导数的运算练习
一、常用的导数公式
（1）'C = (C 为常数)； （2）()'n x = ；
（3）(sin )'x = ； （4）(cos )'x = ；
（5）()'x a = ； （6）()'x e = ； （7）_____________； （8）_____________；
二、导数的运算法则
1、（1）
； （2） ；
（3）______________________________________；
（4） =___________________________________；(C 为常数)
2、复合函数的导数
设
．
三、练习 1、已知()2f x x =，则()3f '等于（ ）
A ．0
B ．2x
C ．6
D ．9
2、()0f x =的导数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．不存在
D ．不确定 3、32y x 的导数是（ ）
A ．23x
B ．213x
C ．12-
D 33x
4、曲线n y x =在2x =处的导数是12，则n 等于（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5、若()f x =()1f '等于（ ）
A ．0
B ．13-
C ．3
D ．13
6、2y x =的斜率等于2的切线方程是（ ）
A ．210x y -+=
B ．210x y -+=或210x y --=
C ．210x y --=
D ．20x y -=
7、在曲线2y x =上的切线的倾斜角为4
π的点是（ ） A ．()0,0 B ．()2,4 C ．11,416?? ??? D ．11,24?? ???
8、设()sin y f x =是可导函数，则x y '等于（ ）
A ．()sin f x '
B ．()sin cos f x x '?
C ．()sin sin f x x '?
D ．()cos cos f x x '?
9、函数()2
2423y x x =-+的导数是（ ） A ．()2823x x -+ B ．()2
216x -+ C ．()()282361x x x -+- D ．()()242361x x x -+-
10、曲线34y x x =-在点()1,3--处的切线方程是（ ）
A ．74y x =+
B ．72y x =+
C ．4y x =-
D ．2y x =-
11、点P 在曲线323y x x =-+
上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）
A ．0,2π??????
B ．30,,24πππ????????????U
C ．3,4ππ??????
D ．3,24ππ?? ???
12、求函数2
12y x =-在点1x =处的导数。
13、求在抛物线2y x =上横坐标为3的点的切线方程。
14、求曲线y (1,1)处的切线方程。 15、求下列各函数的导数
(1) 235y x x =-+
(2) 1
y x =+
(3) 2
22
2x y x =+
(4) 3
y
=
(5) 1)y
=
(6) (y x =+(7) ()()y x a x b =--
16、求下列各函数的导数
（1）ln y x x =
（2）ln n y x x =
（3）log a y =
（4）1
1x y x +=-
（5）251x
y x =+
（6）232x
y x x =--
17、求下列各函数的导数
（1）sin cos y x x x =+
（2）1cos x
y x =-
（3）tan tan y x x x =-
（4）5sin 1cos x
y x =+
18、求下列各函数的导数
（1）25(1)y x =+
（2）2(23y x =+
（3）y = (4)
y = (5) 2
log (1)a y x =+
(6) y =
(7) y =
(8) sin y nx =
(9) sin n y x =
(10) sin n y x =
(11) ln tan 2x
y =
(12)21
sin y x x =
高考中数学导数的解法 1、导数的背景： （1）切线的斜率；（2）瞬时速度. 如一物体的运动方程是21s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3t =时的瞬时速度为_____（答：5米/秒） 2、导函数的概念：如果函数()f x 在开区间（a,b ）内可导，对于开区间（a,b ）内的每一个0x ，都对应着一个导数 ()0f x ' ，这样()f x 在开区间（a,b ）内构成一个新的函数，这一新的函数叫做()f x 在开区间（a,b ）内的导函数， 记作 ()0 lim x y f x y x ?→?'='=?()() lim x f x x f x x ?→+?-=?， 导函数也简称为导数。 提醒：导数的另一种形式0 0x x 0)()(lim )(0 x x x f x f x f y x x --='='→= 如（1）*?? ?>+≤== 1 1)(2 x b ax x x x f y 在1=x 处可导，则=a =b 解：?? ?>+≤==1 1)(2 x b ax x x x f y 在1=x 处可导，必连续1)(lim 1 =-→x f x b a x f x +=+ →)(lim 1 1)1(=f ∴ 1=+b a 2lim 0 =??- →?x y x a x y x =??+→?0lim ∴ 2=a 1-=b （2）*已知f(x)在x=a 处可导，且f ′(a)=b ，求下列极限： （1）h h a f h a f h 2) ()3(lim --+→?； （2）h a f h a f h ) ()(lim 20-+→? 分析：在导数定义中，增量△x 的形式是多种多样，但不论△x 选择哪种形式，△y 也必须选择相对应的形式。利用函数f(x)在a x =处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式。 解：（1）h h a f h a f h 2) ()3(lim --+→
