第3章 线性方程组 第4章 矩阵的特征值及二次型
一、单项选择题
1 用消元法得??
?
??=-=+=-+201
42332321x x x x x x 的解123x x x ??????????
为（C ） A []1
02'- B []722'-- C
[]11
22'-- D []1122'---
2 线性方程组??
?
??=+-=-=++4
3362
323231321x x x x x x x （B ）
A 有无穷多解
B 有唯一解
C 无解
D 只有零解
注：经初等行变换，有()()3r A r A B ==M ,线性方程组有唯一解.
3 向量组101??????????，010??????????，001??????????，121??????????，304??
????????
得秩为（A ） A 3 B 2 C 4 D 5
4 设向量组为11100α??????=??????，20011α??????=??????，31010α??????=??????
，41111α??
??
??=??????，则（B ）是极
大无关组。
A 21,αα
B 321,,ααα
C 421,,ααα
D 1α 注
：
101110111011101110010
0100
0100
1
1
101110
1110
1110
0100101001000000
000????????????????--???
??
??
?→→→????????
-???
??
??
?
-????????
极大无关组为：321,,ααα或431,,ααα.
5 A 与A 分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组有解，则（A ）
A )A A 秩（）
秩（= B )A (A)秩秩（＜ C )A ((A)秩秩＞ D 1)A ((A)-=秩秩
6 若某个线性方程组相应的齐次方程组只有零解，则该线性方程组（A ）
A 可能无解
B 有唯一解
C 有无穷多解
D 无解
注：若线性方程组相应的齐次方程组只有零解只能说明：系数矩阵的秩等于未知量的个数，至于系数矩阵的秩与增广矩阵的秩是否相等不得而知。例123123
11
12x x x x x x =??=?
?
=??+
+
=?与1
23123
1113
x x x x x x =??=??=??++
=?
7 以下结论正确的是（D ）
A 方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解
B 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解
C 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解
D 齐次线性方程组一定有解（至少有零解，所以正确）
8 若向量组s ααα?,,21线性相关，则向量组内（A ）可被该向量组内其余向量线性表出。
A 至少有一个向量
B 没有一个向量
C 至多有一个向量
D 任何一个向量
160P 定理3.6
9设A,B 为n 阶矩阵，λ既是A 又是B 的特征值，x 既是A 又是B 的属于λ的特征向量，则结论（A ）成立。 A 2λ是AB 的特征值 B λ是B A +的特征值 C λ是B A -的特征值 D 的特征向量的属于是λB A +x 注：由已知得，AX X λ=，BX X λ=，
从而()()()2ABX A BX A X AX X λλλ==== 选A
()()2A B X AX BX X λ+=+= B 和 D 不正确
10 设A,B,P 为n 阶矩阵，若等式（C ）成立，则称A 和B 相似。
A BA A
B = B ()AB AB '=
C B PAP =-1
D PAP B '=
230P 定义4.2
二、填空题
1 当=λ1时，齐次线性方程组??
?=+=+00
21
21x x x x λ有非零解.
注：11
01
λ=
2 向量组()0,0,01=α，()1,1,12=α 线性相关.
注：157p 第五行：包含零向量的向量组一定是线性相关的. 3 向量组()3,2,1，()0,2,1，()0,0,1，()0,0,0得秩是3.
4 设齐次线性方程组0332211=++x x x ααα的系数行列式0321=ααα，则这个方程组有非零解，且系数列向量321,,ααα是线性相关的.
5 向量组()()()0,0,1,0,0,1321===ααα的极大线性无关组是21,αα.
6 向量组s ααα?,,21的秩与矩阵()s ααα?,,21的秩相等. 注：169P 定理3.9
7 设线性方程组0=AX 中有5个未知量，且秩(A)=3,则其基础解系中线性无关的解向量有2个.
8 设线性方程组b AX =有解，0X 是它的一个特解，且0=AX 的基础解系为21,X X ，则b AX =的通解为：22110X K X K X ++（21,K K 为任意常数）. 9 若λ是A 的特征值，则λ是方程0=-A I λ的根. 注：220P （3）
10 若矩阵A 满足A 为方阵且A A I '=，则称A 为正交矩阵. 注：240P 定义4.5 三、解答题
1 用消元法解线性方程组??????
?=--+--=++=++=2
3412420
5836
23432143214
3214321x x x x x x －x x －x x x －x －x x －x －x 解：将增广矩阵通过初等行变换化为阶梯阵： 132163815021411214132---????-????---??---??→132160178180581001348---??
??-????---??--??
→
132160134805810017818---????--????---??-??→1321
6013480023214000101226---????--????--??-?? →1011133001348
002321400
0101226--????--????--??-??→1
01113300
134833990
005561300155--??
??
--??
??
-?
??
??
?
-
???
?
→1
7100
552
1010556
13001
5
50
0013??
??????-
????
??-????-??
→10002010010010100013??
?
?
-????
??
-??
于是知21=x ，12-=x ，13=x ，34-=x ，为唯一解.
