： 2.1机床的几何误差 目前，国内的机械加工中的半成品以及成品都是在机床上加工而成的，所以，这一过程中很容易出现各类误差。例如：机床将工件固定在夹具上，利用高速旋转的刀具对工件进行切削，稍有偏差，就会造成一定的加工尺寸误差。这其中主要包括：主轴回转运动误差。该误差主要是指主轴在某一时刻发生的回转轴线同平均回转轴线之间的变动值。主要是由主轴几段轴颈的同轴度误差以及主轴绕度误差导致的；传动链误差。在传动链的始末端之间，往往会由传动元件之间的相对运动导致一定的误差；刀具几何误差。刀具在切削的过程中，不可避免的会出现一定的磨损，从而导致工件的尺寸或者形态出现一定的差异，进而引起误差。 2.2工艺系统受力变形引起的误差 机械加工工艺系统在切削力、夹紧力、惯性力、重力、传动力等的作用下，会产生相应的变形，从而破坏了刀具和工件之间的正确的相对位置，致使工件的加工精度下降。 （1）工件刚度：工艺系统中如果工件刚度相对于机床、刀具、夹具来说比较低，在切削力的作用下，工件由于刚度不足而引起的变形对加工精度的影响就比较大，其最大变形量可按材料力学有关公式估算。 （2）刀具刚度：外圆车刀在加工表面法线方向上的刚度很大，其变形可以忽略不计。镗直径较小的内孔，刀杆刚度很差，刀杆受力变形对孔加工精度就有很大影响。刀杆变形也可以按材料力学有关公式估算。 （3）机床部件刚度：机床部件由许多零件组成，机床部件刚度迄今尚无合适的简易计算方法，当今主要还是用实验方法来测定机床部件刚度。影响机床部件刚度的因素有：结合面接触变形的影响，摩擦力的影响，低刚零件的影响，间隙的影响等。 （4）工艺系统受热变形引起的误差：通常来说，系统受热变形会对精确性产生非常明显的影响，尤其是在生产较大的零件的时候，因为受热变形导致的问题在总的误差问题中占据的比例大约在百分之三十到七十之间。机床以及工件等一旦受到热源影响的话，它们的温度就会变高，而且它们自身也会向四周传递热。如果它们传递到外界的热和它们获取的热能量一样的话，此时系统就实现了热平衡。 2.3加工现场环境影响 加工现场往往有许多细小的金属屑，这些金属屑如果存在与零件定位面或定位孔位置就会影响零件的加工精度，对于高精度机械加工，一些细小到目视不到的金属屑都会影响到加工精度。 三、提高机械加工精度的措施 由于机械加工产生误差影响机械制造产品的质量及性能，为了减少误差的产生，下文提出了减少机械加工误差、提高机械加工精度的措施： 减少原始误差。提高零件加工所使用机床的几何精度，提高夹具、量具及工具本身精度，控制工艺系统受力、受热变形、刀具磨损、内应力引起的变形、测量误差等均属于直接减少原始误差。为了提高机械加工精度，需对产生加工误差的各项原始误差进行分析，根据不同情况对造成加工误差的主要原始误差采取不同的措施解决。对于精密零件的加工应尽可能提高所使用精密机床的几何精度、刚度和控制加工热变形；对具有成形表面的零件加工，则主要是如何减少成形刀具形状误差和刀具的安装误差。 均分原始误差。在机械加工过程中，工件毛坯的自身性能以及上一道机械加工工序中都可能存在一定的误差，并且，将这个误差延续到下一个工序当中。从而将机械加工的精确度进一步阐释不良影响。这个时候通常使用均分原始误差的方法进行处理。其实，这种方法实际上就是将原始误差进行平均划分，例如：将原始误差平均分成n份，那么，这个时候每一组的误差范围就会相应的缩减到原始误差的 1/n，接下来，对各道工序进行优化整理，最大程度低降低原始误差造成的机械加工精度下降。 采用现代化的机械加工技术，实现实时加工误差控制。随着机械加工技术的不断提高，现代化的数控机床已经得到了普及和广泛的应用。在数控机床机械加工中，通过计算机技术进行软件编程及程序化操作，我们能够实时监测到工件在加工工艺系统中的每一个过程的几何参数，从而实现了实时的加工误差控制和补偿。实时加工误差控制是在高精度的测量装备仪器中，对加工过程中的每一个环节采集工件
