2011年高考数学复习资料
专题二：函数与导数的交汇题型分析及解题策略
【命题趋向】
函数的观点和方法既贯穿了高中代数的全过程，又是学习高等数学的基础，是高考数学中极为重要的内容，纵观全国及各自主命题省市近三年的高考试题，函数与导数在选择、填空、解答三种题型中每年都有试题，分值26分左右，如08年福建文11题理12题(5分)为容易题，考查函数与导函数图象之间的关系、08年江苏14题(5分)为容易题，考查函数值恒成立与导数研究单调性、08年北京文17题(12分)为中档题考查函数单调性、奇偶性与导数的交汇、08年湖北理20题(12分)为中档题，考查利用导数解决函数应用题、08年辽宁理22题(12分)为中档题，考查函数利用导数确定函数极值与单调性问题等.预测2009年关于函数与导数的命题趋势，仍然是难易结合，既有基本题也有综合题，函数与导数的交汇的考查既有基本题也有综合题，基本题以考查基本概念与运算为主，考查函数的基础知识及函数性质及图象为主，同时考查导数的相关知识，知识载体主要是三次函数、指数函数与对数函数综合题.主要题型：(1)利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题；(2)考查以函数为载体的实际应用题，主要是首先建立所求量的目标函数，再利用导数进行求解.
【考试要求】
1．了解函数的单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法．
2．了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数．3．掌握有理指数幂的运算性质．掌握指数函数的概念、图象和性质．
4．掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质．
5．能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．
6．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．
7．熟记基本导数公式（c，x m（m为有理数），sinx，cosx，e x，a x，lnx，log a x的导数）；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．
8．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．
【考点透视】
高考对导数的考查主要以工具的方式进行命题，充分与函数相结合.其主要考点：
（1）考查利用导数研究函数的性质（单调性、极值与最值）；
（2）考查原函数与导函数之间的关系；
（3）考查利用导数与函数相结合的实际应用题.从题型及考查难度上来看主要有以下几个特点：①以填空题、选择题考查导数的概念、求函数的导数、求单调区间、求函数的极值与最值；②与导数的几何意义相结合的函数综合题，利用导数求解函数的单调性或求单调区
间、最值或极值，属于中档题；③利用导数求实际应用问题中最值，为中档偏难题.
【典例分析】
题型一导函数与原函数图象之间的关系
如果原函数定义域内可导，则原函数的图象f(x)与其导函数f'(x)的图象有密切的关系：1．导函数f'(x)在x轴上、下方图象与原函数图象上升、下降的对应关系：
（1）若导函数f'(x)在区间D上恒有f'(x)＞0，则f(x)在区间D上为增函数，由此进一步得到导函数f'(x)图象在x轴上方的图象对应的区间D为原函数图象中的上升区间D；
（2）若导函数f'(x)在区间D上恒有f'(x)＜0，则f(x)在区间D上为减函数，由此进一步得到导函数f'(x)图象在x轴下方的图象对应的区间为原函数图象中的下降区间.
2．导函数f'(x)图象的零点与原函数图象的极值点对应关系：导函数f'(x)图象的零点是原函数的极值点.如果在零点的左侧为正，右侧为负，则导函数的零点为原函数的极大值点；
如果在零点的左侧为负，右侧为正，则导函数的零点为原函数的极小值点.
【例1】如果函数y＝f(x)的图象如右图，那么导函数y＝f'(x)的图象可能是（）
【分析】根据原函数y＝f(x)的图象可知，f(x)有在两个上升区间，有两个下降区间，且第一个期间的上升区间，然后相间出现，则反映在导函数图象上就是有两部分图象在x 轴的上方，有两部分图象在x轴的下方，且第一部分在x轴上方，然后相间出现.
【解】由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负,只有答案A满足.
【点评】本题观察图象时主要从两个方面：(1)观察原函数f(x)的图象哪些的上升区间？哪些下降区间？；(2)观察导函数f'(x)的图象哪些区间在大于零的区间？哪些部分昌小于零的区间？
【例2】设f'(x)是函数f(x)的导函数，y＝f'(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是（）
【分析】先观察所给出的导函数y＝f'(x)的图象的正负区间，再观察所给的选项的增减区间，二者结合起来即可作出正确的选择.本题还可以通过确定导函数y＝f'(x)的图象零点0、2对应原函数的极大或极小值点来判断图象.
【解法1】由y＝f'(x)的图象可以清晰地看出，当x∈(0,2)时，y＝f'(x)＜0，则f(x)为减函数，只有C项符合，故选C.
【解法2】在导函数f'(x)的图象中，零点0的左侧函数值为正，右侧为负，由可知原
函数f(x)在x ＝0时取得极大值.又零点2的左侧为负，右侧为正，由此可知原函数f(x)在x ＝0时取得极小值，只有C 适合，故选C.
【点评】 (1)导函数值的符号决定函数的单调性为“正增、负减”，导函数的零点确定原函数的极值点；(2)导函数的增减性与函数增减性之间没有直接的关系，但它刻画函数图象上的点的切线斜率的变化趋势.
题型二 利用导数求解函数的单调性问题
若f(x)在某区间上可导，则由f '(x)＞0(f '(x)＜0)可推出f(x)为增（减）函数，但反之则不一定，如：函数f(x)＝x 3在R 上递增，而f '(x)≥0.f(x)在区间D 内单调递增(减)的充要条件是f '(x 0)≥0(≤0)，且f '(x)在(a ，b)的任意子区间上都不恒为零.利用导数求解函数单调性的主要题型：(1)根据函数解析式，求函数的单调区间；(2)根据函数的单调性函数求解参数问题；(3)求解与函数单调性相关的其它问题，如函数图象的零点、不等式恒成立等问题.
【例3】 (08全国高考)已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋x ＋1，a ∈R ．(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调
区间；(Ⅱ)设函数f(x)在区间(－23，－13)内是减函数，求a 的取值范围．
【分析】 第（Ⅰ）小题先求导函数f '(x)，由于含有参数a ，根据判别式确定对a 的分类标准，进而确定单调区间；第（Ⅱ）小题根据第（Ⅰ）小题的结果，建立关于a 的不等式组，由此可确定a 的范围.
【解】 (Ⅰ)由f(x)＝x 3＋ax 2＋x ＋1，求导得f '(x)＝3x 2＋2ax ＋1，
当a 2≤3时，△＝4(a 2－3)≤0，f '(x)≥0，f(x)在R 上递增，
当a 2＞3，f '(x)＝求得两根为x ＝－a±a 2－33
，则 函数f(x)在区间(－∞，－a －a 2－33)上递增，在区间(－a －a 2－33，－a ＋a 2－33
)上递减，
在区间(－a －a 2－33
，＋∞)上递增. (Ⅱ)由(Ⅰ)得?
?? －a －a 2－33≤－23－a ＋a 2－33
≥－13，且a 2＞3，解得a≥2. 【点评】 本题是利用导数求解函数单调性问题的两类最典型的题型.由于函数解析式中含有字母参数a ，因此解答第(Ⅰ)小题时注意分类讨论.第(Ⅱ)小题的解答是根据第(Ⅰ)小题的结果，利用集合集合间的关系建立不等式来求解的.第(Ⅱ)小题还是利用函数在已知区间上
减函数建立不等式??? f '(－23)≤0
f '(－13
)≤0来求解. 题型三 求函数的极值问题
极值点的导数一定为0，但导数为0的点不一定是极值点，同时不可导的点可能是极值点.因此函数的极值点只能在导数为0的点或不可导的点产生.利用导数求函数的极值主要题型：(1)根据函数解析式求极值；(2)根据函数的极值求解参数问题.解答时要注意准确应用利用导数求极值的原理求解.