2 设有线性方程组2
1111111x y z λλλλλ??????
??????=??????
????????????
，λ为何值时，方程组有唯一解？或有无穷多解？
解：方法一：①当011
111
1
≠λ
λλ
时，有3)()(==A r A r ，方程组有唯一解，
于是有()()λ
λλλλλλλλλλλλλ110101
112111111121212112111111-+=+=+++=
()()()
()()()01121111122
2≠--+=--+=+λλλλ
λλ
于是当1≠λ且2-≠λ时，方程有唯一解。
②当1=λ时，有
111111111111A ????=??????→111100000000??
????????
，有31
)()(＜A r A r ==，知有无穷多解.
当2-=λ时，有
2111A 12121124-????=--????-??→112412122111-????--????-??
→112403360339-????--????-??→112403360003-????--??????
由)()(,3)(,2)(A r A r A r A r ≠==，方程组无解. 于是，当1=λ时，方程组有无穷多解.
方法二：2
1111111λλλλλ??????
????21111111λλλλλ??
??
→??????
2223110110111λ
λλλλλλλλ???
?→---????---??2
2
223
110110021λλλλλλλλλλλ????→---????--+--??
()()()()()()2
2110111002111λλλλλλλλλλ????→-----????-+---+????
于是当2-=λ时，)()(,3)(,2)(A r A r A r A r ≠==，方程组无解. 当1=λ时，方程组有无穷多解.
当1≠λ且2-≠λ时，方程有唯一解。
3 判断向量β能否由向量组321,,ααα线性表出，若能，写出一种表出方式.其中：
83710β-????-?
?=??
??
-??
，12713α-??????=??????，23502α????-??=????-??，35631α-????
-??=?????? 解：若β能由向量组321,,ααα线性表示，有 βααα=++332211x x x
写作线性方程组即为：??????
?-=+-=++-=---=-+-10
12373013
6578
5323213213
21321x x x x x x x x x x x x ， 于是有23587563103732110A ---????---?
?=????--??→103
77563235832110????
---????---??--??→ 1037052752031602831????---??????---?? →1
037006217701725002281????--????--??--??→1
0370
1
7
250
062177002281????
--?
???
--?
?
--??
→103
7017251770016256400
31??
??--?????????????
?
→1
0000
10000100001????
????
?
?
??
()()r A r A ≠，所以β不能由321,,ααα线性表出.
4 计算下列向量组的秩，并且判断该向量组是否线性相关？
111234α????-????=????????，2378913α????-????=????????，313033α-????-????=??-????-??，419636α??????
??=????????
解：由矩阵（以4321,,,αααα为列）进行初等行变换，有
131117392806393341336-????---?
????
?-????-??131104410022400000112-????--????→????????→13110225011200000000-??
??
-????????????
→131100090
11200000
0-????-????????????→13100110000100000
000-??
??
??
????
??????
知向量组4321,,,αααα的秩为3，
由于43
),,,(4321＜r =αααα，所以向量组线性相关. 5 求齐次线性方程组??????
?=++=-+--=+-+-=-+-0
453052110
32502342143214
3214321x x x x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系. 解：将系数矩阵进行初等行变换，有
13125123111253504--????--????---????→131
201437014370143
10--????--?
???--??-??→13
1201437000300
00--????
--?
???
?
???
→131001430000100
0-????-?
????
???→510014
30101400
010
00??
?
?????-????
?
?????
于是有?????????==-=+00143014543
231x x x x x 即???
?
?????==-=0
14314543231x x x x x ，令31x =，得51431410x ??
-????
??=??????????
化简，令[]53140Y '=-，则{}Y 为齐次线性方程组的一个基础解系.
6 求线性方程组??????
?-=-++=----=+-+-=-+-1
63517495
24311
32543214214
3214321x x x x x x x x x x x x x x x 的全部解. 解：将增广矩阵进行初等行变换，有 1523
113142519041753611--????---?
???---?
?--??→152
31101427
2801427280284
1456--????--?
???
--?
?
--??
→15231111
012720000000
000--??????--?????
?????→911
1721101272000000
000
0?
?-??????-
-???
??????
?
令0,143==x x ，得相应的解向量，19
11077X '??=-
???? 令1,043==x x ，得相应的解向量，21
1012
2X '??=-?
???
令0,043==x x ，得相应的特解，[]01200X '=- 于是线性方程组的全部解为：
01122X K X K X ++ （其中21,K K 为任意常数）. 7 试证：任一4维向量()4321,,a a a a =β都可由向量组 11000α??????=??????，21100α??????=??????，31110α??????=??????
，41111α??
??
??=??????
线性表出，且表出方式唯一，写出这种表出方式. 证：由已知β可由4321,,,αααα线性表示，有
βαααα=+++44332211x x x x
写作线性方程组，有
??????
?=+++=+++=+++=+++4
4321343212
432114321000000a x x x x a x x x x a x x x x a x x x x 因为系数行列式1111
01111000110001
A =
=≠
所以由克拉默法则，线性方程组有唯一解
又因为123411110
11100110001a a A a a ?????