5.5.1 测量误差与精度 1. 测量误差的含义及表示方法 测量误差是测量结果与被测量的真值之差。由于测量误差的存在，被测量的真值是不能准确得到的。实用中，一般是以约定真值或以无系统误差的多次重复测量值的平均值代替真值。 测量误差有绝对误差和相对误差之分。 上述定义的误差称为绝对误差。即 = - （5-3） 绝对误差可能是正值或负值。被测尺寸相同的情况下，绝对误差大小能够反映测量精度。被测尺寸不同时，绝对误差不能反映测量精度。这时，应用相对误差的概念。 相对误差是指绝对误差的绝对值与被测量真值之比，即 （5-4） 2. 测量的精确度 测量的精确度是测量的精密度和正确度的综合结果。测量的精密度是指相同条件下多次测量值的分布集中程度，测量的正确度是指测量值与真值一致的程度。下面用打靶来说明测量的精确度： 把相同条件下多次重复测量值看作是同一个人连续发射了若干发子弹，其结果可能是每次的击中点都偏离靶心且不集中，这相当于测量值与被测量真值相差较大且分散，即测量的精密度和正确度都低；也可能是每次的击中点虽然偏离靶心但比较集中，这相当于测量值与被测量真值虽然相差较大，但分布的范围小，即测量的正确度低但精密度高；还可能是每次的击中点虽然接近靶心但分散，这相当于测量值与被测量真值虽然相差不大但不集中，即测量的正确度高但精密度低；最后一种可能是每次的击中点都十分接近靶心且集中，这相当于测量值与被测量真值相差不大且集中，测量的正确度和精密度都高，即测量的精确度高。 5.5.2 测量误差的来源及减小测量误差的措施 测量误差直接影响测量精度，测量误差对于任何测量过程都是不可避免的。正确认识测量误差的来源和性质，采取适当的措施减小测量误差的影响，是提高测量精度的根本途径。测量误差主要来源于以下几个方面：
机械加工精度参考答案 Prepared on 22 November 2020
机械加工精度参考答案一、判断题（正确的在题后括号内划“√”，错误的划“×”。） 1．精密丝杠可采用冷校直方法克服其弯曲变形。 (×) 2．误差复映是由于工艺系统受力变形所引起的。 (√) 3．误差复映指的是机床的几何误差反映到被加工工件上的现象。 (×) 4．减小误差复映的有效方法是提高工艺系统的刚度。 (√) 5．加工原理误差是由于机床几何误差所引起的。 (×) 6．由于刀具磨损所引起的加工误差属于随机误差。 (×) 7．机械加工中允许有原理误差。 (√) 8．在加工一批工件时，若多次调整机床，其调整误差仍为随机性误差。 (√) 9．在加工一批工件时因机床磨损速度很慢，机床制造误差在一定时间内可视为常值，所以其调整误差为常值系统性误差。 (√) 10．复映误差属于变值系统性误差。 (×) 11．定位误差属于常值系统性误差。 (×) 12．刀具和机床磨损造成的误差属于随机性误差。 (×) 13．工件受热变形造成的误差属于随机性误差。 (×)
二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中选出一个正确的答案，并将正确答案的标号填在题干的括号内。） 1．工件在车床三爪卡盘上一次装夹车削外圆及端面，加工后检验发现端面与外圆不垂直，其可能原因是（Ｃ）。 A．车床主轴径向跳动 B．车床主轴回转轴线与纵导轨不平行 C．车床横导轨与主轴回转轴线不垂直 D．三爪卡盘装夹面与车削主轴回转轴线不同轴 2．薄壁套筒零件安装在车床三爪卡盘上，以外圆定位车内孔，加工后发现孔有较大圆度误差，其主要原因是（ A ）。 A．工件夹紧变形 B．工件热变形 C．刀具受力变形 D．刀具热变形 3．车削细长轴时，由于工件刚度不足造成在工件轴向截面上的形状是（ C ）。 A．矩形 B．梯形 C．鼓形 D．鞍形 4．下列影响加工误差的因素中，造成随机误差的因素是（ D ）。 A．原理误差 B．机床几何误差 C．机床热变形 D．安装误差 5．零件加工尺寸符合正态分布时，其均方根偏差越大，表明尺寸（A）。 A．分散范围越大 B．分散范围越小 C．分布中心与公差带中心偏差越大 D．分布中心与公差带中心偏差越小6．在车床两顶尖上装夹车削光轴，加工后检验发现中间直径偏小，两端直径偏大，其最可能的原因是（ A ）。 A．两顶尖处刚度不足 B．刀具刚度不足