【例4】 (08·四川)设x ＝1和x ＝2是函数f(x)＝x 5＋ax 3＋bx ＋1的两个极值点.(Ⅰ)求a 和b 的值；(Ⅱ)略.
【分析】 先求导函数f '(x)，然后由x ＝1和x ＝2是f '(x)＝0的两个根建立关于a 、b 的
方程组求解.
【解】 因为f '(x)＝5x 4＋3ax 2＋b ，
由x ＝1和x ＝2是函数f(x)＝x 5＋ax 3＋bx ＋1的两个极值点，所以f '(1)＝0，且f '(2)＝0， 即??? 5×14＋3a×12＋b ＝05×24＋3a×22＋b ＝0
，解得a ＝253，b ＝20. 【点评】 解答本题要明确极值点与导函数方程之间的关系：对于三次函数极值点的导数一定为0，但导数为0的点不一定是极值点.本题解得充分利用上述关系，通过建立方程组求得了a 和b 的值.
【例5】 (08陕西高考)已知函数f(x)＝kx ＋1x 2＋c
(c ＞0，且c≠1，k ∈R ）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是x ＝－c ．(Ⅰ)求函数f(x)的另一个极值点；(Ⅱ)求函数f(x)的极大值M 和极小值m ，并求M －m≥1时k 的取值范围．
【分析】 先求导函数f '(x)，然后令f '(－c)＝0及一元二次方程根与系数的关系可解决第（Ⅰ）小题；而解答第（Ⅱ）小题须对k 与c 进行分类讨论进行解答.
【解】 (Ⅰ)f '(x)＝k(x 2＋c)－2x(kx ＋1)(x 2＋c)2＝－kx 2－2x ＋ck (x 2＋c)2
， 由题意知f '(－c)＝0，即得c 2k －2c －ck ＝0，即c ＝1＋2k
（*）
∵c≠0，∴k≠0．由f '(0)＝0，得－kx 2－2x ＋ck ＝0，
由韦达定理知另一个极值点为x ＝1．
(Ⅱ)由（*）式得c ＝1＋2k ，当c ＞1时，k ＞0；当0＜c ＜1时，k ＜－2．
(ⅰ)当k ＞0时，f(x)在(－∞，－c)和(1，＋∞)内是减函数，在(－c ，1)内是增函数．
f(1)＝k ＋1c ＋1＝k 2＞0，m ＝f(－c)＝－kc ＋1c 2＋c ＝－k 2
2(k ＋2)
＜0， 由M －m ＝k 2＋k 2
2(k ＋2)
≥1及k ＞0，解得k≥ 2. (ⅱ)当k ＜－2时，f(x)在(－∞，－c)和(1，＋∞)内是增函数，在(－c ，1)内是减函数．
∴M ＝f(1)＝－k 22(k ＋2)＞0，m ＝k ＋1c ＋1＝k 2＜0，而M －m ＝－k 22(k ＋2)－k 2＝1－(k ＋1)2＋1k ＋2
≥1恒成立．
综上可知，所求k 的取值范围为(－∞，－2)∪[2，＋∞)．
【点拨】 第(Ⅰ)小题解答的关键是利用一元二次方程的韦达定理.第(Ⅱ)小题的是与极值相关的解决恒成立问题，因此求函数在定义域上的极值是解答的关键.
题型四 求解函数的最值问题
函数在闭区间上的最值是比较所有极值点与端点的函数值所得结果，因此函数在闭区间[a ，b]上的端点函数值一定不是极值，但它可能是函数的最值.同时，函数的极值不一定是函数的最值，最值也不一定是极值.另外求解函数的最值问题，还可以直接结合函数的单调性来求解.利用导数求解函数最值问题的主要题型：(1)根据函数的解析式求函数的最大值；
(2)根据函数在一个区间上的最值情况求解参数问题.
【例6】 (08浙江高考)已知a 是实数，函数f(x)＝x 2(x －a).(Ⅰ)略；（Ⅱ）求f(x)在区间
[0，2]上的最大值.
【分析】 首先求函数f '(x)，再解方程f '(x)＝0，得两个根，而两根含有参数，但不知两根的大小，因此须分类讨论讨论函数f(x)的单调区间，进而确定f(x)在给定区间上的最大值.
【解】 (Ⅱ)f '(x)＝3x 2－2ax ．令f '(x)＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a 3．
当2a 3≤0，即a≤0时，f(x)在[0，2]上单调递增，从而f(x)max ＝f(2)＝8－4a ．
当2a 3≥2，时，即a≥3时，f(x)在[0，2]上单调递减，从而f(x)max ＝f(0)＝0．
当0＜2a 3＜2，即0＜a ＜3，f(x)在[0，2a 3]上单调递减，在[2a 3，2]上单调递增，
从而f(x)max ＝??? 8－4a 0＜a≤20 2＜a ＜3
， 综上所述，f(x)max ＝??? 8－4a a≤20 a ＞2
. 【点评】 本题由于函数解析式中含有参数，因此方程f '(x)＝0的根含有参数，在确定函数单调区间时要注意对参数a 的讨论.本题的解答不是通过先确定函数在区间上的极值，再比较其与区间端点值的大小来求解的，而是利用函数单调性来求函数在各单调区间上的最值，再比较这些最值大小来求解的.
题型五 导数与数学建模的问题
此类试题主要是利用函数、不等式与导数相结合设计实际应用问题，旨在考查考生在数学应用方面阅读、理解陈述的材料，能综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，这是高考中的一个热点.
【例7】 (08·湖北)水库的蓄水量随时间而变化，现用t 表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t 的近似函数关系式为
V(t)＝??? (－t 2＋14t －40)e 14t ＋50 0＜t≤104(t －10)(3t －41)＋50 10＜t≤12
， (Ⅰ)该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以i －1＜t ＜i 表示第1月份（i ＝1，2，…，
12）,同一年内哪几个月份是枯水期？
(Ⅱ)求一年内该水库的最大蓄水量（取e ＝2.7计算）.
【分析】 根据解答分段函数“对号入座”的解题原则，分别利用两段函数表达式建立不等式可求得第（Ⅰ）小题；而第（Ⅱ）小题则须先求函数V '(t)，然后利用导数与函数最值关系求解.
【解】 (Ⅰ)①当0＜t≤10时，V(t)＝(－t 2＋14t －40)e 14t ＋50＜50，化简得t 2－14t ＋40＞0，
解得t ＜4或t ＞10，又0＜t≤10，故0＜t ＜4.
②当10＜t≤12时，V(t)＝4(t －10)(3t －41)＋50＜50，化简得(t －10)(3t －41)＜0，
解得10＜t ＜413，又10＜t≤12,故10＜t≤12.
综合得0＜t ＜4,或10＜t≤12；故知枯水期为1月，2月，3月，11月，12月共5个月. (Ⅱ)由(Ⅰ)知：V(t)的最大值只能在（4，10）内达到.
由V '(t)＝e 14t (－14t ＋32t ＋4)＝－14e 14t
(t ＋2)(t －8) 令V '(t)＝0，解得t ＝8(t ＝－2舍去).
当t
故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米.
【点评】 本题第(Ⅰ)主要是根据题设条件给出的函数建立不等式，再解不等式，但要注意分段求解.第(Ⅱ)主要是通过求导取得极值，最后再求得最值的，但要注意要根据第(Ⅰ)确定函数定义域.