课时授课计划
教师活动 教学过程： 一?创设情景 2 1 四种常见函数y=c、y = x、y =x、y —的导数公式及应用 :■?新课讲授 学生活动学生自行预习
(二)导数的运算法则导数运算法则 1. 〔f(X)土g(x)i = f'(x) ±g'(x) 2. [f(x) g(x)]' = f'(x)g(x)±f(x)g'(x) I f (x) I f (x) g (x) - f (x) g (x) / . . 3. = ——(g(x)HO) ]g(x) 一[g(x)f (2)推论:lcf(x) I - Cf'(x) (常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数) 三.典例分析 例1 .假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5% ,物价p (单位：元)与时间t (单位：年)有如下函数关系p(t) = p0(1 - 5%亍，其中p0 为t = 0时的物价.假定某种商品的p0 = 1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)? 解：根据基本初等函数导数公式表，有p'(t) =1.0“ In 1.05 所以p (10) =1.0510|n1.05 ： 0.08 (元/年) 因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨. 例2?根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数. (1) y = x3 -2x 3 (2) y 1 1 (3) y = x sin x ln x; (4)y (5)y (6)y 4x 1 -ln x 1 l n x (2 x2—5 x + 1) e x / 、sin x—xcosx (7) y =-------------------------- cosx +xsin x 通过预习自行完成 在老师的指导下独立完成后面几道题
高中数学教案—导数、定积分 一．课标要求： 1．导数及其应用 （1）导数概念及其几何意义 ① 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； ②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。 （2）导数的运算 ① 能根据导数定义求函数y=c ，y=x ，y=x 2，y=x 3 ，y=1/x ，y=x 的导数； ② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f （ax+b ））的导数； ③ 会使用导数公式表。 （3）导数在研究函数中的应用 ① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； ② 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 （4）生活中的优化问题举例 例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。 （5）定积分与微积分基本定理 ① 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念； ② 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。 （6）数学文化 收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。 二．命题走向 导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值. 三．要点精讲 1．导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值 x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。 如果当0→?x 时， x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
【考情解读】 导数的概念及其运算是导数应用的基础，这是高考重点考查的内容．考查方式以客观题为主，主要考查： 一是导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义； 二是导数的应用，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题、证明不等式以及讨论方程的根等，已成为高考热点问题； 三是应用导数解决实际问题． 【知识梳理】 1．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在点处的切线的，其切线方程是． 注意：函数在点P0处的切线与函数过点P0的切线的区别：． 2．导数与函数单调性的关系 (1)() '>0是f(x)为增函数的条件． f x 如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0． (2)() '≥0是f(x)为增函数的条件． f x 当函数在某个区间内恒有() '＝0时，则f(x)为常数，函数不具有单调 f x 性． 注意：导数值为0的点是函数在该点取得极值的条件．
3． 函数的极值与最值 (1)函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题． (2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有 个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有． (3)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的 ． 4． 几个易误导数公式及两个常用的运算法则 (1)(sin x )′＝ ； (2)(cos x )′＝ ； (3)(e x )′＝ ； (4)(a x )′＝ (a >0，且a ≠1)； (5)(x a )′＝ ； (6)(log e x )′＝ ； (7)(log a x )′＝ (a >0，且a ≠1)； (8)′＝ ； (9)??????? ? f (x ) g (x )′＝ (g (x )≠0) ．