?=??????→122334410000
1000
0100001a a a a a a a -????
-?
???
-?
?
??
所以()()()44343232121ααααβa a a a a a a +-+-+-=.且表出方式唯一。 8 试证：线性方程组有解时，它有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组只有零解.
证：本题前提条件为：线性方程组有解
首先证明 “?” 即： “有唯一解?对应齐次线性方程组只有零解” 由193P 线性方程组有解判定定理，有
当()()n A r A r ==，即满秩时，线性方程组有唯一解. 这时当然有对应齐次方程组()n A r =，即满秩， 所以，对应齐次线性方程组只有零解.
其次证明 “?”即: “对应齐次线性方程组只有零解?有唯一解“ 首先，由线性方程组有解，有()()A r A r =；
又对应齐次线性方程组只有零解，有()n A r =，即满秩； 于是有()()n A r A r ==，有结论：线性方程组有唯一解.
9 设λ是可逆矩阵A 的特征值，且0≠λ，试证：λ
1
是矩阵1-A 的特征值. 证；由已知条件有非零向量X ，使得 X AX λ= 即
1
AX X λ
=
上式两端左乘1-A ，得-
1
11
A
AX A X λ
--=
即
111
A AX A X λ
--=
整理得 X X A λ
1
1=
- 由定义可知，λ
1是矩阵1-A 的特征值，命题得证.
10 用配方法将二次型()3231212322
213212222.,x x x x x x x x x x x x f --+++=化为标准型，并写出满秩的线性变换.
解：先将含1x 的各项配成一个含1x 的一次式的完全平方，即
()3231212
322
213212222,,x x x x x x x x x x x x f --+++= 322
322
3121212222x x x x x x x x x -++-+= ()()()322
32223223232121222x x x x x x x x x x x x -++---+-+=
()2
3
2323212x x x x x +--+= ()2
32321x x x x +-+=
令3323211,0,x y y x x x y ==-+=，有 ()2321321,,y y x x x f +=
由?????==-+=33223211x y x y x x x y 有???
??==+-=33223
211y x y x y y y x 即满秩的线性变换为：??
?
??==+-=33223
211y x y x y y y x .
离散数学作业7 离散数学数理逻辑部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第三次作业，大家要认真及时地完成数理逻辑部分的综合练习作业。 要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求本学期第17周末前完成并上交任课教师（不收电子稿）。并在07任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。 一、填空题 1．命题公式()P Q P →∨的真值是 1或T ． 2．设P ：他生病了，Q ：他出差了．R ：我同意他不参加学习. 则命题“如 果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为 （P ∨Q ）→R ． 3．含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式P ∧Q 的主析取范式是 (P ∧Q ∧R)∨(P ∧Q ∧?R) ． 4．设P (x )：x 是人，Q (x )：x 去上课，则命题“有人去上课．” 可符号化为 ?x(P(x) ∧Q(x)) ． 5．设个体域D ＝{a , b },那么谓词公式)()(y yB x xA ?∨?消去量词后的等值式为 (A(a) ∨A(b)) ∨((B(a) ∧B(b)) ． 6．设个体域D ＝{1, 2, 3}，A (x )为“x 大于3”，则谓词公式(?x )A (x ) 的真值为 0(F) ． 7．谓词命题公式(?x )((A (x )∧B (x )) ∨C (y ))中的自由变元为 y ． 8．谓词命题公式(?x )(P (x ) →Q (x ) ∨R (x ，y ))中的约束变元为 x ． 三、公式翻译题 1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式． 设P ：今天是晴天。 姓 名： 学 号： 得 分： 教师签名：
离散数学形成性考核作业( 一) 集合论部分 分校_________ 学号____________________ 姓名__________________ 分数 本课程形成性考核作业共 4 次, 内容由中央电大确定、统一布置。本次形考作业是第一次作业, 大家要认真及时地完成集合论部分的形考作业, 字迹工整, 抄写题目, 解答题有解答过程。 第 1 章集合及其运算 1．用列举法表示”大于2而小于等于9 的整数” 集合． 2．用描述法表示”小于5 的非负整数集合” 集合． 3 ．写出集合B={1, {2, 3 }} 的全部子集． 4 ．求集合A={ ,{ } } 的幂集． 5 ．设集合A={{ a }, a }, 命题: { a } P(A) 是否正确, 说明理由． 6 ．设 A {1,2,3}, B { 1,3,5}, C { 2,4,6}, 求 (1) A B (2) A B C (3) C - A (4) A B 7 ．化简集合表示式: (( A B ) B) - A B．