【例8】 （2006年福建卷）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y
（升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：y =1128000x 2－380x+8 (0＜x ≤120).
已知甲、乙两地相距100千米.（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
【分析】 第（Ⅰ）小题直接根据所给函数的解析式进行计算；第（Ⅱ）小题须根据条件建立耗油量为h(x)关于行驶速度x 的函数关系式，再利用导数的知识进行解答.
【解】 （I ）当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了10040=2.5小时，
要耗没(1128000×403－380×40+8)×2.5=17.5（升）.
答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升.
（II ）当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x 小时，设耗油量为h(x)升，
依题意得h(x)=(1128000x 3－380x+8)·100x =11280x 2+800x －154(0＜x≤120)，
h '(x)=x 640－800x 2=x 3－803
640x 2(0＜x≤120)，令h '(x)=0得x=80，
当x ∈(0,80)时，h '(x)＜0,h(x)是减函数；当x ∈(80,120)时，h '(x)＞0,h(x)是增函数,
∴当x=80时，h(x)取到极小值h(80)=11.25,因为h(x)在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值.
答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.
【点评】 解答类似于本题的问题时，可从给定的数量关系中选取一个恰当的变量，建立函数模型，然后根据目标函数的结构特征(非常规函数)，确定运用导数最值理论去解决问题.
【专题训练】
一、选择题
1．函数f(x)＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f(x)有两个极值点x 1，x 2，则x 1·x 2＝
（ ）
A ．9
B ．－9
C ．1
D ．－1 2．函数f(x)＝13x 3＋ax ＋1在(－∞，－1)上为增函数，在(－1，1)上为减函数，则f(1)为（ ） A ．73 B ．1 C ．13 D ．－1
3．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0，1)内有最小值，则a 的取值范围为
（ ） A ．0≤a ＜1 B ．0＜a ＜1 C ．－1＜a ＜1 D ．0＜a ＜12
4．已知函数f(x)＝x 2(ax ＋b)(a ，b ∈R )在x ＝2时有极值，其图象在点(1，(1))处的切线与直线3x ＋y ＝0平行，则函数f(x)的单调减区间为 （ ）
A ．(－∞，0)
B ．(0，2)
C ．(2，＋∞)
D ．(－∞，＋∞)
5．函数y ＝f(x)在定义域(－32，3)内可导，其图像如图所示.记y ＝f (x )的导函数为y ＝f '(x)，则
不等式f '(x)≤0的解集为
（ ）
A ．[－13，1]∪[2，3)
B ．[－1，12]∪[43，83]
C ．[－32，12]∪[1，2)
D ．(－32，－13]∪[12，43]∪[43，3)
6．设函数f(x)＝sin(ωx ＋π6)－1(ω＞0)的导数f '(x)的最大值为3，则f(x)的图象的一条对称轴的
方程是
（ ） A ．x ＝π9 B ．x ＝π6 C ．x ＝π3 D ．x ＝π2 7．函数f(x)的定义域为开区间(a ，b)，导函数f '(x)在(a ，b)内的图象如下图所示.则函数f(x)在开区间(a ，b)内有极小值点 （ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
8．函数f(x)(x ∈R)的图象如图所示，则函数g(x)＝f(log a x)(0＜a ＜1)的单调减区间是（ ）
A ．[0，12]
B ．(－∞，0)∪[12，＋∞)
C ．[a ，1]
D ．[a ，a ＋1]
8．函数y ＝xcosx －sinx 在下面哪个区间内是增函数（ ）
A ．(π2，3π2)
B ．(π，2π)
C ．(3π2，5π3)
D ．(2π，3π)
9．下列图象中，有一个是函数f(x)＝13
x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a≠0)的导函数f '(x)的图象，则f(－1)等于
（ ）
A ．13
B ．－13
C ．73
D ．－13或53 11．已知对任意实数x ，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x ＞0时，f '(x)＞0，g '(x)＞0，则
x ＜0时 （ ）
A ．f '(x)＞0，g '(x)＞0
B ．f '(x)＞0，g '(x)＜0
C ．f '(x)＜0，g '(x)＞0
D ．f '(x)＜0，g '(x)＜0
12．若函数y ＝f(x)在R 上可导，且满足不等式xf '(x)＞－f(x)恒成立，且常数a ，b 满足a ＞b ，
则下列不等式一定成立的是 （ ）
A ．a f(b)＞bf(a)
B ．a f(a)＞bf(b)
C ．a f(a)＜bf(b)
D ．a f(b)＜bf(a)
二、填空题
13．右图是一个三次多项式函数f(x)的导函数f '(x)的图象，
则当x ＝______时，函数取得最小值.
14．已知函数f(x)＝13x 3－a 2x 2＋2x ＋1，且x 1，x 2是f(x)的两
个极值点，0＜x 1＜1＜x 2＜3，则a 的取值范围_________.
15．已知函数f(x)＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 在区间[－1，2]上是减函数，那么b ＋c 最大值为
___________.
16．曲线y ＝2x 4上的点到直线y ＝－x －1的距离的最小值为____________.
三、解答题
17．设函数f(x)＝2x 3－3(a －1)x 2＋1，其中a≥1.
(Ⅰ)求f(x)的单调区间；
(Ⅱ)讨论f(x)的极值.
18．已知定义在R 上的函数f(x)＝x 2(ax －3)，其中a 为常数.(Ⅰ)若x ＝1是函数f(x)的一个极
值点，求a 的值；(Ⅱ)若函数f(x)在区间（－1，0）上是增函数，求a 的取值范围.
19．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋ax＋d的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为6x-y+7=0.
（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；
（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间.
20．设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．
21．已知函数f(x)＝－x2＋8x，g(x)＝6ln x＋m.
（Ⅰ）求f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值h(t)；
（Ⅱ）是否存在实数m，使得y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且只有三个不同的交点？
若存在，求出m的取值范围；，若不存在，说明理由。
22．已知函数f(x)＝log a x ＋2x 和g(x)＝2log a (2x ＋t －2)＋2x(a ＞0，a≠1，t ∈R)的图象在x ＝2
处的切线互相平行.
(Ⅰ)求t 的值；
(Ⅱ)设F(x)＝g(x)－f(x)，当x ∈[1，4]时，F(x)≥2恒成立，求a 的取值范围.
【专题训练】参考答案
一、选择题
1．D 【解析】f '(x)＝3x 2＋2ax ＋3，则x 1·x 2＝1.
2．C 【解析】∵f '(x)＝x 2＋a ，又f '(－1)＝0，∴a ＝－1，f(1)＝13－1＋1＝13.
3．B 【解析】f '(x)＝3x 2－3a ，由于f(x)在(0，1)内有最小值，故a ＞0，且f '(x)＝0的解为
x 1＝a ，x 2＝－a ，则a ∈(0，1)，∴0＜a ＜1.
4．B 【解析】∵f(x)＝ax 3＋bx 2，f′(x)＝3ax 2＋2bx ，∴??? 3a×22＋2b×2＝03a ＋2b ＝－3，即??? a ＝1b ＝－3
，令f '(x)＝3x 2－6x ＜0，则0＜x ＜2，即选B.
5．A 【解析】由条件f '(x)≤0知，选择f(x)图象的下降区间即为解.
6．A 【解析】f '(x)＝ωcos(ωx ＋π6)，则ω＝3，则由3x ＋π6＝2kπ＋π2，即x ＝23kπ＋π9(k ∈Z)，
由此可知x ＝π9为f(x)的图象的一条对称轴.