第三讲导数的简单应用 考点一导数的几何意义1．导数公式 (1)(sin x)′＝cos x； (2)(cos x)′＝－sin x； (3)(a x)′＝a x ln a(a>0)； (4)(log a x)′＝1 x ln a(a>0，且a≠1)． 2．导数的几何意义 函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y －f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)． [对点训练] 1．(2018·兰州质检)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为() A．(1,3) B．(－1,3) C．(1,3)和(－1,3) D．(1，－3) [解析]f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1， ∴P(1,3)或(－1,3)．经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y＝2x －1上，故选C. [答案]C 2．(2018·大同模拟)过点(1，－1)且与曲线y＝x3－2x相切的切线方程为()
A ．x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0 B ．x －y －2＝0 C ．x －y ＋2＝0 D ．x －y －2＝0或4x ＋5y ＋1＝0 [解析] 设切点坐标为(x 0，y 0)，y 0＝x 30－2x 0，则曲线在(x 0，y 0) 处的切线斜率为y ′＝3x 20－2，当x 0＝1时斜率为1，切线方程为x － y －2＝0，当x 0≠1时，过(1，－1)点的切线的斜率为x 30－2x 0＋1x 0－1 ＝x 20＋x 0－1＝3x 20－2，解得x 0＝－12，其斜率为－54，切线方程为5x ＋4y －1 ＝0，所以A 正确，故选A. [答案] A 3．(2018·西安质检)已知直线y ＝－x ＋m 是曲线y ＝x 2－3ln x 的一条切线，则m 的值为( ) A ．0 B ．2 C ．1 D ．3 [解析] 因为直线y ＝－x ＋m 是曲线y ＝x 2－3ln x 的切线，所以 令y ′＝2x －3x ＝－1，得x ＝1，x ＝－32(舍)，即切点为(1,1)，又切点 (1,1)在直线y ＝－x ＋m 上，所以m ＝2，故选B. [答案] B 4．若曲线y ＝x 在点(a ，a )处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为2，则a ＝________. [解析] y ＝x ＝x 12 ，∴y ′＝12x －12 ，于是曲线在点(a ，a )处的 切线方程为y －a ＝1 2a (x －a )，令x ＝0，得y ＝a 2；令y ＝0，得x
导数题型归纳 请同学们高度重视： 首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)(' =x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）； 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上， ()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，432 3()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； （2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- （1） ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”， 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x < 解法二：分离变量法： ∵ 当0x =时, 2 ()330g x x mx ∴=--=-<恒成立, 当03x <≤时, 2 ()30g x x mx =--<恒成立 等价于233 x m x x x ->=-的最大值（03x <≤）恒成立， 而3 ()h x x x =-（03x <≤）是增函数，则max ()(3)2h x h == (2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2 ()30g x x mx =--< 恒成立 解法三：变更主元法 再等价于2 ()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立（视为关于m 的一次函数最值问题） 2 2 (2)0230 11(2)0230 F x x x F x x ?->--+>?????-<-+>??? 例2),10(32 R b a b x a ∈<<+- ],2不等式()f x a '≤恒成立，求a 的取值范围.