《误差理论与数据处理》 第一章 绪论 1-1．研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。 答： 研究误差的意义为： (1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差； (2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据； (3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。 误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。 1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？ 答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。 系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）； 随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化； 粗大误差的特点是可取性。 1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。 答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量； 绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。 (2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定 1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o 00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解： 绝对误差等于： 相对误差等于： 1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm ，已知其最大绝对 误差为 1μm ，试问该被测件的真实长度为多少？ 解： 绝对误差＝测得值－真值，即： △L ＝L －L 0 已知：L ＝50，△L ＝1 21802000180''=-'''o o %000031.010*********.00648002066018021802≈=' '' '''??''=''＝o
学习情境5 测量误差分析与数据处理 项目载体：北京工业职业技术学院地形图测绘数据分析与处理教学项目设计： 1、项目分析：项目来源：根据北京工业职业技术学院国家级示范院校建设工作的要求，为了提高学院管理的水平，已经测绘了该院综合地形图；根据实际工作的需要，测绘地形图的比例尺为1：500。 北京工业职业技术学院位于北京市石景山区五里坨地区，占地面积400余亩，建筑面积约20万平方米，大部分地区的自然地貌已经被建筑物和绿化带所覆盖，植被、建筑物相对比较密集，测区内的图根控制点大多数完好可以利用。 地形图的图式采用国家测绘局统一编制的《1：500、1：1000、1：2000大比例尺地形图图式》。 在地形图测绘过程中，获得了大量的外业观测数据，由于测量观测成果中测量误差的存在，使得测量数据之间存在着诸多矛盾，为了消除这些矛盾获得最终的测量成果，冰瓶定期精度，就必须要按照要求进行测量数据的分析与处理。。 2、任务分解：根据根据实际工作的需要，测量数据分析与处理工作任务可以分解为：评定精度的指标、中误差传播定律、盈盈误差传播定律处理测量观测资料、坐标方位角、根据地形图绘制断面图、量算制定区域的面积、根据指定坡度确定最短路线等 3、各环节功能：评定精度的指标是进行测量数据分析与处理时，进行精度评定的重要环节，是衡量测量成果精度高低的指标和手段；中误差传播定律是分析测量内业计算成果的误差分析的重要手段和基本技能；测量数据分析与处理是测量内业工作的核心内容，是测量工作者的重要的专业技能之一。 