试证：A - ( B C ) = ( A - B ) - C. 9 .填写集合{4, 9 } {9, 10, 4} 之间的关系. 10 .设集合A = {2, a , {3}, 4}, 那么下列命题中错误的是（） A .{a } A B . { a , 4, {3}} A C . {a } A D . A 11 .设B = { {a }, 3, 4, 2}, 那么下列命题中错误的是（） 第2章关系与函数 并验证 A (B C ) = ( A B ) (A C ). 4 .写出从集合A = { a , b , c }到集合B = {1}的所有二元关系. 8 .设A B C 是三个任意集合 A . {a } B B .{2, { a }, 3, 4} B C . {a } B D .设集合A = {a , b }, B = {1, 2, 3}, C = {3, 4}, 求 A (B C ), (A B) (A C ) .对任意三个集合 B 和 C 若ABA C 是否一定有B C ?为什么？ .对任意三个集合 B 和 C 试证若A B = AC 」A
离散数学形成性考核作业4作业与答案 离散数学综合练习书面作业 要求：学生提交作业有以下三种方式可供选择： 1. 可将此次作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成作业后交给辅导教师批阅． 2. 在线提交word文档． 3. 自备答题纸张，将答题过程手工书写，并拍照上传． 一、公式翻译题 1．请将语句“小王去上课，小李也去上课．”翻译成命题公式． 设Ｐ：小王去上课 Ｑ:小李去上课 则：命题公式Ｐ∧Ｑ 2．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式． 设Ｐ：他去旅游 Ｑ：他有时间 则命题公式为Ｐ→Ｑ
3．请将语句“有人不去工作”翻译成谓词公式． 设Ａ（x）:x是人 Ｂ（x）：去工作 则谓词公式为?x（A(x)∧－B（x）) 4．请将语句“所有人都努力学习．”翻译成谓词公式． 设A（x）: x是人 B（x）:努力学习 则谓词公式为?x（A（x）∧B（x）） 二、计算题 1．设A={{1},{2},1,2}，B={1,2,{1,2}}，试计算 （1）(A-B)；（2）(A∩B)；（3）A×B． 解： （1）（A-B）＝{{1}，{2}} （2）（A∩B）＝{1，2} （3）A×B＝ {<{1},1>,<{1},2>,<{1},{1,2}>,<{2},1>,<{2},2>,<{2},{1,2}>,<1,1>,<1, 2>,<1,{1,2}>,<2,1>,<2,2>,<2,{1,2}>} 2．设A={1，2，3，4，5}，R={
离散数学集合论部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第一次作业，大家要认真及时地完成集合论部分的综合练习作业。 要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求2010年11月7日前完成并上交任课教师（不收电子稿）。并在03任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，完成并上交任课教师。 一、填空题 1．设集合{1,2,3},{1,2} ==，则P(A)-P(B )= A B {{3},{2,3},{1,3},{1,2,3}}，A?B= {<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,2>}．2．设集合A有10个元素，那么A的幂集合P(A)的元素个数为1024 ．3．设集合A={0, 1, 2, 3}，B={2, 3, 4, 5}，R是A到B的二元关系， ∈ R? x ∈ > y 且 =且 ∈ < {B , , x A y A y B x } 则R的有序对集合为{<2,2>,<2,3>,<3,2>,<3,3>}． 4．设集合A={1, 2, 3, 4 }，B={6, 8, 12}，A到B的二元关系 R＝} y y x∈ = < > ∈ x , , x , 2 {B y A 那么R－1＝{<6,3>,<8,4>} 5．设集合A=｛a, b, c, d｝，A上的二元关系R={
中央广播电视大学2017～2018学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷） 工程数学(本) 试题 2018年1月 一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1． 设A ，B 为三阶可逆矩阵，且0k >，则下列（ B ）成立． A ． A B A B +=+ B ．AB A B '= C ． 1AB A B -= D ．kA k A = 2． 设A 是n 阶方阵，当条件（ A ）成立时，n 元线性方程组AX b =有惟一解． 3．设矩阵1111A -?? =? ?-?? 的特征值为0，2，则3A 的特征值为（ B ）。 A ．0，2 B ．0，6 C ．0，0 D ．2，6 4．若随机变量(0,1)X N ，则随机变量32Y X =- ( D )． 5． 对正态总体方差的检验用( C )． 二、填空题(每小题3分，共15分) 6． 设,A B 均为二阶可逆矩阵，则1 11 O A B O ---?? =???? ．
8． 设 A ， B 为两个事件，若()()()P AB P A P B =,则称A 与B ． 9．若随机变量[0,2]X U ，则()D X = ． 10．若12,θθ都是θ的无偏估计，且满足 ______ ，则称1θ比2θ更有效。 三、计算题(每小题16分，共64分) 11． 设矩阵234123231A ????=??????，111111230B ?? ??=?? ???? ，那么A B -可逆吗？若可逆，求逆矩阵1()A B --． 12．在线性方程组 123121 232332351 x x x x x x x x λλ++=?? -+=-??++=? 中λ取何值时，此方程组有解。在有解的情况下，求出通解。 13. 设随机变量(8,4)X N ,求(81)P X -<和(12)P X ≤。 (已知(0.5)0.6915Φ=，(1.0)0.8413Φ=，(2.0)0.9773Φ=) 14. 某切割机在正常工作时，切割的每段金属棒长服从正态分布，且其平均 长度为10.5cm ，标准差为0.15cm 。从一批产品中随机地抽取4段进行测量，测得的结果如下：（单位：cm ） 10.4, 10.6, 10.1, 10.4 问：该机工作是否正常（0.9750.05, 1.96u α==）？ 四、证明题（本题6分） 15. 设n 阶矩阵A 满足2,A I AA I '==,试证A 为对称矩阵。