江苏省2015年高考一轮复习备考试题 导数及其应用 一、填空题 1、（2014年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，若曲线),(y 2为常数b a x b ax +=过点)5,2(P -，且该曲线在点P 处的切线与直线0327x =++y 平行，则b a +的值是 ▲ ． 2、（2013年江苏高考）抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D （包含三角形内部与边界）。若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 。 3、（2015届江苏苏州高三9月调研）函数()321122132 f x ax ax ax a =+-++的图象经过四个象限的充要条件是 ▲ 4、（南京市2014届高三第三次模拟）设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数)的导函数为f′(x )．对 任意x ∈R ，不等式f (x )≥f′(x )恒成立，则b 2 a 2+c 2的最大值为 ▲ 5、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））直线y = kx 与曲线2e x y =相切，则实数k = ▲ 6、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））设函数f (x )＝ax ＋sin x ＋cos x ．若函数f (x )的图象上存在不同的两点A ，B ，使得曲线y ＝f (x )在点A ，B 处的切线互相垂直，则实数a 的取值范围为 ▲ 7、（江苏省南京市第一中学2014届高三12月月考）已知R 上的可导函数)(x f 的导函数)(x f '满足：)(x f '+)(x f 0>，且1)1(=f 则不等式>)(x f 11 -x e 的解是 ． 8、（江苏省阜宁中学2014届高三第三次调研）若函数()32f x x ax bx c =+++有极值点12,x x ，且 ()11f x x =，则关于x 的方程()()()2320f x af x b ++=的不同实根个数是 ▲ . 9、（江苏省如东县掘港高级中学2014届高三第三次调研考试）函数12ln y x x =+的单调减区间为__________ 10、（江苏省睢宁县菁华高级中学2014届高三12月学情调研）已知函数()f x ,()g x 满足(1)2f =,(1)1f '=,(1)1g =,(1)1g '=,则函数()(()1)()F x f x g x =-?的图象在1x =处的切线方程为 ▲ . 11、曲线2(1)1()e (0)e 2 x f f x f x x '=-+在点(1，f (1))处的切线方程为 ▲ ．
《导数的简单应用》教学设计 教材分析： 教材的地位和作用,导数的简单应用”是高中数学人教A 版教材选修2-2第一章的内容，它是中学数学与大学数学一个的衔接点。导数的应用我们解决所学过的有关函数问题提供了一般性方法，是解决实际问题强有力的工具 通过本节的学习可以使学生具有树立利用导数处理问题的意识。 根据新课程标准的要求如下： （1）知识与技能目标：能利用导数求函数的单调区间；能结合函数的单调区间求参数的取值范围。 （2） 情感、态度与价值观目标： 培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度，渗透辩证唯物主义的方法论和认识论。 3.教学重点与难点： 教学重点：(1)函数单调性的判断与单调区间的求法； (2)利用函数的单调性求参数的取值范围。 教学难点：（1）含参函数的单调区间的求法； （2） 构造函数求参数的取值范围。 针对这节复习课的特点我设计了 （一） 必备知识（二）典例分析（三）要点总结（四）课堂达标四个主要教学环节. 环节（一）：必备知识： 我设计了三个问题（1）由给定某函数图像，让学生观察函数的图像，体会导数与函数单调性，当如果)(x f '>0,与函数y=f(x)在这个区间内单调递增，如果)(x f '<0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减的直观印象。而且直接从图象入手，以直观形象带动学生对知识的回忆，学生在观察原函数图像的过程中就在进行知识和信息的整理，既能充分调动学生参与课堂的积极性，又加深了学生对函数的单调性和导数的关系的理解，同时也为后面例题做好铺垫。 （2）由给定导函数图像，让学生亲自动手画出原函数的图像，既能充分调动学生参与课堂的积极性，而且直接从问题入手，以问题带动学生对知识的回忆，学生在动手画原函数图像的过程中就在进行知识和信息的整理，加深了学生对函数的单调性和导数的关系的理解，同时也为后面例题做好铺垫。（3）通过判断正误，深化学生对概念的理解与掌握，
2019年高考数学导数的解题技巧高考导数题主要是考查与函数的综合，考查不等式、导数的应用等知识，难度属于中等难度。 都有什么题型呢？ ①应用导数求函数的单调区间，或判定函数的单调性； ②应用导数求函数的极值与最值； ③应用导数解决有关不等式问题。 有没有什么解题技巧啦？ 导数的解题技巧还是比较固定的，一般思路为 ①确定函数f(x)的定义域（最容易忽略的，请牢记）； ②求方程f′(x)=0的解，这些解和f(x)的间断点把定义域分成若干区间； ③研究各小区间上f′(x)的符号，f′(x)＞0时，该区间为增区间，反之则为减区间。 从这两步开始有分类讨论，函数的最值可能会出现极值点处或者端点处，多项式求导一般结合不等式求参数的取值范围，根据题目会有一定的变化，那接下来具体总结一些做题技巧。 技巧破解+例题拆解 1．若题目考察的是导数的概念，则主要考察的是对导数在一点处的定义和导数的几何意义，注意区分导数与△y/△x 之间的区别。
观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。”这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。我还在观察的基础上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。