4、作业方案：根据实际工作的需要，确定衡量精度的指标，运用中误差传播定律分析解决测量工作中的数据分析问题；运用误差理论对测量过程中获得的高程测量数据、平面控制测量数据进行综合分析与处理，获得合格的测量内业成果并进行精度评定。 5、教学组织：本学习情景的教学为14学时，分为3个相对独立又紧密联系的子学习情境，教学过程中以作业组为单位，以各作业组的外业观测成果数据分
机械加工误差和精度 所谓加工精度是指零件加工后的几何参数（尺寸，几何形状和相互位置）与理想零件几何参数相符合的程度，他们之间的偏离程度则为加工误差。加工误差的大小反映了加工精度的高低，加工精度包括如下三个方面：（1）尺寸精度：限制加工表面与其基准间尺寸误差不超过一定的范围；（2）几何形状精度：限制加工表面的宏观几何形状误差，如：圆度，圆柱度，平面度，直线度等；（3）相互位置精度：限制加工表面与其基准间的相互位置误差，如：平行度，垂直度，同轴度，位置度等。在机械加工中，误差是不可避免的，但误差必须在允许的范围内。通过误差分析，掌握其变化的基本规律，从而采取相应的措施减少加工误差，提高加工精度。 1 机械加工产生误差主要原因 1.1 机床的几何误差 加工中刀具相对于工件的成形运动一般都是通过机床完成的，因此，工件的加工精度在很大程度上取决于机床的精度。机床制造误差对工件加工精度影响较大的有：主轴回转误差、导轨误差和传动链误差。机床的磨损将使机床工作精度下降。（1）主轴回转误差，机床主轴是装夹工件或刀具的基准，并将运动和动力传给工件或刀具，主轴回转误差将直接影响被加工工件的精度。（2）导轨误差，导轨是机床上确定各机床部件相对位置关系的基准，也是机床运动的基准。除了导轨本身的制造误差外，导轨的不均匀磨损和安装质量，也使造成导轨误差的重要因素。导轨磨损是机床精度下降的主要原因之一。（3）传动链误差，传动链误差是指传动链始末两端传动元件间相对运动的误差。一般用传动链末端元件的转角误差来衡量。 1.2 刀具的几何误差 刀具误差对加工精度的影响随刀具种类的不同而不同。采用定尺寸刀具成形刀具展成刀具加工时，刀具的制造误差会直接影响工件的加工精度；而对一般刀具，其制造误差对工件加工精度无直接影响。夹具的几何误差:夹具的作用时使工件相当于刀具和机床具有正确的位置，因此夹具的制造误差对工件的加工精度有很大影响。 1.3 定位误差 一是基准不重合误差。在零件图上用来确定某一表面尺寸、位置所依据的基准称为设计基准。在工序图上用来确定本工序被加工表面加工后的尺寸、位置所依据的基准称为工序基准。在机床上对工件进行加工时，须选择工件上若干几何要素作为加工时的定位基准，如果所选用的定位基准与设计基准不重合，就会产生基准不重合误差。二是定位副制造不准确误差。夹具上的定位元件不可能按基本尺寸制造得绝对准确，它们的实际尺寸都允许在分别规定的公差范围内变动。工件定位面与夹具定位元件共同构成定位副，由于定位副制造得不准确和定位副间的配合间隙引起的工件最大位置变动量，称为定位副制造不准确误差。 1.4 工艺系统受力变形产生的误差 1.5 工艺系统受热变形引起的误差 工艺系统热变形对加工精度的影响比较大，特别是在精密加工和大件加工中，由热变形所引起的加工误差有时可占工件总误差的50%。机床、刀具和工件受到各种热源的作用，温度会逐渐升高，同时它们也通过各种传热方式向周围的物质和空间散发热量。 1.6 调整误差 在机械加工的每一工序中，总要对工艺系统进行这样或那样的调整工作。由于调整不可能绝对地准确，因而产生调整误差。在工艺系统中，工件、刀具在机床上的互相位置精度，是通过调整机床、刀具、夹具或工件等来保证的。当机床、刀具、夹具和工件毛坯等的原始精度都达到工艺要求而又不考虑动态因素时，调整误差的影响，对加工精度起到决定性的作用。 2 提高加工精度的途径 保证和提高加工精度的方法，大致可概括为以下几种：减小原始误差法、补偿原始误差法、