离散数学作业7 离散数学数理逻辑部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第三次作业，大家要认真及时地完成数理逻辑部分的综合练习作业。 要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求2010年12月19日前完成并上交任课教师（不收电子稿）。并在07任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。 一、填空题 1．命题公式()P Q P →∨的真值是 1 ． 2．设P ：他生病了，Q ：他出差了．R ：我同意他不参加学习. 则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为 (PQ)R ． 3．含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式PQ 的主析取范式是 (PQR) (PQR) ． 4．设P(x)：x 是人，Q(x)：x 去上课，则命题“有人去上课．” 可符号化为 (x)(P(x) →Q(x)) ． 5．设个体域D ＝{a, b},那么谓词公式)()(y yB x xA ?∨?消去量词后的等值式为 (A(a) A(b)) (B(a) B(b)) ． 6．设个体域D ＝{1, 2, 3}，A(x)为“x 大于3”，则谓词公式(x)A(x) 的真值为 ． 7．谓词命题公式(x)((A(x)B(x)) C(y))中的自由变元为 ． 8．谓词命题公式(x)(P(x) Q(x) R(x ，y))中的约束变元为 X ． 三、公式翻译题 1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式． 1．解：设P ：今天是天晴； 则 P ． 2．请将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式． 解：设P ：小王去旅游，Q ：小李去旅游， 则 PQ ． 3．请将语句“如果明天天下雪，那么我就去滑雪”翻译成命题公式． 解：设P:明天天下雪 。 Q:我去滑雪 则 P Q ． 4．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式． 7．解：设 P ：他去旅游，Q ：他有时间， 则 P Q ． 5．请将语句 “有人不去工作”翻译成谓词公式． 11．解：设P(x)：x 是人，Q(x)：x 去工作，
离散数学作业5 离散数学图论部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第二次作业，大家要认真及时地完成图论部分的综合练习作业。 要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求2010年12月5日前完成并上交任课教师（不收电子稿）。并在05任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。 一、填空题 1．已知图G 中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G 的边数是 15 ． 2．设给定图G (如右由图所示)，则图G 的点割集是 {}f {}c e ,． 3．设G 是一个图，结点集合为V ，边集合为E ，则 G 的结点 度数之和 等于边数的两倍． 4．无向图G 存在欧拉回路，当且仅当G 连通且 不含奇数度结点 ． 5．设G=
一、单项选择题（每小题2分，共38分） 题目1 正确 获得2.00分中的2.00分 未标记标记题目 题干 假定一棵二叉树中，双分支结点数为15，单分支结点数为30，则叶子结点数为（）。 选择一项： A. 16 B. 47 C. 15 D. 17 题目2 正确 获得2.00分中的2.00分 未标记标记题目 题干 二叉树第k层上最多有（）个结点。 选择一项： A. 2k-1 B. 2k-1 C. 21 k D. 2k 题目3 正确 获得2.00分中的2.00分 未标记标记题目 题干 将含有150个结点的完全二叉树从根这一层开始，每一层从左到右依次对结点进行编号，根结点的编号为1，则编号为69的结点的双亲结点的编号为（）。 选择一项： A. 34 B. 35 C. 33 D. 36 题目4 正确 获得2.00分中的2.00分 未标记标记题目
如果将给定的一组数据作为叶子数值，所构造出的二叉树的带权路径长度最小，则该树称为（）。 选择一项： A. 二叉树 B. 哈夫曼树 C. 完全二叉树 D. 平衡二叉树 题目5 正确 获得2.00分中的2.00分 未标记标记题目 题干 在一棵度具有5层的满二叉树中结点总数为（）。 选择一项： A. 33 B. 32 C. 31 D. 16 题目6 正确 获得2.00分中的2.00分 未标记标记题目 题干 一棵完全二叉树共有6层，且第6层上有6个结点，该树共有（）个结点。 选择一项： A. 37 B. 72 C. 38 D. 31 题目7 正确 获得2.00分中的2.00分 未标记标记题目 题干 利用3、6、8、12这四个值作为叶子结点的权，生成一棵哈夫曼树，该树中所有叶子结点中的最长带权路径长度为（）。 选择一项： A. 18 B. 30