高中数学选修2-2导数--导数的运算（解析版） 1．若f (x )＝sin π 3 －cos x ，则f ′(α)等于( ) A ．Sin α B ．Cos α C ．sin π3＋cos α D ．cos π 3＋sin α [答案] A [解析] ∵f (x )＝sin π 3 －cos x ，∴f ′(x )＝sin x ，∴f ′(α)＝sin α，故选A. 2．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1 f (n ) }(n ∈N *)的前n 项和是( ) A.n n ＋1B ．n ＋2n ＋1C.n n －1 D ．n ＋1n [答案] A [解析] ∵f (x )＝x m ＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，∴m ＝2，a ＝1，∴f (x )＝x 2＋x ， ∴f (n )＝n 2＋n ＝n (n ＋1)，∴数列{1 f (n ) }(n ∈N *)的前n 项和为： S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1 n (n ＋1)＝????1－12＋????12－13＋…＋????1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝n n ＋1 ，故选A. 3．已知二次函数f (x )的图象如图所示，则其导函数f ′(x )的图象大致形状是( ) [答案] B [解析] 依题意可设f (x )＝ax 2＋c (a <0，且c >0)，于是f ′(x )＝2ax ，显然f ′(x )的图象为直线，过原点，且斜率2a <0，故选B. 4．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f ′(e)＝( ) A ．e － 1B ．－1C ．－e － 1 D ．－e [答案] C [解析] ∵f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，∴f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ，∴f ′(e)＝2f ′(e)＋1 e ， 解得f ′(e)＝－1 e ，故选C.
高三数学专题复习 函数的零点与导数的应用关系 21、（本题满分14分） 已知函数1()ln ,()f x a x a R x =-∈其中 （1）设()(),h x f x x =+讨论()h x 的单调性。 （2）若函数()f x 有唯一的零点，求a 取值范围。 21．解：（1）1()ln h x a x x x =-+，定义域为(0,)+∞………………1分 22211()1a ax x h x x x x ++'=++=………………2分 令22()1,4g x x ax a =++?=- 当0?≤，即22a -≤≤时()0g x ≥，()0h x '≥此时()h x 在(0,)+∞上单调递增。………………4分 当0?>即2a <-或2a >时，由()0g x =得1x =，2x = ………………5分 若2a >则10x <又1210x x =>所以20x < 故()0h x '>在(0,)+∞上恒成立 所以()h x 在(0,)+∞单调递增……………………6分 若2a <-则20x >又1210x x =>所以20x > 此时当1(0,)x x ∈时()0h x '>；当12(,)x x x ∈时()0h x '<当2(,)x x ∈+∞时()0h x '> 故()h x 在1(0,)x ，2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 单调递减……………………7分 综上，当2a ≥-时()h x 在(0,)+∞上单调递增 当2a <-时()h x 在1(0,)x ，2(,)x +∞单调递增，在12(,)x x 单调递减……………8分 （2）方法1：问题等价于1ln a x x = 有唯一实根 显然0a ≠则关于x 的方程1ln x x a =有唯一实根……………10分 构造函数()ln x x x ?=，则()1ln x x ?'=+ 由0ln 1'=+=x ?，得e x 1=
导数的简单应用专题训练 1．设f (x )＝x ln x ，f ′(x 0)＝2，则x 0＝( ) A ．e 2 B ．e C ． ln 2 2 D ．ln 2 解析：选B ∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴f ′(x 0)＝1＋ln x 0＝2，∴x 0＝e ，故选B ． 2． 已知函数f (x )与f ′(x )的图象如图所示， 则函数g (x )＝ f (x ) e x 的递减区间为( ) A ．(0,4) B ．(－∞，1)，???? 43，4 C ．??? ?0，43 D ．(0,1)，(4，＋∞) 解析：选D g ′(x )＝f ′(x )e x －f (x )e x (e x )2 ＝f ′(x )－f (x ) e x ，令g ′(x )＜0即 f ′(x )－f (x )＜0， 由图可得x ∈(0,1)∪(4，＋∞)，故函数单调减区间为(0,1)，(4，＋∞)，故选D ． 3． 若函数f (x ) ln x 在(1，＋∞)上单调递减，则称f (x )为P 函数．下列函数中为P 函数的序 号为( ) ①f (x )＝1 ②f (x )＝x ③f (x )＝1 x ④f (x )＝x A ．①②④ B ．①③ C ．①③④ D ．②③ 解析：选B 当x >1时：f (x )ln x ＝1 ln x 单调递减，①是；????x ln x ′＝ln x －1ln 2x ，所以函数在(e ，＋∞)上单调递增， ②不是；????1x ln x ′＝－(ln x ＋1)ln 2 x ＜0，∴③是；????x ln x ′＝(ln x －2)2x ln 2x ，所以函数在(e 2，＋∞)上单调递增，④不是；选B ． 4．已知直线2x －y ＋1＝0与曲线y ＝a e x ＋x 相切(其中e 为自然对数的底数)，则实数a 的值是( ) A ．e B ．2e C ．1 D ．2 解析：选C 由函数的解析式可得y ′＝a e x ＋1，则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝a e x 0＋1，