零件的加工精度包括哪些 内容来源网络，由深圳机械展收集整理！ 更多精密零件加工展示，就在深圳机械展！ 零件加工精度包括 尺寸精度 指加工后零件的实际尺寸与零件尺寸的公差带中心的相符合程度。 形状精度 指加工后的零件表面的实际几何形状与理想的几何形状的相符合程度。 位置精度 指加工后零件有关表面之间的实际位置精度差别。 相互关系 通常在设计机器零件及规定零件加工精度时，应注意将形状误差控制在位置公差内，位置误差又应小于尺寸公差。即精密零件或零件重要表面，其形状精度要求应高于位置精度要求，位置精度要求应高于尺寸精度要求。 加工精度是加工后零件表面的实际尺寸、形状、位置三种几何参数与图纸要求的理想几何参数的符合程度。理想的几何参数，对尺寸而言，就是平均尺寸；对表面几何形状而言，就是绝对的圆、圆柱、平面、锥面和直线等；对表面之间的相
互位置而言，就是绝对的平行、垂直、同轴、对称等。零件实际几何参数与理想几何参数的偏离数值称为加工误差。 加工精度主要用于生产产品程度，加工精度与加工误差都是评价加工表面几何参数的术语。加工精度用公差等级衡量，等级值越小，其精度越高；加工误差用数值表示，数值越大，其误差越大。加工精度高，就是加工误差小，反之亦然。公差等级从IT01，IT0，IT1，IT2，IT3至IT18一共有20个，其中IT01表示的话该零件加工精度高的，IT18表示的话该零件加工精度是低的。 任何加工方法所得到的实际参数都不会绝对准确，从零件的功能看，只要加工误差在零件图要求的公差范围内，就认为保证了加工精度。 机器的质量取决于零件的加工质量和机器的装配质量，零件加工质量包含零件加工精度和表面质量两大部分。 机械加工精度是指零件加工后的实际几何参数（尺寸、形状和位置）与理想几何参数相符合的程度。它们之间的差异称为加工误差。加工误差的大小反映了加工精度的高低。误差越大加工精度越低，误差越小加工精度越高。 加工精度根据不同的加工精度内容以及精度要求，采用不同的测量方法。一般来说有以下几类方法： 1、按是否直接测量被测参数，可分为直接测量和间接测量。 直接测量：直接测量被测参数来获得被测尺寸。例如用卡尺、比较仪测量。间接测量：测量与被测尺寸有关的几何参数，经过计算获得被测尺寸。
《误差理论与数据处理》练习题参-考-答-案
第一章 绪论 1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o 00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解： 绝对误差等于： 相对误差等于： 1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m ，其最大绝对误差为20m μ，试求其最大相对误差。 % 108.66 % 1002.31 1020 100% max max 4-6 -?=??=?= 测得值 绝对误差相对误差 1－10 检定2.5级（即引用误差为2.5％）的全量程为l00V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电表是否合格? 解： 依题意，该电压表的示值误差为 2V 由此求出该电表的引用相对误差为 2/100＝2％ 因为 2％＜2.5％ 所以，该电表合格。 1-12用两种方法分别测量L 1=50mm ，L 2=80mm 。测得值各为50.004mm ，80.006mm 。试评定两种方法测量精度的高低。 相对误差 L 1:50mm 0.008%100%5050 004.501=?-= I L 2:80mm 0.0075%100%80 80 006.802=?-=I 21I I > 所以L 2=80mm 方法测量精度高。 1－13 多级弹导火箭的射程为10000km 时，其射击偏离预定点不超过0.lkm ，优秀射手能在距离50m 远处准确地射中直径为2cm 的靶心，试评述哪一个射击精度高? 21802000180''=-'''o o %000031.010*********.00648002066018021802≈=' '' '''??''=''＝o