7．A 【解析】f '(x)的图象与x 轴有A 、B 、O 、C 四个交点. 其中在A 、C 处f '(x)的值都是由正变负，相应的函数值则由增变减，故f(x)点A 、C 处应取得极大值；在B 处f '(x)的值由负变正，相应的函数值则由减变增，故f(x)在点B 处应取得极小值.点O 处f '(x)的值没有正负交替的变化，故不是极值点，这就是说，点B 是唯一的极值点.
8．C 【解析】因为u ＝log a x(0＜a ＜1)在（0，＋∞）上是减函数，根据函数的单调性的复
合规律得0≤lo g a x≤12，即a ≤a≤1，故选C.
8．B 【解析】y '＝(cosx －xsinx)＝－xsinx ，令－xsinx ＞0，则xsinx ＜0，各选项中x 均为正，
只须sinx ＜0，故x ∈(π，2π).
9．B 【解析】∵f '(x)＝x 2＋2ax ＋a 2－1＝(x ＋a)2－1，又a≠0，∴f′(x)的图象为第三个，知
f '(0)＝0，故a ＝－1，f(－1)＝－13＋a ＋1＝－13
. 11．B 【解析】依题意得f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，故在(－∞，0)上是增函
数，即当x ＜0时，f '(x)＞0；g(x)是偶函数，在(0，＋∞)上是增函数，故在(－∞，0)上是减函数，即当x ＜0时，g '(x)＜0.
12．B 【解析】令F(x)＝xf(x)，则F '(x)＝xf '(x)＋f(x)，由xf '(x)＞－f(x)，得xf '(x)＋f(x)＞0，
即则F '(x)＞0，所以f(x)在R 上为递增函数.因为a ＞b ，所以a f(a)＞bf(b).
二、填空题
13．4 【解析】根据导函数对应方程f '(x)＝0的根与极值的关系及极值的定义易得结果.
14．3＜a ＜113 【解析】f '(x)＝x 2＋ax ＋2，由题知：??? f '(1)＝1－ax ＋2＜0f '(3)＝9－3a ＋2＞0
，解得3＜a ＜113. 15．－152 【解析】f '(x)＝3x 2＋2bx ＋c ∵f(x)在[－1，2]上减，∴f '(x)在[－1，2]上非正. 由??? f '(－1)≤0f '(2)≤0，即??? 3－2b ＋c≤012＋4b ＋c≤0
，∴15＋2(b ＋c)≤0，∴b ＋c≤－152. 16．516 2 【解析】设直线L 平行于直线y ＝－x －1，且与曲线y ＝2x 4相切于点P (x 0，y 0)，
则所求最小值d ，即点P 到直线y ＝－x －1的距离，y '＝8x 3＝－1，∴x 0＝－12，x 0＝18，
∴d ＝|－12＋18＋1|2
＝516 2. 三、解答题
17．【解】 由已知得f '(x)＝6x[x －(a －1)]，令f '(x)＝0，解得 x 1＝0,x 2＝a －1，.
（Ⅰ）当a ＝1时，f '(x)＝6x 2，f(x)在(－∞,＋∞)上单调递增
当a ＞1时，f '(x)＝6x[x －(a －1)]，f '(x),f(x)随x 的变化情况如下表：
从上表可知，函数f(x)在(－∞,0)上单调递增；在(0,a －1)上单调递减；在(a －1,＋∞)上单调递增. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a ＝1时，函数f(x)没有极值.；当a ＞1时，函数f(x)在x ＝0处取得极大值，在x ＝a －1处取得极小值1－(a －1)3.
18．【解】 (Ⅰ)f(x)＝ax 3－3x ，f '(x)＝3ax 2－6x ＝3x(ax －2),
∵x ＝1是f(x)的一个极值点，∴f '(1)＝0，∴a ＝2；
(Ⅱ)①当a ＝0时，f(x)＝－3x 2在区间（－1，0）上是增函数，∴a ＝0符合题意；
②当a≠0时，f '(x)＝3ax(x －2a )，由f '(x)＝0，得x ＝0，x ＝2a
当a ＞0时，对任意x ∈(－1，0)，f '(x)＞0，∴a ＞0符合题意；
当a ＜0时，当x ∈(2a ，0)时，由f '(x)＞0，得2a ≤－1，∴－2≤a ＜0符合题意；
综上所述，a≥－2.
19．【解】（Ⅰ）由f(x)的图象经过P （0，2），知d ＝2，则
f(x)＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，f '(x)＝3x 2＋2bx+c ，
由在M(-1,f(-1))处的切线方程是6x-y+7=0，知-6-f(-1)+7=0，即f(-1)=1，且f '(-1)=6， ∴??? 3-2b+c=6-1+b-c+2=1，即?
?? 2b-c=3b-c=0，解得b=c=-3， 故所求的解析式是f(x)＝x 3-3x 2-3x+2.
（Ⅱ）f '(x)＝3x 2-6x-3，令3x 2-6x-3=0，即x 2-2x-1=0，
解得x 1=1-2，x 2=1+2，当x ＜1-2或x ＞1+2时，f '(x)＞0； 当1-2＜x ＜1+2时，f '(x)＜0，
故f(x)＝x 3-3x 2-3x+2在(-∞，1-2)内是增函数，在(1-2，1+2)内是减函数，在(1+2，+∞)内是增函数.
20．【解】令g (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)－ax ，对函数g (x )求导数：g ′(x )＝ln(x ＋1)＋1－a
令g ′(x )＝0，解得x ＝e a －1－1，
(1)当a ≤1时，对所有x ＞0，g ′(x )＞0，所以g (x )在[0，＋∞)上是增函数，
又g (0)＝0，所以对x ≥0，都有g (x )≥g (0)，
即当a ≤1时，对于所有x ≥0，都有 f (x )≥ax ．
(2)当a ＞1时，对于0＜x ＜e a －1－1，g ′(x )＜0，所以g (x )在(0，e a －1－1)是减函数，
又g (0)＝0，所以对0＜x ＜e a －1－1，都有g (x )＜g (0)，
即当a ＞1时，不是对所有的x ≥0，都有f (x )≥ax 成立．
综上，a 的取值范围是（－∞，1]．
21．【解】（I ）∵f(x)是二次函数，且f(x)＜0的解集是(0，5)，∴可设f(x)＝ax(x －5)(a ＞0)，
∴f(x)在区间[－1，4]上的最大值是f(－1)＝6a ，
由已知，得6a ＝12，∴a ＝2，∴f(x)＝2x(x －5)＝2x 2－10x(x ∈R).
（II ）方程f(x)＋37x ＝0等价于方程2x 3－10x 2＋37＝0，
设h(x)＝2x 3－10x 2＋37，则h '(x)＝6x 2－20x ＝2x(3x －10)，
当x ∈(0，103)时，h '(x)＜0，h(x)是减函数；当x ∈(103，＋∞)时，h '(x)＞0，h(x)是增函数，
∵h(3)＝1＞0，h(103)＝－127＜0，h(4)＝5＞0，
∴方程h(x)＝0在区间(3，103)、(103，4)内分别有惟一实数根，而在(0，3)，(4，＋∞)内
没有实数根，
所以存在惟一的自然数m ＝3，使得方程f(x)＋37x ＝0在区间(m ，m ＋1)内有且只有两个 不同的实数根.