第十讲 导数题的解题技巧 【命题趋向】导数命题趋势： 综观2007年全国各套高考数学试题，我们发现对导数的考查有以下一些知识类型与特点： （1）多项式求导（结合不等式求参数取值范围）,和求斜率（切线方程结合函数求最值）问题. （2）求极值, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合. 分值在12---17分之间，一般为1个选择题或1个填空题，1个解答题. 【考点透视】 1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念． 2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数． 3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值． 【例题解析】 考点1 导数的概念 对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. 例1．（2007年北京卷）()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 ． [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力. [解答过程] ()2 2 ()2,(1)12 3.f x x f ''=+∴-=-+=Q 故填3. 例2. ( 2006年湖南卷）设函数()1 x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若M P,则实 数a 的取值范围是 ( ) A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞) [考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.
2019年高三数学重点知识：导数及其应用查字典数学网高中频道收集和整理了2019年高三数学重点知识：导数及其应用，以便高中生在高考备考过程中更好的梳理知识，轻松备战。祝大家暑假快乐。 一基础再现 考点87简单复合函数的导数 1.曲线在点处的切线方程为____________。 2.已知函数和的图象在处的切线互相平行，则=________. 3.(宁夏、海南卷)设函数 (Ⅰ)讨论的单调性；(Ⅱ)求在区间的最大值和最小值. 考点88定积分 4.计算 5.(1)；(2) 6. 计算= 7.___________ 8.求由曲线y=x3，直线x=1，x=2及y=0所围成的曲边梯形的面积. 二感悟解答 1.答案： 2.答案：6 3.解：的定义域为. 当时，；当时，；当时，.
从而，分别在区间，单调增，在区间单调减. (Ⅱ)由(Ⅰ)知在区间的最小值为. 又. 所以在区间的最大值为. 4.答案：6 5.答案：(1) 死记硬背是一种传统的教学方式，在我国有悠久的历史。但随着素质教育的开展，死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式，渐渐为人们所摒弃；而另一方面，老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。其实，只要应用得当，“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。相反，它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。 (2)利用导数的几何意义：与x=0，x=2所围图形是以(0，0)为圆心，2为半径的四分之一个圆，其面积即为(图略) 观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重
第4讲 导数的简单应用 [考情分析] 1.导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较小.2.应用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题． 考点一 导数的几何意义与计算 核心提炼 1．导数的运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． (3)?? ?? f (x ) g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2 (g (x )≠0)． 2．导数的几何意义 (1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率． (2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同． (3)切点既在切线上，又在曲线上． 例1 (1)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)－ln x ，则f ′(2)的值为( ) A.74 B ．－74 C.94 D ．－94 答案 B 解析 ∵f (x )＝x 2＋3xf ′(2)－ln x ， ∴f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)－1x ， 令x ＝2，得f ′(2)＝4＋3f ′(2)－1 2， 解得f ′(2)＝－7 4 . (2)(2020·北京通州区模拟)直线l 经过点A (0，b )，且与直线y ＝x 平行，如果直线l 与曲线y ＝x 2相切，那么b 等于( ) A ．－14 B ．－12 C.14 D.12