电大工程数学期末复习考试必备资料小抄 一、单项选择题 1. 设23 2 1 321 321 =c c c b b b a a a ，则=---3 2 1 332 21 13 21333c c c b a b a b a a a a （A ）． A. 2- 2. 设A 是n s ?矩阵，B 是m s ?矩阵，则下列运算中有意义的是（ D ）．D. AB ' 3. 已知?????? ? ??????? =?? ? ???-=21101210 ,20101B a A ，若?? ? ???=1311AB ，则=a （ B ）． B. 1- 4.B A ,都是n 阶矩阵（)1>n ，则下列命题正确的是 ( D ) ．D ．B A AB = 5. 若A 是对称矩阵，则等式（C ）成立． C. A A =' 6. 若??? ? ??=5321A ，则=*A （D ）． D. ?? ????--1325 7. 若? ? ??? ???? ???=432143214321 4321 A ，则秩=)(A （ B ）． B. 1 8. 向量组10001200123012341111???????????????????????????????????????????????????????? ? ???,,,,的秩是（A ）． A. 4 9. 向量组]532[,]211[,]422[,]321[4321'='='='=αααα的一个极大无关组可取为（B ）． B. 21,αα 10. 向量组[][][]1,2,1,5,3,2,2,0,1321==-=ααα，则=-+32132ααα（B ）．[]2,3,1-- 11. 线性方程组?? ?=+=+01 32 21x x x x 解的情况是（D ）D. 有无穷多解 12. 若线性方程组AX =0只有零解，则线性方程组AX b =（C ）．C. 可能无解 13. 若n 元线性方程组AX =0有非零解，则（ A ）成立．A. r A n ()< 14. 下列事件运算关系正确的是（ A ）．A. BA A B B += 15. 对于随机事件A B ,，下列运算公式（ A ）成立．A. )()()()(AB P B P A P B A P -+=+ 16. 袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都是红球的概率是（D ）． 25 9
离散数学作业5 离散数学图论部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第二次作业，大家要认真及时地完成图论部分的综合练习作业。 要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求2010年12月5日前完成并上交任课教师（不收电子稿）。并在05任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。 一、填空题 1．已知图G 中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G 的边数是 15 ． 2．设给定图G (如右由图所示)，则图G 的点割集是 {}f {}c e ,． 3．设G 是一个图，结点集合为V ，边集合为E ，则 G 的结点 度数之和 等于边数的两倍． 4．无向图G 存在欧拉回路，当且仅当G 连通且 不含奇数度结点 ． 5．设G=
计算机科学与技术专业级第二学期离散数学试题 2012年1月 一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1. C 2. C 3. B 4. A 5. D 1-若集合4的元素个数为10,则其幕集的元素个数为（）? A. 10 B. 100 C. 1024 D. 1 2. 设A={a, d},伊{1,2}, R、,电、足是刀到8的二元关系，旦用二{＜Q, 2＞,＜。】＞},他二{＜。 1＞,＜。2＞,＜》，】＞},足={＜。，】＞,＜/?, 2＞）,则（）是从/到8的函数. A. R［和R? B . R仁 C. R3 D. R\和足 3. 设木{1,2,3,45,6,7,8}, /?是/上的整除关系，位{2, 4, 6},则集合8的最大元、最小元、上界、下界依次为（）? A. 8、2、8、2 B.无、2、无、2 C. 6、2、6、2 D. 8、1、6、1 4.若完全图G中有77个结点777条边，则当（）时，图G中存在欧拉回路. A.。为奇数 B. ”为偶数 C. "7为奇数 D. s为偶数 5.已知图G的邻接矩阵为 % o o 1 T 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 10 10 1 11110 则。有（）. A. 6 点，8 边 B.6点，6边 C. 5 点，8 边 D.5点，6边 二、埴空题（每小题3分，本题共15分） 6. 设集合乂 = {况，那么集合/的富集是{。腥}}. 7. 若吊和％是/上的对称关系，则R\U电,R、nw R'-电，传用中对称关系有个. 8. 设图G是有5个结点的连通图，结点度数总和为10,则可从G中删去1 条边后使之变成树. 9. 设连通平面图G的结点数为5,边数为6,贝1|面数为 3 . 10. 设个体域D = G d},则谓词公式（VA）MW A B（X））消去重词后的等值式为（乂（Q） A8（Z?））A（4 （。）AB（/?）） . 三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分） 11. 将语句“今天有联欢活动，明天有文艺晚会翻译成命题公式. 设户：今天有联欢活动，Q：明天有文艺晚会，（2分） PN Q.（6 分）