22．解析：(Ⅰ)f '(x)＝1x log a e ＋2，g '(x)＝42x ＋t －2log a
e ＋2， ∵函数f(x)和g(x)的图象在x ＝2处的切线互相平行，
f '(2)＝
g '(2)，∴12log a e ＝4t ＋2log a
e ，t ＝6. (Ⅱ)∵t ＝6，∴F(x)＝g(x)－f(x)＝2log a (2x ＋4)－log a x ＝log a (2x ＋4)2
x ，x ∈[1，4]，
令h(x)＝(2x ＋4)2x ＝4x ＋16x ，x ∈[1，4]，∴h '(x)＝4－16x 2＝4(x －2)(x ＋2)x 2
，x ∈[1，4]， ∴当1≤x ＜2时，h '(x)＜0，当2＜x≤4时，h '(x)＞0，
∴h(x)在[1，2)是单调减函数，在(2，4]是单调增函数，
∴h '(x)min ＝h(2)＝32，h '(x)max ＝h(1)＝h(4)＝36，
∴当0＜a ＜1时，有F(x) min ＝log a 36，当a ＞1时，有F(x) max ＝log a 32. ∵当x ∈[1，4]时，F(x)≥2恒成立，∴F(x) min ≥2，
∴满足条件的a 的值满足下列不等式组??? 0＜a ＜1log a 36≥2 ①，或??? a ＞1log a 32≥2
② 不等式组①的解集为空集，解不等式组②得1＜a≤42， 综上所述，满足条件的a 的取值范围是：1＜a≤4 2.
2011年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷II) 数学 本试卷共4页，三大题21小题。满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。 2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。 3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。 4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。 1.复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= (A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i 2. 函数()20y x x =≥的反函数为 (A)()24x y x R =∈ (B) ()2 04 x y x =≥ (C)()24y x x R =∈ (D) ()240y x x =≥ 3.下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是 (A) 1a b >+ (B) 1a b >- (C)22a b > (D) 33 a b > 4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差22,24k k d S S +=-=，则k= (A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5 5.设函数()()cos 0f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3 π 个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 (A) 1 3 (B) 3 (C) 6 (D) 9 6.已知直二面角l αβ--，点,,A AC l C α∈⊥为垂足，,,B BD l D β∈⊥为垂足，若 2,1AB AC BD ===，则D 到平面ABC 的距离等于 (A) 22 (B) 33 (C) 63 (D) 1
2010年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 理科综合能力测试 物理部分试题、解析、命题思路及评析 一、2010年浙江高考理科综合物理试题命题思路 着眼基础减轻负担 物理命题着眼基础知识、基本技能、基本方法的考核。如第19题、第23题侧重考查了电场性质、楞次定律、法拉第电磁感应定律、力的平衡条件的应用等基础知识和基本方法。注重主干知识和核心内容的考核。其中主干知识力学、电学部分占理综（物理）卷分值的85％以上。如22、23、24题侧重考查了力和运动、能的转化和守恒的核心内容。 强调解决物理问题通用方法的运用，淡化解题技巧，避免繁复计算。试题设计有利于那些注重分析物理过程、掌握基本技能和基本方法的学生取得好成绩，有利于减少教学中大量练习，减轻学生负担，给中学物理教学以正确的导向。 联系实际注重建模 命题注重物理知识与实际的联系，通过对一些实际问题的分析，在合理的近似下建立物理模型，考核学生灵活运用物理规律和方法解决实际问题的能力。如15、17、20题都是涉及生活、生产中的实际问题。第23题以当前能源中的热点问题光电池为情境，要求通过建模解决。通过对这些试题的考核，引导学生关注STSE（科学技术社会环境），重视物理规律的灵活应用，物理模型的建立。 重视实践体现探究 命题关注知识的获取过程，在对学生动手能力的考核的同时，考核了学生的观察能力和对实验数据处理的能力；并要求学生在遇到新情境时会用学过的物理知识和规律进行探究。如21题I要求学生会用学过的物理知识判断所测量的数据的正确及如何用正确的方法来测量；21题Ⅱ要求学生对新给的电阻与电流图象的特征进行分析和解释，使做过实验与没做过实验有区别，认真做与不认真做有区别。如（I B）13题中关于建发电站的问题，要求学生根据题意进行分析，解答可以开放，有利于学生创新思维的培养。 对接课改稳中求进 命题理念承前启后，稳中求新，逐步推进。试题在实验题的设计、试题的开放性、探究性、联系实际方面有所创新，比上年更多地体现新课改的理念。既有利于高校选拔优秀的人才，又有利于中学物理课改的顺利进行。全卷在考核基础知识的同时，注重对科学方法及科学态度的考核，通过减少题量，使学生有更多的思考时间，加强了对学生探究能力及发散性思维的考核。
2007年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷） 数学试卷(理工农医类) 考生注意： 1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚． 2．本试卷共有21道试题，满分150分．考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上． 一．填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．函数3 ) 4lg(--=x x y 的定义域是 ． 2．若直线1210l x my ++=： 与直线231l y x =-：平行，则=m ． 3．函数1 )(-= x x x f 的反函数=-)(1 x f ． 4．方程 96370x x -?-=的解是 ． 5．若x y ∈+R ，，且14=+y x ，则x y ?的最大值是 ． 6．函数??? ? ? +??? ? ?+ =2πsin 3 πsin x x y 的最小正周期=T ． 7．在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）． 8．以双曲线15 42 2=-y x 的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是 ． 9．对于非零实数a b ，，以下四个命题都成立： ① 01 ≠+ a a ； ② 2222)( b ab a b a ++=+； ③ 若||||b a =，则b a ±=； ④ 若ab a =2 ，则b a =． 那么，对于非零复数a b ，，仍然成立的命题的所有序号是 ． 10．在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种． 已知αβ，是两个
相交平面，空间两条直线12l l ，在α上的射影是直线12s s ，，12l l ，在β上的射影是 直线12t t ，．用1s 与2s ，1t 与2t 的位置关系，写出一个总能确定1l 与2l 是异 面直线的充分条件： ． 11．已知P 为圆1)1(2 2 =-+y x 上任意 一点（原点O 除外），直线OP 的倾斜角为θ弧度，记||OP d =． 在右侧的坐标系中，画出以()d θ， 为坐标的点的轨迹的大致图形为 二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分． 12．已知a b ∈R ，，且i , i 2++b a （i 是虚数单位）是实系数一元二次方程 02 =++q px x 的两个根，那么p q ，的值分别是（ ） Ａ．45p q =-=， Ｂ．43p q =-=， Ｃ．45p q ==， Ｄ．43p q ==， 13．设a b ，是非零实数，若b a <，则下列不等式成立的是（ ） Ａ．2 2 b a < Ｂ．b a ab 2 2 < Ｃ． b a a b 2 211< Ｄ．b a a b < 14．直角坐标系xOy 中，i j ，分别是与x y ，轴正方向同向的单位向量．在直角三角形 ABC 中，若j k i j i +=+=3, 2，则k 的可能值个数是（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 15．设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≥成立时，总可推 出(1)f k +≥2 )1(+k 成立”．那么，下列命题总成立的是（ ） Ａ．若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立 Ｂ．若(5)25f ≥成立，则当5k ≤时，均有2()f k k ≥成立
2010年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理科） 参考公式： 如果事件A、B互斥，那么柱体的体积公式 如果事件A、B相互独立，那么其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高 椎体的体积公式 如果事件A在一次实验中发生的概率是p， 那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次 的概率 其中S表示椎体的底面积，h表示台体的体积公式椎体的高球的表面积公式 其中分别表示台体的上、下底面积，球的体积公式 H表示台体的高 其中R表示球的半径 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）设P={x |x<4},Q={x |x2<4}，则 （A）（B） (C) (D) (2)某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为 （A）k>4? （B）k>5? (C) k>6? (D) k>7? （3）设S n 为等比数列{a n}的前n项和，8a2+ a5=0, 则S5/S2= （A）11 （B）5 （C）-8 （D）-11 （4） （A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件 （5）对任意复数z=x+yi (x,y∈R),i为虚数单位，则下列结论正确的是
（6）设m,l 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 （7）若实数y x ,满足不等式组，且y x +的最大值为9，则实数m 、n (A)-2 （B ） -1 (C)1 (D)2 （8）设1F ,2F 分别为双曲线)0,0(12 22 2>>=- b a b y a x 的左，右焦点。若在双曲线右支上存 在点P ，满足 2 PF = 21F F ,且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲 线的渐近方程为 (A)043=±y x （B ） 053=±y x (C)034=±y x (D) 045=±y x （9）设函数, )12sin(4)(x x x f -+=则)(x f 不存在零点的是 (A)][2 ,4-- （B ） ][0,2- (C) ][2 ,0 (D) ][4,2 （10）设函数的集合 {},1,0,1;1, 21, 0,21 )log()(-=-=++==b a b a x x f P 平面上点的集合 {},1,0,1;1, 21, 0,21 ),(-=-==y x y x Q 则在同一直角坐标系中，P 中函数 )(x f 的图像恰好经过Q 中两个点的函数的个数是 (A)4 （B ） 6 (C)8 (D)10 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共28分。 （11）函数f （x ）=sin （2 x － 4 π）－22sin 2 x 的最小正周期是________. （12）若某几何体的正视图（单位：cm ）如图所示， 则此几何体的体积是_______cm 3 .