答案 A 解析 直线l 经过点A (0，b )，且与直线y ＝x 平行，则直线l 的方程为y ＝x ＋b ，直线l 与曲线y ＝x 2相切，令y ′＝2x ＝1，得x ＝12，则切点为????12，14，代入直线l 的方程，解得b ＝－14. 易错提醒 求曲线的切线方程要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点． 跟踪演练1 (1)(2020·内蒙古自治区模拟)曲线y ＝(ax ＋2)e x 在点(0,2)处的切线方程为y ＝－2x ＋b ，则ab 等于( ) A ．－4 B ．－8 C ．4 D ．8 答案 B 解析 y ′＝e x (ax ＋2＋a )， 故k ＝y ′|x ＝0＝2＋a ＝－2，解得a ＝－4， 又切线过点(0,2)，所以2＝－2×0＋b ， 解得b ＝2，所以ab ＝－8. (2)直线2x －y ＋1＝0与曲线y ＝a e x ＋x 相切，则a 等于( ) A ．e B ．2e C ．1 D ．2 答案 C 解析 设切点为(n ，a e n ＋n )，因为y ′＝a e x ＋1， 所以切线的斜率为a e n ＋1， 切线方程为y －(a e n ＋n )＝(a e n ＋1)(x －n )， 即y ＝(a e n ＋1)x ＋a e n (1－n )， 依题意切线方程为y ＝2x ＋1， 故????? a e n ＋1＝2，a e n (1－n )＝1， 解得a ＝1，n ＝0. 考点二 利用导数研究函数的单调性 核心提炼 利用导数研究函数单调性的关键 (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域．
高三文科数学导数专题复习 1.已知函数)(,3 ,sin )(x f x x b ax x f 时当π =+=取得极小值 33 -π . （Ⅰ）求a ，b 的值； （Ⅱ）设直线)(:),(:x F y S x g y l ==曲线. 若直线l 与曲线S 同时满足下列两个条件： （1）直线l 与曲线S 相切且至少有两个切点； （2）对任意x ∈R 都有)()(x F x g ≥. 则称直线l 为曲线S 的“上夹线”. 试证明：直线2:+=x y l 是曲线x b ax y S sin :+=的“上夹线”. 2. 设函数3 221()231,0 1.3 f x x ax a x a =- +-+<< （1）求函数)(x f 的极大值； （2）若[]1,1x a a ∈-+时，恒有()a f x a '-≤≤成立（其中()f x '是函数()f x 的导函数），试确定实数a 的取值范围． 3.如图所示，A 、B 为函数)11(32 ≤≤-=x x y 图象上两点，且AB//x 轴，点M （1，m ）（m>3）是△ABC 边AC 的中点. （1）设点B 的横坐标为t ，△ABC 的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式)(t f S =； （2）求函数)(t f S =的最大值，并求出相应的点C 的坐标.
4. 已知函数x a x x f ln )(2-=在]2,1(是增函数,x a x x g -=)(在(0,1)为减函数. （I ）求)(x f 、)(x g 的表达式； （II ）求证:当0>x 时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解； (III ）当1->b 时,若21 2)(x bx x f -≥在x ∈]1,0(内恒成立,求b 的取值范围 5. 已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在2x =处有极值，曲线()y f x =在1x =处的切线平行于直线32y x =--，试求函数()f x 的极大值与极小值的差。 6.函数x a x x f - =2)(的定义域为]1,0(（a 为实数）. （1）当1-=a 时，求函数)(x f y =的值域； （2）若函数)(x f y =在定义域上是减函数，求a 的取值范围； （3）求函数)(x f y =在∈x ]1,0(上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x 的值. 7.设x=0是函数2()()()x f x x ax b e x R =++∈的一个极值点. （Ⅰ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求)(x f 的单调区间； （Ⅱ）设]2,2[,,)1()(,0212 2-∈++-=>+ξξ问是否存在x e a a x g a ，使得|1|)()(21≤-ξξg f 成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由. 8. 设函数()2ln q f x px x x =- -，且()2p f e qe e =--，其中e 是自然对数的底数. （1）求p 与q 的关系；
§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（两课时） 学习目标 1.理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数； 2.理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数. 3.复合函数的分解，求复合函数的导数. 一、预习与反馈（预习教材P 14~ P 19，找出疑惑之处） 复习1：常见函数的导数公式： (1) '____C =(C 为常数)；(2)()'________n x =, n ∈N +；(3)(sin )'_______x =； (4)(cos )'_______x =; (5)()'________x e =; (6)()'_________x a =; (7)(ln )'______x =; (8) e x x a a log 1)'(log = 复习2：根据常见函数的导数公式计算下列导数 （1）6y x = （2 ）y = （3）21y x = （4 ）y = 新知 1.可导函数的四则运算法则 法则1 '[()()]____________.u x v x ±=(口诀：和与差的导数等于导数的和与差). 法则2 [()()]____________u x v x '=. (口诀：前导后不导，后导前不导，中间是正号) 法则3 ()[]_______________(()0)() u x v x v x '=≠(口诀：分母平方要记牢，上导下不导，下导上不导，中间是负号)