探讨机械加工中的加工精度和加工误差 发表时间：2018-07-12T16:24:59.927Z 来源：《防护工程》2018年第6期作者：赵红旗 [导读] 工艺人员需仔细分析误差产生的原因，针对原因采取有针对性的控制手段，以期降低加工误差提高零件精度，同时可以总结更多有用的经验。 中国航空制造技术研究院北京 100024 摘要：加工出满足图纸精度要求的零件是机械加工的终极目标。但机械加工过程中无可避免的会出现加工误差问题，因而，需要结合具体情况分析误差产生的因素并采取适当和必要的措施提高机械加工的精度。本文在对机械加工精度进行简单阐述的基础上，剖析了机械加工误差产生的原因，并有针对性的提出了减少加工误差提高加工精度的一些措施，以供相关人员参考 关键词：机械加工；加工精度；加工误差 通常来说，保证机械零件功能和寿命的核心在于优质的机械产品质量，而确保产品质量的重点在于减少机械零件的加工误差提高加工精度。机械加工过程中产生加工误差的因素有很多，需要对加工误差的本质、产生原因等进行分析，以此减少机械加工误差保证机械加工产品质量。此次研究针对机械加工过程中的加工误差，对机械加工精度提升的举措进行了讨论。 一、机械加工精度 所谓机械加工精度，是指零件被加工表面的尺寸特征、几何位置的特征和理论规定值的相符合程度，而两者之间的差异则为加工误差。加工精度用公差等级进行衡量，等级的数值越小，其精度就会越高。加工误差则常用数值来表示，数值越大，其误差越大。若加工精度高，则加工误差小，反之亦然。加工精度包含尺寸精度、几何形状精度和相互间位置精度三方面内容。首先，尺寸精度是用于限制被加工表面与基准间误差在一定范围内的。其次，几何形状精度是用于限制被加工表面宏观几何形状与理论形状误差在一定范围内的。最后，相互间位置精度是用于限制加工表面与基准之间的位置误差在一定范围内的。 二、机械加工过程中存在的加工误差 （一）机械加工误差之定位误差 定位误差一般来说有两方面原因：第一，基准不重合造成的误差，基准是为了确立被加工表面的几何关系所依据的几何元素。若工艺生产过程中图纸基准、工艺基准和测量基准无法重合就会导致误差出现，一般而言，误差的大小与基准间的间距值成正比，因此在生产中应尽量将三种基准统一以期提高制造精度。第二，源自于定位夹具的误差，工件在夹具中的位置是依靠夹具定位元件保证的，但夹具定位面仅能无限接近理论值，其精度与理论值之间事实存在差异，因而，生产中使用的夹具应在经济性范围内尽可能提高其制造精度。（二）机械加工误差之工艺系统受热变形误差 工艺生产中由于机床运动、工件材料变形剥离和刀具变形等过程的存在因而会产生大量的热，经查，普通碳钢的热膨胀系数约为一米一度一丝，长度1米的零件每升高1℃长度会伸长0.01mm。因而，热量会导致机床传动系统变形，进而影响刀具和工件偏离理论轨迹。其次，热量也会导致刀具性能的降低，影响材料加工表面质量进行影响被加工表面精度。再次，加工过程中工件经历了由冷到热再到冷的过程，会产生一定的轮廓误差，尤其加工大尺寸薄壁精密零件时应特别注意热变形误差。 （三）机械加工误差之工艺系统受力变形 工艺系统运动过程中必然会产生力，有力就会有变形存在。切削加工前一般是在静止状态下调整机床、刀具和工件之间的相对位置关系，但当三者之间产生相对运动后必然会由于受力变形导致加工轨迹的变化，进而导致被加工表面偏离理论加工轨迹产生加工误差。一般而言，机床、刀具和工件的受力变形量与三者自身的刚度及三者之间组成的工艺系统刚度成正比，因而，提高产品精度必须提高工艺系统的刚度，例如提高机床薄弱环节的刚度。或者在不提高工艺系统刚度的前提下尽量降低工艺过程中产生的力，例如减少背吃刀量。（四）机械加工误差之零件内应力 零件制备过程中由于其组织存在微观或宏观的不均匀性而造成内应力的存在，当使用机械加工方法将其外部载荷去除时内应力会释放进而造成产品变形，尤其对于大尺寸厚重零件，在其加工后应采取一定的热处理手段消除内应力。 （五）机械加工误差之工艺协同集合 第一，机床主轴回转误差，机床主轴把运动与动力通过传递给刀具或者工件，若轴的精度有误差则会造成机床主轴回转误差，例如轴与轴承之间的同轴度误差会造成主轴径向回转误差。第二，导轨误差，导轨是机床上决定零件位置的核心部件，但在实际情况下不但导轨自身会出现误差，导轨的不均衡磨损与安装质量均会造成了误差情况。第三，传动链造成的误差，主要就是传动链首尾端在运动间造成的偏差值，使用展成法原理加工零件时应重点关注该误差。第四，刀具几何误差，由于刀具在切削过程中易于产生磨损等问题，继而直接影响到零件被加工表面的形状与大小。 三、机械加工精度提高与加工误差减少的方法 （一）运用误差补偿方式 众所周知，误差补偿方式事实上是一种通过设置人为误差来补偿加工误差的方式，误差补偿方式可以消除工艺系统里面的原始误差，从而将机械加工过程中的误差减少，继而达到提升加工精度的目的。 一般误差补偿过程分为4个阶段：首先，是对客观误差的精确检测和分析，确定误差项目。其次，误差数据处理，区分系统误差和偶然误差。再次，设计和选择合理的误差补偿机构和控制系统。最后，对误差补偿结果进行验证。 （二）采用误差分组方式 实际生产时，工序的生产进度是持续稳定的，同时工艺能力是充足的。但是，受到毛坯与工序半成品质量一致性差等因素的影响，零件最终尺寸分散度较大，不仅影响了工序精度，还降低了生产效益。此时需采用一种误差分组的方式进行处理，其过程是把毛坯或工序半成品按其尺寸范围进行分段或分组，例如，尺寸为28±0.1mm的一批高度块可再分为27.9~28和28~28.1两个组，这样两个子组内的毛坯尺寸分散范围缩小了一半，然后针对两个子组分别调整不同的刀具相对工件的位置，此法可有效减少误差，从而提高加工精度。 （三）因事为制减少误差方式 通常而言，每个工艺系统都有其固有的原始误差，因而，针对不同的系统分析其原始误差产生的原因和规律，寻找降低误差的方法则
第一章绪论 1.1研究误差的意义 1.1.1研究误差的意义为： 1）正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差 2）正确处理测量和试验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据 3）正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。1.2误差的基本概念 1.2.1误差的定义：误差是测得值与被测量的真值之间的差。 1.2.2绝对误差：某量值的测得值之差。 1.2.3相对误差：绝对误差与被测量的真值之比值。 1.2.4引用误差：以仪器仪表某一刻度点的示值误差为分子，以测量范围上限值或全量程为分母，所得比值为引用误差。 1.2.5误差来源：1）测量装置误差 2）环境误差 3）方法误差 4）人员误差 1.2.6误差分类：按照误差的特点，误差可分为系统误差、随机误差和粗大误差三类。 1.2.7系统误差：在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，按一定规律变化的误差为系统误差。 1.2.8随机误差：在同一测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差称为随机误差。 1.2.9粗大误差：超出在规定条件下预期的误差称为粗大误差。 1.3精度 1.3.1精度：反映测量结果与真值接近程度的量，成为精度。 1.3.2精度可分为： 1）准确度：反映测量结果中系统误差的影响程度 2）精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度 3）精确度：反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度，其定量特征可用测量的不确定度来表示。 