2011年浙江省高考数学理科试卷(含答案)
2011年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理科） 一、选择题 （1）设函数若，则实数 （） （A）—4或—2 （B）—4或 2 （C）—2或4 （D）—2或2 （2）把负数的共轭复数记作i,i为虚数单位。 若z=1+i,则（） （A）（B） （C）（D)3 (3)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体 的直观图可以是（） （4）下列命题中错误的是 （） （A）如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定 直线平行于平面β （B）如果平面α垂直于平面β，那么平面α内 2 ,0, () ,0. x x f x x x -≤ ? =? ?> ()4 fα=α= z (1)z z - +?= 3i-3i+ 13i +
一定不存在直线垂直于平面β （C ）如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ， l αβ?=，那么l ⊥平面γ （D ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有 直线都垂直于平面β （5）设实数x 、y 是不等式 组 ，若x 、y 为整数，则 34x y + 的最小值为 （ ） （A ）14 （B ）16 （C ）17 （D ）19 （6）若02πα<<，02πβ-<<，1 cos ()23 πα+=，3 cos ()42πβ-= 则cos ()2βα+= （A ）3 （B ）3- （C ）53 （D ）69 - （7）若a 、b 为实数，则“01ab <<”是“1 a b <”或1 b a >的 （ ） （A ）充分二而不必要条件 （B ）必要而不充 250x y +-> 270x y +->， 0x ≥，0y ≥
2010上海高考数学错题汇总 一、集合与简易逻辑部分 1．已知集合A=｛x x 2+(p+2)x+1=0, p ∈R ｝,若A ∩R +=φ。则实数P 的取值范围为 。 2．已知集合A={x| －2≤x ≤7 }, B={x|m+1＜x ＜2m －1｝，若A ∪B=A ，则函数m 的取值范围是_________。 A ．－3≤m ≤4 B ．－3＜m ＜4 C ．2＜m ＜4 D ． m ≤4 3．命题“若△ABC 有一内角为3 π，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题是（ ） A ．与原命题真值相异 B ．与原命题的否命题真值相异 C ．与原命题的逆否命题的真值不同 D ．与原命题真值相同 二、函数部分 4．函数y=3 472+++kx kx kx 的定义域是一切实数，则实数k 的取值范围是_____________ 5．判断函数f(x)=(x －1)x x -+11的奇偶性为____________________ 6．设函数f(x)=1 32-+x x ,函数y=g(x)的图象与函数y=f －1(x+1)的图象关于直线y=x 对称，则g （3）=__________ 7. 方程log 2(9 x －1－5)－log 2(3 x －1－2)－2=0的解集为___________________- 三、数列部分 8．x=ab 是a 、x 、b 成等比数列的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 9．已知数列｛a n ｝的前n 项和S n =a n －1(a 0,≠∈a R ),则数列｛a n ｝_______________ A.一定是A 2P B.一定是G 2P C.或者是A 2P 或者是G 2P D.既非等差数列又非等比数列 10．A 2P ｛a n ｝中, a 1=25, S 17=S 9,则该数列的前__________项之和最大，其最大值为_______。 四、三角函数部分 11．设θ θsin 1sin 1+-=tan θθsec -成立，则θ的取值范围是_______________ 12.函数y=sin 4x+cos 4x － 43的相位________，初相为_______ 。周期为_______，单调递增区间为_______。 13．函数f(x)= x x x x cos sin 1cos sin ++的值域为______________。 14．若2sin 2α βααβ222sin sin ,sin 3sin +=+则的取值范围是______________ 15.已知函数 f (x) =2cos(3 24+x k )－5的最小正周期不．大于2，则正整数k 的最小值是
2010年高考数学（理科）上海试题 一、填空题（本大题满分56分，每小题4分） 1．不等式 204 x x ->+的解集是_______________． 2．若复数z =1-2i （i 为虚数单位），则z z z ?+=_______________． 3．动点P 到点F (2,0)的距离与它到直线x +2=0的距离相等，则点P 的轨迹方程为_________． 4．行列式 cos sin 3 6 sin cos 3 6 π π π π 的值是_______________． 5．圆C :x 2+y 2-2x -4y +4=0的圆心到直线3x +4y +4=0的距离d =_______________． 6．随机变量ξ的概率分布由下表给出： 7．2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园．在右边的框图中，S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入_______________． 8．对于不等于1的正数a ，函数f (x )=log a (x +3)的反函数的图像都经过点P ，则点P 的坐标为_______________． 9 ．从一副混合后的扑克牌(52张)中，随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K ”，事件B 为“抽得黑桃”，则概率 ()P A B = ______________(结果用最简分数表示)． 10．在n 行n 列矩阵12321 2341 134********n n n n n n n n n n --?? ? - ? ? ? ? ?---?? 中， 记位于第i 行第j 列的数为a ij (i ,j =1,2,···,n )．当n =9时， a 11+a 22+a 33+···+a 99=_______________．
2011年高考数学文科试题（全国卷2） 一 选择题。 （1） 设集合U={ 1,2,3,4 }，M={ 1,2,3 }，N={ 2,3,4 }, 则()Cu M N = （A ）{1,2} （B ）{2,3} （C ）{2,4} (D) {1,4} （2 ）函数(0)y x =≥的反函数是（A ）2 ()4 x y x R =∈ （B ）2(0)4x y x =≥ （C ）24()y x x R =∈ （D ）24(0)y x x =≥ （3）设向量,a b 满足||||1a b ==，12 a b ?=-，则|2|a b += （A （B （C (D) （4）若变量,x y 满足约束条件6321x y x y x +≤??-≤-??≥? ，则23z x y =+的最小值为 （A ）17 （B ）14 （C ）5 ( D ) 3 （5）下列四个条件中，使a b >成立的充分不必要的条件是 （A ）1a b >+ （B ）1a b >- （C ）22a b > (D) 3a b > （6）设n S 为等差数列的前n 项和，若11a =，公差2,d =，224,k k S S +-=则k= （A ）8 （B ）7 （C ）6 (D)5 （7）设函数()cos (0),f x wx w =>将()y f x =的图像向右平移3 π个单位长度后的图像与原图像重合，则w 的最小值等于 （A ）13 （B ）3 （C ）6 (D) 9 （8）已知直二面角,l αβ--点,,A AC l C α∈⊥为垂足，点,,B BD l D β∈⊥为垂足， 若AB=2，AC=BD=1，则CD=（A ）2 （B （C (D) 1 （9）4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不 同选法有多少种（A ）12 （B ）24 （C ）30 (D) 36 （10）设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()2(1)f x x x =-则5()2 f -= （A ）12- （B ）14- （C ）12 (D) 14
绝密★考试结束前 2011年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 数学（文科） 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。满分150分，考试时间120分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 选择题部分（共50分） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。 2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。 参考公式 台体的体积公式 11221 ()3 V h S S S S =++ 其中1S ,2S 分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高 柱体体积公式V Sh = 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式1 3 V Sh = 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式 24S R π= 球的体积公式 34 3 V R π= 其中R 表示球的半径 如果事件,A B 互斥 ，那么 ()()()P A B P A P B +=+