例1. 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数3123y x x x =-++导数. 变式：（ 1）2log y x =； （2）2x y e =； （3）522354y x x x =-+-； （4）3cos 4sin y x x =- 例2求下列函数的导数： （1）32log y x x =+； （2）n x y x e = （3）y=2e -x 2. 复合函数： 1.定义：一般地，对于两个函数y =f (u )和()u g x =，如果通过变量u,y 可以表示成x 的函数，那么这个函数为函数 和 的复合函数，记住 2.复合函数的求导法则 复合函数(())y f g x =的导数和函数y =f (u )，()u g x =的导数间的关系式为 ，即y 对x 的导数等于 的乘积。 例。3 求下列函数的导数： （1）2(23)y x =+； （2）1x y e -+=； （3）sin()y x π?=+
2017年高考真题导数专题 一．解答题（共12小题） 1．已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 2．已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0． （1）求a； （2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 3．已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx． （1）若f（x）≥0，求a的值； （2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值． 4．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：b2＞3a； （3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．5．设函数f（x）=（1﹣x2）e x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≤ax+1，求a的取值范围． 6．已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥）． （1）求f（x）的导函数； （2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围． 7．已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数． （Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程； （Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极
，求证： ） 10．已知函数f（x）=x3﹣ax2，a∈R， （1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程； （2）设函数g（x）=f（x）+（x﹣a）cosx﹣sinx，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 11．设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g（x）=e x f （x）． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）已知函数y=g（x）和y=e x的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在x=x0处的导数等于0； （ii）若关于x的不等式g（x）≤e x在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围． 12．已知函数f（x）=e x（e x﹣a）﹣a2x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）≥0，求a的取值范围．
高中数学-导数的概念及运算练习 1．y ＝ln 1 x 的导函数为( ) A ．y ′＝－1 x B ．y ′＝1 x C ．y ′＝lnx D ．y ′＝－ln(－x) 答案 A 解析 y ＝ln 1x ＝－lnx ，∴y ′＝－1 x . 2．(·东北师大附中摸底)曲线y ＝5x ＋lnx 在点(1，5)处的切线方程为( ) A ．4x －y ＋1＝0 B ．4x －y －1＝0 C ．6x －y ＋1＝0 D ．6x －y －1＝0 答案 D 解析 将点(1，5)代入y ＝5x ＋lnx 成立，即点(1，5)为切点．因为y ′＝5＋1x ，所以y ′|x ＝1＝5＋1 1＝6. 所以切线方程为y －5＝6(x －1)，即6x －y －1＝0.故选D. 3．曲线y ＝x ＋1 x －1在点(3，2)处的切线的斜率是( ) A ．2 B ．－2 C.12 D ．－12 答案 D 解析 y ′＝（x ＋1）′（x －1）－（x ＋1）（x －1）′（x －1）2＝－2 （x －1）2，故曲线在(3，2)处的切线的斜率k ＝ y ′|x ＝3＝－2（3－1）2＝－1 2 ，故选D. 4．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2 ＋2t ，那么速度为零的时刻是( ) A ．0秒 B ．1秒末 C ．2秒末 D ．1秒末和2秒末 答案 D 解析 ∵s＝13t 3－32t 2＋2t ，∴v ＝s ′(t)＝t 2 －3t ＋2. 令v ＝0，得t 2 －3t ＋2＝0，t 1＝1或t 2＝2. 5．(·郑州质量检测)已知曲线y ＝x 2 2－3lnx 的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D.12 答案 A