1.4有效数字与数据运算 1.4.1有效数字：含有误差的任何近似数，如果其绝对误差界是最末位数的半个单位，那么从这个近似数左方起的第一个非零的数字，称为第一位有效数字。从第一位有效数字起到最末一位数字止的所有数字，不论是零或非零的数字，都叫有效数字。 1.4.2测量结果应保留的位数原则是：其最末一位数字是不可靠的，而倒数第二位数字应是可靠的。 1.4.3数字舍入规则：保留的有效数字最末一位数字应按下面的舍入规则进行凑整： 1）若舍去部分的数值，大于保留部分的末位的半个单位，则末位加一 2）若舍去部分的数值，小于保留部分的末位的半个单位，则末位不变 3）若舍去部分的数值，等于保留部分的末位的半个单位，则末位凑成偶数。 1.4.4数据运算规则： 1）在近似数加减运算时，运算数据以小数位数最少的数据位数为准 2）在近似数乘除运算、平方或开方运算时，运算数据以有效位数最少的数据位数为准 3）在对数运算、三角函数运算时，数据有效位数应查表得到。 第二章误差的基本性质与处理 2.1随机误差 2.1.1随机误差的产生原因：1）测量装置方面的因素 2）环境方面的因素 3）人员方面的因素。 2.1.2随机误差一般具有以下几个特性：对称性，单峰性，有界性，抵偿性。 2.1.3正态分布：服从正态分布的随机误差均具有以上四个特征，由于多数随机误差都服从正态分布，因而正态分布在误差理论中占有十分重要的地位。
第一章绪论 1－1 测得某三角块的三个角度之和为180o00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解： 绝对误差等于： 相对误差等于： 1－6 检定2.5级（即引用误差为2.5％）的全量程为l00V的电压表，发现50V刻度点的示值误差2V为最大误差，问该电表是否合格? 解： 依题意，该电压表的示值误差为 2V 由此求出该电表的引用相对误差为 2/100＝2％ 因为 2％＜2.5％ 所以，该电表合格。 1－9 多级弹导火箭的射程为10000km时，其射击偏离预定点不超过0.lkm，优秀射手能在距离50m远处准确地射中直径为2cm的靶心，试评述哪一个射击精度高? 解： 多级火箭的相对误差为： 射手的相对误差为： 多级火箭的射击精度高。 第二章误差的基本性质与处理 2－4 测量某电路电流共5次，测得数据(单位为mA为168.41，168.54，168.59，168.40，168.50。试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。
解： 2—5 在立式测长仪上测量某校对量具，重复测量5次，测得数据(单位为mm为20．0015，20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。若测量值服从正态分布，试以99％的置信概率确定测量结果。 解： 求算术平均值 求单次测量的标准差 求算术平均值的标准差 确定测量的极限误差 因n＝5 较小，算术平均值的极限误差应按t分布处理。 现自由度为：ν＝n－1＝4；α＝1－0.99＝0.01， 查 t 分布表有：ta＝4.60 极限误差为
写出最后测量结果 2－8 用某仪器测量工件尺寸，已知该仪器的标准差σ＝0.001mm，若要求测量的允许极限误差为 ±0.0015mm，而置信概率P为0.95时，应测量多少次？ 解：根据极限误差的意义，有 根据题目给定得已知条件，有 查教材附录表3有 若n＝5，v＝4，α＝0.05，有t＝2.78， 若n＝4，v＝3，α＝0.05，有t＝3.18， 即要达题意要求，必须至少测量5次。 2－19 对某量进行两组测量，测得数据如下： xi0.620.861.131.131.161.181.201.211.221.301.341.391.411.57 yi0.991.121.211.251.311.311.381.411.481.591.601.601.841.95试用秩和检验法判断两组测量值之间是否有系统误差。