一．选择题： 本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 １．若{1},{1}P x x Q x x =<>，则 A ．P Q ? B ．Q P ? C ．R C P Q ? D ．R Q C P ? 2．若复数1z i =+，i 为虚数单位，则(1)z z +?= A ．13i + B ．33i + C ．3i - D ．3 X +2y -5≥0 3．若实数x ，y 满足不等式组 2x +y -7≥0，则3x +4y 的最小值是 x ≥0,y ≥0 A ．13 B ．15 C ．20 D ．28 4．若直线l 不平行于平面a ，且l a ?，则 A ．a 内存在直线与异面 B ．a 内不存在与l 平行的直线 C ．a 内存在唯一的直线与l 平行 D ．a 内的直线与l 都相交 5．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则2 s i n c o s c o s A A B + = A ．-12 B ．1 2 C ．-1 D ．1 6．若,a b 为实数，则“01ab ∠∠”是“1 b a ∠”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 7．几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是 A ． B ． C ． D ． 8．从已有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是 A ． 110 B ．310 C ．35 D ．910
2011年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 第I 卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 (1)复数 212i i +-的共轭复数是 （A ）3 5 i - （B ） 35 i （C ）i - （D ）i （2）下列函数中，既是偶函数哦、又在（0，）单调递增的函数是 （A ）2y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2x y -= （3）执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是 （A ）120 （B ）720 （C ）1440 （D ）5040 （4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 （A ）1 3 （B ） 12 （C ） 23 （D ） 34 （5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ= （A ）45 - （B ）35 - （C ）35 （D ） 45 （6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示， 则相应的侧视图可以为
（7）设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于 A,B 两点，A B 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为 （A （B （C ）2 （D ）3 （8）5 12a x x x x ???? +- ? ?? ???的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 （A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40 （9）由曲线y =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为 （A ） 103 （B ）4 （C ）163 （D ）6 （10）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题 12:10,3P a b πθ??+>?∈???? 22:1,3P a b πθπ?? +>?∈ ??? 3:10,3P a b πθ??->?∈???? 4:1,3P a b πθπ?? ->?∈ ? ?? 其中的真命题是 （A ）14,P P （B ）13,P P （C ）23,P P （D ）24,P P （11）设函数()sin()cos()(0,) 2 f x x x π ω?ω?ω?=+++>< 的最小正周期为π，且 ()()f x f x -=，则 （A ）()f x 在0, 2π?? ??? 单调递减 （B ）()f x 在3, 44π π?? ? ?? 单调递减 （C ）()f x 在0,2π?? ?? ? 单调递增 （D ）()f x 在3, 44π π?? ? ?? 单调递增 (12)函数1 1 y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有焦点的横坐标之和 等于
2011年浙江省高考数学文科卷解析版 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. （1）若{1},{1}P x x Q x x =<>，则 A ．P Q ? B ．Q P ? C ．R C P Q ? D ．R Q C P ? （2）若复数1z i =+，i 为虚数单位，则(1)i z +?= A ．13i + B ．33i + C ．3i - D ．3 【答案】 A 【解析】：22(1)1(1)z z z z i i +?=+=+++2112i i i =++++112113i i i =+++-=+ （3）若实数x ，y 满足不等式组250, 270,0,0,x y x y x y +-≥?? +-≥??≥≥? 则3x +4y 的最小值是 A ．13 B ．15 C ．20 D ．28 【答案】 A 【解析】：作出可行域，25032701 x y x x y y +-==????+-==??由得， min 334113z A =?+?=故选 （4）若直线l 不平行于平面a ，且l a ?，则 A ．a 内的所有直线与异面 B ．a 内不存在与l 平行的直线 C ．a 内存在唯一的直线与l 平行 D ．a 内的直线与l 都相交 【答案】 B 【解析】：直线l 不平行于平面a ，l a ?所以l 与a 相交 （5）在A B C ?中，角,,A B C 所对的边分,,a b c ．若cos sin a A b B =，则2 sin cos cos A A B += A ．－ 12 B ． 12 C ． －1 D ． 1
（6）若,a b 为实数，则 “0
绝密★启封并使用完毕前 2011年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷） 本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考 试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1．已知集合P=｛x ︱x 2≤1｝,M=｛a ｝.若P ∪M=P,则a 的取值范围是 A ．(-∞, -1] B ．[1, +∞） C ．[-1，1] D ．（-∞，-1] ∪[1，+∞） 2．复数 2 12i i -=+ A ．i B ．-i C ．4355i - - D ．4355 i -+ 3．在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是 A ．(1, )2π B ．(1,)2 π - C ． (1,0) D ．(1，π) 4．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 A ．-3 B ．- 12 C ．1 3 D ．2 5．如图，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ，延长AF 与圆O 交于另一点G 。给出下列三个结论： ①AD+AE=AB+BC+CA ； ②AF·AG=AD·AE ③△AFB ～△ADG 其中正确结论的序号是 A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③ 6．根据统计，一名工作组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为 ??? ? ?? ?≥<=A x A c A x x c x f ,, ,)(（A ，C 为 常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是 A ．75，25 B ．75，16 C ．60，25 D ．60， 16
2010年浙江高考数学文科试卷带详解
2010年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 数学（文科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设 2{|1},{|4}, P x x Q x x =<=<则 P Q = I ( ) A.{|12}x x -<< B.{|31}x x -<<- C.{|14}x x <<- D.{|21}x x -<< 【测量目标】集合的基本运算. 【考查方式】考查了集合的基本运算，给出两集合，用图象法求其交集. 【参考答案】D 【试题解析】2 422 x x ∴
【试题解析】2 ()log (1)f αα=+Q ，12α∴+=，故1α=，选 B. 3. 设 i 为虚数单位，则 5i 1i -=+ ( ) A.23i -- B.23i -+ C.23i - D.23i + 【测量目标】复数代数形式的四则运算.. 【考查方式】考查了复数代数形式的四则运算，给出复数，对其进行化简. 【参考答案】C 【试题解析】5i (5i)(1i)46i 23i 1 i (1i)(1i)2 ----===-++-，故选C ， 4. 某程序框图所示，若输出的S=57，则判断框内 为 ( ) A.4?k > B.5?k > C.6?k > D.7?k > 【测量目标】循环结构的程序框图. 【考查方式】给出部分程序框图，输出值，利用与数列有关的简单运算求判断框内的条件.