《工程数学》期末综合练习题 工程数学（本）课程考核说明 （修改稿） I. 相关说明与实施要求 本课程的考核对象是国家开放大学（中央广播电视大学）理工类开放教育专升本土木工程专业及水利水电工程专业的学生。 本课程的考核形式为形成性考核和期末考试相结合的方式。考核成绩由形成性考核成绩和期末考试成绩两部分组成，考核成绩满分为100分，60分为及格。其中形成性考核成绩占考核成绩的30%，期末考试成绩占考核成绩的70%。形成性考核的内容及成绩的评定按《国家开放大学（中央广播电视大学）人才培养模式改革与开放教育试点工程数学形成性考核册》的规定执行。 工程数学(本)课程考核说明是根据《国家开放大学（中央广播电视大学）专升本“工程数学（本）”课程教学大纲》制定的，参考教材是《大学数学——线性代数》和《大学数学——概率论与数理统计》（李林曙主编，中央广播电视大学出版社出版）。考核说明中的考核知识点与考核要求不得超出或超过课程教学大纲与参考教材的范围与要求。本考核说明是工程数学（本）课程期末考试命题的依据。 工程数学（本）是国家开放大学（中央广播电视大学）专升本土木工程专业学生的一门重要的必修基础课，其全国统一的结业考试（期末考试）是一种目标参照性考试，考试合格者应达到普通高等学校理工类专业的本科水平。因此，考试应具有较高的信度、效度和一定的区分度。试题应符合课程教学大纲的要求，体现广播电视大学培养应用型人才的特点。考试旨在测试有关线性代数、概率论与数理统计的基础知识，必要的基础理论、基本的运算能力，以及运用所学基础知识和方法，分析和解决问题的能力。 期末考试的命题原则是在考核说明所规定的范围内命题，注意考核知识点的覆盖面，在此基础上突出重点。 考核要求分为三个不同层次：有关定义、定理、性质和特征等概念的内容由低到高分为“知道、了解、理解”三个层次；有关计算、解法、公式和法则等内容由低到高分为“会、掌握、熟练掌握”三个层次。三个不同层次由低到高在期末试卷中的比例为：2:3:5。 试题按其难度分为容易题、中等题和较难题，其分值在期末试卷中的比例为：4:4:2。 试题类型分为单项选择题、填空题和解答题。单项选择题的形式为四选一，即在每题的四个备选答案中选出一个正确答案；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算过程和推理过程；解答题包括计算题和证明题，求解解答题要求写出文字说明、演算步骤或推证过程。三种题型分数的百分比为：单项选择题15%，填空题15%，解答题70%（其中证明题6%）。 期末考试采用半开卷笔试形式，卷面满分为100分，考试时间为90分钟。 II. 考核内容和考核要求 考核内容分为线性代数、概率论与数理统计两个部分，包括行列式、矩阵、线性方程组、矩阵的特征值及二次型、随机事件与概率、随机变量的分布和数字特征、数理统计基础等方面的知识。
离散数学作业4 离散数学图论部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．本次形考书面作业是第二次作业，大家要认真及时地完成图论部分的综合练习作业． 要求：学生提交作业有以下三种方式可供选择： 1. 可将此次作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成作业后交给辅导教师批阅． 2. 在线提交word 文档 3. 自备答题纸张，将答题过程手工书写，并拍照上传． 一、填空题 1．已知图G 中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G 的边数是 15 ． 2．设给定图G (如右由图所示)，则图G 的点割集是 {f,c} ． 3．设G 是一个图，结点集合为V ，边集合为E ，则 G 的结点 度数之和 等于边数的两倍． 4．无向图G 存在欧拉回路，当且仅当G 连通且所有结点的度数全为偶 数 ． 5．设G=
2020年电大离散数学（本）期末考试题库及答案 一、单项选择题 1．设P：a是偶数，Q：b是偶数。R：a + b是偶数，则命题“若a是偶数，b是偶数，则a + b 也是偶数”符号化为（D．P Q→R）。2．表达式?x（P（x，y）∨Q（z））∧?y（Q（x，y）→?zQ（z））中?x的辖域是（P（x，y）Q（z））。 3．设) ( }), ({ }, { , 4 3 2 1 ? = ? = ? = ? =P S P S S S则命题为假的是（ 4 2 S S∈）。 4．设G是有n个结点的无向完全图，则G的边数（1/2 n（n-1））。 5．设G是连通平面图，有v个结点，e条边，r个面，则r=（e-v+2）。 6．若集合A={1，{2}，{1，2}}，则下列表述正确的是( {1}?A )． 7．已知一棵无向树T中有8个顶点，4度、3度、2度的分支点各一个，T的树叶数为( 5 )． 8．设无向图G的邻接矩阵为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 则G的边数为( 7 )． 9．设集合A={a}，则A的幂集为({?，{a}} )． 10．下列公式中(?A∧?B ??(A∨B) )为永真式． 11．若G是一个汉密尔顿图，则G一定是( 连通图)． 12．集合A={1, 2, 3, 4}上的关系R={
2019电大工程数学期末考试试卷及答案 一、单项选择题【每小题3分。本题共15分) 1．设A，B为咒阶矩阵 则下列等式成立的是( )． 的秩是( )． A．2 B．3 C．4 D．5 3．线性方程组 解的情况是( )． A．只有零解 B．有惟一非零解 C．无解 D．有无穷多解 4．下列事件运算关系正确的是( )． 5．设 是来自正态总体 的样本，其中 是未知参数，则( )是统计 量． 二、填空题(每小题3分。共15分) 1．设A，B是3阶矩阵；其中 则 2·设A为”阶方阵，若存在数A和非零咒维向量z，使得
则称2为A相应于特 征值．λ的 3．若 则 4．设随机变量X，若 则 5．设 是来自正态总体 的一个样本，则 三、计算题【每小题16分，共64分) 1．已知 其中 求X． 2．当A取何值时，线性方程组 有解，在有解的情况下求方程组的一般解．3．设随机变量X具有概率密度 求E(X)，D(X)． 4．已知某种零件重量 采用新技术后，取了9个样品，测得重量(单位： kg)的平均值为14．9，已知方差不变，问平均重量是否仍为 四、证明题(本题6分) 设A，B是两个随机事件，试证：P(B)=P(A)P(B1A)+P(万)P(B1页)· 试卷代号l080 中央广播电视大学 学年度第二学期“开放本科"期末考试 水利水电等专业工程数学(本) 试题答案及评分标准 (供参考) 2007年7月 一、单项选择题(每小题3分．本题共15分)
1．D 2．B 3．D 4．A 5．B 二、填空题(每小题3分。本题共15分) 1．12 2．特征向量 3．0．3 4． 2 三、计算题(每小题16分，本题共64分)1．解：利用初等行变换得 即 由矩阵乘法和转置运算得 2．解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形 由此可知当A≠3时，方程组无解．当A一3时，方程组有解．方程组的一般解为 3．解：由期望的定义得 由方差的计算公式有
离散数学作业答案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
离散数学集合论部分形成性考核书面作 业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数 理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题 目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识 点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第一次作业，大家要认真及时地 完成集合论部分的综合练习作业。 要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答 过程，要求本学期第11周末前完成并上交任课教师（不收电子稿）。并在03任务界 面下方点击“保存”和“交卷”按钮，完成并上交任课教师。 一、填空题 1．设集合{1,2,3},{1,2} ==，则P(A)- A B P(B )={{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}，A? B={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,2>} ． 2．设集合A有10个元素，那么A的幂集合P(A)的元素个数为 1024 ． 3．设集合A={0, 1, 2, 3}，B={2, 3, 4, 5}，R是A到B的二元关系， 则R的有序对集合为{<2,2>,<2,3>,<3,2>,<3,3>} ． 4．设集合A={1, 2, 3, 4 }，B={6, 8, 12}，A到B的二元关系 R＝} ∈ y x∈ y < > = {B , , x , 2 y A x 那么R－1＝{<6,3>,<8,4>} 5．设集合A=｛a, b, c, d｝，A上的二元关系R={
电大离散数学本形考任 务 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
离散数学集合论部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．本次形考书面作业是第一次作业，大家要认真及时地完成集合论部分的综合练习作业． 要求：学生提交作业有以下三种方式可供选择： 1. 可将此次作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成作业后交给辅导教师批阅． 2. 在线提交word文档 3. 自备答题纸张，将答题过程手工书写，并拍照上传． 一、填空题 1．设集合{1,2,3},{1,2} A B ==，P(A)-P(B )={{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}，A B={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,2>} ． 2．设集合A有10个元素，那么A的幂集合P(A)的元素个数为 1024 ．
3．设集合A={0, 1, 2, 3}，B={2, 3, 4, 5}，R是A到B的二元关系， 则R的有序对集合为{<2,2>,<2,3>,<3,2>,<3,3>}． 4．设集合A={1, 2, 3, 4 }，B={6, 8, 12}，A到B的二元关系 R＝} x∈ y y > <那么R－1＝{<6,3>,<8,4>}． x = ∈ 2 , , x , {B A y 5．设集合A=｛a, b, c, d｝，A上的二元关系R={
1．设B A ,都是n 阶方阵，则下列命题正确的是(A ) AB A B = 2．向量组的 秩 是 （B ）．B . 3 3．n 元线性 方程组AX b =有解的充分必要条件是 （A ）．A . )()(b A r A r = 4. 袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都是红球的概率是（D ）．D . 9/25 5．设x x x n 12,,, 是来自正态总体N (,)μσ2 的样本，则（C ）是μ无偏估计． C . 3215 3 5151x x x ++ 6．若A 是对称矩阵，则等式（B ）成立． B . A A =' 7．=?? ?? ??-1 5473 （ D ）．D . 7 54 3-?? ? ?-?? 8．若（A ）成立，则n 元线性方程组AX O =有唯一解．A . r A n ()= 9. 若条件（C ）成立，则随机事件A ，B 互为对立事件． C . ?=AB 且 A B U += 10．对来自正态总体X N ~(,)μσ2（μ未知）的一个样本X X X 123,,，记∑==3 131i i X X ， 则下列各式中（C ）不是统计量． C . ∑=-31 2 )(31i i X μ 11. 设A 为43?矩阵，B 为25?矩阵，当C 为（B ）矩阵时，乘积B C A ''有意义．B . 42? 12. 向量组[][][][]αααα1 234000*********====,,,,,,,,,,, 的极大线性无关组是 （ A ）．A ．ααα2 34,, 13. 若线性方程组的增广矩阵为?? ????=41221λA ，则当λ＝（D ）时线性方程组有无穷多 解． D ．1/2 14. 掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为4”的概率是（C ）. C .1/12 15. 在对单正态总体N (,)μσ2 的假设检验问题中，T 检验法解决的问题是（B ）．B . 未 知方差，检验均值 ??? ? ??????-????????????????????-??????????732,320,011,001