糖果工作室 原创 欢迎下载！ 绝密★考试结束前 2011年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 数学（理科） 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。满分150分，考试时间120分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 选择题部分（共50分） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。 2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。 参考公式 如果事件,A B 互斥 ，那么 ()()()P A B P A P B +=+ 如果事件,A B 相互独立，那么 ()()()P A B P A P B ?=? 如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 ()(1) (0,1,2,...,)k k n k n n P k C p p k n -=-= 台体的体积公式 121()3V h S S = + 其中1S ,2S 分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高 柱体体积公式V Sh = 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式13 V Sh = 其中S 表示 锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式 2 4S R π= 球的体积公式 3 43 V R π= 其中R 表示球的半径
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.设函数2 , 0(), x x f x x x -≤?=?>?，若()4f a =，则实数a = （A ）-4或-2 （B ）-4或2 （C ）-2或4 （D ）-2或2 2.把复数z 的共轭复数记作z ,i 为虚数单位，若z=1+i,则(1)z z +?= （A ）3i - （B ）3i + （C ）13i + （D ）3 3.若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是 4.下列命题中错误．． 的是 （A ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β （B ）如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β （C ）如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ?=，那么l ⊥平面γ （D ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 5.设实数x 、y 是不等式组250 2700,0x y x y x y +->?? +->??≥≥? ，若x 、y 为整数，则34x y +的最小值是 （A ）14 （B ）16 （C ）17 （D ）19 6.若02 π α<< ，02 π β- <<，1cos( )4 3 π α+= ，cos ( )4 2 3 π β - = ，则cos ()2 β α+ = （A 3 （B ）3 - （C 9 （D ）9 - 7.若a 、b 为实数，则“01ab <<”是“1a b < 或1b a >”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 8.已知椭圆2212 2 : 1x y C a b + =（a >b >0）与双曲线 2 2 2:14 y C x - =有公共的焦点，2C 的一条渐近线 与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则
2010上海市春季高考数学试卷 一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。 1、函数1 sin 22 y x =的最小正周期T = 。 答案：π 解析：由周期公式得222 T π π πω = = =。 2、已知函数2()2f x ax x =+是奇函数，则实数a = 。 答案：0 解析：由奇函数定义有()()0f x f x -+=得222()2()220a x x ax x ax -+-++==，故 0a =。 3、计算：21i i =+ （i 为虚数单位） 答案：1i + 解析： 22(1)2211(1)(1)2 i i i i i i i i -+===+++-。 4、已知集合1 {|||2},{|0}1 A x x B x x =<=>+，则A B ?= 。 答案：{|12}x x -<< 解析：由题知{|22}A x x =-<<，{|1}B x x =>-，故{|12}A B x x ?=-<<. 5、若椭圆 22 12516 x y +=上一点P 到焦点1F 的距离为6，则点P 到另一个焦点2F 的距离是 答案：4 解析：由椭圆的定义知12||||210PF PF a +==,1||6PF =,故2||4PF =。 6、某社区对居民进行上海世博会知晓情况的分层抽样调查。已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有800人、1600人、1400人。若在老年人中的抽样人数是70，则在中年人中的抽样人数应该是 。 答案：80。 解析：由题可知抽取的比例为701 140020 k = =，故中年人应该抽取人数为1 16008020 N =? =。
2011年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷) 数学试题卷 本试卷共4页，三大题21小题。满分150分，考试时间120分钟。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。 1.复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= (A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i 2. 函数()20y x x =≥的反函数为 (A)()24x y x R =∈ (B) ()2 04 x y x =≥ (C)()24y x x R =∈ (D) ()240y x x =≥ 3.下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是 (A) 1a b >+ (B) 1a b >- (C)22a b > (D) 33 a b > 4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差22,24k k d S S +=-=，则k= (A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5 5.设函数()()cos 0f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π 个单位长度后，所得的图 像与原图像重合，则ω的最小值等于 (A) 1 3 (B) 3 (C) 6 (D) 9 6.已知直二面角l αβ--，点,,A AC l C α∈⊥为垂足，,,B BD l D β∈⊥为垂足，若 2,1AB AC BD ===，则D 到平面ABC 的距离等于 (A) 22 (B) 33 (C) 63 (D) 1 7.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 (A) 4种 (B) 10种 (C) 18种 (D) 20种 8.曲线21x y e =+在点()0,2处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为 (A) 13 (B) 12 (C) 2 3 (D) 1
2010年浙江省高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1．（5分）（2010?浙江）设P={x|x ＜4}，Q={x|x 2＜4}，则（ ） A ．P ?Q B ．Q ?P C ．P ?C R Q D ．Q ?C R P 【考点】集合的包含关系判断及应用． 【专题】集合． 【分析】此题只要求出x 2＜4的解集{x|﹣2＜x ＜2}，画数轴即可求出 【解答】解：P={x|x ＜4}，Q={x|x 2＜4}={x|﹣2＜x ＜2}，如图所示， 可知Q ?P ，故B 正确． 【点评】此题需要学生熟练掌握子集、真子集和补集的概念，主要考查了集合的基本运算，属容易题． 2．（5分）（2010?浙江）某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（ ）
A．k＞4？B．k＞5？C．k＞6？D．k＞7？ 【考点】程序框图． 【专题】算法和程序框图． 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案． 【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表： K S 是否继续循环 循环前1 1/ 第一圈2 4 是 第二圈3 11 是 第三圈4 26 是 第四圈5 57 否 故退出循环的条件应为k＞4 故答案选A．
【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误． 3．（5分）（2010?浙江）设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2+a 5=0，则=（ ） A ．﹣11 B ．﹣8 C ．5 D ．11 【考点】等比数列的前n 项和． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】先由等比数列的通项公式求得公比q ，再利用等比数列的前n 项和公式求之即可． 【解答】解：设公比为q ， 由8a 2+a 5=0，得8a 2+a 2q 3=0， 解得q=﹣2， 所以==﹣11． 故选A ． 【点评】本题主要考查等比数列的通项公式与前n 项和公式．
2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学（理科） 一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。 1.不等式 204 x x ->+的解集是 （-4,2） 。 解析：考查分式不等式的解法204 x x ->+等价于（x-2）(x+4)<0,所以-4 则随机变量ξ的均值是 8.2 解析：考查期望定义式E ξ=7×0.3+8×0.35+9×0.2+10×0.15=8.2 7. 2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。在右边的框图中，S 表示上 海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数， a 表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入 S ←S+a 。 8.对任意不等于1的正数a ，函数f(x)=log (3)a x +的反函数的图像都经过点P ，则点P 的坐标是 （0，-2） 解析：f(x)=log (3)a x +的图像过定点（-2,0），所以其反函数的图像过定点（0，-2） 9．从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K ”，事件B 为 “抽得为黑桃”，则概率P （A ?B ）== 7 26 （结果用最简分数表示） 解析：考查互斥事件概率公式 P （A ?B ）= 26 75213521=+ 10．在n 行n 列矩阵12321 234113*********n n n n n n n n n n ???--?? ????- ? ???? ?????????????????????? ? ????---?? 中， 记位于第i 行第j 列的数为(,1,2,)ij a i j n =???。当9n =时，11223399a a a a +++???+=
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